Общата формула на синуса в тригонометрията. Синус, косинус, тангенс и котангенс - всичко, което трябва да знаете в OGE и USE

Дадени са съотношенията между основните тригонометрични функции - синус, косинус, тангенс и котангенс тригонометрични формули. И тъй като има доста връзки между тригонометричните функции, това обяснява и изобилието от тригонометрични формули. Някои формули свързват тригонометричните функции на един и същ ъгъл, други - функциите на множествен ъгъл, трети - ви позволяват да намалите степента, четвъртите - да изразите всички функции чрез тангенса на половин ъгъл и т.н.

В тази статия изброяваме по ред всички основни тригонометрични формули, които са достатъчни за решаване на по-голямата част от тригонометричните проблеми. За по-лесно запомняне и използване ще ги групираме според предназначението им и ще ги въведем в таблици.

Навигация в страницата.

Основни тригонометрични идентичности

Основни тригонометрични идентичностизадайте връзката между синуса, косинуса, тангенса и котангенса на един ъгъл. Те следват от определението за синус, косинус, тангенс и котангенс, както и от концепцията за единичната окръжност. Те ви позволяват да изразите една тригонометрична функция чрез всяка друга.

За подробно описание на тези тригонометрични формули, тяхното извличане и примери за приложение вижте статията.

Преобразувани формули

Преобразувани формулиследват от свойствата на синуса, косинуса, тангенса и котангенса, тоест отразяват свойството на периодичност на тригонометричните функции, свойството на симетрия, както и свойството на изместване под даден ъгъл. Тези тригонометрични формули ви позволяват да преминете от работа с произволни ъгли към работа с ъгли, вариращи от нула до 90 градуса.

Обосновката на тези формули, мнемонично правило за запомнянето им и примери за тяхното приложение могат да бъдат проучени в статията.

Формули за добавяне

Тригонометрични формули за събиранепоказват как тригонометричните функции на сбора или разликата на два ъгъла се изразяват чрез тригонометричните функции на тези ъгли. Тези формули служат като основа за извеждането на следните тригонометрични формули.

Формули за двойно, тройно и т.н. ъгъл

Формули за двойно, тройно и т.н. ъгъл (те се наричат ​​още формули за множество ъгли) показват как тригонометричните функции на двойни, тройни и т.н. ъглите () се изразяват чрез тригонометрични функции на един ъгъл. Извличането им се основава на формули за събиране.

По-подробна информация е събрана във формулите на статията за двойни, тройни и т.н. ъгъл .

Формули за половин ъгъл

Формули за половин ъгълпоказват как тригонометричните функции на половин ъгъл се изразяват чрез косинус на целочислен ъгъл. Тези тригонометрични формули следват от формулите за двоен ъгъл.

Техните заключения и примери за приложение могат да бъдат намерени в статията.

Формули за намаляване

Тригонометрични формули за намаляващи градусиса предназначени да улеснят прехода от естествени мощности на тригонометричните функции към синуси и косинуси от първа степен, но множество ъгли. С други думи, те позволяват да се сведат мощностите на тригонометричните функции до първите.

Формули за сбора и разликата на тригонометричните функции

Основната цел формули за сума и разлика за тригонометрични функциисе състои в прехода към произведението на функциите, което е много полезно при опростяване на тригонометричните изрази. Тези формули също се използват широко при решаването на тригонометрични уравнения, тъй като позволяват разлагане на множители на сумата и разликата на синусите и косинусите.

Формули за произведението на синуси, косинуси и синус по косинус

Преходът от произведението на тригонометричните функции към сбора или разликата се осъществява чрез формулите за произведението на синуси, косинуси и синус по косинус.

Башмаков М.И.Алгебра и началото на анализа: учеб. за 10-11 клетки. средно училище - 3-то изд. - М.: Просвещение, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.

алгебраи началото на анализа: Proc. за 10-11 клетки. общо образование институции / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин и др.; Изд. А. Н. Колмогорова.- 14-то изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.

Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (наръчник за кандидатстващи в техникумите): учеб. надбавка.- М.; По-висок училище, 1984.-351 с., ил.

Авторско право от умни студенти

Всички права запазени.
Защитено от закона за авторското право. Никаква част от www.site, включително вътрешни материали и външен дизайн, не може да бъде възпроизвеждана под каквато и да е форма или използвана без предварителното писмено разрешение на притежателя на авторските права.

Започваме нашето изучаване на тригонометрията с правоъгълен триъгълник. Нека дефинираме какво представляват синусът и косинусът, както и тангенсът и котангенсът на остър ъгъл. Това са основите на тригонометрията.

Припомнете си това прав ъгъле ъгъл равен на 90 градуса. С други думи, половината от разгънатия ъгъл.

Остър ъгъл- под 90 градуса.

Тъп ъгъл- над 90 градуса. Във връзка с такъв ъгъл "тъп" не е обида, а математически термин :-)

Нека начертаем правоъгълен триъгълник. Обикновено се обозначава прав ъгъл. Имайте предвид, че страната срещу ъгъла е обозначена със същата буква, само малка. И така, страната, лежаща срещу ъгъла A, е обозначена.

Ъгълът се обозначава със съответната гръцка буква.

ХипотенузаПравоъгълен триъгълник е страната, противоположна на правия ъгъл.

Крака- страни срещу остри ъгли.

Кракът срещу ъгъла се нарича противоположно(спрямо ъгъла). Другият крак, който лежи от едната страна на ъгъла, се нарича съседен.

Синусостър ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на противоположния катет към хипотенузата:

косинусостър ъгъл в правоъгълен триъгълник - съотношението на съседния крак към хипотенузата:

Тангентаостър ъгъл в правоъгълен триъгълник - съотношението на противоположния крак към съседния:

Друго (еквивалентно) определение: тангенсът на остър ъгъл е съотношението на синуса на ъгъла към неговия косинус:

Котангенсостър ъгъл в правоъгълен триъгълник - съотношението на съседния крак към противоположния (или, еквивалентно, съотношението на косинус към синус):

Обърнете внимание на основните съотношения за синус, косинус, тангенс и котангенс, които са дадени по-долу. Те ще ни бъдат полезни при решаването на проблеми.

Нека докажем някои от тях.

Добре, дадохме определения и написали формули. Но защо имаме нужда от синус, косинус, тангенс и котангенс?

Ние знаем това сумата от ъглите на всеки триъгълник е.

Ние знаем връзката между партииправоъгълен триъгълник. Това е питагоровата теорема: .

Оказва се, че като знаете два ъгъла в триъгълник, можете да намерите третия. Познавайки две страни в правоъгълен триъгълник, можете да намерите третата. И така, за ъглите - тяхното съотношение, за страните - тяхното собствено. Но какво да направите, ако в правоъгълен триъгълник са известни един ъгъл (с изключение на правилния) и едната страна, но трябва да намерите други страни?

С това са се сблъсквали хората в миналото, правейки карти на района и звездното небе. В крайна сметка не винаги е възможно директно да се измерят всички страни на триъгълник.

Синус, косинус и тангенс - те също се наричат тригонометрични функции на ъгъла- дайте съотношението между партиии ъглитриъгълник. Познавайки ъгъла, можете да намерите всичките му тригонометрични функции с помощта на специални таблици. И като знаете синусите, косинусите и тангентите на ъглите на триъгълник и една от неговите страни, можете да намерите останалите.

Ще начертаем и таблица със стойности на синус, косинус, тангенс и котангенс за "добри" ъгли от до.

Обърнете внимание на двете червени чертички в таблицата. За съответните стойности на ъглите тангенсът и котангенсът не съществуват.

Нека анализираме няколко проблема по тригонометрия от задачите на Bank of FIPI.

1. В триъгълник ъгълът е , . Намирам .

Проблемът се решава за четири секунди.

Дотолкова доколкото , .

2. В триъгълник ъгълът е , , . Намирам .

Да намерим по питагоровата теорема.

Проблема решен.

Често в задачи има триъгълници с ъгли и или с ъгли и . Запомнете основните съотношения за тях наизуст!

За триъгълник с ъгли и кракът срещу ъгъла при е равен на половината от хипотенузата.

Триъгълник с ъгли и е равнобедрен. В него хипотенузата е в пъти по-голяма от катета.

Разгледахме задачи за решаване на правоъгълни триъгълници – тоест за намиране на неизвестни страни или ъгли. Но това не е всичко! Във вариантите на изпита по математика има много задачи, при които се появява синус, косинус, тангенс или котангенс на външния ъгъл на триъгълника. Повече за това в следващата статия.

Няма да те убеждавам да не пишеш измамници. Пиши! Включително измамници по тригонометрия. По-късно смятам да обясня защо са нужни cheat sheets и как cheat sheets са полезни. И ето – информация как да не се учиш, а да си спомняш някои тригонометрични формули. И така - тригонометрия без шпаргалка!Използваме асоциации за запаметяване.

1. Формули за събиране:

косинусите винаги "вървят по двойки": косинус-косинус, синус-синус. И още нещо: косинусите са „неадекватни“. Те „всичко не е наред“, така че сменят знаците: „-“ на „+“ и обратно.

Синусите - "микс": синус-косинус, косинус-синус.

2. Формули за сума и разлика:

косинусите винаги "вървят по двойки". След като добавим два косинуса - "кифлички", получаваме чифт косинуси - "колобок". И като извадим, определено няма да получим колобки. Получаваме няколко синуса. Все пак с минус напред.

Синусите - "микс" :

3. Формули за превръщане на произведение в сбор и разлика.

Кога ще получим чифт косинуси? При добавяне на косинусите. Така

Кога получаваме чифт синуси? При изваждане на косинуси. Оттук:

"Смесването" се получава както чрез добавяне, така и чрез изваждане на синусите. Кое е по-забавно: добавяне или изваждане? Точно така, сгънете. И за формулата вземете допълнение:

В първата и третата формули в скоби - сумата. От пренареждането на местата на членовете сумата не се променя. Редът е важен само за втората формула. Но, за да не се объркате, за по-лесно запомняне, и в трите формули в първите скоби вземаме разликата

и второ, сумата

Чаршафите в джоба ви осигуряват спокойствие: ако забравите формулата, можете да я отпишете. И дават увереност: ако не успеете да използвате листа за измама, формулите могат лесно да се запомнят.

Тригонометрията, като наука, възниква в Древния Изток. Първите тригонометрични съотношения са разработени от астрономите, за да създадат точен календар и да се ориентират по звездите. Тези изчисления са свързани със сферичната тригонометрия, докато в училищния курс те изучават съотношението на страните и ъгъла на плосък триъгълник.

Тригонометрията е клон от математиката, занимаващ се със свойствата на тригонометричните функции и връзката между страните и ъглите на триъгълниците.

По време на разцвета на културата и науката през 1-во хилядолетие след Христа знанието се разпространява от Древния Изток до Гърция. Но основните открития на тригонометрията са заслуга на хората от Арабския халифат. По-специално, туркменският учен ал-Маразви въведе такива функции като тангенс и котангенс, състави първите таблици със стойности за синуси, тангенси и котангенси. Концепцията за синус и косинус е въведена от индийски учени. Много внимание се отделя на тригонометрията в произведенията на такива велики фигури на древността като Евклид, Архимед и Ератостен.

Основни количества на тригонометрията

Основните тригонометрични функции на числов аргумент са синус, косинус, тангенс и котангенс. Всеки от тях има своя собствена графика: синус, косинус, тангенс и котангенс.

Формулите за изчисляване на стойностите на тези величини се основават на Питагоровата теорема. По-известно е на учениците във формулировката: „Питагорейски панталони, равни във всички посоки“, тъй като доказателството е дадено на примера на равнобедрен правоъгълен триъгълник.

Синус, косинус и други зависимости установяват връзка между острите ъгли и страните на всеки правоъгълен триъгълник. Даваме формули за изчисляване на тези количества за ъгъл A и проследяваме връзката на тригонометричните функции:

Както можете да видите, tg и ctg са обратни функции. Ако представим катет a като произведението на sin A и хипотенуза c, а катет b като cos A * c, тогава получаваме следните формули за допирателна и котангенс:

тригонометричен кръг

Графично съотношението на споменатите количества може да се представи по следния начин:

Кръгът в този случай представлява всички възможни стойности на ъгъла α - от 0° до 360°. Както се вижда от фигурата, всяка функция приема отрицателна или положителна стойност в зависимост от ъгъла. Например, sin α ще бъде със знак „+“, ако α принадлежи на I и II четвърти на кръга, тоест е в диапазона от 0 ° до 180 °. При α от 180° до 360° (III и IV четвърти), sin α може да бъде само отрицателна стойност.

Нека се опитаме да изградим тригонометрични таблици за конкретни ъгли и да разберем значението на величините.

Стойностите на α, равни на 30°, 45°, 60°, 90°, 180° и така нататък, се наричат ​​специални случаи. Стойностите на тригонометричните функции за тях се изчисляват и представят под формата на специални таблици.

Тези ъгли не са избрани случайно. Означението π в таблиците е за радиани. Rad е ъгълът, при който дължината на кръговата дъга съответства на нейния радиус. Тази стойност е въведена, за да се установи универсална връзка; при изчисляване в радиани действителната дължина на радиуса в cm няма значение.

Ъглите в таблиците за тригонометрични функции съответстват на радиани стойности:

Така че не е трудно да се отгатне, че 2π е пълен кръг или 360°.

Свойства на тригонометричните функции: синус и косинус

За да се разгледат и сравнят основните свойства на синуса и косинуса, тангенса и котангенса, е необходимо да се начертаят техните функции. Това може да се направи под формата на крива, разположена в двумерна координатна система.

Помислете за сравнителна таблица на свойствата на синусоида и косинусова вълна:

синусоида	косинусова вълна
y = sin x	y = cos x
ОДЗ [-1; един]	ОДЗ [-1; един]
sin x = 0, за x = πk, където k ϵ Z	cos x = 0, за x = π/2 + πk, където k ϵ Z
sin x = 1, за x = π/2 + 2πk, където k ϵ Z	cos x = 1, за x = 2πk, където k ϵ Z
sin x = - 1, при x = 3π/2 + 2πk, където k ϵ Z	cos x = - 1, за x = π + 2πk, където k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, т.е. нечетна функция	cos (-x) = cos x, т.е. функцията е четна
	функцията е периодична, най-малкият период е 2π
sin x › 0, като x принадлежи към четвърти I и II или от 0° до 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, като x принадлежи към четвърти I и IV или от 270° до 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, като x принадлежи към четвърти III и IV или от 180° до 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, като x принадлежи към четвърти II и III или от 90° до 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
нараства на интервала [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	нараства на интервала [-π + 2πk, 2πk]
намалява на интервалите [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	намалява на интервали
производна (sin x)' = cos x	производна (cos x)’ = - sin x

Определянето дали дадена функция е четна или не е много просто. Достатъчно е да си представим тригонометричен кръг със знаци на тригонометрични количества и мислено да „сгънем“ графиката спрямо оста OX. Ако знаците са еднакви, функцията е четна, в противен случай е нечетна.

Въвеждането на радиани и изброяването на основните свойства на синусоидната и косинусовата вълна ни позволяват да приведем следния модел:

Много е лесно да се провери правилността на формулата. Например, за x = π/2, синусът е равен на 1, както и косинусът на x = 0. Проверката може да се извърши чрез разглеждане на таблици или чрез проследяване на функционални криви за дадени стойности.

Свойства на тангентоида и котангентоида

Графиките на допирателната и котангенсната функция се различават значително от синусоидната и косинусовата вълна. Стойностите tg и ctg са обратни една на друга.

1. Y = tgx.
2. Тангенсът клони към стойностите на y при x = π/2 + πk, но никога не ги достига.
3. Най-малкият положителен период на тангентоида е π.
4. Tg (- x) \u003d - tg x, т.е. функцията е нечетна.
5. Tg x = 0, за x = πk.
6. Функцията се увеличава.
7. Tg x › 0, за x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, за x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Производна (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x .

Помислете за графичното представяне на котангентоида по-долу в текста.

Основните свойства на котангентоида:

1. Y = ctgx.
2. За разлика от функциите синус и косинус, в тангентоида Y може да поеме стойностите на множеството от всички реални числа.
3. Котангентоидът клони към стойностите на y при x = πk, но никога не ги достига.
4. Най-малкият положителен период на котангентоида е π.
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, т.е. функцията е нечетна.
6. Ctg x = 0, за x = π/2 + πk.
7. Функцията намалява.
8. Ctg x › 0, за x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, за x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Производна (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x Фикс