Водещият коефициент на квадратното уравнение. Непълни квадратни уравнения

Квадратно уравнение - лесно за решаване! *По-нататък в текста "КУ".Приятели, изглежда, че в математиката може да бъде по-лесно от решаването на такова уравнение. Но нещо ми подсказа, че много хора имат проблеми с него. Реших да видя колко импресии дава Yandex на заявка на месец. Ето какво се случи, вижте:

Какво означава? Това означава, че около 70 000 души на месец търсят тази информация, какво общо има това лято и какво ще се случи между учебна година- заявките ще бъдат два пъти по-големи. Това не е изненадващо, защото онези момчета и момичета, които отдавна са завършили училище и се подготвят за изпита, търсят тази информация, а учениците също се опитват да освежат паметта си.

Въпреки факта, че има много сайтове, които разказват как да се реши това уравнение, реших също да допринеса и да публикувам материала. Първо, искам посетителите да идват на моя сайт по тази заявка; второ, в други статии, когато се появи речта „KU“, ще дам връзка към тази статия; трето, ще ви разкажа малко повече за неговото решение, отколкото обикновено се посочва в други сайтове. Да започваме!Съдържанието на статията:

Квадратното уравнение е уравнение от вида:

където коефициентите а,би с произволни числа, с a≠0.

В училищния курс материалът се дава в следната форма - разделянето на уравненията на три класа се извършва условно:

1. Имат два корена.

2. * Имат само един корен.

3. Нямат корени. Тук си струва да се отбележи, че те нямат истински корени

Как се изчисляват корените? Просто!

Изчисляваме дискриминанта. Под тази "ужасна" дума се крие много проста формула:

Основните формули са както следва:

*Тези формули трябва да се знаят наизуст.

Можете веднага да запишете и решите:

пример:

1. Ако D > 0, тогава уравнението има два корена.

2. Ако D = 0, тогава уравнението има един корен.

3. Ако D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Нека да разгледаме уравнението:

от този поводкогато дискриминантът нула, училищният курс казва, че се получава един корен, тук е равен на девет. Така е, така е, но...

Това представяне е донякъде неправилно. Всъщност корените са два. Да, да, не се учудвайте, оказват се две равен корен, и за да бъдем математически точни, в отговора трябва да бъдат записани два корена:

х 1 = 3 х 2 = 3

Но това е така - малко отклонение. В училище можете да запишете и да кажете, че има само един корен.

Сега следният пример:

Както знаем, коренът на отрицателно число не се извлича, така че в този случай няма решение.

Това е целият процес на вземане на решение.

Квадратична функция.

Ето как изглежда решението геометрично. Това е изключително важно да се разбере (в бъдеще, в една от статиите, ще анализираме подробно решението на квадратно неравенство).

Това е функция на формата:

където x и y са променливи

а, б, в - дадени числа, където a ≠ 0

Графиката е парабола:

Тоест, оказва се, че чрез решаване на квадратно уравнение с "y" равно на нула, намираме пресечните точки на параболата с оста x. Тези точки могат да бъдат две (дискриминантът е положителен), една (дискриминантът е нула) или никакви (дискриминантът е отрицателен). Подробности за квадратична функция Можете да видитестатия от Инна Фелдман.

Помислете за примери:

Пример 1: Решете 2x 2 +8 х–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Отговор: x 1 = 8 x 2 = -12

* Можете веднага да разделите лявата и дясната част на уравнението на 2, тоест да го опростите. Изчисленията ще бъдат по-лесни.

Пример 2: Реши x2–22 х+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Получаваме, че x 1 = 11 и x 2 = 11

В отговора е допустимо да се напише x = 11.

Отговор: x = 11

Пример 3: Реши x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Дискриминантът е отрицателен, няма решение в реални числа.

Отговор: няма решение

Дискриминантът е отрицателен. Има решение!

Тук ще говорим за решаване на уравнението в случай, когато се получи отрицателен дискриминант. Знаете ли нещо за комплексните числа? Тук няма да се впускам в подробности защо и къде са възникнали и каква е тяхната специфична роля и необходимост в математиката, това е тема за голяма отделна статия.

Концепцията за комплексно число.

Малко теория.

Комплексното число z е число от формата

z = a + bi

където са a и b реални числа, i е така наречената въображаема единица.

a+bi е ЕДИНИЧНО ЧИСЛО, а не допълнение.

Въображаемата единица е равна на корен от минус едно:

Сега помислете за уравнението:

Вземете два спрегнати корена.

Непълно квадратно уравнение.

Помислете за специални случаи, когато коефициентът "b" или "c" е равен на нула (или и двата са равни на нула). Решават се лесно без никакви дискриминации.

Случай 1. Коефициент b = 0.

Уравнението приема формата:

Нека трансформираме:

пример:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Случай 2. Коефициент c = 0.

Уравнението приема формата:

Преобразувайте, разлагайте на множители:

*Произведението е равно на нула, когато поне един от факторите е равен на нула.

пример:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 или x–5 =0

х 1 = 0 х 2 = 5

Случай 3. Коефициенти b = 0 и c = 0.

Тук е ясно, че решението на уравнението винаги ще бъде x = 0.

Полезни свойства и модели на коефициенти.

Има свойства, които позволяват решаване на уравнения с големи коефициенти.

ах 2 + bx+ ° С=0 равенство

а + б+ c = 0,тогава

— ако за коефициентите на уравнението ах 2 + bx+ ° С=0 равенство

а+ с =б, тогава

Тези свойства помагат за решаването на определен вид уравнение.

Пример 1: 5001 х 2 –4995 х – 6=0

Сборът на коефициентите е 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, така че

Пример 2: 2501 х 2 +2507 х+6=0

Равенство а+ с =б, означава

Закономерности на коефициентите.

1. Ако в уравнението ax 2 + bx + c \u003d 0 коефициентът "b" е (a 2 +1), а коефициентът "c" е числено равен на коефициента "a", тогава неговите корени са

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Пример. Разгледайте уравнението 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 = -6 x 2 = -1/6.

2. Ако в уравнението ax 2 - bx + c \u003d 0, коефициентът "b" е (a 2 +1), а коефициентът "c" е числено равен на коефициента "a", тогава неговите корени са

брадва 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Пример. Да разгледаме уравнението 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Ако в уравнението ax 2 + bx - c = 0 коефициент "b" равно (а 2 – 1), и коефициент „c“ числено равно на коефициента "а", тогава корените му са равни

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Пример. Помислете за уравнението 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 = - 17 x 2 = 1/17.

4. Ако в уравнението ax 2 - bx - c \u003d 0, коефициентът "b" е равен на (a 2 - 1), а коефициентът c е числено равен на коефициента "a", тогава неговите корени са

брадва 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Пример. Помислете за уравнението 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = - 1/10

Теоремата на Виета.

Теоремата на Виета е кръстена на известния френски математик Франсоа Виета. Използвайки теоремата на Vieta, може да се изрази сумата и произведението на корените на произволен KU по отношение на неговите коефициенти.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Накратко, числото 14 дава само 5 и 9. Това са корените. С определено умение, използвайки представената теорема, можете да решите много квадратни уравнения веднага устно.

Освен това теоремата на Виета. удобно, защото след решаване на квадратното уравнение по обичайния начин (чрез дискриминанта), получените корени могат да бъдат проверени. Препоръчвам да правите това през цялото време.

НАЧИН НА ПРЕХВЪРЛЯНЕ

При този метод коефициентът "а" се умножава по свободния член, сякаш "прехвърлен" към него, поради което се нарича метод на трансфер.Този метод се използва, когато е лесно да се намерят корените на уравнение с помощта на теоремата на Виета и най-важното, когато дискриминантът е точен квадрат.

Ако а± b+c≠ 0, тогава се използва техниката на трансфер, например:

2х 2 – 11х+ 5 = 0 (1) => х 2 – 11х+ 10 = 0 (2)

Съгласно теоремата на Vieta в уравнение (2) е лесно да се определи, че x 1 = 10 x 2 = 1

Получените корени на уравнението трябва да се разделят на 2 (тъй като двете са „хвърлени“ от x 2), получаваме

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Каква е обосновката? Вижте какво става.

Дискриминантите на уравнения (1) и (2) са:

Ако погледнете корените на уравненията, тогава се получават само различни знаменатели и резултатът зависи точно от коефициента при x 2:

Вторите (модифицирани) корени са 2 пъти по-големи.

Следователно разделяме резултата на 2.

*Ако хвърлим три от вида, тогава разделяме резултата на 3 и т.н.

Отговор: x 1 = 5 x 2 = 0,5

кв. ур-т.е. и изпита.

Ще кажа накратко за важността му - ТРЯБВА ДА МОЖЕТЕ ДА РЕШИТЕ бързо и без да се замисляте, трябва да знаете наизуст формулите на корените и дискриминанта. Много от задачите, които са част от задачите на USE, се свеждат до решаване на квадратно уравнение (включително геометрични).

Какво си заслужава да се отбележи!

1. Формата на уравнението може да бъде "неявна". Например, следният запис е възможен:

15+ 9x 2 - 45x = 0 или 15x+42+9x 2 - 45x=0 или 15 -5x+10x 2 = 0.

Трябва да го приведете в стандартна форма (за да не се объркате при решаването).

2. Не забравяйте, че x е неизвестна стойност и може да се обозначи с всяка друга буква - t, q, p, h и други.

Едно непълно квадратно уравнение се различава от класическите (пълни) уравнения по това, че неговите фактори или свободен член са равни на нула. Графиката на такива функции е парабола. В зависимост от общия вид те се разделят на 3 групи. Принципите на решаване на всички видове уравнения са еднакви.

Няма нищо трудно в определянето на вида на непълен полином. Най-добре е да разгледате основните разлики в илюстративни примери:

Ако b = 0, тогава уравнението е ax 2 + c = 0.
Ако c = 0, тогава изразът ax 2 + bx = 0 трябва да бъде решен.
Ако b = 0 и c = 0, тогава полиномът става равенство от тип ax 2 = 0.

Последният случай е по-скоро теоретична възможност и никога не се среща при тестове на знания, тъй като единствената истинска стойност на x в израза е нула. В бъдеще ще бъдат разгледани методи и примери за решаване на непълни задачи. квадратни уравнения 1) и 2) видове.

Общ алгоритъм за намиране на променливи и примери с решение

Независимо от вида на уравнението, алгоритъмът за решение се свежда до следните стъпки:

Приведете израза до форма, удобна за намиране на корени.
Направете изчисления.
Запишете отговора.

Най-лесно е да решите непълни уравнения, като разложите лявата страна на множители и оставите нула от дясната страна. Така формулата за непълно квадратно уравнение за намиране на корените се свежда до изчисляване на стойността на x за всеки от факторите.

Можете да научите как да решавате само на практика, така че помислете конкретен примернамиране на корените на непълно уравнение:

Както можете да видите, в този случай b = 0. Разлагаме на множители лявата страна и получаваме израза:

4(x - 0,5) ⋅ (x + 0,5) = 0.

Очевидно продуктът е равен на нула, когато поне един от факторите е равен на нула. На подобни изисквания отговарят стойностите на променливата x1 = 0,5 и (или) x2 = -0,5.

За да се справите лесно и бързо със задачата за разлагане квадратен триноммножители, трябва да запомните следната формула:

Ако в израза няма свободен термин, задачата е значително опростена. Ще бъде достатъчно само да намерите и извадите общия знаменател. За по-голяма яснота, разгледайте пример за решаване на непълни квадратни уравнения от вида ax2 + bx = 0.

Нека извадим променливата x от скоби и ще получим следния израз:

x ⋅ (x + 3) = 0.

Въз основа на логиката заключаваме, че x1 = 0 и x2 = -3.

Традиционният начин за решаване на непълни квадратни уравнения

Какво ще се случи, ако приложим дискриминантната формула и се опитаме да намерим корените на полинома с коефициенти, равни на нула? Нека вземем пример от колекция от типични задачи за Единния държавен изпит по математика през 2017 г., ще го решим с помощта на стандартни формули и метода на факторизация.

7x 2 - 3x = 0.

Изчислете стойността на дискриминанта: D = (-3)2 - 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Оказва се, че полиномът има два корена:

Сега решете уравнението чрез разлагане на множители и сравнете резултатите.

X ⋅ (7x + 3) = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x=-3,
х = -.

Както можете да видите, и двата метода дават един и същ резултат, но вторият начин за решаване на уравнението се оказа много по-лесен и бърз.

Теоремата на Виета

Но какво да правим с любимата теорема на Виета? Може ли този метод да се приложи с непълен тричлен? Нека се опитаме да разберем аспектите на редуцирането на непълни уравнения до класическата форма ax2 + bx + c = 0.

Всъщност в този случай е възможно да се приложи теоремата на Виета. Необходимо е само изразът да се приведе в общ вид, като се заменят липсващите термини с нула.

Например при b = 0 и a = 1, за да се елиминира възможността от объркване, задачата трябва да се запише във вида: ax2 + 0 + c = 0. Тогава съотношението на сбора и произведението на корените и Коефициентите на полинома могат да бъдат изразени по следния начин:

Теоретичните изчисления помагат да се запознаете със същността на проблема и винаги изискват развитие на умения при решаване конкретни задачи. Нека отново да се обърнем към справочника с типични задачи за изпита и да намерим подходящ пример:

Записваме израза във форма, удобна за прилагане на теоремата на Виета:

x2 + 0 - 16 = 0.

Следващата стъпка е да се създаде система от условия:

Очевидно корените на квадратния полином ще бъдат x 1 \u003d 4 и x 2 \u003d -4.

Сега нека се упражняваме да привеждаме уравнението в общ вид. Вземете следния пример: 1/4× x 2 – 1 = 0

За да приложите теоремата на Виета към израза, трябва да се отървете от дроба. Умножете лявата и дясната страна по 4 и вижте резултата: x2– 4 = 0. Полученото равенство е готово за решаване по теоремата на Виета, но е много по-лесно и по-бързо да получите отговора, просто като преместите c = 4 от дясната страна на уравнението: x2 = 4.

Обобщавайки, трябва да се каже, че по най-добрия начинрешение на непълни уравнения е факторизация, е най-простото и бърз метод. Ако срещнете трудности в процеса на намиране на корени, можете да се обърнете към традиционния метод за намиране на корени чрез дискриминанта.

Квадратното уравнение е уравнение от вида a*x^2 +b*x+c=0, където a,b,c са произволни реални (реални) числа, а x е променлива. И числото а не е равно на 0.

Числата a,b,c се наричат коефициенти. Числото a - се нарича водещ коефициент, числото b е коефициентът при x, а числото c се нарича свободен член. В литературата се срещат и други имена. Числото a се нарича първи коефициент, а числото b се нарича втори коефициент.

Класификация на квадратни уравнения

Квадратните уравнения имат своя собствена класификация.

По наличието на коефициенти:

1. Пълен

2. Непълен

По стойността на коефициента от най-висока степен на неизвестното(до стойността на водещия коефициент):

1. Даден

2. Не е намален

Квадратно уравнение наречен завършенако съдържа и трите коефициента и те са различни от нула. Обща формапълно квадратно уравнение: a*x^2 +b*x+c=0;

Квадратно уравнение наречен непъленако в уравнението a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 един от коефициентите b или c е равен на нула (b = 0 или c = 0), обаче, непълно квадратно уравнение също ще бъде уравнение, в което и коефициентът b и коефициентът c са едновременно равни на нула (и двете b=0 и c=0).

Струва си да се отбележи, че тук нищо не се казва за водещия коефициент, тъй като според дефиницията на квадратно уравнение той трябва да е различен от нула.

даденоако неговият водещ коефициент равно на едно(а=1). Общ изглед на даденото квадратно уравнение: x^2 +d*x+e=0.

Квадратното уравнение се нарича ненамалена,ако водещият коефициент в уравнението е различен от нула. Общ изглед на нередуцираното квадратно уравнение: a*x^2 +b*x+c=0.

Трябва да се отбележи, че всяко нередуцирано квадратно уравнение може да се сведе до редуцираното. За да направите това, е необходимо да се разделят коефициентите на квадратното уравнение на водещия коефициент.

Квадратични примери

Помислете за пример:имаме уравнението 2*x^2 - 6*x+7 =0;

Нека го трансформираме в горното уравнение. Водещият коефициент е 2. Нека разделим на него коефициентите на нашето уравнение и запишем отговора.

x^2 - 3*x+3,5 =0;

Както забелязахте, от дясната страна на квадратното уравнение е полином от втора степен a * x ^ 2 + b * x + c. Нарича се още квадратен трином.

Тази тема може да изглежда сложна в началото поради многото не толкова прости формули. Самите квадратни уравнения не само имат дълги записи, но и корените се намират чрез дискриминанта. Има общо три нови формули. Не е много лесно за запомняне. Това е възможно само след честото решаване на такива уравнения. Тогава всички формули ще бъдат запомнени сами.

Общ изглед на квадратното уравнение

Тук се предлага тяхното изрично обозначение, когато първо се записва най-голямата степен, а след това - в низходящ ред. Често има ситуации, когато термините стоят отделно. Тогава е по-добре да пренапишете уравнението в низходящ ред на степента на променливата.

Нека въведем нотация. Те са представени в таблицата по-долу.

Ако приемем тези обозначения, всички квадратни уравнения се свеждат до следната нотация.

Освен това коефициентът a ≠ 0. Нека тази формула се обозначи с номер едно.

Когато е дадено уравнението, не е ясно колко корена ще има в отговора. Защото винаги е възможна една от трите опции:

разтворът ще има два корена;
отговорът ще бъде едно число;
Уравнението изобщо няма корени.

И докато решението не е доведено до края, е трудно да се разбере кой от вариантите ще изпадне в конкретен случай.

Видове записи на квадратни уравнения

Задачите може да имат различни записи. Те не винаги изглеждат обща формулаквадратно уравнение. Понякога ще му липсват някои термини. Написаното по-горе е пълно уравнение. Ако премахнете втория или третия термин в него, получавате нещо различно. Тези записи се наричат още квадратни уравнения, само че непълни.

Освен това могат да изчезнат само термините, за които коефициентите "b" и "c". Числото "а" не може да бъде равно на нула при никакви обстоятелства. Защото в този случай формулата се превръща в линейно уравнение. Формулите за непълния вид на уравненията ще бъдат както следва:

И така, има само два вида, освен пълни, има и непълни квадратни уравнения. Нека първата формула е номер две, а втората - номер три.

Дискриминантът и зависимостта на броя на корените от неговата стойност

Това число трябва да се знае, за да се изчислят корените на уравнението. Винаги може да се изчисли, без значение каква е формулата на квадратното уравнение. За да изчислите дискриминанта, трябва да използвате равенството, написано по-долу, което ще има числото четири.

След като замените стойностите на коефициентите в тази формула, можете да получите числа с различни знаци. Ако отговорът е да, тогава отговорът на уравнението ще бъде два различни корена. При отрицателно число корените на квадратното уравнение ще отсъстват. Ако е равно на нула, отговорът ще бъде единица.

Как се решава пълно квадратно уравнение?

Всъщност разглеждането на този въпрос вече е започнало. Защото първо трябва да намерите дискриминанта. След като се изясни, че има корени на квадратното уравнение и техният брой е известен, трябва да използвате формулите за променливите. Ако има два корена, тогава трябва да приложите такава формула.

Тъй като съдържа знака „±“, ще има две стойности. Подписан израз корен квадратене дискриминантът. Следователно формулата може да бъде пренаписана по различен начин.

Формула пет. От същия запис може да се види, че ако дискриминантът е нула, тогава и двата корена ще приемат едни и същи стойности.

Ако решението на квадратните уравнения все още не е разработено, тогава е по-добре да запишете стойностите на всички коефициенти, преди да приложите дискриминантните и променливите формули. По-късно този момент няма да причини затруднения. Но в самото начало има объркване.

Как се решава непълно квадратно уравнение?

Тук всичко е много по-просто. Дори няма нужда от допълнителни формули. И няма да имате нужда от вече написани за дискриминантното и непознатото.

Първо помислете непълно уравнениена номер две. В това равенство се предполага да се извади неизвестната стойност от скобата и да се реши линейното уравнение, което ще остане в скобите. Отговорът ще има два корена. Първият е задължително равен на нула, тъй като има фактор, състоящ се от самата променлива. Второто се получава чрез решаване на линейно уравнение.

Непълното уравнение на номер три се решава чрез прехвърляне на числото от лявата страна на уравнението в дясната. След това трябва да разделите на коефициента пред неизвестното. Остава само да извлечете квадратния корен и не забравяйте да го запишете два пъти с противоположни знаци.

Следват някои действия, които ви помагат да се научите как да решавате всички видове равенства, които се превръщат в квадратни уравнения. Те ще помогнат на ученика да избегне грешки поради невнимание. Тези недостатъци са причина за слабите оценки при изучаване на обширната тема „Квадрични уравнения (8 клас)”. Впоследствие тези действия няма да е необходимо да се извършват постоянно. Защото ще има стабилен навик.

Първо трябва да напишете уравнението в стандартен вид. Тоест първо членът с най-голяма степен на променливата, а след това - без степента и последното - само число.

Ако пред коефициента "a" се появи минус, тогава това може да усложни работата на начинаещ да изучава квадратни уравнения. По-добре е да се отървете от него. За тази цел цялото равенство трябва да се умножи по "-1". Това означава, че всички термини ще променят знака на противоположния.

По същия начин се препоръчва да се отървете от фракциите. Просто умножете уравнението по подходящия фактор, така че знаменателите да се компенсират.

Примери

Необходимо е да се решат следните квадратни уравнения:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Първото уравнение: x 2 - 7x \u003d 0. То е непълно, следователно се решава, както е описано за формула номер две.

След поставяне на скоби се оказва: x (x - 7) = 0.

Първият корен приема стойността: x 1 = 0. Вторият ще бъде намерен от линейно уравнение: x - 7 = 0. Лесно е да се види, че x 2 = 7.

Второ уравнение: 5x2 + 30 = 0. Отново непълно. Само то се решава както е описано за третата формула.

След като прехвърлите 30 в дясната страна на уравнението: 5x 2 = 30. Сега трябва да разделите на 5. Оказва се: x 2 = 6. Отговорите ще бъдат числа: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Трето уравнение: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Тук и по-долу решението на квадратни уравнения ще започне, като ги пренапише в стандартен изглед: - x 2 - 2x + 15 = 0. Сега е време да използваме второто полезен съвети умножете всичко по минус едно. Оказва се x 2 + 2x - 15 = 0. Според четвъртата формула трябва да изчислите дискриминанта: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 \u003d 64. Това е положително число. От казаното по-горе се оказва, че уравнението има два корена. Те трябва да бъдат изчислени по петата формула. Според него се оказва, че x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Тогава x 1 = 3, x 2 = - 5.

Четвъртото уравнение x 2 + 8 + 3x = 0 се преобразува в това: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Неговият дискриминант е равен на тази стойност: -23. Тъй като това число е отрицателно, отговорът на тази задача ще бъде следният запис: „Няма корени“.

Петото уравнение 12x + x 2 + 36 = 0 трябва да се пренапише, както следва: x 2 + 12x + 36 = 0. След прилагане на формулата за дискриминанта се получава числото нула. Това означава, че ще има един корен, а именно: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Шестото уравнение (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) изисква трансформации, които се състоят в това, че трябва да донесете подобни членове, преди да отворите скобите. На мястото на първия ще има такъв израз: x 2 + 2x + 1. След равенство ще се появи този запис: x 2 + 3x + 2. След като се преброят подобни членове, уравнението ще придобие формата: x 2 - x \u003d 0. Стана непълна. Подобно на него вече се счита за малко по-високо. Корените на това ще бъдат числата 0 и 1.

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 или x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

След като се научих да решавам уравнения от първа степен, разбира се, искам да работя с други, по-специално с уравнения от втора степен, които иначе се наричат квадратни.

Квадратните уравнения са уравнения от типа ax² + bx + c = 0, където променливата е x, числата ще бъдат - a, b, c, където a не е равно на нула.

Ако в едно квадратно уравнение единият или другият коефициент (c или b) е равен на нула, тогава това уравнение ще се отнася до непълно квадратно уравнение.

Как да решим непълно квадратно уравнение, ако до момента учениците са успели да решават само уравнения от първа степен? Помислете за непълни квадратни уравнения различни видовеи прости начинитехните решения.

а) Ако коефициентът c е равен на 0, а коефициентът b не е равен на нула, тогава ax ² + bx + 0 = 0 се свежда до уравнение от вида ax ² + bx = 0.

За да решите такова уравнение, трябва да знаете формулата за решаване на непълно квадратно уравнение, което се състои в разлагане на лявата му част на фактори и по-късно използване на условието, че продуктът е равен на нула.

Например, 5x ² - 20x \u003d 0. Разлагаме лявата страна на уравнението на фактори, докато правим обичайното математическа операция: изваждането на общия множител от скоби

5x (x - 4) = 0

Използваме условието продуктите да са равни на нула.

5 x = 0 или x - 4 = 0

Отговорът ще бъде: първият корен е 0; вторият корен е 4.

б) Ако b = 0 и свободният член не е равен на нула, тогава уравнението ax ² + 0x + c = 0 се свежда до уравнение от формата ax ² + c = 0. Решете уравнения на две начини: а) разлагане на полинома на уравнението от лявата страна на фактори ; б) използване на свойствата на аритметичния квадратен корен. Такова уравнение се решава по един от методите, например:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. Отговорът е: първият корен е 5/2; вторият корен е - 5/2.

в) Ако b е равно на 0 и c е равно на 0, тогава ax² + 0 + 0 = 0 се свежда до уравнение от вида ax² = 0. В такова уравнение x ще бъде равно на 0.

Както можете да видите, непълните квадратни уравнения могат да имат най-много два корена.