2차 함수 해법 예제 9. 2차 함수와 그 그래프
중요 참고 사항!
1. 수식 대신 abracadabra가 표시되면 캐시를 지웁니다. 브라우저에서 수행하는 방법은 다음과 같습니다.
2. 기사를 읽기 전에 내비게이터에 가장 주의를 기울이십시오. 유용한 리소스~을 위한
여기에 쓰여질 내용을 이해하려면 2차 함수가 무엇인지, 무엇과 함께 먹는지 잘 알아야 합니다. 자신이 이차 함수의 전문가라고 생각한다면 환영합니다. 그러나 그렇지 않은 경우 스레드를 읽어야 합니다.
작은 것부터 시작하자 체크 무늬:
- 일반 형식(공식)에서 이차 함수는 어떻게 생겼습니까?
- 차트 이름이 뭔가요 이차 함수?
- 선행 계수는 이차 함수의 그래프에 어떤 영향을 줍니까?
이 질문에 즉시 답할 수 있다면 계속 읽으십시오. 하나 이상의 질문으로 인해 어려움이 발생한 경우 로 이동하십시오.
따라서 이차 함수를 처리하고 그래프를 분석하고 점별로 그래프를 작성하는 방법을 이미 알고 있습니다.
자, 여기 있습니다: .
그들이 하는 일을 간단히 살펴보겠습니다. 승산.
- 시니어 계수는 포물선의 "가파름", 즉 포물선의 너비에 대한 책임이 있습니다.
- 자유 항은 포물선과 y축의 교차점 좌표입니다.
- 그리고 계수는 좌표 중심에서 포물선의 변위를 어떻게 든 담당합니다. 이제 이에 대해 자세히 알아보겠습니다.
왜 우리는 항상 포물선을 만들기 시작합니까? 그녀의 차별화 포인트는?
이것은 꼭지점. 그리고 꼭짓점의 좌표를 찾는 방법을 기억하십니까?
가로 좌표는 다음 공식으로 검색됩니다.
이렇게: 뭐 더, 주제 왼쪽으로포물선의 상단이 움직입니다.
정점의 세로 좌표는 다음 함수에 대입하여 찾을 수 있습니다.
자신을 교체하고 계산합니다. 무슨 일이에요?
모든 것을 올바르게 수행하고 결과 표현식을 최대한 단순화하면 다음을 얻을 수 있습니다.
더 많은 것으로 밝혀졌습니다. 모듈로, 주제 더 높은~ 할 것이다 꼭지점포물선.
마지막으로 플로팅으로 넘어갑시다.
가장 쉬운 방법은 위에서부터 포물선을 만드는 것입니다.
예시:
함수를 플로팅합니다.
결정:
먼저 계수를 정의해 보겠습니다.
이제 꼭짓점 좌표를 계산해 보겠습니다.
그리고 이제 기억하십시오. 동일한 선행 계수를 가진 모든 포물선은 동일하게 보입니다. 따라서 포물선을 만들고 정점을 한 점으로 이동하면 필요한 그래프를 얻을 수 있습니다.
간단하죠?
남은 질문은 하나뿐입니다. 포물선을 빠르게 그리는 방법은 무엇입니까? 꼭지점을 원점으로 하여 포물선을 그리더라도 1점씩 쌓아야 하므로 길고 불편합니다. 그러나 모든 포물선 모양이 똑같습니다. 그림 속도를 높이는 방법이 있을까요?
내가 학교에 다닐 때 수학 선생님은 모든 사람들에게 판지에서 포물선 모양의 스텐실을 잘라서 빨리 그리라고 했습니다. 그러나 스텐실을 가지고 아무데나 걸을 수 없으며 시험장에 가져가는 것도 허용되지 않습니다. 따라서 우리는 이물질을 사용하지 않고 패턴을 찾을 것입니다.
가장 단순한 포물선을 고려하십시오. 포인트로 구축해 보겠습니다.
여기의 규칙은 이것입니다. 위에서 오른쪽으로(축을 따라) 위로 이동하고 위로(축을 따라) 이동하면 포물선의 점에 도달합니다. 더 나아가: 이 지점에서 오른쪽으로 조금씩 위로 이동하면 다시 포물선 지점에 도달하게 됩니다. 다음: 바로 계속. 무엇 향후 계획? 바로 계속. 등등: 오른쪽으로 이동하고 다음으로 이동 홀수위로. 그런 다음 왼쪽 가지와 동일하게 수행합니다(결국 포물선은 대칭입니다. 즉, 가지가 동일하게 보입니다).
좋습니다. 이것은 가장 높은 계수를 가진 꼭짓점에서 포물선을 만드는 데 도움이 됩니다. 예를 들어, 포물선의 꼭짓점이 한 점에 있다는 것을 배웠습니다. 이 포물선을 (직접 종이에) 구성하십시오.
세워짐?
다음과 같이 표시되어야 합니다.
이제 얻은 포인트를 연결합니다.
그게 다야.
자, 이제 포물선만 만들까요?
당연히 아니지. 이제 그들로 무엇을 해야할지 알아 봅시다.
몇 가지 전형적인 경우를 생각해 봅시다.
좋습니다. 포물선을 그리는 방법을 배웠습니다. 이제 실제 함수를 연습해 보겠습니다.
따라서 다음과 같은 함수의 그래프를 그립니다.
대답:
3. 상단: .
시니어 계수가 적으면 어떻게 해야 하는지 기억하십니까?
우리는 분수의 분모를 봅니다. 그것은 같음입니다. 따라서 다음과 같이 이동합니다.
- 바로
- 바로
- 바로
또한 왼쪽:
4. 상단: .
오, 그것으로 무엇을 할 것인가? 꼭짓점이 선 사이 어딘가에있는 경우 셀을 측정하는 방법은 무엇입니까?..
그리고 우리는 속입니다. 먼저 포물선을 그린 다음 정점을 한 점으로 이동합니다. 아니요, 더 까다롭게 해 봅시다. 포물선을 그리고 다음 축 이동:- 에 아래에, ~에 오른쪽:
이 기술은 포물선의 경우 매우 편리합니다. 기억하십시오.
다음 형식으로 함수를 나타낼 수 있음을 상기시켜 드리겠습니다.
예를 들어: .
이것은 우리에게 무엇을 제공합니까?
사실 대괄호()안에서 뺀 숫자는 포물선 꼭짓점의 가로축이고, ()밖의 항은 꼭짓점의 세로좌표이다.
즉, 포물선을 만든 후 다음을 수행하면 됩니다. 축을 왼쪽으로 이동하고 축을 아래로 이동합니다.
예: 함수 그래프를 그려봅시다.
완전한 정사각형을 선택합시다:
몇 번째 빼다괄호 안에? 이것은 (생각하지 않고 결정할 수있는 방법이 아닙니다).
그래서 우리는 포물선을 만듭니다:
이제 축을 아래로, 즉 위로 이동합니다.
그리고 지금 - 왼쪽, 즉 오른쪽으로 :
그게 다야. 이것은 꼭지점이 있는 포물선을 원점에서 점으로 이동하는 것과 같으며 직선 축만 구부러진 포물선보다 이동하기가 훨씬 쉽습니다.
이제 평소와 같이 나 자신:
그리고 지우개로 오래된 축을 지우는 것을 잊지 마십시오!
나는 그대로 대답확인을 위해 이 포물선 정점의 세로 좌표를 쓰겠습니다.
모든 것이 맞았습니까?
그렇다면 당신은 훌륭합니다! 포물선을 다루는 방법을 아는 것은 매우 중요하고 유용하며 여기서 우리는 그것이 전혀 어렵지 않다는 것을 발견했습니다.
2차 함수를 그래프로 나타내기. 메인에 대해 간략히
이차 함수는 형식의 함수입니다. 여기서, 는 임의의 숫자(계수)이며 자유 멤버입니다.
이차 함수의 그래프는 포물선입니다.
포물선의 상단:
, 즉. \displaystyle b 가 클수록 포물선의 위쪽이 왼쪽으로 더 많이 이동합니다.
함수를 대체하고 다음을 얻습니다.
, 즉. \displaystyle b modulo가 클수록 포물선의 상단이 더 높아집니다.
자유 항은 포물선과 y축의 교차점 좌표입니다.
자, 주제가 끝났습니다. 당신이 이 라인들을 읽고 있다면, 당신은 매우 멋진 것입니다.
5%의 사람들만이 스스로 무언가를 마스터할 수 있기 때문입니다. 그리고 끝까지 읽었다면 당신은 5%에 속합니다!
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문제는 이것이 충분하지 않을 수 있다는 것입니다 ...
무엇을 위해?
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나는 당신에게 아무것도 확신시키지 않을 것이고, 나는 단지 한 가지만 말할 것입니다 ...
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그러나 이것이 중요한 것은 아닙니다.
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하지만 스스로 생각해보세요...
시험에서 다른 사람보다 뛰어나고 궁극적으로 ... 더 행복하기 위해 필요한 것은 무엇입니까?
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문제를 찾아 해결하세요!
모두 포물선이 무엇인지 알고 있습니다. 그러나 다양한 실제 문제를 해결하는 데 능숙하고 올바르게 사용하는 방법은 아래에서 이해할 것입니다.
먼저, 대수와 기하학이 이 용어에 부여하는 기본 개념을 표시하겠습니다. 모든 것을 고려하십시오 가능한 유형이 차트.
우리는 이 기능의 모든 주요 특성을 배웁니다. 곡선(기하학)을 구성하는 기초를 이해합시다. 이 유형의 그래프의 상위, 기타 기본 값을 찾는 방법을 알아보겠습니다.
필요한 곡선이 방정식에 따라 올바르게 구성되는 방법, 주의해야 할 사항을 알아보겠습니다. 메인을 보자 실용인간의 삶에서 이 독특한 가치.
포물선이란 무엇이며 어떻게 생겼습니까?
대수학: 이 용어는 2차 함수의 그래프를 나타냅니다.
기하학: 이것은 여러 가지 특정 기능을 가진 2차 곡선입니다.
정준 포물선 방정식
그림은 횡좌표 축을 따라 함수를 그리는 방향의 극값인 직교 좌표계(XOY)를 보여줍니다.
정규 방정식은 다음과 같습니다.
y 2 \u003d 2 * p * x,
여기서 계수 p는 포물선(AF)의 초점 매개변수입니다.
대수학에서는 다르게 작성됩니다.
y = a x 2 + b x + c(인식 가능한 패턴: y = x 2).
이차 함수의 속성과 그래프
함수에는 대칭축과 중심(극단값)이 있습니다. 정의 영역은 x축의 모든 값입니다.
함수 값의 범위 - (-∞, M) 또는 (M, +∞)는 곡선 분기의 방향에 따라 다릅니다. 여기서 매개변수 M은 줄 맨 위에 있는 함수의 값을 의미합니다.
포물선의 가지가 어디로 향하는지 결정하는 방법
표현식에서 이러한 유형의 곡선 방향을 찾으려면 첫 번째 매개변수 앞에 부호를 지정해야 합니다. 대수식. ˃ 0이면 위쪽을 향합니다. 그렇지 않으면 아래로.
공식을 사용하여 포물선의 꼭짓점을 찾는 방법
극값을 찾는 것은 많은 실제 문제를 해결하는 주요 단계입니다. 물론 특별하게 열 수 있습니다. 온라인 계산기하지만 스스로 할 수 있는 것이 더 좋습니다.
그것을 정의하는 방법? 특별한 공식이 있습니다. b가 0과 같지 않으면 이 점의 좌표를 찾아야 합니다.
정상을 찾는 공식:
- x 0 \u003d -b / (2 * a);
- y 0 = y(x 0).
예시.
y \u003d 4 * x 2 + 16 * x - 25 함수가 있습니다. 이 함수의 꼭짓점을 찾자.
이러한 라인의 경우:
- x \u003d -16 / (2 * 4) \u003d -2;
- y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.
정점의 좌표를 얻습니다(-2, -41).
포물선 오프셋
고전적인 경우는 이차 함수 y = a x 2 + b x + c에서 두 번째 및 세 번째 매개변수가 0이고 = 1 - 정점이 점(0, 0)에 있을 때입니다.
가로축 또는 세로축을 따라 이동하는 것은 각각 매개변수 b 및 c의 변경으로 인한 것입니다.평면의 선 이동은 매개 변수 값과 동일한 단위 수만큼 정확하게 수행됩니다.
예시.
b = 2, c = 3이 있습니다.
이는 곡선의 클래식 보기가 가로축을 따라 2단위 세그먼트만큼, 세로축을 따라 3단위로 이동한다는 것을 의미합니다.
이차 방정식을 사용하여 포물선을 만드는 방법
학생들이 주어진 매개변수에 따라 포물선을 올바르게 그리는 방법을 배우는 것이 중요합니다.
식과 방정식을 분석하면 다음을 알 수 있습니다.
- 좌표 벡터와 원하는 선의 교차점은 c와 같은 값을 갖습니다.
- 그래프의 모든 점(x축을 따라)은 함수의 주 극값을 기준으로 대칭입니다.
또한 OX와의 교집합은 다음과 같은 함수의 판별식(D)을 알면 찾을 수 있습니다.
D \u003d (b 2 - 4 * a * c).
이렇게 하려면 표현식을 0으로 동일시해야 합니다.
포물선 뿌리의 존재는 결과에 따라 다릅니다.
- D ˃ 0, x 1, 2 = (-b ± D 0.5) / (2 * a);
- D \u003d 0, x 1, 2 \u003d -b / (2 * a);
- D ˂ 0이면 벡터 OX와 교차점이 없습니다.
포물선을 구성하는 알고리즘을 얻습니다.
- 가지의 방향을 결정하십시오.
- 정점의 좌표를 찾습니다.
- y축과의 교차점을 찾습니다.
- x축과의 교점을 찾습니다.
실시예 1
주어진 함수 y \u003d x 2 - 5 * x + 4. 포물선을 만드는 것이 필요합니다. 우리는 알고리즘에 따라 행동합니다:
- a \u003d 1 따라서 가지가 위쪽으로 향합니다.
- 극한 좌표: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
- 값 y = 4에서 y축과 교차합니다.
- 판별식 찾기: D = 25 - 16 = 9;
- 뿌리를 찾고
- X 1 \u003d (5 + 3) / 2 \u003d 4; (4, 0);
- X 2 \u003d (5-3) / 2 \u003d 1; (십).
실시예 2
y \u003d 3 * x 2 - 2 * x - 1 함수의 경우 포물선을 만들어야 합니다. 우리는 위의 알고리즘에 따라 행동합니다:
- a \u003d 3 따라서 가지가 위쪽으로 향합니다.
- 극한 좌표: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
- y 축은 y \u003d -1 값에서 교차합니다.
- 판별식을 찾으십시오. D \u003d 4 + 12 \u003d 16. 따라서 근은 다음과 같습니다.
- X 1 \u003d (2 + 4) / 6 \u003d 1; (1;0);
- X 2 \u003d (2 - 4) / 6 \u003d -1/3; (-1/3, 0).
얻은 점에서 포물선을 만들 수 있습니다.
Directrix, 편심, 포물선의 초점
표준 방정식에 따라 초점 F는 좌표(p/2, 0)를 갖습니다.
직선 AB는 directrix(특정 길이의 포물선 현의 일종)입니다. 그녀의 방정식은 x = -p/2입니다.
편심(상수) = 1.
결론
우리는 학생들이 공부하는 주제를 고려했습니다. 고등학교. 이제 포물선의 2차 함수를 보고 정점을 찾는 방법, 가지가 향할 방향, 축을 따라 오프셋이 있는지 여부, 구성 알고리즘이 있으면 그래프를 그릴 수 있습니다.
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