Hem > Lantbruk

Öppen parentes är en siffra. Expanderande parenteser - Knowledge Hypermarket

Parenteser används för att indikera i vilken ordning åtgärder utförs i numeriska och alfabetiska uttryck, såväl som i uttryck med variabler. Det är bekvämt att gå från ett uttryck med parentes till identiskt lika uttryck utan fästen. Denna teknik kallas parentesöppning.

Att utöka parenteser innebär att ta bort uttrycket av dessa parenteser.

En annan punkt förtjänar särskild uppmärksamhet, som gäller särdragen med skrivlösningar när man öppnar parenteser. Vi kan skriva det initiala uttrycket med parenteser och resultatet som erhålls efter att ha öppnat parenteser som likhet. Till exempel efter att ha öppnat parenteserna, istället för uttrycket
3−(5−7) får vi uttrycket 3−5+7. Vi kan skriva båda dessa uttryck som likheten 3−(5−7)=3−5+7.

Och en till viktig poäng. Inom matematiken är det vanligt att inte skriva ett plustecken om det är det första i ett uttryck eller inom parentes för att minska inmatningar. Till exempel, om vi lägger till två positiva tal, till exempel sju och tre, så skriver vi inte +7 + 3, utan helt enkelt 7 + 3, trots att sju också är ett positivt tal. På liknande sätt, om du till exempel ser uttrycket (5 + x) - vet att det finns ett plus framför parentesen, som inte är skrivet, och det finns ett plus + (+5 + x) framför fem.

Utvidgningsregel för fäste för tillägg

Vid öppning av parentes, om det finns ett plus före parentes, så utelämnas detta plus tillsammans med parentes.

Exempel. Öppna parenteserna i uttrycket 2 + (7 + 3) Före parentesen plus, då ändras inte tecknen framför siffrorna inom parentes.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

Regeln för att expandera parenteser vid subtrahering

Om det finns ett minus före parentesen, så utelämnas detta minus tillsammans med parenteserna, men termerna som stod inom parentes ändrar sitt tecken till motsatsen. Frånvaron av ett tecken före den första termen inom parentes innebär ett +-tecken.

Exempel. Öppna parenteser i uttryck 2 − (7 + 3)

Det finns ett minus före parentesen, så du måste ändra tecknen före siffrorna från parentesen. Det finns inget tecken inom parentes före siffran 7, vilket betyder att sjuan är positiv, det anses att +-tecknet står framför det.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

När vi öppnar fästena tar vi bort minus från exemplet, som var före fästena, och själva fästena 2 − (+ 7 + 3), och ändrar tecknen som fanns i fästena till de motsatta.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Expandera parenteser vid multiplikation

Om det finns ett multiplikationstecken framför parenteserna, multipliceras varje tal inom parentesen med faktorn framför parentesen. Samtidigt ger multiplicering av ett minus med ett minus ett plus, och att multiplicera ett minus med ett plus, som att multiplicera ett plus med ett minus, ger ett minus.

Således utökas parenteser i produkter i enlighet med multiplikationens fördelningsegenskap.

Exempel. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

När man multiplicerar parentes med parentes, multipliceras varje term i den första parentesen med varje term i den andra parentesen.

(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5

Faktum är att det inte finns något behov av att komma ihåg alla regler, det räcker att bara komma ihåg en, den här: c(a−b)=ca−cb. Varför? För om vi ersätter en istället för c får vi regeln (a−b)=a−b. Och om vi ersätter minus ett får vi regeln −(a−b)=−a+b. Tja, om du ersätter en annan parentes istället för c, kan du få den sista regeln.

Utöka parenteser vid delning

Om det finns ett divisionstecken efter parenteserna är varje siffra inom parentesen delbart med divisorn efter parenteserna och vice versa.

Exempel. (9 + 6): 3=9: 3 + 6: 3

Hur man utökar kapslade parenteser

Om uttrycket innehåller kapslade hakparenteser expanderas de i ordning, med början med extern eller intern.

Samtidigt, när du öppnar en av konsolerna, är det viktigt att inte röra de andra konsolerna, utan bara skriva om dem som de är.

Exempel. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b

att bilda förmågan att öppna parentes, med hänsyn till tecknet framför parentes;

  • utvecklande:
    • utveckla logiskt tänkande, uppmärksamhet, matematiskt tal, förmågan att analysera, jämföra, generalisera, dra slutsatser;
  • pedagoger:
    •  ansvarsbildning, kognitivt intresse för ämnet

    Under lektionerna

    I. Organisatoriskt ögonblick.

    Kolla in det kompis
    Är du redo för lektionen?
    Är allt på plats? Allt är bra?
    Penna, bok och anteckningsbok.
    Sitter alla rätt?
    Kollar alla noga?

    Jag vill börja lektionen med en fråga till dig:

    Vad tycker du är det mest värdefulla på jorden? (Barnens svar.)

    Denna fråga har bekymrat mänskligheten i tusentals år. Här är svaret från den berömda vetenskapsmannen Al-Biruni: "Kunskap är den mest utmärkta ägodelen. Alla strävar efter det, men det kommer inte av sig självt.”

    Låt dessa ord vara mottot för vår lektion.

    II. Förverkligande av tidigare kunskaper, färdigheter, färdigheter:

    Verbal räkning:

    1.1. Vad är dagens datum?

    2. Vad vet du om siffran 20?

    3. Och var finns detta nummer på koordinatlinjen?

    4. Namnge numret på hans baksida.

    5. Namnge numret mittemot den.

    6. Vad heter numret - 20?

    7. Vilka tal kallas motsatser?

    8. Vilka tal kallas negativa?

    9. Vad är modulen för talet 20? - 20?

    10. Vad är summan av motstående tal?

    2. Förklara följande poster:

    a) Den forntida matematikern av geniet Arkimedes föddes år 0 287 f.Kr.

    b) Den lysande ryske matematikern N.I. Lobatsjovskij föddes 1792.

    för första gången olympiska spelenägde rum i Grekland 776.

    d) De första internationella olympiska spelen ägde rum 1896.

    e) XXII olympiska vinterspelen ägde rum 2014.

    3. Ta reda på vilka siffror som snurrar på "mattekarusellen" (alla åtgärder utförs muntligt).

    II. Bildande av nya kunskaper, färdigheter och förmågor.

    Du har lärt dig hur man utför olika operationer med heltal. Vad ska vi göra härnäst? Hur ska vi lösa exempel och ekvationer?

    Låt oss ta reda på innebörden av dessa uttryck

    7 + (3 + 4) = -7 + 7 = 0
    -7 + 3 + 4 = 0

    Vad är proceduren i 1 exempel? Hur mycket står inom parentes? Handlingsordningen i det andra exemplet? Resultatet av den första åtgärden? Vad kan man säga om dessa uttryck?

    Naturligtvis är resultaten av de första och andra uttrycken desamma, så du kan sätta ett likhetstecken mellan dem: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4

    Vad har vi gjort med fästena? (Förlorat.)

    Vad tror du att vi ska göra i klassen idag? (Barn formulerar ämnet för lektionen.) I vårt exempel, vilket tecken står framför parenteserna. (Plus.)

    Och så kommer vi till nästa regel:

    Om det finns ett +-tecken före hakparenteserna, kan du utelämna hakparenteserna och detta +-tecken, och behålla termernas tecken inom parentes. Om den första termen inom parentes skrivs utan tecken, måste den skrivas med ett +-tecken.

    Men vad händer om det finns ett minustecken framför parentesen?

    I det här fallet måste du resonera på samma sätt som när du subtraherar: du måste lägga till talet mitt emot det som subtraheras:

    7 – (3 + 4) = -7 + (-7) = -7 + (-3) + (-4) = -7 – 3 – 4 = -14

    – Så, vi öppnade fästena när det stod ett minustecken framför dem.

    Regeln för att expandera parenteser när det finns ett "-"-tecken framför parenteserna.

    För att öppna parenteserna som föregås av --tecknet måste du ersätta detta tecken med +, ändra tecknen för alla termer i parentesen till de motsatta, och sedan öppna parenteserna.

    Låt oss lyssna på reglerna för att öppna parenteser i verser:

    Det finns ett plus framför parentesen.
    Han pratar om det
    Vad släpper du fästena
    Släpp alla skyltar!
    Innan parentes minus strikt
    Kommer att blockera vår väg
    För att ta bort konsoler
    Vi måste ändra skyltarna!

    Ja, killar, minustecknet är mycket lömskt, det är en "väktare" vid porten (parentes), det släpper siffror och variabler först när de ändrar sina "pass", det vill säga sina skyltar.

    Varför behöver man överhuvudtaget öppna parenteser? (När det finns parentes finns det ett ögonblick av något element av ofullständighet, något slags mysterium. Det är som stängd dörr, bakom vilket är något intressant.) Idag har vi lärt oss denna hemlighet.

    En liten utvikning i historien:

    Lockiga parenteser förekommer i Vietas skrifter (1593). Konsoler användes i stor utsträckning först under första hälften av 1700-talet, tack vare Leibniz och ännu mer till Euler.

    Fizkultminutka.

    III. Konsolidering av nya kunskaper, färdigheter och förmågor.

    Läroboksarbete:

    nr 1234 (öppna parenteser) - muntligt.

    nr 1236 (öppna parenteser) - muntligt.

    nr 1235 (finn innebörden av uttrycket) - skriftligt.

    Nr 1238 (förenkla uttrycken) - arbeta i par.

    IV. Sammanfattning av lektionen.

    1. Poäng meddelas.

    2. Hus. träning. 39 nr. 1254 (a, b, c), 1255 (a, b, c), 1259.

    3. Vad har vi lärt oss idag?

    Vad har du lärt dig?

    Och jag vill avsluta lektionen med önskningar till var och en av er:

    "Visa förmågan att matematik,
    Var inte lat, utan utvecklas dagligen.
    Multiplicera, dividera, arbeta, tänka,
    Glöm inte att vara kompis med matematik.

    Den huvudsakliga funktionen för parenteser är att ändra ordningen på åtgärder vid beräkning av värden. till exempel, i det numeriska uttrycket \(5 3+7\) kommer multiplikationen att beräknas först, och sedan additionen: \(5 3+7 =15+7=22\). Men i uttrycket \(5·(3+7)\), kommer addition inom parentes att beräknas först, och först sedan multiplikation: \(5·(3+7)=5·10=50\).


    Exempel. Expandera parentesen: \(-(4m+3)\).
    Beslut : \(-(4m+3)=-4m-3\).

    Exempel. Expandera parentesen och ge liknande termer \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
    Beslut : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).


    Exempel. Expandera parenteserna \(5(3-x)\).
    Beslut : Vi har \(3\) och \(-x\) inom parentesen, och fem framför parentesen. Det betyder att varje medlem av parentesen multipliceras med \ (5 \) - jag påminner dig om det multiplikationstecknet mellan ett tal och en parentes i matematik är inte skrivet för att minska storleken på poster.


    Exempel. Expandera parenteserna \(-2(-3x+5)\).
    Beslut : Liksom i föregående exempel multipliceras \(-3x\) inom parentes och \(5\) med \(-2\).

    Exempel. Förenkla uttrycket: \(5(x+y)-2(x-y)\).
    Beslut : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).


    Det återstår att överväga den sista situationen.

    När man multiplicerar parentes med parentes, multipliceras varje term i den första parentesen med varje term i den andra:

    \((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+da-db\)

    Exempel. Expandera parenteserna \((2-x)(3x-1)\).
    Beslut : Vi har en produkt av parentes och den kan öppnas omedelbart med hjälp av formeln ovan. Men för att inte bli förvirrade, låt oss göra allt steg för steg.
    Steg 1. Ta bort den första konsolen - var och en av dess medlemmar multipliceras med den andra konsolen:

    Steg 2. Expandera produkterna från fästet med faktorn som beskrivs ovan:
    - den första först...

    Sedan den andra.

    Steg 3. Nu multiplicerar vi och tar med liknande termer:

    Det är inte nödvändigt att måla alla transformationer i detalj, du kan omedelbart multiplicera. Men om du bara ska lära dig att öppna parentes - skriv i detalj, det blir mindre chans att göra ett misstag.

    Notera till hela avsnittet. Faktum är att du inte behöver komma ihåg alla fyra reglerna, du behöver bara komma ihåg en, den här: \(c(a-b)=ca-cb\) . Varför? För om vi ersätter ett istället för c får vi regeln \((a-b)=a-b\) . Och om vi ersätter minus ett får vi regeln \(-(a-b)=-a+b\) . Tja, om du ersätter en annan parentes istället för c, kan du få den sista regeln.

    parentes inom parentes

    Ibland uppstår i praktiken problem med parenteser kapslade inuti andra parentes. Här är ett exempel på en sådan uppgift: att förenkla uttrycket \(7x+2(5-(3x+y))\).

    För att lyckas med dessa uppgifter behöver du:
    - noggrant förstå kapslingen av parentes - vilken är i vilken;
    - öppna fästena i tur och ordning, börja till exempel med den innersta.

    Det är viktigt när du öppnar ett av fästena rör inte resten av uttrycket, bara att skriva om det som det är.
    Låt oss ta uppgiften ovan som ett exempel.

    Exempel. Öppna parenteserna och ge liknande termer \(7x+2(5-(3x+y))\).
    Beslut:


    Exempel. Expandera parenteserna och ge liknande termer \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
    Beslut :

    \(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)

    Detta är en trippel nästning av parenteser. Vi börjar med den innersta (markerad med grönt). Det finns ett plus framför parentesen, så det tas helt enkelt bort.

    \(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)

    Nu måste du öppna den andra konsolen, mellanliggande. Men innan dess kommer vi att förenkla uttrycket genom att spöka liknande termer i denna andra parentes.

    \(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)

    Nu öppnar vi den andra konsolen (markerad i blått). Det finns en multiplikator framför parentesen - så varje term i parentesen multipliceras med den.

    \(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)

    Och öppna den sista parentesen. Före parentes minus - så alla tecken är omvända.

    Att öppna konsolen är en grundläggande färdighet i matematik. Utan denna färdighet är det omöjligt att ha ett betyg över tre i årskurs 8 och 9. Därför rekommenderar jag en god förståelse för detta ämne.

    I den här artikeln kommer vi att överväga i detalj de grundläggande reglerna för ett så viktigt ämne i en matematikkurs som öppningsparenteser. Du måste känna till reglerna för att öppna parenteser för att korrekt lösa ekvationer där de används.

    Hur man korrekt öppnar parenteser när man lägger till

    Expandera parenteserna som föregås av "+"-tecknet

    Detta är det enklaste fallet, för om det finns ett tilläggstecken framför fästena, när fästena öppnas, ändras inte tecknen inuti dem. Exempel:

    (9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

    Hur man öppnar parenteser som föregås av ett "-"-tecken

    I det här fallet måste du skriva om alla termer utan parentes, men samtidigt ändra alla tecken inuti dem till de motsatta. Tecknen ändras endast för villkoren för de parenteser som föregicks av tecknet "-". Exempel:

    (9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

    Hur man öppnar parentes när man multiplicerar

    Parentesen föregås av en multiplikator

    I det här fallet måste du multiplicera varje term med en faktor och öppna parenteserna utan att byta tecken. Om multiplikatorn har tecknet "-", så vänds tecknen på termerna vid multiplikation. Exempel:

    3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

    Hur man öppnar två parenteser med ett multiplikationstecken mellan dem

    I det här fallet måste du multiplicera varje term från den första parentesen med varje term från den andra parentesen och sedan lägga till resultaten. Exempel:

    (9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

    Hur man öppnar parentes i en kvadrat

    Om summan eller skillnaden mellan två termer är kvadratisk, ska parentesen utökas enligt följande formel:

    (x + y)^2 = x^2 + 2*x*y + y^2.

    Vid minus inom parentes ändras formeln inte. Exempel:

    (9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

    Hur man öppnar parenteser i en annan grad

    Om summan eller skillnaden mellan termerna höjs, till exempel till 3:e eller 4:e potensen, behöver du bara dela upp graden av parentesen i "rutor". Krafterna för samma faktorer adderas, och vid division subtraheras graden av divisor från graden av utdelning. Exempel:

    (9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

    Hur man öppnar 3 parentes

    Det finns ekvationer där 3 parenteser multipliceras på en gång. I det här fallet måste du först multiplicera termerna i de två första parenteserna sinsemellan och sedan multiplicera summan av denna multiplikation med termerna i den tredje parentesen. Exempel:

    (1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

    Dessa parentesöppningsregler gäller lika för både linjära och trigonometriska ekvationer.

    Bracketexpansion är en typ av uttrycksomvandling. I det här avsnittet kommer vi att beskriva reglerna för att utöka parenteser, samt överväga de vanligaste exemplen på uppgifter.

    Yandex.RTB R-A-339285-1

    Vad är parentesexpansion?

    Parenteser används för att indikera i vilken ordning åtgärder utförs i numeriska och alfabetiska uttryck, såväl som i uttryck med variabler. Det är bekvämt att gå från ett uttryck med parenteser till ett identiskt lika uttryck utan parenteser. Ersätt till exempel uttrycket 2 (3 + 4) med ett uttryck som 2 3 + 2 4 utan fästen. Denna teknik kallas parentesöppning.

    Definition 1

    Under öppningen av parentes menar vi metoderna för att bli av med parenteser och betraktas vanligtvis i relation till uttryck som kan innehålla:

    • tecken "+" eller "-" framför parenteser som innehåller summor eller skillnader;
    • produkten av en siffra, bokstav eller flera bokstäver och summan eller skillnaden, som är placerad inom parentes.

    Så här brukade vi betrakta processen att utöka parenteser i kursen Läroplanen. Det är dock ingen som hindrar oss från att se på denna åtgärd bredare. Vi kan kalla parentesexpansion övergången från ett uttryck som innehåller negativa tal inom parentes till ett uttryck som inte har parentes. Till exempel kan vi gå från 5 + (− 3) − (− 7) till 5 − 3 + 7 . Detta är faktiskt också parentesexpansion.

    På samma sätt kan vi ersätta produkten av uttryck inom parentes av formen (a + b) · (c + d) med summan a · c + a · d + b · c + b · d . Denna teknik motsäger inte heller innebörden av parentesexpansion.

    Här är ett annat exempel. Vi kan anta att i uttryck, istället för siffror och variabler, kan alla uttryck användas. Till exempel kommer uttrycket x 2 1 a - x + sin (b) att motsvara ett uttryck utan parenteser av formen x 2 1 a - x 2 x + x 2 sin (b) .

    Ytterligare en punkt förtjänar särskild uppmärksamhet, som gäller särdragen med skrivlösningar när man öppnar parenteser. Vi kan skriva det initiala uttrycket med parenteser och resultatet som erhålls efter att ha öppnat parenteser som likhet. Till exempel efter att ha öppnat parenteserna, istället för uttrycket 3 − (5 − 7) vi får uttrycket 3 − 5 + 7 . Vi kan skriva båda dessa uttryck som likheten 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7 .

    Att utföra åtgärder med besvärliga uttryck kan kräva att man registrerar mellanliggande resultat. Då kommer lösningen att ha formen av en kedja av jämlikheter. Till exempel, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 eller 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .

    Regler för att öppna parenteser, exempel

    Låt oss börja med reglerna för att öppna parenteser.

    Enstaka siffror inom parentes

    Negativa tal inom parentes förekommer ofta i uttryck. Till exempel (− 4) och 3 + (− 4) . Positiva tal inom parentes förekommer också.

    Låt oss formulera regeln för öppningsparenteser som innehåller enstaka positiva tal. Antag att a är ett positivt tal. Då kan vi ersätta (a) med a, + (a) med + a, - (a) med - a. Om vi ​​istället för a tar ett specifikt nummer, kommer enligt regeln: siffran (5) att skrivas som 5 , kommer uttrycket 3 + (5) utan parentes att ha formen 3 + 5 , eftersom + (5) ersätts med + 5 , och uttrycket 3 + (− 5) är ekvivalent med uttrycket 3 − 5 , som + (− 5) ersätts av − 5 .

    Positiva tal skrivs vanligtvis utan att använda parentes, eftersom parenteserna är överflödiga i detta fall.

    Tänk nu på regeln för öppningsparenteser som innehåller ett enda negativt tal. + (−a) vi ersätter med − a, − (− a) ersätts med + a . Om uttrycket börjar med ett negativt tal (-a), som skrivs inom parentes, då utelämnas parenteserna och istället för (-a) resterna − a.

    Här är några exempel: (− 5) kan skrivas som − 5 , (− 3) + 0 , 5 blir − 3 + 0 , 5 , 4 + (− 3) blir 4 − 3 , och − (− 4) − (− 3) efter att ha öppnat parenteserna har formen 4 + 3 , eftersom − (− 4) och − (− 3) ersätts med + 4 och + 3 .

    Det bör förstås att uttrycket 3 · (− 5) inte kan skrivas som 3 · − 5. Detta kommer att diskuteras i följande stycken.

    Låt oss se vad reglerna för parentesexpansion bygger på.

    Enligt regeln är skillnaden a − b lika med a + (− b) . Baserat på egenskaperna hos handlingar med siffror kan vi göra en kedja av likheter (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = a vilket kommer att vara rättvist. Denna kedja av likheter, i kraft av betydelsen av subtraktion, bevisar att uttrycket a + (− b) är skillnaden a-b.

    Baserat på egenskaperna hos motsatta tal och reglerna för att subtrahera negativa tal, kan vi hävda att − (− a) = a , a − (− b) = a + b .

    Det finns uttryck som är uppbyggda av ett tal, minustecken och flera par parenteser. Genom att använda reglerna ovan kan du sekventiellt bli av med parentes, flytta från inre parentes till yttre eller vice versa. Ett exempel på ett sådant uttryck skulle vara − (− ((− (5)))) . Låt oss öppna fästena och flytta från insidan till utsidan: − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Detta exempel kan också analyseras omvänt: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .

    Under a och b kan inte bara förstås som tal, utan också som godtyckliga numeriska eller bokstavliga uttryck med ett "+" framför som inte är summor eller skillnader. I alla dessa fall kan du tillämpa reglerna på samma sätt som vi gjorde med enstaka siffror inom parentes.

    Till exempel, efter att ha öppnat parenteserna, uttrycket − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2: z) har formen 2 x − x 2 − 1 x − 2 x y 2: z . Hur gjorde vi det? Vi vet att − (− 2 x) är + 2 x , och eftersom detta uttryck kommer först, kan + 2 x skrivas som 2 x , - (x 2) = - x 2, + (− 1 x) = − 1 x och − (2 x y 2: z) = − 2 x y 2: z.

    I produkterna av två nummer

    Låt oss börja med regeln för expanderande parenteser i produkten av två tal.

    Låt oss låtsas som det a och b är två positiva tal. I detta fall produkten av två negativa tal − a och − b av formen (− a) (− b) kan ersättas med (a b) , och produkterna av två tal med motsatta tecken på formen (− a) b och a (− b) kan ersättas med (− a b). Att multiplicera ett minus med ett minus ger ett plus, och att multiplicera ett minus med ett plus, som att multiplicera ett plus med ett minus, ger ett minus.

    Riktigheten av den första delen av den skrivna regeln bekräftas av regeln för att multiplicera negativa tal. För att bekräfta den andra delen av regeln kan vi använda reglerna för att multiplicera tal med olika tecken.

    Låt oss titta på några exempel.

    Exempel 1

    Betrakta algoritmen för att öppna parenteser i produkten av två negativa tal - 4 3 5 och - 2 , av formen (- 2) · - 4 3 5 . För att göra detta ersätter vi det ursprungliga uttrycket med 2 · 4 3 5 . Låt oss utöka parenteserna och få 2 · 4 3 5 .

    Och om vi tar kvoten av negativa tal (− 4) : (− 2) , kommer posten efter att ha öppnat parentesen att se ut som 4: 2

    Istället för negativa tal − a och − b kan vara alla uttryck med ett inledande minustecken som inte är summor eller skillnader. Det kan till exempel vara produkter, partialer, bråk, grader, rötter, logaritmer, trigonometriska funktioner etc.

    Låt oss öppna parenteserna i uttrycket - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) . Enligt regeln kan vi göra följande transformationer: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5 .

    Uttryck (− 3) 2 kan konverteras till uttrycket (− 3 2) . Efter det kan du öppna parenteserna: − 3 2.

    2 3 - 4 5 = - 2 3 4 5 = - 2 3 4 5

    Att dela siffror med olika tecken kan också kräva en preliminär expansion av parentes: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 och 2 3 4: (- 3 , 5 ) = - 2 3 4: 3 , 5 = - 2 3 4: 3 , 5 .

    Regeln kan användas för att utföra multiplikation och division av uttryck med olika tecken. Låt oss ge två exempel.

    1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3

    sin (x) (- x 2) \u003d (- sin (x) x 2) \u003d - sin (x) x 2

    I produkterna av tre eller fler nummer

    Låt oss gå vidare till produkten och kvoterna, som innehåller stor kvantitet tal. För expanderande parenteser, här kommer att agera nästa regel. På jämnt nummer negativa tal kan du utelämna parenteserna och ersätta talen med deras motsatser. Efter det måste du bifoga det resulterande uttrycket inom nya parenteser. För ett udda antal negativa tal, utelämna parenteser, ersätt talen med deras motsatser. Därefter måste det resulterande uttrycket tas inom nya parenteser och sätta ett minustecken framför det.

    Exempel 2

    Låt oss till exempel ta uttrycket 5 · (− 3) · (− 2) , som är produkten av tre tal. Det finns två negativa tal, så vi kan skriva uttrycket som (5 3 2) och öppna sedan parenteserna och få uttrycket 5 3 2 .

    I produkten (− 2 , 5) (− 3) : (− 2) 4: (− 1 , 25) : (− 1) är fem siffror negativa. så (− 2 , 5) (− 3) : (− 2) 4: (− 1 , 25) : (− 1) = (− 2 . 5 3: 2 4: 1 , 25: 1) . Äntligen öppnar vi fästena, vi får −2,5 3:2 4:1,25:1.

    Ovanstående regel kan motiveras på följande sätt. Först kan vi skriva om sådana uttryck som en produkt och ersätta division med multiplikation med det reciproka. Vi representerar varje negativt tal som produkten av en multiplikator och ersätter - 1 eller - 1 med (− 1) a.

    Med hjälp av den kommutativa egenskapen för multiplikation byter vi faktorerna och överför alla faktorer lika med − 1 , till början av uttrycket. Produkten av ett jämnt tal minus ettor är lika med 1 och ett udda tal är lika med − 1 , vilket gör att vi kan använda minustecknet.

    Om vi ​​inte använde regeln, skulle åtgärdskedjan för att öppna parenteser i uttrycket - 2 3: (- 2) 4: - 6 7 se ut så här:

    2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) 7 6 = = (- 1) (- 1) (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6

    Ovanstående regel kan användas när du utökar parenteser i uttryck som är produkter och kvoter med ett minustecken som inte är summor eller skillnader. Ta till exempel uttrycket

    x 2 (- x): (- 1 x) x - 3: 2 .

    Det kan reduceras till ett uttryck utan parentes x 2 · x: 1 x · x - 3: 2 .

    Öppnande parentes föregås av ett +-tecken

    Tänk på en regel som kan tillämpas för att expandera parenteser som föregås av ett plustecken och "innehållet" i dessa parenteser inte multipliceras eller divideras med något tal eller uttryck.

    Enligt regeln utelämnas parenteser tillsammans med tecknet framför dem, medan tecknen för alla termer inom parentes bevaras. Om det inte finns något tecken framför den första termen inom parentes, måste du sätta ett plustecken.

    Exempel 3

    Till exempel ger vi uttrycket (12 − 3 , 5) − 7 . Genom att utelämna parenteser behåller vi termernas tecken inom parentes och sätter ett plustecken framför den första termen. Posten kommer att se ut som (12 − ​​3 , 5) − 7 = + 12 − 3 , 5 − 7 . I exemplet ovan är det inte nödvändigt att sätta ett tecken framför den första termen, eftersom + 12 - 3, 5 - 7 = 12 - 3, 5 - 7.

    Exempel 4

    Låt oss överväga ytterligare ett exempel. Ta uttrycket x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x och utför åtgärder med det x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x

    Här är ett annat exempel på expanderande parenteser:

    Exempel 5

    2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x2

    Hur man utökar parenteser som föregås av ett minustecken

    Tänk på fall där det finns ett minustecken framför parenteserna och som inte multipliceras (eller divideras) med något tal eller uttryck. Enligt regeln för expanderande parenteser som föregås av "-"-tecknet, utelämnas parenteserna med "-"-tecknet, medan tecknen för alla termer inom parentesen är omvända.

    Exempel 6

    Till exempel:

    1 2 \u003d 1 2, - 1 x + 1 \u003d - 1 x + 1, - (- x 2) \u003d x 2

    Variabeluttryck kan konverteras med samma regel:

    X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,

    vi får x - x 3 - 3 + 2 x 2 - 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2 .

    Öppna parenteser när man multiplicerar ett tal med en parentes, uttryck med en parentes

    Här kommer vi att överväga fall där det är nödvändigt att öppna parenteser som multipliceras eller divideras med valfritt tal eller uttryck. Här formler av formen (a 1 ± a 2 ± ... ± a n) b = (a 1 b ± a 2 b ± ... ± a n b) eller b (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b a 1 ± b a 2 ± … ± b a n), var a 1 , a 2 , … , a n och b är några tal eller uttryck.

    Exempel 7

    Låt oss till exempel utöka parenteserna i uttrycket (3 − 7) 2. Enligt regeln kan vi göra följande transformationer: (3 − 7) 2 = (3 2 − 7 2) . Vi får 3 · 2 − 7 · 2 .

    Om du utökar parenteserna i uttrycket 3 x 2 1 - x + 1 x + 2, får vi 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2.

    Multiplicera en parentes med en parentes

    Betrakta produkten av två parenteser av formen (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) . Detta kommer att hjälpa oss att få en regel för att expandera parenteser när vi multiplicerar en parentes med en parentes.

    För att lösa exemplet ovan betecknar vi uttrycket (b 1 + b 2) som b. Detta gör att vi kan använda multiplikationsregeln för parentes-uttryck. Vi får (a 1 + a 2) (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) b = (a 1 b + a 2 b) = a 1 b + a 2 b . Genom att göra en omvänd substitution b på (b 1 + b 2), tillämpa återigen regeln för att multiplicera uttrycket med parentes: a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (a 1 b 1 + a 1 b 2) + (a 2 b 1 + a 2 b 2) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 2 b 2

    Tack vare ett antal enkla knep kan vi komma till summan av produkterna av var och en av termerna från den första parentesen och var och en av termerna från den andra parentesen. Regeln kan utökas till valfritt antal termer inom parentes.

    Låt oss formulera reglerna för att multiplicera parentes med parentes: för att multiplicera två summor sinsemellan, är det nödvändigt att multiplicera var och en av termerna i den första summan med var och en av termerna i den andra summan och addera resultaten.

    Formeln kommer att se ut så här:

    (a 1 + a 2 + . . . + a m) (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 +. . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 + . . . +a2bn++. . . ++amb1+amb1+. . . a m b n

    Låt oss utöka parenteserna i uttrycket (1 + x) · (x 2 + x + 6) Det är en produkt av två summor. Låt oss skriva lösningen: (1 + x) (x 2 + x + 6) = = (1 x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6) = = 1 x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6

    Separat är det värt att uppehålla sig vid de fall där det finns ett minustecken inom parentes tillsammans med plustecken. Låt oss till exempel ta uttrycket (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) .

    Först representerar vi uttrycken inom parentes som summor: (1 + (− x)) (3 x y + (− 2 x y 3)). Nu kan vi tillämpa regeln: (1 + (− x)) (3 x y + (− 2 x y 3)) = = (1 3 x y + 1 (− 2 x y 3) + (− x) 3 x y + ( − x) (− 2 x y 3))

    Låt oss utöka parenteserna: 1 3 x y − 1 2 x y 3 − x 3 x y + x 2 x y 3 .

    Parentes expansion i produkter av flera parenteser och uttryck

    Om det finns tre eller fler uttryck inom parentes i uttrycket är det nödvändigt att utöka parenteserna sekventiellt. Det är nödvändigt att börja omvandlingen med det faktum att de två första faktorerna tas inom parentes. Inom dessa parenteser kan vi utföra transformationer enligt reglerna som diskuterats ovan. Till exempel parenteserna i uttrycket (2 + 4) 3 (5 + 7 8) .

    Uttrycket innehåller tre faktorer samtidigt (2 + 4) , 3 och (5 + 78). Vi kommer att utöka parenteserna sekventiellt. Vi bifogar de två första faktorerna i ytterligare en parentes, som vi kommer att göra röda för tydlighetens skull: (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).

    I enlighet med regeln att multiplicera en parentes med ett tal, kan vi utföra följande åtgärder: ((2 + 4) 3) (5 + 7 8) = (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) .

    Multiplicera parentes för parentes: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8 .

    Parentes in natura

    Grader, vars grunder är några uttryck skrivna inom parentes, med naturliga indikatorer kan betraktas som en produkt av flera parenteser. Dessutom, enligt reglerna från de två föregående styckena, kan de skrivas utan dessa parenteser.

    Tänk på processen att omvandla uttrycket (a + b + c) 2 . Det kan skrivas som en produkt av två parenteser (a + b + c) (a + b + c). Vi multiplicerar parentes för parentes och får a a + a b + a c + b a + b b + b c + c a + c b + c c .

    Låt oss ta ett annat exempel:

    Exempel 8

    1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x 1 x + 1 x 2 1 x + 2 1 x 1 x + 2 2 1 x + 1 x 1 x 2 + + 1 x 2 2 + 2 1 x 2 + 2 2 2

    Att dividera en parentes med ett tal och en parentes med en parentes

    Att dividera en parentes med ett tal föreslår att du måste dividera med talet alla termer inom parentes. Till exempel, (x 2 - x) : 4 = x 2: 4 - x: 4 .

    Division kan tidigare ersättas med multiplikation, varefter du kan använda lämplig regelöppningsbara fästen i ett verk. Samma regel gäller när man dividerar en parentes med en parentes.

    Till exempel måste vi öppna parenteserna i uttrycket (x + 2): 2 3 . För att göra detta, ersätt först divisionen genom att multiplicera med den reciproka av (x + 2): 2 3 = (x + 2) · 2 3 . Multiplicera parentesen med talet (x + 2) 2 3 = x 2 3 + 2 2 3 .

    Här är ett annat exempel på parentesindelning:

    Exempel 9

    1 x + x + 1: (x + 2) .

    Låt oss ersätta division med multiplikation: 1 x + x + 1 1 x + 2 .

    Låt oss göra multiplikationen: 1 x + x + 1 1 x + 2 = 1 x 1 x + 2 + x 1 x + 2 + 1 1 x + 2 .

    Beställning av konsolexpansion

    Beakta nu tillämpningsordningen för reglerna som diskuterats ovan i uttrycken allmän syn, dvs. i uttryck som innehåller summor med differenser, produkter med kvoter, parentes in natura.

    Handlingsordningen:

    • det första steget är att höja parentesen till en naturlig kraft;
    • i det andra steget öppnas parentes i verk och privat;
    • det sista steget är att öppna parenteserna i summorna och skillnaderna.

    Låt oss överväga ordningen på åtgärderna med exemplet med uttrycket (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) . Låt oss transformera från uttrycken 3 (− 2) : (− 4) och 6 (− 7) , som bör ha formen (3 2:4) och (− 6 7) . Genom att ersätta de erhållna resultaten med det ursprungliga uttrycket får vi: (− 5) + 3 (− 2): (− 4) − 6 (− 7) = (− 5) + (3 2: 4) − (− 6 7) ). Expandera parenteserna: − 5 + 3 2: 4 + 6 7 .

    När man har att göra med uttryck som innehåller parenteser inom parentes är det praktiskt att utföra transformationer inifrån och ut.

    Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

    Vi rekommenderar också

    Läser in...Läser in...