Как да дефинирате идентично равен израз. Идентичностни трансформации на изрази

Основни свойства на събиране и умножение на числа.

Комутативно свойство на събиране: когато членовете са пренаредени, стойността на сумата не се променя. За произволни числа a и b равенството е вярно

Асоциативно свойство на събиране: за да добавите трето число към сбора от две числа, можете да добавите сумата от второто и третото към първото число. За произволни числа a, b и c равенството е вярно

Комутативно свойство на умножението: пермутацията на фактори не променя стойността на произведението. За произволни числа a, b и c, равенството е вярно

Асоциативното свойство на умножението: за да умножите произведението на две числа по трето число, можете да умножите първото число по произведението на второто и третото.

За произволни числа a, b и c, равенството е вярно

Разпределително свойство: За да умножите число по сума, можете да умножите това число по всеки член и да добавите резултатите. За произволни числа a, b и c равенството е вярно

От комутативните и асоциативните свойства на събирането следва, че във всяка сума можете да пренаредите членовете както желаете и да ги комбинирате в групи по произволен начин.

Пример 1. Нека изчислим сумата 1,23+13,5+4,27.

За да направите това, е удобно да комбинирате първия термин с третия. Получаваме:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Това следва от комутативните и асоциативните свойства на умножението: във всеки продукт можете да пренаредите факторите по всякакъв начин и произволно да ги комбинирате в групи.

Пример 2. Да намерим стойността на произведението 1,8 0,25 64 0,5.

Комбинирайки първия фактор с четвъртия и втория с третия, ще имаме:

1,8 0,25 64 0,5 = (1,8 0,5) (0,25 64) = 0,9 16 = 14,4.

Свойството за разпределение е валидно и когато числото се умножи по сбора от три или повече члена.

Например, за произволни числа a, b, c и d, равенството е вярно

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

Знаем, че изваждането може да бъде заменено със събиране чрез добавяне към минуса на числото, противоположно на изваждането:

Това позволява числов израз тип a-bразгледайте сумата от числа a и -b, разгледайте числов израз от вида a + b-c-d като сбор от числа a, b, -c, -d и т. н. Разгледаните свойства на действия са валидни и за такива суми.

Пример 3 Нека намерим стойността на израза 3,27-6,5-2,5+1,73.

Този израз е сборът от числата 3,27, -6,5, -2,5 и 1,73. Прилагайки свойствата за събиране, получаваме: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -4.

Пример 4. Нека изчислим произведението 36·().

Множителят може да се разглежда като сбор от числата и -. Използвайки разпределителното свойство на умножението, получаваме:

36()=36-36=9-10=-1.

Самоличности

Определение. Два израза, чиито съответни стойности са равни за всяка стойност на променливите, се казва, че са идентично равни.

Определение. Равенство, което е вярно за всякакви стойности на променливите, се нарича идентичност.

Нека намерим стойностите на изразите 3(x+y) и 3x+3y за x=5, y=4:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3 5+3 4=15+12=27.

Получихме същия резултат. От разпределителното свойство следва, че като цяло за всякакви стойности на променливите съответните стойности на изразите 3(x+y) и 3x+3y са равни.

Помислете сега за изразите 2x+y и 2xy. За x=1, y=2 те приемат равни стойности:

Можете обаче да посочите стойности на x и y, така че стойностите на тези изрази да не са равни. Например, ако x=3, y=4, тогава

Изразите 3(x+y) и 3x+3y са идентично равни, но изразите 2x+y и 2xy не са идентично равни.

Равенството 3(x+y)=x+3y, вярно за всякакви стойности на x и y, е идентичност.

Истинските числови равенства също се считат за идентичности.

И така, идентичностите са равенства, изразяващи основните свойства на действията върху числата:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Могат да бъдат дадени и други примери за самоличности:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a 1=a, a (-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Идентичностни трансформации на изрази

Замяната на един израз с друг, идентично равен на него, се нарича идентична трансформация или просто трансформация на израз.

Преобразуването на идентичност на изрази с променливи се извършва въз основа на свойствата на операциите с числа.

За да намерите стойността на израза xy-xz при стойностите x, y, z, трябва да изпълните три стъпки. Например, с x=2.3, y=0.8, z=0.2 получаваме:

xy-xz=2,3 0,8-2,3 0,2=1,84-0,46=1,38.

Този резултат може да бъде получен само в две стъпки, като се използва изразът x(y-z), който е идентично равен на израза xy-xz:

xy-xz=2.3(0.8-0.2)=2.3 0.6=1.38.

Опростихме изчисленията, като заменихме израза xy-xz с идентичния равно изражение x(y-z).

Трансформациите на идентичност на изразите се използват широко при изчисляване на стойностите на изразите и решаване на други проблеми. Вече са извършени някои идентични трансформации, например намаляване на подобни термини, отваряне на скоби. Припомнете си правилата за извършване на тези трансформации:

за да изведете подобни термини, трябва да добавите техните коефициенти и да умножите резултата по общата буквена част;

ако има знак плюс пред скобите, тогава скобите могат да бъдат пропуснати, като се запази знакът на всеки термин, затворен в скоби;

ако има знак минус преди скобите, тогава скобите могат да бъдат пропуснати чрез промяна на знака на всеки термин, затворен в скоби.

Пример 1 Нека съберем подобни членове в сумата 5x+2x-3x.

Използваме правилото за намаляване на подобни термини:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Тази трансформация се основава на разпределителното свойство на умножението.

Пример 2 Нека разширим скобите в израза 2a+(b-3c).

Прилагане на правилото за отваряне на скоби, предшествани от знак плюс:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Извършената трансформация се основава на асоциативното свойство на събиране.

Пример 3 Нека разширим скобите в израза a-(4b-c).

Нека използваме правилото за разширяване на скоби, предшествано от знак минус:

a-(4b-c)=a-4b+c.

Извършеното преобразуване се основава на разпределителното свойство на умножението и асоциативното свойство на събирането. Нека го покажем. Нека представим втория член -(4b-c) в този израз като продукт (-1)(4b-c):

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Прилагайки тези свойства на действията, получаваме:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

§ 2. Изрази на идентичност, идентичност. Трансформация на идентичност на израз. Доказателства за самоличност

Нека намерим стойностите на изразите 2(x - 1) 2x - 2 за дадените стойности на променливата x. Записваме резултатите в таблица:

Може да се заключи, че стойностите на изразите 2(x - 1) 2x - 2 за всеки дадена стойностпроменливата x са равни една на друга. Съгласно разпределителното свойство на умножението по отношение на изваждането 2(x - 1) = 2x - 2. Следователно за всяка друга стойност на променливата x стойността на израза 2(x - 1) 2x - 2 също ще бъде равни една на друга. Такива изрази се наричат идентично равни.

Например изразите 2x + 3x и 5x са синоними, тъй като за всяка стойност на променливата x тези изрази придобиват същите стойности(това следва от разпределителното свойство на умножението по отношение на събирането, тъй като 2x + 3x = 5x).

Помислете сега за изразите 3x + 2y и 5xy. Ако x = 1 и b = 1, тогава съответните стойности на тези изрази са равни една на друга:

3x + 2y \u003d 3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 = 5; 5xy = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.

Можете обаче да посочите стойности на x и y, за които стойностите на тези изрази няма да са равни една на друга. Например, ако x = 2; y = 0, тогава

3x + 2y = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5xy = 5 ∙ 20 = 0.

Следователно има такива стойности на променливите, за които съответните стойности на изразите 3x + 2y и 5xy не са равни една на друга. Следователно изразите 3x + 2y и 5xy не са идентично равни.

Въз основа на гореизложеното, идентичностите по-специално са равенства: 2(x - 1) = 2x - 2 и 2x + 3x = 5x.

Идентичността е всяко равенство, което е написано известни свойствадействия върху числата. Например,

a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a(b + c) = ab + ac;

ab = ba; (ab)c = a(bc); a(b - c) = ab - ac.

Съществуват и такива равенства като идентичности:

а + 0 = а; a ∙ 0 = 0; a ∙ (-b) = -ab;

а + (-а) = 0; a ∙ 1 = a; a ∙ (-b) = ab.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

Ако намалим подобни термини в израза -5x + 2x - 9, получаваме, че 5x + 2x - 9 \u003d 7x - 9. В този случай те казват, че изразът 5x + 2x - 9 е заменен с израза 7x - 9, което е идентично с него.

Идентични трансформации на изрази с променливи се извършват чрез прилагане на свойствата на операциите върху числата. По-специално, идентични трансформации с отваряне на скоби, изграждане на подобни термини и други подобни.

Идентични трансформации трябва да се извършат при опростяване на израза, тоест заместване на някакъв израз с израз, който е идентично равен на него, който трябва да бъде по-кратък.

Пример 1. Опростете израза:

1) -0,3 m ∙ 5n;

2) 2(3x - 4) + 3(-4x + 7);

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a).

1) -0,3 m ∙ 5n = -0,3 ∙ 5mn = -1,5 mn;

2) 2(3x4) + 3(-4 + 7) = 6 х - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13;

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a) = 2 + 5а - а + 2 б + 3 б - а= 3a + 5b + 2.

За да се докаже, че равенството е идентичност (с други думи, за да се докаже идентичност, се използват трансформации на идентичност на изрази.

Можете да докажете самоличността по един от следните начини:

извършват идентични трансформации на лявата му страна, като по този начин я намаляват до формата на дясната страна;
извършва идентични трансформации на дясната му страна, като по този начин я намалява до формата на лявата страна;
извършва идентични трансформации на двете му части, като по този начин издига и двете части до едни и същи изрази.

Пример 2. Докажете самоличността:

1) 2x - (x + 5) - 11 \u003d x - 16;

2) 206 - 4a = 5(2a - 3b) - 7(2a - 5b);

3) 2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 13(2x - 5) + 21.

Развитие

1) Нека трансформираме лявата страна на това равенство:

2x - (x + 5) - 11 = 2x - х- 5 - 11 = x - 16.

Чрез идентични трансформации изразът от лявата страна на равенството се свежда до формата на дясната страна и по този начин се доказва, че това равенство е тъждество.

2) Нека трансформираме дясната страна на това равенство:

5(2a - 3b) - 7(2a - 5b) = 10а - 15 б - 14а + 35 б= 20b - 4a.

Чрез идентични трансформации дясната страна на равенството се свежда до формата на лявата страна и по този начин се доказва, че това равенство е тъждество.

3) В този случай е удобно да се опрости както лявата, така и дясната част на равенството и да се сравнят резултатите:

2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 6x - 16 + 20x- 28 \u003d 26x - 44;

13 (2x - 5) + 21 = 26x - 65 + 21 = 26x - 44.

Чрез идентични трансформации лявата и дясната част на равенството бяха приведени до еднакъв вид: 26x - 44. Следователно това равенство е тъждество.

Кои изрази се наричат идентични? Дайте пример за идентични изрази. Какво равенство се нарича идентичност? Дайте пример за идентичност. Какво се нарича трансформация на идентичност на израз? Как да докажа самоличност?

(Устно) Или има изрази, идентично равни:

1) 2а + а и 3а;

2) 7x + 6 и 6 + 7x;

3) x + x + x и x 3;

4) 2(x - 2) и 2x - 4;

5) m - n и n - m;

6) 2a ∙ r и 2p ∙ a?

Идентично равни ли са изразите:

1) 7x - 2x и 5x;

2) 5а - 4 и 4 - 5а;

3) 4m + n и n + 4m;

4) a + a и a 2;

5) 3(а - 4) и 3а - 12;

6) 5m ∙ n и 5m + n?

(Устно) Идентичността на равенството е:

1) 2a + 106 = 12ab;

2) 7r - 1 = -1 + 7r;

3) 3(x - y) = 3x - 5y?

Отворени скоби:

Отворени скоби:

Намалете подобни термини:

Назовете няколко израза, които са идентични с изрази 2a + 3a.
Опростете израза, като използвате пермутиращите и конюнктивните свойства на умножението:

1) -2,5 x ∙ 4;

2) 4p ∙ (-1,5);

3) 0,2 x ∙ (0,3 g);

4)- x ∙<-7у).

Опростете израза:

1) -2p ∙ 3,5;

2) 7a ∙ (-1,2);

3) 0,2 x ∙ (-3y);

4) - 1 m ∙ (-3n).

(Устно) Опростете израза:

1) 2x - 9 + 5x;

2) 7a - 3b + 2a + 3b;

4) 4a ∙ (-2b).

Намалете подобни термини:

1) 56 - 8a + 4b - a;

2) 17 - 2p + 3p + 19;

3) 1,8 a + 1,9 b + 2,8 a - 2,9 b;

4) 5 - 7 s + 1,9 g + 6,9 s - 1,7 g.

1) 4(5x - 7) + 3x + 13;

2) 2(7 - 9а) - (4 - 18а);

3) 3(2p - 7) - 2(g - 3);

4) -(3m - 5) + 2(3m - 7).

Отворете скобите и намалете подобни термини:

1) 3(8a - 4) + 6a;

2) 7p - 2(3p - 1);

3) 2(3x - 8) - 5(2x + 7);

4) 3(5m - 7) - (15m - 2).

1) 0,6x + 0,4(x - 20), ако x = 2,4;

2) 1,3 (2a - 1) - 16,4, ако а = 10;

3) 1,2 (m - 5) - 1,8 (10 - m), ако m = -3,7;

4) 2x - 3(x + y) + 4y, ако x = -1, y = 1.

Опростете израза и намерете неговата стойност:

1) 0,7 x + 0,3(x - 4), ако x = -0,7;

2) 1,7 (y - 11) - 16,3, ако v \u003d 20;

3) 0,6 (2a - 14) - 0,4 (5a - 1), ако a = -1;

4) 5(m - n) - 4m + 7n, ако m = 1,8; n = -0,9.

Докажете самоличността:

1) - (2x - y) \u003d y - 2x;

2) 2(x - 1) - 2x = -2;

3) 2(x - 3) + 3(x + 2) = 5x;

4) s - 2 = 5 (s + 2) - 4 (s + 3).

Докажете самоличността:

1) -(m - 3n) = 3n - m;

2) 7(2 - p) + 7p = 14;

3) 5a = 3(a - 4) + 2(a + 6);

4) 4(m - 3) + 3(m + 3) = 7m - 3.

Дължината на една от страните на триъгълника е cm, а дължината на всяка от другите две страни е с 2 cm повече от нея. Запишете периметъра на триъгълника като израз и опростете израза.
Ширината на правоъгълника е x cm, а дължината е с 3 cm повече от ширината. Запишете периметъра на правоъгълника като израз и опростете израза.

1) x - (x - (2x - 3));

2) 5m - ((n - m) + 3n);

3) 4p - (3p - (2p - (r + 1)));

4) 5x - (2x - ((y - x) - 2y));

5) (6а - б) - (4 а - 33б);

6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2n - 0,48 m).

Разширете скобите и опростете израза:

1) а - (а - (3а - 1));

2) 12m - ((a - m) + 12a);

3) 5y - (6y - (7y - (8y - 1)));

6) (2.1 a - 2.8 b) - (1a - 1b).

Докажете самоличността:

1) 10x - (-(5x + 20)) = 5(3x + 4);

2) - (- 3p) - (-(8 - 5p)) \u003d 2 (4 - g);

3) 3(a - b - c) + 5(a - b) + 3c = 8(a - b).

Докажете самоличността:

1) 12a - ((8a - 16)) \u003d -4 (4 - 5a);

2) 4(x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

Докажете, че стойността на израза

1,8(m - 2) + 1,4(2 - m) + 0,2(1,7 - 2m) не зависи от стойността на променливата.

Докажете, че за всяка стойност на променливата, стойността на израза

a - (a - (5a + 2)) - 5 (a - 8)

е същото число.

Докажете, че сборът от три последователни четни числа се дели на 6.
Докажете, че ако n е естествено число, тогава стойността на израза -2(2.5 n - 7) + 2 (3n - 6) е четно число.

Упражнения за повторение

Сплав с тегло 1,6 кг съдържа 15% мед. Колко кг мед се съдържа в тази сплав?
Какъв процент е числото 20 от него:

1) квадрат;

Туристът е вървял 2 часа и карал колело 3 часа. Общо туристът е изминал 56 км. Намерете скоростта, с която туристът е карал велосипед, ако е с 12 km/h повече от скоростта, с която е вървял.

Интересни задачи за мързеливи ученици

В градското първенство по футбол участват 11 отбора. Всеки отбор играе по един мач с останалите. Докажете, че във всеки един момент от състезанието има отбор, който е изиграл четен брой мачове или все още не е играл нито един.

Помислете за две равенства:

1. a 12 * a 3 = a 7 * a 8

Това равенство ще важи за всяка стойност на променливата a. Обхватът на валидни стойности за това равенство ще бъде целият набор от реални числа.

2. a 12: a 3 = a 2 * a 7 .

Това неравенство ще важи за всички стойности на променливата a, с изключение на а, равно на нула. Обхватът на допустимите стойности за това неравенство ще бъде целият набор от реални числа, с изключение на нула.

За всяко от тези равенства може да се твърди, че ще бъде вярно за всички допустими стойности на променливите a. Такива уравнения в математиката се наричат самоличности.

Концепцията за идентичност

Идентичността е равенство, което е вярно за всички допустими стойности на променливите. Ако някакви валидни стойности са заместени в това равенство вместо променливи, тогава трябва да се получи правилното числово равенство.

Струва си да се отбележи, че истинските числови равенства също са тъждества. Идентичностите, например, ще бъдат свойства на действия върху числа.

3. a + b = b + a;

4. a + (b + c) = (a + b) + c;

6. a*(b*c) = (a*b)*c;

7. a*(b + c) = a*b + a*c;

11. a*(-1) = -a.

Ако два израза за която и да е допустима променлива са съответно равни, тогава такива изрази се извикват идентично равни. По-долу са дадени няколко примера за идентично равни изрази:

1. (а 2) 4 и а 8;

2. a*b*(-a^2*b) и -a 3 *b 2 ;

3. ((x 3 *x 8)/x) и x 10 .

Винаги можем да заменим един израз с всеки друг израз, идентично равен на първия. Такава подмяна ще бъде идентична трансформация.

Примери за идентичност

Пример 1: Следните равенства ли са идентичности:

1. a + 5 = 5 + a;

2. a*(-b) = -a*b;

3. 3*a*3*b = 9*a*b;

Не всички от горните изрази ще бъдат идентичности. От тези равенства само 1,2 и 3 равенства са тъждества. Каквито и числа да заместим в тях, вместо променливите a и b, все пак получаваме правилните числови равенства.

Но 4 равенство вече не е идентичност. Тъй като не за всички допустими стойности това равенство ще бъде изпълнено. Например, със стойностите a = 5 и b = 2, получавате следния резултат:

Това равенство не е вярно, тъй като числото 3 не е равно на числото -3.

Преобразуванията на идентичност са работата, която вършим с числови и азбучни изрази, както и с изрази, които съдържат променливи. Ние извършваме всички тези трансформации, за да приведем оригиналния израз във форма, която ще бъде удобна за решаване на проблема. Ще разгледаме основните видове идентични трансформации в тази тема.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Трансформация на идентичност на израз. Какво е?

За първи път се срещаме с концепцията за идентични трансформирани ние в уроците по алгебра в 7 клас. След това първо се запознаваме с понятието за идентично равни изрази. Нека се занимаваме с понятията и дефинициите, за да улесним усвояването на темата.

Определение 1

Трансформация на идентичност на изразса действия, извършени за замяна на оригиналния израз с израз, който ще бъде идентично равен на оригиналния.

Често това определение се използва в съкратена форма, в която думата "идентичен" е пропусната. Приема се, че във всеки случай извършваме трансформацията на израза по такъв начин, че да получим израз, идентичен с оригиналния, и това не е необходимо да се подчертава отделно.

Нека илюстрираме това определение с примери.

Пример 1

Ако заменим израза х + 3 - 2към идентично равен израз х+1, тогава извършваме идентичната трансформация на израза х + 3 - 2.

Пример 2

Замяна на израз 2 a 6 с израз а 3е трансформацията на идентичността, докато замяната на израза хкъм израза x2не е идентична трансформация, тъй като изразите хи x2не са идентично равни.

Обръщаме вашето внимание към формата на писмени изрази при извършване на идентични трансформации. Обикновено изписваме оригиналния израз и получения израз като равенство. И така, записването на x + 1 + 2 = x + 3 означава, че изразът x + 1 + 2 е редуциран до формата x + 3 .

Последователното изпълнение на действия ни води до верига от равенства, която представлява няколко последователни идентични трансформации. И така, ние разбираме нотацията x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x като последователно изпълнение на две трансформации: първо, изразът x + 1 + 2 беше сведен до формата x + 3 и беше сведен до формата 3 + x.

Трансформации на идентичност и ОДЗ

Редица изрази, които започваме да изучаваме в 8 клас, нямат смисъл за никакви стойности на променливи. Извършването на идентични трансформации в тези случаи изисква да обърнем внимание на областта на допустимите стойности на променливите (ODV). Извършването на идентични трансформации може да остави ODZ непроменено или да го стесни.

Пример 3

При извършване на преход от израза a + (−b)към израза a-bдиапазон от разрешени стойности на променливи аи бостава същото.

Пример 4

Преход от израз x към израз х 2 хводи до стесняване на диапазона от приемливи стойности на променливата x от множеството на всички реални числа до множеството от всички реални числа, от които нулата е изключена.

Пример 5

Трансформация на идентичност на израз х 2 хизразът x води до разширяване на диапазона от приемливи стойности на променливата x от множеството на всички реални числа с изключение на нула до множеството от всички реални числа.

Стесняването или разширяването на диапазона на допустимите стойности на променливите при извършване на идентични трансформации е важно при решаването на проблеми, тъй като може да повлияе на точността на изчисленията и да доведе до грешки.

Основни трансформации на идентичността

Нека сега да видим какви са идентичните трансформации и как се извършват. Нека отделим в основната група онези видове идентични трансформации, с които най-често се налага да се справяме.

В допълнение към основните трансформации на идентичност, има редица трансформации, които се отнасят до изрази от определен тип. За дробите това са методи за редукция и редукция до нов знаменател. За изрази с корени и степени, всички действия, които се извършват въз основа на свойствата на корени и степени. За логаритмични изрази, действия, които се извършват въз основа на свойствата на логаритмите. За тригонометрични изрази всички действия, използващи тригонометрични формули. Всички тези конкретни трансформации са разгледани подробно в отделни теми, които можете да намерите на нашия ресурс. Поради тази причина няма да се спираме на тях в тази статия.

Нека преминем към разглеждането на основните идентични трансформации.

Пренареждане на термини, фактори

Нека започнем с пренареждане на термините. С тази идентична трансформация се занимаваме най-често. И следното твърдение може да се счита за основно правило тук: във всяка сума пренареждането на термините на места не влияе на резултата.

Това правило се основава на комутативните и асоциативните свойства на събирането. Тези свойства ни позволяват да пренаредим термините на места и в същото време да получим изрази, които са идентично равни на оригиналните. Ето защо пренареждането на членове на места в сбора е идентична трансформация.

Пример 6

Имаме сбора от три члена 3 + 5 + 7 . Ако разменим членовете 3 и 5, тогава изразът ще приеме формата 5 + 3 + 7. Има няколко възможности за пренареждане на термините в този случай. Всички те водят до получаване на изрази, които са идентично равни на оригиналния.

Не само числата, но и изразите могат да действат като членове в сбора. Те, също като числата, могат да бъдат пренаредени, без да се засяга крайният резултат от изчисленията.

Пример 7

В сбора от три члена 1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 и - 12 a от вида 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + ( - 12) член може да бъде пренареден, например, така (- 12) a + 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 . От своя страна можете да пренаредите членовете в знаменателя на дроб 1 a + b, докато дробът ще приеме формата 1 b + a. И изразът под знака корен а 2 + 2 а + 5също така е сума, в която термините могат да се разменят.

По същия начин като термините, в оригиналните изрази могат да се разменят факторите и да се получат идентично правилни уравнения. Това действие се ръководи от следното правило:

Определение 2

В продукта пренареждането на факторите на места не влияе на резултата от изчислението.

Това правило се основава на комутативните и асоциативните свойства на умножението, които потвърждават правилността на идентичното преобразуване.

Пример 8

Работете 3 5 7пермутацията на фактори може да бъде представена в една от следните форми: 5 3 7 , 5 7 3 , 7 3 5 , 7 5 3 или 3 7 5.

Пример 9

Пермутирането на факторите в произведението x + 1 x 2 - x + 1 x ще даде x 2 - x + 1 x x + 1

Разширяване на скоби

Скобите могат да съдържат записи на числови изрази и изрази с променливи. Тези изрази могат да бъдат трансформирани в идентично равни изрази, в които изобщо няма да има скоби или ще има по-малко от тях, отколкото в оригиналните изрази. Този начин на преобразуване на изрази се нарича разширяване на скоби.

Пример 10

Нека да извършим действия със скоби в израз на формата 3 + x − 1 xза да се получи идентично верният израз 3 + x − 1 x.

Изразът 3 · x - 1 + - 1 + x 1 - x може да се преобразува в идентично равен израз без скоби 3 · x - 3 - 1 + x 1 - x .

Обсъдихме подробно правилата за преобразуване на изрази със скоби в темата "Разширяване на скоби", която е публикувана на нашия ресурс.

Групиране на термини, фактори

В случаите, когато имаме работа с три или повече термина, можем да прибегнем до такъв тип идентични трансформации като групиране на термини. Под този метод на трансформация се разбира обединяването на няколко термина в група чрез пренареждането им и поставянето им в скоби.

При групиране термините се разменят по такъв начин, че групираните термини да са в записа на израза един до друг. След това те могат да бъдат затворени в скоби.

Пример 11

Вземете израза 5 + 7 + 1 . Ако групираме първия член с третия, получаваме (5 + 1) + 7 .

Групирането на факторите се извършва подобно на групирането на термините.

Пример 12

В работата 2 3 4 5възможно е да групирате първия фактор с третия, а втория фактор с четвъртия, в този случай стигаме до израза (2 4) (3 5). И ако групираме първия, втория и четвъртия фактор, ще получим израза (2 3 5) 4.

Термините и факторите, които са групирани, могат да бъдат представени както с прости числа, така и с изрази. Правилата за групиране бяха подробно обсъдени в темата "Групиране на термини и фактори".

Замяна на разликите със суми, частични произведения и обратно

Замяната на разликите със суми стана възможна благодарение на запознаването ни с противоположните числа. Сега изваждане от число ачисла бможе да се разглежда като допълнение към числото ачисла −b. Равенство a − b = a + (− b)може да се счита за справедлив и въз основа на него да извърши замяната на разликите със суми.

Пример 13

Вземете израза 4 + 3 − 2 , в която разликата в числата 3 − 2 можем да запишем като сбор 3 + (− 2) . Вземи 4 + 3 + (− 2) .

Пример 14

Всички разлики в изражението 5 + 2 x - x 2 - 3 x 3 - 0, 2могат да бъдат заменени със суми като 5 + 2 x + (− x 2) + (− 3 x 3) + (− 0 , 2).

Можем да преминем към суми от всякакви разлики. По подобен начин можем да направим обратна замяна.

Замяната на деленето с умножение с реципрочната стойност на делителя става възможна чрез концепцията за реципрочни числа. Тази трансформация може да се запише като a: b = a (b − 1).

Това правило беше в основата на правилото за разделяне на обикновени дроби.

Пример 15

Частен 1 2: 3 5 може да бъде заменен с продукт от формата 1 2 5 3.

По същия начин, по аналогия, деленето може да бъде заменено с умножение.

Пример 16

В случая на израза 1+5:x:(x+3)заменете разделението с хможе да се умножи по 1 х. Деление по х + 3можем да заменим, като умножим с 1 х + 3. Преобразуването ни позволява да получим израз, който е идентичен с оригиналния: 1 + 5 1 x 1 x + 3 .

Замяната на умножение с деление се извършва по схемата a b = a: (b − 1).

Пример 17

В израза 5 x x 2 + 1 - 3 умножението може да бъде заменено с деление като 5: x 2 + 1 x - 3.

Извършване на действия с числа

Извършването на операции с числа е подчинено на правилото за реда на операциите. Първо се извършват операции със степени на числа и корени от числа. След това заменяме логаритмите, тригонометричните и други функции с техните стойности. След това се изпълняват действията в скоби. И тогава вече можете да извършвате всички други действия отляво надясно. Важно е да запомните, че умножението и деленето се извършват преди събиране и изваждане.

Операциите с числа ви позволяват да трансформирате оригиналния израз в идентичен, равен на него.

Пример 18

Нека трансформираме израза 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x, като извършим всички възможни операции с числа.

Решение

Първо, нека разгледаме степента 2 3 и корен 4 и изчислете техните стойности: 2 3 = 8 и 4 = 2 2 = 2 .

Заместете получените стойности в оригиналния израз и получете: 3 (8 - 1) a + 2 (x 2 + 5 x) .

Сега нека направим скоби: 8 − 1 = 7 . И да преминем към израза 3 7 a + 2 (x 2 + 5 x) .

Трябва само да направим умножението 3 и 7 . Получаваме: 21 a + 2 (x 2 + 5 x) .

Отговор: 3 2 3 - 1 a + 4 x 2 + 5 x = 21 a + 2 (x 2 + 5 x)

Операциите с числа могат да бъдат предшествани от други видове трансформации на идентичност, като групиране на числа или разширяване на скоби.

Пример 19

Вземете израза 3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) − 2 + 11.

Решение

Първо, ще променим частното в скоби 6: 3 върху значението му 2 . Получаваме: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 .

Нека разширим скобите: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 = 3 + 2 2 x y 3 4 − 2 + 11.

Нека групираме числовите фактори в продукта, както и термините, които са числа: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.

Нека направим скоби: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 = 12 + 16 x y 3

Отговор:3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) − 2 + 11 = 12 + 16 x y 3

Ако работим с числови изрази, тогава целта на нашата работа ще бъде да намерим стойността на израза. Ако трансформираме изрази с променливи, тогава целта на нашите действия ще бъде да опростим израза.

Включване в скоби на общия фактор

В случаите, когато термините в израза имат един и същ фактор, тогава можем да извадим този общ множител от скоби. За да направим това, първо трябва да представим оригиналния израз като продукт на общ фактор и израз в скоби, който се състои от оригиналните термини без общ фактор.

Пример 20

Числено 2 7 + 2 3можем да извадим общия фактор 2 извън скобите и да получите идентично правилен израз на формата 2 (7 + 3).

Можете да опресните паметта на правилата за поставяне на общия фактор извън скоби в съответния раздел на нашия ресурс. В материала се разглеждат подробно правилата за изваждане на общия фактор от скоби и са дадени множество примери.

Намаляване на подобни термини

Сега нека преминем към суми, които съдържат подобни термини. Тук са възможни две опции: суми, съдържащи едни и същи членове, и суми, чиито членове се различават с числов коефициент. Операциите със суми, съдържащи подобни термини, се наричат редукция на сходни членове. Извършва се по следния начин: поставяме общата буквена част извън скоби и изчисляваме сумата от числови коефициенти в скоби.

Пример 21

Помислете за израза 1 + 4 x − 2 x. Можем да извадим буквалната част от x от скоби и да получим израза 1 + x (4 − 2). Нека да изчислим стойността на израза в скоби и да получим сумата от вида 1 + x · 2 .

Замяна на числа и изрази с идентично равни изрази

Числата и изразите, които съставляват оригиналния израз, могат да бъдат заменени с изрази, които са идентично равни на тях. Такава трансформация на оригиналния израз води до израз, който е идентично равен на него.

Пример 22 Пример 23

Помислете за израза 1 + a5, в който можем да заменим степента a 5 с продукт, идентично равен на него, например от вида а 4. Това ще ни даде израза 1 + а 4.

Извършената трансформация е изкуствена. Има смисъл само в подготовка за други трансформации.

Пример 24

Помислете за трансформацията на сумата 4 x 3 + 2 x 2. Ето термина 4x3можем да представим като продукт 2 x 2 x 2 x. В резултат на това оригиналният израз приема формата 2 x 2 2 x + 2 x 2. Сега можем да изолираме общия фактор 2x2и го извадете от скобите: 2 x 2 (2 x + 1).

Събиране и изваждане на едно и също число

Добавянето и изваждането на едно и също число или израз по едно и също време е техника за изкуствена трансформация на израз.

Пример 25

Помислете за израза х 2 + 2 х. Можем да добавим или извадим едно от него, което ще ни позволи впоследствие да извършим друга идентична трансформация - да изберем квадрата на бинома: x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 - 1 = (x + 1) 2 - 1.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

След като имаме представа за идентичностите, логично е да преминем към запознаване с . В тази статия ще отговорим на въпроса какво представляват идентично равни изрази, а също така, използвайки примери, ще разберем кои изрази са идентично равни и кои не.

Навигация в страницата.

Кои са идентично равни изрази?

Определението за идентично равни изрази е дадено успоредно с определението за идентичност. Това се случва в час по алгебра в 7 клас. В учебника по алгебра за 7 класа авторът Ю. Н. Макаричев дава следната формулировка:

Определение.

са изрази, чиито стойности са равни за всички стойности на променливите, включени в тях. Числовите изрази, които съответстват на едни и същи стойности, също се наричат идентично равни.

Тази дефиниция се използва до клас 8, тя е валидна за целочислени изрази, тъй като те имат смисъл за всякакви стойности на променливите, включени в тях. А в 8 клас се уточнява определението за идентично равни изрази. Нека обясним с какво е свързано.

В 8 клас започва изучаването на други видове изрази, които, за разлика от целочислените изрази, може да нямат смисъл за някои стойности на променливи. Това налага въвеждането на дефиниции на допустими и невалидни стойности на променливи, както и диапазона на допустимите стойности на ODV на променлива и в резултат на това да се изясни дефиницията на идентично равни изрази.

Определение.

Извикват се два израза, чиито стойности са равни за всички допустими стойности на техните променливи идентично равни изрази. Два числови израза, които имат една и съща стойност, също се казва, че са идентично равни.

В това определение на идентично равни изрази си струва да се изясни значението на фразата „за всички допустими стойности на променливите, включени в тях“. Това предполага всички такива стойности на променливи, за които и двата идентично равни израза едновременно имат смисъл. Тази идея ще бъде изяснена в следващия раздел чрез разглеждане на примери.

Определението на идентично равни изрази в учебника на A. G. Mordkovich е дадено малко по-различно:

Определение.

Идентични равни изразиса изрази от лявата и дясната страна на идентичността.

По смисъл това и предишните определения съвпадат.

Примери за идентично равни изрази

Определенията, въведени в предишния подраздел, ни позволяват да донесем примери за идентично равни изрази.

Нека започнем с еднакво равни числови изрази. Числовите изрази 1+2 и 2+1 са идентично равни, защото отговарят на равни стойности 3 и 3. Изразите 5 и 30:6 също са идентично равни, както и изразите (2 2) 3 и 2 6 (стойностите на последните изрази са равни поради ). Но числовите изрази 3+2 и 3−2 не са идентично равни, тъй като съответстват съответно на стойностите 5 и 1, но не са равни.

Сега даваме примери за идентично равни изрази с променливи. Това са изразите a+b и b+a. Всъщност за всякакви стойности на променливите a и b писмените изрази приемат едни и същи стойности (което следва от числата). Например, с a=1 и b=2 имаме a+b=1+2=3 и b+a=2+1=3 . За всякакви други стойности на променливите a и b, ние също ще получим равни стойности на тези изрази. Изразите 0·x·y·z и 0 също са идентично равни за всякакви стойности на променливите x, y и z. Но изразите 2 x и 3 x не са идентично равни, тъй като например при x=1 техните стойности не са равни. Наистина, за x=1 изразът 2 x е 2 1=2, а изразът 3 x е 3 1=3.

Когато областите на допустимите стойности на променливите в изразите съвпадат, като например в изразите a+1 и 1+a , или a b 0 и 0 , или и , и стойностите на тези изрази са равни за всички стойности на променливи от тези области, тогава тук всичко е ясно - тези изрази са идентично равни за всички допустими стойности на променливите, включени в тях. Така a+1≡1+a за всяко a , изразите a b 0 и 0 са идентично равни за всякакви стойности на променливите a и b , а изразите и са идентично равни за всички x от ; изд. С. А. Теляковски. - 17-то изд. - М. : Образование, 2008. - 240 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019315-3.

алгебра:учебник за 8 клетки. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М. : Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Мордкович А.Г.алгебра. 7-ми клас. В 14 ч. Част 1. Учебник за студенти от образователни институции / А. Г. Мордкович. - 17 изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.