알려진 경우 산술 진행의 차이를 찾는 방법. 산술 진행

예를 들어, 시퀀스 \(2\); \(5\); \(여덟\); \(열하나\); \(14\)… 는 산술 진행입니다. 각각의 다음 요소가 이전 요소와 3만큼 다르기 때문입니다(3을 추가하여 이전 요소에서 얻을 수 있음).

이 진행에서 차이 \(d\)는 양수(\(3\)와 같음)이므로 각 다음 항은 이전 항보다 큽니다. 이러한 진행을 증가.

그러나 \(d\)는 음수일 수도 있습니다. 예를 들어, 산술 진행 \(16\); \(십\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… 진행 차이 \(d\)는 마이너스 6과 같습니다.

그리고 이 경우 각 다음 요소는 이전 요소보다 작습니다. 이러한 진행을 감소.

산술 진행 표기법

진행은 작은 라틴 문자로 표시됩니다.

진행을 형성하는 숫자를 회원(또는 요소).

그것들은 산술 진행과 같은 문자로 표시되지만 순서대로 요소 번호와 동일한 숫자 인덱스가 있습니다.

예를 들어, 산술 진행 \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)은 \(a_1=2\) 요소로 구성됩니다. \(a_2=5\); \(a_3=8\) 등등.

즉, 진행에 대해 \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

산술 진행 문제 풀기

원칙적으로 위의 정보는 산술 진행에 관한 거의 모든 문제(OGE에서 제공되는 문제 포함)를 풀기에 이미 충분합니다.

예(OGE). 산술 진행조건 \(b_1=7; d=4\)에 의해 주어진다. \(b_5\)를 찾습니다.
해결책:

대답: \(b_5=23\)

예(OGE). 산술 진행의 처음 세 항은 다음과 같습니다. \(62; 49; 36…\) 이 진행의 첫 번째 음수 항의 값을 찾으십시오.
해결책:

	우리는 시퀀스의 첫 번째 요소를 받았고 그것이 산술적 진행이라는 것을 압니다. 즉, 각 요소는 인접한 요소와 동일한 번호로 다릅니다. 다음 요소에서 이전 요소를 빼서 어느 것을 찾으십시오: \(d=49-62=-13\).
	이제 원하는(첫 번째 부정적인) 요소로 진행 상황을 복원할 수 있습니다.
	준비가 된. 답변을 작성할 수 있습니다.

대답: \(-3\)

예(OGE). 산술 진행의 여러 연속 요소가 제공됩니다. \(...5; x; 10; 12.5...\) 문자 \(x\)로 표시된 요소의 값을 찾으십시오.
해결책:

	\(x\)를 찾으려면 다음 요소가 이전 요소와 얼마나 다른지, 즉 진행 차이를 알아야 합니다. 알려진 두 개의 인접 요소인 \(d=12.5-10=2.5\)에서 찾아보겠습니다.
	이제 우리는 문제 없이 원하는 것을 찾았습니다: \(x=5+2.5=7.5\).
	준비가 된. 답변을 작성할 수 있습니다.

대답: \(7,5\).

예(OGE). 산술 진행은 다음 조건에 의해 제공됩니다. \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) 이 진행의 처음 6개 항의 합을 구하십시오.
해결책:

	진행의 처음 6개 항의 합을 찾아야 합니다. 그러나 우리는 그 의미를 알지 못하며 첫 번째 요소만 제공됩니다. 따라서 우리는 먼저 주어진 값을 사용하여 값을 차례로 계산합니다. \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) 그리고 필요한 6가지 요소를 계산한 후 그 합을 찾습니다.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	요청한 금액을 찾았습니다.

대답: \(S_6=9\).

예(OGE). 산술 진행에서 \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). 이 진행의 차이점을 찾으십시오.
해결책:

대답: \(d=7\).

중요한 산술 진행 공식

보시다시피, 많은 산술 진행 문제는 주요 사항을 이해함으로써 간단히 해결할 수 있습니다. 산술 진행은 숫자의 사슬이며 이 사슬의 각 다음 요소는 이전 숫자에 동일한 숫자를 더하여 얻습니다(차이 진행).

그런데 가끔 '이마에' 해결하기가 매우 불편한 상황이 있습니다. 예를 들어 첫 번째 예에서 다섯 번째 요소 \(b_5\)가 아니라 삼백팔십육 번째 \(b_(386)\)를 찾아야 한다고 상상해 보십시오. 그것은 무엇입니까, 우리 \ (385 \) 번 더하기 4? 또는 끝에서 두 번째 예에서 처음 73개 요소의 합을 찾아야 한다고 상상해 보십시오. 계산이 헷갈리네요...

따라서 이러한 경우 "이마"를 풀지 않고 산술 진행을 위해 파생 된 특수 공식을 사용합니다. 그리고 주요 것들은 진행의 n번째 항에 대한 공식과 첫 번째 항의 합 \(n\)에 대한 공식입니다.

\(n\)번째 멤버에 대한 공식: \(a_n=a_1+(n-1)d\), 여기서 \(a_1\)는 진행의 첫 번째 멤버입니다.
\(n\) – 필요한 요소의 번호.
\(a_n\)은 숫자 \(n\)를 가진 진행의 구성원입니다.

이 공식을 사용하면 첫 번째 요소와 진행 차이만 알고 최소 300분의 1, 심지어 100만 번째 요소를 빠르게 찾을 수 있습니다.

예시. 산술 진행은 조건에 의해 주어집니다: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). \(b_(246)\)를 찾으십시오.
해결책:

대답: \(b_(246)=1850\).

처음 n개 항의 합에 대한 공식은 다음과 같습니다. \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), 여기서

\(a_n\)은 마지막으로 합산된 항입니다.

예(OGE). 산술 진행은 조건 \(a_n=3.4n-0.6\)에 의해 주어집니다. 이 진행의 첫 번째 \(25\) 항의 합을 구하십시오.
해결책:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		처음 25개 요소의 합을 계산하려면 첫 번째 항과 25번째 항의 값을 알아야 합니다. 우리의 진행은 숫자에 따라 n번째 항의 공식에 의해 주어집니다(자세한 내용 참조). \(n\)을 1로 바꾸어 첫 번째 요소를 계산해 보겠습니다.
\(n=1;\) \(a_1=3.4 1-0.6=2.8\)		이제 \(n\) 대신 25를 대입하여 25번째 항을 구해 봅시다.
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4 25-0.6=84.4\)		자, 이제 문제없이 필요한 금액을 계산합니다.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		답변이 준비되었습니다.

대답: \(S_(25)=1090\).

첫 번째 항의 합 \(n\)에 대해 다른 공식을 얻을 수 있습니다. \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ \(a_n\) 대신 (\cdot 25\ ) 공식을 \(a_n=a_1+(n-1)d\)로 대체하십시오. 우리는 다음을 얻습니다.

처음 n개 항의 합에 대한 공식은 다음과 같습니다. \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), 여기서

\(S_n\) – 첫 번째 요소의 필수 합계 \(n\)입니다.
\(a_1\)는 합산할 첫 번째 항입니다.
\(d\) – 진행 차이;
\(n\) - 합계의 요소 수입니다.

예시. 산술 진행의 첫 번째 \(33\)-ex 항의 합을 찾으십시오. \(17\); \(15,5\); \(십사\)…
해결책:

대답: \(S_(33)=-231\).

더 복잡한 산술 진행 문제

이제 거의 모든 산술 진행 문제를 해결하는 데 필요한 모든 정보를 얻었습니다. 수식을 적용할 뿐만 아니라 조금 생각을 해봐야 하는 문제를 생각하면서 주제를 마치도록 합시다(수학에서는 유용할 수 있어요☺)

예(OGE). 진행의 모든 ​​음수 항의 합계를 찾으십시오. \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
해결책:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		작업은 이전 작업과 매우 유사합니다. 같은 방식으로 풀기 시작합니다. 먼저 \(d\)를 찾습니다.
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		이제 합계에 대한 공식에 \(d\)를 대입하고 ... 여기에 작은 뉘앙스가 나타납니다. \(n\)을 모릅니다. 즉, 얼마나 많은 용어를 추가해야 하는지 알 수 없습니다. 알아내는 방법? 생각 해봐. 첫 번째 긍정적인 요소에 도달하면 요소 추가를 중지합니다. 즉, 이 요소의 번호를 알아야 합니다. 어떻게? 산술 진행의 모든 ​​요소를 ​​계산하는 공식을 적어 보겠습니다. 이 경우 \(a_n=a_1+(n-1)d\)입니다.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1) 0.3\)		0보다 크려면 \(a_n\)이 필요합니다. 이것이 무슨 일이 일어나는지 알아봅시다.
\(-19.3+(n-1) 0.3>0\)
\((n-1) 0.3>19.3\) \(|:0.3\)		우리는 부등식의 양쪽을 \(0,3\)으로 나눕니다.
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		우리는 표지판을 변경하는 것을 잊지 않고 마이너스 1을 전송합니다.
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		컴퓨팅...
\(n>65,333…\)		...그리고 첫 번째 긍정적인 요소번호는 \(66\)입니다. 따라서 마지막 음수는 \(n=65\)입니다. 만일의 경우를 대비하여 확인해 보겠습니다.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1) 0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1) 0.3=0.2\)		따라서 첫 번째 \(65\) 요소를 추가해야 합니다.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		답변이 준비되었습니다.

대답: \(S_(65)=-630.5\).

예(OGE). 산술 진행은 다음 조건에 의해 제공됩니다. \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)번째에서 \(42\) 요소까지의 합계를 찾습니다.
해결책:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	이 문제에서도 요소의 합을 찾아야 하지만 첫 번째부터 시작하는 것이 아니라 \(26\)번째부터 시작해야 합니다. 이에 대한 공식이 없습니다. 결정하는 방법? 쉬움 - \(26\)th에서 \(42\)th까지의 합계를 구하려면 먼저 \(1\)th에서 \(42\)th까지의 합계를 찾은 다음, 다음에서 합계를 빼야 합니다. 첫 번째에서 \ (25 \) 일 (그림 참조).
	우리의 진행 \(a_1=-33\) 및 차이 \(d=4\)에 대해 (결국 우리는 다음 요소를 찾기 위해 이전 요소에 4를 추가합니다). 이것을 알면 첫 번째 \(42\)-uh 요소의 합을 찾습니다.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	이제 첫 번째 \(25\) 번째 요소의 합입니다.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	그리고 마지막으로 답을 계산합니다.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

대답: \(S=1683\).

산술 진행의 경우 실용적인 유용성이 낮기 때문에 이 기사에서 고려하지 않은 공식이 몇 가지 더 있습니다. 그러나 쉽게 찾을 수 있습니다.

주목!
추가로 있습니다
특별 섹션 555의 자료.
강하게 "별로..."
그리고 "매우 ..."하는 사람들을 위해)

산술 진행은 각 숫자가 이전 숫자보다 같은 양만큼 큰(또는 작은) 일련의 숫자입니다.

이 주제는 종종 어렵고 이해할 수 없습니다. 문자 인덱스, n번째 용어진행, 진행의 차이 - 이 모든 것이 어쩐지 혼란스럽습니다. 예... 산술 진행의 의미를 알아내자. 그러면 모든 것이 즉시 해결될 것입니다.)

산술 진행의 개념입니다.

산술 진행은 매우 간단하고 명확한 개념입니다. 의심? 헛된 것입니다.) 직접보십시오.

나는 끝나지 않은 일련의 숫자를 쓸 것입니다.

1, 2, 3, 4, 5, ...

이 줄을 연장할 수 있습니까? 5 다음에는 어떤 숫자가 나올까요? 모두 ... 어 ... 간단히 말해서 모든 사람은 숫자 6, 7, 8, 9 등이 더 멀리 갈 것이라는 것을 알게 될 것입니다.

작업을 복잡하게 합시다. 나는 미완성 일련의 숫자를 제공합니다.

2, 5, 8, 11, 14, ...

패턴을 잡고 시리즈를 확장하고 이름을 지정할 수 있습니다. 제칠행 번호?

이 숫자가 20이라는 것을 알았다면 축하합니다! 당신은 느꼈을 뿐만 아니라 키 포인트산술 진행,비즈니스에서도 성공적으로 사용했습니다! 이해가 안 되시면 계속 읽으세요.

이제 감각의 핵심을 수학으로 번역해보자.)

첫 번째 핵심 포인트.

산술 진행은 일련의 숫자를 처리합니다.이것은 처음에는 혼란스럽습니다. 우리는 방정식을 풀고 그래프를 작성하는 데 익숙합니다. 그런 다음 시리즈를 확장하고 시리즈의 수를 찾습니다.

괜찮아. 진보는 수학의 새로운 분야를 처음 접하는 것뿐입니다. 이 섹션은 "시리즈"라고 하며 일련의 숫자 및 표현식으로 작동합니다. 그것에 익숙해.)

두 번째 핵심 포인트.

산술 진행에서 임의의 숫자는 이전 숫자와 다릅니다. 같은 금액으로.

첫 번째 예에서 이 차이는 1입니다. 당신이 어떤 숫자를 취하든, 그것은 이전 숫자보다 하나 더 많습니다. 두 번째 - 세. 모든 숫자는 이전 숫자보다 3배 더 큽니다. 실제로 패턴을 포착하고 후속 숫자를 계산할 수 있는 기회를 제공하는 것은 바로 이 순간입니다.

세 번째 핵심 포인트.

이 순간은 눈에 띄지 않습니다. 그렇습니다 ... 그러나 매우, 매우 중요합니다. 그는 다음과 같습니다. 각 진행 번호가 제자리에 있습니다.첫 번째 숫자가 있고, 일곱 번째 숫자가 있고, 마흔다섯 번째 숫자가 있습니다. 무작정 혼동하면 패턴이 사라집니다. 산술 진행도 사라집니다. 일련의 숫자일 뿐입니다.

그게 요점입니다.

물론 에서 새로운 주제새로운 용어와 표기법이 나타납니다. 그들은 알아야 합니다. 그렇지 않으면 작업을 이해하지 못할 것입니다. 예를 들어 다음과 같이 결정해야 합니다.

a 2 = 5, d = -2.5인 경우 산술 진행(an)의 처음 6개 항을 기록합니다.

영감을 주나요?) 편지, 일부 색인... 그런데 그 작업은 이보다 더 쉬울 수 없습니다. 용어와 표기법의 의미를 이해하기만 하면 됩니다. 이제 우리는이 문제를 마스터하고 작업으로 돌아갈 것입니다.

용어 및 명칭.

산술 진행각 숫자가 이전 숫자와 다른 일련의 숫자입니다. 같은 금액으로.

이 값을 . 이 개념을 더 자세히 다루겠습니다.

산술 진행 차이.

산술 진행 차이모든 진행 번호가 증가하는 양입니다. 더이전 것.

하나 중요한 점. 말씀에 주목해주세요 "더".수학적으로 이것은 각 진행 번호가 얻어짐을 의미합니다. 첨가이전 숫자에 대한 산술 진행의 차이.

계산하자면 초행의 번호, 그것은 필요합니다 첫 번째숫자 추가하다산술 진행의 바로 이 차이. 계산을 위해 다섯 번째- 차이가 필요하다 추가하다에게 네번째글쎄, 등등.

산술 진행 차이아마도 긍정적인그러면 시리즈의 각 숫자가 진짜로 판명됩니다. 이전 것보다 더.이 진행을 증가.예를 들어:

8; 13; 18; 23; 28; .....

여기서 각 숫자는 첨가양수, 이전 값에 +5.

차이점은 다음과 같습니다. 부정적인시리즈의 각 숫자는 이전 것보다 적습니다.이 진행은 (당신은 그것을 믿지 않을 것입니다!) 감소.

예를 들어:

8; 3; -2; -7; -12; .....

여기에서도 모든 숫자를 얻습니다. 첨가이전이지만 이미 음수, -5입니다.

그건 그렇고, 진행으로 작업 할 때 증가 또는 감소 여부를 즉시 결정하는 것이 매우 유용합니다. 결정에서 방향을 찾고 실수를 감지하고 너무 늦기 전에 수정하는 것이 많은 도움이 됩니다.

산술 진행 차이일반적으로 문자로 표시 디.

찾는 방법 디? 매우 간단합니다. 시리즈의 임의의 수에서 빼야 합니다. 이전숫자. 덜다. 덧붙여서 뺄셈의 결과를 "차이"라고합니다.)

예를 들어, 디증가하는 산술 진행을 위해:

2, 5, 8, 11, 14, ...

예를 들어 11과 같이 원하는 행 수를 가져옵니다. 이전 번호저것들. 여덟:

이것이 정답입니다. 이 산술 진행의 경우 차이는 3입니다.

당신은 그냥 걸릴 수 있습니다 어떤 수의 진행,왜냐하면 특정 진행을 위해 디-항상 동일합니다.적어도 행의 시작 부분에서, 적어도 중간에서, 적어도 어딘가에서. 맨 처음 숫자만 사용할 수는 없습니다. 맨 처음 숫자 때문에 이전 없음.)

그건 그렇고, 알면서 d=3, 이 진행의 일곱 번째 숫자를 찾는 것은 매우 간단합니다. 다섯 번째 숫자에 3을 더합니다. 여섯 번째 숫자는 17이 됩니다. 여섯 번째 숫자에 3을 더하면 일곱 번째 숫자인 20이 나옵니다.

정의하자 디감소하는 산술 진행:

8; 3; -2; -7; -12; .....

나는 징후에 관계없이 디어떤 숫자에서 필요 이전 것을 제거하십시오.예를 들어 -7과 같이 진행 수를 선택합니다. 그의 이전 번호는 -2입니다. 그 다음에:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

산술 진행의 차이는 정수, 분수, 무리수, 임의의 숫자가 될 수 있습니다.

기타 용어 및 명칭.

시리즈의 각 숫자는 산술 진행의 구성원입니다.

진행의 각 구성원 그의 번호가 있습니다.숫자는 트릭 없이 엄격하게 순서대로 정렬되어 있습니다. 첫째, 둘째, 셋째, 넷째 등 예를 들어 진행에서 2, 5, 8, 11, 14, ... 2가 첫 번째 멤버, 5가 두 번째, 11이 네 번째 멤버, 음, 알겠습니다...) 명확히 이해해주세요- 숫자 자체절대적으로 모든 것, 전체, 분수, 음수, 무엇이든 될 수 있지만 번호 매기기- 엄격하게 순서대로!

진행 상황을 기록하는 방법 일반보기? 괜찮아요! 시리즈의 각 숫자는 문자로 작성됩니다. 산술 진행을 나타내기 위해 일반적으로 문자가 사용됩니다. ㅏ. 회원 번호는 오른쪽 하단의 색인으로 표시됩니다. 멤버는 다음과 같이 쉼표(또는 세미콜론)로 구분하여 작성됩니다.

1 , 2 , 3 , 4 , 5 , .....

1첫 번째 숫자입니다 3- 세 번째 등 까다롭지 않습니다. 이 시리즈를 다음과 같이 간단히 작성할 수 있습니다. (엔).

진행이 있습니다 유한하고 무한합니다.

궁극적인진행에는 제한된 수의 구성원이 있습니다. 다섯, 서른여덟, 뭐든지. 그러나 그것은 유한한 숫자입니다.

끝없는진행 - 짐작할 수 있듯이 무한한 수의 구성원이 있습니다.)

다음과 같은 시리즈를 통해 최종 진행 상황을 작성할 수 있습니다.

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .

또는 이와 같이 구성원이 많은 경우:

a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .

짧은 항목에서 추가로 회원 수를 표시해야 합니다. 예를 들어(20명의 구성원에 대해) 다음과 같이 하십시오.

(n), n = 20

무한 진행은 이 단원의 예에서와 같이 행 끝에 있는 줄임표로 인식할 수 있습니다.

이제 이미 작업을 해결할 수 있습니다. 작업은 순전히 산술 진행의 의미를 이해하기 위한 단순합니다.

산술 진행을 위한 작업의 예.

위의 작업을 자세히 살펴보겠습니다.

1. a 2 = 5, d = -2.5인 경우 산술 수열(an)의 처음 6개 요소를 기록합니다.

우리는 작업을 이해할 수 있는 언어. 무한한 산술 진행이 주어집니다. 이 진행의 두 번째 숫자는 다음과 같이 알려져 있습니다. 2 = 5.알려진 진행 차이: d = -2.5.이 진행의 첫 번째, 세 번째, 네 번째, 다섯 번째 및 여섯 번째 구성원을 찾아야 합니다.

명확성을 위해 문제의 조건에 따라 시리즈를 작성하겠습니다. 처음 6명의 구성원, 여기서 두 번째 구성원은 5명:

1 , 5 , 3 , 4 , 5 , 6 ,.....

3 = 2 + 디

우리는 표현에서 대체 2 = 5그리고 d=-2.5. 마이너스를 잊지 마세요!

3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

세 번째 항은 두 번째 항보다 작습니다. 모든 것이 논리적입니다. 숫자가 이전 숫자보다 큰 경우 부정적인값이므로 숫자 자체는 이전 값보다 작습니다. 진행이 감소하고 있습니다. 좋습니다. 고려해 보겠습니다.) 우리는 시리즈의 네 번째 멤버를 고려합니다.

4 = 3 + 디

4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

5 = 4 + 디

5=0+(-2,5)= - 2,5

6 = 5 + 디

6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

따라서 세 번째에서 여섯 번째까지의 항이 계산되었습니다. 그 결과 다음과 같은 시리즈가 생성되었습니다.

1 , 5 , 2.5 , 0 , -2.5 , -5 , ....

첫 번째 항을 찾는 것이 남아 있습니다. 1~에 유명한 두 번째. 이것은 왼쪽으로 다른 방향으로의 단계입니다.) 따라서 산술 진행의 차이 디에 추가해서는 안됩니다 2, ㅏ 빼앗다:

1 = 2 - 디

1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

그게 전부입니다. 작업 응답:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

지나가면서 나는 우리가 이 작업을 해결했음을 주목합니다. 재발방법. 이 끔찍한 단어는 단지 진행의 구성원을 찾는 것을 의미합니다. 이전 (인접한) 번호로.진행과 함께 작업하는 다른 방법은 나중에 논의될 것입니다.

이 간단한 작업에서 한 가지 중요한 결론을 도출할 수 있습니다.

기억하다:

우리가 적어도 하나의 멤버와 산술 진행의 차이를 알고 있다면 이 진행의 모든 ​​멤버를 찾을 수 있습니다.

기억하다? 이 간단한 결론을 통해 이 주제에 대한 학교 과정의 대부분의 문제를 해결할 수 있습니다. 모든 작업은 주위를 돌고 있습니다 세 가지 주요매개변수: 산술 진행의 구성원, 진행의 차이, 진행의 구성원 수.모든 것.

물론 이전의 모든 대수학은 취소되지 않습니다.) 부등식, 방정식 및 기타 사항이 진행에 첨부됩니다. 하지만 진행에 따라- 모든 것은 세 가지 매개변수를 중심으로 이루어집니다.

예를 들어, 이 주제에 대한 몇 가지 인기 있는 작업을 고려하십시오.

2. n=5, d=0.4, a 1=3.6인 경우 최종 산술 수열을 급수로 작성합니다.

여기에서는 모든 것이 간단합니다. 모든 것이 이미 주어졌습니다. 산술 진행의 구성원이 어떻게 계산되고 계산되고 기록되는지 기억해야 합니다. 작업 조건에서 "final" 및 " n=5". 얼굴이 완전히 파래질 때까지 계산하지 않기 위해.) 이 진행에는 5(5) 명의 멤버만 있습니다.

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3.6 + 0.4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0.4 \u003d 4.4

4 = 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8

5 = 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2

답을 적어야 합니다.

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

또 다른 작업:

3. 다음과 같은 경우 숫자 7이 산술 진행(an)의 구성원이 될 것인지 결정합니다. a 1 \u003d 4.1; d = 1.2.

흠... 누가 알겠어요? 무언가를 정의하는 방법?

How-how ... 네, 진행 상황을 시리즈 형식으로 적어서 7이 있는지 없는지 확인하십시오! 우리는 믿습니다:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5.3 + 1.2 \u003d 6.5

4 = 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

이제 우리는 단지 7명이라는 것을 분명히 알 수 있습니다. 미끄러지다 6.5와 7.7 사이! 7은 일련의 숫자에 포함되지 않았으므로 7은 주어진 진행의 구성원이 아닙니다.

답변: 아니요.

그리고 여기에 기반한 문제가 있습니다. 실제 버전지아:

4. 산술 진행의 여러 연속 구성원이 작성됩니다.

...; 열 다섯; 엑스; 9; 6; ...

여기 끝과 시작이 없는 시리즈가 있습니다. 회원번호 없음, 차이 없음 디. 괜찮아. 문제를 풀기 위해서는 산술 진행의 의미를 이해하는 것으로 충분합니다. 우리가 할 수 있는 것을 보고 봅시다 알고이 라인에서? 세 가지 주요 매개 변수는 무엇입니까?

회원번호? 여기에는 숫자가 하나도 없습니다.

그러나 세 개의 숫자와 -주의가 있습니다! - 단어 "연이은"상태에서. 이것은 숫자가 간격 없이 엄격하게 순서가 있음을 의미합니다. 이 줄에 두 개가 있습니까? 이웃알려진 숫자? 네 있습니다! 이것은 9와 6입니다. 그래서 우리는 산술 진행의 차이를 계산할 수 있습니다! 우리는 6에서 뺍니다 이전번호, 즉 아홉:

빈 공간이 남아 있습니다. x의 이전 숫자는 무엇입니까? 열 다섯. 따라서 x는 간단한 덧셈으로 쉽게 찾을 수 있습니다. 15에 산술 진행의 차이를 추가하십시오.

그게 다야. 대답: x=12

우리는 다음 문제를 스스로 해결합니다. 참고: 이 퍼즐은 공식이 아닙니다. 순전히 산술 진행의 의미를 이해하기 위한 것입니다.) 우리는 일련의 숫자-문자를 쓰고 보고 생각합니다.

5. a 5 = -3인 경우 산술 진행의 첫 번째 양수 항을 찾으십시오. d = 1.1.

6. 숫자 5.5는 산술 진행(an)의 구성원으로 알려져 있으며, 여기서 a 1 = 1.6; d = 1.3. 이 항의 수 n을 결정합니다.

7. 산술 진행에서 a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. 찾기 3 .

8. 산술 진행의 여러 연속 멤버가 작성됩니다.

...; 15.6; 엑스; 3.4; ...

문자 x로 표시된 진행 기간을 찾으십시오.

9. 기차는 역에서 움직이기 시작했고 점차 속도를 분당 30미터씩 증가시켰습니다. 5분 동안 기차의 속도는 얼마가 될까요? km/h 단위로 답하십시오.

10. 산술 진행에서 a 2 = 5; 6 = -5. 1 찾기.

답변(무질서): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 넷.

모든 것이 잘 되었습니까? 아주 멋진! 다음 수업에서 더 높은 수준의 산술 진행을 배울 수 있습니다.

모든 것이 잘되지 않았습니까? 문제 없어요. 특별 섹션 555에서는 이러한 모든 퍼즐이 조각으로 나뉩니다.) 그리고 물론, 이러한 작업의 솔루션을 손바닥에서와 같이 명확하고 명확하게 즉시 강조하는 간단한 실용적인 기술이 설명되어 있습니다!

그건 그렇고, 기차에 관한 퍼즐에는 사람들이 자주 걸려 넘어지는 두 가지 문제가 있습니다. 하나는 순전히 진행에 의한 것이고 두 번째는 수학 및 물리학의 모든 작업에 공통적입니다. 이것은 차원을 다른 차원으로 변환하는 것입니다. 이러한 문제를 어떻게 해결해야 하는지 보여줍니다.

이 수업에서 우리는 산술 진행의 기본 의미와 주요 매개변수를 조사했습니다. 이것은이 주제에 대한 거의 모든 문제를 해결하기에 충분합니다. 추가하다 디숫자에 시리즈를 쓰면 모든 것이 결정됩니다.

손가락 솔루션은 이 단원의 예에서와 같이 시리즈의 매우 짧은 부분에서 잘 작동합니다. 계열이 길면 계산이 더 어려워집니다. 예를 들어, 질문의 문제 9에서 다음을 대체하십시오. "5분"에 "삼십오분"문제는 훨씬 더 심각해질 것입니다.)

그리고 본질적으로 단순하지만 계산 측면에서 완전히 터무니없는 작업도 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

산술 진행(a n)이 주어집니다. a 1 =3이고 d=1/6이면 121을 찾으십시오.

그리고 우리는 1/6을 여러 번 더할 것입니다! 자살이 가능하다!?

당신은 할 수 있습니다.) 당신이 1 분 안에 그러한 작업을 해결할 수있는 간단한 공식을 모르는 경우. 이 공식은 다음 강의에서 다룰 것입니다. 그리고 그 문제는 거기에서 해결됩니다. 1분 안에.)

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글쎄요, 친구들이여, 만약 당신이 이 텍스트를 읽고 있다면, 내부 모자 증거는 당신이 여전히 산술 진행이 무엇인지 알지 못하지만 당신은 정말로 알고 싶어한다는 것을 말해줍니다. 따라서 나는 긴 소개로 당신을 괴롭히지 않고 즉시 사업에 착수 할 것입니다.

시작하려면 몇 가지 예를 들어보겠습니다. 몇 가지 숫자 집합을 고려하십시오.

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

이 모든 세트의 공통점은 무엇입니까? 언뜻보기에는 아무것도 없습니다. 그러나 실제로는 뭔가가 있습니다. 즉: 각 다음 요소는 이전 요소와 동일한 번호로 다릅니다..

스스로 판단하십시오. 첫 번째 집합은 이전 숫자보다 각각 더 많은 연속 숫자입니다. 두 번째 경우의 차이점은 스탠딩 넘버는 이미 5와 같지만 이 차이는 여전히 일정합니다. 세 번째 경우에는 일반적으로 뿌리가 있습니다. 그러나 $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$인 반면 $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, 즉 이 경우 각 다음 요소는 단순히 $\sqrt(2)$만큼 증가합니다(이 숫자가 비합리적이라고 두려워하지 마십시오).

따라서 이러한 모든 수열을 산술 진행이라고 합니다. 엄격한 정의를 내리자:

정의. 다음 숫자가 이전 숫자와 정확히 같은 양만큼 다른 일련의 숫자를 산술 진행이라고 합니다. 숫자가 다른 바로 그 양을 진행 차이라고 하며 가장 자주 문자 $d$로 표시됩니다.

표기법: $\left(((a)_(n)) \right)$는 진행 자체이고, $d$는 그 차이입니다.

그리고 중요한 몇 가지만 말씀드리겠습니다. 첫째, 진보는 단지 고려됩니다 질서 있는일련의 숫자: 쓰여진 순서대로 엄격하게 읽을 수 있으며 다른 것은 허용되지 않습니다. 번호를 재정렬하거나 교환할 수 없습니다.

둘째, 시퀀스 자체는 유한하거나 무한할 수 있습니다. 예를 들어, 집합 (1; 2; 3)은 분명히 유한 산술 진행입니다. 그러나 (1; 2; 3; 4; ...)와 같은 것을 쓴다면 이것은 이미 무한한 진행입니다. 4 뒤의 줄임표는 말 그대로 많은 숫자가 더 멀리 간다는 것을 암시합니다. 예를 들어 무한히 많습니다. :)

나는 또한 진행이 증가하고 감소한다는 점에 주목하고 싶습니다. 우리는 이미 동일한 세트(1; 2; 3; 4; ...)가 증가하는 것을 보았습니다. 다음은 진행 감소의 예입니다.

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

좋아요. 마지막 예제가 너무 복잡해 보일 수 있습니다. 하지만 나머지는 이해하시리라 생각합니다. 따라서 새로운 정의를 소개합니다.

정의. 산술 진행은 다음과 같습니다.

1. 각 다음 요소가 이전 요소보다 크면 증가합니다.
2. 반대로 각 후속 요소가 이전 요소보다 작은 경우 감소합니다.

또한 동일한 반복 번호로 구성된 소위 "고정" 시퀀스가 ​​있습니다. 예를 들어, (3; 3; 3; ...).

한 가지 질문만 남아 있습니다. 증가하는 진행과 감소하는 진행을 구별하는 방법은 무엇입니까? 다행히 여기의 모든 것은 숫자 $d$의 부호에만 의존합니다. 진행 차이:

1. $d \gt 0$이면 진행이 증가하고 있습니다.
2. $d \lt 0$이면 진행이 분명히 감소하고 있습니다.
3. 마지막으로 $d=0$의 경우 전체 진행이 고정 시퀀스로 축소됩니다. 같은 숫자: (1; 1; 1; 1; ...) 등

위의 세 감소 진행에 대한 차이 $d$를 계산해 보겠습니다. 이렇게하려면 두 개의 인접한 요소 (예 : 첫 번째 및 두 번째)를 가져 와서 오른쪽 숫자에서 왼쪽 숫자를 빼면 충분합니다. 다음과 같이 표시됩니다.

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

우리가 보는 바와 같이, 모든 세 가지 경우그 차이는 실제로 부정적입니다. 그리고 이제 우리는 정의를 어느 정도 파악했으므로 진행이 어떻게 설명되고 어떤 속성이 있는지 알아낼 때입니다.

진행 및 반복 공식의 구성원

시퀀스의 요소는 교환할 수 없으므로 번호를 매길 수 있습니다.

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \오른쪽\)\]

이 집합의 개별 요소를 진행의 구성원이라고 합니다. 첫 번째 구성원, 두 번째 구성원 등 번호를 사용하여 이러한 방식으로 표시됩니다.

또한 우리가 이미 알고 있듯이 진행의 이웃 구성원은 다음 공식으로 연결됩니다.

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\오른쪽 화살표 ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

간단히 말해서 진행의 $n$번째 항을 찾으려면 $n-1$번째 항과 $d$의 차이를 알아야 합니다. 이러한 공식을 반복이라고합니다. 도움을 받으면 이전 숫자 (그리고 실제로 이전의 모든 숫자) 만 알면 모든 숫자를 찾을 수 있기 때문입니다. 이것은 매우 불편하므로 모든 계산을 첫 번째 항과 그 차이로 줄이는 더 까다로운 공식이 있습니다.

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

이 공식을 본 적이 있을 것입니다. 그들은 모든 종류의 참고서와 reshebniks에서 그것을 제공하는 것을 좋아합니다. 그리고 수학에 관한 어떤 합리적인 교과서에서도 그것은 최초의 것 중 하나입니다.

그러나 조금 연습하는 것이 좋습니다.

작업 번호 1. $((a)_(1))=8,d=-5$인 경우 산술 진행 $\left(((a)_(n)) \right)$의 처음 세 항을 기록하십시오.

해결책. 따라서 첫 번째 항 $((a)_(1))=8$ 및 진행 차이 $d=-5$를 알고 있습니다. 방금 주어진 공식을 사용하고 $n=1$, $n=2$ 및 $n=3$을 대입해 보겠습니다.

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 삼; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \끝(정렬)\]

답: (8; 3; -2)

그게 다야! 진행 상황이 감소하고 있습니다.

물론 $n=1$는 대체될 수 없습니다. 우리는 이미 첫 번째 항을 알고 있습니다. 그러나 단위를 대체하여 첫 번째 항에 대해서도 공식이 작동하는지 확인했습니다. 다른 경우에는 모든 것이 진부한 산술로 귀결되었습니다.

작업 번호 2. 일곱 번째 항이 -40이고 열일곱 번째 항이 -50인 경우 산술 진행의 처음 세 항을 쓰십시오.

해결책. 우리는 일반적인 용어로 문제의 조건을 씁니다.

\[((a)_(7))=-40;\쿼드((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(정렬) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \오른쪽.\]

이러한 요구 사항이 동시에 충족되어야 하기 때문에 시스템의 기호를 넣었습니다. 이제 두 번째 방정식에서 첫 번째 방정식을 빼면(시스템이 있기 때문에 이를 수행할 권리가 있습니다) 다음을 얻습니다.

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \끝(정렬)\]

그렇게 진행 차이를 발견했습니다! 시스템의 모든 방정식에서 찾은 숫자를 대체하는 것이 남아 있습니다. 예를 들어 첫 번째에서:

\[\begin(행렬) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \끝(행렬)\]

이제 첫 번째 항과 차이점을 알면 두 번째와 세 번째 항을 찾는 것이 남아 있습니다.

\[\begin(정렬) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \끝(정렬)\]

준비가 된! 문제 해결됨.

답: (-34, -35, -36)

우리가 발견한 진행의 흥미로운 속성에 주목하십시오. $n$th 및 $m$th 항을 취하고 서로를 빼면 진행의 차이에 $n-m$를 곱한 값을 얻습니다.

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

간단하지만 매우 유용한 재산, 당신이 확실히 알아야 할 - 그것의 도움으로 당신은 진행에 있는 많은 문제의 해결 속도를 크게 높일 수 있습니다. 다음은 이에 대한 대표적인 예입니다.

작업 번호 3. 산술 진행의 다섯 번째 항은 8.4이고 열 번째 항은 14.4입니다. 이 진행의 열다섯 번째 항을 찾으십시오.

해결책. $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$이고 $((a)_(15))$를 찾아야 하므로 다음 사항에 유의합니다.

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \끝(정렬)\]

그러나 조건 $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, 따라서 $5d=6$, 여기서 우리는:

\[\begin(정렬) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \끝(정렬)\]

답: 20.4

그게 다야! 우리는 방정식 시스템을 구성하고 첫 번째 항과 차이를 계산할 필요가 없었습니다. 모든 것이 단 몇 줄로 결정되었습니다.

이제 다른 유형의 문제, 즉 진행의 부정적 및 긍정적 구성원 검색을 고려해 보겠습니다. 진행이 증가하면 첫 번째 용어가 음수이지만 조만간 긍정적 인 용어가 나타날 것이라는 것은 비밀이 아닙니다. 그리고 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 감소하는 진행의 조건은 조만간 음수가 될 것입니다.

동시에 요소를 순차적으로 정렬하여 "이마에서"이 순간을 찾는 것이 항상 가능한 것은 아닙니다. 종종 문제는 공식을 모른 채 계산에 여러 장이 소요되는 방식으로 설계됩니다. 답을 찾을 때까지 잠이 들 것입니다. 따라서 우리는 이러한 문제를 더 빠른 방법으로 해결하기 위해 노력할 것입니다.

작업 번호 4. 산술 진행에서 얼마나 많은 음수 항 -38.5; -35.8; …?

해결책. 따라서 $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$에서 차이를 즉시 찾을 수 있습니다.

차이가 양수이므로 진행이 증가하고 있습니다. 첫 번째 항은 음수이므로 실제로 어느 시점에서 우리는 양수를 우연히 보게 될 것입니다. 유일한 질문은 이것이 언제 일어날 것인가입니다.

다음을 알아보려고 합니다. 항의 부정성이 얼마나 오래(즉, 자연수 $n$까지) 보존되는지:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\오른쪽 화살표 ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \맞습니다. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\오른쪽 화살표 ((n)_(\max ))=15. \\ \끝(정렬)\]

마지막 줄은 설명이 필요합니다. 그래서 우리는 $n \lt 15\frac(7)(27)$임을 압니다. 반면에 숫자의 정수 값만 우리에게 적합합니다(또한: $n\in \mathbb(N)$). 따라서 허용되는 가장 큰 숫자는 정확히 $n=15$이며 어떤 경우에도 16이 아닙니다.

작업 번호 5. 산술 진행에서 $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. 이 진행의 첫 번째 양수 항의 번호를 찾으십시오.

이것은 이전 문제와 정확히 같은 문제이지만 우리는 $((a)_(1))$를 모릅니다. 그러나 $((a)_(5))$ 및 $((a)_(6))$와 같은 인접 용어가 알려져 있으므로 진행 차이를 쉽게 찾을 수 있습니다.

또한 표준 공식을 사용하여 다섯 번째 항을 첫 번째 항과 차이로 표현해 보겠습니다.

\[\begin(정렬) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \끝(정렬)\]

이제 우리는 이전 문제와 유추하여 진행합니다. 시퀀스의 어느 지점에서 양수가 나타날 것인지 알아냅니다.

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\오른쪽 화살표 ((n)_(\min))=56. \\ \끝(정렬)\]

이 부등식의 최소 정수 솔루션은 숫자 56입니다.

마지막 작업에서는 모든 것이 완전 부등식으로 축소되었으므로 $n=55$ 옵션은 적합하지 않습니다.

간단한 문제를 푸는 방법을 배웠으니 이제 더 복잡한 문제로 넘어 갑시다. 하지만 먼저 산술 진행의 또 다른 매우 유용한 속성을 알아보겠습니다. 그러면 앞으로 많은 시간과 불평등한 셀을 절약할 수 있습니다. :)

산술 평균 및 등가 들여쓰기

증가하는 산술 진행 $\left(((a)_(n)) \right)$의 여러 연속 항을 고려하십시오. 숫자 줄에 표시해 보겠습니다.

숫자 라인의 산술 진행 멤버

나는 특히 임의의 멤버 $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ 에 주목했으며 $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ 등 내가 지금 말할 규칙은 모든 "세그먼트"에 대해 동일하게 작동하기 때문입니다.

그리고 규칙은 매우 간단합니다. 재귀 공식을 기억하고 표시된 모든 멤버에 대해 적어 보겠습니다.

\[\begin(정렬) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \끝(정렬)\]

그러나 이러한 평등은 다르게 다시 작성할 수 있습니다.

\[\begin(정렬) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \끝(정렬)\]

글쎄, 그래서? 그러나 $((a)_(n-1))$ 및 $((a)_(n+1))$ 항이 $((a)_(n)) $에서 동일한 거리에 있다는 사실 . 그리고 이 거리는 $d$와 같습니다. $((a)_(n-2))$ 및 $((a)_(n+2))$ 용어에 대해서도 마찬가지입니다. $((a)_(n)에서도 제거됩니다. )$ $2d$와 동일한 거리만큼. 무기한 계속할 수 있지만 그림은 의미를 잘 보여줍니다

진행의 구성원은 중심에서 같은 거리에 있습니다.

이것은 우리에게 무엇을 의미합니까? 이것은 이웃 숫자가 알려진 경우 $((a)_(n))$를 찾을 수 있음을 의미합니다.

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

우리는 훌륭한 진술을 추론했습니다. 산술 진행의 각 구성원은 이웃 구성원의 산술 평균과 같습니다! 게다가, 우리는 $((a)_(n))$에서 왼쪽과 오른쪽으로 한 단계가 아니라 $k$ 단계로 벗어날 수 있지만 여전히 공식은 정확합니다.

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

저것들. $((a)_(150))$와 $((a)_(200))$를 알면 $((a)_(150))$를 쉽게 찾을 수 있습니다. (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. 언뜻보기에는이 사실이 우리에게 유용한 것을 제공하지 않는 것처럼 보일 수 있습니다. 그러나 실제로 많은 작업은 산술 평균을 사용하기 위해 특별히 "날카롭게"됩니다. 구경하다:

작업 번호 6. $-6((x)^(2))$, $x+1$ 및 $14+4((x)^(2))$ 숫자가 의 연속적인 구성원이 되도록 $x$의 모든 값을 찾습니다. 산술 진행(지정된 순서로).

해결책. 이 숫자는 진행의 구성원이기 때문에 산술 평균 조건이 충족됩니다. 중심 요소 $x+1$는 인접 요소로 표현될 수 있습니다.

\[\begin(정렬) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \끝(정렬)\]

그것은 고전적으로 밝혀졌습니다. 이차 방정식. 그 뿌리: $x=2$ 및 $x=-3$가 답입니다.

답: -3; 2.

작업 번호 7. 숫자 $-1;4-3;(()^(2))+1$이 (순서대로) 산술 진행을 형성하도록 $$의 값을 찾으십시오.

해결책. 다시, 우리는 이웃 항의 산술 평균의 관점에서 중간 항을 표현합니다:

\[\begin(정렬) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\맞습니다.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \끝(정렬)\]

또 다른 이차 방정식. 그리고 다시 두 개의 루트: $x=6$ 및 $x=1$.

답: 1; 6.

문제를 해결하는 과정에서 잔인한 숫자를 얻거나 찾은 답의 정확성을 완전히 확신할 수 없는 경우 확인할 수 있는 멋진 트릭이 있습니다. 문제를 올바르게 해결했습니까?

문제 6에서 답 -3과 2를 얻었다고 가정해 봅시다. 이 답이 맞는지 어떻게 확인할 수 있습니까? 그것들을 원래 상태에 연결하고 어떤 일이 일어나는지 봅시다. 산술 진행을 형성해야 하는 세 개의 숫자($-6(()^(2))$, $+1$ 및 $14+4(()^(2))$)가 있음을 상기시켜 드리겠습니다. $x=-3$ 대체:

\[\begin(정렬) & x=-3\오른쪽 화살표 \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \끝(정렬)\]

우리는 숫자 -54를 얻었습니다. -2; 52만큼 다른 50은 의심할 여지 없이 산술 진행입니다. $x=2$에 대해서도 동일한 일이 발생합니다.

\[\begin(정렬) & x=2\오른쪽 화살표 \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \끝(정렬)\]

다시 진행하지만 27의 ​​차이가 있습니다. 따라서 문제는 올바르게 해결됩니다. 원하는 사람은 두 번째 작업을 직접 확인할 수 있지만 즉시 말할 것입니다. 모든 것이 정확합니다.

일반적으로 마지막 작업을 해결하는 동안 다른 작업을 우연히 발견했습니다. 흥미로운 사실, 또한 기억해야 합니다.

세 개의 숫자가 두 번째가 평균인 경우 산술 처음마지막으로 이 숫자는 산술 진행을 형성합니다.

앞으로 이 진술을 이해하면 문제의 조건에 따라 필요한 진행을 문자 그대로 "구성"할 수 있습니다. 그러나 그러한 "구성"에 참여하기 전에 이미 고려한 것에서 직접 이어지는 한 가지 사실에주의를 기울여야합니다.

요소의 그룹화 및 합계

다시 숫자 라인으로 돌아가 봅시다. 우리는 진행 과정의 여러 구성원이 있음을 주목합니다. 다른 많은 회원의 가치:

숫자 라인에 표시된 6개의 요소

"왼쪽 꼬리"를 $((a)_(n))$와 $d$로 표현하고 "오른쪽 꼬리"를 $((a)_(k))$와 $로 표현해 봅시다. 디$. 매우 간단합니다.

\[\begin(정렬) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \끝(정렬)\]

이제 다음 합계가 같습니다.

\[\begin(정렬) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= 에스; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= 에스. \끝(정렬)\]

간단히 말해서, 총계 $S$와 같은 진행의 두 가지 요소를 시작으로 간주하고 이러한 요소에서 반대 방향(서로를 향해 또는 반대 방향으로 이동하여 이동)으로 이동하기 시작하면 그 다음에 우리가 우연히 마주하게 될 요소의 합도 동일할 것입니다.$S$. 이것은 그래픽으로 가장 잘 표현될 수 있습니다:

동일한 들여쓰기는 동일한 합계를 제공합니다.

이해 이 사실문제를 근본적으로 더 많이 해결할 수 있습니다. 높은 레벨위에서 논의한 것보다 복잡합니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

작업 번호 8. 첫 번째 항이 66이고 두 번째 항과 열두 번째 항의 곱이 가능한 가장 작은 산술 진행의 차를 구하십시오.

해결책. 우리가 알고 있는 모든 것을 적어봅시다:

\[\begin(정렬) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \끝(정렬)\]

따라서 진행 $d$의 차이를 알 수 없습니다. 실제로 $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ 제품은 다음과 같이 다시 작성할 수 있으므로 전체 솔루션은 차이를 중심으로 구축됩니다.

\[\begin(정렬) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \끝(정렬)\]

탱크에있는 사람들을 위해 : 두 번째 브래킷에서 공통 요소 11을 가져 왔습니다. 따라서 원하는 곱은 변수 $d$에 대한 이차 함수입니다. 따라서 $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ 함수를 고려하십시오. 그래프는 분기가 있는 포물선이 됩니다. 왜냐하면 대괄호를 열면 다음을 얻습니다.

\[\begin(정렬) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(정렬)\]

보시다시피, 가장 높은 항을 가진 계수는 11입니다. 이것은 양수이므로 실제로 분기가 있는 포물선을 다루고 있습니다.

일정 이차 함수- 포물선

참고: 이 포물선은 횡좌표 $((d)_(0))$가 있는 꼭짓점에서 최소값을 취합니다. 물론 다음을 사용하여 이 가로 좌표를 계산할 수 있습니다. 표준 체계(공식 $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$가 있지만 원하는 정점이 대칭 축에 있다는 점에 유의하는 것이 훨씬 더 합리적입니다. 포물선이므로 $((d) _(0))$ 점은 $f\left(d \right)=0$ 방정식의 근에서 등거리에 있습니다.

\[\begin(정렬) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\쿼드((d)_(2))=-6. \\ \끝(정렬)\]

그래서 나는 서두르지 않고 괄호를 열었습니다. 원래 형태의 뿌리는 찾기가 매우 쉬웠습니다. 따라서 가로 좌표는 평균과 같습니다. 산술 숫자-66 및 -6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

무엇이 우리에게 발견된 번호를 제공합니까? 그것으로, 필요한 제품은 가장 작은 값(그런데, 우리는 $((y)_(\min ))$를 계산하지 않았습니다 - 우리는 이것을 할 필요가 없습니다). 동시에이 숫자는 초기 진행의 차이입니다. 답을 찾았습니다. :)

답: -36

작업 번호 9. $-\frac(1)(2)$와 $-\frac(1)(6)$ 사이에 세 개의 숫자를 삽입하여 주어진 숫자와 함께 산술 진행을 형성합니다.

해결책. 사실, 우리는 첫 번째와 마지막 숫자를 이미 알고 있는 다섯 개의 숫자 시퀀스를 만들어야 합니다. $x$, $y$ 및 $z$ 변수로 누락된 숫자를 표시합니다.

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

숫자 $y$는 시퀀스의 "중간"입니다. 숫자 $x$와 $z$, 그리고 숫자 $-\frac(1)(2)$ 및 $-\frac에서 등거리에 있습니다. (1)(6)$. 그리고 $x$와 $z$라는 숫자에서 우리는 이 순간$y$를 얻을 수 없으면 진행이 끝나면 상황이 다릅니다. 산술 평균을 기억하십시오.

이제 $y$를 알면 나머지 숫자를 찾을 수 있습니다. $x$는 방금 찾은 $-\frac(1)(2)$와 $y=-\frac(1)(3)$ 사이에 있습니다. 그렇기 때문에

유사하게 논의하여 나머지 숫자를 찾습니다.

준비가 된! 세 개의 숫자를 모두 찾았습니다. 원래 숫자 사이에 삽입해야 하는 순서대로 답에 적어 봅시다.

답: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

작업 번호 10. 숫자 2와 42 사이에 삽입된 숫자의 첫 번째, 두 번째 및 마지막 숫자의 합이 56인 경우 주어진 숫자와 함께 산술 수열을 형성하는 여러 숫자를 삽입하십시오.

해결책. 더 나아가 어려운 일그러나 산술 평균을 통해 이전 것과 같은 방식으로 해결됩니다. 문제는 삽입할 숫자의 개수를 정확히 모른다는 것입니다. 따라서 명확성을 위해 삽입 후 정확히 $n$ 숫자가 있고 그 중 첫 번째는 2이고 마지막은 42라고 가정합니다. 이 경우 원하는 산술 진행은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \오른쪽\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

그러나 $((a)_(2))$ 및 $((a)_(n-1))$ 숫자는 서로를 향해 한 단계씩 가장자리에 서 있는 숫자 2와 42에서 얻은 것입니다. , 즉 . 순서의 중심으로. 그리고 이것은 의미합니다

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

그러나 위의 식은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

\[\begin(정렬) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \끝(정렬)\]

$((a)_(3))$ 및 $((a)_(1))$를 알면 진행 차이를 쉽게 찾을 수 있습니다.

\[\begin(정렬) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\오른쪽 화살표 d=5. \\ \끝(정렬)\]

나머지 구성원을 찾는 것만 남아 있습니다.

\[\begin(정렬) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \끝(정렬)\]

따라서 이미 9 단계에서 시퀀스의 왼쪽 끝 - 숫자 42에 올 것입니다. 총 7 개의 숫자 만 삽입해야했습니다. 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

답: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

진행이 있는 텍스트 작업

결론적으로 나는 몇 가지를 고려하고 싶다. 간단한 작업. 글쎄요, 간단한 것들로: 학교에서 수학을 공부하고 위에 쓰여진 것을 읽지 않은 대부분의 학생들에게 이러한 작업은 제스처처럼 보일 수 있습니다. 그럼에도 불구하고 OGE와 수학의 USE에서 접하는 것은 바로 그러한 작업이므로 숙지하는 것이 좋습니다.

작업 번호 11. 이 팀은 1월에 62개의 부품을 생산했으며, 다음 달에는 이전보다 14개의 더 많은 부품을 생산했습니다. 여단은 11월에 몇 개의 부품을 생산했습니까?

해결책. 분명히, 월별로 칠해진 부품의 수는 증가하는 산술 진행이 될 것입니다. 그리고:

\[\begin(정렬) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(정렬)\]

11월은 그 해의 11번째 달이므로 $((a)_(11))$를 찾아야 합니다.

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

따라서 11월에는 202개의 부품이 생산될 예정이다.

작업 번호 12. 제본 공방은 1월에 216권을 제본했고, 매달 전월보다 4권을 더 제본했다. 워크샵은 12월에 몇 권의 책을 제본했습니까?

해결책. 모두 같은:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(정렬)$

12월은 그 해의 마지막 12번째 달이므로 $((a)_(12))$를 찾고 있습니다.

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

이것이 정답입니다. 12월에 260권이 제본됩니다.

자, 여기까지 읽으셨다면 서둘러 축하드립니다. 산술 진행에서 "젊은 전사 과정"을 성공적으로 완료하셨습니다. 다음 수업으로 안전하게 넘어갈 수 있습니다. 여기에서 진행 합계 공식과 그로부터 중요하고 매우 유용한 결과를 공부할 것입니다.

많은 사람들이 산술 진행에 대해 들어보았지만 모든 사람이 그것이 무엇인지 잘 알고 있는 것은 아닙니다. 이 기사에서는 해당 정의를 제공하고 산술 진행의 차이를 찾는 방법에 대한 질문을 고려하고 여러 예를 제공합니다.

수학적 정의

그래서 만약 우리 대화하는 중이 야산술 또는 대수적 진행(이 개념은 동일한 것을 정의함)에 대해 다음 법칙을 충족하는 수열이 있음을 의미합니다. 급수의 모든 인접한 두 수는 동일한 값만큼 다릅니다. 수학적으로 이것은 다음과 같이 작성됩니다.

여기서 n은 시퀀스의 요소 a n의 수를 의미하고 숫자 d는 진행의 차이입니다(그 이름은 제시된 공식에서 따옴).

차이점을 안다는 것은 무엇을 의미합니까? 인접한 숫자가 얼마나 떨어져 있는지에 대한 정보입니다. 그러나 d에 대한 지식은 전체 진행을 결정(복원)하기 위한 필요 조건이지만 충분 조건은 아닙니다. 예를 들어 4, a10과 같이 고려 중인 시리즈의 모든 요소가 될 수 있는 숫자를 하나 더 알아야 하지만 일반적으로 첫 번째 숫자, 즉 1이 사용됩니다.

진행 요소를 결정하는 공식

일반적으로 위의 정보는 이미 솔루션을 진행하기에 충분합니다. 특정 작업. 그럼에도 불구하고 산술 진행이 주어지기 전에 그리고 그 차이를 찾아야 할 필요가 있을 것입니다. 우리는 몇 가지 유용한 공식을 제시하여 문제 해결의 후속 과정을 용이하게 합니다.

숫자 n을 가진 시퀀스의 모든 요소는 다음과 같이 찾을 수 있음을 쉽게 보여줍니다.

n \u003d a 1 + (n - 1) * d

실제로 모든 사람은 간단한 열거로 이 공식을 확인할 수 있습니다. n = 1로 대입하면 첫 번째 요소를 얻고, n = 2로 대입하면 표현식은 첫 번째 숫자와 차이의 합을 제공하는 식입니다.

많은 문제의 조건은 알려진 한 쌍의 숫자에 대해 숫자가 순서대로 제공되는 경우 전체 숫자 시리즈를 복원해야 하는 방식으로 컴파일됩니다(차이점과 첫 번째 요소 찾기). 이제 우리는 이 문제를 일반적인 방식으로 해결할 것입니다.

따라서 숫자 n과 m을 가진 두 개의 요소가 주어졌다고 가정해 보겠습니다. 위에서 얻은 공식을 사용하여 두 방정식 시스템을 구성할 수 있습니다.

n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

m = a 1 + (m - 1) * d

미지의 양을 찾기 위해 우리는 알려진 간단한 트릭이러한 시스템의 솔루션: 평등이 유효한 동안 왼쪽과 오른쪽 부분을 쌍으로 뺍니다. 우리는 다음을 가지고 있습니다:

n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

n - m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

따라서 우리는 하나의 미지수(1)를 제거했습니다. 이제 d를 결정하기 위한 최종 표현식을 작성할 수 있습니다.

d = (a n - m) / (n - m), 여기서 n > m

우리는 매우 간단한 공식을 얻었습니다. 문제의 조건에 따라 차이 d를 계산하려면 요소 자체와 일련 번호 간의 차이 비율만 취하면 됩니다. 한 가지 중요한 점에주의를 기울여야합니다. "시니어"와 "주니어"멤버, 즉 n\u003e m ( "시니어"- 시퀀스의 시작 부분에서 더 멀리 서 있음을 의미하며 절대 값은 다소 "젊은" 요소일 수 있음).

첫 번째 항의 값을 얻으려면 문제 해결의 시작 부분에서 진행의 차이 d에 대한 표현을 임의의 방정식으로 대체해야 합니다.

컴퓨터 기술 개발 시대에 많은 학생들이 인터넷에서 자신의 작업에 대한 솔루션을 찾으려고 하므로 이러한 유형의 질문이 자주 발생합니다. 온라인에서 산술 진행의 차이 찾기. 이러한 요청에 따라 검색 엔진은 여러 웹 페이지를 표시합니다. 이 페이지로 이동하여 조건에서 알려진 데이터를 입력해야 합니다(진행의 두 구성원 또는 그 중 일부의 합계가 될 수 있음) ) 즉시 답변을 얻을 수 있습니다. 그럼에도 불구하고 문제를 해결하기 위한 그러한 접근 방식은 학생의 발달과 그에게 할당된 과제의 본질을 이해하는 측면에서 비생산적입니다.

공식을 사용하지 않는 솔루션

위의 공식을 사용하지 않고 첫 번째 문제를 해결해 보겠습니다. 급수의 요소가 주어졌다고 하자: a6 = 3, a9 = 18. 산술 진행의 차이를 찾으십시오.

알려진 요소는 연속적으로 서로 가깝습니다. 가장 큰 것을 얻으려면 차이 d를 가장 작은 것에 몇 번 더해야 합니까? 세 번(처음 d를 추가하면 7번째 요소를 얻고, 두 번째에는 여덟 번째, 마지막으로 세 번째에는 아홉 번째 요소를 얻습니다.) 18을 얻으려면 3에 3을 더해야 하는 수는? 이것은 숫자 5입니다. 진짜:

따라서 알 수 없는 차이는 d = 5입니다.

물론 적절한 공식을 사용하여 솔루션을 수행할 수 있지만 이는 의도적으로 수행된 것은 아닙니다. 문제에 대한 자세한 설명은 산술 진행이 무엇인지에 대한 명확하고 생생한 예가 되어야 합니다.

이전 작업과 유사한 작업

이제 비슷한 문제를 풀지만 입력 데이터를 변경해 보겠습니다. 따라서 a3 = 2, a9 = 19인지 찾아야 합니다.

물론 "이마에"해결 방법에 다시 의지 할 수 있습니다. 그러나 상대적으로 멀리 떨어져 있는 계열의 요소들이 주어지기 때문에 그러한 방법은 그다지 편리하지 않다. 그러나 결과 공식을 사용하면 빠르게 답을 얻을 수 있습니다.

d \u003d (a 9-a 3) / (9-3) \u003d (19-2) / (6) \u003d 17 / 6 ≈ 2.83

여기서 우리는 최종 숫자를 반올림했습니다. 이 반올림으로 인해 오류가 발생한 정도는 결과를 확인하여 판단할 수 있습니다.

a 9 \u003d a 3 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 \u003d 18.98

이 결과는 조건에 주어진 값과 0.1%만 다릅니다. 따라서 사용된 반올림을 100분의 1로 간주할 수 있습니다. 성공적인 선택.

구성원에 대한 공식 적용 작업

미지수 d를 결정하는 문제의 고전적인 예를 고려해 보겠습니다. a1 = 12, a5 = 40인 경우 산술 진행의 차이를 찾습니다.

미지의 대수열의 두 숫자가 주어지고 그 중 하나가 원소 a 1 이면 길게 생각할 필요는 없지만 즉시 n 멤버에 대한 공식을 적용해야 합니다. 이 경우 다음이 있습니다.

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

나눌 때 정확한 수를 얻었으므로 이전 단락에서와 같이 계산 결과의 정확성을 확인하는 것은 의미가 없습니다.

또 다른 유사한 문제를 해결해 보겠습니다. a1 = 16, a8 = 37인 경우 산술 진행의 차이를 찾아야 합니다.

이전 방법과 유사한 접근 방식을 사용하여 다음을 얻습니다.

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

산술 진행에 대해 알아야 할 기타 사항

알 수 없는 차이점을 찾는 작업 외에도 개별 요소, 시퀀스의 첫 번째 항의 합 문제를 푸는 것이 종종 필요합니다. 이러한 문제에 대한 고려는 기사의 주제 범위를 벗어나지만 정보의 완전성을 위해 다음을 제시합니다. 일반식시리즈의 n 수의 합에 대해:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + an n) / 2

"산술 진행"이라는 주제는 다음에서 공부합니다. 일반 코스 9학년 학교의 대수학. 이 주제는 급수 수학에 대한 심층 연구에 중요합니다. 이 기사에서 우리는 산술 진행, 그 차이점 및 학생들이 직면할 수 있는 일반적인 작업에 대해 알게 될 것입니다.

대수 진행의 개념

수치적 진행은 다음의 각 요소를 이전 요소에서 얻을 수 있는 일련의 숫자입니다. 수학 법칙. 두 가지가 알려져 있다 단순 유형진행: 기하 및 산술, 대수라고도 합니다. 더 자세히 살펴 보겠습니다.

상상해봐 유리수, 기호 a 1 로 표시합니다. 여기서 인덱스는 고려 중인 시리즈의 서수를 나타냅니다. 1에 다른 숫자를 추가하고 d로 표시합시다. 그런 다음 시리즈의 두 번째 요소는 다음과 같이 반영될 수 있습니다. a 2 = a 1 + d. 이제 d를 다시 추가하면 다음을 얻습니다. a 3 = a 2 + d. 계속해서 수학 연산, 산술 진행이라고 하는 일련의 전체 숫자를 얻을 수 있습니다.

위에서 알 수 있듯이 이 수열의 n번째 요소를 찾으려면 다음 공식을 사용해야 합니다. a n = a 1 + (n-1) * d. 실제로 n=1을 식에 대입하면 a 1 = a 1이 됩니다. n = 2이면 공식은 a 2 = a 1 + 1*d 등을 의미합니다.

예를 들어, 산술 진행의 차이가 5이고 1 \u003d 1이면 해당 유형의 숫자 ​​시리즈가 1, 6, 11, 16, 21, ... 알 수 있듯이 각 구성원은 이전 구성원보다 5명 더 많습니다.

산술 진행 차이 공식

고려 중인 일련의 숫자에 대한 위의 정의에서 이를 결정하려면 a 1 및 d의 두 숫자를 알아야 합니다. 후자를 이 진행의 차이라고 합니다. 전체 시리즈의 동작을 고유하게 결정합니다. 실제로 d가 양수이면 숫자 시리즈가 지속적으로 증가하고 반대로 d가 음수이면 시리즈의 숫자는 모듈로 만 증가하는 반면 절대 값은 숫자 n이 증가함에 따라 감소합니다.

산술 진행의 차이점은 무엇입니까? 이 값을 계산하는 데 사용되는 두 가지 주요 공식을 고려하십시오.

1. d = a n+1 -a n , 이 공식은 고려된 일련의 숫자 정의에서 직접 따릅니다.
2. d \u003d (-a 1 + a n) / (n-1), 이 식은 기사의 이전 단락에 제공된 공식에서 d를 표현하여 얻습니다. 이 표현식은 n=1인 경우 미정(0/0)이 됩니다. 이는 그 차이를 결정하기 위해 시리즈의 최소 2개 요소를 알아야 하기 때문입니다.

이 두 가지 기본 공식은 진행 차이를 찾는 문제를 해결하는 데 사용됩니다. 그러나 알아야 할 또 다른 공식이 있습니다.

첫 번째 요소의 합

역사적 증거에 따르면 대수적 진행의 모든 ​​구성원의 합을 결정하는 데 사용할 수 있는 공식은 18세기 수학의 "왕자"인 칼 가우스가 처음으로 얻었습니다. 독일 과학자, 아직 소년 시절 초등학교마을 학교는 접기 위해 정수 1에서 100까지의 시리즈에서 먼저 첫 번째 요소와 마지막 요소를 더해야 하며(결과 값은 끝에서 두 번째와 두 번째, 끝에서 두 번째와 세 번째 요소 등의 합과 같을 것입니다) 이 숫자는 다음과 같아야 합니다. 이 합계의 수, 즉 50을 곱합니다.

명시된 결과를 특정 예에 반영하는 공식은 임의의 경우로 일반화할 수 있습니다. 다음과 같을 것입니다: S n = n/2*(an + a 1). 지정된 값을 찾기 위해 진행의 두 구성원(a n 및 a 1)이 알려진 경우 차이 d에 대한 지식이 필요하지 않습니다.

예 #1. 급수 a1과 급수의 두 항을 알고 차이를 결정하십시오.

기사에서 위에 표시된 수식을 적용하는 방법을 보여줍니다. 간단한 예를 들어 보겠습니다. 산술 진행의 차이는 알 수 없습니다. a 13 \u003d -5.6 및 a 1 \u003d -12.1인 경우 동일한 값을 결정해야 합니다.

우리는 두 요소의 값을 알고 있기 때문에 숫자 시퀀스, 그 중 하나가 첫 번째 숫자인 동안 공식 2번을 사용하여 차이를 결정할 수 있습니다. d. d \u003d (-1 * (-12.1) + (-5.6)) / 12 \u003d 0.54167이 있습니다. 이 서수를 가진 멤버가 알려져 있기 때문에 표현식에서 n=13 값을 사용했습니다.

결과적인 차이는 문제의 조건에 주어진 요소가 다음을 가지고 있음에도 불구하고 진행이 증가하고 있음을 나타냅니다 부정적인 의미. a 13 >a 1 이지만 |a 13 |<|a 1 |.

예 #2. 예 #1의 긍정적인 진행 용어

이전 예제에서 얻은 결과를 사용하여 새로운 문제를 해결해 보겠습니다. 다음과 같이 공식화됩니다. 예 1의 진행 요소가 양수 값을 취하기 시작하는 서수는 무엇입니까?

보시는 바와 같이 1 = -12.1, d = 0.54167의 진행이 증가하고 있으므로 특정 숫자부터 숫자는 양수 값만 취하게 됩니다. 이 숫자 n을 결정하려면 수학적으로 다음과 같이 작성되는 간단한 부등식을 풀어야 합니다. a n>0 또는 적절한 공식을 사용하여 부등식을 다시 작성합니다: a 1 + (n-1)*d>0. 미지의 n을 찾는 것이 필요합니다. 표현해 봅시다: n> -1 * a 1 / d + 1. 이제 대체해야 합니다. 알려진 값차이와 시퀀스의 첫 번째 항. n>-1*(-12.1) /0.54167 + 1= 23.338 또는 n>23.338이 됩니다. n은 정수 값만 취할 수 있으므로 얻은 부등식에서 23보다 큰 숫자를 갖는 급수 항은 양수가 됩니다.

이 산술 진행의 23번째와 24번째 요소를 계산하기 위해 위의 공식을 사용하여 답을 확인합시다. 우리는 다음을 가지고 있습니다 : a 23 \u003d -12.1 + 22 * ​​​​0.54167 \u003d -0.18326 (음수); a 24 \u003d -12.1 + 23 * 0.54167 \u003d 0.3584(양수). 따라서 얻은 결과는 정확합니다. n=24부터 시작하여 숫자 계열의 모든 구성원은 0보다 큽니다.

예 #3. 몇 개의 로그가 적합할까요?

여기에 한 가지 흥미로운 문제가 있습니다. 로깅하는 동안 아래 그림과 같이 톱질한 통나무를 서로 쌓기로 결정했습니다. 총 10개의 행이 들어맞는다는 것을 알면 이러한 방식으로 몇 개의 로그를 쌓을 수 있습니까?

이러한 방식으로 로그를 접으면 한 가지 흥미로운 사실을 알 수 있습니다. 각 후속 행에는 이전 행보다 로그가 하나 적게 포함됩니다. 즉, 대수적 진행이 있으며 그 차이는 d=1입니다. 각 행의 로그 수가 이 진행의 구성원이라고 가정하고 a 1 = 1(맨 위에 하나의 로그만 적합함)을 고려하면 숫자 a 10 을 찾습니다. 우리는 다음을 가지고 있습니다 : a 10 \u003d 1 + 1 * (10-1) \u003d 10. 즉, 지상에있는 10 번째 행에는 10 개의 로그가 있습니다.

이 "피라미드" 구성의 총량은 가우스 공식을 사용하여 얻을 수 있습니다. 우리는 다음을 얻습니다. S 10 \u003d 10/2 * (10 + 1) \u003d 55 로그.