숫자 시퀀스를 설정하는 방법. 수열의 정의

비다 와이= 에프(엑스), 엑스영형 N, 어디 N는 자연수의 집합(또는 자연 인수의 함수)이며 다음과 같이 표시됩니다. 와이=에프(N) 또는 와이 1 ,와이 2 ,…, 니 엔, .... 가치 와이 1 ,와이 2 ,와이 3 ,… 각각 시퀀스의 첫 번째, 두 번째, 세 번째, ... 멤버라고 합니다.

예를 들어 함수의 경우 와이= N 2는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

와이 1 = 1 2 = 1;

와이 2 = 2 2 = 4;

와이 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

시퀀스 설정 방법.시퀀스는 다양한 방식으로 지정할 수 있으며 그 중 분석, 설명 및 반복의 세 가지가 특히 중요합니다.

1. 수식이 주어진다면 수열은 분석적으로 주어진다 N-번째 멤버:

니 엔=에프(N).

예시. 니 엔= 2N- 1 – 홀수 시퀀스: 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. 서술 숫자 시퀀스를 지정하는 방법은 시퀀스가 만들어지는 요소를 설명하는 것입니다.

예 1. "시퀀스의 모든 구성원은 1과 같습니다." 이것은 의미합니다, 우리 대화하는 중이 야고정 수열 1, 1, 1, …, 1, …

예 2. "열은 오름차순의 모든 소수로 구성됩니다." 따라서 수열 2, 3, 5, 7, 11, …이 주어집니다. 이 예에서 시퀀스를 지정하는 이러한 방법으로 시퀀스의 1000번째 요소가 무엇과 같은지 대답하기 어렵습니다.

3. 시퀀스를 지정하는 반복적인 방법은 다음을 계산할 수 있는 규칙이 표시된다는 것입니다. N- 이전 멤버가 알려진 경우 시퀀스의 번째 멤버. 순환 방법이라는 이름은 라틴어 단어에서 유래했습니다. 되풀이하다- 돌아와. 대부분의 경우 이러한 경우 다음을 표현할 수 있는 공식이 표시됩니다. N시퀀스의 th 멤버부터 이전 멤버까지, 시퀀스의 초기 멤버 1-2개를 지정합니다.

실시예 1 와이 1 = 3; y n = y n-1 + 4인 경우 N = 2, 3, 4,….

여기 와이 1 = 3; 와이 2 = 3 + 4 = 7;와이 3 = 7 + 4 = 11; ….

이 예에서 얻은 시퀀스를 분석적으로 지정할 수도 있음을 알 수 있습니다. 니 엔= 4N- 1.

실시예 2 와이 1 = 1; 와이 2 = 1; 니 엔 = 니 엔 –2 + 니 엔-1 경우 N = 3, 4,….

여기: 와이 1 = 1; 와이 2 = 1; 와이 3 = 1 + 1 = 2; 와이 4 = 1 + 2 = 3; 와이 5 = 2 + 3 = 5; 와이 6 = 3 + 5 = 8;

이 예제에서 구성된 시퀀스는 많은 흥미로운 속성과 응용 프로그램을 가지고 있기 때문에 수학에서 특별히 연구됩니다. 13세기 이탈리아 수학자의 이름을 따서 피보나치 수열이라고 합니다. 피보나치 수열을 재귀적으로 정의하는 것은 매우 쉽지만 분석적으로는 매우 어렵습니다. N th 피보나치 수는 다음 공식에 의해 서수로 표현됩니다.

언뜻 보면 공식 N th 피보나치 수는 자연수의 시퀀스를 지정하는 공식에만 제곱근이 포함되어 있기 때문에 그럴듯해 보이지만 처음 몇 개에 대해서는 이 공식의 유효성을 "수동으로" 확인할 수 있습니다. N.

숫자 시퀀스의 속성.

숫자 시퀀스는 숫자 함수의 특수한 경우이므로 함수의 여러 속성도 시퀀스에 대해 고려됩니다.

정의 . 하위 시퀀스( 니 엔} 각 항(첫 번째 항 제외)이 이전 항보다 크면 증가라고 합니다.

와이 1 y 2 y 3 y ny n +1

정의.순서( 니 엔} 각 항(첫 번째 항 제외)이 이전 항보다 작으면 감소라고 합니다.

와이 1 > 와이 2 > 와이 3 > … > 니 엔> 니 엔 +1 > … .

증가 및 감소 시퀀스는 공통 용어인 단조 시퀀스로 통합됩니다.

실시예 1 와이 1 = 1; 니 엔= N 2는 증가하는 순서입니다.

따라서 다음 정리는 참입니다(산술 진행의 특성). 숫자 시퀀스는 첫 번째(유한 시퀀스의 경우 마지막)를 제외한 각 멤버가 이전 및 후속 멤버의 산술 평균과 같은 경우에만 산술 연산입니다.

예시. 어떤 가치로 엑스 3번 엑스 + 2, 5엑스– 4 및 11 엑스+ 12는 유한 산술 진행을 형성합니까?

특성 속성에 따라 주어진 표현식은 다음 관계를 만족해야 합니다.

5엑스 – 4 = ((3엑스 + 2) + (11엑스 + 12))/2.

이 방정식을 풀면 엑스= –5,5. 이 값으로 엑스주어진 표현 3 엑스 + 2, 5엑스– 4 및 11 엑스+ 12는 각각 값 -14.5를 취하고, –31,5, –48,5. 이것은 산술 진행이며 그 차이는 -17입니다.

기하학적 진행.

모든 구성원이 0이 아니고 두 번째부터 시작하여 이전 구성원에서 동일한 숫자를 곱하여 각 구성원을 얻는 숫자 시퀀스 큐, 를 기하 진행이라고 하며 그 수는 큐- 기하학적 진행의 분모.

따라서 기하학적 진행은 숫자 시퀀스( 비앤) 관계식에 의해 재귀적으로 주어짐

비 1 = 비, 비앤 = 비앤 –1 큐 (N = 2, 3, 4…).

(비그리고 큐-주어진 숫자, 비 ≠ 0, 큐 ≠ 0).

예제 1. 2, 6, 18, 54, ... - 기하학적 진행 증가 비 = 2, 큐 = 3.

예 2. 2, -2, 2, -2, ... – 기하학적 진행 비= 2,큐= –1.

예 3. 8, 8, 8, 8, … – 기하학적 진행 비= 8, 큐= 1.

기하학적 진행은 다음과 같은 경우 증가하는 수열입니다. 비 1 > 0, 큐> 1, 다음 경우 감소 비 1 > 0, 0q

기하학적 진행의 명백한 속성 중 하나는 시퀀스가 기하학적 진행이면 정사각형의 시퀀스, 즉

비 1 2 , 비 2 2 , 비 3 2 , …, 비앤 2,...는 첫 번째 항이 다음과 같은 기하학적 진행입니다. 비 1 2 , 분모는 큐 2 .

공식 N-기하학적 진행의 th 항은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

비앤= 비 1 q n– 1 .

유한 기하 진행의 항의 합에 대한 공식을 얻을 수 있습니다.

유한한 기하학적 진행이 있게 하십시오

비 1 ,비 2 ,비 3 , …, 비앤

허락하다 에스앤-구성원의 합계, 즉

에스앤= 비 1 + 비 2 + 비 3 + … +비앤.

라고 받아들여진다. 큐 1. 결정하기 위해 에스앤인위적인 트릭이 적용됨: 표현식의 일부 기하학적 변환이 수행됨 에스앤큐.

에스앤큐 = (비 1 + 비 2 + 비 3 + … + 비앤 –1 + 비앤)큐 = 비 2 + 비 3 + 비 4 + …+ 비앤+ 비앤큐 = 에스앤+ 비앤큐– 비 1 .

이런 식으로, 에스앤큐= 에스앤 +b n q – b 1 따라서

이것은 다음과 같은 공식입니다. 기하학적 진행의 umma n 멤버경우에 대해 큐≠ 1.

~에 큐= 1 공식은 별도로 도출할 수 없으며, 이 경우 에스앤= ㅏ 1 N.

기하학적 진행은 첫 번째를 제외한 각 항이 이전 및 후속 항의 기하 평균과 같기 때문에 명명됩니다. 실제로, 이후

b n = b n- 1 큐;

십억 = 십억+ 1 /큐,

따라서, 비앤 2= b n– 1 억 이상 1 및 다음 정리가 참입니다(기하학적 진행의 특성 속성).

숫자 시퀀스는 첫 번째(및 유한 시퀀스의 경우 마지막)를 제외한 각 항의 제곱이 이전 및 후속 항의 곱과 같은 경우에만 기하학적 진행입니다.

시퀀스 제한.

시퀀스( c n} = {1/N}. 이 시퀀스는 두 번째부터 시작하는 각 멤버가 이전 멤버와 후속 멤버 사이의 조화 평균이기 때문에 고조파라고 합니다. 숫자의 기하 평균 ㅏ그리고 비숫자가 있다

그렇지 않으면 시퀀스를 분기라고 합니다.

이 정의에 따라 예를 들어 극한의 존재를 증명할 수 있습니다. A=0고조파 시퀀스( c n} = {1/N). ε을 임의의 작은 양수라고 하자. 우리는 차이점을 고려합니다

그런게 있나요 N모두를 위해 n≥ N불평등 1 /N? 로 취하면 N보다 큰 임의의 자연수 1/ε , 그럼 모두를 위해 n ≥ N불평등 1 /n ≤ 1/N ε , Q.E.D.

특정 시퀀스에 대한 극한의 존재를 증명하는 것은 때때로 매우 어렵습니다. 가장 일반적인 시퀀스는 잘 연구되고 참고 도서에 나열됩니다. 이미 연구된 시퀀스를 기반으로 주어진 시퀀스에 한계가 있다는 결론(심지어 계산까지)을 가능하게 하는 중요한 정리가 있습니다.

정리 1. 시퀀스에 제한이 있으면 제한됩니다.

정리 2. 수열이 단조롭고 경계가 있으면 한계가 있습니다.

정리 3. 수열( 엔} 한계가 있다 ㅏ, 다음 시퀀스( 할 수 있다}, {엔+ 다) 그리고 (| 엔|} 한계가 있다 캘리포니아, ㅏ +씨, |ㅏ| 각각 (여기 씨임의의 숫자임).

정리 4. If 시퀀스( 엔} 그리고 ( 비앤) 다음과 같은 한계가 있습니다. ㅏ그리고 비 판 + 큐비엔) 한계가 있다 아빠+ 큐비.

정리 5. If 시퀀스( 엔) 그리고 ( 비앤) 다음과 같은 한계가 있습니다. ㅏ그리고 비각각 다음 시퀀스( 엔비엔) 한계가 있다 에이.

정리 6. If 시퀀스( 엔} 그리고 ( 비앤) 다음과 같은 한계가 있습니다. ㅏ그리고 비각각, 그리고 추가적으로 ㄴ ≠ 0과 나≠ 0, 다음 시퀀스( 엔/비엔) 한계가 있다 A/B.

안나 츄가이노바

실용 작업 No. 13

다양한 방법으로 숫자 시퀀스를 설정하고 시퀀스의 구성원을 계산합니다. 시퀀스의 한계 찾기 및 기능

표적:다양한 방법으로 숫자 시퀀스를 작성하고 속성을 설명하는 방법을 배웁니다. 시퀀스와 함수의 한계를 찾습니다.

간략한 이론

자연 인수 n(n=1; 2; 3; 4;...)의 함수 y=f(n)를 수열이라고 합니다.

숫자 시퀀스를 지정하는 방법은 다음과 같습니다.

구두 방식.단어로 설명되는 시퀀스의 구성원 배열에 대한 패턴 또는 규칙입니다.

분석적인 방법.시퀀스는 n번째 멤버의 공식으로 제공됩니다. y n = f(n). 이 공식을 사용하여 시퀀스의 모든 구성원을 찾을 수 있습니다.

재귀적 방법.각 다음 항을 이전 항을 통해 찾는 공식이 제공됩니다. 함수를 반복적으로 정의하는 경우 시퀀스의 첫 번째 멤버는 항상 하나 이상 추가로 지정됩니다.

수열이라고 합니다 증가, 해당 구성원이 증가하는 경우(n에서 n + 1에서) 구성원이 감소하는 경우 감소하다(n+1n의 경우).

증가 또는 감소하는 숫자 시퀀스를 단조로운.

선의 한 점을 양수로 둡니다. 간격을 점의 이웃이라고 하고 숫자를 이웃의 반지름이라고 합니다.

서수가 증가함에 따라 공통 항이 특정 숫자 b에 접근하는 숫자 시퀀스를 고려하십시오. N. 이 경우 수열에는 한계가 있다고 합니다. 이 개념에는 보다 엄격한 정의가 있습니다.

미리 선택된 점 b의 이웃에 어떤 숫자에서 시작하여 시퀀스의 모든 구성원이 포함되어 있으면 숫자 b를 시퀀스의 극한(y n)이라고 합니다.

정리 1 인 경우:

두 시퀀스의 합/차 한계는 후자가 존재하는 경우 각각의 한계의 합/차와 같습니다.

두 시퀀스의 곱의 극한은 요인의 극한이 존재하는 경우 각각의 극한의 곱과 같습니다.

두 시퀀스의 비율의 극한은 이러한 극한이 존재하고 분모의 극한이 0이 아닌 경우 각 극한의 비와 같습니다.

모든 자연 지표 m과 계수 k에 대해 관계는 참입니다.

정리 1 인 경우:

두 함수의 합/차의 극한은 후자가 존재하는 경우 각 극한의 합/차와 같습니다.

;

두 함수의 곱의 극한은 요인의 극한이 존재하는 경우 각 함수의 극한의 곱과 같습니다.

이러한 한계가 존재하고 분모의 한계가 0이 아닌 경우 두 함수의 비율의 한계는 각 한계의 비율과 같습니다.

상수 인자는 한계 부호에서 빼낼 수 있습니다.

함수 y=f(x)는 x가 a로 가는 경향이 있는 함수 y=f(x)의 극한이 점 x=a에서 함수의 값과 같으면 점 x=a에서 연속이라고 합니다.

첫 번째 놀라운 한계: .

교실 작업을 위한 실제 작업

수열을 분석적으로 정의하고 이 수열의 처음 5개 항을 찾습니다.

a) 각 자연수에는 반대 숫자가 할당됩니다.

b) 각 자연수에는 이 수의 제곱근이 할당됩니다.

c) 각 자연수에는 숫자 -5가 할당됩니다.

d) 각 자연수에는 제곱의 절반이 할당됩니다.

2. n번째 항에 대해 주어진 공식을 사용하여 시퀀스(y n)의 처음 5개 항을 계산합니다.

3. 순서가 제한되어 있습니까?

4. 시퀀스가 감소하거나 증가합니까?

5. 반지름이 r=0.5인 점 a=-3의 이웃을 간격으로 기록합니다.

6. 어떤 점과 어떤 반경이 간격(2,1; 2,3)인 이웃.

7. 시퀀스 제한을 계산합니다.

8. 계산:

독립적 인 일

옵션 1

파트 A

파트 B

파트 C

7. 계산:

옵션 2

파트 A

파트 B

6. 시퀀스 제한을 계산합니다.

파트 C

7. 계산:

옵션 3

파트 A

파트 B

6. 시퀀스 제한을 계산합니다.

파트 C

7. 계산:

옵션 4

파트 A

파트 B

6. 시퀀스 제한을 계산합니다.

파트 C

7. 계산:

시험 문제

수열이란 무엇입니까?

일련 번호를 지정하는 방법은 무엇입니까?

위로부터 경계를 이룬다고 하는 수열은 무엇입니까?

아래에서 경계라고 하는 시퀀스는 무엇입니까?

오름차순이란 무엇입니까?

내림차순이란 무엇입니까?

수열의 한계는 무엇입니까?

시퀀스의 극한을 계산하는 규칙을 나열하십시오.

함수의 극한을 계산하는 규칙을 나열하십시오.

대수학. 9학년
수업 #32
날짜:_____________
교사: 고르벤코 알레나 세르게예브나
주제: 숫자 시퀀스, 설정 방법 및 속성
수업 유형: 결합
수업의 목적 : 숫자 시퀀스의 개념과 정의를 제공하고 방법을 고려
숫자 시퀀스 할당
작업:
교육적: 학생들에게 숫자 시퀀스 및 구성원의 개념을 익히기 위해
숫자 시퀀스; 분석적, 언어적, 반복적 및
숫자 시퀀스를 설정하는 그래픽 방식; 숫자의 유형을 고려하십시오
시퀀스; EAEA 준비;
개발: 수학적 문해력, 사고력, 계산 기술, 기술 개발
수식을 선택할 때의 비교; 수학에 대한 관심을 심어주기;
교육: 독립적인 활동 기술 교육; 명확성과
직장에서의 조직; 모든 학생이 성공할 수 있도록 합니다.
준비물: 학용품, 칠판, 분필, 교과서, 유인물.
수업 중
I. 조직적 순간
 상호 인사;
 결석자 수정;
 수업 주제 발표;
 학생들이 수업의 목표와 목표를 설정합니다.
수열은 수학에서 가장 기본적인 개념 중 하나입니다. 시퀀스 수
숫자, 점, 함수, 벡터 등으로 구성됩니다.
오늘 수업에서 우리는 "숫자 시퀀스"의 개념에 대해 알게 될 것입니다.
시퀀스가 있을 수 있습니다. 유명한 시퀀스에 대해 알아보겠습니다.

Ⅱ. 기본 지식의 업데이트.
전체 숫자 라인 또는 연속된 숫자 라인에 정의된 함수를 알고 있습니까?
III.
간격:
선형 함수 y \u003d kx + v,
이차 함수 y \u003d ax2 + inx + c,


 기능 y =



 기능 y = |x|.
새로운 지식의 인식을 위한 준비
직접 비례 y \u003d kx,
반비례 y \u003d k / x,
3차 함수 y = x3,
,
그러나 다른 세트에 정의된 기능이 있습니다.
예시. 많은 가정에는 관습이 있습니다. 일종의 의식입니다. 아이의 생일에
부모는 그를 문틀로 데려가 생일 소년의 성장을 엄숙하게 축하합니다.
아이는 자라며 수년에 걸쳐 전체 사다리꼴의 표시가 잼에 나타납니다. 셋, 다섯, 둘: 이것은
해마다 성장의 순서. 그러나 다른 순서가 있습니다. 즉,
그 구성원은 세리프 옆에 조심스럽게 쓰여 있습니다. 이것은 일련의 성장 값입니다.
두 시퀀스는 서로 관련되어 있습니다.
두 번째는 첫 번째에서 더하여 얻습니다.
성장은 모든 이전 연도에 대한 이익의 합계입니다.
몇 가지 문제를 더 고려하십시오.
작업 1. 창고에 500톤의 석탄이 있고 매일 30톤이 배달됩니다.얼마나 많은 석탄이 나올까요?
재고가 1일? 2 일? 3일? 4일차? 5일차?
(학생들의 답은 칠판에 적었다: 500, 530, 560, 590, 620).
작업 2. 집중 성장 기간 동안 사람은 연간 평균 5cm 성장합니다. 지금 떠오르는
학생 S는 180cm인데 2026년에는 키가 얼마나 될까요? (2m 30cm). 그러나 이것은 안된다.
아마도. 왜요?
작업 3. 매일 인플루엔자에 걸린 모든 사람은 4명을 감염시킬 수 있습니다.
우리 학교 학생(300명) 전원이 몇일 안에 다 아플까? (4일 후).
다음은 자연수 집합에 정의된 함수의 예입니다.
시퀀스.
이 수업의 목표는 다음과 같습니다. 시퀀스의 구성원을 찾는 방법을 찾습니다.
수업 목표: 숫자 시퀀스가 무엇이며 어떻게
시퀀스.
IV. 새로운 자료 배우기
정의: 숫자 시퀀스는 집합에 정의된 함수입니다.
자연수(수열은 다음과 같은 자연의 요소를 구성합니다.
번호를 매길 수 있습니다).
수열의 개념은 의 교리가 창설되기 훨씬 이전에 발생하고 발전했습니다.
기능. 다음은 다시 알려진 무한 수열의 예입니다.
낡음:
1, 2, 3, 4, 5, : 자연수의 시퀀스;
2, 4, 6, 8, 10, : 짝수의 시퀀스;
1, 3, 5, 7, 9, : 홀수의 시퀀스;
1, 4, 9, 16, 25, : 자연수의 제곱 시퀀스;
2, 3, 5, 7, 11, : 소수의 시퀀스;
,
1,
이 시리즈 각각의 구성원 수는 무한합니다. 처음 다섯 시퀀스
, : 자연수의 역수열.
,
단조 증가, 후자는 단조 감소.

지정: y1, y2, y3, y4, y5,:
1, 2, 3, 4, 5, :p,:시퀀스 멤버의 시퀀스 번호.
(yn) 시퀀스, 시퀀스의 yn번째 멤버.
(an) 시퀀스, 시퀀스의 n번째 멤버.
1은 시퀀스의 이전 멤버이고,
시퀀스의 +1 후속 멤버.
수열은 유한하고 무한하며 증가하고 감소합니다.
학생들을 위한 과제: 순서의 처음 5개 구성원을 기록합니다.
첫 번째 자연수에서 3만큼 증가합니다.
10에서 2배 증가하고 1 감소합니다.
숫자 6에서 2 증가와 2 배 증가를 교대로 수행하십시오.
이러한 수열을 수열이라고도 합니다.
시퀀싱 방법:
구두 방식.
순서 규칙은 공식이나 공식 없이 단어로 설명됩니다.
시퀀스의 요소 사이에 규칙성이 없을 때.
예 1. 소수의 시퀀스: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .... .
예 2. 임의의 숫자 집합: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ... .
예 3. 짝수의 시퀀스 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...
분석적인 방법.
수식을 사용하여 시퀀스의 n번째 요소를 결정할 수 있습니다.
예 1. 짝수의 시퀀스: y = 2n.
예 2. 자연수의 제곱의 수열: y = n2;
1, 4, 9, 16, 25, ..., n2, ...
예 3. 고정 시퀀스: y = C; 씨, 씨, 씨, ..., 씨, ...
특별한 경우: y = 5; 5, 5, 5, ..., 5, ...
예 4. 시퀀스 y = 2n;
2, 22, 23, 24, ..., 2n, ...
재귀적 방법.
다음과 같은 경우 시퀀스의 n번째 요소를 계산할 수 있는 규칙이 지정됩니다.
이전 요소가 알려져 있습니다.
예 1. 산술 진행: a1=a, an+1=an+d, 여기서 a와 d는 숫자, d
산술 진행의 차이. a1=5, d=0.7이라고 하면 산술 진행
다음과 같이 보일 것입니다: 5; 5.7; 6.4; 7.1; 7.8; 8.5; ... .
예 2. 기하학적 진행: b1= b, bn+1= bnq, 여기서 b와 q는 숫자, b
0,
0; q는 기하학적 진행의 분모입니다. b1=23, q=½, 기하
큐
진행 상황은 다음과 같습니다. 23; 11.5; 5.75; 2.875; ... .
4) 그래픽 방식. 숫자 시퀀스
다음과 같은 그래프로 주어진다.
고립 된 점입니다. 이 점들의 횡좌표는 자연스럽습니다.
숫자: n=1; 2; 삼; 네; ... . 오디네이트 - 멤버 값
시퀀스: a1; 가2; 가3; 에이4;…
예: 숫자 시퀀스의 5개 요소를 모두 기록하고,
그래픽 방식으로 제공됩니다.
해결책.
이 좌표평면의 각 점은
좌표(n; an). 표시된 점의 좌표를 기록하십시오
오름차순 가로 좌표 n.
우리는 (1, 3), (2, 1), (3, 4), (4, 6), (5, 7)을 얻습니다.
따라서 a1=3; a2=1; a3=4; a4=6; 5=7.

답: 3; 하나; 네; 6; 7.
V. 연구 자료의 1차 통합
예 1. 시퀀스(yn)의 n번째 요소에 대해 가능한 공식을 작성하십시오.
a) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...
b) 4, 8, 12, 16, 20, ...;
해결책.
a) 홀수의 연속입니다. 분석적으로 이 시퀀스는
공식 y = 2n+1로 설정됩니다.
b) 이것은 다음 요소가 이전 요소보다 큰 숫자 시퀀스입니다.
4. 분석적으로, 이 시퀀스는 공식 y = 4n으로 주어질 수 있습니다.
예 2. 반복적으로 주어진 시퀀스의 처음 10개 요소를 작성하십시오: y1=1,
y2=2, yn = yn2+yn1 if n = 3, 4, 5, 6, ... .
해결책.
이 시퀀스의 각 후속 요소는 이전 두 요소의 합과 같습니다.
집단.
y1=1;
y2=2;
y3=1+2=3;
y4=2+3=5;
y5=3+5=8;
y6=5+8=13;
y7=8+13=21;
y8=13+21=34;
y9=21+34=55;
y10=34+55=89.
VI. 수업을 요약합니다. 반사
1. 작업을 완료하는 데 성공한 것은 무엇입니까?
2. 작업이 조정되었습니까?
3. 당신이 생각하기에 옳지 않은 것은 무엇입니까?

2. 두 개의 극단 숫자에서 평균을 얻은 산술 연산을 결정하고 * 기호 대신 누락 된 숫자 8을 삽입하십시오.

3. 학생들은 누락된 숫자를 찾는 데 필요한 과제를 해결했습니다. 그들은 다른 대답을 얻었습니다. 사람들이 셀을 채우는 규칙을 찾으십시오. 작업 답변 1 답변

수열의 정의 어떤 법칙에 따라 어떤 수(수열의 구성원)가 임의의 자연수(자리수)에 고유하게 할당되면 수열이 주어진다고 합니다. 일반적으로 이 대응은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, ..., y n, ... ... n ... 숫자 n은 n- 시퀀스의 th 멤버. 전체 시퀀스는 일반적으로 (y n)으로 표시됩니다.

수열을 지정하는 분석적 방법 n번째 멤버의 공식이 지정되면 수열이 분석적으로 지정됩니다. 예를 들어, 1) y n= n 2 - 시퀀스 1, 4, 9, 16, ...의 분석 할당 2) y n= С - 상수(고정) 시퀀스 2) y n= 2 n - 시퀀스 2의 분석 할당 , 4, 8, 16, ... 585 풀기

숫자 시퀀스를 지정하는 재귀적 방법 시퀀스를 지정하는 반복적인 방법은 이전 항이 알려진 경우 n번째 항을 계산할 수 있는 규칙을 나타내는 것입니다. , b n + 1 \u003d b n * q

앵커링 591, 592(a, b) 594, – 614(a)

상한 수열(y n)은 모든 구성원이 기껏해야 어떤 수인 경우 위에서부터 경계라고 합니다. 즉, 임의의 n에 대해 부등식 y n M이 유지되는 숫자 M이 있는 경우 시퀀스(y n)는 위에서부터 경계가 지정됩니다. M은 시퀀스의 상한입니다(예: -1, -4, -9, -16, …, -n 2, …

아래에서 경계 수열(y n)은 모든 구성원이 최소한 일부 숫자인 경우 아래에서 경계라고 합니다. 즉, 임의의 n에 대해 부등식 y n m이 유지되는 수 m이 존재하는 경우 시퀀스(y n)는 위에서부터 경계가 지정됩니다. m은 시퀀스의 하한입니다. 예: 1, 4, 9, 16, …, n 2, …

수열의 경계 수열(y n)은 수열의 모든 구성원이 그 사이에 있는 두 개의 숫자 A와 B를 지정할 수 있는 경우 경계라고 합니다. 부등식 Ay n B A는 하한, B는 상한 예를 들어 1은 상한, 0은 하한

감소 시퀀스 시퀀스의 각 멤버가 이전 멤버보다 작은 경우 시퀀스를 감소라고 합니다. y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > ... > y n > ... 예를 들어, y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … 예: "> y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … 예:"> y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > ... > y n > ... 예를 들어," title="(!LANG:내림차순 시퀀스 각 구성원이 이전 구성원보다 작은 경우 시퀀스를 감소라고 합니다. y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > ... 예를 들어,"> title="감소 시퀀스 시퀀스의 각 멤버가 이전 멤버보다 작은 경우 시퀀스를 감소라고 합니다. y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > ... > y n > ... 예를 들어,"> !} 23

검증 작업 옵션 1옵션 2 1. 숫자 시퀀스는 공식으로 제공됩니다. a) 이 시퀀스의 처음 4개 항을 계산합니다. b) 숫자가 시퀀스의 구성원입니까? b) 숫자 12.25는 수열의 구성원입니까? 2. 수열 2, 5, 10, 17, 26,…1, 2, 4, 8, 16,…

숫자 시퀀스는 숫자 함수의 특수한 경우이므로 함수의 여러 속성도 시퀀스에 대해 고려됩니다.

1. 정의 . 하위 시퀀스( 니 엔} 각 항(첫 번째 항 제외)이 이전 항보다 크면 증가라고 합니다.

와이 1 < 와이 2 < 와이 3 < … < 니 엔 < 니 엔+1 < ….

2. 정의.순서( 니 엔} 각 항(첫 번째 항 제외)이 이전 항보다 작으면 감소라고 합니다.

와이 1 > 와이 2 > 와이 3 > … > 니 엔> 니 엔+1 > … .

3. 증가 및 감소 시퀀스는 공통 용어인 단조 시퀀스로 통합됩니다.

예를 들어: 와이 1 = 1; 니 엔= N 2… 는 증가하는 수열입니다. 와이 1 = 1; 내림차순입니다. 와이 1 = 1; – 이 시퀀스는 증가하지 않고 감소하지 않습니다.

4. 정의. 어떤 n에서 시작하여 yn = yn+T가 성립하는 자연수 T가 존재하는 경우 시퀀스를 주기적이라고 합니다. 숫자 T를 주기 길이라고 합니다.

5. 시퀀스의 모든 구성원이 최소한 일부 숫자인 경우 시퀀스는 아래에서 경계라고 합니다.

6. 시퀀스의 모든 구성원이 기껏해야 어떤 수인 경우 시퀀스는 위에서부터 경계가 지정된다고 합니다.

7. 시퀀스가 위와 아래 모두에 경계가 있는 경우 경계라고 합니다. 주어진 수열의 모든 항이 절대값에서 이 수를 초과하지 않는 양수가 있습니다. (그러나 양쪽에 제한이 있다고 해서 반드시 유한한 것은 아닙니다.)

8. 시퀀스에는 하나의 제한만 있을 수 있습니다.

9. 위에 경계가 지정된 모든 비감소 시퀀스에는 한계(lim)가 있습니다.

10. 아래 경계에 있는 비증가 시퀀스에는 제한이 있습니다.

수열의 한계는 수열의 대다수 구성원이 위치하는 부근의 점(숫자)이며, 이 한계에 가깝게 접근하지만 도달하지 않습니다.

기하 및 산술 진행은 시퀀스의 특별한 경우입니다.

시퀀싱 방법:

시퀀스는 다양한 방식으로 지정할 수 있으며 그 중 분석, 설명 및 반복의 세 가지가 특히 중요합니다.

1. n 번째 구성원의 공식이 주어진 경우 시퀀스는 분석적으로 제공됩니다.

예시. yn \u003d 2n - 1 - 홀수 시퀀스: 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. 숫자 시퀀스를 설정하는 기술적인 방법은 시퀀스가 구성되는 요소를 설명하는 것입니다.

예 1. "시퀀스의 모든 구성원은 1과 같습니다." 이것은 우리가 고정 수열 1, 1, 1, …, 1, …

3. 시퀀스를 지정하는 반복적인 방법은 이전 멤버가 알려진 경우 시퀀스의 n번째 멤버를 계산할 수 있도록 하는 규칙이 표시된다는 것입니다. recurrent method라는 이름은 라틴어 recurrere에서 유래했습니다. 대부분의 경우 이러한 경우 시퀀스의 n번째 멤버를 이전 멤버와 관련하여 표현할 수 있는 공식이 표시되고 시퀀스의 1-2개의 초기 멤버가 지정됩니다.

예 1. y1 = 3; yn = yn–1 + 4 if n = 2, 3, 4,….

여기서 y1 = 3; y2 = 3 + 4 = 7; y3 = 7 + 4 = 11; …

이 예에서 얻은 시퀀스도 분석적으로 지정할 수 있음을 알 수 있습니다. yn = 4n – 1.

실시예 2 와이 1 = 1; 와이 2 = 1; 니 엔 = 니 엔–2 + 니 엔-1 경우 N = 3, 4,….

여기: 와이 1 = 1; 와이 2 = 1; 와이 3 = 1 + 1 = 2; 와이 4 = 1 + 2 = 3; 와이 5 = 2 + 3 = 5; 와이 6 = 3 + 5 = 8;

피보나치 역사:

피보나치(피사의 레오나르도), c. 1175-1250

이탈리아의 수학자. 피사에서 태어나 중세 후기 유럽 최초의 위대한 수학자가 되었습니다. 그를 수학으로 이끈 것은 비즈니스 인맥을 구축해야 하는 실질적인 필요성이었습니다. 그는 산술, 대수학 및 기타 수학 분야에 관한 책을 출판했습니다. 그는 이슬람 수학자로부터 인도에서 발명되고 아랍 세계에서 이미 채택된 숫자 체계에 대해 배웠고 그 우수성을 확신했습니다(이 숫자는 현대 아라비아 숫자의 선구자임).

피보나치로 알려진 피사의 레오나르도는 중세 후기의 최초의 위대한 유럽 수학자입니다. 피사에서 부유한 상인 가정에서 태어난 그는 비즈니스 관계를 구축하기 위해 순수하게 실용적인 필요를 통해 수학에 입문했습니다. 젊었을 때 Leonardo는 출장을 아버지와 함께 많이 여행했습니다. 예를 들어, 우리는 그가 비잔티움과 시칠리아에 오래 머물렀다는 사실을 알고 있습니다. 그러한 여행 동안 그는 지역 과학자들과 많은 교류를 했습니다.

오늘날 그의 이름을 딴 수열은 Fibonacci가 1202년에 쓴 Liber abacci에서 설명한 토끼 문제에서 비롯되었습니다.

한 남자가 사방이 벽으로 둘러싸인 우리에 한 쌍의 토끼를 넣었습니다. 매월 두 번째부터 한 쌍의 토끼가 한 쌍의 토끼를 낳는 것으로 알려진 경우이 쌍은 1 년에 몇 쌍의 토끼를 낳을 수 있습니까?

다음 달의 다음 12개월 각각의 커플 수가 각각 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

즉, 토끼 쌍의 수는 시리즈를 생성하며 각 항은 앞의 두 항의 합입니다. 피보나치 수열이라고 하며 숫자 자체가 피보나치 수입니다. 이 수열에는 수학적으로 흥미로운 속성이 많이 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다. 더 큰 부분과 더 작은 부분 사이의 비율이 전체 선과 큰 부분 사이의 비율에 비례하도록 선을 두 부분으로 나눌 수 있습니다. 이 비례 계수는 대략 1.618과 같으며 황금 비율로 알려져 있습니다. 르네상스 시대에는 건축 구조에서 관찰되는 이 비율이 가장 눈에 좋다고 믿었습니다. 연속적인 피보나치 쌍을 취하고 각 쌍의 큰 수를 작은 쌍으로 나누면 결과가 점차 황금 비율에 가까워집니다.

피보나치가 그의 수열을 발견한 이후로 이 수열이 중요한 역할을 하는 것처럼 보이는 자연 현상도 발견되었습니다. 그 중 하나는 phyllotaxis (잎 배열)입니다. 예를 들어 씨앗이 해바라기 꽃차례에 위치하는 규칙입니다. 해바라기 씨는 두 개의 나선으로 배열됩니다. 각 나선의 씨앗 수를 나타내는 숫자는 놀라운 수학적 순서의 구성원입니다. 씨앗은 나선형으로 두 줄로 배열되어 있는데, 그 중 하나는 시계 방향으로, 다른 하나는 반대 방향입니다. 그리고 각각의 경우에 종자의 수는 얼마입니까? 34와 55.

작업 #1:

시퀀스의 처음 5개 항을 쓰십시오.

1. n \u003d 2 n + 1/2 n

및 n \u003d 2 n + 1/2 n

작업 번호 2:

3의 배수인 수열의 공통항에 대한 공식을 작성하십시오.

답: 0,3,6,9,12,15,.... 3n, 그리고 n = 3n

작업 번호 3:

4로 나누었을 때 나머지가 1인 수열의 공통항에 대한 공식을 쓰십시오.

답: 5,9,13,17,21....... 4 n +1 및 n = 4n+1

19번. 기능.

기능(표시, 연산자, 변환)은 집합 요소 간의 관계를 반영하는 수학적 개념입니다. 함수는 한 집합의 각 요소(정의 영역이라고 함)에 다른 집합의 일부 요소(값 영역이라고 함)가 할당되는 "법칙"이라고 말할 수 있습니다.

함수는 한 변수가 다른 변수에 종속되는 것입니다. 즉, 수량 간의 관계입니다.

함수의 수학적 개념은 한 양이 다른 양의 값을 어떻게 완전히 결정하는지에 대한 직관적인 아이디어를 표현합니다. 따라서 변수 x의 값은 표현식의 값을 고유하게 결정하고 월의 값은 다음 달의 값을 고유하게 결정하며 어떤 사람도 다른 사람, 즉 그의 아버지와 비교할 수 있습니다. 유사하게, 다양한 입력 데이터가 주어지면 일부 선입견 알고리즘은 특정 출력 데이터를 생성합니다.

종종 "함수"라는 용어는 수치 함수를 나타냅니다. 즉, 일부 숫자를 다른 숫자와 일치시키는 기능입니다. 이러한 기능은 그래프 형태로 도면에 편리하게 표시됩니다.

다른 정의가 주어질 수 있습니다. 함수는 특정 동작변수 이상.

이것은 우리가 값을 취하고, 그것으로 어떤 행동을 한다는 것을 의미합니다(예를 들어, 그것을 제곱하거나 로그를 계산합니다) - 그리고 우리는 값을 얻습니다.

교과서에서 가장 흔히 볼 수 있는 함수의 또 다른 정의를 살펴보겠습니다.

함수는 두 집합 간의 대응이며 첫 번째 집합의 각 요소는 두 번째 집합의 단 하나의 요소에 해당합니다.

예를 들어, 함수는 각 실수에 의 두 배 큰 숫자를 할당합니다.

x에 대해 대체된 F의 요소 집합을 정의 영역이라고 하고 일부 F의 요소 y 집합을 값의 범위라고 합니다.

기간 기록:

"기능"이라는 용어(약간 좁은 의미에서)는 라이프니츠(1692)에 의해 처음 사용되었습니다. 차례로 요한 베르누이(Johann Bernoulli)는 같은 라이프니츠에게 보낸 편지에서 이 용어를 현대에 더 가까운 의미로 사용했습니다. 처음에 함수의 개념은 분석적 표현의 개념과 구별할 수 없었습니다. 그 후, 오일러(1751)에 의해 주어진 기능의 정의가 나타났고, 그 후 - 라크루아(1806)에 의해 - 거의 현대적인 형태로 나타났습니다. 마지막으로 함수에 대한 일반적인 정의(현대적 형식이지만 수치 함수의 경우)는 Lobachevsky(1834)와 Dirichlet(1837)에 의해 제공되었습니다. 19세기 말까지 함수의 개념은 수치 체계의 범위를 넘어섰습니다. 벡터 함수는 이를 수행한 최초의 함수였으며 Frege는 곧 논리 함수를 도입했으며(1879), 집합 이론이 등장한 후 Dedekind(1887)와 Peano(1911)는 현대 보편적 정의를 공식화했습니다.

20번. 기능을 설정하는 방법.

함수를 정의하는 4가지 방법이 있습니다.

1. 표아주 일반적인 것은 개별 테이블을 설정하는 것입니다.

인수 값 및 해당 기능 값. 함수를 정의하는 이 방법은 함수의 영역이 이산 유한 집합일 때 사용됩니다.

f가 유한 집합이면 편리하지만 f가 무한이면 선택된 쌍(x, y)만 표시됩니다.

함수를 지정하는 표 형식의 방법을 사용하면 표에 포함되지 않고 인수의 중간 값에 해당하는 함수의 값을 대략적으로 계산할 수 있습니다. 이렇게하려면 보간 방법을 사용하십시오.

장점: 정확도, 속도, 값 테이블에서 원하는 기능 값을 쉽게 찾을 수 있습니다. 함수를 지정하는 표 형식의 장점은 추가 측정이나 계산 없이 특정 특정 값을 한 번에 결정할 수 있다는 것입니다.

결점: 불완전, 가시성 부족. 어떤 경우에는 테이블이 함수를 완전히 정의하지 않고 인수의 일부 값에 대해서만 정의하고 인수의 변경에 따른 함수의 변경 특성에 대한 시각적 표현을 제공하지 않습니다.

2. 분석적(방식). 대부분의 경우, 다음 사이의 연결을 설정하는 법률

인수 및 기능은 공식을 통해 지정됩니다. 함수를 정의하는 이러한 방식을 분석적이라고 합니다. MA(미분, 적분)의 방법이 이러한 설정 방식을 제안하기 때문에 MA(수학 분석)에서 가장 중요합니다. 동일한 기능이 다른 공식으로 주어질 수 있습니다. 와이=∣sin( 엑스)∣와이=√1−cos2( 엑스) 때로는 도메인의 다른 부분에서 정의되는 기능이 다른 공식으로 주어질 수 있습니다. 에프(엑스)={에프 1(엑스),엑스∈디 1 fn(엑스),엑스∈Dn ∪엔크=1다크=디(에프) . 종종 이 함수 정의 방법에서는 정의 영역이 표시되지 않고 정의 영역이 자연 정의 영역으로 이해됩니다. 함수가 실제 값을 취하는 모든 x 값의 집합입니다.

이 방법을 사용하면 인수 x의 각 숫자 값이 함수 y의 해당 숫자 값을 정확히 또는 어느 정도 정확하게 찾을 수 있습니다.

함수를 정의하는 분석적 방법의 특별한 경우는 F(x,y)=0 형식의 방정식으로 함수를 정의하는 것입니다. (1) 이 방정식이 ∀ 엑스∈D만 일치 와이, 그렇게 에프(엑스,와이)=0이면 D의 방정식 (1)이 암시적으로 함수를 정의한다고 합니다. 함수를 정의하는 또 다른 특별한 경우는 각 쌍( 엑스,와이)∈에프한 쌍의 기능을 사용하여 설정 엑스=ϕ( 티),와이=ψ( 티) 어디 티∈중.

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