Lägger till negativa rötter. Vad är kvadratrötter och hur läggs de ihop?

Uppmärksamhet!
Det finns ytterligare
material i specialavdelning 555.
För de som är starka "inte särskilt. »
Och för dem som ”mycket jämn. "")

I förra lektionen kom vi på vad en kvadratrot är. Det är dags att ta reda på vad det är formler för rötter, vad är rotegenskaper och vad kan man göra åt det hela.

Rotformler, rotegenskaper och regler för åtgärder med rötterär i huvudsak samma sak. Det finns förvånansvärt få formler för kvadratrötter. Vilket såklart gläder! Snarare kan du skriva en massa alla möjliga formler, men bara tre räcker för praktiskt och tryggt arbete med rötter. Allt annat kommer från dessa tre. Även om många förirrar sig i rötternas tre formler, ja.

Låt oss börja med det enklaste. Där är hon:

Jag påminner dig (från föregående lektion): a och b är icke-negativa tal! Annars är formeln meningslös.

Det rötters egendom , som du kan se, enkel, kort och ofarlig. Men med denna rotformel kan du göra många användbara saker! Låt oss ta en titt på exempel alla dessa användbara saker.

Användbar sak först. Denna formel tillåter oss multiplicera rötter.

Hur multiplicerar man rötter?

Ja, väldigt enkelt. Direkt till formeln. Till exempel:

Det verkar som att de har förökat sig, så vad? Finns det mycket glädje? Jag håller med, lite grann. Men hur gillar du det här exempel?

Rötter extraheras inte exakt från faktorer. Och resultatet är jättebra! Redan bättre, eller hur? För säkerhets skull kommer jag att informera dig om att det kan finnas hur många multiplikatorer du vill. Rotmultiplikationsformeln fungerar fortfarande. Till exempel:

Så med multiplikation är allt klart varför detta behövs rötters egendom- är också förståeligt.

Användbar sak det andra. Ange ett tal under rotens tecken.

Hur anger man ett tal under roten?

Låt oss säga att vi har detta uttryck:

Är det möjligt att gömma tvåan inuti roten? Lätt! Om du gör en rot av två kommer formeln för att multiplicera rötterna att fungera. Och hur man gör en rot från en tvåa? Ja, det är ingen fråga heller! Det dubbla är kvadratroten av fyra!

Roten, förresten, kan göras från vilket icke-negativt tal som helst! Detta kommer att vara kvadratroten av kvadraten av detta tal. 3 är roten av 9. 8 är roten av 64. 11 är roten av 121. Tja, och så vidare.

Det finns naturligtvis ingen anledning att måla så detaljerat. Förutom, till att börja med. Det räcker att inse att alla icke-negativa tal multiplicerat med roten kan föras under roten. Men glöm inte! - under roten kommer detta nummer att bli fyrkant han själv. Denna åtgärd - att ange ett tal under roten - kan också kallas att multiplicera talet med roten. I allmänna termer kan man skriva:

Processen är enkel, som du kan se. Varför behövs hon?

Liksom alla transformationer utökar denna procedur våra möjligheter. Möjligheter att förvandla ett grymt och obekvämt uttryck till ett mjukt och fluffigt). Här är en enkel för dig exempel:

Som du kan se rotegenskap, som gör det möjligt att införa en faktor under rotens tecken, är ganska lämplig för förenkling.

Att lägga till en multiplikator under roten gör det dessutom enkelt och enkelt att jämföra värden för olika rötter. Utan någon kalkyl och miniräknare! Den tredje användbara saken.

Hur jämför man rötter?

Denna färdighet är mycket viktig i solida uppdrag, när du låser upp moduler och andra coola saker.

Jämför dessa uttryck. Vilken är mer? Utan miniräknare! Var och en med en miniräknare. eh-öh. Kort sagt, alla kan göra det!)

Du säger det inte direkt. Och om du anger siffror under rotens tecken?

Kom ihåg (plötsligt, visste inte?): om siffran under rotens tecken är större, då är själva roten större! Därav det omedelbart korrekta svaret, utan några komplicerade beräkningar och beräkningar:

Det är bra, eller hur? Men det är inte allt! Kom ihåg att alla formler fungerar både från vänster till höger och från höger till vänster. Vi har hittills använt formeln för att multiplicera rötter från vänster till höger. Låt oss köra den här rotegenskapen bakåt, från höger till vänster. Så här:

Och vad är skillnaden? Ger det dig något!? Självklart! Nu ska du se själv.

Anta att vi behöver extrahera (utan en miniräknare!) kvadratroten av talet 6561. Vissa människor kommer i detta skede att hamna i en ojämlik kamp med uppgiften. Men vi är envisa, vi ger inte upp! Användbar sak fjärde.

Hur extraherar man rötter från stora antal?

Vi minns formeln för att extrahera rötter från en produkt. Den jag postade ovan. Men var är vårt arbete? Vi har ett enormt antal 6561 och det är allt. Ja, det finns ingen konst. Men om vi behöver det, vi låt oss göra! Låt oss faktorisera denna siffra. Vi har rätten.

Låt oss först ta reda på vad det här talet är delbart med exakt? Vadå, du vet inte!? Har du glömt tecknen på delbarhet!? Förgäves. Gå till Specialavdelning 555, ämnet är "Bråk", där är de. Detta tal är delbart med 3 och 9. Eftersom summan av siffrorna (6+5+6+1=18) är delbar med dessa tal. Detta är ett av tecknen på delbarhet. Vi behöver inte dividera med tre (nu förstår du varför), men vi kommer att dividera med 9. Åtminstone i ett hörn. Vi får 729. Så vi hittade två faktorer! Den första är en nia (vi valde den själva), och den andra är 729 (det blev så). Du kan redan skriva:

Förstår du idén? Låt oss göra samma sak med siffran 729. Det är också delbart med 3 och 9. Återigen, vi dividerar inte med 3, vi dividerar med 9. Vi får 81. Och vi känner till det här talet! Vi skriver ner:

Allt blev enkelt och elegant! Roten fick tas bort bit för bit, ja, okej. Detta kan göras med vilken som helst stora siffror. Multiplicera dem och gå!

Förresten, varför behövde du inte dividera med 3, gissade du? Ja, för roten av tre är inte precis extraherad! Det är vettigt att bryta ner i sådana faktorer att minst en rot kan extraheras väl. Det är 4, 9, 16 bra, och så vidare. Dela ditt enorma antal med dessa siffror i tur och ordning, ser du, och du har tur!

Men inte nödvändigtvis. Kanske inte tur. Låt oss säga att talet 432, när det räknas in och använder rotformeln för produkten, ger följande resultat:

Okej. Vi har i alla fall förenklat uttrycket. I matematik är det brukligt att lämna mest låg siffra av det möjliga. I processen att lösa beror allt på exemplet (kanske allt reduceras utan förenkling), men i svaret är det nödvändigt att ge ett resultat som inte kan förenklas ytterligare.

Förresten, vet du vad vi har gjort med roten av 432 nu?

Vi tagit ut faktorer från rotens tecken ! Det är vad den här operationen kallas. Och då kommer uppgiften att falla - " ta bort faktorn under rotens tecken"Men männen vet inte ens.) Här är en annan användning för dig rotegenskaper. Användbar sak femte.

Hur tar man ut multiplikatorn under roten?

Lätt. Faktorisera rotuttrycket och extrahera rötterna som extraheras. Vi kollar:

Inget övernaturligt. Det är viktigt att välja rätt multiplikatorer. Här har vi dekomponerat 72 som 36 2. Och allt blev bra. Eller så kunde de ha dekomponerat det annorlunda: 72 = 6 12. Än sen då!? Varken från 6 eller 12 tas roten ut. Vad ska man göra?!

Det är ok. Eller leta efter andra nedbrytningsalternativ, eller fortsätt att lägga ut allt till stopp! Så här:

Som ni ser löste sig allt. Detta är förresten inte snabbast, utan mest pålitligt sätt. Dela upp antalet i de minsta faktorerna och samla sedan samma i högar. Metoden tillämpas också framgångsrikt när man multiplicerar obekväma rötter. Till exempel måste du beräkna:

Multiplicera allt - du får ett galet tal! Och sedan hur man extraherar roten från den?! Multiplicera igen? Nej, vi behöver inget extraarbete. Vi sönderdelas omedelbart i faktorer och samlar desamma i högar:

Det är allt. Naturligtvis är det inte nödvändigt att lägga ut till hållplatsen. Allt bestäms av dina personliga förmågor. Förde exemplet till en stat där allt är klart för dig så du kan redan räkna. Det viktigaste är att inte göra misstag. Inte en man för matematik, men matematik för en man!)

Låt oss tillämpa kunskap i praktiken? Låt oss börja med en enkel:

Regel för att lägga till kvadratrötter

Egenskaper av kvadratrötter

Hittills har vi utfört fem aritmetiska operationer på tal: addition, subtraktion, multiplikation, division och exponentiering, och olika egenskaper hos dessa operationer användes aktivt i beräkningar, till exempel a + b = b + a och n -b n = (ab) n, etc.

Det här kapitlet introducerar en ny operation - att ta kvadratroten av ett icke-negativt tal. För att framgångsrikt använda det måste du bekanta dig med egenskaperna för denna operation, vilket vi kommer att göra i det här avsnittet.

Bevis. Låt oss introducera följande notation:
Vi måste bevisa att för icke-negativa tal x, y, z är likheten x = yz sann.

Så x 2 = ab, y 2 = a, z 2 = b. Sedan x 2 \u003d y 2 z 2, dvs x 2 \u003d (yz) 2.

Om en rutor två icke-negativa tal är lika, då är själva talen lika, vilket betyder att från likheten x 2 \u003d (yz) 2 följer att x \u003d yz, och detta krävdes för att bevisas.

Vi ger en kort redogörelse för beviset för satsen:

Anmärkning 1. Satsen förblir giltig för det fall då det radikala uttrycket är produkten av mer än två icke-negativa faktorer.

Anmärkning 2. Sats 1 kan skrivas med hjälp av "if. , alltså” (som är brukligt för satser i matematik). Vi ger motsvarande formulering: om a och b är icke-negativa tal, då är likheten .

Så här formulerar vi följande sats.

(En kort formulering som är mer bekväm att använda i praktiken: fraktionens rot lika med en bråkdel från rötterna eller roten av kvoten är lika med kvoten av rötterna.)

Den här gången kommer vi bara att ge en kort redogörelse för bevisen, och du kan försöka göra lämpliga kommentarer liknande de som utgjorde kärnan i beviset för sats 1.

Exempel 1. Beräkna .
Lösning. Använder den första egenskapen kvadratrötter(Sat 1), får vi

Anmärkning 3. Naturligtvis kan det här exemplet lösas på ett annat sätt, speciellt om du har en miniräknare till hands: multiplicera siffrorna 36, 64, 9 och ta sedan kvadratroten av den resulterande produkten. Du håller dock med om att lösningen som föreslagits ovan ser mer kulturell ut.

Anmärkning 4. I den första metoden genomförde vi direkta beräkningar. Det andra sättet är mer elegant:
vi ansökte formel a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b) och använde egenskapen kvadratrötter.

Anmärkning 5. Vissa "hotheads" erbjuder ibland följande "lösning" till exempel 3:

Detta är naturligtvis inte sant: du förstår - resultatet är inte detsamma som i vårt exempel 3. Faktum är att det inte finns någon egenskap som nr och egenskaper Det finns bara egenskaper som gäller multiplikation och division av kvadratrötter. Var försiktig och försiktig, ta inte önsketänkande.

Exempel 4. Beräkna: a)
Lösning. Vilken formel som helst i algebra används inte bara "från höger till vänster", utan också "från vänster till höger". Så, den första egenskapen för kvadratrötter betyder att den om nödvändigt kan representeras som , och vice versa, som kan ersättas med uttrycket Detsamma gäller för den andra egenskapen för kvadratrötter. Med detta i åtanke, låt oss lösa det föreslagna exemplet.

Avslutande avsnittet noterar vi ytterligare en ganska enkel och samtidigt viktig egendom:
om a > 0 och n - naturligt nummer , då

Exempel 5 Beräkna , utan att använda en tabell med kvadrater av tal och en miniräknare.

Lösning. Låt oss dekomponera rottalet i primtalsfaktorer:

Anmärkning 6. Detta exempel skulle kunna lösas på samma sätt som det liknande exemplet i § 15. Det är lätt att gissa att svaret blir ”80 med svans”, eftersom 80 2 2 . Låt oss hitta "svansen", det vill säga den sista siffran i det önskade numret. Än så länge vet vi att om roten extraheras kan svaret vara 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88 eller 89. Endast två siffror behöver kontrolleras: 84 och 86, eftersom bara de, när kvadraten, kommer att ge som ett resultat fyrsiffrig ett tal som slutar på 6, dvs. samma siffra som slutar med numret 7056. Vi har 84 2 \u003d 7056 - det här är vad vi behöver. Betyder att,

Mordkovich A.G., Algebra. Betyg 8: Proc. för allmänbildning institutioner - 3:e uppl., slutförd. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 s.: ill.

Böcker, matte läroböcker nedladdning, abstrakt för att hjälpa lärare och elever, lära sig online

Om du har rättelser eller förslag till den här lektionen, skriv till oss.

Om du vill se andra rättelser och förslag på lektioner, se här - Utbildningsforum.

Hur man lägger till kvadratrötter

Kvadratroten ur ett tal X ringde ett nummer A, som är i färd med att multiplicera sig själv ( A*A) kan ge ett nummer X.
De där. A * A = A 2 = X, och √X = A.

Över kvadratrötter ( √x), precis som med andra tal, kan du utföra aritmetiska operationer som subtraktion och addition. För att subtrahera och lägga till rötter måste de kopplas samman med tecken som motsvarar dessa åtgärder (till exempel √x - √y ).
Och ta sedan med rötterna till dem enklaste formen- om det finns liknande mellan dem är det nödvändigt att göra en cast. Det består i det faktum att koefficienterna för liknande termer med tecknen för motsvarande termer tas, sedan omges de inom parentes, och den gemensamma roten visas utanför multiplikatorparenteserna. Koefficienten som vi har erhållit är förenklad enligt de vanliga reglerna.

Steg 1. Extrahera kvadratrötter

Först, för att lägga till kvadratrötter, måste du först extrahera dessa rötter. Detta kan göras om siffrorna under rottecknet är perfekta kvadrater. Ta till exempel det givna uttrycket √4 + √9 . Första numret 4 är kvadraten på talet 2 . Andra nummer 9 är kvadraten på talet 3 . Följande jämställdhet kan således erhållas: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Allt, exemplet är löst. Men det blir inte alltid så.

Steg 2. Ta ut multiplikatorn för ett tal under roten

Om det inte finns några hela kvadrater under rottecknet, kan du försöka ta multiplikatorn av talet ut under rottecknet. Ta till exempel uttrycket √24 + √54 .

Låt oss faktorisera siffrorna:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

I lista 24 vi har en multiplikator 4 , kan den tas ut under kvadratrottecknet. I lista 54 vi har en multiplikator 9 .

Vi får jämställdheten:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Med tanke på detta exempel får vi bort faktorn under rottecknet, vilket förenklar det givna uttrycket.

Steg 3. Minska nämnaren

Tänk på följande situation: summan av två kvadratrötter är nämnaren för ett bråk, till exempel, A / (√a + √b).
Nu står vi inför uppgiften att "bli av med irrationaliteten i nämnaren".
Låt oss använda följande metod: multiplicera täljaren och nämnaren för bråket med uttrycket √a - √b.

Vi får nu den förkortade multiplikationsformeln i nämnaren:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

På liknande sätt, om nämnaren innehåller skillnaden mellan rötterna: √a - √b, multipliceras täljaren och nämnaren för bråket med uttrycket √a + √b.

Låt oss ta en bråkdel som exempel:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Ett exempel på komplex nämnarreduktion

Låt oss nu överväga nog komplext exempel bli av med irrationalitet i nämnaren.

Låt oss ta en bråkdel som exempel: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Du måste ta dess täljare och nämnare och multiplicera med uttrycket √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Steg 4. Beräkna det ungefärliga värdet på räknaren

Om du bara behöver ett ungefärligt värde kan detta göras på en miniräknare genom att beräkna värdet av kvadratrötter. Separat, för varje nummer, beräknas och registreras värdet med den erforderliga noggrannheten, som bestäms av antalet decimaler. Vidare utförs alla nödvändiga operationer, som med vanliga siffror.

Uppskattat beräkningsexempel

Det är nödvändigt att beräkna det ungefärliga värdet av detta uttryck √7 + √5 .

Som ett resultat får vi:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Observera: under inga omständigheter bör kvadratrötter läggas till som primtal, detta är helt oacceptabelt. Det vill säga om du lägger till kvadratroten ur fem och tre kan vi inte få kvadratroten ur åtta.

Användbara råd: om du bestämmer dig för att faktorisera ett tal, för att härleda en kvadrat från under rottecknet, måste du göra en omvänd kontroll, det vill säga multiplicera alla faktorer som resulterade från beräkningarna och det slutliga resultatet av detta matematisk beräkning bör vara det tal vi ursprungligen fick.

Handling med rötter: addition och subtraktion

Att extrahera kvadratroten ur ett tal är inte den enda operationen som kan utföras med detta matematiska fenomen. Precis som vanliga siffror kvadratrötter addera och subtrahera.

Regler för att addera och subtrahera kvadratrötter

Åtgärder som att lägga till och subtrahera en kvadratrot är endast möjliga om rotuttrycket är detsamma.

Du kan lägga till eller subtrahera uttryck 2 3 och 6 3, men inte 5 6 och 9 4 . Om det är möjligt att förenkla uttrycket och föra det till rötter med samma rotnummer, förenkla sedan och addera eller subtrahera sedan.

Rotåtgärder: Grunderna

6 50 — 2 8 + 5 12

Förenkla rotuttrycket. För att göra detta är det nödvändigt att dekomponera rotuttrycket i 2 faktorer, varav en är ett kvadrattal (talet från vilket hela kvadratroten extraheras, till exempel 25 eller 9).
Sedan måste du extrahera roten från kvadratnummer och skriv det resulterande värdet före rottecknet. Observera att den andra faktorn anges under rottecknet.
Efter förenklingsprocessen är det nödvändigt att understryka rötterna med samma radikala uttryck - bara de kan läggas till och subtraheras.
För rötter med samma radikala uttryck är det nödvändigt att lägga till eller subtrahera de faktorer som föregår rottecknet. Rotuttrycket förblir oförändrat. Lägg inte till eller subtrahera rottal!

Om du har ett exempel med stor kvantitet identiska radikala uttryck, understryka sedan sådana uttryck med enkla, dubbla och trippellinjer för att underlätta beräkningsprocessen.

Låt oss prova detta exempel:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2 . Först måste du bryta ner 50 i 2 faktorer 25 och 2, sedan ta roten av 25, vilket är 5, och ta ut 5 under roten. Efter det måste du multiplicera 5 med 6 (multiplikatorn vid roten) och få 30 2 .

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2 . Först måste du dekomponera 8 i 2 faktorer: 4 och 2. Sedan, från 4, extrahera roten, som är lika med 2, och ta ut 2 från under roten. Efter det måste du multiplicera 2 med 2 (faktorn vid roten) och få 4 2 .

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3 . Först måste du bryta ner 12 i 2 faktorer: 4 och 3. Extrahera sedan roten från 4, vilket är 2, och ta ut den under roten. Efter det måste du multiplicera 2 med 5 (faktorn vid roten) och få 10 3 .

Förenklingsresultat: 30 2 — 4 2 + 10 3

30 2 — 4 2 + 10 3 = (30 — 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Som ett resultat såg vi hur många identiska radikala uttryck som finns i detta exempel. Låt oss nu öva med andra exempel.

Förenkla (45) . Vi faktoriserar 45: (45) = (9 × 5) ;
Vi tar ut 3 från under roten (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
Vi adderar faktorerna vid rötterna: 3 5 + 4 5 = 7 5 .
Förenkling 6 40 . Vi faktoriserar 40: 6 40 \u003d 6 (4 × 10) ;
Vi tar ut 2 från under roten (4 \u003d 2): 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
Vi multiplicerar faktorerna som ligger framför roten: 12 10;
Vi skriver uttrycket i en förenklad form: 12 10 - 3 10 + 5;
Eftersom de två första termerna har samma rottal kan vi subtrahera dem: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

Som vi kan se är det inte möjligt att förenkla de radikala talen, så vi letar efter medlemmar med samma radikala tal i exemplet, utför matematiska operationer (lägg till, subtrahera, etc.) och skriver resultatet:

(9 — 4) 5 — 2 3 = 5 5 — 2 3 .

Tips:

Innan man adderar eller subtraherar är det absolut nödvändigt att förenkla (om möjligt) de radikala uttrycken.
Det är strängt förbjudet att lägga till och subtrahera rötter med olika rotuttryck.
Lägg inte till eller subtrahera inte ett heltal eller kvadratrot: 3 + (2 x) 1 / 2 .
När du utför åtgärder med bråk, måste du hitta ett tal som är helt delbart med varje nämnare, föra sedan bråken till en gemensam nämnare, addera sedan täljarna och lämna nämnarna oförändrade.

Egenskaper för den aritmetiska kvadratroten. Kraften i den aritmetiska kvadratroten

Konvertera aritmetiska kvadratrötter. Omvandling av aritmetiska kvadratrötter

Att utvinna kvadratroten ur ett polynom, är det nödvändigt att beräkna polynomet och extrahera roten från det resulterande talet.

Uppmärksamhet! Det är omöjligt att extrahera roten från varje term (minskad och subtraherad) separat.

Shchob att vinna kvadratroten ur polynom, kravet är att beräkna den rika termen och från det subtraherade talet för att ta roten.

Respekt! Det är omöjligt att extrahera roten från hudtillskottet (förändrat och synligt) okremo.

Att extrahera kvadratroten av produkten (kvot), kan du beräkna kvadratroten av varje faktor (utdelning och divisor) och ta de resulterande värdena av produkten (kvoten).

Att vinna kvadratroten av dobutka (delar), kan du beräkna kvadratroten av hudmultiplikatorn (delad och dilnik), och ta bort värdet genom att ta en tilläggsfaktor (frequent).

Att ta kvadratroten ur en bråkdel, måste du extrahera kvadratroten av täljaren och nämnaren separat och lämna de resulterande värdena som en bråkdel eller beräkna som en kvot (om möjligt efter villkor).

Att vinna kvadratroten av bråket, du måste ta kvadratroten av talboken och okremo-fanan och beröva bråkdelens värde med en bråkdel, eller räkna den som en del (som det är möjligt för sinnet).

En faktor kan tas ut under rottecknet och en faktor kan införas under rottecknet. När en faktor tas ut, extraheras roten från den, och när den introduceras höjs den till motsvarande effekt.

Det 3:e rottecknet kan multipliceras och rottecknet kan multipliceras. Med multiplikatorns fel vrids rötterna, och med introduktionen byggs rötterna vid de högre fötterna.

Exempel. Tillämpa

För att omvandla summan (skillnaden) av kvadratrötter måste du föra rotuttrycken till en bas av graden, om möjligt extrahera rötterna från graderna och skriv dem före rötternas tecken, och de återstående kvadratrötterna med samma rotuttryck kan läggas till, för vilka koefficienterna adderas före teckenroten och adderar samma kvadratrot.

För att göra om summan (kostnaden) av kvadratrötter är det nödvändigt att föra rotrötterna till en av baserna i steget, eftersom det är möjligt att ta roten av stegen och skriva ner dem före tecknen på rötterna, och lösningen av kvadratrötterna med samma grundord, som jag kan sätta ihop till vad jag kan lägga till och lägga till samma kvadratrot.

Vi tar alla radikala uttryck till bas 2.

Från en jämn grad utvinns roten helt, från en udda grad lämnas basens rot i grad 1 under rotens tecken.

Vi ger liknande heltal och adderar koefficienterna med samma rötter. Vi skriver binomialet som produkten av ett tal och binomialet av summan.

Ta med alla underrötter av virazi till bas 2.

Från det parade stadiet dras rötterna i rad, från det oparade stadiet fylls basens rötter i steg 1 under rotens tecken.

Det föreslås att liknande tal och koefficienter läggs till samma rötter. Vi skriver binomialet som ett komplement till talet i för sumibinumet.

Vi för de radikala uttrycken till den minsta basen eller produkten av makter med de minsta baserna. Från jämna grader av radikala uttryck extraherar vi roten, lämnar resten i form av en bas av en grad med en indikator på 1 eller produkten av sådana baser under rotens tecken. Vi ger liknande termer (lägg till koefficienterna för samma rötter).

Vi leder roten av virazi till den minsta basen eller tillägg av steg med de minsta baserna. Från de ångande stegen under virazens rötter tas rötterna, överskottet vid basen av steget med indikatorn 1 eller tillägget av sådana baser fylls under rotens tecken. Vi föreslår liknande termer (vi lägger ihop koefficienterna för samma rötter).

Låt oss ersätta divisionen av bråk med multiplikation (med ersättning av det andra bråket med det reciproka). Multiplicera täljare och nämnare separat. Under varje tecken på roten markerar vi graderna. Låt oss ta bort samma faktorer i täljaren och nämnaren. Vi utvinner rötter från jämna krafter.

Vi ersätter divisionen av bråk med en multiplikation (med ersättning av ett annat bråk med en avkastning). Multiplicera okremonummer och banderoller av bråk. Steg är synliga under hudens tecken på roten. Vi kommer att påskynda samma multiplikatorer i nummerboken och bannern. Skyll på roten till tvillingstegen.

Att jämföra två kvadratrötter, måste deras radikala uttryck reduceras till grader med samma bas, sedan ju mer du visar graderna för det radikala uttrycket, desto större värde på kvadratroten.

I det här exemplet kan radikala uttryck inte reduceras till en bas, eftersom basen är 3 i den första och 3 och 7 i den andra.

Det andra sättet att jämföra är att ange koefficienten för roten i det radikala uttrycket och jämföra de numeriska värdena för de radikala uttrycken. För en kvadratrot, ju större rotuttryck, desto större värde på roten.

För att matcha två kvadratrötter, måste deras underrötter bringas till en nivå med samma grund, medan ju större indikator på graden av virusets underrot, desto större värde på kvadratroten.

I det här fallet är det inte möjligt att ta till en grund virazis rotrötter, eftersom i den första basen är 3 och i den andra - 3 och 7.

Ett annat sätt att utjämna är att lägga till rotkoefficienten till rotviraset och utjämna de numeriska värdena för rotviraset. Kvadratroten har mer underrot viraz, desto mer värde av roten.

Med hjälp av den distributiva lagen för multiplikation och regeln för att multiplicera rötter med samma exponenter (i vårt fall kvadratrötter) fick vi summan av två kvadratrötter med produkten under rottecknet. Vi bryter ner 91 i primfaktorer och tar roten ur parentes med vanliga radikala faktorer (13 * 5).

Vi har fått produkten av en rot och ett binomial, där en av monomierna är ett heltal (1).

Vikoristovuyuchi rozpodilny lagen om multiplikation och regeln om multiplikation av rötter med samma tecken (i vårt fall - kvadratrötter), tog summan av två kvadratrötter med ytterligare ett tecken på roten. Vi kan lägga ut 91 multiplikatorer i enkla termer och ta roten för bågarna från rotmultiplikatorerna (13 * 5).

Vi tog tillägget av en rot och en binär, som har ett av mononomen i hela talet (1).

Exempel 9:

I de radikala uttrycken väljer vi med faktorer de tal som vi kan extrahera hela kvadratroten ur. Vi extraherar kvadratrötterna från potenserna och sätter talen med kvadratrötternas koefficienter.

Termerna för detta polynom har en gemensam faktor √3, som kan tas ut ur parentesen. Låt oss presentera liknande termer.

I subrotviraser ses det som multiplikatorer av talet, från vilka man kan ta kvadratroten. Vi skyller på kvadratrötterna för stegen och sätter talen med kvadratrötternas koefficienter.

Termerna för detta polynom har en gemensam multiplikator √3, som kan skyllas på armarna. Vi föreslår liknande tillägg.

Produkten av summan och skillnaden av två samma baser(3 och √5) med den förkortade multiplikationsformeln kan skrivas som skillnaden mellan kvadraterna på baserna.

Kvadratroten i kvadrat är alltid lika med det radikala uttrycket, så vi blir av med radikalen (rottecknet) i uttrycket.

Dobutok summan och skillnaden av två identiska baser (3 і √5) från formeln för snabb multiplikation kan skrivas som skillnaden mellan kvadratbaser.

Kvadratroten ur kvadraten zavzhd är lika med underrotsviraset, så vi kallar virasets radikala (rottecknet).

Tillbaka till skolan. Tillägg av rötter

I vår tid, moderna elektroniska datorer, är beräkningen av roten av numret inte representerad utmanande uppgift. Till exempel, √2704=52, vilken miniräknare som helst kommer att beräkna detta åt dig. Som tur är finns kalkylatorn inte bara i Windows, utan även i en vanlig, till och med den enklaste, telefon. Det är sant, om du plötsligt (med en liten grad av sannolikhet, vars beräkning förresten inkluderar tillägg av rötter) befinner dig utan tillgängliga medel, då måste du tyvärr bara lita på din hjärna.

Sinneträning misslyckas aldrig. Speciellt för de som inte jobbar med siffror så ofta, och ännu mer med rötter. Att lägga till och subtrahera rötter är ett bra träningspass för ett uttråkat sinne. Och jag kommer att visa dig tillägget av rötter steg för steg. Exempel på uttryck kan vara följande.

Ekvationen som ska förenklas är:

Detta är ett irrationellt uttryck. För att förenkla det måste du minska alla radikala uttryck till allmän syn. Vi gör det i etapper:

Det första numret kan inte längre förenklas. Låt oss gå vidare till den andra mandatperioden.

3√48 faktoriserar vi 48: 48=2×24 eller 48=3×16. Kvadratroten ur 24 är inte ett heltal, dvs. har en bråkdel av resten. Eftersom vi behöver exakt värde, då passar inte de ungefärliga rötterna oss. Kvadratroten ur 16 är 4, ta ut den under rottecknet. Vi får: 3×4×√3=12×√3

Vårt nästa uttryck är negativt, d.v.s. skrivet med ett minustecken -4×√(27.) Factoring 27. Vi får 27=3×9. Vi använder inte bråkfaktorer, eftersom det är svårare att beräkna kvadratroten från bråk. Vi tar ut 9 från under skylten, d.v.s. räkna ut kvadratroten. Vi får följande uttryck: -4×3×√3 = -12×√3

Nästa term √128 beräknar den del som kan tas ut under roten. 128=64×2 där √64=8. Om det gör det lättare för dig kan du representera detta uttryck så här: √128=√(8^2×2)

Vi skriver om uttrycket med förenklade termer:

Nu lägger vi till siffrorna med samma radikala uttryck. Du kan inte lägga till eller subtrahera uttryck med olika radikala uttryck. Tillägget av rötter kräver överensstämmelse med denna regel.

Vi får följande svar:

√2=1×√2 - Jag hoppas att det är vanligt i algebra att utelämna sådana element kommer inte att vara någon nyhet för dig.

Uttryck kan representeras inte bara av kvadratrötter, utan också av kub eller n:te rötter.

Addition och subtraktion av rötter med olika exponenter, men med ett ekvivalent rotuttryck, sker enligt följande:

Om vi har ett uttryck som √a+∛b+∜b, så kan vi förenkla detta uttryck så här:

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

Vi har reducerat två liknande termer till rotens vanliga exponent. Här användes rötternas egenskap, som säger: om talet på graden av det radikala uttrycket och talet på rotexponenten multipliceras med samma tal, kommer dess beräkning att förbli oförändrad.

Notera: exponenter läggs endast till när de multipliceras.

Betrakta ett exempel där bråk finns i ett uttryck.

Låt oss lösa det steg för steg:

5√8=5*2√2 - vi tar ut den extraherade delen under roten.

Om rotkroppen representeras av ett bråk, så kommer ofta detta bråk inte att förändras om kvadratroten av utdelningen och divisorn tas. Som ett resultat har vi erhållit den ovan beskrivna jämlikheten.

Här är svaret.

Det viktigaste att komma ihåg är att en rot med en jämn exponent inte extraheras från negativa tal. Om ett radikalt uttryck med jämn grad är negativt är uttrycket olösligt.

Tillägget av rötterna är endast möjligt om de radikala uttrycken sammanfaller, eftersom de är liknande termer. Detsamma gäller skillnaden.

Tillägget av rötter med olika numeriska exponenter görs genom att reducera båda termerna till en gemensam rotgrad. Denna lag fungerar på samma sätt som reduktion till en gemensam nämnare när man adderar eller subtraherar bråk.

Om det radikala uttrycket innehåller ett tal upphöjt till en potens, så kan detta uttryck förenklas förutsatt att det finns en gemensam nämnare mellan roten och exponenten.

Kvadratroten av en produkt och en bråkdel

Kvadratroten ur a är ett tal vars kvadrat är a. Till exempel är talen -5 och 5 kvadratrötterna av talet 25. Det vill säga rötterna i ekvationen x^2=25 är kvadratrötterna av talet 25. Nu måste du lära dig hur du arbetar med kvadratrotsdrift: studera dess grundläggande egenskaper.

Kvadratroten av produkten

√(a*b)=√a*√b

Kvadratroten av produkten av två icke-negativa tal är lika med produkten av kvadratrötterna av dessa tal. Till exempel, √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

Det är viktigt att förstå att denna egenskap även gäller för det fall då det radikala uttrycket är produkten av tre, fyra osv. icke-negativa multiplikatorer.

Ibland finns det en annan formulering av denna egenskap. Om a och b är icke-negativa tal, så gäller följande likhet: √(a*b) =√a*√b. Det är absolut ingen skillnad mellan dem, du kan använda antingen den ena eller den andra formuleringen (vilken är bekvämare att komma ihåg).

Kvadratroten ur en bråkdel

Om a>=0 och b>0, är följande likhet sann:

√(a/b)=√a/√b.

Till exempel, √(9/25) = √9/√25 =3/5;

Den här egenskapen har också en annan formulering, enligt min mening, mer bekväm att komma ihåg.
Kvadratroten av kvoten är lika med kvoten av rötterna.

Det är värt att notera att dessa formler fungerar både från vänster till höger och från höger till vänster. Det vill säga, om det behövs kan vi representera produkten av rötterna som produktens rot. Detsamma gäller den andra fastigheten.

Som du kan se är dessa egenskaper väldigt bekväma, och jag skulle vilja ha samma egenskaper för addition och subtraktion:

√(a+b)=√a+√b;

√(a-b)=√a-√b;

Men tyvärr är sådana egenskaper fyrkantiga har inga rötter, och så kan inte göras i beräkningar..

13. Körning genom trafikplatskorsningar 2018 med kommentarer online 13.1. Vid höger- eller vänstersvängning ska föraren väja för fotgängare och cyklister som korsar körbana vägen den övergår till. Denna instruktion gäller alla […]
Föräldramöte "Föräldrars rättigheter, skyldigheter och ansvar" Presentation för lektionen Ladda ner presentation (536,6 kB) OBS! Förhandsvisningen av bilden är endast i informationssyfte och representerar kanske inte alla […]
Regional moderskapshuvudstad i Oryol-regionen Regional moderskapshuvudstad (MK) i Orel och Oryol-regionen etablerades 2011. Nu är det en ytterligare åtgärd socialt stöd stora familjer i form av en engångskontant [...]
Beloppet av engångsersättningen vid registrering i tidiga datum 2018 Sidan du begärde hittades inte. Du kan ha angett fel adress eller så har sidan tagits bort. Använda sig av […]
Advokat för ekonomiska mål ekonomisk sfärär ett ganska brett begrepp. Dessa aktiviteter inkluderar bedrägeri, illegal verksamhet, legalisering Pengar erhålls illegalt, illegal bankverksamhet […]
Centralbankens presstjänst Ryska Federationen(Bank of Russia) Press Service 107016, Moskva, st. Neglinnaya, 12www.cbr.ru Vid utnämningen av en interimsadministration informerar avdelningen för externa och PR vid Rysslands Bank att, i enlighet med punkt 2 […]
generella egenskaper och kort recension vattenvägar Klassificering av vattenbassänger Klassificeringen av vattenbassänger för navigering av (små) nöjesfartyg, övervakad av Rysslands GIMS, utförs beroende på […]
Kucherena = Viktor Tsois advokat Och detta är ett exklusivt: dagens brev från Anatoly Kucherena. I fortsättning på ämnet. Ingen har publicerat detta brev ännu. Och det borde det, tycker jag. Del 1 för nu. Snart kommer jag att publicera den andra delen, signerad av den berömda advokaten. Varför är det viktigt? […]

Hej kattungar! Förra gången analyserade vi i detalj vad rötter är (om du inte kommer ihåg rekommenderar jag att läsa). Huvudslutsatsen av den lektionen: det finns bara en universell definition av rötter, som du behöver känna till. Resten är nonsens och slöseri med tid.

Idag går vi vidare. Vi kommer att lära oss att multiplicera rötter, vi kommer att studera några problem som är förknippade med multiplikation (om dessa problem inte löses kan de bli ödesdigra på provet) och vi kommer att öva ordentligt. Så fyll på med popcorn, gör dig bekväm - så börjar vi. :)

Du har inte rökt än, har du?

Lektionen visade sig vara ganska stor, så jag delade upp den i två delar:

Först ska vi titta på reglerna för multiplikation. Kepsen verkar antyda: det är när det finns två rötter, det finns ett "multiplicera"-tecken mellan dem - och vi vill göra något med det.
Sedan kommer vi att analysera den omvända situationen: det finns en stor rot, och vi var otåliga att presentera den som en produkt av två rötter på ett enklare sätt. Med vilken skräck det är nödvändigt är en separat fråga. Vi kommer bara att analysera algoritmen.

För den som inte kan vänta med att hoppa direkt in i del 2 är du välkommen. Låt oss börja med resten i ordning.

Grundläggande multiplikationsregel

Låt oss börja med de enklaste - klassiska kvadratrötter. De som betecknas med $\sqrt(a)$ och $\sqrt(b)$. För dem är allt i allmänhet klart:

multiplikationsregeln. För att multiplicera en kvadratrot med en annan behöver du bara multiplicera deras radikala uttryck och skriva resultatet under den vanliga radikalen:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Inga ytterligare begränsningar är pålagda för siffrorna till höger eller vänster: om multiplikatorrötter finns, så finns produkten också.

Exempel. Betrakta fyra exempel med siffror på en gång:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27) ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(align)\]

Som du kan se är den huvudsakliga innebörden av denna regel att förenkla irrationella uttryck. Och om vi i det första exemplet skulle ha extraherat rötterna från 25 och 4 utan några nya regler, så börjar tin: $\sqrt(32)$ och $\sqrt(2)$ räknas inte av sig själva, men deras produkt visar sig vara en exakt kvadrat, så roten till den är lika med ett rationellt tal.

Separat skulle jag vilja notera den sista raden. Där är båda radikala uttrycken bråkdelar. Tack vare produkten tar många faktorer ut, och hela uttrycket förvandlas till ett adekvat antal.

Allt kommer förstås inte alltid att vara så vackert. Ibland blir det fullständigt skit under rötterna - det är inte klart vad man ska göra med det och hur man transformerar efter multiplikation. Lite senare, när du börjar plugga irrationella ekvationer och ojämlikheter, kommer det i allmänhet att finnas alla möjliga variabler och funktioner. Och väldigt ofta räknar kompilatorerna av problemen bara med det faktum att du hittar några avtalsvillkor eller faktorer, varefter uppgiften kommer att förenklas avsevärt.

Dessutom är det inte nödvändigt att multiplicera exakt två rötter. Du kan multiplicera tre på en gång, fyra - ja till och med tio! Detta kommer inte att ändra regeln. Ta en titt:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0,001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0,001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(align)\]

Och återigen en liten anmärkning om det andra exemplet. Som du kan se, i den tredje multiplikatorn, finns det en decimalfraktion under roten - i beräkningsprocessen ersätter vi den med en vanlig, varefter allt lätt reduceras. Så: Jag rekommenderar starkt att bli av med decimalbråk i alla irrationella uttryck (det vill säga innehålla minst en radikal ikon). Detta kommer att spara mycket tid och nerver i framtiden.

Men det var en lyrisk utvikning. Låt oss nu överväga ett mer allmänt fall - när rotexponenten innehåller ett godtyckligt tal $n$, och inte bara de "klassiska" två.

Fallet med en godtycklig indikator

Så vi räknade ut kvadratrötterna. Och vad ska man göra med kuber? Eller i allmänhet med rötter av godtycklig grad $n$? Ja, allt är sig likt. Regeln förblir densamma:

För att multiplicera två rötter av grad $n$ räcker det att multiplicera deras radikala uttryck, varefter resultatet skrivs under en radikal.

I allmänhet, inget komplicerat. Om inte volymen av beräkningar kan vara mer. Låt oss titta på ett par exempel:

Exempel. Beräkna produkter:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3) ))))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(align)\]

Och återigen uppmärksamma det andra uttrycket. Vi multiplicerar kubrötter, gör oss av med decimalbråket, och som ett resultat får vi produkten av siffrorna 625 och 25 i nämnaren. stort antal– Personligen funderar jag inte direkt på vad det är lika med.

Därför valde vi helt enkelt den exakta kuben i täljaren och nämnaren och använde sedan en av nyckelegenskaperna (eller, om du vill, definitionen) för roten av $n$:te graden:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\vänster| a\right|. \\ \end(align)\]

Sådana "bedrägerier" kan spara mycket tid på provet eller kontrollarbete så kom ihåg:

Skynda dig inte att multiplicera siffrorna i det radikala uttrycket. Kontrollera först: vad händer om den exakta graden av ett uttryck är "krypterat" där?

Med all självklarhet i denna kommentar måste jag erkänna att de flesta oförberedda studenter inte ser de exakta examina. Istället multiplicerar de allt framåt och undrar sedan: varför fick de så brutala siffror? :)

Allt detta är dock en barnlek jämfört med vad vi ska studera nu.

Multiplikation av rötter med olika exponenter

Nåväl, nu kan vi multiplicera rötter med samma exponenter. Vad händer om poängen är olika? Säg, hur multiplicerar man en vanlig $\sqrt(2)$ med något skit som $\sqrt(23)$? Är det ens möjligt att göra detta?

Ja självklart kan du det. Allt görs enligt denna formel:

Rotmultiplikationsregel. För att multiplicera $\sqrt[n](a)$ med $\sqrt[p](b)$, gör bara följande transformation:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n))))\]

Denna formel fungerar dock bara om radikala uttryck är icke-negativa. Detta är en mycket viktig anmärkning, som vi återkommer till lite senare.

Låt oss nu titta på ett par exempel:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81) \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(align)\]

Som du kan se, inget komplicerat. Låt oss nu ta reda på varifrån kravet på icke-negativitet kom och vad som kommer att hända om vi bryter mot det. :)

Det är lätt att multiplicera rötter.

Varför måste radikala uttryck vara icke-negativa?

Naturligtvis kan du vara som skollärare och citera skickligt läroboken:

Kravet på icke-negativitet är förknippat med olika definitioner av rötter av jämn och udda grad (deras definitionsdomäner är också olika).

Nåväl, blev det tydligare? Personligen, när jag läste detta nonsens i 8:an, förstod jag själv ungefär så här: "Kravet på icke-negativitet är förknippat med *#&^@(*#@^#)~%" - kort sagt, jag förstod inte ett skit på den tiden :)

Så nu ska jag förklara allt på ett normalt sätt.

Låt oss först ta reda på var multiplikationsformeln ovan kommer ifrån. För att göra detta, låt mig påminna dig om en viktig egenskap hos roten:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k))))\]

Med andra ord, vi kan säkert höja rotuttrycket till vilken naturlig potens $k$ som helst - i det här fallet måste rotindexet multipliceras med samma potens. Därför kan vi enkelt reducera eventuella rötter till en gemensam indikator, varefter vi multiplicerar. Det är härifrån multiplikationsformeln kommer:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Men det finns ett problem som allvarligt begränsar tillämpningen av alla dessa formler. Tänk på detta nummer:

Enligt den nyss angivna formeln kan vi lägga till vilken grad som helst. Låt oss försöka lägga till $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\vänster(-5 \höger))^(2)))=\sqrt(((5)^(2))))\]

Vi tog bort minus bara för att kvadraten bränner minus (som vilken annan jämn grad som helst). Och låt oss nu utföra den omvända transformationen: "minska" de två i exponent och grad. När allt kommer omkring kan alla likheter läsas både från vänster till höger och från höger till vänster:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Högerpil \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(align)\]

Men så händer något galet:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Detta kan inte bero på att $\sqrt(-5) \lt 0$ och $\sqrt(5) \gt 0$. Det betyder att för jämna potenser och negativa tal fungerar inte vår formel längre. Därefter har vi två alternativ:

Att slåss mot väggen för att konstatera att matematik är en dum vetenskap, där "det finns vissa regler, men detta är felaktigt";
Inför ytterligare restriktioner under vilka formeln kommer att fungera till 100 %.

I det första alternativet måste vi ständigt fånga "icke-fungerande" fall - det här är svårt, långt och allmänt fu. Därför föredrog matematiker det andra alternativet. :)

Men oroa dig inte! I praktiken påverkar denna begränsning inte beräkningarna på något sätt, eftersom alla de beskrivna problemen endast berör rötterna till en udda grad, och minus kan tas ur dem.

Därför formulerar vi en annan regel som gäller generellt för alla handlingar med rötter:

Innan du multiplicerar rötterna, se till att de radikala uttrycken är icke-negativa.

Exempel. I talet $\sqrt(-5)$ kan du ta bort minus under rottecknet - då blir allt bra:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Högerpil \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Känn skillnaden? Om du lämnar ett minus under roten, när det radikala uttrycket är kvadratiskt, kommer det att försvinna, och skiten börjar. Och om du först tar ut ett minus, så kan du till och med höja/ta bort en fyrkant tills du är blå i ansiktet - siffran förblir negativ. :)

Således är det mest korrekta och mest pålitliga sättet att multiplicera rötterna som följer:

Ta bort alla minus under radikalerna. Minus finns bara i rötterna av udda multiplicitet - de kan placeras framför roten och vid behov reduceras (till exempel om det finns två av dessa minus).
Utför multiplikation enligt reglerna som diskuterades ovan i dagens lektion. Om rötternas index är desamma, multiplicera helt enkelt rotuttrycken. Och om de är olika använder vi den onda formeln \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. Vi njuter av resultatet och bra betyg. :)

Väl? Ska vi träna?

Exempel 1. Förenkla uttrycket:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ sqrt(64)=-4; \end(align)\]

Detta är det enklaste alternativet: rötternas indikatorer är desamma och udda, problemet är bara i minus av den andra multiplikatorn. Vi uthärdar detta minus nafig, varefter allt är lätt att överväga.

Exempel 2. Förenkla uttrycket:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( justera)\]

Här skulle många bli förvirrade över vad resultatet blev irrationellt tal. Ja, det händer: vi kunde inte bli av med roten helt, men vi förenklade åtminstone uttrycket avsevärt.

Exempel 3. Förenkla uttrycket:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \höger))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Det är detta jag skulle vilja fästa er uppmärksamhet på. Det finns två punkter här:

Under roten finns inte ett specifikt tal eller grad, utan variabeln $a$. Vid en första anblick är detta lite ovanligt, men i verkligheten, när man löser matematiska problem, kommer man oftast att ha att göra med variabler.
Till slut lyckades vi ”minska” rotexponenten och graden i det radikala uttrycket. Detta händer ganska ofta. Och detta betyder att det var möjligt att avsevärt förenkla beräkningarna om du inte använder huvudformeln.

Du kan till exempel göra så här:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \end(align)\]

Faktum är att alla transformationer endast utfördes med den andra radikalen. Och om du inte målar i detalj alla mellanliggande steg, kommer i slutändan mängden beräkningar att minska avsevärt.

I själva verket har vi redan stött på en liknande uppgift ovan när vi löser exemplet $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Nu kan det skrivas mycket lättare:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(align)\]

Tja, vi räknade ut multiplikationen av rötterna. Tänk nu på den omvända operationen: vad ska man göra när det finns ett verk under roten?

I matematik kan rötter vara kvadratiska, kubiska eller ha någon annan exponent (potens), som skrivs till vänster ovanför rottecknet. Uttrycket under rottecknet kallas för rotuttrycket. Rottillägg liknar termtillägg. algebraiska uttryck, det vill säga det kräver definitionen av liknande rötter.

Steg

Del 1 av 2: Hitta rötter

Rotbeteckning. Ett uttryck under rottecknet () betyder att det är nödvändigt att extrahera en rot av en viss grad från detta uttryck.

Roten betecknas med ett tecken.
Rotens index (grad) skrivs till vänster ovanför rottecknet. Till exempel skrivs kubroten av 27 som: (27)
Om exponenten (graden) av roten saknas, anses exponenten vara lika med 2, det vill säga det är kvadratroten (eller roten av den andra graden).
Talet som skrivs före rottecknet kallas en multiplikator (det vill säga, detta tal multipliceras med roten), till exempel 5 (2)
Om det inte finns någon faktor framför roten är den lika med 1 (kom ihåg att vilket tal som helst multiplicerat med 1 är lika med sig självt).
Om du arbetar med rötter för första gången, gör lämpliga anteckningar om multiplikatorn och exponenten för roten för att inte bli förvirrad och bättre förstå deras syfte.

Kom ihåg vilka rötter som kan vikas och vilka som inte kan. Precis som du inte kan lägga till olika termer i ett uttryck, som 2a + 2b 4ab, kan du inte lägga till olika rötter.

Du kan inte lägga till rötter med olika rotuttryck, till exempel (2) + (3) (5). Men du kan lägga till tal under samma rot, till exempel (2 + 3) = (5) (kvadratroten ur 2 är ungefär 1,414, kvadratroten ur 3 är ungefär 1,732 och kvadratroten ur 5 är ungefär 2,236 ).

Du kan inte lägga till rötter med samma rotuttryck, men olika exponenter, till exempel (64) + (64) (denna summa är inte lika med (64), eftersom kvadratroten ur 64 är 8, är kubroten ur 64 4, 8 + 4 = 12, vilket är mycket större än den femte roten av 64, vilket är ungefär 2,297).

Del 2 av 2: Förenkla och lägga till rötter

Identifiera och gruppera liknande rötter. Liknande rötter är rötter som har samma exponenter och samma rotuttryck. Tänk till exempel på uttrycket:
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

Skriv först om uttrycket så att rötter med samma exponent är i serie.
2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
Skriv sedan om uttrycket så att rötter med samma exponent och samma rotuttryck ligger i serie.
2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Förenkla dina rötter. För att göra detta, sönderdela (om möjligt) de radikala uttrycken i två faktorer, varav en tas ut under roten. I detta fall multipliceras det återgivna talet och rotfaktorn.

I exemplet ovan, faktor 50 till 2*25 och nummer 32 till 2*16. Från 25 och 16 kan du extrahera kvadratrötter (5 respektive 4) och ta ut 5 och 4 under roten, respektive multiplicera dem med faktorerna 2 och 1. Därmed får du ett förenklat uttryck: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Talet 81 kan faktoriseras till 3 * 27, och kubroten av 3 kan tas från talet 27. Detta nummer 3 kan tas ut under roten. Därmed får du ett ännu mer förenklat uttryck: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + 3 (3)

Lägg till faktorer med liknande rötter. I vårt exempel finns det liknande kvadratrötter av 2 (de kan läggas till) och liknande kvadratrötter av 3 (de kan också läggas till). På kubikroten av 3 finns det inga sådana rötter.

10 (2) + 4 (2) = 14 (2).

2 (3)+ 6 (3) = 8 (3).

Slutligt förenklat uttryck: 14 (2) + 8 (3) + 3 (3)

Det finns inga allmänt vedertagna regler för i vilken ordning rötter skrivs i ett uttryck. Därför kan du skriva rötter i stigande ordning av deras exponenter och i stigande ordning av radikala uttryck.

OBS, bara IDAG!

Allt intressant

Siffran som står under rottecknet stör ofta lösningen av ekvationen, det är obekvämt att arbeta med det. Även om det höjs till en potens, bråktal eller inte kan representeras som ett heltal till en viss grad, kan man försöka härleda det från...

En rot av ett tal x är ett tal som, när det höjs till rotens potens, kommer att vara lika med x. Multiplikatorn är talet som multipliceras. Det vill säga, i ett uttryck som x*ª-&radic-y måste du lägga till x under roten. Instruktion 1 Bestäm graden ...

Om rotuttrycket innehåller en uppsättning matematiska operationer med variabler, är det ibland, som ett resultat av dess förenkling, möjligt att få ett relativt enkelt värde, varav en del kan tas ut under roten. Denna förenkling är användbar...

Aritmetiska operationer med rötter av olika grader kan avsevärt förenkla beräkningar inom fysik och teknik och göra dem mer exakta. När du multiplicerar och dividerar är det bekvämare att inte extrahera roten från varje faktor eller utdelning och divisor, utan först ...

Kvadratroten ur talet x är talet a, som multiplicerat med sig självt ger talet x: a * a = a^2 = x, x = a. Som med alla tal kan du utföra aritmetiska operationer med addition och subtraktion på kvadratrötter. Instruktion...

En rot i matematik kan ha två betydelser: det är en aritmetisk operation och var och en av lösningarna till en ekvation, algebraisk, parametrisk, differential eller någon annan. Instruktion 1Roten till den n:te graden av talet a är ett sådant tal att ...

När man utför olika aritmetiska operationer med rötter är det ofta nödvändigt att kunna omvandla radikala uttryck. För att förenkla beräkningarna kan det vara nödvändigt att ta faktorn ur radikalens tecken eller lägga den under den. Denna åtgärd kan...

Roten är ikonen som representerar matematisk operation finna ett sådant nummer, vars konstruktion i den makt som anges före rotens tecken bör ge det tal som anges under just detta tecken. Ofta för att lösa problem där det finns ...

Rotens tecken i de matematiska vetenskaperna kallas symbol för rötter. Siffran under rottecknet kallas det radikala uttrycket. I avsaknad av en exponent är roten en kvadrat, annars indikerar figuren ...

Aritmetisk roten till n:an grader från riktigt nummer a är ett sådant icke-negativt tal x, n:e graden som är lika med talet a. De där. (n) a = x, x^n = a. Existera olika sätt tillägg aritmetisk rot och ett rationellt tal...

Den n:te roten av ett reellt tal a är ett tal b för vilket likheten b^n = a är sann. Udda rötter finns för negativa och positiva tal, och jämna rötter finns bara för positiva tal.

Kvadratroten ur ett tal x är talet a, som, multiplicerat med sig självt, ger talet x: a * a = a^2 = x, √x = a. Som med alla tal kan du utföra aritmetiska operationer med addition och subtraktion på kvadratrötter.

Instruktion

Först, när du lägger till kvadratrötter, försök att extrahera dessa rötter. Detta kommer att vara möjligt om siffrorna under rottecknet är perfekta kvadrater. Låt till exempel uttrycket √4 + √9 ges. Den första siffran 4 är kvadraten på talet 2. Den andra siffran 9 är kvadraten på talet 3. Så det visar sig att: √4 + √9 = 2 + 3 = 5.
Om det inte finns några hela kvadrater under rottecknet, försök att ta ut multiplikatorn för talet under rottecknet. Låt oss till exempel säga att √24 + √54 ges. Faktorisera siffrorna: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. Talet 24 har en faktor på 4, som kan tas ur kvadratrottecknet. Talet 54 har en faktor 9. Det visar sig alltså att: √24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 . I det här exemplet, som ett resultat av att multiplikatorn togs ur rottecknet, visade det sig förenkla det givna uttrycket.
Låt summan av två kvadratrötter vara nämnaren för ett bråk, till exempel A / (√a + √b). Och låt din uppgift vara att "bli av med irrationaliteten i nämnaren." Då kan du använda följande metod. Multiplicera bråkets täljare och nämnare med uttrycket √a - √b. Således, i nämnaren, kommer formeln för förkortad multiplikation att erhållas: (√a + √b) * (√a - √b) = a - b. I analogi, om skillnaden mellan rötterna ges i nämnaren: √a - √b, måste täljaren och nämnaren för bråket multipliceras med uttrycket √a + √b. Till exempel, givet bråket 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3).
Tänk på ett mer komplext exempel på att bli av med irrationalitet i nämnaren. Låt bråket 12 / (√2 + √3 + √5) ges. Det är nödvändigt att multiplicera täljaren och nämnaren för bråket med uttrycket √2 + √3 - √5:
12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
Och slutligen, om du bara behöver ett ungefärligt värde, kan du beräkna kvadratrötterna på miniräknaren. Beräkna värdena separat för varje nummer och skriv ner med den precision som krävs (till exempel två decimaler). Och utför sedan de nödvändiga aritmetiska operationerna, som med vanliga tal. Låt oss till exempel säga att du vill veta det ungefärliga värdet av uttrycket √7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89.

Din integritet är viktig för oss. Av denna anledning har vi tagit fram en integritetspolicy som beskriver hur vi använder och lagrar din information. Läs vår integritetspolicy och låt oss veta om du har några frågor.

Insamling och användning av personlig information

Med personuppgifter avses uppgifter som kan användas för att identifiera eller kontakta en specifik person.

Du kan bli ombedd att lämna din personliga information när som helst när du kontaktar oss.

Följande är några exempel på de typer av personlig information vi kan samla in och hur vi kan använda sådan information.

Vilken personlig information vi samlar in:

När du skickar in en ansökan på webbplatsen kan vi samla in olika uppgifter, inklusive ditt namn, telefonnummer, adress E-post etc.

Hur vi använder din personliga information:

Samlas av oss personlig information tillåter oss att kontakta dig och informera dig om unika erbjudanden, kampanjer och andra evenemang och kommande evenemang.
Då och då kan vi använda din personliga information för att skicka viktiga meddelanden och meddelanden till dig.
Vi kan också komma att använda personuppgifter för interna ändamål, såsom att utföra revisioner, dataanalyser och olika undersökningar för att förbättra de tjänster vi tillhandahåller och ge dig rekommendationer angående våra tjänster.
Om du deltar i en prisdragning, tävling eller liknande incitament kan vi använda informationen du tillhandahåller för att administrera sådana program.

Utlämnande till tredje part

Vi lämnar inte ut information från dig till tredje part.

Undantag:

Om nödvändigt - i enlighet med lag, rättsordning, i rättsliga förfaranden och/eller baserat på offentliga förfrågningar eller förfrågningar från statliga myndigheter på Ryska federationens territorium - lämna ut din personliga information. Vi kan också avslöja information om dig om vi fastställer att ett sådant avslöjande är nödvändigt eller lämpligt för säkerhet, brottsbekämpning eller andra ändamål av allmänt intresse.
I händelse av en omorganisation, sammanslagning eller försäljning kan vi komma att överföra de personuppgifter vi samlar in till den relevanta tredje partens efterträdare.

Skydd av personlig information

Vi vidtar försiktighetsåtgärder - inklusive administrativa, tekniska och fysiska - för att skydda din personliga information från förlust, stöld och missbruk, såväl som från obehörig åtkomst, avslöjande, ändring och förstörelse.

Upprätthålla din integritet på företagsnivå

För att säkerställa att din personliga information är säker, kommunicerar vi sekretess- och säkerhetspraxis till våra anställda och tillämpar strikt sekretesspraxis.

Vi rekommenderar också

Läser in...

Hem > Tester