Квадратните уравнения не са равни на нула. Квадратни уравнения

Просто. По формули и ясни прости правила. На първия етап

необходимо е даденото уравнение да се приведе в стандартния вид, т.е. към гледката:

Ако уравнението вече ви е дадено в тази форма, не е необходимо да правите първия етап. Най-важното е правилно

определете всички коефициенти а, би ° С.

Формула за намиране на корените на квадратно уравнение.

Изразът под знака корен се нарича дискриминанта . Както можете да видите, за да намерим x, ние

използвайте само a, b и c. Тези. коефициенти от квадратно уравнение. Просто внимателно поставете

стойности а, б и вв тази формула и пребройте. Заменете с техензнаци!

например, в уравнението:

а =1; б = 3; ° С = -4.

Заменете стойностите и напишете:

Примерът е почти решен:

Това е отговорът.

Най-честите грешки са объркване със знаците на ценностите а, би с. По-скоро със замяна

отрицателни стойности във формулата за изчисляване на корените. Тук подробната формула спестява

с конкретни числа. Ако има проблеми с изчисленията, направете го!

Да предположим, че трябва да решим следния пример:

Тук а = -6; б = -5; ° С = -1

Рисуваме всичко подробно, внимателно, без да пропускаме нищо с всички знаци и скоби:

Често квадратните уравнения изглеждат малко по-различно. Например, като това:

Сега обърнете внимание на практическите техники, които драстично намаляват броя на грешките.

Първи прием. Не бъдете мързеливи преди решаване на квадратно уравнениеприведете го в стандартен вид.

Какво означава това?

Да предположим, че след всякакви трансформации получавате следното уравнение:

Не бързайте да пишете формулата на корените! Почти сигурно ще объркате шансовете а, б и в.

Изградете примера правилно. Първо, x на квадрат, след това без квадрат, след това свободен член. Като този:

Отърви се от минуса. Как? Трябва да умножим цялото уравнение по -1. Получаваме:

И сега можете спокойно да запишете формулата за корените, да изчислите дискриминанта и да завършите примера.

Решете сами. Трябва да завършите с корени 2 и -1.

Втори прием.Проверете корените си! от Теоремата на Виета.

За решаване на дадените квадратни уравнения, т.е. ако коефициентът

x2+bx+c=0,

тогаваx 1 x 2 = c

x1 +x2 =−б

За пълно квадратно уравнение, в което а≠1:

х 2 +бх+° С=0,

разделете цялото уравнение на а:

→ →

където х 1и х 2 - корени на уравнението.

Прием трети. Ако вашето уравнение има дробни коефициенти, отървете се от дробите! Умножете

уравнение за общ знаменател.

Заключение. Практически съвети:

1. Преди да решим, привеждаме квадратното уравнение в стандартния вид, изграждаме го право.

2. Ако има отрицателен коефициент пред x в квадрата, ние го елиминираме, като умножим всичко

уравнения за -1.

3. Ако коефициентите са дробни, елиминираме дробите, като умножим цялото уравнение по съответния

фактор.

4. Ако x на квадрат е чисто, коефициентът за него е равен на единица, решението може лесно да се провери чрез

Формули за корените на квадратно уравнение. Разглеждат се случаите на реални, кратни и сложни корени. Разлагане на множители на квадратен трином. Геометрична интерпретация. Примери за определяне на корени и разлагане на множители.

Основни формули

Помислете за квадратното уравнение:
(1) .
Корените на квадратно уравнение(1) се определят по формулите:
; .
Тези формули могат да се комбинират по следния начин:
.
Когато корените на квадратното уравнение са известни, тогава полиномът от втора степен може да бъде представен като продукт на фактори (факторирани):
.

Освен това приемаме, че това са реални числа.
Обмисли дискриминант на квадратно уравнение:
.
Ако дискриминантът е положителен, тогава квадратното уравнение (1) има два различни реални корена:
; .
Тогава факторизацията на квадратния трином има формата:
.
Ако дискриминантът е нула, тогава квадратното уравнение (1) има два кратни (равни) реални корена:
.
Факторизация:
.
Ако дискриминантът е отрицателен, тогава квадратното уравнение (1) има два комплексно спрегнати корена:
;
.
Ето въображаемата единица, ;
и са реалните и въображаемите части на корените:
; .
Тогава

.

Графична интерпретация

Ако графично изобразим функцията
,
което е парабола, тогава точките на пресичане на графиката с оста ще бъдат корените на уравнението
.
Когато , графиката пресича оста на абсцисата (ос) в две точки.
Когато , графиката докосва оста x в една точка.
Когато , графиката не пресича оста x.

По-долу са дадени примери за такива графики.

Полезни формули, свързани с квадратно уравнение

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Извеждане на формулата за корените на квадратно уравнение

Извършваме трансформации и прилагаме формули (f.1) и (f.3):




,
където
; .

И така, получихме формулата за полинома от втора степен във формата:
.
От това се вижда, че уравнението

извършено при
и .
Тоест и са корените на квадратното уравнение
.

Примери за определяне на корените на квадратно уравнение

Пример 1

(1.1) .

Решение

.
Сравнявайки с нашето уравнение (1.1), намираме стойностите на коефициентите:
.
Намиране на дискриминанта:
.
Тъй като дискриминантът е положителен, уравнението има два реални корена:
;
;
.

От тук получаваме разлагането на квадратния трином на фактори:

.

Графика на функцията y = 2 x 2 + 7 x + 3пресича оста х в две точки.

Нека начертаем функцията
.
Графиката на тази функция е парабола. Тя пресича оста x (ос) в две точки:
и .
Тези точки са корените на първоначалното уравнение (1.1).

Отговор

;
;
.

Пример 2

Намерете корените на квадратно уравнение:
(2.1) .

Решение

Записваме квадратното уравнение в общ вид:
.
Сравнявайки с оригиналното уравнение (2.1), намираме стойностите на коефициентите:
.
Намиране на дискриминанта:
.
Тъй като дискриминантът е нула, уравнението има два кратни (равни) корена:
;
.

Тогава факторизацията на тричлена има формата:
.

Графика на функцията y = x 2 - 4 х + 4докосва оста x в една точка.

Нека начертаем функцията
.
Графиката на тази функция е парабола. Докосва оста x (ос) в една точка:
.
Тази точка е коренът на първоначалното уравнение (2.1). Тъй като този корен е разложен на множители два пъти:
,
тогава такъв корен се нарича кратен. Тоест те смятат, че има два равни корена:
.

Отговор

;
.

Пример 3

Намерете корените на квадратно уравнение:
(3.1) .

Решение

Записваме квадратното уравнение в общ вид:
(1) .
Нека пренапишем първоначалното уравнение (3.1):
.
Сравнявайки с (1), намираме стойностите на коефициентите:
.
Намиране на дискриминанта:
.
Дискриминантът е отрицателен, . Следователно няма истински корени.

Можете да намерите сложни корени:
;
;
.

Тогава


.

Графиката на функцията не пресича оста x. Няма истински корени.

Нека начертаем функцията
.
Графиката на тази функция е парабола. Не пресича абсцисата (ос). Следователно няма истински корени.

Отговор

Няма истински корени. Сложни корени:
;
;
.

Квадратно уравнение - лесно за решаване! *По-нататък в текста "КУ".Приятели, изглежда, че в математиката може да бъде по-лесно от решаването на такова уравнение. Но нещо ми подсказа, че много хора имат проблеми с него. Реших да видя колко импресии дава Yandex на заявка на месец. Ето какво се случи, вижте:

Какво означава? Това означава, че около 70 000 души на месец търсят тази информация, а това е лято, а какво ще се случи през учебната година – ще има двойно повече искания. Това не е изненадващо, защото онези момчета и момичета, които отдавна са завършили училище и се подготвят за изпита, търсят тази информация, а учениците също се опитват да освежат паметта си.

Въпреки факта, че има много сайтове, които разказват как да се реши това уравнение, реших също да допринеса и да публикувам материала. Първо, искам посетителите да идват на моя сайт по тази заявка; второ, в други статии, когато се появи речта „KU“, ще дам връзка към тази статия; трето, ще ви разкажа малко повече за неговото решение, отколкото обикновено се посочва в други сайтове. Да започваме!Съдържанието на статията:

Квадратното уравнение е уравнение от вида:

където коефициентите а,би с произволни числа, с a≠0.

В училищния курс материалът се дава в следната форма - разделянето на уравненията на три класа се извършва условно:

1. Има два корена.

2. * Имат само един корен.

3. Нямат корени. Тук си струва да се отбележи, че те нямат истински корени

Как се изчисляват корените? Просто!

Изчисляваме дискриминанта. Под тази "ужасна" дума се крие много проста формула:

Основните формули са както следва:

*Тези формули трябва да се знаят наизуст.

Можете веднага да запишете и решите:

пример:

1. Ако D > 0, тогава уравнението има два корена.

2. Ако D = 0, тогава уравнението има един корен.

3. Ако D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Нека да разгледаме уравнението:

По този повод, когато дискриминантът е нула, училищният курс казва, че се получава един корен, тук той е равен на девет. Така е, така е, но...

Това представяне е донякъде неправилно. Всъщност корените са два. Да, да, не се учудвайте, оказват се два равни корена и за да бъдем математически точни, тогава в отговора трябва да бъдат написани два корена:

х 1 = 3 х 2 = 3

Но това е така - малко отклонение. В училище можете да запишете и да кажете, че има само един корен.

Сега следният пример:

Както знаем, коренът на отрицателно число не се извлича, така че в този случай няма решение.

Това е целият процес на вземане на решение.

Квадратична функция.

Ето как изглежда решението геометрично. Това е изключително важно да се разбере (в бъдеще, в една от статиите, ще анализираме подробно решението на квадратно неравенство).

Това е функция на формата:

където x и y са променливи

a, b, c са дадени числа, където a ≠ 0

Графиката е парабола:

Тоест, оказва се, че чрез решаване на квадратно уравнение с "y" равно на нула, намираме пресечните точки на параболата с оста x. Може да има две от тези точки (дискриминантът е положителен), една (дискриминантът е нула) или нито една (дискриминантът е отрицателен). Повече за квадратичната функция Можете да видитестатия от Инна Фелдман.

Помислете за примери:

Пример 1: Решете 2x 2 +8 х–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Отговор: x 1 = 8 x 2 = -12

* Можете веднага да разделите лявата и дясната част на уравнението на 2, тоест да го опростите. Изчисленията ще бъдат по-лесни.

Пример 2: Реши x2–22 х+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Получаваме, че x 1 = 11 и x 2 = 11

В отговора е допустимо да се напише x = 11.

Отговор: x = 11

Пример 3: Реши x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Дискриминантът е отрицателен, няма решение в реални числа.

Отговор: няма решение

Дискриминантът е отрицателен. Има решение!

Тук ще говорим за решаване на уравнението в случай, когато се получи отрицателен дискриминант. Знаете ли нещо за комплексните числа? Тук няма да се впускам в подробности защо и къде са възникнали и каква е тяхната специфична роля и необходимост в математиката, това е тема за голяма отделна статия.

Концепцията за комплексно число.

Малко теория.

Комплексното число z е число от формата

z = a + bi

където a и b са реални числа, i е така наречената въображаема единица.

a+bi е ЕДИНИЧНО ЧИСЛО, а не допълнение.

Въображаемата единица е равна на корен от минус едно:

Сега помислете за уравнението:

Вземете два спрегнати корена.

Непълно квадратно уравнение.

Помислете за специални случаи, когато коефициентът "b" или "c" е равен на нула (или и двата са равни на нула). Решават се лесно без никакви дискриминации.

Случай 1. Коефициент b = 0.

Уравнението приема формата:

Нека трансформираме:

пример:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Случай 2. Коефициент c = 0.

Уравнението приема формата:

Преобразувайте, разлагайте на множители:

*Произведението е равно на нула, когато поне един от факторите е равен на нула.

пример:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 или x–5 =0

х 1 = 0 х 2 = 5

Случай 3. Коефициенти b = 0 и c = 0.

Тук е ясно, че решението на уравнението винаги ще бъде x = 0.

Полезни свойства и модели на коефициенти.

Има свойства, които позволяват решаване на уравнения с големи коефициенти.

ах 2 + bx+ ° С=0 равенство

а + б+ c = 0,тогава

— ако за коефициентите на уравнението ах 2 + bx+ ° С=0 равенство

а+ с =б, тогава

Тези свойства помагат за решаването на определен вид уравнение.

Пример 1: 5001 х 2 –4995 х – 6=0

Сборът на коефициентите е 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, така че

Пример 2: 2501 х 2 +2507 х+6=0

Равенство а+ с =б, означава

Закономерности на коефициентите.

1. Ако в уравнението ax 2 + bx + c \u003d 0 коефициентът "b" е (a 2 +1), а коефициентът "c" е числено равен на коефициента "a", тогава неговите корени са

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Пример. Разгледайте уравнението 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 = -6 x 2 = -1/6.

2. Ако в уравнението ax 2 - bx + c \u003d 0, коефициентът "b" е (a 2 +1), а коефициентът "c" е числено равен на коефициента "a", тогава неговите корени са

брадва 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Пример. Да разгледаме уравнението 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Ако в уравнението ax 2 + bx - c = 0 коефициент "b" равно (а 2 – 1), и коефициент „c“ числено равно на коефициента "а", тогава корените му са равни

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Пример. Помислете за уравнението 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 = - 17 x 2 = 1/17.

4. Ако в уравнението ax 2 - bx - c \u003d 0, коефициентът "b" е равен на (a 2 - 1), а коефициентът c е числено равен на коефициента "a", тогава неговите корени са

брадва 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Пример. Помислете за уравнението 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = - 1/10

Теоремата на Виета.

Теоремата на Виета е кръстена на известния френски математик Франсоа Виета. Използвайки теоремата на Виета, може да се изрази сумата и произведението на корените на произволен KU по отношение на неговите коефициенти.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Накратко, числото 14 дава само 5 и 9. Това са корените. С определено умение, използвайки представената теорема, можете да решите много квадратни уравнения веднага устно.

Освен това теоремата на Виета. удобно, защото след решаване на квадратното уравнение по обичайния начин (чрез дискриминанта), получените корени могат да бъдат проверени. Препоръчвам да правите това през цялото време.

НАЧИН НА ПРЕХВЪРЛЯНЕ

При този метод коефициентът "а" се умножава по свободния член, сякаш "прехвърлен" към него, поради което се нарича метод на трансфер.Този метод се използва, когато е лесно да се намерят корените на уравнение с помощта на теоремата на Vieta и най-важното, когато дискриминантът е точен квадрат.

Ако а± b+c≠ 0, тогава се използва техниката на трансфер, например:

2х 2 – 11х+ 5 = 0 (1) => х 2 – 11х+ 10 = 0 (2)

Според теоремата на Vieta в уравнение (2) е лесно да се определи, че x 1 = 10 x 2 = 1

Получените корени на уравнението трябва да се разделят на 2 (тъй като двете са „хвърлени“ от x 2), получаваме

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Каква е обосновката? Вижте какво става.

Дискриминантите на уравнения (1) и (2) са:

Ако погледнете корените на уравненията, тогава се получават само различни знаменатели и резултатът зависи точно от коефициента при x 2:

Вторите (модифицирани) корени са 2 пъти по-големи.

Следователно разделяме резултата на 2.

*Ако хвърлим три от вида, тогава разделяме резултата на 3 и т.н.

Отговор: x 1 = 5 x 2 = 0,5

кв. ур-т.е. и изпита.

Ще кажа накратко за важността му - ТРЯБВА ДА МОЖЕТЕ ДА РЕШИТЕ ​​бързо и без да се замисляте, трябва да знаете наизуст формулите на корените и дискриминанта. Много от задачите, които са част от задачите на USE, се свеждат до решаване на квадратно уравнение (включително геометрични).

Какво си заслужава да се отбележи!

1. Формата на уравнението може да бъде "неявна". Например, следният запис е възможен:

15+ 9x 2 - 45x = 0 или 15x+42+9x 2 - 45x=0 или 15 -5x+10x 2 = 0.

Трябва да го приведете в стандартна форма (за да не се объркате при решаването).

2. Не забравяйте, че x е неизвестна стойност и може да се обозначи с всяка друга буква - t, q, p, h и други.

Тази тема може да изглежда сложна в началото поради многото не толкова прости формули. Самите квадратни уравнения не само имат дълги записи, но и корените се намират чрез дискриминанта. Има общо три нови формули. Не е много лесно за запомняне. Това е възможно само след честото решаване на такива уравнения. Тогава всички формули ще бъдат запомнени сами.

Общ изглед на квадратното уравнение

Тук се предлага тяхното изрично обозначение, когато първо се записва най-голямата степен, а след това - в низходящ ред. Често има ситуации, когато термините стоят отделно. Тогава е по-добре да пренапишете уравнението в низходящ ред на степента на променливата.

Нека въведем нотация. Те са представени в таблицата по-долу.

Ако приемем тези обозначения, всички квадратни уравнения се свеждат до следната нотация.

Освен това коефициентът a ≠ 0. Нека тази формула се обозначи с номер едно.

Когато е дадено уравнението, не е ясно колко корена ще има в отговора. Защото винаги е възможна една от трите опции:

• разтворът ще има два корена;
• отговорът ще бъде едно число;
• Уравнението изобщо няма корени.

И докато решението не е доведено до края, е трудно да се разбере кой от вариантите ще изпадне в конкретен случай.

Видове записи на квадратни уравнения

Задачите може да имат различни записи. Те не винаги ще изглеждат като общата формула на квадратно уравнение. Понякога ще му липсват някои термини. Това, което беше написано по-горе, е пълното уравнение. Ако премахнете втория или третия термин в него, получавате нещо друго. Тези записи се наричат ​​още квадратни уравнения, само че непълни.

Освен това могат да изчезнат само термините, за които коефициентите "b" и "c". Числото "а" не може да бъде равно на нула при никакви обстоятелства. Защото в този случай формулата се превръща в линейно уравнение. Формулите за непълния вид на уравненията ще бъдат както следва:

И така, има само два вида, освен пълни, има и непълни квадратни уравнения. Нека първата формула е номер две, а втората - номер три.

Дискриминантът и зависимостта на броя на корените от неговата стойност

Това число трябва да се знае, за да се изчислят корените на уравнението. Винаги може да се изчисли, без значение каква е формулата на квадратното уравнение. За да изчислите дискриминанта, трябва да използвате равенството, написано по-долу, което ще има числото четири.

След като замените стойностите на коефициентите в тази формула, можете да получите числа с различни знаци. Ако отговорът е да, тогава отговорът на уравнението ще бъде два различни корена. При отрицателно число корените на квадратното уравнение ще отсъстват. Ако е равно на нула, отговорът ще бъде единица.

Как се решава пълно квадратно уравнение?

Всъщност разглеждането на този въпрос вече е започнало. Защото първо трябва да намерите дискриминанта. След като се изясни, че има корени на квадратното уравнение и техният брой е известен, трябва да използвате формулите за променливите. Ако има два корена, тогава трябва да приложите такава формула.

Тъй като съдържа знака „±“, ще има две стойности. Изразът под знака квадратен корен е дискриминантът. Следователно формулата може да бъде пренаписана по различен начин.

Формула пет. От същия запис може да се види, че ако дискриминантът е нула, тогава и двата корена ще приемат едни и същи стойности.

Ако решението на квадратните уравнения все още не е разработено, тогава е по-добре да запишете стойностите на всички коефициенти, преди да приложите дискриминантните и променливите формули. По-късно този момент няма да причини затруднения. Но в самото начало има объркване.

Как се решава непълно квадратно уравнение?

Тук всичко е много по-просто. Дори няма нужда от допълнителни формули. И няма да имате нужда от вече написани за дискриминантното и непознатото.

Първо, разгледайте непълното уравнение номер две. В това равенство се предполага да се извади неизвестното количество от скобите и да се реши линейното уравнение, което ще остане в скобите. Отговорът ще има два корена. Първият е задължително равен на нула, тъй като има фактор, състоящ се от самата променлива. Второто се получава чрез решаване на линейно уравнение.

Непълното уравнение на номер три се решава чрез прехвърляне на числото от лявата страна на уравнението в дясната. След това трябва да разделите на коефициента пред неизвестното. Остава само да извлечете квадратния корен и не забравяйте да го запишете два пъти с противоположни знаци.

Следват някои действия, които ви помагат да се научите как да решавате всички видове равенства, които се превръщат в квадратни уравнения. Те ще помогнат на ученика да избегне грешки поради невнимание. Тези недостатъци са причина за слабите оценки при изучаване на обширната тема „Квадрични уравнения (8 клас)”. Впоследствие тези действия няма да е необходимо да се извършват постоянно. Защото ще има стабилен навик.

• Първо трябва да напишете уравнението в стандартен вид. Тоест първо членът с най-голяма степен на променливата, а след това - без степента и последното - само число.

• Ако пред коефициента "a" се появи минус, тогава това може да усложни работата на начинаещ да изучава квадратни уравнения. По-добре е да се отървете от него. За тази цел цялото равенство трябва да се умножи по "-1". Това означава, че всички термини ще променят знака на противоположния.

• По същия начин се препоръчва да се отървете от фракциите. Просто умножете уравнението по подходящия фактор, така че знаменателите да се компенсират.

Примери

Необходимо е да се решат следните квадратни уравнения:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Първото уравнение: x 2 - 7x \u003d 0. То е непълно, следователно се решава, както е описано за формула номер две.

След поставяне на скоби се оказва: x (x - 7) = 0.

Първият корен приема стойността: x 1 \u003d 0. Вторият ще бъде намерен от линейното уравнение: x - 7 = 0. Лесно е да се види, че x 2 = 7.

Второ уравнение: 5x2 + 30 = 0. Отново непълно. Само то се решава както е описано за третата формула.

След като прехвърлите 30 в дясната страна на уравнението: 5x 2 = 30. Сега трябва да разделите на 5. Оказва се: x 2 = 6. Отговорите ще бъдат числа: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Трето уравнение: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Тук и по-долу решението на квадратни уравнения ще започне, като ги пренапише в стандартен вид: - x 2 - 2x + 15 = 0. Сега е време да използвате второто полезен съвет и умножете всичко по минус едно. Оказва се x 2 + 2x - 15 = 0. Според четвъртата формула трябва да изчислите дискриминанта: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 \u003d 64. Това е положително число. От казаното по-горе се оказва, че уравнението има два корена. Те трябва да бъдат изчислени по петата формула. Според него се оказва, че x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Тогава x 1 = 3, x 2 = - 5.

Четвъртото уравнение x 2 + 8 + 3x = 0 се преобразува в това: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Неговият дискриминант е равен на тази стойност: -23. Тъй като това число е отрицателно, отговорът на тази задача ще бъде следният запис: „Няма корени“.

Петото уравнение 12x + x 2 + 36 = 0 трябва да се пренапише, както следва: x 2 + 12x + 36 = 0. След прилагане на формулата за дискриминанта се получава числото нула. Това означава, че ще има един корен, а именно: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Шестото уравнение (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) изисква трансформации, които се състоят в това, че трябва да донесете подобни членове, преди да отворите скобите. На мястото на първия ще има такъв израз: x 2 + 2x + 1. След равенство ще се появи този запис: x 2 + 3x + 2. След като се преброят подобни членове, уравнението ще придобие формата: x 2 - x \u003d 0. Стана непълна. Подобно на него вече се счита за малко по-високо. Корените на това ще бъдат числата 0 и 1.

В съвременното общество способността да се работи с уравнения, съдържащи квадратна променлива, може да бъде полезна в много области на дейност и се използва широко в практиката в научните и технически разработки. Това може да се докаже от проектирането на морски и речни кораби, самолети и ракети. С помощта на такива изчисления се определят траекториите на движение на различни тела, включително космически обекти. Примери с решение на квадратни уравнения се използват не само в икономическото прогнозиране, при проектирането и строителството на сгради, но и в най-обикновени ежедневни обстоятелства. Те може да са необходими при къмпинг пътувания, на спортни събития, в магазини при пазаруване и в други много често срещани ситуации.

Нека разделим израза на компонентни фактори

Степента на уравнение се определя от максималната стойност на степента на променливата, която съдържа дадения израз. Ако е равно на 2, тогава такова уравнение се нарича квадратно уравнение.

Ако говорим на езика на формулите, тогава тези изрази, независимо как изглеждат, винаги могат да бъдат приведени във вида, когато лявата страна на израза се състои от три термина. Сред тях: ax 2 (тоест променлива на квадрат с нейния коефициент), bx (неизвестно без квадрат с неговия коефициент) и c (свободен компонент, тоест обикновено число). Всичко това от дясната страна е равно на 0. В случай, че такъв полином няма нито един от съставните му членове, с изключение на акси 2, той се нарича непълно квадратно уравнение. Първо трябва да се разгледат примери с решение на такива задачи, при които не е трудно да се намери стойността на променливите.

Ако изразът изглежда така, сякаш има два члена от дясната страна на израза, по-точно ax 2 и bx, най-лесно е да намерите x, като поставите променливата в скоби. Сега нашето уравнение ще изглежда така: x(ax+b). Освен това става очевидно, че или x=0, или задачата се свежда до намиране на променлива от следния израз: ax+b=0. Това е продиктувано от едно от свойствата на умножението. Правилото гласи, че произведението на два фактора води до 0 само ако единият от тях е нула.

Пример

x=0 или 8x - 3 = 0

В резултат на това получаваме два корена на уравнението: 0 и 0,375.

Уравнения от този вид могат да опишат движението на телата под действието на гравитацията, които са започнали да се движат от определена точка, взета за начало. Тук математическата нотация приема следната форма: y = v 0 t + gt 2 /2. Чрез заместване на необходимите стойности, приравняване на дясната страна към 0 и намиране на възможни неизвестни, можете да разберете времето, изминало от момента на издигане на тялото до момента на падане, както и много други величини. Но за това ще говорим по-късно.

Факторизиране на израз

Правилото, описано по-горе, прави възможно решаването на тези проблеми в по-сложни случаи. Разгледайте примери с решението на квадратни уравнения от този тип.

X2 - 33x + 200 = 0

Този квадратен трином е пълен. Първо, трансформираме израза и го разлагаме на фактори. Има два от тях: (x-8) и (x-25) = 0. В резултат на това имаме два корена 8 и 25.

Примери с решение на квадратни уравнения в клас 9 позволяват на този метод да намери променлива в изрази не само от втори, но дори и от трети и четвърти порядък.

Например: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Когато разлагате дясната страна на фактори с променлива, има три от тях, тоест (x + 1), (x-3) и (x + 3).

В резултат на това става очевидно, че това уравнение има три корена: -3; -един; 3.

Извличане на квадратен корен

Друг случай на непълно уравнение от втори ред е израз, написан на езика на буквите по такъв начин, че дясната страна е изградена от компонентите ax 2 и c. Тук, за да се получи стойността на променливата, свободният член се прехвърля в дясната страна и след това квадратният корен се извлича от двете страни на равенството. Трябва да се отбележи, че в този случай обикновено има два корена на уравнението. Единствените изключения са равенствата, които изобщо не съдържат термина c, където променливата е равна на нула, както и варианти на изрази, когато дясната страна се окаже отрицателна. В последния случай изобщо няма решения, тъй като горните действия не могат да се извършват с корени. Трябва да се разгледат примери за решения на квадратни уравнения от този тип.

В този случай корените на уравнението ще бъдат числата -4 и 4.

Изчисляване на площта на земята

Необходимостта от този вид изчисления се появи в древни времена, тъй като развитието на математиката в онези далечни времена до голяма степен се дължи на необходимостта да се определят площите и периметрите на парцелите с най-голяма точност.

Трябва да разгледаме и примери с решението на квадратни уравнения, съставени на базата на задачи от този вид.

И така, да кажем, че има правоъгълно парче земя, чиято дължина е с 16 метра повече от ширината. Трябва да намерите дължината, ширината и периметъра на обекта, ако е известно, че неговата площ е 612 m 2.

Като се заемем с работата, първо ще направим необходимото уравнение. Нека обозначим ширината на секцията като x, тогава нейната дължина ще бъде (x + 16). От написаното следва, че площта се определя от израза x (x + 16), който според условието на нашата задача е 612. Това означава, че x (x + 16) \u003d 612.

Решаването на пълни квадратни уравнения, а този израз е точно това, не може да се направи по същия начин. Защо? Въпреки че лявата му страна все още съдържа два фактора, произведението от тях изобщо не е 0, така че тук се използват други методи.

Дискриминанта

На първо място, ще направим необходимите трансформации, след което външният вид на този израз ще изглежда така: x 2 + 16x - 612 = 0. Това означава, че сме получили израз във формата, съответстваща на предварително посочения стандарт, където a=1, b=16, c= -612.

Това може да бъде пример за решаване на квадратни уравнения чрез дискриминанта. Тук се правят необходимите изчисления по схемата: D = b 2 - 4ac. Тази помощна стойност не само дава възможност да се намерят желаните стойности в уравнението от втори ред, но и определя броя на възможните опции. В случай D>0 има две от тях; за D=0 има един корен. В случай Д<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

За корените и тяхната формула

В нашия случай дискриминантът е: 256 - 4(-612) = 2704. Това показва, че нашият проблем има отговор. Ако знаете, решението на квадратни уравнения трябва да продължи с формулата по-долу. Позволява ви да изчислите корените.

Това означава, че в представения случай: x 1 =18, x 2 =-34. Вторият вариант в тази дилема не може да бъде решение, тъй като размерът на парцела не може да бъде измерен в отрицателни стойности, което означава, че x (тоест ширината на парцела) е 18 м. От тук изчисляваме дължината: 18+16=34, а периметърът 2(34+ 18) = 104 (m 2).

Примери и задачи

Продължаваме изучаването на квадратните уравнения. По-долу ще бъдат дадени примери и подробно решение на няколко от тях.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Нека прехвърлим всичко в лявата част на равенството, направим трансформация, тоест получаваме формата на уравнението, която обикновено се нарича стандартна, и го приравняваме на нула.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

След като добавихме подобни, определяме дискриминанта: D = 49 - 48 = 1. Така че нашето уравнение ще има два корена. Изчисляваме ги по горната формула, което означава, че първият от тях ще бъде равен на 4/3, а вторият на 1.

2) Сега ще разкрием гатанки от различен вид.

Нека разберем дали тук изобщо има корени x 2 - 4x + 5 = 1? За да получим изчерпателен отговор, привеждаме полинома в съответната позната форма и изчисляваме дискриминанта. В този пример не е необходимо да се решава квадратното уравнение, тъй като същността на проблема изобщо не е в това. В този случай D \u003d 16 - 20 \u003d -4, което означава, че наистина няма корени.

Теоремата на Виета

Удобно е да се решават квадратни уравнения чрез горните формули и дискриминанта, когато от стойността на последния се извлича квадратен корен. Но това не винаги се случва. Въпреки това, има много начини да получите стойностите на променливите в този случай. Пример: решаване на квадратни уравнения с помощта на теоремата на Виета. Той е кръстен на човек, който е живял във Франция от 16-ти век и е имал брилянтна кариера благодарение на своя математически талант и връзки в двора. Неговият портрет може да се види в статията.

Моделът, който известният французин забеляза, беше следният. Той доказа, че сумата от корените на уравнението е равна на -p=b/a, а тяхното произведение съответства на q=c/a.

Сега нека разгледаме конкретни задачи.

3x2 + 21x - 54 = 0

За простота, нека трансформираме израза:

x 2 + 7x - 18 = 0

Използвайки теоремата на Виета, това ще ни даде следното: сумата от корените е -7, а произведението им е -18. От тук получаваме, че корените на уравнението са числата -9 и 2. След като направихме проверка, ще се уверим, че тези стойности на променливите наистина се вписват в израза.

Графика и уравнение на парабола

Понятията за квадратна функция и квадратни уравнения са тясно свързани. Примери за това вече бяха дадени по-рано. Сега нека разгледаме някои математически пъзели малко по-подробно. Всяко уравнение от описания тип може да бъде представено визуално. Такава зависимост, начертана под формата на графика, се нарича парабола. Различните му видове са показани на фигурата по-долу.

Всяка парабола има връх, тоест точка, от която излизат нейните клонове. Ако a>0, те отиват високо до безкрайност, а когато a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Визуалните представяния на функциите помагат за решаването на всякакви уравнения, включително и квадратни. Този метод се нарича графичен. И стойността на променливата x е координатата на абсцисата в точките, където линията на графиката се пресича с 0x. Координатите на върха могат да бъдат намерени по формулата, която току-що е дадена x 0 = -b / 2a. И, замествайки получената стойност в оригиналното уравнение на функцията, можете да разберете y 0, тоест втората координата на върха на параболата, принадлежаща на оста y.

Пресечната точка на клоните на параболата с оста на абсцисата

Има много примери с решението на квадратни уравнения, но има и общи модели. Нека ги разгледаме. Ясно е, че пресичането на графиката с оста 0x за a>0 е възможно само ако y 0 приема отрицателни стойности. И за а<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. В противен случай D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

От графиката на парабола можете също да определите корените. Обратното също е вярно. Тоест, ако не е лесно да се получи визуално представяне на квадратична функция, можете да приравните дясната страна на израза към 0 и да решите полученото уравнение. И като се знаят точките на пресичане с оста 0x, е по-лесно да се начертае.

От историята

С помощта на уравнения, съдържащи квадратна променлива, в старите времена не само правеха математически изчисления и определяха площта на геометричните фигури. Древните са имали нужда от такива изчисления за грандиозни открития в областта на физиката и астрономията, както и за правене на астрологични прогнози.

Както предполагат съвременните учени, жителите на Вавилон са сред първите, които решават квадратни уравнения. Това се случи четири века преди настъпването на нашата ера. Разбира се, техните изчисления бяха коренно различни от приетите в момента и се оказаха много по-примитивни. Например месопотамските математици нямаха представа за съществуването на отрицателни числа. Те също не бяха запознати с други тънкости от тези, известни на всеки ученик от нашето време.

Може би дори по-рано от учените от Вавилон, мъдрецът от Индия, Баудаяма, се зае с решението на квадратните уравнения. Това се случило около осем века преди настъпването на ерата на Христос. Вярно е, че уравненията от втори ред, методите за решаване на които той даде, бяха най-простите. Освен него, китайските математици също са се интересували от подобни въпроси навремето. В Европа квадратните уравнения започват да се решават едва в началото на 13-ти век, но по-късно те са използвани в работата си от такива велики учени като Нютон, Декарт и много други.