Reduktion av algebraiska bråk: en regel, exempel. Hur löser man algebraiska bråk? Teori och praktik

Bråk och deras reduktion är ett annat ämne som börjar i 5:e klass. Här formas grunden för denna handling, och sedan dras dessa färdigheter med en tråd in i högre matematik. Om eleven inte har lärt sig kan han ha problem i algebra. Därför är det bättre att förstå några regler en gång för alla. Och kom ihåg ett förbud och bryt aldrig det.

Bråk och dess reduktion

Vad det är vet alla elever. Alla två siffror som finns mellan den horisontella stapeln uppfattas omedelbart som en bråkdel. Det är dock inte alla som förstår att vilket nummer som helst kan bli det. Om det är ett heltal så kan det alltid delas med ett, då får du ett oegentligt bråktal. Men mer om det senare.

Början är alltid enkel. Först måste du ta reda på hur du minskar den korrekta fraktionen. Det vill säga en vars täljare är mindre än nämnaren. För att göra detta måste du komma ihåg huvudegenskapen för en bråkdel. Den säger att när man multiplicerar (liksom dividerar) dess täljare och nämnare med samma tal samtidigt, erhålls ett ekvivalent ursprungligt bråktal.

De delningsåtgärder som utförs på denna fastighet resulterar i en minskning. Det vill säga dess maximala förenkling. En bråkdel kan reduceras så länge det finns gemensamma faktorer över och under linjen. När de inte längre finns är minskningen omöjlig. Och de säger att denna del är irreducerbar.

två sätt

1.Steg för steg minskning. Den använder gissningsmetoden, när båda talen divideras med den minsta gemensamma faktorn som eleven märkte. Om det efter den första reduceringen står klart att detta inte är slutet, så fortsätter uppdelningen. Tills fraktionen blir irreducerbar.

2. Hitta den största gemensamma delaren för täljaren och nämnaren. Detta är det mest rationella sättet att minska fraktioner. Det handlar om att faktorisera täljaren och nämnaren till primtalsfaktorer. Bland dem måste du ändå välja. Deras produkt kommer att ge den största gemensamma faktorn med vilken fraktionen reduceras.

Båda dessa metoder är likvärdiga. Eleven uppmanas att bemästra dem och använda den som han gillade bäst.

Vad händer om det finns bokstäver och operationer för addition och subtraktion?

Med den första delen av frågan är allt mer eller mindre klart. Bokstäver kan förkortas precis som siffror. Huvudsaken är att de fungerar som multiplikatorer. Men med den andra har många problem.

Viktigt att komma ihåg! Du kan bara minska siffror som är faktorer. Om de är termer är det omöjligt.

För att förstå hur man reducerar bråk som ser ut som ett algebraiskt uttryck måste du lära dig regeln. Uttryck först täljaren och nämnaren som en produkt. Då kan man minska om det finns gemensamma faktorer. För representation som multiplikatorer är följande knep användbara:

gruppering;
fäste;
tillämpning av förkortade multiplikationsidentiteter.

Den senare metoden gör det dessutom möjligt att omedelbart få termer i form av faktorer. Därför måste den alltid användas om ett känt mönster är synligt.

Men det här är inte skrämmande än, då dyker det upp uppgifter med grader och rötter. Det är då du behöver ta mod till dig och lära dig ett par nya regler.

Kraftuttryck

Fraktion. Produkten i täljaren och nämnaren. Det finns bokstäver och siffror. Och de är också upphöjda till en makt, som också består av termer eller faktorer. Det finns något att vara rädd för.

För att ta reda på hur man minskar bråk med potenser måste du lära dig två punkter:

om det finns en summa i exponenten kan den delas upp i faktorer, vars styrkor kommer att vara de ursprungliga termerna;
om skillnaden, sedan in i utdelningen och divisor, den första i graden kommer att minskas, den andra - subtraherad.

Efter att ha genomfört dessa steg blir de gemensamma multiplikatorerna synliga. I sådana exempel är det inte nödvändigt att beräkna alla potenser. Det räcker att helt enkelt minska graderna med samma indikatorer och baser.

För att äntligen bemästra hur man reducerar bråk med potenser behöver du mycket övning. Efter flera exempel av samma typ kommer åtgärderna att utföras automatiskt.

Vad händer om uttrycket innehåller en rot?

Den kan också förkortas. Återigen, följ bara reglerna. Dessutom är alla de ovan beskrivna sanna. I allmänhet, om frågan är hur man minskar en bråkdel med rötter, måste du dela.

Det kan också delas in i irrationella uttryck. Det vill säga, om täljaren och nämnaren har samma faktorer inneslutna under rottecknet, kan de säkert reduceras. Detta kommer att förenkla uttrycket och få jobbet gjort.

Om irrationaliteten efter minskningen förblir under fraktionens linje, måste du bli av med den. Med andra ord, multiplicera täljaren och nämnaren med det. Om vanliga faktorer dök upp efter denna operation, måste de minskas igen.

Det kanske handlar om hur man minskar fraktioner. Få regler, men ett förbud. Sänk aldrig villkoren!

I den här artikeln kommer vi att fokusera på reduktion av algebraiska bråk. Låt oss först ta reda på vad som menas med termen "reduktion av en algebraisk bråkdel", och ta reda på om en algebraisk bråkdel alltid är reducerbar. Därefter ger vi en regel som tillåter oss att utföra denna omvandling. Slutligen, överväga lösningarna på typiska exempel som gör det möjligt att förstå alla finesser i processen.

Sidnavigering.

Vad innebär det att reducera en algebraisk bråkdel?

När vi studerade pratade vi om deras minskning. vi kallade divisionen av dess täljare och nämnare med den gemensamma faktorn. Till exempel kan det gemensamma bråket 30/54 reduceras med 6 (det vill säga dividerat med 6 dess täljare och nämnare), vilket leder oss till bråket 5/9.

Reduktionen av en algebraisk fraktion förstås som en liknande åtgärd. Minska algebraisk bråkdelär att dividera dess täljare och nämnare med en gemensam faktor. Men om den gemensamma faktorn för täljaren och nämnaren för ett vanligt bråk bara kan vara ett tal, så kan den gemensamma faktorn för täljaren och nämnaren för ett algebraiskt bråk vara ett polynom, i synnerhet ett monom eller ett tal.

Till exempel kan en algebraisk bråkdel reduceras med siffran 3, vilket ger bråket . Det är också möjligt att reducera på variabeln x , vilket kommer att resultera i uttrycket . Den ursprungliga algebraiska fraktionen kan reduceras med monomialen 3 x, såväl som med vilket som helst av polynomen x+2 y, 3 x+6 y, x 2 +2 x y eller 3 x 2 +6 x y .

Det slutliga målet med att reducera en algebraisk bråkdel är att erhålla en bråkdel av en enklare form, i bästa fall en irreducerbar bråkdel.

Är någon algebraisk fraktion föremål för reduktion?

Vi vet att vanliga bråk är indelade i . Irreducerbara bråk har inte andra gemensamma faktorer än enhet i täljaren och nämnaren, därför kan de inte reduceras.

Algebraiska bråk kan eller kanske inte har gemensamma täljare och nämnarfaktorer. I närvaro av gemensamma faktorer är det möjligt att minska den algebraiska fraktionen. Om det inte finns några gemensamma faktorer är förenklingen av den algebraiska fraktionen med hjälp av dess reduktion omöjlig.

I det allmänna fallet, genom uppkomsten av en algebraisk fraktion, är det ganska svårt att avgöra om det är möjligt att utföra dess reduktion. Utan tvekan är i vissa fall de gemensamma faktorerna för täljaren och nämnaren uppenbara. Till exempel kan man tydligt se att täljaren och nämnaren för en algebraisk bråkdel har en gemensam faktor 3. Det är också lätt att se att en algebraisk bråkdel kan reduceras med x, med y eller omedelbart med x·y. Men mycket oftare är den gemensamma faktorn för täljaren och nämnaren för en algebraisk bråkdel inte omedelbart synlig, och ännu oftare existerar den helt enkelt inte. Till exempel kan ett bråk reduceras med x−1 , men denna gemensamma faktor finns uppenbarligen inte med i notationen. Och en algebraisk bråkdel kan inte reduceras eftersom dess täljare och nämnare inte har gemensamma faktorer.

I allmänhet är frågan om sammandragbarheten av en algebraisk fraktion mycket svår. Och ibland är det lättare att lösa ett problem genom att arbeta med en algebraisk bråkdel i dess ursprungliga form än att ta reda på om denna bråkdel preliminärt kan reduceras. Men ändå finns det transformationer som i vissa fall gör det möjligt att, med relativt liten ansträngning, hitta de gemensamma faktorerna för täljaren och nämnaren, om någon, eller att dra slutsatsen att den ursprungliga algebraiska bråkdelen är irreducerbar. Denna information kommer att avslöjas i nästa stycke.

Algebraisk bråkreduktionsregel

Informationen i de föregående styckena gör att du naturligt kan uppfatta följande algebraisk bråkreduktionsregel, som består av två steg:

först hittas de gemensamma faktorerna för täljaren och nämnaren för det ursprungliga bråket;
om någon, då reduktion med dessa faktorer utförs.

Dessa steg i den aviserade regeln behöver förtydligas.

Det bekvämaste sättet att hitta vanliga är att faktorisera polynomen som finns i täljaren och nämnaren i den ursprungliga algebraiska bråkdelen. I det här fallet blir de gemensamma faktorerna för täljaren och nämnaren omedelbart synliga, eller så blir det tydligt att det inte finns några gemensamma faktorer.

Om det inte finns några gemensamma faktorer kan vi dra slutsatsen att den algebraiska fraktionen är irreducerbar. Om de gemensamma faktorerna hittas, reduceras de i det andra steget. Resultatet är en ny bråkdel av en enklare form.

Regeln för reduktion av algebraiska bråk är baserad på huvudegenskapen för en algebraisk bråkdel, som uttrycks av likheten , där a , b och c är några polynom, och b och c är icke-noll. I det första steget reduceras den ursprungliga algebraiska fraktionen till formen , från vilken den gemensamma faktorn c blir synlig, och i det andra steget utförs reduktion - övergången till fraktionen .

Låt oss gå vidare till att lösa exempel med denna regel. På dem kommer vi att analysera alla möjliga nyanser som uppstår vid nedbrytning av täljaren och nämnaren för en algebraisk fraktion i faktorer och efterföljande reduktion.

Typiska exempel

Först måste du säga om reduktionen av algebraiska bråk, vars täljare och nämnare är desamma. Sådana fraktioner är identiskt lika med en på hela ODZ av variablerna som ingår i den, till exempel,
etc.

Nu skadar det inte att komma ihåg hur reduktionen av vanliga fraktioner utförs - trots allt är de ett specialfall av algebraiska fraktioner. Naturliga tal i täljaren och nämnaren för ett vanligt bråk, varefter de gemensamma faktorerna reduceras (om några). Till exempel, . Produkten av identiska primtalsfaktorer kan skrivas i form av grader, och vid reducering, användning. I det här fallet skulle lösningen se ut så här: , här dividerade vi täljaren och nämnaren med en gemensam faktor 2 2 3 . Eller, för större tydlighet, baserat på egenskaperna för multiplikation och division, presenteras lösningen i formuläret.

Enligt absolut liknande principer utförs reduktionen av algebraiska fraktioner, i vilkas täljare och nämnare det finns monomer med heltalskoefficienter.

Exempel.

Minska algebraisk bråkdel .

Beslut.

Du kan representera täljaren och nämnaren för den ursprungliga algebraiska bråkdelen som en produkt av enkla faktorer och variabler, och sedan utföra reduktionen:

Men det är mer rationellt att skriva lösningen som ett uttryck med krafter:

Svar:

När det gäller reduktionen av algebraiska bråk som har numeriska bråkkoefficienter i täljaren och nämnaren kan du göra två saker: antingen dela dessa bråkkoefficienter separat, eller först göra dig av med bråkkoefficienter genom att multiplicera täljaren och nämnaren med något naturligt tal. Vi pratade om den sista omvandlingen i artikeln som ger en algebraisk bråkdel till en ny nämnare, den kan utföras på grund av huvudegenskapen för en algebraisk bråkdel. Låt oss ta itu med detta med ett exempel.

Exempel.

Utför fraktionsreduktion.

Beslut.

Du kan minska andelen så här: .

Och det var möjligt att bli av med bråkkoefficienter först genom att multiplicera täljaren och nämnaren med nämnarna för dessa koefficienter, det vill säga med LCM(5, 10)=10 . I det här fallet har vi .

Svar:

Du kan gå vidare till algebraiska bråkdelar av en allmän form, där täljaren och nämnaren kan innehålla både tal och monomer, såväl som polynom.

När man reducerar sådana bråk är huvudproblemet att den gemensamma faktorn för täljaren och nämnaren inte alltid är synlig. Dessutom finns det inte alltid. För att hitta en gemensam faktor eller försäkra dig om att den inte finns måste du faktorisera täljaren och nämnaren för en algebraisk bråkdel.

Exempel.

Minska rationell bråkdel .

Beslut.

För att göra detta faktoriserar vi polynomen i täljaren och nämnaren. Låt oss börja med parenteser: . Uppenbarligen kan uttryck inom parentes konverteras med hjälp av

Baserat på deras huvudegenskap: om täljaren och nämnaren för ett bråk delas med samma polynom som inte är noll, kommer ett bråk som är lika med det att erhållas.

Du kan bara minska multiplikatorerna!

Medlemmar av polynom kan inte reduceras!

För att reducera en algebraisk bråkdel måste polynomen i täljaren och nämnaren först faktoriseras.

Betrakta exempel på bråkreduktion.

Täljaren och nämnaren för ett bråk är monomer. De representerar arbete(tal, variabler och deras grader), multiplikatorer vi kan minska.

Vi reducerar talen med deras största gemensamma divisor, det vill säga med det största tal som vart och ett av de givna talen är delbart med. För 24 och 36 är detta 12. Efter minskningen från 24 återstår 2, från 36 - 3.

Vi minskar graderna med den grad med den minsta indikatorn. Att reducera ett bråk innebär att dividera täljaren och nämnaren med samma divisor och subtrahera exponenterna.

a² och a⁷ reduceras med a². Samtidigt finns en kvar i täljaren från a² (vi skriver bara 1 om det efter reduktion inte finns några andra faktorer kvar. Från 24 återstår 2, så vi skriver inte den 1 som återstår från a²). Från a⁷ efter reduktion kvarstår a⁵.

b och b förkortas med b, de resulterande enheterna skrivs inte.

c³º och c⁵ reduceras med c⁵. Från c³º återstår c²⁵, från c⁵ - enhet (vi skriver det inte). Således,

Täljaren och nämnaren för denna algebraiska bråkdel är polynom. Det är omöjligt att reducera termerna för polynom! (kan inte reduceras t.ex. 8x² och 2x!). För att minska denna fraktion är det nödvändigt. Täljaren har en gemensam faktor på 4x. Låt oss ta det utanför parentes:

Både täljaren och nämnaren har samma faktor (2x-3). Vi minskar fraktionen med denna faktor. Vi fick 4x i täljaren, 1 i nämnaren. Enligt 1 egenskap hos algebraiska bråk är bråket 4x.

Du kan bara minska faktorer (du kan inte minska en given bråkdel med 25x²!). Därför måste polynomen i täljaren och nämnaren för ett bråk faktoriseras.

Täljaren är summans hela kvadrat och nämnaren är skillnaden mellan kvadraterna. Efter expansion med formlerna för förkortad multiplikation får vi:

Vi minskar bråkdelen med (5x + 1) (för att göra detta, stryk över de två i täljaren som en exponent, från (5x + 1) ² lämnar detta (5x + 1)):

Täljaren har en gemensam faktor på 2, låt oss ta den ur parentes. I nämnaren - formeln för skillnaden mellan kuber:

Som ett resultat av expansion i täljaren och nämnaren fick vi samma faktor (9 + 3a + a²). Vi minskar andelen på den:

Polynomet i täljaren består av 4 termer. den första termen med den andra, den tredje med den fjärde, och vi tar ut den gemensamma faktorn x² från de första parenteserna. Vi bryter ner nämnaren enligt formeln för summan av kuber:

I täljaren tar vi ut den gemensamma faktorn (x + 2) inom parentes:

Vi minskar bråket med (x + 2):

Den här artikeln fortsätter temat om transformationen av algebraiska bråk: överväg en sådan åtgärd som minskningen av algebraiska bråk. Låt oss definiera själva termen, formulera förkortningsregeln och analysera praktiska exempel.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Betydelse av algebraisk bråkförkortning

I materialen på den vanliga fraktionen övervägde vi dess reduktion. Vi har definierat reduktionen av ett gemensamt bråk som att dividera dess täljare och nämnare med en gemensam faktor.

Att reducera en algebraisk bråkdel är en liknande operation.

Definition 1

Algebraisk bråkreduktionär divisionen av dess täljare och nämnare med en gemensam faktor. I det här fallet, till skillnad från reduktionen av ett vanligt bråk (endast ett tal kan vara en gemensam nämnare), kan ett polynom, i synnerhet ett monom eller ett tal, fungera som en gemensam faktor för täljaren och nämnaren för en algebraisk bråkdel.

Till exempel kan den algebraiska bråkdelen 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 reduceras med talet 3, som ett resultat får vi: x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 . Vi kan reducera samma bråkdel med variabeln x, och detta ger oss uttrycket 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 . Det är också möjligt att reducera en given fraktion med ett monomial 3 x eller något av polynomen x + 2 år, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y eller 3 x 2 + 6 x y.

Det slutliga målet med att reducera en algebraisk bråkdel är en bråkdel av en enklare form, i bästa fall en irreducerbar bråkdel.

Är alla algebraiska bråk föremål för reduktion?

Återigen, från materialen på vanliga fraktioner vet vi att det finns reducerbara och irreducerbara fraktioner. Oreducerbar - det här är bråk som inte har gemensamma faktorer för täljaren och nämnaren, förutom 1.

Med algebraiska bråk är allt sig likt: de har eller kanske inte har gemensamma faktorer för täljaren och nämnaren. Närvaron av vanliga faktorer gör att du kan förenkla den ursprungliga fraktionen genom reduktion. När det inte finns några gemensamma faktorer är det omöjligt att optimera en given fraktion med reduktionsmetoden.

I allmänna fall, för en viss typ av fraktion, är det ganska svårt att förstå om det är föremål för reduktion. Naturligtvis, i vissa fall är närvaron av en gemensam faktor för täljaren och nämnaren uppenbar. Till exempel, i den algebraiska bråkdelen 3 · x 2 3 · y är det ganska tydligt att den gemensamma faktorn är talet 3 .

I ett bråk - x · y 5 · x · y · z 3 förstår vi också omedelbart att det är möjligt att reducera det med x, eller y, eller med x · y. Och ändå är exempel på algebraiska bråk mycket vanligare, när den gemensamma faktorn för täljaren och nämnaren inte är så lätt att se, och ännu oftare - den är helt enkelt frånvarande.

Till exempel kan vi minska bråkdelen x 3 - 1 x 2 - 1 med x - 1, medan den angivna gemensamma faktorn inte finns i posten. Men bråket x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 x + 4 kan inte reduceras, eftersom täljaren och nämnaren inte har en gemensam faktor.

Frågan om att ta reda på sammandragbarheten av en algebraisk bråkdel är alltså inte så enkel, och det är ofta lättare att arbeta med en bråkdel av en given form än att försöka ta reda på om den är sammandragbar. I det här fallet sker sådana transformationer som i vissa fall tillåter oss att bestämma den gemensamma faktorn för täljaren och nämnaren eller dra slutsatsen att bråket är irreducerbart. Vi kommer att analysera denna fråga i detalj i nästa stycke i artikeln.

Algebraisk bråkreduktionsregel

Algebraisk bråkreduktionsregel består av två på varandra följande steg:

hitta de gemensamma faktorerna för täljaren och nämnaren;
i fallet att hitta en sådan, genomförandet av den direkta åtgärden att minska fraktionen.

Den bekvämaste metoden för att hitta gemensamma nämnare är att faktorisera polynomen som finns i täljaren och nämnaren för en given algebraisk bråkdel. Detta gör att du omedelbart visuellt kan se närvaron eller frånvaron av vanliga faktorer.

Själva åtgärden att reducera en algebraisk bråkdel baseras på huvudegenskapen hos en algebraisk bråkdel, uttryckt med likheten undefined , där a , b , c är några polynom och b och c är icke-noll. Det första steget är att reducera bråket till formen a c b c , där vi omedelbart märker den gemensamma faktorn c . Det andra steget är att utföra reduktionen, d.v.s. övergång till en bråkdel av formen a b .

Typiska exempel

Trots vissa självklarheter, låt oss förtydliga det speciella fallet när täljaren och nämnaren för en algebraisk bråkdel är lika. Liknande fraktioner är identiskt lika med 1 på hela ODZ av variablerna i denna fraktion:

55 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 x - x 2 y 1 2 x - x 2 y;

Eftersom vanliga bråk är ett specialfall av algebraiska bråk, låt oss komma ihåg hur de reduceras. De naturliga talen som skrivs i täljaren och nämnaren bryts upp i primtalsfaktorer, sedan raderas de gemensamma faktorerna (om några).

Till exempel, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Produkten av enkla identiska faktorer kan skrivas som grader, och i processen med bråkreduktion, använd egenskapen att dividera grader med samma baser. Då skulle ovanstående lösning vara:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(täljare och nämnare dividerat med en gemensam faktor 2 2 3). Eller, för tydlighetens skull, baserat på egenskaperna för multiplikation och division, kommer vi att ge lösningen följande form:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

I analogi utförs reduktionen av algebraiska fraktioner, där täljaren och nämnaren har monomer med heltalskoefficienter.

Exempel 1

Givet en algebraisk bråkdel - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . Det måste minskas.

Beslut

Det är möjligt att skriva täljaren och nämnaren för ett givet bråk som en produkt av primtalsfaktorer och variabler och sedan reducera:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 3 a a a a a a b b c z 2 3 a a b b c c c c c c c z = = - 3 3 a a a 2 c c c c c c c c = - 9 a 3 2 c 6

Ett mer rationellt sätt skulle dock vara att skriva lösningen som ett uttryck med krafter:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 a 5 b 2 c z 2 3 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 2 3 a 5 a 2 b 2 b 2 c c 7 z z = = - 3 3 - 1 2 a 5 - 2 1 1 1 c 7 - 1 1 = - 3 2 a 3 2 c 6 = - 9 a 3 2 c 6 .

Svar:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

När det finns bråktalskoefficienter i täljaren och nämnaren för ett algebraiskt bråk, finns det två möjliga sätt att göra ytterligare åtgärder: antingen dela dessa bråktalskoefficienter separat, eller först bli av med bråkkoefficienterna genom att multiplicera täljaren och nämnaren med något naturligt tal . Den sista omvandlingen utförs på grund av huvudegenskapen för en algebraisk bråkdel (du kan läsa om den i artikeln "Reducera en algebraisk bråkdel till en ny nämnare").

Exempel 2

Givet en bråkdel 2 5 x 0 , 3 x 3 . Det måste minskas.

Beslut

Det är möjligt att minska fraktionen på detta sätt:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Låt oss försöka lösa problemet annorlunda, efter att tidigare ha blivit av med bråkkoefficienter - vi multiplicerar täljaren och nämnaren med den minsta gemensamma multipeln av nämnarna för dessa koefficienter, d.v.s. per LCM(5; 10) = 10. Då får vi:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

Svar: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

När vi reducerar allmänna algebraiska bråk, där täljare och nämnare kan vara både monomer och polynom, är ett problem möjligt när den gemensamma faktorn inte alltid är omedelbart synlig. Eller mer än så, det finns helt enkelt inte. Sedan, för att bestämma den gemensamma faktorn eller fixa det faktum att den saknas, faktoriseras täljaren och nämnaren för den algebraiska bråkdelen.

Exempel 3

Givet ett rationellt bråktal 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 . Den behöver kortas ned.

Beslut

Låt oss faktorisera polynomen i täljaren och nämnaren. Låt oss göra parenteserna:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

Vi ser att uttrycket inom parentes kan konverteras med hjälp av de förkortade multiplikationsformlerna:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

Man ser tydligt att det är möjligt att reducera fraktionen med en gemensam faktor b 2 (a + 7). Låt oss göra en minskning:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Vi skriver en kort lösning utan förklaring som en kedja av jämlikheter:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Svar: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b.

Det händer att de gemensamma faktorerna döljs av numeriska koefficienter. Då, när man reducerar bråk, är det optimalt att ta ut de numeriska faktorerna vid högre potenser av täljaren och nämnaren.

Exempel 4

Givet en algebraisk bråkdel 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 . Den bör minskas om möjligt.

Beslut

Vid första anblicken har täljaren och nämnaren ingen gemensam nämnare. Men låt oss försöka konvertera det givna bråket. Låt oss ta ut faktorn x i täljaren:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2

Nu kan du se en viss likhet mellan uttrycket inom parentes och uttrycket i nämnaren på grund av x 2 y . Låt oss ta ut de numeriska koefficienterna vid högre potenser för dessa polynom:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10

Nu blir den gemensamma multiplikatorn synlig, vi genomför reduktionen:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

Svar: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .

Låt oss betona att förmågan att reducera rationella bråk beror på förmågan att faktorisera polynom.

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

Vid första anblicken verkar algebraiska bråk mycket komplicerade, och en oförberedd elev kan tro att det är omöjligt att göra något med dem. Upphopningen av variabler, siffror och till och med krafter inspirerar till rädsla. Samma regler används dock för att reducera bråk (som 15/25) och algebraiska bråk.

Steg

Bråkreduktion

Lär dig hur du arbetar med enkla bråk. Operationer med vanliga och algebraiska bråk är likartade. Ta till exempel bråket 15/35. För att förenkla denna bråkdel, hitta en gemensam divisor. Båda talen är delbara med fem, så vi kan extrahera 5 i täljaren och nämnaren:

15 → 5 * 3 35 → 5 * 7

Nu kan du minska gemensamma faktorer, det vill säga stryk över 5:an i täljaren och nämnaren. Som ett resultat får vi en förenklad bråkdel 3/7 . I algebraiska uttryck särskiljs gemensamma faktorer på samma sätt som i vanliga. I föregående exempel kunde vi enkelt extrahera 5 av 15 - samma princip gäller för mer komplexa uttryck som 15x - 5. Låt oss hitta den gemensamma faktorn. I det här fallet blir det 5, eftersom båda termerna (15x och -5) är delbara med 5. Som tidigare väljer vi den gemensamma faktorn och överför den till vänster.

15x - 5 = 5 * (3x - 1)

För att kontrollera om allt stämmer räcker det att multiplicera uttrycket inom parentes med 5 - resultatet blir samma siffror som var först. Komplexa termer kan särskiljas på samma sätt som enkla. För algebraiska bråk gäller samma principer som för vanliga bråk. Detta är det enklaste sättet att minska en bråkdel. Tänk på följande fraktion:

(x+2)(x-3)(x+2)(x+10)

Observera att både täljaren (överst) och nämnaren (nederst) har en term (x+2), så den kan reduceras på samma sätt som den gemensamma faktorn 5 i 15/35:

(x+2) (x-3) → (x-3)(x+2) (x+10) → (x+10)

Som ett resultat får vi ett förenklat uttryck: (x-3)/(x+10)

Reduktion av algebraiska bråk

Hitta den gemensamma faktorn i täljaren, det vill säga överst i bråket. När du reducerar en algebraisk bråkdel är det första steget att förenkla båda dess delar. Börja med täljaren och försök räkna in den i så många faktorer som möjligt. Betrakta följande fraktion i detta avsnitt:

9x-3 15x+6

Låt oss börja med täljaren: 9x - 3. För 9x och -3 är den gemensamma faktorn talet 3. Låt oss ta 3 inom parentes, som vi gör med vanliga tal: 3 * (3x-1). Som ett resultat av denna omvandling kommer följande fraktion att erhållas:

3(3x-1) 15x+6

Hitta den gemensamma faktorn i täljaren. Låt oss fortsätta utförandet av exemplet ovan och skriva ut nämnaren: 15x+6. Som tidigare hittar vi med vilket tal båda delarna är delbara. Och i det här fallet är den gemensamma faktorn 3, så vi kan skriva: 3 * (5x +2). Låt oss skriva om bråket i följande form:

3(3x-1) 3(5x+2)

Minska identiska termer. I det här steget kan du förenkla bråket. Ta bort samma termer i täljaren och nämnaren. I vårt exempel är detta nummer 3.

3 (3x-1) → (3x-1) 3 (5x+2) → (5x+2)

Bestäm att bråket har den enklaste formen. Ett bråk är helt förenklat när det inte finns några gemensamma faktorer kvar i täljaren och nämnaren. Observera att du inte kan förkorta de termer som finns inom parentes - i exemplet ovan finns det inget sätt att extrahera x från 3x och 5x, eftersom (3x -1) och (5x + 2) är fullständiga medlemmar. Således är fraktionen inte mottaglig för ytterligare förenkling, och det slutliga svaret är som följer:

(3x-1)(5x+2)

Träna på att reducera bråk själv. Det bästa sättet att lära sig metoden är att lösa problem på egen hand. De rätta svaren ges under exemplen.

4(x+2)(x-13)(4x+8)

Svar:(x=13)

2x 2-x 5x

Svar:(2x-1)/5

Specialrörelser

Flytta bort det negativa tecknet från bråket. Antag att vi får följande bråkdel:

3(x-4) 5(4x)

Observera att (x-4) och (4-x) är "nästan" identiska, men de kan inte avbrytas direkt eftersom de är "vända". Däremot kan (x - 4) skrivas som -1 * (4 - x), precis som (4 + 2x) kan skrivas som 2 * (2 + x). Detta kallas "teckenvändning".

-1*3(4-x) 5(4x)

Nu kan du minska samma termer (4-x):

-1 * 3 (4-x) 5 (4x)

Så här är det sista svaret: -3/5 . Lär dig känna igen skillnaden mellan rutor. Skillnaden mellan kvadrater är när kvadraten på ett tal subtraheras från kvadraten på ett annat tal, som i uttrycket (a 2 - b 2). Skillnaden mellan perfekta kvadrater kan alltid delas upp i två delar - summan och skillnaden av motsvarande kvadratrötter. Då kommer uttrycket att ha följande form:

A 2 - b 2 = (a+b)(a-b)

Det här tricket är mycket användbart när du letar efter vanliga termer i algebraiska bråk.

Kontrollera om du har korrekt faktoriserat detta eller det uttrycket. För att göra detta, multiplicera faktorerna - resultatet bör vara samma uttryck.
För att helt förenkla en bråkdel, välj alltid de största faktorerna.