Alla språk kan uttrycka samma information olika ord och omsättningar. Matematiskt språk är inget undantag. Men samma uttryck kan skrivas likvärdigt på olika sätt. Och i vissa situationer är en av posterna enklare. Vi kommer att prata om att förenkla uttryck i den här lektionen.

Människor kommunicerar vidare olika språk. För oss är en viktig jämförelse paret "ryska språket - matematiskt språk". Samma information kan rapporteras på olika språk. Men förutom detta kan det uttalas olika på ett språk.

Till exempel: "Peter är vän med Vasya", "Vasya är vän med Petya", "Peter och Vasya är vänner". Sagt annorlunda, men en och samma. Med någon av dessa fraser skulle vi förstå vad som står på spel.

Låt oss titta på denna fras: "Pojken Petya och pojken Vasya är vänner." Vi förstår vad i fråga. Men vi gillar inte hur den här frasen låter. Kan vi inte förenkla det, säga detsamma, men enklare? "Pojke och pojke" - du kan säga en gång: "Pojkarna Petya och Vasya är vänner."

"Pojkar" ... Framgår det inte av deras namn att de inte är tjejer. Vi tar bort "pojkarna": "Petya och Vasya är vänner." Och ordet "vänner" kan ersättas med "vänner": "Petya och Vasya är vänner." Som ett resultat ersattes den första, långa, fula frasen med ett motsvarande påstående som är lättare att säga och lättare att förstå. Vi har förenklat den här frasen. Att förenkla betyder att säga det lättare, men att inte förlora, att inte förvränga meningen.

Samma sak händer i matematiskt språk. Samma sak kan sägas olika. Vad innebär det att förenkla ett uttryck? Det betyder att det för det ursprungliga uttrycket finns många likvärdiga uttryck, det vill säga de som betyder samma sak. Och från all denna mängd måste vi välja det enklaste, enligt vår mening, eller det mest lämpliga för våra ytterligare syften.

Tänk till exempel på ett numeriskt uttryck. Det kommer att motsvara .

Det kommer också att motsvara de två första: .

Det visar sig att vi har förenklat våra uttryck och hittat det kortaste ekvivalenta uttrycket.

För numeriska uttryck behöver du alltid göra allt arbete och få motsvarande uttryck som ett enda tal.

Betrakta ett exempel på ett bokstavligt uttryck . Självklart blir det enklare.

När du förenklar bokstavliga uttryck måste du utföra alla åtgärder som är möjliga.

Är det alltid nödvändigt att förenkla ett uttryck? Nej, ibland är en likvärdig men längre notation mer praktiskt för oss.

Exempel: Subtrahera talet från talet.

Det är möjligt att beräkna, men om det första talet representerades av dess ekvivalenta notation: , då skulle beräkningarna vara momentana: .

Det vill säga att ett förenklat uttryck inte alltid är fördelaktigt för oss för vidare beräkningar.

Ändå ställs vi väldigt ofta inför en uppgift som bara låter som "förenkla uttrycket."

Förenkla uttrycket: .

Beslut

1) Utför åtgärder inom den första och andra parentesen: .

2) Beräkna produkterna: .

Uppenbarligen har det sista uttrycket en enklare form än det initiala. Vi har förenklat det.

För att förenkla uttrycket måste det ersättas med en ekvivalent (lika).

För att bestämma det ekvivalenta uttrycket måste du:

1) utföra alla möjliga åtgärder,

2) använd egenskaperna addition, subtraktion, multiplikation och division för att förenkla beräkningar.

Egenskaper för addition och subtraktion:

1. Kommutativ egenskap för addition: summan ändras inte från omordningen av termerna.

2. Associativ egenskap för addition: för att lägga till ett tredje tal till summan av två siffror kan du lägga till summan av det andra och tredje talet till det första talet.

3. Egenskapen att subtrahera en summa från ett tal: för att subtrahera summan från ett tal kan du subtrahera varje term individuellt.

Egenskaper för multiplikation och division

1. Multiplikationens kommutativa egenskap: produkten förändras inte från en permutation av faktorer.

2. Associativ egenskap: för att multiplicera ett tal med produkten av två tal, kan du först multiplicera det med den första faktorn och sedan multiplicera den resulterande produkten med den andra faktorn.

3. Multiplikationens distributiva egenskap: för att multiplicera ett tal med en summa måste du multiplicera det med varje term separat.

Låt oss se hur vi faktiskt gör mentala beräkningar.

Beräkna:

Beslut

1) Föreställ dig hur

2) Låt oss representera den första faktorn som summan bittermer och gör multiplikationen:

3) du kan föreställa dig hur och utför multiplikation:

4) Ersätt den första faktorn med en motsvarande summa:

Den fördelande lagen kan också användas i motsatt riktning: .

Följ dessa steg:

1) 2)

Beslut

1) För enkelhetens skull kan du använda distributionslagen, använd den bara i motsatt riktning - ta den gemensamma faktorn ur parentes.

2) Låt oss ta den gemensamma faktorn ur parentes

Det är nödvändigt att köpa linoleum i köket och hallen. Köksdel - hall -. Det finns tre typer av linoleum: för och rubel för. Hur mycket kommer var och en av de tre typerna av linoleum att kosta? (Figur 1)

Ris. 1. Illustration för problemets tillstånd

Beslut

Metod 1. Du kan separat hitta hur mycket pengar det tar att köpa linoleum i köket, och sedan lägga till det i korridoren och lägga ihop de resulterande verken.

Uttryck, uttrycksomvandling

Maktuttryck (uttryck med krafter) och deras omvandling

I den här artikeln kommer vi att prata om att transformera uttryck med krafter. Först kommer vi att fokusera på de transformationer som utförs med uttryck av något slag, inklusive kraftuttryck, som att öppna parenteser, reducera liknande termer. Och sedan kommer vi att analysera transformationerna som är inneboende i uttryck med potenser: att arbeta med basen och exponenten, använda egenskaperna för potenser, etc.

Sidnavigering.

Vad är kraftuttryck?

Termen "maktuttryck" finns praktiskt taget inte i skolböcker i matematik, men det förekommer ofta i samlingar av uppgifter, speciellt utformade för att förbereda för Unified State Examination och OGE, till exempel. Efter att ha analyserat uppgifter där det krävs att utföra några åtgärder med maktuttryck, blir det tydligt att maktuttryck förstås som uttryck som innehåller grader i sina poster. Därför, för dig själv, kan du ta följande definition:

Definition.

Maktuttryckär uttryck som innehåller makter.

Låt oss ta exempel på maktuttryck. Dessutom kommer vi att presentera dem efter hur åsikter utvecklas från en examen med en naturlig indikator till en examen med en reell indikator.

Som ni vet finns det först en bekantskap med graden av ett tal med en naturlig exponent, i detta skede de första enklaste potensuttrycken av typen 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0, 1) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 osv.

Lite senare studeras potensen av ett tal med en heltalsexponent, vilket leder till uppkomsten av maktuttryck med negativa heltalspotenser, som följande: 3 −2, a -2 +2 b -3 + c2.

I seniorklasserna återgår de till graderna igen. Det införs en examen med rationell indikator, vilket leder till uppkomsten av motsvarande kraftuttryck: , , etc. Slutligen betraktas grader med irrationella exponenter och uttryck som innehåller dem: , .

Saken är inte begränsad till de angivna potensuttrycken: vidare tränger variabeln in i exponenten, och det finns till exempel sådana uttryck 2 x 2 +1 eller . Och efter att ha bekantat sig med börjar uttryck med potenser och logaritmer dyka upp, till exempel x 2 lgx −5 x lgx.

Så vi kom på frågan om vad maktuttryck är. Därefter kommer vi att lära oss hur man förvandlar dem.

Huvudtyperna av transformationer av maktuttryck

Med maktuttryck kan du utföra vilken som helst av de grundläggande identitetsomvandlingarna av uttryck. Du kan till exempel utöka parenteser, ersätta numeriska uttryck med deras värden, lägga till liknande termer och så vidare. Naturligtvis är det i det här fallet nödvändigt att följa den accepterade proceduren för att utföra åtgärder. Låt oss ge exempel.

Exempel.

Beräkna värdet på potensuttrycket 2 3 ·(4 2 −12) .

Beslut.

Enligt ordningen på åtgärderna utför vi först åtgärderna inom parentes. Där ersätter vi för det första potensen 4 2 med dess värde 16 (se vid behov), och för det andra beräknar vi skillnaden 16−12=4 . Vi har 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

I det resulterande uttrycket ersätter vi potensen 2 3 med dess värde 8 , varefter vi beräknar produkten 8·4=32 . Detta är det önskade värdet.

Så, 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

Svar:

2 3 (4 2 −12)=32 .

Exempel.

Förenkla kraftuttryck 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Beslut.

Uppenbarligen innehåller detta uttryck liknande termer 3 · a 4 · b − 7 och 2 · a 4 · b − 7 , och vi kan reducera dem: .

Svar:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Exempel.

Uttryck ett uttryck med krafter som produkt.

Beslut.

För att klara av uppgiften tillåter representationen av talet 9 som en potens av 3 2 och den efterföljande användningen av formeln för förkortad multiplikation av skillnaden mellan kvadrater:

Svar:

Det finns också ett antal identiska transformationer inneboende i maktuttryck. Därefter kommer vi att analysera dem.

Arbeta med bas och exponent

Det finns grader, i grunden och / eller indikatorn som inte bara är siffror eller variabler, utan några uttryck. Som ett exempel, låt oss skriva (2+0,3 7) 5−3,7 och (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

När man arbetar med liknande uttryck kan både uttrycket i gradens bas och uttrycket i exponenten ersättas identiskt lika uttryck på ODZ för dess variabler. Med andra ord, enligt de regler som är kända för oss, kan vi separat konvertera basen för graden och separat - indikatorn. Det är tydligt att som ett resultat av denna transformation erhålls ett uttryck som är identiskt lika med det ursprungliga.

Sådana transformationer tillåter oss att förenkla uttryck med krafter eller uppnå andra mål vi behöver. Till exempel, i potensuttrycket (2+0,3 7) 5−3,7 som nämns ovan, kan du utföra operationer med tal i basen och exponenten, vilket gör att du kan gå till potensen 4,1 1,3. Och efter att ha öppnat parenteserna och tagit med liknande termer i gradens bas (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1) får vi ett kraftuttryck mer enkel form a 2 (x+1).

Använder Power Properties

Ett av de viktigaste verktygen för att omvandla uttryck med krafter är jämlikheter som reflekterar. Låt oss komma ihåg de viktigaste. För alla positiva tal a och b och godtyckliga riktiga nummer r och s har följande egenskaper för potenser:

• a r a s = a r+s;
• a r:a s =a r−s ;
• (a b) r = a r b r;
• (a:b) r =a r:b r;
• (a r) s =a r s .

Observera att för naturliga, heltals och positiva exponenter kanske begränsningarna för talen a och b inte är så strikta. Till exempel för naturliga tal m och n är likheten a m ·a n =a m+n sann inte bara för positiva a utan även för negativa, och för a=0 .

I skolan är huvuduppmärksamheten i omvandlingen av maktuttryck fokuserad just på förmågan att välja lämplig fastighet och tillämpa det korrekt. I det här fallet är gradernas baser vanligtvis positiva, vilket gör att du kan använda gradernas egenskaper utan begränsningar. Detsamma gäller för omvandling av uttryck som innehåller variabler i graders baser - intervallet av acceptabla värden av variabler är vanligtvis sådant att baserna endast tar positiva värden på det, vilket gör att du fritt kan använda egenskaperna av grader. I allmänhet måste du ständigt fråga dig själv om det är möjligt att tillämpa någon egenskap av grader i det här fallet, eftersom felaktig användning av egenskaper kan leda till en minskning av ODZ och andra problem. Dessa punkter diskuteras i detalj och med exempel i artikeln omvandling av uttryck med hjälp av graders egenskaper. Här begränsar vi oss till några enkla exempel.

Exempel.

Uttryck uttrycket a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 som en potens med basen a .

Beslut.

Först transformerar vi den andra faktorn (a 2) −3 genom egenskapen att höja en potens till en potens: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. I det här fallet kommer det initiala potensuttrycket att ha formen a 2,5 ·a −6:a −5,5 . Uppenbarligen återstår det att använda egenskaperna för multiplikation och division av potenser med samma bas, vi har
a 2,5 a -6:a -5,5 =
a 2,5−6:a−5,5 =a−3,5:a−5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Svar:

a 2,5 (a 2) -3:a -5,5 \u003d en 2.

Effektegenskaper används vid transformering av maktuttryck både från vänster till höger och från höger till vänster.

Exempel.

Hitta värdet på kraftuttrycket.

Beslut.

Likhet (a·b) r =a r ·b r , applicerad från höger till vänster, låter dig gå från det ursprungliga uttrycket till formens produkt och vidare. Och när man multiplicerar potenser med samma grunder indikatorer summerar: .

Det var möjligt att utföra transformationen av det ursprungliga uttrycket på ett annat sätt:

Svar:

.

Exempel.

Givet ett potensuttryck a 1,5 −a 0,5 −6 , ange en ny variabel t=a 0,5 .

Beslut.

Graden a 1,5 kan representeras som en 0,5 3 och vidare på basis av egenskapen hos graden i graden (a r) s =a r s applicerad från höger till vänster, omvandla den till formen (a 0,5) 3 . Således, a 1,5 -a 0,5 -6=(a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Nu är det lätt att introducera en ny variabel t=a 0.5 , vi får t 3 −t−6 .

Svar:

t 3 −t−6 .

Omvandla bråk som innehåller potenser

Potensuttryck kan innehålla bråk med potenser eller representera sådana bråk. Vilken som helst av de grundläggande fraktionstransformationerna som är inneboende i fraktioner av vilket slag som helst är helt tillämpliga på sådana fraktioner. Det vill säga att bråk som innehåller grader kan reduceras, reduceras till en ny nämnare, arbeta separat med sin täljare och separat med nämnaren osv. För att illustrera orden ovan, överväg lösningarna i flera exempel.

Exempel.

Förenkla kraftuttryck .

Beslut.

Detta kraftuttryck är en bråkdel. Låt oss arbeta med dess täljare och nämnare. I täljaren öppnar vi parenteserna och förenklar uttrycket som erhålls efter det med hjälp av egenskaperna för potenser, och i nämnaren presenterar vi liknande termer:

Och vi ändrar också nämnarens tecken genom att placera ett minus framför bråket: .

Svar:

.

Reduktion av innehållande potenser av bråk till en ny nämnare utförs på samma sätt som reduktion till en ny nämnare rationella bråk. Samtidigt hittas också en ytterligare faktor och bråkets täljare och nämnare multipliceras med den. När du utför denna åtgärd är det värt att komma ihåg att reduktion till en ny nämnare kan leda till en minskning av DPV. För att förhindra att detta händer är det nödvändigt att tilläggsfaktorn inte försvinner för några värden av variablerna från ODZ-variablerna för det ursprungliga uttrycket.

Exempel.

Ta bråken till en ny nämnare: a) till nämnaren a, b) till nämnaren.

Beslut.

a) I det här fallet är det ganska lätt att ta reda på vilken ytterligare faktor som hjälper till att uppnå det önskade resultatet. Detta är en faktor a 0,3, eftersom a 0,7 a 0,3 = a 0,7+0,3 = a . Observera att inom intervallet av acceptabla värden för variabeln a (detta är mängden av alla positiva reella tal), försvinner inte graden a 0,3, därför har vi rätt att multiplicera täljaren och nämnaren för den givna bråkdelen av denna ytterligare faktor:

b) Om vi ​​tittar närmare på nämnaren finner vi det

och multiplicera detta uttryck med kommer att ge summan av kuber och , det vill säga . Och det här är den nya nämnaren som vi behöver föra den ursprungliga bråkdelen till.

Så vi hittade en ytterligare faktor. Uttrycket försvinner inte i intervallet av acceptabla värden för variablerna x och y, därför kan vi multiplicera täljaren och nämnaren för bråket med det:

Svar:

a) , b) .

Det finns inte heller något nytt i reduktionen av bråk som innehåller grader: täljaren och nämnaren representeras som ett visst antal faktorer, och samma faktorer för täljaren och nämnaren reduceras.

Exempel.

Minska andelen: a) , b).

Beslut.

a) Först kan täljaren och nämnaren reduceras med siffrorna 30 och 45, vilket är lika med 15. Dessutom kan du självklart minska med x 0,5 +1 och med . Här är vad vi har:

b) I detta fall är samma faktorer i täljaren och nämnaren inte omedelbart synliga. För att få dem måste du utföra preliminära transformationer. I det här fallet består de i att sönderdela nämnaren i faktorer enligt kvadratskillnadens formel:

Svar:

a)

b) .

Att reducera bråk till en ny nämnare och reducera bråk används främst för att utföra operationer på bråk. Åtgärder utförs enligt kända regler. När man adderar (subtraherar) bråk reduceras de till en gemensam nämnare, varefter täljarna adderas (subtraheras), och nämnaren förblir densamma. Resultatet är ett bråk vars täljare är produkten av täljarna, och nämnaren är produkten av nämnarna. Division med bråk är multiplikation med dess reciproka.

Exempel.

Följ stegen .

Beslut.

Först subtraherar vi bråken inom parentes. För att göra detta tar vi dem till en gemensam nämnare, som är , subtrahera sedan täljarna:

Nu multiplicerar vi bråk:

Uppenbarligen är en minskning med kraften x 1/2 möjlig, varefter vi har .

Du kan också förenkla potensuttrycket i nämnaren genom att använda kvadratskillnadens formel: .

Svar:

Exempel.

Förenkla kraftuttryck .

Beslut.

Uppenbarligen kan denna fraktion reduceras med (x 2,7 +1) 2, detta ger fraktionen . Det är tydligt att något annat måste göras med potenserna x. För att göra detta omvandlar vi den resulterande fraktionen till en produkt. Detta ger oss möjlighet att använda egenskapen att dela makter med samma baser: . Och i slutet av processen går vi från den sista produkten till fraktionen.

Svar:

.

Och vi tillägger att det är möjligt och i många fall önskvärt att överföra faktorer med negativa exponenter från täljaren till nämnaren eller från nämnaren till täljaren genom att ändra exponentens tecken. Sådana omvandlingar förenklar ofta ytterligare åtgärder. Till exempel kan ett maktuttryck ersättas med .

Konvertera uttryck med rötter och krafter

Ofta, i uttryck där vissa transformationer krävs, tillsammans med grader med bråkexponenter, finns det också rötter. Att konvertera ett sådant uttryck till rätt sort, i de flesta fall räcker det att bara gå till rötter eller bara till makter. Men eftersom det är bekvämare att arbeta med grader, flyttar de oftast från rötter till grader. Det är dock tillrådligt att utföra en sådan övergång när ODZ för variabler för det ursprungliga uttrycket tillåter dig att ersätta rötterna med grader utan att behöva komma åt modulen eller dela upp ODZ i flera intervall (vi diskuterade detta i detalj i artikel, övergången från rötter till makter och vice versa Efter att ha bekantat sig med graden med en rationell exponent introduceras en grad med en irrationell indikator, vilket gör det möjligt att tala om en grad med en godtycklig verklig indikator. I detta skede, skolan börjar studera exponentiell funktion , som analytiskt ges av graden, på grundval av vilken det finns ett nummer, och i indikatorn - en variabel. Så vi står inför exponentiella uttryck som innehåller tal i basen av graden, och i exponenten - uttryck med variabler, och naturligtvis uppstår behovet av att utföra transformationer av sådana uttryck.

Det bör sägas att omvandlingen av uttryck av den angivna typen vanligtvis måste utföras vid lösning exponentiella ekvationer och exponentiella ojämlikheter , och dessa transformationer är ganska enkla. I de allra flesta fall utgår de från examens egenskaper och syftar mest till att införa en ny variabel i framtiden. Ekvationen kommer att tillåta oss att demonstrera dem 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Först ersätts exponenterna, i vars exponenter summan av någon variabel (eller uttryck med variabler) och ett tal, med produkter. Detta gäller de första och sista termerna i uttrycket på vänster sida:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Därefter delas båda delarna av likheten med uttrycket 7 2 x , som bara tar positiva värden på ODZ för variabeln x för den ursprungliga ekvationen (detta är en standardteknik för att lösa ekvationer av detta slag, vi är inte pratar om det nu, så fokusera på efterföljande transformationer av uttryck med krafter ):

Nu stryks bråk med potenser, vilket ger .

Slutligen ersätts förhållandet mellan potenser med samma exponenter av potenser av förhållanden, vilket leder till ekvationen , vilket motsvarar . De transformationer som gjorts tillåter oss att introducera en ny variabel, som reducerar lösningen av den ursprungliga exponentialekvationen till lösningen av andragradsekvationen

I.V. Boikov, L.D. Romanova Samling av uppgifter för att förbereda sig inför tentamen. Del 1. Penza 2003.

Ett algebraiskt uttryck i uppteckningen av vilket, tillsammans med operationerna addition, subtraktion och multiplikation, även använder division i bokstavliga uttryck, kallas ett bråkdel algebraiskt uttryck. Sådana är till exempel uttrycken

Vi kallar en algebraisk bråkdel för ett algebraiskt uttryck som har formen av en divisionskvot av två heltalsalgebraiska uttryck (till exempel monomial eller polynom). Sådana är till exempel uttrycken

det tredje av uttrycken).

Identitetstransformationer av bråkalgebraiska uttryck är till största delen avsedda att representera dem i formen algebraisk bråkdel. För att hitta en gemensam nämnare används faktoriseringen av nämnare av bråk - termer för att hitta deras minsta gemensamma multipel. När du reducerar algebraiska fraktioner kan uttryckens strikta identitet kränkas: det är nödvändigt att utesluta värdena för kvantiteter där faktorn med vilken reduktionen görs försvinner.

Låt oss ge exempel på identiska transformationer av bråkdelalgebraiska uttryck.

Exempel 1: Förenkla ett uttryck

Alla termer kan reduceras till en gemensam nämnare (det är bekvämt att ändra tecknet i nämnaren för den sista termen och tecknet framför den):

Vårt uttryck är lika med ett för alla värden utom dessa värden, det är inte definierat och bråkreduktion är olagligt).

Exempel 2. Representera uttryck som en algebraisk fraktion

Beslut. Uttrycket kan tas som en gemensam nämnare. Vi finner successivt:

Övningar

1. Hitta värdena för algebraiska uttryck för de angivna värdena för parametrarna:

2. Faktorisera.

Math-Circulator-Online v.1.0

Kalkylatorn utför följande operationer: addition, subtraktion, multiplikation, division, arbeta med decimaler, extrahera roten, höja till en potens, beräkna procentsatser och andra operationer.

Beslut:

Hur man använder matematikkalkylatorn

Nyckel	Beteckning	Förklaring
5	nummer 0-9	Arabiska siffror. Ange naturliga heltal, noll. För att få ett negativt heltal, tryck på +/- tangenten
.	semikolon)	En decimalavgränsare. Om det inte finns någon siffra före punkten (komma), kommer räknaren automatiskt att ersätta en nolla före punkten. Till exempel: .5 - 0.5 kommer att skrivas
+	plustecken	Addering av tal (hela, decimalbråk)
-	minustecken	Subtraktion av tal (hela, decimalbråk)
÷	division tecken	Division av tal (hela, decimalbråk)
X	multiplikationstecken	Multiplikation av tal (heltal, decimaler)
√	rot	Extrahera roten från ett tal. När du trycker på "root"-knappen igen, beräknas roten från resultatet. Till exempel: kvadratroten ur 16 = 4; kvadratroten ur 4 = 2
x2	kvadrera	Kvadratera ett nummer. När du trycker på knappen "kvadrat" igen blir resultatet kvadratiskt, till exempel: ruta 2 = 4; ruta 4 = 16
1/x	fraktion	Utdata till decimaler. I täljaren 1, i nämnaren det inmatade numret
%	procent	Få en procentandel av ett tal. För att arbeta måste du ange: talet från vilket procenten kommer att beräknas, tecknet (plus, minus, dividera, multiplicera), hur många procent i numerisk form, knappen "%"
(	öppet fäste	En öppen parentes för att ställa in utvärderingsprioriteten. En stängd parentes krävs. Exempel: (2+3)*2=10
)	stängt fäste	En sluten parentes för att ställa in utvärderingsprioritet. Tillgänglighet krävs öppet fäste
±	plus minus	Ändrar tecken till motsatt
=	lika	Visar resultatet av lösningen. Även mellanliggande beräkningar och resultatet visas ovanför räknaren i fältet "Lösning".
←	radera ett tecken	Tar bort det sista tecknet
Med	återställa	Återställningsknapp. Återställer räknaren helt till "0"

Algoritmen för online-kalkylatorn med exempel

Tillägg.

Addering av hela naturliga tal (5 + 7 = 12)

Addition av hela naturliga och negativa tal ( 5 + (-2) = 3 )

Decimaltillägg bråktal { 0,3 + 5,2 = 5,5 }

Subtraktion.

Subtraktion av hela naturliga tal (7-5 ​​= 2)

Subtraktion av hela naturliga och negativa tal ( 5 - (-2) = 7 )

Subtraktion av decimalbråktal ( 6,5 - 1,2 = 4,3 )

Multiplikation.

Produkt av hela naturliga tal ( 3 * 7 = 21 )

Produkt av hela naturliga och negativa tal ( 5 * (-3) = -15 )

Produkt av decimaltal ( 0,5 * 0,6 = 0,3 )

Division.

Division av hela naturliga tal (27/3 = 9)

Division av hela naturliga och negativa tal ( 15 / (-3) = -5 )

Division av decimalbråktal ( 6,2 / 2 = 3,1 )

Extrahera roten från ett tal.

Extrahera roten av ett heltal ( root(9) = 3 )

Extrahera roten av decimaler (rot(2,5) = 1,58)

Extrahera roten från summan av tal ( root(56 + 25) = 9 )

Extrahera roten av skillnaden i tal ( rot (32 - 7) = 5 )

Kvadratera ett nummer.

Kvadratera ett heltal ( (3) 2 = 9 )

Kvadrat decimaler ( (2,2) 2 = 4,84 )

Konvertera till decimalbråk.

Beräkna procentsatser av ett tal

Öka 230 med 15 % ( 230 + 230 * 0,15 = 264,5 )

Minska siffran 510 med 35 % ( 510 - 510 * 0,35 = 331,5 )

18 % av siffran 140 är ( 140 * 0,18 = 25,2 )

Bekvämt och enkelt kalkylator online fraktioner med detaljerad lösning kanske:

• Addera, subtrahera, multiplicera och dividera bråk på nätet,
• Motta helhetslösning bråkdelar med en bild och det är bekvämt att överföra den.



Resultatet av att lösa bråk kommer att vara här ...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Bråktecken "/" + - * :
_torka Rensa
Vår bråkräknare online har snabb inmatning. För att få lösningen av bråk till exempel, skriv bara 1/2+2/7 in i kalkylatorn och tryck på " lösa fraktioner". Kalkylatorn kommer att skriva till dig detaljerad lösning fraktioner och utfärda kopieringsvänlig bild.

Tecknen som används för att skriva i räknaren

Du kan skriva ett exempel på en lösning både från tangentbordet och med knapparna.

Funktioner i bråkräknaren online

Bråkräknaren kan endast utföra operationer med 2 enkla bråk. De kan vara antingen korrekta (täljaren är mindre än nämnaren) eller felaktiga (täljaren är större än nämnaren). Siffrorna i täljaren och nämnarna får inte vara negativa och större än 999.
Vår online-kalkylator löser bråk och ger svaret på rätt form- minskar bråkdelen och markerar hela delen vid behov.

Om du behöver lösa negativa bråk, använd bara minusegenskaperna. När man multiplicerar och dividerar negativa bråk ger minus med minus plus. Det vill säga att produkten och divisionen av negativa fraktioner är lika med produkten och divisionen av samma positiva. Om ett bråk är negativt när det multipliceras eller divideras, ta helt enkelt bort minuset och lägg det sedan till svaret. När du lägger till negativa bråk blir resultatet detsamma som om du lagt till samma positiva bråk. Om du lägger till en negativ bråkdel är det samma som att subtrahera samma positiva.
När man subtraherar negativa bråk blir resultatet detsamma som om de hade vänts om och gjorts positiva. Det vill säga ett minus med ett minus i det här fallet ger ett plus, och summan ändras inte från en omarrangering av termerna. Vi använder samma regler när vi subtraherar bråk, varav en är negativ.

För att lösa blandade fraktioner (fraktioner där hela delen är markerad), kör helt enkelt hela delen till en fraktion. För att göra detta, multiplicera heltalsdelen med nämnaren och lägg till täljaren.

Om du behöver lösa 3 eller fler fraktioner online, bör du lösa dem en efter en. Räkna först de två första bråken, lös sedan nästa bråkdel med det mottagna svaret och så vidare. Utför operationer i tur och ordning för 2 bråk, och i slutändan får du rätt svar.