Rätlinjig och krökt rörelse. Rätlinjig rörelse och rörelse längs omkretsen av en materialpunkt

Om acceleration materiell punktär lika med noll hela tiden, då är dess rörelsehastighet konstant i storlek och riktning. Banan i detta fall är en rak linje. Rörelsen av en materialpunkt under de formulerade förhållandena kallas enhetlig rätlinjig. Med rätlinjig rörelse saknas den centripetala komponenten av acceleration, och eftersom rörelsen är enhetlig är den tangentiella komponenten av accelerationen noll.

Om accelerationen förblir konstant i tiden (), kallas rörelsen lika variabel eller ojämn. Lika variabel rörelse kan accelereras jämnt om a > 0, och lika långsamt om a< 0. В этом случае мгновенное ускорение оказывается равным среднему ускорению за любой промежуток времени. Тогда из формулы (1.5) следует а = Dv/Dt = (v-v o)/t, откуда

(1.7)

där v o - initial hastighet vid t=0, v - hastighet vid tidpunkt t.

Enligt formel (1.4) ds = vdt. Sedan

För för enhetlig rörelse a=const, alltså

(1.8)

Formlerna (1.7) och (1.8) är giltiga inte bara för likformigt variabel (olikformig) rätlinjig rörelse, utan också för fritt fall kropp och för rörelse av en kropp som kastas uppåt. I de två sista fallen, en \u003d g \u003d 9,81 m / s 2.

För enhetlig rätlinjig rörelse v = v o = const, a = 0, och formeln (1.8) har formen s = vt.

Cirkulär rörelse är det enklaste fallet med kurvlinjär rörelse. Hastigheten v för en materialpunkts rörelse längs en cirkel kallas linjär. Med en konstant modulo linjär hastighet är rörelsen i en cirkel likformig. Det finns ingen tangentiell acceleration av en materialpunkt under enhetlig rörelse längs en cirkel, och t \u003d 0. Detta betyder att det inte finns någon förändring i hastighetsmodulo. Förändringen i den linjära hastighetsvektorn i riktningen kännetecknas av normal acceleration och n ¹ 0. Vid varje punkt av den cirkulära banan riktas vektorn a n längs radien till cirkelns mittpunkt.

och n \u003d v 2 / R, m / s 2. (1,9)

Den resulterande accelerationen är verkligen centripetal (normal), eftersom vid Dt->0 Dj också tenderar till noll (Dj->0) och vektorerna och kommer att riktas längs cirkelns radie till dess centrum.

Tillsammans med den linjära hastigheten v enhetlig rörelse en materialpunkt längs en cirkel kännetecknas av en vinkelhastighet. Vinkelhastigheten är förhållandet mellan rotationsvinkeln Dj för radievektorn och det tidsintervall under vilket denna rotation inträffade,

Rad/s (1,10)

För ojämn rörelse används begreppet momentan vinkelhastighet

Tidsintervallet t, under vilket materialpunkten gör ett helt varv runt omkretsen, kallas rotationsperioden, och det reciproka av perioden är rotationsfrekvensen: n \u003d 1 / T, s -1.

Under en period är rotationsvinkeln för radievektorn för en materialpunkt 2π rad, därför Dt \u003d T, varav rotationsperioden och vinkelhastigheten är en funktion av rotationsperioden eller frekvensen

Det är känt att med en likformig rörelse av en materialpunkt längs en cirkel, beror den väg som den färdas på rörelsetiden och linjär hastighet: s = vt, m. Den väg som en materialpunkt passerar längs en cirkel med radien R över en period är 2πR. Den tid som krävs för detta är lika med rotationsperioden, det vill säga t \u003d T. Och därför,

2πR = vT, m (1,11)

och v = 2nR/T = 2nR, m/s. Eftersom rotationsvinkeln för radievektorn för en materialpunkt under rotationsperioden T är lika med 2π, då, baserat på (1.10), med Dt = T, . Genom att ersätta (1.11) får vi och härifrån finner vi sambandet mellan linjär- och vinkelhastigheten

Vinkelhastighet är en vektorstorhet. Vinkelhastighetsvektorn riktas från cirkelns centrum längs vilken materialpunkten rör sig med linjär hastighet v, vinkelrätt mot cirkelns plan enligt regeln för den högra skruven.

På ojämn rörelse för en materialpunkt längs en cirkel ändras linjär- och vinkelhastigheten. I analogi med linjär acceleration i detta fall introduceras begreppet genomsnittlig vinkelacceleration och momentan: . Relationen mellan tangentiella och vinkelaccelerationer har formen .

Med hjälp av denna lektion kommer du självständigt att kunna studera ämnet "Rektilinjär och krökt rörelse. En kropps rörelse i en cirkel med konstant modulohastighet. Först karakteriserar vi rätlinjig och krökt rörelse genom att överväga hur hastighetsvektorn och kraften som appliceras på kroppen är relaterade i dessa typer av rörelser. Nästa, överväg specialfall när kroppen rör sig i en cirkel med konstant modulohastighet.

I förra lektionen tittade vi på frågor relaterade till lagen allvar. Ämnet för dagens lektion är nära relaterat till denna lag, vi kommer att vända oss till den enhetliga rörelsen av en kropp i en cirkel.

Vi sa det tidigare rörelse - detta är en förändring av en kropps position i rymden i förhållande till andra kroppar över tiden. Rörelse och rörelseriktning kännetecknas bland annat av hastighet. Förändringen i hastighet och själva typen av rörelse är förknippade med verkan av en kraft. Om en kraft verkar på en kropp, ändrar kroppen sin hastighet.

Om kraften riktas parallellt med kroppens rörelse, kommer en sådan rörelse att vara enkel(Figur 1).

Ris. ett. Rätlinjig rörelse

krökt det kommer att bli en sådan rörelse när kroppens hastighet och kraften som appliceras på denna kropp riktas i förhållande till varandra i en viss vinkel (fig. 2). I det här fallet kommer hastigheten att ändra riktning.

Ris. 2. Krökt rörelse

Så kl rätlinjig rörelse hastighetsvektorn är riktad i samma riktning som kraften som appliceras på kroppen. MEN kurvlinjär rörelseär en sådan rörelse när hastighetsvektorn och kraften som appliceras på kroppen är placerade i någon vinkel mot varandra.

Tänk på ett specialfall av kurvlinjär rörelse, när kroppen rör sig i en cirkel med konstant hastighet i absolut värde. När en kropp rör sig i en cirkel med konstant hastighet ändras bara hastighetens riktning. Modulo det förblir konstant, men riktningen på hastigheten ändras. En sådan förändring i hastighet leder till närvaron av en acceleration i kroppen, som kallas centripetal.

Ris. 6. Rörelse längs en krökt bana

Om kroppens bana är en kurva, kan den representeras som en uppsättning rörelser längs cirkelbågar, som visas i fig. 6.

På fig. 7 visar hur riktningen för hastighetsvektorn ändras. Hastigheten under en sådan rörelse riktas tangentiellt till cirkeln längs den båge som kroppen rör sig. Därför förändras dess riktning ständigt. Även om modulohastigheten förblir konstant leder en hastighetsändring till en acceleration:

I detta fall acceleration kommer att riktas mot mitten av cirkeln. Det är därför det kallas centripetal.

Varför är centripetalaccelerationen riktad mot mitten?

Kom ihåg att om en kropp rör sig längs en krökt bana, är dess hastighet tangentiell. Hastighet är en vektorkvantitet. En vektor har ett numeriskt värde och en riktning. Hastigheten när kroppen rör sig ändrar kontinuerligt dess riktning. Det vill säga skillnaden i hastigheter vid olika tidpunkter kommer inte att vara lika med noll (), i motsats till rätlinjig enhetlig rörelse.

Så vi har en förändring i hastighet under en viss tidsperiod. Relation till är acceleration. Vi kommer till slutsatsen att även om hastigheten inte ändras i absolut värde, har en kropp som utför likformig rörelse i en cirkel en acceleration.

Vart är denna acceleration riktad? Tänk på fig. 3. Någon kropp rör sig krökt (i en båge). Kroppens hastighet vid punkterna 1 och 2 är tangentiell. Kroppen rör sig likformigt, det vill säga hastigheternas moduler är lika: , men hastigheternas riktningar sammanfaller inte.

Ris. 3. Kroppens rörelse i en cirkel

Subtrahera hastigheten från och få vektorn. För att göra detta måste du koppla ihop början av båda vektorerna. Parallellt flyttar vi vektorn till början av vektorn. Vi bygger upp till en triangel. Den tredje sidan av triangeln kommer att vara hastighetsskillnadsvektorn (fig. 4).

Ris. 4. Hastighetsskillnadsvektor

Vektorn är riktad mot cirkeln.

Betrakta en triangel som bildas av hastighetsvektorerna och skillnadsvektorn (fig. 5).

Ris. 5. Triangel bildad av hastighetsvektorer

Denna triangel är likbent (hastighetsmoduler är lika). Så vinklarna vid basen är lika. Låt oss skriva ekvationen för summan av vinklarna i en triangel:

Ta reda på vart accelerationen är riktad mot en given punkt i banan. För att göra detta börjar vi föra punkt 2 närmare punkt 1. Med en sådan obegränsad flit kommer vinkeln att tendera till 0, och vinkeln - till. Vinkeln mellan hastighetsändringsvektorn och själva hastighetsvektorn är . Hastigheten riktas tangentiellt, och hastighetsändringsvektorn riktas mot cirkelns mitt. Det betyder att accelerationen också riktas mot cirkelns mitt. Det är därför denna acceleration kallas centripetal.

Hur hittar man centripetalacceleration?

Tänk på banan längs med vilken kroppen rör sig. I detta fall är detta en cirkelbåge (fig. 8).

Ris. 8. Kroppens rörelse i en cirkel

Figuren visar två trianglar: en triangel som bildas av hastigheterna och en triangel som bildas av radierna och förskjutningsvektorn. Om punkterna 1 och 2 är mycket nära, kommer förskjutningsvektorn att vara densamma som vägvektorn. Båda trianglarna är likbenta med samma vertexvinklar. Så trianglarna är lika. Detta betyder att motsvarande sidor i trianglarna har samma förhållande:

Förskjutningen är lika med produkten av hastighet och tid: . Ersätter denna formel, kan du få följande uttryck för centripetalacceleration:

Vinkelhastighet betecknas grekiskt brev omega (ω), den berättar om vinkeln genom vilken kroppen roterar per tidsenhet (fig. 9). Detta är storleken på bågen, i grader, genomkorsad av kroppen under en viss tid.

Ris. 9. Vinkelhastighet

Låt oss notera att om fast roterar, kommer vinkelhastigheten för alla punkter på denna kropp att vara ett konstant värde. Punkten är närmare rotationscentrum eller längre - det spelar ingen roll, det vill säga det beror inte på radien.

Måttenheten i detta fall är antingen grader per sekund () eller radianer per sekund (). Ofta skrivs inte ordet "radian" utan bara skrivet. Låt oss till exempel ta reda på vad jordens vinkelhastighet är. Jorden roterar helt på en timme, och i det här fallet kan vi säga att vinkelhastigheten är lika med:

Var också uppmärksam på förhållandet mellan vinkel- och linjära hastigheter:

Den linjära hastigheten är direkt proportionell mot radien. Ju större radie, desto högre linjär hastighet. När vi rör oss bort från rotationscentrum ökar vi vår linjära hastighet.

Det bör noteras att rörelse i en cirkel med konstant hastighet är ett specialfall av rörelse. Cirkulär rörelse kan dock också vara ojämn. Hastigheten kan ändras inte bara i riktning och förbli densamma i absoluta värden, utan också ändra dess värde, det vill säga, förutom att ändra riktning, finns det också en förändring i hastighetsmodulen. I det här fallet talar vi om den så kallade accelererade cirkulära rörelsen.

Vad är en radian?

Det finns två enheter för att mäta vinklar: grader och radianer. Inom fysiken är som regel radianmåttet för en vinkel det viktigaste.

Låt oss konstruera en central vinkel , som förlitar sig på en längdbåge .

Rörelse är en förändring av position
kroppar i rymden i förhållande till andra
kroppar över tid. Rörelse och
rörelseriktningen kännetecknas av
inklusive hastighet. Förändra
hastighet och själva typen av rörelse förknippas med
kraftens verkan. Om kroppen är påverkad
kraft ändrar kroppen sin hastighet.

Om kraften är parallell
rörelse av kroppen, i en riktning, då detta
rörelsen blir rak.

En sådan rörelse kommer att vara kurvlinjär,
när kroppens hastighet och kraften som appliceras på
denna kropp är riktad i förhållande till varandra
vän i någon vinkel. I detta fall
hastigheten kommer att ändras
riktning.

Så, för en rätlinjig
rörelse, är hastighetsvektorn riktad till det
samma sida som kraften som appliceras på
kropp. Och kurvlinjär
rörelse är rörelsen
när hastighetsvektorn och kraften,
fäst vid kroppen, belägen under
någon vinkel mot varandra.

centripetalacceleration

CENTRIPEAL
ACCELERATION
Tänk på ett specialfall
kurvlinjär rörelse när kroppen
rör sig i en cirkel med konstant
hastighetsmodul. När kroppen rör sig
i en cirkel med konstant hastighet alltså
endast hastighetsriktningen ändras. Förbi
modulo förblir den konstant, och
hastighetens riktning ändras. Sådan
förändring i hastighet leder till
accelerationskropp, som
kallas centripetal.

Om kroppens bana är
kurva, kan den representeras som
uppsättning rörelser längs bågar
cirklar, som visas i fig.
3.

På fig. 4 visar hur riktningen ändras
hastighet vektor. Hastigheten i denna rörelse
riktad tangentiellt till cirkeln, längs bågen
som kroppen rör sig. Alltså hon
riktning förändras ständigt. Även
modulohastigheten förblir konstant,
förändring i hastighet leder till uppkomsten av acceleration:

I detta fall kommer accelerationen att vara
riktad mot cirkelns mitt. Så
det kallas centripetal.
Det kan beräknas med hjälp av följande
formel:

Vinkelhastighet. förhållandet mellan vinkel- och linjära hastigheter

VINKELHASTIGHET. FÖRBINDELSE
HÖRN OCH LINJE
HASTIGHETER
Några kännetecken för rörelsen
cirklar
Vinkelhastigheten betecknas med grekiskan
med bokstaven omega (w) anger det vilken
vinkel roterar kroppen per tidsenhet.
Detta är storleken på bågen i grader,
gått förbi kroppen på en tid.
Observera att om en stel kropp roterar, då
vinkelhastighet för alla punkter på denna kropp
kommer att vara ett konstant värde. närmare punkt
är placerad mot rotationscentrum eller längre -
det spelar ingen roll, d.v.s. beror inte på radien.

Måttenheten i detta fall skulle vara
antingen grader per sekund eller radianer
en sekund bara. Ofta skrivs inte ordet "radian", men
skriv bara c-1. Till exempel, låt oss hitta
vad är jordens vinkelhastighet. Jorden
gör en hel 360° sväng på 24 timmar, och
I det här fallet kan man säga det
vinkelhastigheten är lika.

Notera också förhållandet mellan vinkel
hastighet och linjehastighet:
V = w. R.
Det bör noteras att rörelsen
cirklar med konstant hastighet är en kvot
rörelseväska. Däremot cirkulär rörelse
kan också vara ojämn. hastighet kan
ändra inte bara i riktning och förbli
identisk i modul, men också förändring på sitt eget sätt
betyder, d.v.s. förutom att ändra riktning,
det sker också en förändring i hastighetsmodulen. PÅ
I det här fallet talar vi om den sk
accelererad cirkulär rörelse.

Beroende på banans form kan rörelsen delas in i rätlinjig och kurvlinjig. Oftast kommer du att stöta på kurvlinjära rörelser när banan representeras som en kurva. Ett exempel på denna typ av rörelse är banan för en kropp som kastas i en vinkel mot horisonten, jordens rörelse runt solen, planeter och så vidare.

Bild 1 . Bana och förskjutning i kurvlinjär rörelse

Definition 1

Krökt rörelse kallas rörelsen, vars bana är en krökt linje. Om kroppen rör sig längs en krökt bana, så är förskjutningsvektorn s → riktad längs kordan, som visas i figur 1, och l är längden på banan. Riktningen för kroppens momentana hastighet är tangentiell vid samma punkt av banan, där i det här ögonblicket ett rörligt föremål är lokaliserat, som visas i figur 2.

Figur 2. Momentan hastighet i kurvlinjär rörelse

Definition 2

Krökt rörelse av en materialpunkt kallas likformig när hastighetsmodulen är konstant (rörelse i en cirkel), och likformigt accelererad med en växlande riktning och hastighetsmodul (rörelse av en kastad kropp).

Den kurvlinjära rörelsen accelereras alltid. Detta förklaras av det faktum att även med en oförändrad hastighetsmodul, men en ändrad riktning, finns det alltid en acceleration.

För att undersöka den kurvlinjära rörelsen av en materialpunkt används två metoder.

Banan är uppdelad i separata sektioner, på var och en av dem kan den anses vara rak, som visas i figur 3.

Figur 3. Dela upp kurvlinjär rörelse till translationell

Nu för varje avsnitt kan du tillämpa lagen om rätlinjig rörelse. Denna princip accepteras.

Den mest bekväma lösningsmetoden anses vara representationen av banan som en uppsättning av flera rörelser längs cirkelbågar, som visas i figur 4. Antalet partitioner kommer att vara mycket mindre än i den tidigare metoden, dessutom är rörelsen runt cirkeln redan krökt.

Figur 4. Uppdelning av en kurvlinjär rörelse i rörelser längs cirkelbågar

Anmärkning 1

För att registrera en krökt rörelse är det nödvändigt att kunna beskriva rörelse längs en cirkel, att representera en godtycklig rörelse i form av uppsättningar av rörelser längs bågarna i dessa cirklar.

Studiet av krökt rörelse inkluderar sammanställningen av en kinematisk ekvation som beskriver denna rörelse och låter dig bestämma alla egenskaper hos rörelsen från de tillgängliga initiala förhållandena.

Exempel 1

Givet en materialpunkt som rör sig längs en kurva, som visas i figur 4. Cirklarnas centrum O 1 , O 2 , O 3 är belägna på en rät linje. Måste hitta ett drag
s → och längden på banan l under rörelsen från punkt A till B.

Beslut

Som villkor har vi att cirkelns mittpunkter tillhör en rät linje, därför:

s → = R1 + 2 R2 + R3.

Eftersom rörelsebanan är summan av halvcirklar, då:

l ~ A B \u003d π R 1 + R 2 + R 3.

Svar: s → \u003d R 1 + 2 R 2 + R 3, l ~ A B \u003d π R 1 + R 2 + R 3.

Exempel 2

Beroendet av den väg som kroppen rest i tid ges, representerad av ekvationen s (t) \u003d A + B t + C t 2 + D t 3 (C \u003d 0, 1 m / s 2, D \u003d u003d 0, 003 m/s 3) . Beräkna efter vilken tidsperiod efter rörelsestart kroppens acceleration kommer att vara lika med 2 m/s 2

Beslut