Hem > maskinteknik

Skillnaden mellan logaritmer med samma bas. Egenskaper för logaritmer och exempel på deras lösningar

Som du vet, när du multiplicerar uttryck med potenser, summeras deras exponenter alltid (a b * a c = a b + c). Denna matematiska lag härleddes av Arkimedes, och senare, på 800-talet, skapade matematikern Virasen en tabell med heltalsindikatorer. Det var de som tjänade för vidare upptäckt av logaritmer. Exempel på användning av denna funktion kan hittas nästan överallt där det krävs för att förenkla besvärlig multiplikation till enkel addition. Om du lägger 10 minuter på att läsa den här artikeln kommer vi att förklara för dig vad logaritmer är och hur du arbetar med dem. Enkelt och lättillgängligt språk.

Definition i matematik

Logaritmen är ett uttryck av följande form: log a b=c, det vill säga logaritmen för alla icke-negativa tal (det vill säga alla positiva) "b" med sin bas "a" anses vara potensen av "c" , till vilken basen "a" måste höjas, så att man i slutändan får värdet "b". Låt oss analysera logaritmen med hjälp av exempel, låt oss säga att det finns ett uttryck log 2 8. Hur hittar man svaret? Det är väldigt enkelt, du måste hitta en sådan grad att du får 8 från 2 till önskad grad. Efter att ha gjort några beräkningar i ditt sinne får vi siffran 3! Och med rätta, eftersom 2 i 3 potens ger talet 8 i svaret.

Variationer av logaritmer

För många elever och studenter verkar detta ämne komplicerat och obegripligt, men i själva verket är logaritmer inte så skrämmande, det viktigaste är att förstå deras allmänna betydelse och komma ihåg deras egenskaper och vissa regler. Det finns tre olika typer av logaritmiska uttryck:

  1. Naturlig logaritm ln a, där basen är Eulertalet (e = 2,7).
  2. Decimal a, där basen är 10.
  3. Logaritmen för valfritt tal b till basen a>1.

Var och en av dem löses på ett standardsätt, inklusive förenkling, reduktion och efterföljande reduktion till en logaritm med hjälp av logaritmiska satser. För att erhålla de korrekta värdena på logaritmer bör man komma ihåg deras egenskaper och ordningen på åtgärder i sina beslut.

Regler och vissa restriktioner

I matematik finns det flera regler-begränsningar som accepteras som ett axiom, det vill säga de är inte föremål för diskussion och är sanna. Det är till exempel omöjligt att dividera tal med noll, och det är också omöjligt att extrahera roten till en jämn grad från negativa tal. Logaritmer har också sina egna regler, efter vilka du enkelt kan lära dig hur du arbetar även med långa och rymliga logaritmiska uttryck:

  • basen "a" måste alltid vara större än noll och samtidigt inte vara lika med 1, annars kommer uttrycket att förlora sin betydelse, eftersom "1" och "0" i någon grad alltid är lika med deras värden;
  • om a > 0, då a b > 0, visar det sig att "c" måste vara större än noll.

Hur löser man logaritmer?

Till exempel, med tanke på uppgiften att hitta svaret på ekvationen 10 x \u003d 100. Det är väldigt enkelt, du måste välja en sådan potens genom att höja talet tio till vilket vi får 100. Detta är naturligtvis 10 2 \u003d 100.

Låt oss nu representera detta uttryck som ett logaritmiskt uttryck. Vi får log 10 100 = 2. När man löser logaritmer konvergerar praktiskt taget alla åtgärder för att hitta i vilken grad basen för logaritmen måste anges för att få ett givet tal.

För att exakt bestämma värdet av en okänd grad måste du lära dig hur man arbetar med en tabell med grader. Det ser ut så här:

Som du kan se kan vissa exponenter gissas intuitivt om du har ett tekniskt tänkesätt och kunskap om multiplikationstabellen. Större värden kommer dock att kräva en effekttabell. Det kan användas även av de som inte förstår någonting alls i komplexa matematiska ämnen. Siffror anges i den vänstra kolumnen (bas a), den översta raden av siffror är värdet av potensen c som talet a höjs till. I skärningspunkten i cellerna bestäms värdena på talen, vilket är svaret (a c =b). Låt oss ta till exempel den allra första cellen med talet 10 och kvadrera den, vi får värdet 100, som indikeras i skärningspunkten mellan våra två celler. Allt är så enkelt och lätt att även den mest verkliga humanist kommer att förstå!

Ekvationer och ojämlikheter

Det visar sig att under vissa förhållanden är exponenten logaritmen. Därför kan alla matematiska numeriska uttryck skrivas som en logaritmisk ekvation. Till exempel kan 3 4 =81 skrivas som logaritmen av 81 till bas 3, vilket är fyra (log 3 81 = 4). För negativa potenser är reglerna desamma: 2 -5 = 1/32 skriver vi som en logaritm, vi får log 2 (1/32) = -5. En av de mest fascinerande delarna av matematiken är ämnet "logaritmer". Vi kommer att överväga exempel och lösningar av ekvationer lite lägre, omedelbart efter att ha studerat deras egenskaper. Låt oss nu titta på hur ojämlikheter ser ut och hur man kan skilja dem från ekvationer.

Ett uttryck av följande form ges: log 2 (x-1) > 3 - det är en logaritmisk olikhet, eftersom det okända värdet "x" står under logaritmens tecken. Och även i uttrycket jämförs två kvantiteter: logaritmen för det önskade talet i bas två är större än talet tre.

Den viktigaste skillnaden mellan logaritmiska ekvationer och ojämlikheter är att ekvationer med logaritmer (till exempel logaritmen 2 x = √9) innebär ett eller flera specifika numeriska värden i svaret, medan vid lösning av olikheten, både intervallet av acceptabla värden och de punkter som bryter denna funktion. Som en konsekvens är svaret inte en enkel uppsättning individuella tal, som i svaret på ekvationen, utan en kontinuerlig serie eller uppsättning tal.

Grundläggande satser om logaritmer

När man löser primitiva uppgifter för att hitta värdena för logaritmen, kanske dess egenskaper inte är kända. Men när det kommer till logaritmiska ekvationer eller olikheter är det först och främst nödvändigt att tydligt förstå och tillämpa i praktiken alla de grundläggande egenskaperna hos logaritmer. Vi kommer att bekanta oss med exempel på ekvationer senare, låt oss först analysera varje egenskap mer i detalj.

  1. Den grundläggande identiteten ser ut så här: a logaB =B. Det gäller bara om a är större än 0, inte lika med ett, och B är större än noll.
  2. Produktens logaritm kan representeras i följande formel: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. I detta fall är förutsättningen: d, s 1 och s 2 > 0; a≠1. Du kan ge ett bevis för denna logaritmformel, med exempel och en lösning. Låt log a s 1 = f 1 och log a s 2 = f 2 , sedan a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Vi får att s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (gradegenskaper ), och vidare per definition: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, vilket skulle bevisas.
  3. Logaritmen för kvoten ser ut så här: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
  4. Satsen i form av en formel har följande form: log a q b n = n/q log a b.

Denna formel kallas "egenskapen för graden av logaritmen". Det liknar egenskaperna hos vanliga grader, och det är inte förvånande, eftersom all matematik vilar på vanliga postulat. Låt oss titta på beviset.

Låt logga a b \u003d t, visar det sig a t \u003d b. Om du höjer båda delarna till potensen m: a tn = b n ;

men eftersom a tn = (a q) nt/q = b n, därav log a q b n = (n*t)/t, då log a q b n = n/q log a b. Teoremet har bevisats.

Exempel på problem och ojämlikheter

De vanligaste typerna av logaritmproblem är exempel på ekvationer och ojämlikheter. De finns i nästan alla problemböcker, och ingår även i den obligatoriska delen av prov i matematik. För att komma in på ett universitet eller klara antagningsprov i matematik måste du veta hur du löser sådana uppgifter korrekt.

Tyvärr finns det ingen enskild plan eller schema för att lösa och bestämma det okända värdet på logaritmen, men vissa regler kan tillämpas på varje matematisk olikhet eller logaritmisk ekvation. Först och främst bör du ta reda på om uttrycket kan förenklas eller reduceras till en allmän form. Du kan förenkla långa logaritmiska uttryck om du använder deras egenskaper korrekt. Låt oss snart lära känna dem.

När man löser logaritmiska ekvationer är det nödvändigt att bestämma vilken typ av logaritm vi har framför oss: ett exempel på ett uttryck kan innehålla en naturlig logaritm eller en decimal.

Här är exempel ln100, ln1026. Deras lösning kokar ner till det faktum att du måste bestämma i vilken grad basen 10 kommer att vara lika med 100 respektive 1026. För lösningar av naturliga logaritmer måste man tillämpa logaritmiska identiteter eller deras egenskaper. Låt oss titta på exempel på att lösa logaritmiska problem av olika slag.

Hur man använder logaritmformler: med exempel och lösningar

Så låt oss titta på exempel på hur man använder huvudsatserna på logaritmer.

  1. Egenskapen för produktens logaritm kan användas i uppgifter där det är nödvändigt att dekomponera ett stort värde av talet b i enklare faktorer. Till exempel log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Svaret är 9.
  2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - som du kan se, med hjälp av den fjärde egenskapen för logaritmens grad, lyckades vi vid första anblicken lösa ett komplext och olösligt uttryck. Det är bara nödvändigt att faktorisera basen och sedan ta exponentvärdena ur logaritmens tecken.

Uppgifter från tentamen

Logaritmer finns ofta i inträdesprov, särskilt många logaritmiska problem i Unified State Exam (statligt prov för alla skolutexaminerade). Vanligtvis finns dessa uppgifter inte bara i del A (den enklaste testdelen av provet), utan också i del C (de svåraste och mest omfattande uppgifterna). Provet innebär en korrekt och perfekt kunskap om ämnet "Naturliga logaritmer".

Exempel och problemlösning är hämtade från de officiella versionerna av tentamen. Låt oss se hur sådana uppgifter löses.

Givet log 2 (2x-1) = 4. Lösning:
låt oss skriva om uttrycket och förenkla det lite log 2 (2x-1) = 2 2 , enligt logaritmens definition får vi att 2x-1 = 2 4 , därför 2x = 17; x = 8,5.

  • Alla logaritmer reduceras bäst till samma bas så att lösningen inte blir krånglig och förvirrande.
  • Alla uttryck under logaritmens tecken indikeras som positiva, därför, när man tar ut exponenten för exponenten för uttrycket, som är under logaritmens tecken och som dess bas, måste uttrycket som finns kvar under logaritmen vara positivt.

Idag ska vi prata om logaritmformler och ge demonstration exempel på lösningar.

I sig själva innebär de lösningsmönster enligt logaritmernas grundläggande egenskaper. Innan vi tillämpar logaritmformlerna på lösningen minns vi först alla egenskaper för dig:

Nu, baserat på dessa formler (egenskaper), visar vi exempel på att lösa logaritmer.

Exempel på att lösa logaritmer utifrån formler.

Logaritm ett positivt tal b i basen a (betecknat log a b) är exponenten till vilken a måste höjas för att få b, med b > 0, a > 0 och 1.

Enligt definitionen log a b = x, vilket är ekvivalent med a x = b, så log a a x = x.

Logaritmer, exempel:

log 2 8 = 3, eftersom 2 3 = 8

log 7 49 = 2 eftersom 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, eftersom 5 -1 = 1/5

Decimallogaritmär en vanlig logaritm, vars bas är 10. Betecknas som lg.

log 10 100 = 2 eftersom 10 2 = 100

naturlig logaritm- också den vanliga logaritmen logaritmen, men med basen e (e \u003d 2,71828 ... - ett irrationellt tal). Kallas ln.

Det är önskvärt att komma ihåg formlerna eller egenskaperna för logaritmer, eftersom vi kommer att behöva dem senare när vi löser logaritmer, logaritmiska ekvationer och olikheter. Låt oss gå igenom varje formel igen med exempel.

  • Grundläggande logaritmisk identitet
    a log a b = b

    8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

  • Produktens logaritm är lika med summan av logaritmerna
    log a (bc) = log a b + log a c

    log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

  • Logaritmen för kvoten är lika med skillnaden mellan logaritmerna
    log a (b/c) = log a b - log a c

    9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

  • Egenskaper för graden av ett logaritmbart tal och basen för logaritmen

    Exponenten för ett logaritmtal log a b m = mlog a b

    Exponent för basen för logaritmen log a n b =1/n*log a b

    log a n b m = m/n*log a b,

    om m = n får vi log a n b n = log a b

    log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

  • Övergång till ny stiftelse
    log a b = log c b / log c a,

    om c = b får vi log b b = 1

    sedan log a b = 1/log b a

    log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Som du kan se är logaritmformlerna inte så komplicerade som de verkar. Nu, efter att ha övervägt exempel på att lösa logaritmer, kan vi gå vidare till logaritmiska ekvationer. Vi kommer att överväga exempel på att lösa logaritmiska ekvationer mer i detalj i artikeln: "". Missa inte!

Om du fortfarande har frågor om lösningen, skriv dem i kommentarerna till artikeln.

Obs: bestämde mig för att få en utbildning av en annan klass studera utomlands som ett alternativ.

Logaritmen för ett tal N av skäl a kallas exponent X , som du behöver höja a för att få numret N

Förutsatt att
,
,

Det följer av definitionen av logaritmen att
, dvs.
- denna jämlikhet är den grundläggande logaritmiska identiteten.

Logaritmer till bas 10 kallas decimallogaritmer. Istället för
skriva
.

baslogaritmer e kallas naturliga och betecknas
.

Grundläggande egenskaper hos logaritmer.

    Enhetslogaritmen för varje bas är noll

    Produktens logaritm är lika med summan av logaritmerna för faktorerna.

3) Kvotens logaritm är lika med skillnaden mellan logaritmerna


Faktor
kallas övergångsmodulen från logaritmer vid basen a till logaritmer vid basen b .

Med hjälp av egenskaperna 2-5 är det ofta möjligt att reducera logaritmen för ett komplext uttryck till resultatet av enkla aritmetiska operationer på logaritmer.

Till exempel,

Sådana transformationer av logaritmen kallas logaritmer. Transformationer som är reciproka av logaritmer kallas potentiering.

Kapitel 2. Element i högre matematik.

1. Gränser

funktionsgräns
är ett ändligt tal A om, när man strävar xx 0 för varje förutbestämt
, det finns ett nummer
det så fort
, då
.

En funktion som har en gräns skiljer sig från den med en oändlig mängd:
, där - b.m.w., dvs.
.

Exempel. Tänk på funktionen
.

När man strävar
, funktion y går till noll:

1.1. Grundläggande satser om gränser.

    Gränsen för ett konstant värde är lika med detta konstanta värde

.

    Gränsen för summan (skillnaden) av ett ändligt antal funktioner är lika med summan (skillnaden) av gränserna för dessa funktioner.

    Gränsen för en produkt av ett ändligt antal funktioner är lika med produkten av gränserna för dessa funktioner.

    Gränsen för kvoten för två funktioner är lika med kvoten för gränserna för dessa funktioner om gränsen för nämnaren inte är lika med noll.

Anmärkningsvärda gränser

,
, var

1.2. Limitberäkningsexempel

Men alla gränser beräknas inte så lätt. Oftare reduceras beräkningen av gränsen till avslöjandet av typosäkerhet: eller .

.

2. Derivata av en funktion

Låt oss ha en funktion
, kontinuerlig på segmentet
.

Argument fick lite boost
. Då kommer funktionen att ökas
.

Argumentvärde motsvarar värdet på funktionen
.

Argumentvärde
motsvarar värdet på funktionen.

Därav, .

Låt oss finna gränsen för detta förhållande vid
. Om denna gräns finns, kallas den derivatan av den givna funktionen.

Definition av 3derivatan av en given funktion
genom argument kallas gränsen för förhållandet mellan ökningen av funktionen och ökningen av argumentet, när ökningen av argumentet godtyckligt tenderar mot noll.

Funktionsderivata
kan betecknas på följande sätt:

; ; ; .

Definition 4 Operationen att hitta derivatan av en funktion kallas differentiering.

2.1. Den mekaniska betydelsen av derivatan.

Tänk på den rätlinjiga rörelsen hos någon stel kropp eller materialpunkt.

Låt någon gång i tiden rörlig punkt
var på avstånd från startpositionen
.

Efter en tid
hon flyttade sig en bit
. Attityd =- medelhastighet för en materialpunkt
. Låt oss hitta gränsen för detta förhållande, med hänsyn till det
.

Följaktligen reduceras bestämningen av den momentana hastigheten för en materialpunkt till att hitta derivatan av banan med avseende på tid.

2.2. Geometriskt värde för derivatan

Anta att vi har en grafiskt definierad funktion
.

Ris. 1. Den geometriska betydelsen av derivatan

Om en
, då poängen
, kommer att röra sig längs kurvan och närma sig punkten
.

Därav
, dvs. värdet av derivatan givet värdet av argumentet är numeriskt lika med tangenten för vinkeln som bildas av tangenten vid en given punkt med axelns positiva riktning
.

2.3. Tabell över grundläggande differentieringsformler.

Power funktion

Exponentiell funktion

logaritmisk funktion

trigonometrisk funktion

Omvänd trigonometrisk funktion

2.4. Differentieringsregler.

Derivat av

Derivata av summan (skillnaden) av funktioner


Derivat av produkten av två funktioner


Derivatan av kvoten av två funktioner


2.5. Derivat av en komplex funktion.

Låt funktionen
så att den kan representeras som

och
, där variabeln är alltså ett mellanargument

Derivatan av en komplex funktion är lika med produkten av derivatan av den givna funktionen med avseende på det mellanliggande argumentet med derivatan av det mellanliggande argumentet med avseende på x.

Exempel1.

Exempel 2.

3. Funktionsskillnad.

Låt det finnas
, differentierbar på något intervall
släpp det på denna funktion har en derivata

,

då kan du skriva

(1),

var - en oändlig mängd,

eftersom kl

Multiplicera alla termer av jämlikhet (1) med
vi har:

Var
- b.m.v. högre ordning.

Värde
kallas funktionens differential
och betecknas

.

3.1. Differensens geometriska värde.

Låt funktionen
.

Fig.2. Den geometriska betydelsen av differentialen.

.

Uppenbarligen skillnaden mellan funktionen
är lika med inkrementet av tangentens ordinatan vid den givna punkten.

3.2. Derivat och differentialer av olika ordningsföljder.

Om det
, då
kallas förstaderivatan.

Derivatan av den första derivatan kallas andra ordningens derivata och skrivs
.

Derivat av funktionens n:e ordning
kallas derivatan av (n-1) ordningen och skrivs:

.

Differentialen för differentialen för en funktion kallas den andra differentialen eller den andra ordningens differential.

.

.

3.3 Att lösa biologiska problem med hjälp av differentiering.

Uppgift 1. Studier har visat att tillväxten av en koloni av mikroorganismer följer lagen
, var N – antal mikroorganismer (i tusentals), t – tid (dagar).

b) Kommer befolkningen i kolonin att öka eller minska under denna period?

Svar. Kolonin kommer att växa i storlek.

Uppgift 2. Vattnet i sjön testas periodiskt för att kontrollera innehållet av patogena bakterier. Genom t dagar efter testning bestäms koncentrationen av bakterier av förhållandet

.

När kommer den lägsta koncentrationen av bakterier i sjön och det ska gå att bada i den?

Lösning En funktion når max eller min när dess derivata är noll.

,

Låt oss bestämma max eller min kommer om 6 dagar. För att göra detta tar vi den andra derivatan.


Svar: Efter 6 dagar kommer det att finnas en lägsta koncentration av bakterier.

    Låt oss börja med egenskaper hos enhetslogaritmen. Dess formulering är som följer: logaritmen för enhet är lika med noll, det vill säga, logga en 1=0 för vilken som helst a>0, a≠1. Beviset är enkelt: eftersom a 0 =1 för varje a som uppfyller ovanstående villkor a>0 och a≠1, så följer den bevisade likhetsloggen a 1=0 omedelbart av definitionen av logaritmen.

    Låt oss ge exempel på tillämpning av den aktuella egenskapen: log 3 1=0 , lg1=0 och .

    Låt oss gå vidare till nästa fastighet: logaritmen för ett tal lika med basen är lika med ett, dvs. logga a=1 för a>0, a≠1. Faktum är att eftersom a 1 =a för vilket a som helst, då logaritmen log a a=1 enligt definitionen av logaritmen.

    Exempel på att använda denna egenskap hos logaritmer är log 5 5=1 , log 5.6 5.6 och lne=1 .

    Till exempel log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 och .

    Logaritm av produkten av två positiva tal x och y är lika med produkten av logaritmerna av dessa tal: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Låt oss bevisa egenskapen hos produktens logaritm. På grund av gradens egenskaper a log a x+log a y =a log a x a log a y och eftersom av den logaritmiska huvudidentiteten a log a x =x och en log a y = y , sedan en log a x a log a y = x y . Således, a log a x+log a y =x y, varav den erforderliga likheten följer av definitionen av logaritmen.

    Låt oss visa exempel på hur du använder egenskapen för produktens logaritm: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 och .

    Produktlogaritmegenskapen kan generaliseras till produkten av ett ändligt antal n av positiva tal x 1 , x 2 , …, x n som log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +...+ log a x n . Denna jämlikhet är lätt bevisad.

    Till exempel kan den naturliga logaritmen för en produkt ersättas med summan av tre naturliga logaritmer av talen 4 , e , och .

    Logaritm av kvoten av två positiva tal x och y är lika med skillnaden mellan logaritmerna för dessa tal. Quotientlogaritmegenskapen motsvarar en formel av formen , där a>0 , a≠1 , x och y är några positiva tal. Giltigheten av denna formel bevisas som formeln för produktens logaritm: sedan , sedan enligt definitionen av logaritmen .

    Här är ett exempel på hur du använder denna egenskap hos logaritmen: .

    Låt oss gå vidare till egenskap hos gradlogaritmen. Logaritmen för en grad är lika med produkten av exponenten och logaritmen av modulen för basen för denna grad. Vi skriver denna egenskap hos gradens logaritm i form av en formel: log a b p =p log a |b|, där a>0 , a≠1 , b och p är tal så att graden av b p är vettig och b p >0 .

    Vi bevisar först denna egenskap för positiv b . Den grundläggande logaritmiska identiteten tillåter oss att representera talet b som en log a b , sedan b p =(a log a b) p , och det resulterande uttrycket, på grund av potensegenskapen, är lika med a p log a b . Så vi kommer fram till likheten b p =a p log a b , från vilken vi, enligt logaritmens definition, drar slutsatsen att log a b p =p log a b .

    Det återstår att bevisa denna egenskap för negativ b . Här noterar vi att uttrycket log a b p för negativt b är vettigt endast för jämna exponenter p (eftersom värdet på graden b p måste vara större än noll, annars kommer logaritmen inte att vara vettig), och i detta fall b p =|b| sid. Sedan b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, varifrån log a b p =p log a |b| .

    Till exempel, och ln(-3)4=4 ln|-3|=4 ln3.

    Det följer av den tidigare fastigheten egenskapen för logaritmen från roten: logaritmen för roten av den n:e graden är lika med produkten av bråket 1/n och logaritmen av rotuttrycket, det vill säga, , där a>0 , a≠1 , n är ett naturligt tal större än ett, b>0 .

    Beviset är baserat på likheten (se ), som är giltig för alla positiva b , och egenskapen för gradens logaritm: .

    Här är ett exempel på hur du använder den här egenskapen: .

    Nu ska vi bevisa omvandlingsformel till den nya basen av logaritmen snäll . För att göra detta räcker det att bevisa giltigheten av likhetsloggen c b=log a b log c a . Den grundläggande logaritmiska identiteten tillåter oss att representera talet b som en log a b , sedan log c b=log c a log a b . Det återstår att använda egenskapen för gradens logaritm: log c a log a b = log a b log c a. Därmed är likhetsloggen c b=log a b log c a bevisad, vilket innebär att formeln för övergången till en ny bas av logaritmen också bevisas.

    Låt oss visa ett par exempel på hur denna egenskap hos logaritmer tillämpas: och .

    Formeln för att flytta till en ny bas låter dig gå vidare till att arbeta med logaritmer som har en "bekväm" bas. Den kan till exempel användas för att växla till naturliga eller decimala logaritmer så att du kan beräkna värdet på logaritmen från logaritmtabellen. Formeln för övergången till en ny bas av logaritmen tillåter också i vissa fall att hitta värdet för en given logaritm, när värdena för vissa logaritmer med andra baser är kända.

    Ofta används ett specialfall av formeln för övergången till en ny bas av logaritmen för c=b i formen . Detta visar att log a b och log b a – . Till exempel, .

    Formeln används också ofta , vilket är användbart för att hitta logaritmvärden. För att bekräfta våra ord kommer vi att visa hur värdet på formulärets logaritm beräknas med hjälp av det. Vi har . För att bevisa formeln det räcker med att använda övergångsformeln till den nya basen av logaritmen a: .

    Det återstår att bevisa logaritmers jämförelseegenskaper.

    Låt oss bevisa att för alla positiva tal b 1 och b 2 , b 1 log a b 2 , och för a>1, ojämlikheten log a b 1

    Slutligen återstår det att bevisa den sista av de listade egenskaperna hos logaritmer. Vi begränsar oss till att bevisa dess första del, det vill säga vi bevisar att om en 1 >1, en 2 >1 och en 1 1 är sant log a 1 b>log a 2 b . De återstående uttalandena av denna egenskap hos logaritmer bevisas av en liknande princip.

    Låt oss använda den motsatta metoden. Antag att för en 1 >1, en 2 >1 och en 1 1 log a 1 b≤log a 2 b är sant. Genom logaritmernas egenskaper kan dessa ojämlikheter skrivas om som och respektive, och av dem följer att log b a 1 ≤log b a 2 respektive log b a 1 ≥log b a 2. Sedan, genom egenskaperna för potenser med samma bas, måste likheterna b log b a 1 ≥b log b a 2 och b log b a 1 ≥ b log b a 2 vara uppfyllda, det vill säga a 1 ≥a 2 . Därmed har vi kommit fram till en motsägelse till villkoret a 1

Bibliografi.

  • Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra och början av analys: En lärobok för årskurserna 10-11 av allmänna utbildningsinstitutioner.
  • Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (en manual för sökande till tekniska skolor).

I relation med

uppgiften att hitta något av de tre numren från de andra två, givna, kan ställas in. Givet a och sedan hittas N genom exponentiering. Om N ges och sedan a hittas genom att extrahera roten av potensen x (eller exponentiering). Betrakta nu fallet när, givet a och N, det krävs att hitta x.

Låt talet N vara positivt: talet a är positivt och inte lika med ett: .

Definition. Logaritmen för talet N till basen a är exponenten till vilken du behöver höja a för att få talet N; logaritmen betecknas med

Således, i likhet (26.1), hittas exponenten som logaritmen av N till basen a. Inlägg

har samma betydelse. Jämlikhet (26.1) kallas ibland den grundläggande identiteten för logaritmteorin; i själva verket uttrycker det definitionen av begreppet logaritm. Enligt denna definition är basen för logaritmen a alltid positiv och skiljer sig från enhet; det logaritmerbara talet N är positivt. Negativa tal och noll har inga logaritmer. Det kan bevisas att vilket tal som helst med en given bas har en väldefinierad logaritm. Därför innebär jämställdhet. Observera att villkoret är väsentligt här, annars skulle slutsatsen inte vara motiverad, eftersom likheten är sann för alla värden på x och y.

Exempel 1. Hitta

Beslut. För att få talet måste du höja bas 2 till potensen Därför.

Du kan spela in när du löser sådana exempel i följande form:

Exempel 2. Hitta .

Beslut. Vi har

I exempel 1 och 2 hittade vi enkelt den önskade logaritmen genom att representera det logaritmbara talet som en basgrad med en rationell exponent. I det allmänna fallet, till exempel för etc., kan detta inte göras, eftersom logaritmen har ett irrationellt värde. Låt oss uppmärksamma en fråga relaterad till detta uttalande. I § ​​12 gav vi begreppet möjligheten att bestämma vilken reell styrka som helst av ett givet positivt tal. Detta var nödvändigt för införandet av logaritmer, som i allmänhet kan vara irrationella tal.

Betrakta några egenskaper hos logaritmer.

Egenskap 1. Om talet och basen är lika, då är logaritmen lika med ett, och omvänt, om logaritmen är lika med ett, då är talet och basen lika.

Bevis. Låt Enligt definitionen av logaritmen har vi och varifrån

Omvänt, låt sedan per definition

Egenskap 2. Logaritmen för enhet till valfri bas är lika med noll.

Bevis. Enligt definitionen av logaritmen (nollpotensen för en positiv bas är lika med ett, se (10.1)). Härifrån

Q.E.D.

Det omvända påståendet är också sant: om , då N = 1. Vi har faktiskt .

Innan vi anger följande egenskap hos logaritmer är vi överens om att säga att två tal a och b ligger på samma sida av ett tredje tal c om de båda är antingen större än c eller mindre än c. Om ett av dessa tal är större än c och det andra är mindre än c, så säger vi att de ligger på motsatta sidor av c.

Egenskap 3. Om talet och basen ligger på samma sida av enheten, är logaritmen positiv; om talet och basen ligger på motsatta sidor av enheten är logaritmen negativ.

Beviset för egenskap 3 bygger på att graden av a är större än ett om basen är större än en och exponenten är positiv, eller basen är mindre än en och exponenten är negativ. Graden är mindre än en om basen är större än en och exponenten är negativ, eller basen är mindre än en och exponenten är positiv.

Det finns fyra fall att överväga:

Vi begränsar oss till analysen av den första av dem, läsaren kommer att överväga resten på egen hand.

Låt då exponenten i likhet varken vara negativ eller lika med noll, därför är den positiv, d.v.s. vilket krävdes för att bevisas.

Exempel 3. Ta reda på vilka av följande logaritmer som är positiva och vilka som är negativa:

Lösning, a) eftersom siffran 15 och basen 12 är placerade på samma sida av enheten;

b) , eftersom 1000 och 2 är placerade på samma sida av enheten; samtidigt är det inte väsentligt att basen är större än det logaritmiska talet;

c), eftersom 3.1 och 0.8 ligger på motsatta sidor av enheten;

G); Varför?

e) ; Varför?

Följande egenskaper 4-6 kallas ofta logaritmreglerna: de tillåter, med kunskap om logaritmerna för vissa tal, att hitta logaritmerna för deras produkt, kvot, grad av var och en av dem.

Egenskap 4 (regeln för produktens logaritm). Logaritmen av produkten av flera positiva tal i en given bas är lika med summan av logaritmerna för dessa tal i samma bas.

Bevis. Låt positiva tal ges.

För logaritmen för deras produkt skriver vi likheten (26.1) som definierar logaritmen:

Härifrån finner vi

Genom att jämföra exponenterna för det första och sista uttrycket får vi den erforderliga likheten:

Observera att tillståndet är väsentligt; logaritmen av produkten av två negativa tal är vettig, men i det här fallet får vi

I allmänhet, om produkten av flera faktorer är positiv, är dess logaritm lika med summan av logaritmerna för modulerna av dessa faktorer.

Egenskap 5 (kvotlogaritmregel). Logaritmen för en kvot av positiva tal är lika med skillnaden mellan logaritmerna för utdelningen och divisorn, taget i samma bas. Bevis. Konsekvent hitta

Q.E.D.

Egenskap 6 (regeln för gradens logaritm). Logaritmen för potensen av ett positivt tal är lika med logaritmen för det talet gånger exponenten.

Bevis. Vi skriver igen huvudidentiteten (26.1) för numret:

Q.E.D.

Följd. Logaritmen för roten av ett positivt tal är lika med logaritmen för rottalet dividerat med exponenten för roten:

Vi kan bevisa giltigheten av denna följd genom att presentera hur och använda egenskap 6.

Exempel 4. Logaritm för att basera a:

a) (det antas att alla värden b, c, d, e är positiva);

b) (det antas att ).

Lösning, a) Det är lämpligt att i detta uttryck övergå till bråkpotenser:

Baserat på jämlikheter (26.5)-(26.7) kan vi nu skriva:

Vi märker att enklare operationer utförs på siffrors logaritmer än på själva talen: när man multiplicerar siffror läggs deras logaritmer till, när de divideras subtraheras de, etc.

Det är därför logaritmer har använts i beräkningspraxis (se avsnitt 29).

Åtgärden invers till logaritmen kallas potentiering, nämligen: potentiering är den åtgärd genom vilken detta tal i sig hittas av den givna logaritmen för ett tal. Potentiering är i huvudsak ingen speciell handling: det handlar om att höja basen till en potens (lika med talets logaritm). Termen "potentiering" kan anses vara synonym med termen "exponentiering".

Vid potentiering är det nödvändigt att använda reglerna som är inversa till logaritmreglerna: ersätt summan av logaritmerna med produktens logaritm, skillnaden mellan logaritmerna med kvotens logaritm etc. I synnerhet om det finns någon faktor framför logaritmens tecken, då måste den under potentieringen överföras till indikatorgraderna under logaritmens tecken.

Exempel 5. Hitta N om det är känt att

Beslut. I samband med den nyss angivna potentieringsregeln kommer faktorerna 2/3 och 1/3, som ligger framför logaritmernas tecken på högra sidan av denna likhet, att överföras till exponenterna under dessa logaritmers tecken; vi får

Nu ersätter vi skillnaden mellan logaritmer med logaritmen för kvoten:

för att erhålla den sista bråkdelen i denna kedja av likheter befriade vi den föregående bråkdelen från irrationalitet i nämnaren (avsnitt 25).

Egenskap 7. Om basen är större än ett, så har det större talet en större logaritm (och det mindre har en mindre), om basen är mindre än ett, så har det större talet en mindre logaritm (och det mindre en har en större).

Denna egenskap är också formulerad som en regel för logaritmen av ojämlikheter, vars båda delar är positiva:

När man tar logaritmen för ojämlikheter till en bas som är större än ett, bevaras olikhetstecknet, och när man tar en logaritm till en bas som är mindre än ett, omkastas olikhetens tecken (se även punkt 80).

Beviset är baserat på egenskaperna 5 och 3. Tänk på fallet när If , then och, med logaritmen, får vi

(a och N/M ligger på samma sida av enheten). Härifrån

Fall a följer, kommer läsaren att ta reda på det själv.

Vi rekommenderar också
Läser in...Läser in...