Lektionens ämne: Aritmetiska operationer i positionstalssystem.

Årskurs 9

Lektionens mål:

Didaktisk: introducera eleverna för addition, subtraktion, multiplikation och division i det binära systemet och genomföra en primär övning av färdigheten att utföra dessa åtgärder.

Pedagogisk: att utveckla elevernas intresse för att lära sig nya saker, att visa möjligheten till ett icke-standardiserat förhållningssätt till beräkningar.

Utvecklande: utveckla uppmärksamhet, noggrannhet i tänkandet, förmågan att resonera.

Lektionens struktur.

Orgmoment -1 min.

Kontrollera läxor med ett muntligt prov -15 minuter.

Läxa -2 minuter.

Lösa problem med samtidig analys och oberoende utveckling av materialet -25 min.

Sammanfattning av lektionen -2 minuter.

UNDER Lektionerna

Organisatoriskt ögonblick.

Kontrollera läxor (muntligt prov) .

Läraren läser frågorna i följd. Eleverna lyssnar noga på frågan utan att skriva ner den. Endast svaret registreras, och mycket kortfattat. (Om det går att svara med ett ord, så registreras endast detta ord).

Vad är ett talsystem? (-detta är ett teckensystem där siffror skrivs enligt vissa regler med tecknen i något alfabet som kallas siffror )

Vilka talsystem känner du till?( icke-positionell och positionell )

Vilket system kallas icke-positionellt? (SCH kallas icke-positionell om den kvantitativa ekvivalenten (kvantitativt värde) för en siffra i ett tal inte beror på dess position i talets notation ).

Vad är basen för positions-SSC. (lika med antalet siffror som utgör dess alfabet )

Vilken matematisk operation ska användas för att konvertera ett heltal från en decimal NSC till någon annan? (division )

Vad behöver göras för att konvertera ett tal från decimal till binär? (Dela konsekvent med 2 )

Hur många gånger kommer siffran 11,1 att minska 2 när du flyttar kommatecken ett tecken åt vänster? (2 gånger )

Låt oss nu lyssna på en vers om en extraordinär tjej och svara på frågor. (Låter som en vers )

EXTRAORDINÄR FLICKA

Hon var tusen och hundra år gammal
Hon gick i hundraförsta klassen,
Jag hade hundra böcker i min portfölj.
Allt detta är sant, inte nonsens.

När du dammar med ett dussin fot,
Hon gick längs vägen.
Hon följdes alltid av en valp
Med en svans, men hundrabent.

Hon fångade varje ljud
Med tio öron
Och tio solbrända händer
De höll i en portfölj och ett koppel.

Och tio mörkblå ögon
Tänkte på världen vanligt,
Men allt kommer att bli ganska normalt,
När du förstår min historia.

/ N. Starikov /

Och hur gammal var flickan? (12 år ) Vilken klass gick hon i? (5:e klass ) Hur många armar och ben hade hon? (2 armar, 2 ben ) Hur har en valp 100 ben? (4 tassar )

Efter genomfört prov uttalas svaren högt av eleverna själva, en självprövning genomförs och eleverna ger sig själva betyg.

Kriterium:

10 korrekta svar (kanske ett litet fel) - "5";

9 eller 8 - "4";

7, 6 – “3”;

resten är "2".

II. Läxa (2 minuter)

10111 2 - 1011 2 = ? ( 1100 2 )
10111 2 + 1011 2 = ? ( 100010 2 )
10111 2 * 1011 2 = ? ( 11111101 2 ))

III. Arbetar med nytt material

Aritmetiska operationer i det binära systemet.

Aritmetiken för det binära talsystemet är baserad på användningen av tabeller för addition, subtraktion och multiplikation av siffror. Aritmetiska operander finns i den översta raden och i den första kolumnen i tabellerna, och resultaten är i skärningspunkten mellan kolumner och rader:

0

1

1

1

Tillägg.

Den binära additionstabellen är extremt enkel. Endast i ett fall, när addition 1 + 1 utförs, sker en överföring till den mest signifikanta biten.

1001 + 1010 = 10011

1101 + 1011 = 11000

11111 + 1 = 100000

1010011,111 + 11001,11 = 1101101,101

10111 2 + 1001 2 = ? (100000 2 )

Subtraktion.

När du utför en subtraktionsoperation subtraheras alltid ett mindre tal från ett större tal i absolut värde, och motsvarande tecken sätts. I subtraktionstabellen betyder en 1:a med stapel ett lån av hög ordning. 10111001,1 – 10001101,1 = 101100,0

101011111 – 110101101 = – 1001110

100000 2 - 10111 2 = ? (1001 2 )

Multiplikation

Multiplikationsoperationen utförs med användning av multiplikationstabellen enligt det vanliga schemat som används i decimaltalsystemet med successiv multiplikation av multiplikatorn med nästa siffra i multiplikatorn. 11001 * 1101 = 101000101

11001,01 * 11,01 = 1010010,0001

Multiplikation reduceras till förskjutningar av multiplikanden och additioner.

111 2 * 11 2 = ? (10101 2 )

V. Sammanfattning av lektionen

Kort för ytterligare arbete av studenter.

Utför aritmetiska operationer:

A) 1110 2 + 1001 2 = ? (10111 2 ); 1101 2 + 110 2 = ? (10011 2 );

10101 2 + 1101 2 = ? (100010 2 ); 1011 2 + 101 2 = ? (10000 2 );

101 2 + 11 2 = ? (1000 2 ); 1101 2 + 111 2 = ? (10100 2 );

B) 1110 2 - 1001 2 = ? (101); 10011 2 - 101 2 = ? (1110 2 );

Tillägg. Adderingen av tal i det binära talsystemet baseras på additionstabellen för ensiffriga binära tal (tabell 6).

Det är viktigt att uppmärksamma det faktum att när man lägger till två enheter görs en överföring till den högsta siffran. Detta händer när värdet på ett tal blir lika med eller större än basen i talsystemet.

Tillägget av flersiffriga binära tal utförs i enlighet med ovanstående additionstabell, med hänsyn tagen till möjliga överföringar från lägre siffror till högre siffror. Som ett exempel, låt oss lägga till binära tal i en kolumn:

Låt oss kontrollera korrektheten av beräkningar genom addition i decimaltalssystemet. Låt oss konvertera de binära talen till decimaltalssystemet och lägga till dem:

Subtraktion. Subtraktionen av binära tal baseras på tabellen för subtraktion av ensiffriga binära tal (tabell 7).

När man subtraherar från ett mindre tal (0) ett större (1), görs ett lån från den högsta ordningen. I tabellen indikeras lånet med 1 med en stapel.

Subtraktionen av flersiffriga binära tal genomförs i enlighet med denna tabell, med hänsyn tagen till möjliga lån i siffror av hög ordning.

Låt oss till exempel subtrahera binära tal:

Multiplikation. Multiplikation baseras på multiplikationstabellen för ensiffriga binära tal (tabell 8).

Multiplikation av flersiffriga binära tal utförs i enlighet med denna multiplikationstabell enligt det vanliga schemat som används i decimaltalsystemet, med successiv multiplikation av multiplikatorn med nästa siffra i multiplikatorn. Betrakta ett exempel på binär multiplikation

Obs: När två siffror lika med 1 adderas, erhålls 0 i denna siffra, och den 1:a överförs till den mest signifikanta siffran.

Exempel_21: Nummer 101 (2) och 11 (2) ges. Hitta summan av dessa tal.

där 101 (2) = 5 (10), 11 (2) = 3 (10), 1000 (2) = 8 (10).

Kontrollera: 5+3=8.

När man subtraherar en från 0 tas en enhet från den högsta närmaste siffran, som skiljer sig från 0. Samtidigt ger en enhet upptagen i den högsta siffran 2 enheter i den minst signifikanta siffran och en av alla siffror mellan den högsta siffran och lägst.

Exempel_22: Nummer 101 (2) och 11 (2) ges. Hitta skillnaden mellan dessa siffror.

där 101 (2) =5 (10), 11 (2) =3 (10), 10 (2) =2 (10).

Check: 5-3=2.

Multiplikationsoperationen reduceras till upprepad skiftning och addition.

Exempel_23: Nummer 11 (2) och 10 (2) ges. Hitta produkten av dessa siffror.

där 11 (2) =3 (10), 10 (2) =2 (10), 110 (2) =6 (10).

Kontroll: 3*2=6.

Aritmetiska operationer i oktala talsystem

När man lägger till två tal, vars summa är lika med 8, i denna kategori erhålls 0, och det första överförs till den högsta ordningen.

Exempel_24: Nummer 165 (8) och 13 (8) ges. Hitta summan av dessa tal.

där 165 (8) = 117 (10), 13 (8) = 11 (10), 200 (8) = 128 (10).

När man subtraherar ett större tal från ett mindre tal tas en enhet från den högsta närmaste siffran, som skiljer sig från 0. Samtidigt ger en enhet upptagen i den högsta siffran 8 i den minst signifikanta siffran.

Exempel_25: Nummer 114 (8) och 15 (8) ges. Hitta skillnaden mellan dessa siffror.

där 114 (8) =76 (10), 15 (8) =13 (10), 77 (8) =63 (10).

Aritmetiska operationer i hexadecimalt talsystem

När man lägger till två tal, totalt 16, skrivs 0 i denna kategori, och 1:an överförs till den högsta ordningen.

Exempel_26: Nummer 1B5 (16) och 53 (16) ges. Hitta summan av dessa tal.

där IB5 (16) = 437 (10), 53 (16) = 83 (10), 208 (16) = 520 (10).

När man subtraherar ett större tal från ett mindre tal, upptas en enhet från den högsta närmaste siffran, som skiljer sig från 0. Samtidigt ger en enhet upptagen i den högsta siffran 16 i den minst signifikanta siffran.

Exempel_27: Nummer 11A (16) och 2C (16) ges. Hitta skillnaden mellan dessa siffror.

där IIA (16) = 282 (10), 2C (16) = 44 (10), EE (16) = 238 (10).

Datordatakodning

Data i en dator representeras som en kod, som består av ettor och nollor i olika sekvenser.

Koden– en uppsättning symboler för att presentera information. Kodning är processen att presentera information i form av en kod.

Sifferkoder

När de utför aritmetiska operationer i en dator använder de direkt, omvänd och ytterligare nummerkoder.

Direktkod

Hetero koden (representation i form av ett absolut värde med ett tecken) för ett binärt tal är det binära talet i sig, där alla siffror som representerar dess värde skrivs som i matematisk notation, och talets tecken skrivs som en binär siffra.

Heltal kan representeras i en dator med eller utan tecken.

Heltal utan tecken upptar vanligtvis en eller två byte minne. För att lagra tecken med heltal tilldelas en, två eller fyra byte, medan den mest signifikanta (längst till vänster) biten tilldelas under talets tecken. Om talet är positivt skrivs 0 till denna bit, om det är negativt skrivs 1.

Exempel_28:

1 (10) =0 000 0001 (2) , -1 (10) =1 000 0001 (2)

Positiva tal i datorn representeras alltid med en direktkod. Den direkta koden för numret sammanfaller helt med inmatningen av själva numret i maskinens cell. Direktkoden för ett negativt tal skiljer sig från den direkta koden för motsvarande positiva tal endast i innehållet i teckenbiten.

Den direkta koden används vid lagring av tal i datorns minne, såväl som vid multiplikation och division, men formatet för att representera tal i en direktkod är obekvämt att använda i beräkningar, eftersom addition och subtraktion av positiva och negativa tal utförs annorlunda, och därför är det nödvändigt att analysera teckenoperandbitar. Därför används den direkta koden praktiskt taget inte vid implementering av aritmetiska operationer på heltal i ALU. Men negativa heltal representeras inte i datorn med en direkt kod. Istället för detta format har format för att representera siffror omvänt och ytterligare koder blivit utbredda.

Omvänd kod

Omvänd kod av ett positivt tal sammanfaller med ett direkt, och när du skriver ett negativt tal ersätts alla dess siffror, förutom siffran som representerar talets tecken, med motsatta (0 är ersatt med 1 och 1 ersätts med 0 ).

Exempel_29:

Exempel_30:

För att återställa direktkoden för ett negativt tal från den omvända koden måste alla siffror, förutom siffran som representerar numrets tecken, ersättas med motsatta.

Tilläggskod

Tilläggskod av ett positivt tal sammanfaller med det direkta, och koden för ett negativt tal bildas genom att lägga till 1 till den inversa koden.

Exempel_31:

Exempel_32:

Exempel_33:

För ett heltal -32 (10) skriv en extra kod.

1. Efter att ha konverterat talet 32 ​​(10) till det binära talsystemet får vi:

32 (10) =100000 (2) .

2. Direktkoden för det positiva talet 32 ​​(10) är 0010 0000.

3. För ett negativt tal -32 (10) är direktkoden 1010 0000.

4. Den omvända koden för siffran -32 (10) är 1101 1111.

5. Tilläggskoden för numret -32 (10) är 1110 0000.

Exempel_34:

Tilläggskoden för numret är 0011 1011. Hitta värdet på talet i decimalnotation.

1. Den första (tecken) siffran i numret 0 011 1011 är 0, så talet är positivt.

2. För ett positivt tal är tilläggs-, invers- och direktkoderna desamma.

3. Numret i det binära systemet erhålls från posten för direktkoden - 111011 (2) (vi kasserar nollor från de högsta siffrorna).

4. Siffran 111011 (2) efter att ha konverterats till decimaltalsystemet är 59 (10).

Exempel_35:

Tilläggskoden för numret är 1011 1011. Hitta värdet på talet i decimalnotation.

1. Teckensiffra för ett nummer 1 011 1011 är 1, så talet är negativt.

2. För att fastställa den omvända koden för numret, subtrahera en från tilläggskoden. Den omvända koden är 1 011 1010.

3. Direktkoden erhålls från baksidan genom att ersätta alla binära siffror i numret med de motsatta (1 för 0, 0 för 1). Direktkoden för numret är 1 100 0101 (i teckenbiten skriver vi 1).

4. Numret i det binära systemet hämtas från posten för direktkoden - -100 0101 (2).

4. Siffran -1000101 (2) efter konvertering till decimal är lika med -69 (10).

Liknande information.

Hem \ Dokumentation \ För lärare i datavetenskap

När du använder material från denna webbplats - och placering av bannern är OBLIGATORISK!!!

Binär aritmetik

Siffrorna vi är vana vid att använda kallas decimal och aritmetiken vi använder kallas även decimal. Detta beror på att varje nummer kan bestå av en uppsättning siffror som innehåller 10 tecken - siffror - "0123456789".

Matematiken utvecklades på ett sådant sätt att det var denna mängd som blev den huvudsakliga, men decimalaritmetiken är inte den enda. Om vi ​​bara tar fem siffror, kan vi på grundval av dem bygga femfaldig aritmetik, från sju siffror - sjufaldigt. Inom kunskapsområden relaterade till datateknik används ofta aritmetik där siffror är uppbyggda av sexton siffror respektive, denna aritmetik kallas hexadecimal. För att förstå vad ett tal är i icke-decimal aritmetik, tar vi först reda på vad ett tal är i decimal aritmetik.

Ta till exempel siffran 246. Denna post betyder att det finns två hundra, fyra tiotal och sex ettor i talet. Därför kan vi skriva följande likhet:

246 = 200 + 40 + 6 = 2 * 10 2 + 4 * 10 1 + 6 * 10 0

Här skiljer likhetstecken åt tre sätt att skriva samma tal. Det mest intressanta för oss nu är den tredje formen av skrivning: 2 * 10 2 + 4 * 10 1 + 6 * 10 0. Det är organiserat enligt följande:

Vi har tre nummer. Den högsta siffran "2" har siffran 3. Så den multipliceras med 10 till andra potens. Nästa siffra "4" har serienummer 2 och multipliceras med 10 i den första. Det kan redan ses att siffrorna multipliceras med tio i potensen av en mindre än siffrans ordningsnummer. Efter att ha förstått vad som har sagts kan vi skriva ner den allmänna formeln för att representera ett decimaltal. Låt det finnas ett tal med N siffror. Vi kommer att beteckna den i-te siffran med ett i. Sedan kan talet skrivas i följande form: a n a n-1 ….a 2 a 1 . Detta är det första formuläret och det tredje formuläret kommer att se ut så här:

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 10 n-1 + a n-1 * 10 n-2 + …. + a 2 * 10 1 + a 1 * 10 0

där ett i är ett tecken från uppsättningen "0123456789"

I det här inlägget syns rollen som tio väldigt tydligt. Tio är grunden för bildandet av talet. Och förresten, det kallas "basen i talsystemet", och själva talsystemet, varför det kallas "decimal". Siffran tio har förstås inga speciella egenskaper. Vi kan enkelt ersätta tio med vilket annat nummer som helst. Till exempel kan ett nummer i det femsiffriga talsystemet skrivas så här:

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 5 n-1 + a n-1 * 5 n-2 + …. + a 2 * 5 1 + a 1 * 5 0

där ett i är ett tecken från uppsättningen "01234"

Generellt sett ersätter vi 10 med vilket annat tal som helst och får ett helt annat talsystem och annan aritmetik. Den enklaste aritmetiken erhålls om 10 ersätts med 2. Det resulterande talsystemet kallas binärt och talet i det definieras enligt följande:

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 2 n-1 + a n-1 * 2 n-2 + …. + a 2 * 2 1 + a 1 * 2 0

där ett i är ett tecken från uppsättningen "01"

Detta system är det enklaste av alla möjliga, eftersom vilket tal som helst i det bildas endast av två siffror 0 och 1. Det är tydligt att det inte finns någon enklare. Exempel på binära tal: 10, 111, 101.

Mycket viktig fråga. Kan ett binärt tal representeras som ett decimaltal och vice versa, kan ett decimaltal representeras som ett binärt tal.

Binär till decimal. Det är väldigt enkelt. Metoden för en sådan översättning ger vårt sätt att skriva siffror. Ta till exempel följande binära tal 1011. Låt oss utöka det till två potenser. Vi får följande:

1011 = 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0

Vi utför alla inspelade åtgärder och får:

1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0 = 8 + 0+ 2 + 1 = 11. Således får vi att 1011 (binär) = 11 (decimal). Du kan omedelbart se en liten olägenhet med det binära systemet. Samma nummer, som i decimalsystemet skrivs med ett tecken i det binära systemet, kräver fyra tecken för inspelningen. Men detta är ett pris för enkelheten (ingenting händer gratis). Men det binära systemet ger en enorm vinst i aritmetiska operationer. Och då får vi se det.

Uttryck följande binära tal som ett decimaltal.

a) 10010 b) 11101 c) 1010 c) 1110 d) 100011 e) 1100111 f) 1001110

Tillägg av binära tal.

Metoden för addition med en kolumn är i allmänhet densamma som för ett decimaltal. Det vill säga addition utförs bit för bit, med början med den minst signifikanta siffran. Om tillägget av två siffror resulterar i en SUMMA som är större än nio, skrivs talet = SUMMA-10 och HELA DELEN (SUMMA / 10) läggs till den högsta siffran. (Lägg till ett par siffror i en kolumn, kom ihåg hur detta går till.) Så är det med ett binärt tal. Lägg ihop bit för bit, börja med den lägsta siffran. Om det visar sig mer än 1, skrivs 1 och 1 läggs till den mest signifikanta siffran (de säger "det är galet").

Låt oss köra ett exempel: 10011 + 10001.

Första rang: 1+1 = 2. Vi skriver ner 0 och 1 kom att tänka på.

Andra rang: 1+0+1 (memorerad enhet) =2. Vi skrev ner 0 och 1 gick i tankarna.

Tredje rangen: 0+0+1(minnes enhet) = 1. Skriv 1.

Fjärde rang 0+0=0. Vi skriver ner 0.

Femte rang 1+1=2. Vi skriver 0 och lägger till 1 till den sjätte biten.

Låt oss konvertera alla tre talen till decimalsystemet och kontrollera att tillägget är korrekt.

10011 = 1*2 4 + 0*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 = 16 + 2 + 1 =19

10001 = 1*2 4 + 0*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 16 + 1 = 17

100100 = 1*2 5 + 0*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 0*2 0 =32+4=36

17 + 19 = 36 korrekt jämställdhet

Exempel på en oberoende lösning:

a) 11001 +101 =

b) 11001 +11001 =

c) 1001 + 111 =

e) 10011 + 101 =

f) 11011 + 1111 =

e) 11111 + 10011 =

Hur man konverterar decimal till binär. Nästa operation är subtraktion. Men vi kommer att ta itu med denna operation lite senare, och nu kommer vi att överväga en metod för att konvertera ett decimaltal till binärt.

För att konvertera ett decimaltal till binärt måste det utökas med två potenser. Men om expansionen i tiopotenser erhålls omedelbart, kräver det lite eftertanke om hur man expanderar i potenser av två. Låt oss först titta på hur man gör detta med urvalsmetoden. Låt oss ta decimaltalet 12.

Steg ett. 2 2 \u003d 4, detta räcker inte. Den är också liten och 2 3 \u003d 8, och 2 4 \u003d 16 är redan mycket. Så låt oss lämna 2 3 =8. 12 - 8 = 4. Nu måste du representera 4 som en potens av två.

Steg två. 4 = 2 2 .

Då vårt nummer 12 = 2 3 + 2 2 . Den högsta siffran har talet 4, den högsta graden = 3, därför bör det finnas termer med två potenser 1 och 0. Men vi behöver dem inte, så för att bli av med onödiga grader, och lämna de nödvändiga ettor, skriver vi talet så här: 1 * 2 3 + 1 * 2 2 +0*2 1 + 0*2 0 = 1100 - detta är den binära representationen av talet 12. Det är lätt att se att varje nästa potens är den största potensen av två, vilket är mindre än antalet som ska utökas. För att fixa metoden, låt oss titta på ett annat exempel. Nummer 23.

Steg 1. Den närmaste potensen av två är 2 4 = 16. 23 -16 = 7.

Steg 2. Den närmaste potensen av två är 2 2 = 4. 7 - 4 = 3

Steg 3. Den närmaste potensen av två är 2 1 = 2. 3 - 2 = 1

Steg 4. Den närmaste potensen av två 2 0 =1 1 - 1 =0

Vi får följande sönderdelning: 1*2 4 + 0*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +1*2 0

Och vårt önskade binära nummer är 10111

Metoden som betraktas ovan löser problemet som förekommer väl, men det finns en metod som är algoritmiserad mycket bättre. Algoritmen för denna metod är skriven nedan:

Så länge NUMBER är större än noll gör det

NÄSTA SIFRA \u003d resten av att dividera NUMMER med 2

NUMBER = heltalsdelen av NUMBER dividerat med 2

När denna algoritm har slutfört sitt arbete, kommer sekvensen av beräknade REGULÄRA SIFFOR att representera ett binärt tal. Låt oss till exempel arbeta med siffran 19.

AlgoritmstartNUMMER = 19

NÄSTA SIFFRA = 1

NÄSTA SIFFRA = 1

NÄSTA SIFFRA = 0

NÄSTA SIFFRA = 0

NÄSTA SIFFRA = 1

Så, som ett resultat, har vi följande nummer 10011. Observera att de två övervägda metoderna skiljer sig åt i den ordning som nästa siffror erhålls. I den första metoden är den första siffran som tas emot den högsta siffran i det binära numret, och i den andra metoden är den första siffran som tas emot, tvärtom, den lägsta.

Konvertera decimal till binär på två sätt

a) 14 b) 29 c) 134 d) 158 f) 1190 g) 2019

Hur man konverterar bråkdelen till decimal.

Det är känt att vilket rationellt tal som helst kan representeras som ett decimaltal och ett ordinärt bråktal. En vanlig bråkdel, det vill säga en bråkdel av formen A/B, kan vara regelbunden och olämplig. Ett bråk kallas egentligt om A<В и неправильной если А>PÅ.

Om ett rationellt tal representeras av ett oegentligt bråk, och samtidigt delas bråkets täljare med nämnaren helt, då är detta rationella tal ett heltal, i alla andra fall visas en bråkdel. Bråkdelen är ofta ett mycket långt tal och till och med oändligt (ett oändligt periodiskt bråk, till exempel 20/6), så i fallet med bråkdelen har vi inte bara till uppgift att översätta en representation till en annan, utan att översätta med en viss noggrannhet.

Noggrannhetsregel. Anta att du får ett decimaltal som kan representeras som ett decimaltal upp till N siffror. För att motsvarande binära tal ska ha samma precision är det nödvändigt att skriva M - tecken i det, så att

Och låt oss nu försöka få tag i översättningsregeln och överväga först exemplet 5 401

Beslut:

Vi kommer att få heltalsdelen enligt de regler som redan är kända för oss, och den är lika med det binära talet 101. Och vi expanderar bråkdelen i potenser 2.

Steg 1: 2-2 = 0,25; 0,401 - 0,25 = 0,151. är resten.

Steg 2: Nu måste vi representera 0,151 som en potens av två. Låt oss göra så här: 2 -3 = 0,125; 0,151 - 0,125 = 0,026

Således kan den ursprungliga bråkdelen representeras som 2 -2 +2 -3. Detsamma kan skrivas i ett sådant binärt tal: 0,011. Den första bråksiffran är noll, detta beror på att graden 2 -1 saknas i vår expansion.

Det framgår av det första och andra steget att denna representation inte är exakt och det kan vara önskvärt att fortsätta expansionen. Låt oss gå tillbaka till regeln. Det står att vi behöver så många tecken på M så att 10 3 är mindre än 2 M. Det vill säga 1000<2 M . То есть в двоичном разложении у нас должно быть не менее десяти знаков, так как 2 9 = 512 и только 2 10 = 1024. Продолжим процесс.

Steg 3: Nu arbetar vi med siffran 0,026. Den närmaste potensen av två till detta tal är 2 -6 \u003d 0,015625; 0,026 - 0,015625 = 0,010375 nu är vårt mer exakta binära tal 0,011001. Det finns redan sex decimaler efter decimalkomma, men det räcker inte än, så vi utför ett steg till.

Steg 4: Nu arbetar vi med numret 0,010375. Den närmaste potensen av två till detta tal är 2 -7 \u003d 0,0078125;

0,010375 - 0,0078125 = 0,0025625

Steg 5: Nu arbetar vi med numret 0,0025625. Den närmaste potensen av två till detta tal är 2 -9 \u003d 0,001953125;

0,0025625 - 0,001953125 = 0,000609375

Den sista resulterande återstoden är mindre än 2 -10 och om vi ville fortsätta närma oss det ursprungliga talet skulle vi behöva 2 -11 , men detta överskrider redan den erforderliga noggrannheten, och därför kan beräkningarna stoppas och den slutliga binära representationen av bråkdelen kan skrivas ner.

0,401 = 0,011001101

Som du kan se är det lite mer komplicerat att konvertera bråkdelen av ett decimaltal till binär representation än att konvertera heltalsdelen. Tabell över makter av två i slutet av föreläsningen.

Och nu skriver vi transformationsalgoritmen:

Initial data för algoritmen: Genom A kommer vi att beteckna den ursprungliga korrekta decimalfraktionen skriven i decimalform. Låt denna bråkdel innehålla N-tecken.

Algoritm

Åtgärd 1. Bestäm antalet obligatoriska binära tecken M från olikheten 10 N< 2 M

Steg 2: Beräkna siffrorna i den binära representationen (siffror efter noll). Siffrans nummer kommer att betecknas med symbolen K.

1. Siffernummer = 1
2. Om 2 -K > A

Sedan lägger vi till noll till notationen av det binära talet

• lägg till 1 till binärt tal
• A \u003d A - 2 -K

1. K = K + 1
2. Om K > M

• då är algoritmen klar.
• Gå annars till steg 2.

Konvertera decimal till binär

a) 3,6 b) 12,0112 c) 0,231 d) 0,121 e) 23,0091

Subtraktion av binära tal. Vi kommer också att subtrahera tal, vi kommer också att använda en kolumn och den allmänna regeln är densamma som för decimaltal, subtraktion utförs bit för bit och om det inte finns tillräckligt med enhet i biten, så är det engagerat i den äldre. Låt oss lösa följande exempel:

Första rang. 1 - 0 =1. Vi skriver ner 1.

Andra rang 0-1. Enhet saknas. Vi tar det i seniorkategorin. En från den högsta siffran går till den lägsta, eftersom två enheter (eftersom den högsta siffran representeras av en tvåa i högre grad) 2-1 \u003d 1. Vi skriver ner 1.

Tredje rangen. Vi ockuperade enheten för denna siffra, så nu i siffran 0 finns det ett behov av att ockupera enheten för den mest signifikanta siffran. 2-1=1. Vi skriver ner 1.

Låt oss kontrollera resultatet i decimalsystem

1101 - 110 = 13 - 6 = 7 (111) Sann jämlikhet.

Ett annat intressant sätt att utföra subtraktion är relaterat till konceptet tvås komplement, som låter dig reducera subtraktion till addition. Det visar sig att ett nummer i en extra kod är extremt enkelt, vi tar ett nummer, ersätter nollor med ettor, vice versa, vi ersätter ettor med nollor och lägger till en till den minst signifikanta siffran. Till exempel skulle 10010 vara 011011 i de tvås komplementkod.

De tvås komplementsubtraktionsregel säger att subtraktion kan ersättas med addition om subtrahenden ersätts med ett nummer i de tvås komplementkod.

Exempel: 34 - 22 = 12

Låt oss skriva detta exempel i binär form. 100010 - 10110 = 1100

Tilläggskoden för numret 10110 blir så här

01001 + 00001 = 01010. Då kan det ursprungliga exemplet ersättas med addition så här 100010 + 01010 = 101100 Därefter måste du kassera en enhet i högsta ordningen. Om vi ​​gör detta får vi 001100. Vi kasserar obetydliga nollor och får 1100, det vill säga exemplet är rätt löst

Gör dina subtraktioner. På vanligt sätt och i ytterligare kod, efter att tidigare ha konverterat decimaltal till binärt:

Kontrollera genom att konvertera det binära resultatet till decimal.

Multiplikation i binärt talsystem.

Låt oss börja med följande intressanta fakta. För att multiplicera ett binärt tal med 2 (decimal två är 10 i binärt) räcker det att lägga till en nolla till det multiplicerade talet till vänster.

Exempel. 10101 * 10 = 101010

Undersökning.

10101 = 1*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 +1*2 0 = 16 + 4 + 1 = 21

101010 =1*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 +1*2 1 +0*2 0 = 32 + 8 + 2 = 42

Om vi ​​kommer ihåg att vilket binärt tal som helst kan utökas med två potenser, blir det tydligt att multiplikation i det binära talsystemet reduceras till multiplikation med 10 (det vill säga med decimal 2), och därför är multiplikation en serie av successiva skift. Den allmänna regeln är att, precis som med decimaltal, utförs binär multiplikation bit för bit. Och för varje siffra i den andra multiplikatorn läggs en nolla till till höger om den första multiplikatorn. Exempel (ännu inte en kolumn):

1011 * 101 Denna multiplikation kan reduceras till summan av tre bitvisa multiplikationer:

1011 * 1 + 1011 * 0 + 1011 * 100 \u003d 1011 + 101100 \u003d 110111 Samma sak kan skrivas i en kolumn så här:

Undersökning:

101 = 5 (decimal)

1011 = 11 (decimal)

110111 = 55 (decimal)

5*11 = 55 korrekt jämställdhet

Bestäm själv

a) 1101 * 1110 =

b) 1010 * 110 =

e) 101011 * 1101 =

f) 10010 * 1001 =

Obs: Förresten, multiplikationstabellen i det binära systemet består av endast en post 1 * 1 = 1

Division i det binära systemet.

Vi har redan övervägt tre åtgärder och jag tror att det redan är klart att åtgärder på binära tal i allmänhet skiljer sig lite från åtgärder på decimaltal. Skillnaden visar sig bara i det faktum att det finns två siffror och inte tio, men detta förenklar bara aritmetiska operationer. Detsamma gäller med division, men för en bättre förståelse av divisionsalgoritmen kommer vi att analysera mer i detalj. Anta att vi behöver dividera två decimaltal, till exempel 234 dividerat med 7. Hur gör vi.

Vi allokerar till höger (från den mest signifikanta siffran) ett sådant antal siffror att det resulterande talet är så litet som möjligt och samtidigt mer än divisorn. 2 är mindre än divisorn, därför är talet vi behöver 23. Sedan dividerar vi det resulterande talet med divisorn med en rest. Vi får följande resultat:

Den beskrivna operationen upprepas tills den resulterande återstoden är mindre än divisorn. När detta händer är talet som erhålls under stapeln kvoten, och den sista återstoden är resten av operationen. Så operationen att dividera ett binärt tal utförs på exakt samma sätt. Låt oss försöka

Exempel: 10010111 / 101

Vi letar efter ett tal, från den högsta ordningen där den första skulle vara större än divisorn. Detta är det fyrsiffriga numret 1001. Det visas i fet stil. Nu måste du hitta en divisor för det valda numret. Och här vinner vi återigen i jämförelse i decimalsystemet. Faktum är att den valda divisorn nödvändigtvis är en siffra, och vi har bara två siffror. Eftersom 1001 är klart större än 101 är allt klart med divisorn, detta är 1. Låt oss utföra operationssteget.

Så, resten av operationen är 100. Detta är mindre än 101, så för att utföra det andra divisionssteget måste du lägga till nästa siffra till 100, det här är talet 0. Nu har vi följande nummer:

1000 är större än 101, så i det andra steget lägger vi igen 1 till den privata siffran och får följande resultat (för att spara utrymme utelämnar vi omedelbart nästa siffra).

Tredje steget. Det resulterande talet 110 är större än 101, så i detta steg kommer vi att skriva det i kvoten 1. Det kommer att se ut så här:

Det resulterande talet 11 är mindre än 101, så vi skriver det i den privata siffran 0 och sänker nästa siffra ner. Det blir så här:

Det resulterande talet är större än 101, så vi skriver in talet 1 i kvoten och utför åtgärderna igen. Det visar sig denna bild:

1

0

Den resulterande återstoden 10 är mindre än 101, men vi fick slut på siffror i utdelningen, så 10 är den sista återstoden och 1110 är den önskade kvoten.

Kontrollera med decimaler

Detta avslutar beskrivningen av de enklaste aritmetiska operationerna som du behöver känna till för att använda binär aritmetik, och nu ska vi försöka svara på frågan "Varför behöver vi binär aritmetik." Naturligtvis har det redan visat sig ovan att att skriva ett tal i det binära systemet avsevärt förenklar aritmetiska operationer, men samtidigt blir själva posten mycket längre, vilket minskar värdet på den erhållna förenklingen, så det är nödvändigt att titta för sådana problem, vars lösning är mycket enklare i binära tal.

Uppgift 1: Få alla prover

Mycket ofta finns det uppgifter där du måste kunna bygga alla möjliga kombinationer från en given uppsättning objekt. Till exempel, en sådan uppgift:

Med tanke på en stor hög med stenar, arrangera stenarna i två högar på ett sådant sätt att massan av dessa två högar är så mycket som möjligt densamma.

Denna uppgift kan formuleras på följande sätt:

Hitta ett prov av stenar från en stor hög så att dess totala massa skiljer sig så lite som möjligt från hälften av den stora högens massa.

Det finns en hel del uppgifter av det här slaget. Och alla kommer, som redan nämnts, till förmågan att få alla möjliga kombinationer (vi kallar dem val nedan) från en given uppsättning element. Och nu kommer vi att överväga en allmän metod för att erhålla alla möjliga prov med den binära additionsoperationen. Låt oss börja med ett exempel. Låt det vara en uppsättning av tre föremål. Vi konstruerar alla möjliga prover. Artiklar kommer att betecknas med serienummer. Det vill säga, det finns följande poster: 1, 2, 3.

Prover: (0, 0, 1); (0, 1, 0); (0, 1, 1); (100); (1, 0, 1); (1, 1, 0); (1, 1, 1);

Om det finns en i positionen med nästa nummer, betyder det att elementet med numret lika med denna position finns i urvalet, och om det är noll så är elementet inte närvarande. Till exempel, sample(0, 1, 0); består av ett element med nummer 2, och provet är (1, 1, 0); består av två element med nummer 1 och 2.

Detta exempel visar tydligt att provet kan representeras som ett binärt tal. Dessutom är det lätt att se att alla möjliga en-, två- och tresiffriga binära tal är skrivna ovan. Låt oss skriva om dem enligt följande:

001; 010; 011; 100; 101; 110; 111

1; 10; 11; 100; 101; 110; 111

Vi har fått en serie på varandra följande binära tal, som vart och ett erhålls från det föregående genom att lägga till ett. Du kan kolla upp det. Med hjälp av denna observerade regelbundenhet kan vi konstruera följande algoritm för att erhålla prover.

Initial data för algoritmen

Givet en uppsättning objekt N - stycken. I det följande kommer vi att referera till denna uppsättning som uppsättningen av initiala element. Låt oss numrera alla element i den ursprungliga mängden från 1 till N. Låt oss göra ett binärt tal från N obetydliga nollor. 0000… 0 N Detta binära nolltal kommer att beteckna nollprovet från vilket samplingsprocessen börjar. Siffrorna i ett tal räknas från höger till vänster, det vill säga siffran längst till vänster är den mest signifikanta.

Låt oss komma överens om att beteckna detta binära tal med versaler BINÄRT

Algoritm

Om ett BINÄRT tal helt består av ettor

Sedan stoppar vi algoritmen

• Vi lägger till en till det BINÄRA talet enligt reglerna för binär aritmetik.
• Från det mottagna BINÄRA numret komponerar vi nästa prov, enligt beskrivningen ovan.

Uppgift 2: Hitta stora primtal

Kom först ihåg att ett primtal är ett naturligt tal som bara är delbart med 1 och sig själv. Exempel på primtal: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31

Att hitta stora primtal är ett mycket viktigt matematiskt problem. Stora primtal behövs för att säkert kryptera meddelanden med vissa krypteringsalgoritmer. Och det behövs inte bara stora antal, utan mycket stora. Ju större nummer, desto säkrare chiffer baserat på det numret.

Notera. Ett starkt chiffer är ett chiffer som tar väldigt lång tid att dekryptera.

Varför? Ett primtal spelar rollen som en nyckel vid kryptering och dekryptering. Dessutom vet vi att primtal inte förekommer särskilt ofta i serien av naturliga tal. Det finns ganska många av dem bland de första tusen, sedan börjar deras antal minska snabbt. Därför, om vi tar ett inte särskilt stort antal som en nyckel, kommer dekryptatorn, även med hjälp av en inte särskilt snabb dator, att kunna komma till den (genom att sortera igenom alla primtal efter varandra som en nyckel) på en begränsad tid.

En ganska tillförlitlig kod kan man få om man tar en enkel sådan där till exempel 150 tecken. Men att hitta en så enkel är inte så lätt. Låt oss anta att något nummer A (mycket stort) måste testas för att vara prime. Detta är samma sak som att leta efter dess divisorer. Om vi ​​kan hitta divisorer mellan 2 och kvadratroten ur A, så är det inte primtal. Låt oss uppskatta antalet tal som måste kontrolleras för förmågan att dividera talet A.

Antag att talet A har 150 siffror. Kvadratroten av det kommer att innehålla minst 75 tecken. För att sortera igenom ett sådant antal möjliga divisorer behöver vi en mycket kraftfull dator och mycket tid, vilket gör att problemet är praktiskt taget olösligt.

Hur man hanterar det.

För det första kan du lära dig att snabbt kontrollera delbarheten av ett tal med ett annat, och för det andra kan du försöka välja talet A på ett sådant sätt att det är enkelt med hög grad av sannolikhet. Det visar sig att detta är möjligt. Matematikern Mersen upptäckte att siffror av följande form

Är enkla med en hög grad av sannolikhet.

För att förstå frasen som skrivits ovan, låt oss räkna hur många primtal som finns i de första tusental och hur många Mersenne-tal i samma tusen som är primtal. Så Mersen-talen i de första tusen är följande:

2 1 - 1 = 1 ; 2 2 -1 = 3 ; 2 3 - 1 = 7 ; 2 4 - 1 = 15; 2 5 - 1 = 31 ; 2 6 -1 = 63;

2 7 - 1 =127 ; 2 8 -1 = 255; 2 9 - 1 = 511;

Primtal är markerade med fet stil. Totalt finns det 5 primtal för 9 Mersenne-tal. I procent är detta 5/9 * 100 \u003d 55,6%. Samtidigt finns det bara 169 primtal för de första 1000 naturliga talen. I procent är detta 169/1000 * 100 = 16,9%. Det vill säga, i de första tusen, procentuellt sett, finns primtal bland Mersenne-tal nästan 4 gånger oftare än bland helt enkelt naturliga tal.

___________________________________________________________

Och låt oss nu ta ett specifikt Mersen-tal, till exempel 2 4 - 1. Låt oss skriva det som ett binärt tal.

2 4 - 1 = 10000 - 1 = 1111

Låt oss ta nästa Mersen nummer 2 5 -1 och skriva det som ett binärt tal. Vi får följande:

2 5 -1 = 100000 - 1 = 11111

Det är redan klart att alla Mersenne-nummer är en sekvens av ettor, och bara detta faktum ger en stor vinst. För det första, i det binära systemet är det väldigt lätt att få nästa Mersenne-tal, det räcker att lägga till ett till nästa tal, och för det andra är det mycket lättare att leta efter divisorer i det binära systemet än i decimalsystemet.

Snabb decimal till binär konvertering

Ett av huvudproblemen med att använda det binära talsystemet är svårigheten att konvertera ett decimaltal till binärt. Detta är en ganska mödosam uppgift. Naturligtvis är det inte så svårt att översätta små siffror med tre eller fyra siffror, men för decimaltal där det finns 5 eller fler siffror är detta redan svårt. Det vill säga, vi behöver ett sätt att snabbt omvandla stora decimaltal till binär representation.

Denna metod uppfanns av den franske matematikern Legendre. Låt till exempel ges talet 11183445. Vi dividerar det med 64, vi får resten 21 och kvoten 174741. Vi dividerar detta tal igen med 64, vi får resten 21 och kvoten 2730. Slutligen, 2730 dividerat med 64 ger resten 42 och kvoten 42 Men 64 i binär är 1000000, 21 i binär är 10101 och 42 är 101010, så det ursprungliga talet kommer att skrivas binärt enligt följande:

101010 101010 010101 010101

För att göra det tydligare, ett annat exempel med ett mindre antal. Låt oss översätta den binära representationen av talet 235. Dividera 235 med 64 med en rest. Vi får:

PRIVAT = 3, binär 11 eller 000011

UPPLÖSNING = 43, binär 101011

Sedan 235 = 11101011, kontrollera detta resultat:

11101011 = 2 7 + 2 6 + 2 5 + 2 3 + 2 1 + 2 0 = 128+64+32+8+2+1 = 235

Anmärkningar:

1. Det är lätt att se att det slutliga binära talet inkluderar alla rester och, i det sista steget, både resten och kvoten.
2. Kvoten skrivs före resten.
3. Om den resulterande kvoten eller resten har mindre än 6 siffror i binär representation (6 nollor innehåller den binära representationen av talet 64 = 1000000), så läggs obetydliga nollor till den.

Och ännu ett svårt exempel. Nummer 25678425.

Steg 1: 25678425 dividerat med 64

Privat = 401225

Återstående = 25 = 011001

Steg 2: 401225 dividerat med 64

Privat = 6269

Återstående = 9 = 001001

Steg 3: 6269 dividerat med 64

Privat = 97

Återstående = 61 = 111101

Steg 4: 97 dividerat med 64

Privat = 1 = 000001

Återstående = 33 = 100001

Antal resultat = 1,100001.111101.001001.011001

I det här numret separerar en punkt de mellanliggande resultaten som ingår i det.

Konvertera till binär representation av ett tal:

BILAGA: TABELL 1

		0,015625
		0,0078125
		0,00390625
		0,001953125
		0,0009765625
		0,00048828125
		0,000244140625
		0,0001220703125
		0,00006103515625
		0,000030517578125
		0,0000152587890625
		0,00000762939453125
		0,000003814697265625
		0,0000019073486328125
		0,00000095367431640625
		0,000000476837158203125

1. Lektionens plats: 9:e klass-3 lektion av den studerade delen
2. Lektionsämne: Aritmetiska operationer i det binära systemet.

Klasstyp: föreläsning, samtal, självständigt arbete.

Lektionens mål:

Didaktisk: introducera reglerna för att utföra aritmetiska operationer (addition, multiplikation, subtraktion) i det binära talsystemet.

Pedagogisk: inskärning av färdigheter för oberoende i arbetet, utbildning av noggrannhet, disciplin.

Utvecklande: utveckling av uppmärksamhet, elevers minne, utveckling av förmågan att jämföra mottagen information.

Tvärvetenskapliga kopplingar: Matematik:

Klasser i utbildningsutrustning (utrustning):projektor, bord, uppgiftskort.

Metodstöd för lektionen:presentation i PowerPoint.

Lektionsplanering

1. Organisatoriskt ögonblick (2 min).
2. Upprepning (10)
3. Förklara nytt material (15 min)
4. Konsolidering av det täckta materialet (10 min)
5. hemläxa
6. Reflektion (2 min)
7. Sammanfattning (2 min)

Under lektionerna

1. Organisera tid
2. Kunskapsuppdatering.Vi fortsätter att studera ämnet för talsystemet och målet med dagens lektion kommer att vara att lära oss hur man utför aritmetiska operationer i det binära talsystemet, nämligen, vi kommer att överväga med dig regeln för att utföra operationer som addition, subtraktion, multiplikation, division.
3. Kunskapskontroll (frontalundersökning).

Låt oss komma ihåg:

1. Vad är nummersystemet?
2. Vad är basen i ett talsystem?
3. Vad är basen i det binära talsystemet?
4. Ange vilka siffror som är skrivna med fel och motivera ditt svar:
   123 8, 3006 2, 12ААС09 20, 13476 10,
5. Vad är den lägsta bas som talsystemet bör ha om talen kan skrivas i det: 10, 21, 201, 1201
6. Vad är slutet på ett jämnt binärt tal?
   Vilken siffra slutar med ett udda binärt tal?

4 . Studiet av nytt material åtföljs av en presentation

/ Bilaga 1/

Läraren förklarar det nya ämnet på presentationens bilder, eleverna gör anteckningar och slutför de uppgifter som läraren föreslagit i anteckningsboken.

Av alla positionssystem är det binära talsystemet särskilt enkelt. Överväg att utföra grundläggande aritmetiska operationer på binära tal.

Alla positionsnummersystem är "samma", nämligen i alla utförs aritmetiska operationer enligt samma regler:

ett . samma aritmetiska lagar är giltiga: kommutativ, associativ, distributiv;

2. Reglerna för addition, subtraktion och multiplikation med en kolumn är rättvisa;

3. Reglerna för att utföra aritmetiska operationer är baserade på additions- och multiplikationstabeller.

Tillägg

Tänk på tilläggsexempel.

När man lägger till en kolumn med två siffror från höger till vänster i det binära talsystemet, som i vilket positionssystem som helst, kan bara en gå till nästa bit.

Resultatet av att lägga till två positiva tal har antingen samma antal siffror som maximalt av de två termerna, eller en siffra till, men denna siffra kan bara vara en.

1011022+111112=?

1110112+110112=?

Subtraktion

Självständigt arbete av studenter i en anteckningsbok för att konsolidera materialet

101101 2 -11111 2 =?

110011 2 -10101 2 =?
Multiplikation
Tänk på exempel för multiplikation.

Multiplikationsoperationen utförs med hjälp av multiplikationstabellen enligt det vanliga schemat (används i decimaltalsystemet) med successiv multiplikation av multiplikatorn med nästa siffra i multiplikatorn.
Tänk på multiplikationsexempel
När du utför multiplikation i exempel 2 läggs tre enheter till 1+1+1=11 i motsvarande siffra, 1 skrivs och den andra enheten överförs till den högsta siffran.
I det binära talsystemet reduceras multiplikationsoperationen till förskjutningar av multiplikanden och tillägg av mellanresultat.
Division

Divisionsoperationen utförs enligt en algoritm som liknar divisionsoperationsalgoritmen i decimaltalssystemet.

Betrakta delningsexemplet

Konsolidering (oberoende arbete av studenter på kort utförs i en anteckningsbok) / Bilaga 2 /

För studenter som genomfört självständigt arbete på kort tid erbjuds ytterligare en uppgift.

5. Läxor

2. Lär dig reglerna för att utföra aritmetiska operationer i det binära talsystemet, lär dig tabellerna för addition, subtraktion, multiplikation.

3. Följ dessa steg:

110010+111,01

11110000111-110110001

10101,101*111

6 Reflektion

Idag på lektionen var det mest informativa för mig...

Jag blev förvånad över att...

Jag kan tillämpa det jag lärde mig i klassen idag...

7. Lektionssammanfattning

Idag lärde vi oss hur man utför aritmetiska operationer i det binära talsystemet (gradering för lektionen).

Bildtexter:

Temat för lektionen: "Aritmetiska operationer i positionella talsystem" Datavetenskapslärare Marina Valentinovna Fedorchenko MOU Berezovskaya gymnasieskola med Berezovka Taishet-distriktet, Irkutsk-regionen Låt oss komma ihåg: Vad är talsystemet? Vad är basen för talsystemet? Vad är basen för det binära talsystemet? talen är skrivna med fel och motiverar svaret: 1238, 30062, 12AAC0920, 1347610, Vilken är den lägsta bas som talsystemet bör ha om tal kan skrivas i det: 10, 21, 201 , 1201 Vilken siffra slutar med ett jämnt binärt tal Vilken siffra slutar med ett udda binärt tal?
Laplace skrev om sin inställning till det binära (binära) talsystemet hos den store matematikern Leibniz: ”I sin binära aritmetik såg Leibniz skapelsens prototyp. Det föreföll honom som att man representerar den gudomliga principen, och noll - icke-existens, och att en högre varelse skapar allt från icke-existens på exakt samma sätt som ett och noll i hans system uttrycker alla tal. Dessa ord betonar universaliteten i alfabetet, som består av två tecken. Alla positionsnummersystem är "samma", nämligen aritmetiska operationer utförs i dem alla enligt samma regler:
samma aritmetiska lagar är giltiga: --kommutativ (förskjutning) m + n = n + m m n = n m associativ (kombinativ) (m + n) + k = m + (n + k) = m + n + k (m n) ) k = m (n k) = m n k distributiv (distributiv) (m + n) k = m k + n k
reglerna för addition, subtraktion och multiplikation med en kolumn är giltiga;
Reglerna för att utföra aritmetiska operationer är baserade på additions- och multiplikationstabeller.
Tillägg i positionstalssystem Av alla positionssystem är det binära talsystemet särskilt enkelt. Överväg att utföra grundläggande aritmetiska operationer på binära tal. Alla positionstalssystem är "samma", nämligen aritmetiska operationer utförs i dem alla enligt samma regler: samma är giltiga: kommutativa, associativa, distributiva; reglerna för addition, subtraktion och multiplikation med en kolumn är giltig; reglerna för att utföra aritmetiska operationer är baserade på additions- och multiplikationstabeller.
När man lägger till en kolumn med två siffror från höger till vänster i det binära talsystemet, som i vilket positionssystem som helst, kan bara en gå till nästa bit. Resultatet av att lägga till två positiva tal har antingen samma antal siffror som maximalt av de två termerna, eller en siffra till, men denna siffra kan bara vara en. Tänk på exempel Lös exempel själv:
1011012 + 111112
1110112 + 110112
1001100
1010110
När du utför en subtraktionsoperation subtraheras alltid ett mindre tal från ett större tal i absolut värde och motsvarande tecken sätts på resultatet.
Subtraktion Betrakta exempel Exempel:
1011012– 111112
1100112– 101012
1110
11110
Multiplikation i positionstalssystem Multiplikationsoperationen utförs med hjälp av multiplikationstabellen enligt det vanliga schemat (används i decimaltalssystemet) med successiv multiplikation av multiplikanten med nästa siffra i multiplikatorn Låt oss överväga exempel på multiplikation. Låt oss titta på exemplen Låt oss titta på divisionsexemplet
Låt oss lösa exempel:
11012 1112

111102:1102=
1011011
101
Läxa 1.&3.1.22.Lär dig reglerna för att utföra aritmetiska operationer i det binära systemet, lär dig tabellerna för addition, subtraktion, multiplikation.3. Gör följande: 110010+111.0111110000111-11011000110101.101*111 Reflektion Idag på lektionen var det mest informativa för mig ... jag blev förvånad över att ... jag kan tillämpa den kunskap jag fått idag i lektionen ...