숫자 시퀀스 및 설정 방법. 실제 작업을 위한 작업 "다양한 방법으로 숫자 시퀀스 지정, 시퀀스의 구성원 계산

이 수업에서는 진행에 대한 연구를 시작합니다. 여기서 우리는 숫자 시퀀스와 설정 방법에 대해 알아볼 것입니다.

먼저 수치 인수의 함수 정의와 속성을 회상하고 x가 집합에 속할 때 함수의 특별한 경우를 고려합니다. 자연수. 우리는 숫자 시퀀스의 정의를 제공하고 몇 가지 예를 제공합니다. n번째 멤버의 공식을 통해 시퀀스를 지정하는 분석적인 방법을 보여주고 시퀀스를 지정하고 결정하는 몇 가지 예를 고려할 것입니다. 다음으로, 시퀀스의 구두 및 반복 할당을 고려하십시오.

주제: 진행

수업: 숫자 시퀀스그리고 그것을 설정하는 방법

1. 반복

숫자 시퀀스, 우리가 볼 수 있듯이 이것은 함수의 특별한 경우이므로 함수 정의를 기억합시다.

함수는 인수의 각 유효한 값에 함수의 고유한 값이 할당되는 법칙입니다.

다음은 알려진 기능의 예입니다.

쌀. 1. 함수의 그래프

0을 제외한 모든 값이 허용됩니다. 이 함수의 그래프는 쌍곡선입니다(그림 1 참조).

2.. 모든 값이 허용됩니다. .

쌀. 2. 기능 그래프

일정 이차 함수- 포물선, 특성 포인트도 표시됩니다(그림 2 참조).

3..

쌀. 3. 함수의 그래프

모든 x 값이 허용됩니다. 선형 함수의 그래프는 직선입니다(그림 3 참조).

2. 수열의 정의

x가 자연값()만 취하는 경우 특수한 경우, 즉 숫자 시퀀스가 ​​있습니다.

자연수는 1, 2, 3, …, n, …

여기서, 함수는 자연 인수의 함수 또는 숫자 시퀀스라고 하며 다음과 같이 표시됩니다. 또는 .

예를 들어 표기법이 무엇을 의미하는지 설명하겠습니다.

이것은 n=1일 때 함수의 값입니다. 즉, .

이것은 n=2일 때 함수의 값입니다.

인수가 n일 때 함수의 값입니다. 즉, .

3. 샘플 시퀀스

1. 일반 용어 공식입니다. n의 다른 값을 설정하고 시퀀스의 구성원인 y의 다른 값을 얻습니다.

n=1일 때; , n=2일 때 등, .

숫자는 주어진 시퀀스의 구성원이며 포인트 쌍곡선에 누워 - 함수의 그래프 (그림 4 참조).

쌀. 4. 기능 그래프

n=1이면 ; n=2이면 ; n=3이면 등

숫자는 주어진 시퀀스의 구성원이고 점은 함수의 그래프인 포물선에 있습니다(그림 5 참조).

쌀. 5. 기능 그래프

쌀. 6. 기능 그래프

n=1이면 ; n=2이면 ; n=3이면 등.

숫자 주어진 시퀀스의 구성원이고 점은 직선에 있습니다 - 함수의 그래프(그림 6 참조).

4. 시퀀스 지정을 위한 분석 방법

시퀀스를 지정하는 방법에는 분석, 구두 및 반복의 세 가지가 있습니다. 각각을 자세히 살펴 보겠습니다.

수열은 n번째 항의 공식이 주어지면 분석적으로 주어집니다.

몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

1. n번째 구성원의 공식으로 주어진 수열의 여러 구성원을 찾으십시오. (수열을 지정하는 분석적 방법).

결정. n=1이면 ; n=2이면 ; n=3이면 등.

주어진 시퀀스에 대해 및 .

.

.

2. n번째 멤버의 공식에 의해 주어진 순서를 고려하십시오: (서열을 지정하는 분석적 방법).

이 시퀀스의 여러 구성원을 찾아 보겠습니다.

n=1이면 ; n=2이면 ; n=3이면 등.

일반적으로 이 수열의 구성원은 4로 나눌 때 나머지가 1인 숫자라는 것을 이해하는 것은 어렵지 않습니다.

ㅏ. 주어진 시퀀스에 대해 를 찾습니다.

결정: . 답변: .

비. 두 개의 숫자가 주어졌습니다: 821, 1282. 이 숫자들은 주어진 순서의 구성원입니까?

숫자 821이 시퀀스의 구성원이 되려면 같음이 필요합니다. 또는 . 마지막 평등은 n에 대한 방정식입니다. 만약 결정이 주어진 방정식가 자연수이면 대답은 예입니다.

이 경우입니다. .

답변: 예, 821은 주어진 시퀀스의 구성원입니다. .

두 번째 숫자로 넘어갑시다. 유사한 추론을 통해 다음 방정식의 해를 구할 수 있습니다.

답: n은 자연수가 아니기 때문에 숫자 1282는 주어진 수열의 구성원이 아닙니다.

시퀀스를 분석적으로 정의하는 공식은 단순, 복합 등 매우 다를 수 있습니다. 이에 대한 요구 사항은 동일합니다. n의 각 값은 단일 숫자와 일치해야 합니다.

3. 주어진: 시퀀스는 다음 공식으로 주어집니다.

시퀀스의 처음 세 멤버를 찾습니다.

, , .

답변: , , .

4. 숫자가 시퀀스의 구성원입니까?

ㅏ. , 즉. . 이 방정식을 풀면 다음을 얻습니다. 이것은 자연수입니다.

답변: 첫 번째 주어진 숫자는 이 시퀀스의 구성원, 즉 다섯 번째 구성원입니다.

비. , 즉. . 이 방정식을 풀면 다음을 얻습니다. 이것은 자연수입니다.

답: 두 번째 주어진 숫자는 이 수열의 구성원, 즉 99번째 구성원이기도 ​​합니다.

5. 순서를 설정하는 구두 방법

우리는 숫자 시퀀스를 지정하는 분석적인 방법을 고려했습니다. 편리하고 일반적이지만 유일한 것은 아닙니다.

다음 방법은 순서를 구두로 할당하는 것입니다.

순서, 각 구성원, 각 구성원을 계산할 가능성은 반드시 공식이 아니라 단어로 지정할 수 있습니다.

실시예 1소수의 시퀀스입니다.

소수는 정확히 1과 숫자 자체의 두 가지 약수를 갖는 자연수임을 기억하십시오. 소수는 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 등입니다.

셀 수 없이 많습니다. 유클리드는 또한 이러한 수의 시퀀스가 ​​무한대, 즉 가장 큰 소수가 없음을 증명했습니다. 순서가 주어지면 각 항을 계산할 수 있고 지루하지만 계산할 수 있습니다. 이 순서는 구두로 주어집니다. 불행히도 공식을 사용할 수 없습니다.

실시예 2숫자 =1.41421…

이것은 무리수, 10진수 표기법은 무한한 자릿수를 제공합니다. 결핍에 의한 숫자의 십진수 근사 시퀀스를 고려합시다. 1; 1.4; 1.41; 1.414; 1.4142; 등.

이 시퀀스에는 무한한 수의 구성원이 있으며 각각을 계산할 수 있습니다. 이 순서를 공식으로 설정하는 것은 불가능하므로 구두로 설명합니다.

6. 시퀀스를 지정하는 재귀적 방법

숫자 시퀀스를 지정하는 두 가지 방법을 고려했습니다.

1. n번째 멤버의 공식이 주어졌을 때의 해석적 방법.

2. 시퀀스의 구두 할당.

그리고 마지막으로, 이전 항에서 n번째 항을 계산하는 규칙이 주어졌을 때 반복적인 시퀀싱이 있습니다.

고려하다

실시예 1피보나치 수열(13세기).

기록 참조:

피사의 레오나르도(약 1170년, 피사 - 약 1250년) - 최초의 주요 수학자 중세 유럽. 그는 피보나치라는 별명으로 가장 잘 알려져 있습니다.

그가 배운 것의 대부분은 그의 뛰어난 주판의 책(Liber abaci, 1202; 1228의 보충 원고만 오늘날까지 남아 있음)에 설명되어 있습니다. 이 책에는 당시의 거의 모든 산수 및 대수 정보가 포함되어 있으며 탁월한 완성도와 깊이를 제공합니다. "주판의 책"은 12세기에서 14세기의 유럽 산술 및 대수 문학보다 훨씬 뛰어납니다. 방법의 다양성과 강점, 작업의 풍부함, 프레젠테이션의 증거. 이후의 수학자들은 이 문제에서 문제와 해결 방법을 널리 끌어냈습니다. 첫 번째 책에 따르면 많은 세대의 유럽 수학자들이 인도의 위치 수 체계를 연구했습니다.

처음 두 항이 주어지고 이후의 각 항은 이전 두 항의 합입니다.

하나; 하나; 2; 삼; 5; 여덟; 열셋; 21; 34; 55; ... 피보나치 수열의 처음 몇 멤버입니다.

이 시퀀스는 재귀적으로 주어집니다. n번째 멤버앞의 두 가지에 따라 다릅니다.

실시예 2

이 수열에서 각 후속 항은 이전 항보다 2만큼 큽니다. 이러한 수열을 산술 진행이라고 합니다.

숫자 1, 3, 5, 7...은 이 시퀀스의 처음 몇 개 구성원입니다.

시퀀스의 반복 할당에 대한 예를 하나 더 들어보겠습니다.

실시예 3

순서는 다음과 같이 주어집니다.

이 수열의 각 후속 항은 이전 항에 동일한 수 q를 곱하여 얻습니다. 이러한 시퀀스에는 기하학적 진행이라는 특별한 이름이 있습니다. 산술 및 기하학적 진행은 다음 수업에서 우리 연구의 대상이 될 것입니다.

b=2 및 q=3에서 지정된 시퀀스의 일부 구성원을 찾습니다.

숫자 2; 6; 십팔; 54; 162 ... 이 시퀀스의 처음 몇 멤버입니다.

흥미롭게도 이 시퀀스는 분석적으로 지정할 수도 있습니다. 즉, 공식을 선택할 수 있습니다. 이 경우 공식은 다음과 같습니다.

실제로: n=1이면 ; n=2이면 ; n=3이면 등.

따라서 우리는 동일한 시퀀스가 ​​분석적으로 그리고 반복적으로 주어질 수 있다고 말합니다.

7. 수업 요약

그래서 수열이 무엇인지, 어떻게 설정하는지 알아보았습니다.

다음 시간에는 수열의 속성에 대해 알아보겠습니다.

1. Makarychev Yu. N. et al.대수학 9학년(중등학교 교과서).-M.: Education, 1992.

2. Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov, K.I. 심화와 함께 9학년을 위한 대수학. 공부하다 수학.-M.: Mnemozina, 2003.

3. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G. 대수학 9 학년 교과서의 추가 장.-M .: Education, 2002.

4. Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. 8-9 수업에 대한 대수 문제 모음( 지도 시간심화와 함께 학교 및 수업의 학생을 위해. 공부하다 수학).-M.: 교육, 1996.

5. Mordkovich A. G. 대수학 9학년, 일반 교육 기관용 교과서. - M.: Mnemosyne, 2002.

6. Mordkovich A. G., Mishutina T. N., Tulchinskaya E. E. 대수학 9 학년, 교육 기관 문제 책. - M.: Mnemosyne, 2002.

7. Glazer G. I. 학교에서 수학의 역사. 7-8학년(교사를 위한 지침서).-M.: Enlightenment, 1983.

1. 대학 섹션. ru는 수학에서.

2. 자연과학 포털.

3. 지수. ru 교육 수학 사이트.

1. No. 331, 335, 338(Makarychev Yu. N. et al. 대수학 9학년).

2. 번호 12.4(Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. 8-9학년 대수 문제 모음).

대수학. 9학년
수업 #32
날짜:_____________
교사: 고르벤코 알레나 세르게예브나
주제: 숫자 시퀀스, 설정 방법 및 속성
수업 유형: 결합
수업의 목적 : 숫자 시퀀스의 개념과 정의를 제공하고 방법을 고려
숫자 시퀀스 할당
작업:
교육적: 학생들에게 숫자 시퀀스 및 구성원의 개념을 익히기 위해
숫자 시퀀스; 분석적, 언어적, 반복적 및
숫자 시퀀스를 설정하는 그래픽 방식; 숫자의 유형을 고려하십시오
시퀀스; EAEA 준비;
개발: 수학적 문해력, 사고력, 계산 기술, 기술 개발
수식을 선택할 때의 비교; 수학에 대한 관심을 심어주기;
교육: 독립적인 활동 기술 교육; 명확성과
직장에서의 조직; 모든 학생이 성공할 수 있도록 합니다.
준비물: 학용품, 칠판, 분필, 교과서, 유인물.
수업 중
나. 정리 시간
 상호 인사;
 결석자 수정;
 수업 주제 발표;
 학생들이 수업의 목표와 목표를 설정합니다.
수열은 수학에서 가장 기본적인 개념 중 하나입니다. 시퀀스 수
숫자, 점, 함수, 벡터 등으로 구성됩니다.
오늘 수업에서 우리는 "숫자 시퀀스"의 개념에 대해 알게 될 것입니다.
시퀀스가 있을 수 있습니다. 유명한 시퀀스에 대해 알아보겠습니다.

Ⅱ. 기본 지식의 업데이트.
전체 숫자 라인 또는 연속된 숫자 라인에 정의된 함수를 알고 있습니까?
III.
간격:
선형 함수 y \u003d kx + v,
이차 함수 y \u003d ax2 + inx + c,


 기능 y =



 기능 y = |x|.
새로운 지식의 인식을 위한 준비
직접 비례 y \u003d kx,
반비례 y \u003d k / x,
3차 함수 y = x3,
,
그러나 다른 세트에 정의된 기능이 있습니다.
예시. 많은 가정에는 관습이 있습니다. 일종의 의식입니다. 아이의 생일에
부모가 그를 데리고 도어 프레임그리고 생일 남자의 성장을 엄숙하게 축하하십시오.
아이는 자라며 수년에 걸쳐 전체 사다리꼴의 표시가 잼에 나타납니다. 셋, 다섯, 둘: 이것은
해마다 성장의 순서. 그러나 다른 순서가 있습니다. 즉,
그 구성원은 세리프 옆에 조심스럽게 쓰여 있습니다. 이것은 일련의 성장 값입니다.
두 시퀀스는 서로 관련되어 있습니다.
두 번째는 첫 번째에서 더하여 얻습니다.
성장은 모든 이전 연도에 대한 이익의 합계입니다.
몇 가지 문제를 더 고려하십시오.
작업 1. 창고에 500톤의 석탄이 있고 매일 30톤이 배달됩니다.얼마나 많은 석탄이 나올까요?
재고가 1일? 2 일? 3일? 4일차? 5일차?
(학생들의 답은 칠판에 적었다: 500, 530, 560, 590, 620).
작업 2. 집중 성장 기간 동안 사람은 연간 평균 5cm 성장합니다. 이제 성장
학생 S는 180cm인데 2026년에는 키가 얼마나 될까요? (2m 30cm). 그러나 이것은 안된다
아마도. 왜요?
작업 3. 매일 인플루엔자에 걸린 모든 사람은 4명을 감염시킬 수 있습니다.
우리 학교 학생(300명) 전원이 몇일 안에 다 아플까? (4일 후).
다음은 자연수 집합에 정의된 함수의 예입니다.
시퀀스.
이 수업의 목표는 다음과 같습니다. 시퀀스의 구성원을 찾는 방법을 찾습니다.
수업 목표: 숫자 시퀀스가 ​​무엇이며 어떻게
시퀀스.
IV. 새로운 자료 배우기
정의: 숫자 시퀀스는 집합에 정의된 함수입니다.
자연수(수열은 다음과 같은 자연의 요소를 구성합니다.
번호를 매길 수 있습니다).
수열의 개념은 의 교리가 창설되기 훨씬 이전에 발생하고 발전했습니다.
기능. 다음은 다시 알려진 무한 수열의 예입니다.
낡음:
1, 2, 3, 4, 5, : 자연수의 시퀀스;
2, 4, 6, 8, 10, : 짝수의 시퀀스;
1, 3, 5, 7, 9, : 홀수의 시퀀스;
1, 4, 9, 16, 25, : 자연수의 제곱 시퀀스;
2, 3, 5, 7, 11, : 소수의 시퀀스;
,
1,
이 시리즈 각각의 구성원 수는 무한합니다. 처음 다섯 시퀀스
, : 자연수의 역수열.
,
단조 증가, 후자는 단조 감소.

지정: y1, y2, y3, y4, y5,:
1, 2, 3, 4, 5, :p,:시퀀스 멤버의 시퀀스 번호.
(yn) 시퀀스, 시퀀스의 yn번째 멤버.
(an) 시퀀스, 시퀀스의 n번째 멤버.
1은 시퀀스의 이전 멤버이고,
시퀀스의 +1 후속 멤버.
수열은 유한하고 무한하며 증가하고 감소합니다.
학생들을 위한 과제: 순서의 처음 5개 구성원을 기록합니다.
첫 번째 자연수에서 3만큼 증가합니다.
10에서 2배 증가하고 1 감소합니다.
숫자 6에서 2 증가와 2 배 증가를 교대로 수행하십시오.
이러한 수열을 수열이라고도 합니다.
시퀀싱 방법:
구두 방식.
순서 규칙은 공식이나 공식 없이 단어로 설명됩니다.
시퀀스의 요소 사이에 규칙성이 없을 때.
예 1. 소수의 시퀀스: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .... .
예 2. 임의의 숫자 집합: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ... .
예 3. 짝수의 시퀀스 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...
분석적인 방법.
수식을 사용하여 시퀀스의 n번째 요소를 결정할 수 있습니다.
예 1. 짝수의 시퀀스: y = 2n.
예 2. 자연수의 제곱의 수열: y = n2;
1, 4, 9, 16, 25, ..., n2, ...
예 3. 고정 시퀀스: y = C; 씨, 씨, 씨, ..., 씨, ...
특별한 상황: y=5; 5, 5, 5, ..., 5, ...
예 4. 시퀀스 y = 2n;
2, 22, 23, 24, ..., 2n, ...
재귀적 방법.
다음과 같은 경우 시퀀스의 n번째 요소를 계산할 수 있는 규칙이 지정됩니다.
이전 요소가 알려져 있습니다.
예 1. 산술 진행: a1=a, an+1=an+d, 여기서 a와 d는 주어진 숫자, 디
산술 진행의 차이. a1=5, d=0.7이라고 하면 산술 진행
다음과 같이 보일 것입니다: 5; 5.7; 6.4; 7.1; 7.8; 8.5; ... .
예 2. 기하학적 진행: b1= b, bn+1= bnq, 여기서 b와 q는 숫자, b
0,
0; q는 분모입니다. 기하학적 진행. b1=23, q=½, 기하
큐
진행 상황은 다음과 같습니다. 23; 11.5; 5.75; 2.875; ... .
4) 그래픽 방식. 숫자 시퀀스
다음과 같은 그래프로 주어진다.
고립 된 점입니다. 이 점들의 횡좌표는 자연스럽습니다.
숫자: n=1; 2; 삼; 4; ... . 오디네이트 - 멤버 값
시퀀스: a1; 가2; 가3; 에이4;…
예: 숫자 시퀀스의 5개 요소를 모두 기록하고,
그래픽 방식으로 제공됩니다.
결정.
이 좌표평면의 각 점은
좌표(n; an). 표시된 점의 좌표를 기록하십시오
오름차순 가로 좌표 n.
우리는 (1, 3), (2, 1), (3, 4), (4, 6), (5, 7)을 얻습니다.
따라서 a1=3; a2=1; a3=4; a4=6; 5=7.

답: 3; 하나; 4; 6; 7.
V. 연구 자료의 1차 통합
예 1. 시퀀스(yn)의 n번째 요소에 대해 가능한 공식을 작성하십시오.
a) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...
b) 4, 8, 12, 16, 20, ...;
결정.
a) 이것은 시퀀스입니다 홀수. 분석적으로 이 시퀀스는
공식 y = 2n+1로 설정됩니다.
b) 이것은 다음 요소가 이전 요소보다 큰 숫자 시퀀스입니다.
4. 분석적으로, 이 시퀀스는 공식 y = 4n으로 주어질 수 있습니다.
예 2. 반복적으로 주어진 시퀀스의 처음 10개 요소를 작성하십시오: y1=1,
y2=2, yn = yn2+yn1 if n = 3, 4, 5, 6, ... .
결정.
이 시퀀스의 각 후속 요소는 이전 두 요소의 합과 같습니다.
집단.
y1=1;
y2=2;
y3=1+2=3;
y4=2+3=5;
y5=3+5=8;
y6=5+8=13;
y7=8+13=21;
y8=13+21=34;
y9=21+34=55;
y10=34+55=89.
VI. 수업을 요약합니다. 반사
1. 작업을 완료하는 데 성공한 것은 무엇입니까?
2. 작업이 조정되었습니까?
3. 당신이 생각하기에 옳지 않은 것은 무엇입니까?

숫자 시퀀스는 숫자 함수의 특수한 경우이므로 함수의 여러 속성도 시퀀스에 대해 고려됩니다.

1. 정의 . 하위 시퀀스( 니 엔} 각 항(첫 번째 항 제외)이 이전 항보다 크면 증가라고 합니다.

와이 1 < 와이 2 < 와이 3 < … < 니 엔 < 니 엔+1 < ….

2. 정의.순서( 니 엔} 각 항(첫 번째 항 제외)이 이전 항보다 작으면 감소라고 합니다.

와이 1 > 와이 2 > 와이 3 > … > 니 엔> 니 엔+1 > … .

3. 증가 및 감소 시퀀스는 공통 용어인 단조 시퀀스로 통합됩니다.

예를 들어: 와이 1 = 1; 니 엔= N 2… 는 증가하는 수열입니다. 와이 1 = 1; 내림차순입니다. 와이 1 = 1; – 이 시퀀스는 증가하지 않고 감소하지 않습니다.

4. 정의. 어떤 n에서 시작하여 yn = yn+T가 성립하는 자연수 T가 존재하는 경우 시퀀스를 주기적이라고 합니다. 숫자 T를 주기 길이라고 합니다.

5. 시퀀스의 모든 구성원이 최소한 일부 숫자인 경우 시퀀스는 아래에서 경계라고 합니다.

6. 시퀀스의 모든 구성원이 기껏해야 어떤 수인 경우 시퀀스는 위에서부터 경계가 지정된다고 합니다.

7. 시퀀스가 ​​위와 아래 모두에 경계가 있는 경우 경계라고 합니다. 주어진 수열의 모든 항이 절대값에서 이 수를 초과하지 않는 양수가 있습니다. (그러나 양쪽에 제한이 있다고 해서 반드시 유한한 것은 아닙니다.)

8. 시퀀스에는 하나의 제한만 있을 수 있습니다.

9. 위에 경계가 지정된 모든 비감소 시퀀스에는 한계(lim)가 있습니다.

10. 아래 경계에 있는 비증가 시퀀스에는 제한이 있습니다.

수열의 한계는 수열의 대다수 구성원이 위치하는 부근의 점(숫자)이며, 이 한계에 가깝게 접근하지만 도달하지 않습니다.

기하학적 및 산술 진행시퀀스의 특별한 경우입니다.

시퀀싱 방법:

시퀀스 설정 가능 다른 방법들, 그 중 세 가지가 특히 중요합니다: 분석적, 설명적 및 반복적.

1. n 번째 구성원의 공식이 주어진 경우 시퀀스는 분석적으로 제공됩니다.

예시. yn \u003d 2n - 1 - 홀수 시퀀스: 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. 숫자 시퀀스를 설정하는 기술적인 방법은 시퀀스가 ​​구성되는 요소를 설명하는 것입니다.

예 1. "시퀀스의 모든 구성원은 1과 같습니다." 그 뜻은, 우리는 얘기하고있다고정 수열 1, 1, 1, …, 1, …

예 2. "열은 오름차순의 모든 소수로 구성됩니다." 따라서 수열 2, 3, 5, 7, 11, …이 주어집니다. 순서를 지정하는 이 방법으로 이 예예를 들어 시퀀스의 1000번째 요소가 무엇과 같은지 대답하기 어렵습니다.

3. 시퀀스를 지정하는 반복적인 방법은 이전 멤버가 알려진 경우 시퀀스의 n번째 멤버를 계산할 수 있도록 하는 규칙이 표시된다는 것입니다. 이름 재귀 메서드는 라틴어 단어되풀이 - 반환합니다. 대부분의 경우 이러한 경우 시퀀스의 n번째 멤버를 이전 멤버와 관련하여 표현할 수 있는 공식이 표시되고 시퀀스의 1-2개의 초기 멤버가 지정됩니다.

예 1. y1 = 3; yn = yn–1 + 4 if n = 2, 3, 4,….

여기서 y1 = 3; y2 = 3 + 4 = 7; y3 = 7 + 4 = 11; …

이 예에서 얻은 시퀀스도 분석적으로 지정할 수 있음을 알 수 있습니다. yn = 4n – 1.

실시예 2 와이 1 = 1; 와이 2 = 1; 니 엔 = 니 엔–2 + 니 엔-1 경우 N = 3, 4,….

여기: 와이 1 = 1; 와이 2 = 1; 와이 3 = 1 + 1 = 2; 와이 4 = 1 + 2 = 3; 와이 5 = 2 + 3 = 5; 와이 6 = 3 + 5 = 8;

이 예에서 구성된 수열은 수학에서 특별히 연구됩니다. 흥미로운 속성및 응용 프로그램. 13세기 이탈리아 수학자의 이름을 따서 피보나치 수열이라고 합니다. 피보나치 수열을 재귀적으로 정의하는 것은 매우 쉽지만 분석적으로는 매우 어렵습니다. N th 피보나치 수는 다음 공식에 의해 서수로 표현됩니다.

언뜻 보면 공식 N th 피보나치 수는 자연수 시퀀스만 지정하는 공식이 제곱근, 그러나 처음 몇 개에 대해서는 이 공식의 유효성을 "수동으로" 확인할 수 있습니다. N.

피보나치 역사:

피보나치(피사의 레오나르도), c. 1175-1250

이탈리아의 수학자. 피사에서 태어나 중세 후기 유럽 최초의 위대한 수학자가 되었습니다. 그는 실제적인 필요성에 의해 수학을 시작했습니다. 비즈니스 연락처. 그는 산술, 대수학 및 기타 수학 분야에 관한 책을 출판했습니다. 그는 이슬람 수학자로부터 인도에서 발명되고 아랍 세계에서 이미 채택된 숫자 체계에 대해 배웠고 그 우수성을 확신했습니다(이 숫자는 현대 아라비아 숫자의 선구자임).

피보나치로 알려진 피사의 레오나르도는 중세 후기의 최초의 위대한 유럽 수학자입니다. 피사에서 부유한 상인 가정에서 태어난 그는 비즈니스 인맥을 구축하기 위해 순수하게 실용적인 필요를 통해 수학에 입문했습니다. 젊었을 때 Leonardo는 출장을 아버지와 함께 많이 여행했습니다. 예를 들어, 우리는 그가 비잔티움과 시칠리아에 오래 머물렀다는 사실을 알고 있습니다. 그러한 여행 동안 그는 지역 과학자들과 많은 교류를 했습니다.

오늘날 그의 이름을 딴 수열은 Fibonacci가 1202년에 쓴 Liber abacci에서 설명한 토끼 문제에서 비롯되었습니다.

한 남자가 사방이 벽으로 둘러싸인 우리에 한 쌍의 토끼를 넣었습니다. 매월 두 번째부터 한 쌍의 토끼가 한 쌍의 토끼를 낳는 것으로 알려진 경우이 쌍은 1 년에 몇 쌍의 토끼를 낳을 수 있습니까?

다음 달의 다음 12개월 각각의 커플 수가 각각 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

즉, 토끼 쌍의 수는 시리즈를 생성하며 각 항은 앞의 두 항의 합입니다. 피보나치 수열이라고 하며 숫자 자체가 피보나치 수입니다. 이 수열에는 수학적으로 흥미로운 속성이 많이 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다. 더 큰 부분과 더 작은 부분 사이의 비율이 전체 선과 큰 부분 사이의 비율에 비례하도록 선을 두 부분으로 나눌 수 있습니다. 대략 1.618과 같은 이 비례 계수는 다음과 같이 알려져 있습니다. 황금비. 르네상스 시대에는 건축 구조에서 관찰되는 이 비율이 가장 눈에 좋다고 믿었습니다. 피보나치 수열에서 연속 쌍을 취하여 나누면 더각 쌍에서 더 작은 쌍으로, 결과는 점차 황금 비율에 접근합니다.

피보나치가 그의 수열을 발견한 이후로 이 수열이 중요한 역할을 하는 것처럼 보이는 자연 현상도 발견되었습니다. 그 중 하나는 phyllotaxis (잎 배열)입니다. 예를 들어 씨앗이 해바라기 꽃차례에 위치하는 규칙입니다. 해바라기 씨는 두 개의 나선으로 배열됩니다. 각 나선의 씨앗 수를 나타내는 숫자는 놀라운 수학적 순서의 구성원입니다. 종자는 나선의 두 줄로 배열되어 있는데, 그 중 하나는 시계 방향으로, 다른 하나는 반대 방향입니다. 그리고 각각의 경우에 종자의 수는 얼마입니까? 34와 55.

작업 #1:

시퀀스의 처음 5개 항을 쓰십시오.

1. n \u003d 2 n + 1/2 n

및 n \u003d 2 n + 1/2 n

작업 번호 2:

3의 배수인 수열의 공통항에 대한 공식을 작성하십시오.

답: 0,3,6,9,12,15,.... 3n, 그리고 n = 3n

작업 번호 3:

4로 나누었을 때 나머지가 1인 수열의 공통항에 대한 공식을 쓰십시오.

답: 5,9,13,17,21....... 4 n +1 및 n = 4n+1

19번. 기능.

기능(표시, 연산자, 변환)은 집합 요소 간의 관계를 반영하는 수학적 개념입니다. 함수는 한 집합의 각 요소(정의 영역이라고 함)에 다른 집합의 일부 요소(값 영역이라고 함)가 할당되는 "법칙"이라고 말할 수 있습니다.

함수는 하나의 종속성입니다. 변하기 쉬운다른 사람에게서. 즉, 수량 간의 관계입니다.

함수의 수학적 개념은 한 양이 다른 양의 값을 어떻게 완전히 결정하는지에 대한 직관적인 아이디어를 표현합니다. 따라서 변수 x의 값은 표현식의 값을 고유하게 결정하고 월의 값은 다음 달의 값을 고유하게 결정하며 어떤 사람도 다른 사람, 즉 그의 아버지와 비교할 수 있습니다. 유사하게, 다양한 입력 데이터가 주어지면 일부 선입견 알고리즘은 특정 출력 데이터를 생성합니다.

종종 "함수"라는 용어는 수치 함수를 나타냅니다. 즉, 일부 숫자를 다른 숫자와 일치시키는 기능입니다. 이러한 기능은 그래프 형태로 도면에 편리하게 표시됩니다.

또 다른 정의를 내릴 수 있습니다. 함수는 특정 행동변수 이상.

이것은 우리가 값을 취하고, 그것으로 어떤 행동을 한다는 것을 의미합니다(예를 들어, 그것을 제곱하거나 로그를 계산합니다) - 그리고 우리는 값을 얻습니다.

교과서에서 가장 흔히 볼 수 있는 함수의 또 다른 정의를 살펴보겠습니다.

함수는 두 집합 간의 대응이며 첫 번째 집합의 각 요소는 두 번째 집합의 단 하나의 요소에 해당합니다.

예를 들어, 각각에 대한 함수 실수의 두 배인 숫자와 일치합니다.

x에 대해 대체된 F의 요소 집합을 정의 영역이라고 하고 일부 F의 요소 y 집합을 값의 범위라고 합니다.

기간 기록:

"기능"이라는 용어(약간 좁은 의미에서)는 라이프니츠(1692)에 의해 처음 사용되었습니다. 차례로 요한 베르누이(Johann Bernoulli)는 같은 라이프니츠에게 보낸 편지에서 이 용어를 현대에 더 가까운 의미로 사용했습니다. 처음에 함수의 개념은 분석적 표현의 개념과 구별할 수 없었습니다. 그 후, Euler(1751)에 의해 주어진 함수의 정의가 나타났고, 그 후 - Lacroix(1806)에 의해 - 거의 현대적인 형태. 마지막으로, 함수의 일반적인 정의(in 현대적인 형태, 그러나 수치 함수의 경우)는 Lobachevsky(1834)와 Dirichlet(1837)에 의해 주어졌습니다. 에게 후기 XIX세기에 함수의 개념은 수치 체계의 틀을 넘어섰습니다. 벡터 함수는 이를 수행한 최초의 함수였으며 Frege는 곧 논리 함수를 도입했으며(1879), 집합 이론이 등장한 후 Dedekind(1887)와 Peano(1911)는 현대 보편적 정의를 공식화했습니다.

20번. 기능을 설정하는 방법.

함수를 정의하는 4가지 방법이 있습니다.

1. 표아주 일반적인 것은 개별 테이블을 설정하는 것입니다.

인수 값 및 해당 기능 값. 함수를 정의하는 이 방법은 함수의 영역이 이산 유한 집합일 때 사용됩니다.

f가 유한 집합이면 편리하지만 f가 무한이면 선택된 쌍(x, y)만 표시됩니다.

함수를 정의하는 표 형식의 방법을 사용하면 인수의 중간 값에 해당하는 표에 포함되지 않은 함수 값을 대략적으로 계산할 수 있습니다. 이렇게하려면 보간 방법을 사용하십시오.

장점: 정확도, 속도, 값 표에서 쉽게 찾을 수 있음 원하는 값기능. 함수를 지정하는 표 형식의 장점은 추가 측정이나 계산 없이 특정 특정 값을 한 번에 결정할 수 있다는 것입니다.

단점: 불완전, 명확성 부족. 어떤 경우에는 테이블이 함수를 완전히 정의하지 않고 인수의 일부 값에 대해서만 정의하고 인수의 변경에 따른 함수의 변경 특성에 대한 시각적 표현을 제공하지 않습니다.

2. 분석적(방식). 대부분의 경우, 다음 사이의 연결을 설정하는 법률

인수 및 기능은 공식을 통해 지정됩니다. 함수를 정의하는 이러한 방식을 분석적이라고 합니다. MA(미분, 적분)의 방법이 이러한 설정 방식을 제안하기 때문에 MA(수학 분석)에서 가장 중요합니다. 동일한 기능이 다른 공식으로 주어질 수 있습니다. 와이=∣sin( 엑스)∣와이=√1−cos2( 엑스) 때때로 다양한 부품정의된 기능은 다양한 공식으로 주어질 수 있습니다. 에프(엑스)={에프 1(엑스),엑스∈디 1 fn(엑스),엑스∈Dn ∪엔크=1닥=디(에프) . 종종 이 함수 정의 방법에서는 정의의 범위를 표시하지 않고 정의의 영역을 다음과 같이 이해합니다. 자연 지역정의, 즉 함수가 실제 값을 취하는 모든 x 값의 집합입니다.

이 방법을 사용하면 인수 x의 각 숫자 값이 함수 y의 해당 숫자 값을 정확히 또는 어느 정도 정확하게 찾을 수 있습니다.

함수를 정의하는 분석적 방법의 특별한 경우는 F(x,y)=0 형식의 방정식으로 함수를 정의하는 것입니다. (1) 이 방정식이 ∀ 엑스∈D만 일치 와이, 그렇게 에프(엑스,와이)=0이면 D의 방정식 (1)이 암시적으로 함수를 정의한다고 합니다. 함수를 정의하는 또 다른 특별한 경우는 각 쌍( 엑스,와이)∈에프한 쌍의 기능을 사용하여 설정 엑스=ϕ( 티),와이=ψ( 티) 어디 티∈중.

숫자 시퀀스의 정의가 제공됩니다. 무한 증가, 수렴 및 발산 시퀀스의 예가 고려됩니다. 모든 유리수를 포함하는 시퀀스가 ​​고려됩니다.

정의 .
숫자 시퀀스 ( x n ) 법칙(규칙)이라고 하며, 이에 따라 각 자연수 n = 1, 2, 3, . . . 어떤 숫자 x n이 할당됩니다.
요소 x n이 호출됩니다. n번째 멤버또는 시퀀스의 요소입니다.

시퀀스는 중괄호로 묶인 n번째 멤버로 표시됩니다. 또한 가능 다음 표기법: . 그들은 인덱스 n이 자연수 집합에 속하며 시퀀스 자체에 무한한 수의 구성원이 있음을 명시적으로 나타냅니다. 다음은 시퀀스의 몇 가지 예입니다.
, , .

즉, 숫자 시퀀스는 도메인이 자연수의 집합인 함수입니다. 시퀀스의 요소 수는 무한합니다. 요소 중에는 다음을 가진 구성원도 있을 수 있습니다. 같은 값. 또한 시퀀스는 무한한 수의 구성원으로 구성된 번호가 매겨진 숫자 집합으로 간주될 수 있습니다.

우리는 주로 n이 무한대가 될 때 시퀀스가 ​​어떻게 행동하는지에 대한 질문에 관심을 가질 것입니다. 이 자료는 시퀀스 한계 - 기본 정리 및 속성 섹션에 나와 있습니다. 여기에서 시퀀스의 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

시퀀스 예

무한히 증가하는 수열의 예

시퀀스를 생각해 봅시다. 이 수열의 일반항은 입니다. 처음 몇 가지 용어를 작성해 보겠습니다.
.
숫자 n이 커질수록 요소는 양의 값을 향해 무한히 증가함을 알 수 있습니다. 이 시퀀스는 다음과 같은 경향이 있다고 말할 수 있습니다.

이제 공통 용어가 있는 시퀀스를 고려하십시오. 다음은 첫 번째 구성원 중 일부입니다.
.
숫자 n이 커질수록 이 수열의 요소는 절대값이 무한정 증가하지만 상수 부호는 없습니다. 즉, 이 시퀀스는 다음과 같은 경향이 있습니다.

유한 수로 수렴하는 시퀀스의 예

시퀀스를 생각해 봅시다. 그 공통 멤버 첫 번째 용어는 다음과 같습니다.
.
숫자 n이 증가함에 따라 이 시퀀스의 요소가 한계 값에 접근함을 알 수 있습니다. = 0 : 에 . 따라서 각 후속 항은 이전 항보다 0에 더 가깝습니다. 어떤 의미에서 우리는 숫자에 대한 대략적인 값이 있다고 가정할 수 있습니다. = 0 오류가 있습니다. n이 커질수록 이 오류는 0이 되는 경향이 있습니다. 즉, n을 선택하면 오류를 임의로 작게 만들 수 있습니다. 또한 주어진 오류 ε에 대해 > 0 N:보다 큰 숫자를 가진 모든 요소에 대해 제한 값 a에서 숫자의 편차가 오류 ε:를 초과하지 않도록 숫자 N을 지정할 수 있습니다.

다음으로 순서를 고려하십시오. 그 공통 멤버 다음은 첫 번째 구성원 중 일부입니다.
.
이 시퀀스에서 짝수 항은 0입니다. n이 홀수인 멤버는 . 따라서 n이 커질수록 그 값은 한계값 a에 접근합니다. = 0 . 이것은 또한 다음 사실에서 비롯됩니다.
.
이전 예에서와 같이 임의의 작은 오류 ε를 지정할 수 있습니다. > 0 , N보다 큰 숫자를 가진 요소가 한계 값 a에서 벗어날 수 있는 N을 찾는 것이 가능합니다. = 0 지정된 오류를 초과하지 않는 값으로 따라서 이 수열은 a 값으로 수렴합니다. = 0 : 에 .

발산 시퀀스의 예

다음과 같은 공통 용어가 있는 시퀀스를 고려하십시오.

다음은 첫 번째 구성원입니다.


.
짝수인 항은 다음과 같이 표시됩니다.
,
a 값으로 수렴 1 = 0 . 홀수 회원:
,
a 값으로 수렴 2 = 2 . n이 증가함에 따라 시퀀스 자체는 어떤 값에도 수렴하지 않습니다.

구간(0;1)에 항이 분포된 시퀀스

이제 더 흥미로운 시퀀스를 고려하십시오. 번호 라인에서 세그먼트를 가져옵니다. 반으로 나누자. 우리는 두 개의 세그먼트를 얻습니다. 하자
.
각 세그먼트는 다시 반으로 나뉩니다. 우리는 4개의 세그먼트를 얻습니다. 하자
.
각 부분을 다시 반으로 나눕니다. 해 보자


.
등.

결과적으로 요소가 열린 간격으로 분포된 시퀀스를 얻습니다. (0; 1) . 닫힌 간격에서 어떤 점을 취하든 , 우리는 이 지점에 임의로 가깝거나 일치하는 시퀀스의 구성원을 항상 찾을 수 있습니다.

그런 다음 원래 시퀀스에서 간격에서 임의의 점으로 수렴할 부분 시퀀스를 선택할 수 있습니다. . 즉, 숫자 n이 커질수록 부분 수열의 구성원이 미리 선택된 지점에 점점 더 가까워집니다.

예를 들어 점 a의 경우 = 0 다음 하위 시퀀스를 선택할 수 있습니다.
.
= 0 .

점 a에 대해 = 1 다음 하위 시퀀스를 선택합니다.
.
이 부분수열의 구성원은 a 값으로 수렴합니다. = 1 .

수렴하는 부분 수열이 있기 때문에 다른 의미, 원래 시퀀스 자체는 어떤 숫자로도 수렴하지 않습니다.

모든 유리수를 포함하는 시퀀스

이제 모든 유리수를 포함하는 수열을 구성해 보겠습니다. 더욱이, 각 유리수는 그러한 수열에 무한히 포함될 것이다.

유리수 r은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
,
여기서 는 정수입니다. - 자연스러운.
p와 q의 쌍이 시퀀스에 포함되도록 각 자연수 n에 숫자 p와 q의 쌍을 할당해야 합니다.

이렇게 하려면 평면에 축 p와 q를 그립니다. 정수 값 p 와 q 를 통해 그리드 선을 그립니다. 그런 다음이 그리드의 각 노드는 다음과 같습니다. 유리수. 유리수 전체 집합은 노드 집합으로 표시됩니다. 단일 노드를 놓치지 않도록 모든 노드에 번호를 매기는 방법을 찾아야 합니다. 중심이 점에 있는 사각형에 따라 노드에 번호를 매기면 쉽게 할 수 있습니다. (0; 0) (그림 참조). 이 경우 q가 있는 사각형의 아래쪽 부분은 < 1 우리는 필요하지 않습니다. 따라서 그림에는 표시되지 않습니다.

따라서 첫 번째 사각형의 위쪽에 대해 다음이 있습니다.
.
또한 우리는 번호 윗 부분다음 사각형:

.
다음 사각형의 윗부분에 번호를 매깁니다.

.
등.

이런 식으로 우리는 모든 유리수를 포함하는 시퀀스를 얻습니다. 임의의 유리수가 이 수열에서 무한히 나타나는 것을 볼 수 있습니다. 실제로 노드와 함께 이 시퀀스에는 노드도 포함됩니다. 여기서 는 자연수입니다. 그러나 이러한 모든 노드는 동일한 유리수에 해당합니다.

그런 다음 우리가 구성한 시퀀스에서 모든 요소가 미리 결정된 유리수와 동일한 부분 시퀀스(무한한 수의 요소를 가짐)를 선택할 수 있습니다. 우리가 구성한 시퀀스는 다음으로 수렴하는 부분 시퀀스를 가지고 있기 때문에 다른 숫자, 시퀀스는 어떤 숫자로도 수렴하지 않습니다.

결론

여기서 우리는 숫자 시퀀스의 정확한 정의를 제공했습니다. 또한 직관적인 아이디어를 바탕으로 융합의 문제를 다루었습니다. 수렴의 정확한 정의는 시퀀스의 한계 결정 페이지에서 논의됩니다. 관련 속성 및 정리는 페이지에 설명되어 있습니다.

수업 #32 날짜 _______________

대수학

클래스: 9 "B"

주제: "숫자 순서 및 설정 방법."

수업의 목적:학생들은 수열이 무엇인지 알아야 합니다. 숫자 시퀀스를 설정하는 방법; 숫자 시퀀스를 지정하는 다양한 방법을 구별할 수 있습니다.

교훈적인 자료: 유인물, 참고 사항.

기술적 수단학습:"숫자 시퀀스"주제에 대한 프레젠테이션.

수업 중.

1. 조직적 순간.

2. 공과의 목표를 설정합니다.

오늘 수업에서 여러분은 다음을 배우게 될 것입니다.

시퀀스란?

어떤 종류의 시퀀스가 ​​있습니까?

번호 순서는 어떻게 지정됩니까?

수식과 수식에 포함된 많은 요소를 사용하여 시퀀스를 작성하는 방법을 배웁니다.

시퀀스의 구성원을 찾는 방법을 배웁니다.

3. 연구 자료에 대한 작업.

3.1. 준비 단계입니다.

얘들 아, 당신의 논리 능력을 테스트하자. 몇 마디 말하겠습니다. 계속해야 합니다.

-월요일 화요일,…..

- 1월 2월 3월…

- Glebova L, Ganovichev E, Dryakhlov V, Ibraeva G, ... .. (클래스 목록);

–10,11,12,…99;

사람들의 답변에서 위의 작업은 순서, 즉 순서가 지정된 일련의 일련의 숫자 또는 개념이며 각 숫자 또는 개념이 엄격하게 제자리에 있고 구성원이 교환되면 순서가 위반됩니다(화요일, 목요일, 월요일은 요일 목록일 뿐입니다). 따라서 수업의 주제는 숫자 순서입니다.

3.1. 신소재 설명. (데모 자료)

학생들의 답변을 분석하고, 숫자 순서를 정의하고, 숫자 순서를 설정하는 방법을 보여줍니다.

(교과서 작업 pp. 66 - 67)

정의 1. 함수 y = f(x), xN은 자연 인수 또는 숫자 시퀀스의 함수라고 하며 다음과 같이 표시됩니다. y = f(n) 또는 y 1 , y 2 , y 3 , ..., y n , ... 또는 (y n).

이 경우 독립변수는 자연수이다.

대부분의 경우 시퀀스는 다음과 같이 표시됩니다. ㅏ N), (비 N), (~와 함께 N) 등.

정의 2. 시퀀스 멤버.

시퀀스를 구성하는 요소를 시퀀스의 구성원이라고 합니다.

새로운 개념: 시퀀스의 이전 및 후속 멤버,

ㅏ 1 …ㅏ 피. (시퀀스의 첫 번째 및 n번째 멤버)

숫자 시퀀스를 설정하는 방법.

분석적인 방법.

어느 n번째 요소시퀀스는 공식을 사용하여 결정할 수 있습니다.(데모)

구문 분석 예제

실시예 1짝수의 시퀀스: y = 2n.

실시예 2자연수의 제곱의 수열: y = n 2 ;

1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2 , ...

실시예 3고정 시퀀스: y = C;

씨, 씨, 씨, ..., 씨, ... .

특별한 경우: y = 5; 5, 5, 5, ..., 5, ...

실시예 4. 시퀀스 y = 2n ;

2, 2 2 , 2 3 , 2 4 , ..., 2 n , ... .

구두 방식.

순서를 설정하는 규칙은 공식을 지정하지 않거나 순서의 요소 사이에 패턴이 없을 때 단어로 설명됩니다.

예 1. 숫자 근사π.

실시예 2소수 시퀀스: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .... .

실시예 3 5로 나누어 떨어지는 수열입니다.

실시예 2임의의 숫자 집합: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ... .

실시예 3짝수의 수열 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ... .

재귀적 방법.

반복 방법은 처음 몇 개의 구성원(최소한 하나의 첫 번째 구성원)이 지정된 경우 시퀀스의 n번째 구성원을 계산할 수 있는 규칙과 이전 구성원에서 다음 구성원을 계산할 수 있는 공식을 지정하는 것으로 구성됩니다. 용어 재발 라틴어 단어에서 파생 되풀이하다 , 즉 돌아와 . 이 규칙에 따라 시퀀스의 멤버를 계산할 때 우리는 항상 되돌아가서 이전 멤버를 기반으로 다음 멤버를 계산합니다. 이 방법의 특징은 예를 들어 시퀀스의 100번째 구성원을 결정하려면 먼저 이전 99개 구성원을 모두 결정해야 한다는 것입니다.

예시 1 . a 1 \u003d a, a n + 1 \u003d a n +0.7. 1 =5라고 하면 시퀀스는 다음과 같습니다. 5; 5.7; 6.4; 7.1; 7.8; 8.5; ... .

실시예 2 b 1 \u003d b, b n +1 \u003d ½ b n. b 1 =23이라고 하면 시퀀스는 다음과 같습니다. 23; 11.5; 5.75; 2.875; ... .

실시예 3피보나치 수열. 이 시퀀스는 재귀적으로 쉽게 정의됩니다. y 1 =1, y 2 =1,y n -2 +y n -1 if n=3, 4, 5, 6, ... . 그것은 다음과 같이 보일 것입니다:

1, 1,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... . (피이 수열의 th 항은 이전 두 항의 합과 같습니다)

피보나치 수열을 분석적으로 정의하는 것은 어렵지만 가능합니다. 이 시퀀스의 요소를 결정하는 공식은 다음과 같습니다.

추가 정보:

피보나치라는 별명으로 더 잘 알려진 이탈리아 상인 피사의 레오나르도(1180-1240)는 중요한 중세 수학자였습니다. 이 수열의 도움으로 피보나치는 숫자를 결정했습니다. φ (파이); φ=1.618033989.

그래픽 방식

시퀀스의 구성원은 좌표 평면의 점으로 나타낼 수 있습니다. 이를 위해 가로 축을 따라 숫자가 표시되고 세로 축을 따라 시퀀스의 해당 멤버 값이 표시됩니다.

할당 방법을 통합하기 위해 구두로 또는 분석적으로 또는 반복적인 방식으로 지정되는 시퀀스의 몇 가지 예를 제시할 것을 요청합니다.

숫자 시퀀스의 유형

(아래 나열된 시퀀스에서 시퀀스 유형이 해결됩니다.).

교과서 작업 p.69-70

1) 증가 - 각 항이 다음 항보다 작은 경우, 즉 ㅏ N ㅏ N +1.

2) 감소 - 각 항이 다음 항보다 큰 경우, 즉 ㅏ N ㅏ N +1 .

3) 끝없는.

4) 궁극기.

5) 교대.

6) 상수(고정).

증가 또는 감소 시퀀스를 단조라고 합니다.

3; 6; 9; 12; 15; 18;…

1. –1; 2; –3; 4; –5; …

   1, 4, 9, 16 ,…

   –1; 2; –3; 4; –5; 6; …

   3; 3; 3; 3; …; 3; … .

교과서로 작업하기: 구두로 하기 No. 150, 159 pp. 71, 72

3.2. 새로운 재료의 통합. 문제 해결.

지식을 통합하기 위해 학생들의 준비 수준에 따라 예제가 선택됩니다.

실시예 1수열의 n번째 요소(y n)에 대해 가능한 공식을 작성하십시오.

a) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...

b) 4, 8, 12, 16, 20, ...;

결정.

a) 홀수의 연속입니다. 분석적으로, 이 수열은 공식 y = 2n+1로 주어질 수 있습니다.

b) 이것은 다음 요소가 이전 요소보다 4만큼 큰 숫자 시퀀스입니다. 분석적으로 이 시퀀스는 공식 y = 4n으로 지정할 수 있습니다.

실시예 2. 반복적으로 주어진 시퀀스의 처음 10개 요소를 씁니다: y 1 =1, y 2 =2, y n = y n -2 +y n -1 if n = 3, 4, 5, 6, ... .

결정.

이 시퀀스의 각 후속 요소는 이전 두 요소의 합과 같습니다.

실시예 3시퀀스(y n)는 반복적으로 주어집니다. y 1 =1, y 2 =2,y n =5y n -1 - 6y n -2 . 이 시퀀스를 분석적으로 지정합니다.

결정.

시퀀스의 처음 몇 요소를 찾습니다.

y 3 =5y 2 -6y 1 =10-6=4;

y 4 \u003d 5y 3 -6y 2 \u003d 20-12 \u003d 8;

y 5 \u003d 5y 4 -6y 3 \u003d 40-24 \u003d 16;

y 6 \u003d 5y 5 -6y 4 \u003d 80-48 \u003d 32;

y 7 \u003d 5y 6 -6y 5 \u003d 160-96 \u003d 64.

우리는 시퀀스를 얻습니다: 1; 2; 4; 여덟; 열여섯; 32; 64; ...로 나타낼 수 있는

2 0 ; 2 1 ; 2 2 ; 2 3 ; 2 4 ; 2 5 ; 2 6 ... .

n = 1; 2; 삼; 4; 5; 6; 7... .

시퀀스를 분석하면 다음과 같은 규칙성을 얻습니다. y = 2 n -1 .

실시예 4주어진 시퀀스 y n =24n+36-5n 2 .

) 얼마나 많은 긍정적인 용어가 있습니까?

b) 시퀀스의 가장 큰 요소를 찾습니다.

c) 이 시퀀스에서 가장 작은 요소가 있습니까?

이 숫자 시퀀스는 y = -5x 2 +24x+36 형식의 함수입니다. 여기서 x는

a) -5x 2 +24x+360인 함수의 값을 찾습니다. 방정식 -5x 2 +24x+36=0을 풉니다.

D \u003d b 2 -4ac \u003d 1296, X 1 \u003d 6, X 2 \u003d -1.2.

포물선 y \u003d -5x 2 +24x + 36의 대칭 축 방정식은 x \u003d 공식으로 찾을 수 있습니다. x \u003d 2.4.

부등식 -5x 2 +24x+360은 -1.2에 해당합니다. 이 간격에는 5개의 자연수(1, 2, 3, 4, 5)가 포함됩니다. 따라서 주어진 시퀀스 5에서 긍정적인 요소시퀀스.

b) 시퀀스의 가장 큰 요소는 선택 방법에 의해 결정되며 y 2 =64와 같습니다.

c) 가장 작은 요소가 없습니다.

3.4 독립적인 업무를 위한 업무