Förenkla algebraiska bråkräknare online. Hur man förenklar algebraiska uttryck
Ett algebraiskt uttryck där de, tillsammans med operationerna addition, subtraktion och multiplikation, även använder division med bokstavliga uttryck, kallas ett fraktionerat algebraiskt uttryck. Sådana är till exempel uttrycken
Vi kallar en algebraisk bråkdel för ett algebraiskt uttryck som har formen av en divisionskvot av två heltalsalgebraiska uttryck (till exempel monomial eller polynom). Sådana är till exempel uttrycken
det tredje av uttrycken).
Identitetstransformationer av bråkalgebraiska uttryck är till största delen avsedda att representera dem som en algebraisk bråkdel. För att hitta en gemensam nämnare används faktoriseringen av nämnare av bråk - termer för att hitta deras minsta gemensamma multipel. Vid reducering algebraiska bråk den strikta identiteten för uttryck kan kränkas: det är nödvändigt att utesluta värdena för kvantiteter vid vilka faktorn med vilken minskningen görs försvinner.
Här är några exempel identiska transformationer bråkdel algebraiska uttryck.
Exempel 1: Förenkla ett uttryck
Alla termer kan reduceras till en gemensam nämnare (det är bekvämt att ändra tecknet i nämnaren för den sista termen och tecknet framför den):
Vårt uttryck är lika med ett för alla värden utom dessa värden, det är inte definierat och bråkreduktion är olagligt).
Exempel 2. Representera uttryck som en algebraisk fraktion
Beslut. Uttrycket kan tas som en gemensam nämnare. Vi finner successivt:
Övningar
1. Hitta värdena för algebraiska uttryck för de angivna värdena för parametrarna:
2. Faktorisera.
Math-Circulator-Online v.1.0
Kalkylatorn utför följande operationer: addition, subtraktion, multiplikation, division, arbeta med decimaler, extrahera roten, höja till en potens, beräkna procentsatser och andra operationer.
Beslut:
Hur man använder matematikkalkylatorn
Nyckel | Beteckning | Förklaring |
---|---|---|
5 | nummer 0-9 | Arabiska siffror. Ange naturliga heltal, noll. För att få ett negativt heltal, tryck på +/- tangenten |
. | semikolon) | En decimalavgränsare. Om det inte finns någon siffra före punkten (komma), kommer räknaren automatiskt att ersätta en nolla före punkten. Till exempel: .5 - 0.5 kommer att skrivas |
+ | plustecken | Addering av tal (hela, decimalbråk) |
- | minustecken | Subtraktion av tal (hela, decimalbråk) |
÷ | division tecken | Division av tal (hela, decimalbråk) |
X | multiplikationstecken | Multiplikation av tal (heltal, decimaler) |
√ | rot | Extrahera roten från ett tal. När du trycker på "root"-knappen igen, beräknas roten från resultatet. Till exempel: kvadratroten ur 16 = 4; kvadratroten ur 4 = 2 |
x2 | kvadrera | Kvadratera ett nummer. När du trycker på knappen "kvadrat" igen blir resultatet kvadratiskt, till exempel: ruta 2 = 4; ruta 4 = 16 |
1/x | fraktion | Utdata till decimaler. I täljaren 1, i nämnaren det inmatade numret |
% | procent | Få en procentandel av ett tal. För att arbeta måste du ange: talet från vilket procenten kommer att beräknas, tecknet (plus, minus, dividera, multiplicera), hur många procent i numerisk form, knappen "%" |
( | öppet fäste | En öppen parentes för att ställa in utvärderingsprioriteten. En stängd parentes krävs. Exempel: (2+3)*2=10 |
) | stängt fäste | En sluten parentes för att ställa in utvärderingsprioritet. Tillgänglighet krävs öppet fäste |
± | plus minus | Ändrar tecken till motsatt |
= | lika | Visar resultatet av lösningen. Även mellanliggande beräkningar och resultatet visas ovanför räknaren i fältet "Lösning". |
← | radera ett tecken | Tar bort det sista tecknet |
Med | återställa | Återställningsknapp. Återställer räknaren helt till "0" |
Algoritmen för online-kalkylatorn med exempel
Tillägg.
Heltalstillägg naturliga tal { 5 + 7 = 12 }
Addition av hela naturliga och negativa tal ( 5 + (-2) = 3 )
Decimaltillägg bråktal { 0,3 + 5,2 = 5,5 }
Subtraktion.
Subtraktion av hela naturliga tal (7-5 = 2)
Subtraktion av hela naturliga och negativa tal ( 5 - (-2) = 7 )
Subtraktion av decimalbråktal ( 6,5 - 1,2 = 4,3 )
Multiplikation.
Produkt av hela naturliga tal ( 3 * 7 = 21 )
Produkt av hela naturliga och negativa tal ( 5 * (-3) = -15 )
Produkt av decimaltal ( 0,5 * 0,6 = 0,3 )
Division.
Division av hela naturliga tal (27/3 = 9)
Division av hela naturliga och negativa tal ( 15 / (-3) = -5 )
Division av decimalbråktal ( 6,2 / 2 = 3,1 )
Extrahera roten från ett tal.
Extrahera roten av ett heltal ( root(9) = 3 )
Extrahera roten av decimaler (rot(2,5) = 1,58)
Extrahera roten från summan av tal ( root(56 + 25) = 9 )
Extrahera roten av skillnaden i tal ( rot (32 - 7) = 5 )
Kvadratera ett nummer.
Kvadratera ett heltal ( (3) 2 = 9 )
Kvadrat decimaler ( (2,2) 2 = 4,84 )
Konvertera till decimalbråk.
Beräkna procentsatser av ett tal
Öka 230 med 15 % ( 230 + 230 * 0,15 = 264,5 )
Minska siffran 510 med 35 % ( 510 - 510 * 0,35 = 331,5 )
18 % av siffran 140 är ( 140 * 0,18 = 25,2 )
Vissa algebraiska exempel en sort kan skrämma skolbarn. Långa uttryck är inte bara skrämmande, utan också mycket svåra att beräkna. Försöker omedelbart förstå vad som följer och vad som följer, för att inte bli förvirrad länge. Det är av denna anledning som matematiker alltid försöker förenkla den "fruktansvärda" uppgiften så mycket som möjligt och först därefter fortsätter att lösa den. Märkligt nog påskyndar ett sådant trick processen avsevärt.
Förenkling är en av de grundläggande punkterna i algebra. Om i enkla uppgifter du klarar dig fortfarande utan, då kan svårare exempel visa sig vara "för tuffa". Det är här dessa färdigheter kommer väl till pass! Dessutom krävs inte komplexa matematiska kunskaper: det räcker med att bara komma ihåg och lära sig att omsätta några grundläggande tekniker och formler i praktiken.
Oavsett beräkningarnas komplexitet är det viktigt när man löser ett uttryck följ operationsordningen med siffror:
- parentes;
- exponentiering;
- multiplikation;
- division;
- tillägg;
- subtraktion.
De två sista punkterna kan säkert bytas och detta kommer inte att påverka resultatet på något sätt. Men att lägga till två angränsande tal, när det bredvid ett av dem finns ett multiplikationstecken, är absolut omöjligt! Svaret, om något, är fel. Därför måste du komma ihåg sekvensen.
Användningen av sådana
Sådana element inkluderar tal med en variabel av samma ordning eller samma grad. Det finns också så kallade gratismedlemmar som inte har bredvid sig bokstavsbeteckningen det okända.
Summan av kardemumman är att i avsaknad av parentes Du kan förenkla uttrycket genom att lägga till eller subtrahera like.
Några illustrativa exempel:
- 8x 2 och 3x 2 - båda talen har samma andra ordningens variabel, så de är lika och när de adderas förenklas de till (8+3)x 2 =11x 2, medan det vid subtrahering visar sig (8-3)x 2 =5x2;
- 4x 3 och 6x - och här har "x" en annan grad;
- 2y 7 och 33x 7 - innehåller olika variabler, därför, som i föregående fall, tillhör de inte liknande.
Faktorering av ett tal
Detta lilla matematiska trick, om du lär dig att använda det korrekt, kommer att hjälpa dig att hantera ett knepigt problem mer än en gång i framtiden. Och det är lätt att förstå hur "systemet" fungerar: en nedbrytning är en produkt av flera element, vars beräkning ger det ursprungliga värdet. Således kan 20 representeras som 20x1, 2x10, 5x4, 2x5x2 eller på något annat sätt.
På en lapp: multiplikatorer är alltid samma som divisorer. Så du måste leta efter ett fungerande "par" för expansion bland talen som originalet är delbart med utan rest.
Du kan utföra en sådan operation både med fria medlemmar och med siffror kopplade till en variabel. Det viktigaste är att inte förlora det senare under beräkningar - till och med efter nedbrytning kan det okända inte ta och "gå ingenstans". Det ligger kvar på en av faktorerna:
- 15x=3(5x);
- 60y 2 \u003d (15y 2) 4.
Primtal som bara kan delas med sig själva eller 1 aldrig faktor - det är ingen mening..
Grundläggande förenklingsmetoder
Det första som fångar ögat:
- närvaron av parentes;
- fraktioner;
- rötter.
Algebraiska exempel i Läroplanenär ofta sammanställda med antagandet att de kan förenklas vackert.
Konsolberäkningar
Var noga med skylten framför fästena! Multiplikation eller division tillämpas på varje element inuti, och minus - ändrar de befintliga tecknen "+" eller "-" till motsatsen.
Parentes beräknas enligt reglerna eller enligt formlerna för förkortad multiplikation, varefter liknande ges.
Bråkreduktion
Minska fraktionerär också lätt. De själva "rymmer villigt" då och då, det är värt att göra operationer med att ta med sådana medlemmar. Men du kan förenkla exemplet redan innan detta: var uppmärksam på täljaren och nämnaren. De innehåller ofta explicita eller dolda element som kan reduceras ömsesidigt. Det är sant, om du i det första fallet bara behöver ta bort det överflödiga, i det andra måste du tänka och föra en del av uttrycket till formen för förenkling. Använda metoder:
- sökning och parentes av den största gemensamma delaren för täljaren och nämnaren;
- dividera varje toppelement med nämnaren.
När ett uttryck eller en del av det ligger under roten, är det primära förenklingsproblemet nästan detsamma som fallet med bråk. Det är nödvändigt att leta efter sätt att helt bli av med det eller, om detta inte är möjligt, att minimera skylten som stör beräkningarna. Till exempel till diskreta √(3) eller √(7).
Den rätta vägen förenkla det radikala uttrycket – försök att faktorisera det, av vilka några är utanför skylten. Ett illustrativt exempel: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).
Andra små knep och nyanser:
- denna förenklingsoperation kan utföras med bråk, och ta den ur tecknet både som helhet och separat som en täljare eller nämnare;
- det är omöjligt att bryta ner och ta ut en del av summan eller skillnaden bortom roten;
- när du arbetar med variabler, se till att ta hänsyn till dess grad, den måste vara lika med eller en multipel av roten för möjligheten att återge: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3)= √(x 2 ×x)=x√( x);
- ibland är det tillåtet att bli av med den radikala variabeln genom att höja den till en bråkpotens: √ (y 3)=y 3/2.
Förenkling av kraftuttryck
Om i fallet med enkla beräkningar med minus eller plus, exempel förenklas genom att ta med liknande, vad händer då när man multiplicerar eller dividerar variabler med varierande grad? De kan lätt förenklas genom att komma ihåg två huvudpunkter:
- Om det finns ett multiplikationstecken mellan variablerna läggs exponenterna till.
- När de divideras med varandra, subtraheras samma nämnare från täljarens grad.
Det enda villkoret för en sådan förenkling är samma bas för båda medlemmarna. Exempel för tydlighetens skull:
- 5x 2 × 4x 7 + (y 13 / y 11) \u003d (5 × 4)x 2+7 + y 13- 11 \u003d 20x 9 + y 2;
- 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 = 0.
Vi noterar att operationer med numeriska värden framför variabler sker enligt de vanliga matematiska reglerna. Och om man tittar noga blir det tydligt att kraftelementen i uttrycket "fungerar" på liknande sätt:
- att höja en medlem till en potens innebär att multiplicera den med sig själv ett visst antal gånger, det vill säga x 2 \u003d x × x;
- division är liknande: om du utökar graden av täljare och nämnare, kommer några av variablerna att reduceras, medan resten "samlas", vilket motsvarar subtraktion.
Som i alla företag, när man förenklar algebraiska uttryck, är inte bara kunskap om grunderna nödvändig, utan också övning. Efter bara några lektioner kommer exempel som en gång verkade komplicerade att reduceras utan specialarbete, förvandlas till kort och lättlöst.
Video
Den här videon hjälper dig att förstå och komma ihåg hur uttryck förenklas.
Fick du inget svar på din fråga? Föreslå ett ämne till författarna.