Jämför bråktal med olika nämnare. Jämförelse av bråk: regler, exempel, lösningar

Den här artikeln handlar om jämförelse av bråk. Här ska vi ta reda på vilket av bråken som är större eller mindre, tillämpa regeln och analysera exempel på lösningen. Jämför bråk med samma och olika nämnare. Låt oss jämföra ett vanligt bråk med ett naturligt tal.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Jämföra bråk med samma nämnare

När vi jämför bråk med samma nämnare arbetar vi bara med täljaren, vilket innebär att vi jämför bråkdelar av ett tal. Om det finns en bråkdel 3 7 så har den 3 delar 1 7, då har bråkdelen 8 7 8 sådana delar. Med andra ord, om nämnaren är densamma, jämförs täljarna för dessa bråk, det vill säga 3 7 och 8 7 jämförs talen 3 och 8.

Detta innebär regeln för att jämföra bråk med samma nämnare: av de tillgängliga bråken med samma indikatorer anses bråket med den större täljaren vara större och vice versa.

Detta tyder på att du bör vara uppmärksam på täljarna. För att göra detta, överväg ett exempel.

Exempel 1

Jämför de givna bråken 65 126 och 87 126 .

Lösning

Eftersom bråkens nämnare är desamma, låt oss gå vidare till täljarna. Av siffrorna 87 och 65 är det uppenbart att 65 är mindre. Baserat på regeln för att jämföra bråk med samma nämnare har vi att 87126 är större än 65126.

Svar: 87 126 > 65 126 .

Jämföra bråk med olika nämnare

Jämförelsen av sådana fraktioner kan jämföras med jämförelsen av fraktioner med samma exponenter, men det finns en skillnad. Nu måste vi reducera bråken till en gemensam nämnare.

Om det finns bråk med olika nämnare behöver du för att jämföra dem:

hitta en gemensam nämnare;
jämför bråk.

Låt oss ta en titt på dessa steg med ett exempel.

Exempel 2

Jämför bråk 5 12 och 9 16 .

Lösning

Det första steget är att få bråken till en gemensam nämnare. Detta görs på detta sätt: LCM hittas, det vill säga den minst gemensamma divisorn, 12 och 16. Detta nummer är 48. Det är nödvändigt att skriva in ytterligare faktorer till den första bråkdelen 5 12, detta nummer hittas från kvoten 48: 12 = 4, för den andra bråkdelen 9 16 - 48: 16 = 3. Låt oss skriva ner det så här: 5 12 = 5 4 12 4 = 20 48 och 9 16 = 9 3 16 3 = 27 48.

Efter att ha jämfört bråken får vi 20 48< 27 48 . Значит, 5 12 меньше 9 16 .

Svar: 5 12 < 9 16 .

Det finns ett annat sätt att jämföra bråk med olika nämnare. Den utförs utan reduktion till en gemensam nämnare. Låt oss titta på ett exempel. För att jämföra bråken a b och c d reducerar vi till en gemensam nämnare, sedan b · d, det vill säga produkten av dessa nämnare. Då kommer de ytterligare faktorerna för bråk att vara nämnarna för det angränsande bråket. Detta skrivs som a · d b · d och c · b d · b . Med hjälp av regeln med samma nämnare har vi att jämförelsen av bråk har reducerats till jämförelser av produkterna a · d och c · b. Härifrån får vi regeln för att jämföra bråk med olika nämnare: om a d > b c, så a b > c d, men om a d< b · c , тогда a b < c d . Рассмотрим сравнение с разными знаменателями.

Exempel 3

Jämför bråk 5 18 och 23 86.

Lösning

Detta exempel har a = 5 , b = 18 , c = 23 och d = 86 . Sedan är det nödvändigt att beräkna a · d och b · c . Det följer att a d = 5 86 = 430 och b c = 18 23 = 414 . Men 430 > 414 , då är den givna bråkdelen 5 18 större än 23 86 .

Svar: 5 18 > 23 86 .

Jämföra bråk med samma täljare

Om bråk har samma täljare och olika nämnare, kan du utföra jämförelsen enligt föregående stycke. Resultatet av jämförelsen är möjligt när man jämför deras nämnare.

Det finns en regel för att jämföra bråk med samma täljare : Av två bråk med samma täljare är det större bråket det med den mindre nämnaren och vice versa.

Låt oss titta på ett exempel.

Exempel 4

Jämför bråk 54 19 och 54 31.

Lösning

Vi har att täljarna är desamma, vilket betyder att ett bråk med nämnaren 19 är större än ett bråktal som har nämnaren 31. Detta framgår tydligt av regeln.

Svar: 54 19 > 54 31 .

Annars kan du ta ett exempel. Det finns två tallrikar på vilka 1 2 pajer, anna ytterligare 1 16 . Om du äter 1 2 pajer blir du mätt snabbare än bara 1 16. Därav slutsatsen att den största nämnaren med samma täljare är den minsta när man jämför bråk.

Att jämföra ett bråktal med ett naturligt tal

En jämförelse av ett vanligt bråk med ett naturligt tal är detsamma som en jämförelse av två bråk med nämnare skrivna i formen 1. Låt oss ta en titt på ett exempel nedan för mer information.

Exempel 4

Det är nödvändigt att göra en jämförelse 63 8 och 9 .

Lösning

Det är nödvändigt att representera talet 9 som en bråkdel 9 1 . Sedan har vi behov av att jämföra bråk 63 8 och 9 1 . Detta följs av reduktion till en gemensam nämnare genom att hitta ytterligare faktorer. Efter det ser vi att vi behöver jämföra bråk med samma nämnare 63 8 och 72 8 . Baserat på jämförelseregeln, 63< 72 , тогда получаем 63 8 < 72 8 . Значит, заданная дробь меньше целого числа 9 , то есть имеем 63 8 < 9 .

Svar: 63 8 < 9 .

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

I vardagen måste vi ofta jämföra bråkvärden. Oftast orsakar detta inga problem. Alla förstår faktiskt att ett halvt äpple är större än en fjärdedel. Men när man ska skriva det som ett matematiskt uttryck kan det vara svårt. Genom att tillämpa följande matematiska regler kan du enkelt lösa detta problem.

Hur man jämför bråk med samma nämnare

Dessa fraktioner är lättast att jämföra. I det här fallet, använd regeln:

Av två bråk med samma nämnare men olika täljare, kommer den större att vara den vars täljare är större, och den mindre kommer att vara den vars täljare är mindre.

Jämför till exempel bråken 3/8 och 5/8. Nämnarna i detta exempel är lika, så vi tillämpar denna regel. 3<5 и 3/8 меньше, чем 5/8.

Faktum är att om du skär två pizzor i 8 skivor, är 3/8 skivor alltid mindre än 5/8.

Jämföra bråk med samma täljare och olika nämnare

I detta fall jämförs storleken på nämnarandelarna. Regeln att tillämpa är:

Om två bråk har samma täljare, är det större bråket det med den mindre nämnaren.

Jämför till exempel bråken 3/4 och 3/8. I det här exemplet är täljarna lika, så vi använder den andra regeln. 3/4-bråket har en mindre nämnare än 3/8-bråket. Därav 3/4>3/8

Faktum är att om du äter 3 skivor pizza uppdelade i 4 delar blir du mer mätt än om du äter 3 skivor pizza uppdelade i 8 delar.

Jämföra bråk med olika täljare och nämnare

Vi tillämpar den tredje regeln:

Jämförelse av bråk med olika nämnare bör jämföras med bråk med samma nämnare. För att göra detta måste du föra bråken till en gemensam nämnare och använda den första regeln.

Till exempel måste du jämföra bråk och . För att bestämma den större bråkdelen tar vi dessa två bråk till en gemensam nämnare:

Låt oss nu hitta den andra ytterligare faktorn: 6:3=2. Vi skriver det över den andra bråkdelen:

Av två bråk med samma nämnare är den med den större täljaren den större och den med den mindre täljaren den mindre.. Faktum är att när allt kommer omkring visar nämnaren hur många delar ett helt värde var uppdelat i, och täljaren visar hur många sådana delar som togs.

Det visar sig att varje hel cirkel delades med samma tal 5 , men de tog ett annat antal delar: de tog mer - en stor bråkdel och det visade sig.

Av två bråk med samma täljare är den med den mindre nämnaren den större och den med den större nämnaren den mindre. Tja, faktiskt, om vi delar en cirkel i 8 delar och det andra 5 delar och ta en del från var och en av cirklarna. Vilken del blir större?

Naturligtvis från en cirkel dividerad med 5 delar! Föreställ dig nu att de inte delade cirklar, utan kakor. Vilken del skulle du föredra, mer exakt, vilken del: den femte eller den åttonde?

För att jämföra bråk med olika täljare och olika nämnare måste du reducera bråken till den minsta gemensamma nämnaren och sedan jämföra bråken med samma nämnare.

Exempel. Jämför vanliga bråk:

Låt oss ta dessa bråk till den minsta gemensamma nämnaren. NOZ(4 ; 6)=12. Vi hittar ytterligare faktorer för var och en av fraktionerna. För den första bråkdelen, en extra multiplikator 3 (12: 4=3 ). För den andra bråkdelen, en extra multiplikator 2 (12: 6=2 ). Nu jämför vi täljarna för de två resulterande bråken med samma nämnare. Eftersom täljaren för det första bråket är mindre än täljaren för det andra bråket ( 9<10) , då är själva den första fraktionen mindre än den andra fraktionen.

Vi fortsätter att studera bråk. Idag kommer vi att prata om deras jämförelse. Ämnet är intressant och användbart. Det kommer att tillåta nybörjaren att känna sig som en vetenskapsman i en vit rock.

Kärnan i att jämföra bråk är att ta reda på vilken av de två bråken som är större eller mindre.

För att svara på frågan vilket av de två bråken som är större eller mindre, använd till exempel mer (>) eller mindre (<).

Matematiker har redan tagit hand om färdiga regler som gör att du omedelbart kan svara på frågan om vilken bråkdel som är större och vilken som är mindre. Dessa regler kan tillämpas på ett säkert sätt.

Vi kommer att titta på alla dessa regler och försöka ta reda på varför detta händer.

Lektionens innehåll

Jämföra bråk med samma nämnare

Bråken som ska jämföras är olika. Det mest framgångsrika fallet är när bråk har samma nämnare, men olika täljare. I detta fall gäller följande regel:

Av två bråk med samma nämnare är det större bråket det med den större täljaren. Och följaktligen kommer den mindre andelen att vara, där täljaren är mindre.

Låt oss till exempel jämföra bråk och och svara vilket av dessa bråk som är störst. Här är nämnarna desamma, men täljarna är olika. Ett bråk har en större täljare än ett bråk. Så bråkdelen är större än . Så vi svarar. Svara med mer-ikonen (>)

Detta exempel kan lätt förstås om vi tänker på pizzor som är uppdelade i fyra delar. fler pizzor än pizzor:

Alla kommer att hålla med om att den första pizzan är större än den andra.

Jämföra bråk med samma täljare

Nästa fall vi kan komma in på är när täljarna för bråken är desamma, men nämnarna är olika. För sådana fall finns följande regel:

Av två bråk med samma täljare är bråket med den mindre nämnaren större. Bråket med den större nämnaren är därför mindre.

Låt oss till exempel jämföra bråk och . Dessa bråk har samma täljare. Ett bråk har en mindre nämnare än ett bråk. Så bråket är större än bråket. Så vi svarar:

Detta exempel kan lätt förstås om vi tänker på pizzor som är uppdelade i tre och fyra delar. fler pizzor än pizzor:

Alla är överens om att den första pizzan är större än den andra.

Jämföra bråk med olika täljare och olika nämnare

Det händer ofta att man måste jämföra bråk med olika täljare och olika nämnare.

Jämför till exempel bråk och . För att svara på frågan vilket av dessa bråk som är större eller mindre måste du föra dem till samma (gemensamma) nämnare. Då blir det lätt att avgöra vilken bråkdel som är större eller mindre.

Låt oss föra bråken till samma (gemensamma) nämnare. Hitta (LCM) nämnare för båda bråken. LCM för bråkens nämnare och det talet är 6.

Nu hittar vi ytterligare faktorer för varje bråkdel. Dividera LCM med nämnaren för den första bråkdelen. LCM är talet 6, och nämnaren för det första bråket är talet 2. Dividera 6 med 2, vi får ytterligare en faktor på 3. Vi skriver det över det första bråket:

Låt oss nu hitta den andra ytterligare faktorn. Dividera LCM med nämnaren för den andra bråkdelen. LCM är talet 6, och nämnaren för det andra bråket är talet 3. Dividera 6 med 3, vi får ytterligare en faktor på 2. Vi skriver det över det andra bråket:

Multiplicera bråken med deras ytterligare faktorer:

Vi kom fram till att bråk som hade olika nämnare blev till bråk som hade samma nämnare. Och vi vet redan hur man jämför sådana fraktioner. Av två bråk med samma nämnare är den större bråkdelen den med den större täljaren:

Regeln är regeln, och vi ska försöka ta reda på varför mer än . För att göra detta, välj heltalsdelen i bråket. Det finns ingen anledning att välja något i bråket, eftersom detta bråk redan är korrekt.

Efter att ha valt heltalsdelen i bråket får vi följande uttryck:

Nu kan du lätt förstå varför mer än . Låt oss rita dessa fraktioner i form av pizzor:

2 hela pizzor och pizzor, mer än pizzor.

Subtraktion av blandade tal. Svåra fall.

När du subtraherar blandade tal upptäcker du ibland att saker och ting inte går så smidigt som du skulle vilja. Det händer ofta att när man löser ett exempel är svaret inte vad det borde vara.

När du subtraherar tal måste minuend vara större än subtrahend. Endast i detta fall kommer ett normalt svar att erhållas.

Till exempel, 10−8=2

10 - reducerat

8 - subtraherad

2 - skillnad

Minus 10 är större än subtraherad 8, så vi fick det normala svaret 2.

Låt oss nu se vad som händer om minuend är mindre än subtrahend. Exempel 5−7=−2

5 - reducerad

7 - subtraherad

−2 är skillnaden

I det här fallet går vi bortom siffrorna vi är vana vid och befinner oss i en värld av negativa siffror, där det är för tidigt för oss att gå, och till och med farligt. För att arbeta med negativa tal behöver du lämplig matematisk bakgrund, vilket vi inte har fått ännu.

Om du, när du löser exempel för subtraktion, upptäcker att minuend är mindre än subtrahend, kan du hoppa över ett sådant exempel tills vidare. Det är tillåtet att arbeta med negativa tal först efter att ha studerat dem.

Situationen är densamma med bråk. Minuend måste vara större än subtrahend. Endast i detta fall kommer det att vara möjligt att få ett normalt svar. Och för att förstå om den reducerade bråkdelen är större än den subtraherade, måste du kunna jämföra dessa bråk.

Låt oss till exempel lösa ett exempel.

Detta är ett subtraktionsexempel. För att lösa det måste du kontrollera om den reducerade fraktionen är större än den subtraherade. mer än

så vi kan säkert återgå till exemplet och lösa det:

Låt oss nu lösa det här exemplet

Kontrollera om den reducerade andelen är större än den subtraherade. Vi finner att det är mindre:

I det här fallet är det mer rimligt att sluta och inte fortsätta med ytterligare beräkningar. Vi återkommer till detta exempel när vi studerar negativa tal.

Det är också önskvärt att kontrollera blandade tal innan du subtraherar. Låt oss till exempel hitta värdet på uttrycket .

Kontrollera först om det reducerade blandade talet är större än det subtraherade. För att göra detta översätter vi blandade tal till oegentliga bråk:

Vi fick bråk med olika täljare och olika nämnare. För att jämföra sådana bråk måste du föra dem till samma (gemensamma) nämnare. Vi kommer inte att beskriva i detalj hur man gör detta. Om du har problem, se till att upprepa.

Efter att ha reducerat bråken till samma nämnare får vi följande uttryck:

Nu måste vi jämföra bråk och . Dessa är bråk med samma nämnare. Av två bråk med samma nämnare är den större bråkdelen den med den större täljaren.

Ett bråk har en större täljare än ett bråk. Så bråket är större än bråket.

Detta betyder att minuend är större än subtrahend.

Så vi kan gå tillbaka till vårt exempel och djärvt lösa det:

Exempel 3 Hitta värdet på ett uttryck

Kontrollera om minuend är större än subtrahend.

Konvertera blandade tal till oegentliga bråk:

Vi fick bråk med olika täljare och olika nämnare. Vi för dessa bråk till samma (gemensamma) nämnare.

I den här lektionen kommer vi att lära oss hur man jämför bråk med varandra. Detta är en mycket användbar färdighet som behövs för att lösa en hel klass av mer komplexa problem.

Låt mig först påminna dig om definitionen av bråklikhet:

Bråken a /b och c /d kallas lika om ad = bc.

5/8 = 15/24 eftersom 5 24 = 8 15 = 120;
3/2 = 27/18 eftersom 3 18 = 2 27 = 54.

I alla andra fall är bråken ojämlika, och ett av följande påståenden är sant för dem:

Fraktionen a/b är större än bråkdelen c/d;
Bråket a/b är mindre än bråket c/d.

Bråket a /b kallas större än bråket c /d om a /b − c /d > 0.

En bråkdel x /y kallas mindre än en bråkdel s /t om x /y − s /t< 0.

Beteckning:

Således reduceras jämförelsen av bråk till deras subtraktion. Fråga: hur man inte förväxlas med notationen "större än" (>) och "mindre än" (<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:

Den expanderande delen av checken är alltid riktad mot det större antalet;
Den vassa näsan på en kaja indikerar alltid en lägre siffra.

Ofta i uppgifter där man vill jämföra siffror sätter de tecknet "∨" mellan dem. Det här är en kaja med näsan nedåt, vilket liksom antyder: det största av siffrorna har ännu inte fastställts.

En uppgift. Jämför siffror:

Efter definitionen subtraherar vi bråken från varandra:

I varje jämförelse behövde vi föra bråk till en gemensam nämnare. I synnerhet genom att använda kors och tvärs-metoden och hitta den minsta gemensamma multipeln. Jag fokuserade medvetet inte på dessa punkter, men om något inte är klart, ta en titt på lektionen "Addition och subtraktion av bråk" - det är väldigt enkelt.

Decimaljämförelse

När det gäller decimalbråk är allt mycket enklare. Det finns ingen anledning att subtrahera något här - jämför bara siffrorna. Det kommer inte att vara överflödigt att komma ihåg vad en betydande del av ett nummer är. För de som har glömt, föreslår jag att du upprepar lektionen " Multiplikation och division av decimalbråk" - det tar också bara ett par minuter.

En positiv decimal X är större än en positiv decimal Y om den har en decimal så att:

Siffran i denna siffra i bråket X är större än motsvarande siffra i bråket Y;

Alla siffror äldre än vad som anges i bråk X och Y är desamma.

12.25 > 12.16. De två första siffrorna är desamma (12 = 12), och den tredje är större (2 > 1);
0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).

Med andra ord, vi tittar sekventiellt på decimalerna och letar efter skillnaden. I det här fallet motsvarar ett större antal en större bråkdel.

Denna definition kräver dock ett förtydligande. Till exempel, hur man skriver och jämför siffror upp till decimalkomma? Kom ihåg: alla tal som skrivs i decimalform kan tilldelas valfritt antal nollor till vänster. Här är ytterligare ett par exempel:

0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (речь идет о старшем разряде).
2300,5 > 0,0025, eftersom 0,0025 = 0000,0025 - lagt till tre nollor till vänster. Nu kan du se att skillnaden börjar i den första biten: 2 > 0.

Naturligtvis fanns det i de givna exemplen med nollor en explicit uppräkning, men innebörden är exakt denna: fyll i de saknade siffrorna till vänster och jämför sedan.

En uppgift. Jämför bråk:

0,029 ∨ 0,007;

14,045 ∨ 15,5;

0,00003 ∨ 0,0000099;

1700,1 ∨ 0,99501.

Per definition har vi:

0,029 > 0,007. De två första siffrorna är desamma (00 = 00), sedan börjar skillnaden (2 > 0);
14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
0,00003 > 0,0000099. Här måste du noggrant räkna nollorna. De första 5 siffrorna i båda bråken är noll, men längre fram i den första bråkdelen är 3, och i den andra - 0. Uppenbarligen, 3 > 0;
1700,1 > 0,99501. Låt oss skriva om det andra bråket till 0000,99501 och lägga till 3 nollor till vänster. Nu är allt uppenbart: 1 > 0 - skillnaden finns i den första siffran.

Tyvärr är ovanstående schema för att jämföra decimalbråk inte universellt. Denna metod kan bara jämföras positiva siffror. I det allmänna fallet är arbetsalgoritmen följande:

En positiv bråkdel är alltid större än en negativ;
Två positiva fraktioner jämförs enligt ovanstående algoritm;
Två negativa bråk jämförs på samma sätt, men i slutet är olikhetstecknet omvänt.

Tja, är det inte svagt? Låt oss nu titta på specifika exempel - och allt kommer att bli klart.

En uppgift. Jämför bråk:

0,0027 ∨ 0,0072;

−0,192 ∨ −0,39;

0,15 ∨ −11,3;

19,032 ∨ 0,0919295;

−750 ∨ −1,45.

0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
-0,192 > -0,39. Bråk är negativa, 2 siffror är olika. ett< 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
0,15 > -11,3. Ett positivt tal är alltid större än ett negativt;
19,032 > 0,091. Det räcker med att skriva om den andra bråkdelen i form av 00.091 för att se att skillnaden uppstår redan i 1 siffra;
−750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 >001.45. Skillnaden finns i den första kategorin.