persimpangan dua set disebut himpunan semua elemen umum set ini.

Contoh :
Mari kita ambil angka 12 dan 18. Temukan pembaginya, yang menunjukkan seluruh himpunan pembagi ini, masing-masing, dengan huruf A dan B:
A \u003d (1, 2, 3, 4, 6, 12),
B = (1, 2, 3, 6, 9, 18).

Kita melihat bahwa angka 12 dan 18 memiliki pembagi yang sama: 1, 2, 3, 6. Mari kita tunjukkan dengan huruf C:
C = (1, 2, 3, 6).

Himpunan C adalah perpotongan dari himpunan A dan B. Mereka menulisnya seperti ini:
SebuahB =C.

Jika dua himpunan tidak memiliki elemen yang sama, maka perpotongan himpunan tersebut adalah kosong sekelompok.
Himpunan kosong dilambangkan dengan tanda , dan notasi berikut digunakan:

XY = .

Persatuan dua set adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen himpunan tersebut.

Sebagai contoh, mari kita kembali ke angka 12 dan 18 dan himpunan elemennya A dan B. Pertama, kita menulis elemen himpunan A, lalu menambahkannya ke elemen himpunan B yang tidak ada dalam himpunan A. Kami mendapatkan himpunan elemen yang A dan B memiliki kesamaan. Mari kita tunjukkan dengan huruf D:

D = (1, 2, 3, 4, 6, 12, 9, 18).

Himpunan D adalah gabungan dari himpunan A dan B. Ditulis seperti ini:

D=A kamu b.

Operasi utama yang dilakukan pada himpunan adalah tambahan (Persatuan), perkalian (persimpangan) dan pengurangan . Operasi ini, seperti yang akan kita lihat nanti, tidak identik dengan operasi dengan nama yang sama yang dilakukan pada angka.

Definisi : Asosiasi(atau jumlah) dari dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang memuat semua elemen demikian dan hanya sedemikian yang merupakan elemen-elemen dari sekurang-kurangnya salah satu himpunan tersebut. Gabungan himpunan A dan B dinotasikan sebagai A B.

Definisi ini berarti bahwa penjumlahan himpunan A dan B adalah penyatuan semua elemennya menjadi satu himpunan A B. Jika elemen yang sama terdapat pada kedua himpunan, maka elemen-elemen ini hanya masuk ke serikat satu kali.

Gabungan dari tiga atau lebih himpunan didefinisikan dengan cara yang sama.

Definisi : persimpangan(atau perkalian) dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari elemen-elemen tersebut dan hanya elemen-elemen yang termasuk dalam himpunan A dan himpunan B pada waktu yang sama. Irisan himpunan A dan B dinotasikan sebagai A B.

Perpotongan tiga atau lebih himpunan didefinisikan dengan cara yang sama.

Definisi : Selisih himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari mereka dan hanya elemen-elemen himpunan A yang bukan anggota himpunan B. Selisih himpunan A dan B dinotasikan sebagai A \ B. Operasi di mana selisih himpunan ditemukan disebut pengurangan.

Jika B A, maka selisih A \ B disebut komplemen dari himpunan B terhadap himpunan A. Jika himpunan B merupakan himpunan bagian dari himpunan semesta U, maka komplemen dari B ke U dinotasikan, yaitu = U\B.

Latihan :

Pertimbangkan tiga set N={0,2,4,5,6,7}, M=(1,3,5,7,9) dan P=(1,3,9,11). Mencari

1. A= N  M

   B=N M

   C =N P

Jawab operasi mana dari himpunan yang diberikan yang harus digunakan untuk mendapatkan himpunan yang dijelaskan di bawah ini.

1. Diberikan: TETAPI- banyak dari semuanya mahasiswa fakultas, PADA– banyak mahasiswa yang terlilit hutang akademik. Mendefinisikan Dengan- banyak mahasiswa fakultas yang sukses.

   Diberikan: TETAPI- satu set semua siswa yang sangat baik dari fakultas, PADA- banyak mahasiswa yang tidak memiliki hutang akademik, Dengan adalah himpunan siswa yang berhasil dengan setidaknya satu rangkap tiga. Mendefinisikan D- banyak mahasiswa fakultas yang punya waktu tanpa tiga kali lipat.

   Diberikan: kamu adalah himpunan semua siswa dari kelompok belajar, TETAPI- banyak siswa dari kelompok ini yang menerima kredit dalam pendidikan jasmani, PADA- banyak siswa dari kelompok yang sama yang berhasil lulus ujian dalam sejarah Tanah Air. Mendefinisikan Dengan adalah himpunan siswa dari kelompok belajar yang sama yang unggul dalam kedua disiplin ilmu, D– sekelompok siswa dari kelompok yang sama yang "gagal" setidaknya satu tes.

1. Sifat penyatuan dan perpotongan dari himpunan

Dari definisi penyatuan dan perpotongan himpunan, sifat-sifat operasi ini mengikuti, yang disajikan dalam bentuk persamaan yang berlaku untuk himpunan apa pun. A , B dan Dengan .

A  B = B  A - komutatifitas serikat pekerja;

A  B = B  A - komutatif persimpangan;

A  (B  Dengan ) = (A  B )  Dengan - asosiasi asosiasi;

A  (B  Dengan ) = (A  B )  Dengan - asosiatif persimpangan;

A  (B  Dengan ) = (A  B )  (A  DENGAN) - distributivitas persimpangan sehubungan dengan serikat pekerja;

A  (B  Dengan ) = (A  B )  (A  DENGAN) - distribusi serikat pekerja sehubungan dengan persimpangan;

Hukum penyerapan:

A  A = A

A  A = A

A  Ø = A

A  Ø = Ø

A  kamu = kamu

A  kamu = A

Perlu dicatat bahwa perbedaan tidak memiliki sifat komutatif dan asosiatif, yaitu, A \ B ≠ B \ A dan A \ (B \ Dengan ) ≠ (A \ B ) \ Dengan . Ini dapat dengan mudah diverifikasi dengan membangun diagram Euler-Venn.

Set. Operasi pada himpunan.
Setel tampilan. Setel daya

Saya menyambut Anda di pelajaran pertama dalam aljabar yang lebih tinggi, yang muncul ... pada malam ulang tahun kelima situs, setelah saya membuat lebih dari 150 artikel dalam matematika, dan materi saya mulai terbentuk dalam kursus yang selesai . Namun, saya berharap saya tidak terlambat - lagipula, banyak siswa mulai mempelajari kuliah hanya untuk ujian negara =)

Kursus universitas vyshmat secara tradisional didasarkan pada tiga pilar:

– analisis matematis (batas, turunan dll.)

– dan terakhir musim 2015/16 tahun ajaran dibuka dengan pelajaran Aljabar untuk boneka, Elemen logika matematika, di mana kita akan menganalisis dasar-dasar bagian, serta berkenalan dengan konsep matematika dasar dan notasi umum. Saya harus mengatakan bahwa di artikel lain saya tidak menyalahgunakan "coretan" , namun, ini hanya sebuah gaya, dan, tentu saja, mereka perlu dikenali dalam keadaan apa pun =). Saya memberi tahu pembaca baru bahwa pelajaran saya berorientasi pada praktik, dan materi berikut akan disajikan dalam nada ini. Untuk informasi lebih lengkap dan akademis, silakan merujuk ke buku teks. Pergi:

Sekelompok. Tetapkan contoh

Himpunan adalah konsep dasar tidak hanya matematika, tetapi seluruh dunia di sekitarnya. Ambil barang apa pun di tangan Anda sekarang. Di sini Anda memiliki satu set yang terdiri dari satu elemen.

PADA pengertian luas, himpunan adalah kumpulan objek (elemen) yang dipahami secara keseluruhan(menurut tanda, kriteria atau keadaan tertentu). Selain itu, ini bukan hanya objek material, tetapi juga huruf, angka, teorema, pikiran, emosi, dll.

Himpunan biasanya dilambangkan dengan besar dengan huruf latin (sebagai opsi, dengan subskrip: dll.), dan elemen-elemennya ditulis dalam kurung kurawal, misalnya:

- satu set huruf alfabet Rusia;
- sekelompok bilangan asli;

Nah, sekarang saatnya untuk mengenal satu sama lain sedikit:
– banyak siswa di baris 1

… Saya senang melihat wajah serius dan fokus Anda =)

Set dan adalah terakhir(terdiri dari sejumlah elemen yang terbatas), dan himpunan adalah contohnya tak berujung set. Selain itu, dalam teori dan praktik, apa yang disebut set kosong:

adalah himpunan yang tidak mengandung unsur apapun.

Contohnya sudah Anda ketahui - set dalam ujian sering kosong =)

Keanggotaan suatu unsur dalam suatu himpunan ditunjukkan dengan lambang , contoh :

- huruf "menjadi" milik set huruf alfabet Rusia;
- huruf "beta" bukan milik set huruf alfabet Rusia;
– angka 5 termasuk dalam himpunan bilangan asli;
- tapi nomor 5.5 sudah tidak ada lagi;
- Voldemar tidak duduk di baris pertama (dan terlebih lagi, bukan milik set atau =)).

Dalam abstrak dan tidak begitu aljabar, unsur-unsur himpunan dilambangkan dengan huruf Latin kecil dan, karenanya, fakta kepemilikan disusun dengan gaya berikut:

- elemen milik himpunan.

Himpunan di atas ditulis transfer langsung elemen, tapi ini bukan satu-satunya cara. Banyak set yang mudah didefinisikan menggunakan beberapa tanda (s), yang melekat ke semua elemennya. Sebagai contoh:

adalah himpunan semua bilangan asli kurang dari 100.

Ingat: tongkat vertikal panjang mengungkapkan pergantian verbal "yang", "sehingga". Cukup sering, tanda titik dua digunakan sebagai gantinya: - mari kita baca entri secara lebih formal: "kumpulan elemen milik himpunan bilangan asli, seperti yang » . Sudah selesai dilakukan dengan baik!

Himpunan ini juga dapat ditulis dengan pencacahan langsung:

Contoh lainnya:
- dan jika ada cukup banyak siswa di baris pertama, maka catatan seperti itu jauh lebih nyaman daripada daftar langsung mereka.

adalah himpunan bilangan yang termasuk dalam interval. Perhatikan bahwa ini mengacu pada set sah angka (tentang mereka nanti), yang tidak dapat lagi dicantumkan dipisahkan dengan koma.

Perlu dicatat bahwa unsur-unsur suatu himpunan tidak harus "homogen" atau berhubungan secara logis. Ambil tas besar dan mulailah memasukkannya secara acak ke dalamnya. berbagai item. Tidak ada keteraturan dalam hal ini, tetapi, bagaimanapun, kita berbicara tentang berbagai subjek. Secara kiasan, satu set adalah "paket" terpisah di mana satu set objek tertentu ternyata "dengan kehendak takdir".

himpunan bagian

Hampir semuanya jelas dari namanya sendiri: himpunannya adalah himpunan bagian set jika setiap elemen dari set milik set . Dengan kata lain, himpunan terkandung dalam himpunan:

Ikon disebut ikon penyertaan.

Mari kita kembali ke contoh di mana kumpulan huruf alfabet Rusia. Dilambangkan dengan - himpunan vokalnya. Kemudian:

Dimungkinkan juga untuk memilih subset huruf konsonan dan, secara umum, subset arbitrer yang terdiri dari sejumlah huruf Sirilik yang diambil secara acak (atau non-acak). Secara khusus, setiap huruf Cyrillic adalah bagian dari himpunan .

Hubungan antara himpunan bagian dengan mudah digambarkan menggunakan kondisional skema geometris, yang disebut lingkaran Euler.

Misalkan himpunan mahasiswa pada baris ke-1, himpunan mahasiswa kelompok, dan himpunan mahasiswa universitas. Maka hubungan inklusi dapat direpresentasikan sebagai berikut:

Himpunan mahasiswa dari universitas lain harus digambarkan sebagai lingkaran yang tidak memotong lingkaran luar; banyaknya siswa negara dalam lingkaran yang berisi kedua lingkaran ini, dan seterusnya.

Contoh tipikal kami mengamati inklusi ketika mempertimbangkan set numerik. Mari kita ulangi materi sekolah, yang penting untuk diingat ketika mempelajari matematika tingkat tinggi:

Himpunan numerik

Seperti yang Anda ketahui, secara historis, bilangan asli adalah yang pertama muncul, dirancang untuk menghitung objek material (manusia, ayam, domba, koin, dll.). Set ini telah dipenuhi di artikel, satu-satunya hal adalah kami sekarang sedikit mengubah penunjukannya. Faktanya adalah bahwa set numerik biasanya dilambangkan dengan huruf tebal, bergaya atau menebal. Saya lebih suka menggunakan huruf tebal:

Terkadang nol termasuk dalam himpunan bilangan asli.

Jika kita menambahkan angka yang sama dengan tanda yang berlawanan dan nol ke himpunan, kita mendapatkan himpunan bilangan bulat:

Rasionalisator dan orang malas menuliskan elemennya dengan ikon "tambah kurang":))

Cukup jelas bahwa himpunan bilangan asli adalah himpunan bagian dari himpunan bilangan bulat:
- karena setiap elemen himpunan milik himpunan . Jadi, setiap bilangan asli dapat dengan aman disebut bilangan bulat.

Nama himpunan juga "berbicara": bilangan bulat - ini berarti tidak ada pecahan.

Dan, segera setelah bilangan bulat, kami segera mengingat tanda-tanda penting dari pembagiannya dengan 2, 3, 4, 5 dan 10, yang akan diperlukan dalam perhitungan praktis hampir setiap hari:

Bilangan bulat habis dibagi 2 tanpa sisa jika berakhir dengan 0, 2, 4, 6, atau 8 (yaitu setiap angka genap). Misalnya, angka:
400, -1502, -24, 66996, 818 - dibagi 2 tanpa sisa.

Dan mari kita segera menganalisis tanda "terkait": bilangan bulat habis dibagi 4 jika bilangan tersebut terdiri dari dua angka terakhir (dalam urutan mereka) habis dibagi 4.

400 habis dibagi 4 (karena 00 (nol) habis dibagi 4);
-1502 - tidak habis dibagi 4 (karena 02 (dua) tidak habis dibagi 4);
-24, tentu saja, habis dibagi 4;
66996 - habis dibagi 4 (karena 96 habis dibagi 4);
818 - tidak habis dibagi 4 (karena 18 tidak habis dibagi 4).

Buat pembenaran sederhana Anda sendiri untuk fakta ini.

Pembagian dengan 3 sedikit lebih sulit: suatu bilangan bulat habis dibagi 3 tanpa sisa jika jumlah angkanya habis dibagi 3.

Mari kita periksa apakah bilangan 27901 habis dibagi 3. Untuk melakukannya, kita jumlahkan bilangan-bilangannya:
2 + 7 + 9 + 0 + 1 = 19 - tidak habis dibagi 3
Kesimpulan: 27901 tidak habis dibagi 3.

Mari kita jumlahkan digit angka -825432:
8 + 2 + 5 + 4 + 3 + 2 = 24 - habis dibagi 3
Kesimpulan: bilangan -825432 habis dibagi 3

Bilangan bulat habis dibagi 5, jika diakhiri dengan lima atau nol:
775, -2390 - habis dibagi 5

Bilangan bulat habis dibagi 10 jika berakhir dengan nol:
798400 - habis dibagi 10 (dan jelas pada 100). Yah, mungkin semua orang ingat - untuk membagi dengan 10, Anda hanya perlu menghapus satu nol: 79840

Ada juga tanda-tanda yang dapat dibagi dengan 6, 8, 9, 11, dll, tetapi praktis tidak ada arti praktis dari mereka =)

Perlu dicatat bahwa kriteria yang terdaftar (tampaknya sangat sederhana) terbukti secara ketat dalam teori bilangan. Bagian aljabar ini umumnya cukup menarik, namun teoremanya ... hanya eksekusi Cina modern =) Dan Voldemar di meja terakhir sudah cukup ... tapi tidak apa-apa, segera kita akan berurusan dengan pemberian kehidupan latihan =)

Himpunan bilangan selanjutnya adalah sekelompok angka rasional :
- yaitu, setiap bilangan rasional dapat direpresentasikan sebagai pecahan dengan bilangan bulat pembilang dan alami penyebut.

Jelasnya, himpunan bilangan bulat adalah himpunan bagian himpunan bilangan rasional:

Memang, bilangan bulat apa pun dapat direpresentasikan sebagai pecahan rasional, Sebagai contoh: dll. Dengan demikian, bilangan bulat dapat secara sah disebut bilangan rasional.

Tanda "pengidentifikasi" yang khas dari bilangan rasional adalah kenyataan bahwa ketika membagi pembilang dengan penyebut, diperoleh salah satu
adalah bilangan bulat,

atau
– terakhir desimal,

atau
- tak berujung berkala desimal (pemutaran ulang mungkin tidak segera dimulai).

Kagumi divisi dan cobalah untuk melakukan tindakan ini sesedikit mungkin! Dalam artikel organisasi Matematika Tinggi untuk Dummies dan dalam pelajaran lain saya berulang kali mengulangi, mengulangi, dan akan mengulangi mantra ini:

PADA matematika yang lebih tinggi kami berusaha untuk melakukan semua tindakan dalam pecahan biasa (benar dan tidak tepat)

Setuju bahwa berurusan dengan pecahan jauh lebih nyaman daripada dengan angka desimal 0,375 (belum lagi pecahan tak terhingga).

Mari kita pergi lebih jauh. Selain yang rasional, ada banyak bilangan irasional, yang masing-masing dapat direpresentasikan sebagai tak terhingga non-periodik pecahan desimal. Dengan kata lain, tidak ada keteraturan dalam "ekor tak berhingga" dari bilangan irasional:
("tahun kelahiran Leo Tolstoy" dua kali)
dll.

Ada banyak informasi tentang konstanta terkenal "pi" dan "e", jadi saya tidak membahasnya.

Bentuk gabungan bilangan rasional dan irasional himpunan bilangan real (nyata):

- ikon asosiasi set.

Interpretasi geometris dari himpunan sudah tidak asing lagi bagi Anda - ini adalah garis bilangan:


Setiap bilangan real sesuai dengan titik tertentu dari garis bilangan, dan sebaliknya - setiap titik dari garis bilangan harus sesuai dengan beberapa bilangan real. Pada dasarnya, saya sekarang telah merumuskan properti kontinuitas bilangan asli, yang, meskipun tampak jelas, terbukti secara ketat dalam analisis matematis.

Garis bilangan juga dilambangkan dengan interval tak hingga, dan notasi atau notasi yang setara melambangkan fakta bahwa itu milik himpunan bilangan real (atau cukup "x" - bilangan real).

Dengan embeddings, semuanya transparan: himpunan bilangan rasional adalah himpunan bagian himpunan bilangan real:
, dengan demikian, setiap bilangan rasional dapat dengan aman disebut bilangan real.

Himpunan bilangan irasional juga himpunan bagian bilangan asli:

Pada saat yang sama, himpunan bagian dan jangan berpotongan- yaitu, tidak ada bilangan irasional yang dapat dinyatakan sebagai pecahan rasional.

Apakah ada sistem bilangan lain? Ada! Ini, misalnya, bilangan kompleks, yang saya sarankan agar Anda membaca secara harfiah dalam beberapa hari atau bahkan beberapa jam mendatang.

Sementara itu, kita beralih ke studi operasi himpunan, yang semangatnya telah terwujud di akhir bagian ini:

Tindakan pada set. diagram venn

Diagram Venn (mirip dengan lingkaran Euler) adalah representasi skematis dari tindakan dengan himpunan. Sekali lagi, saya memperingatkan Anda bahwa saya tidak akan mencakup semua operasi:

1) persimpangan Dan dan ditandai dengan

Perpotongan himpunan disebut himpunan, yang setiap elemennya termasuk dalam dan mengatur , dan mengatur . Secara kasar, persimpangan adalah bagian umum dari himpunan:

Jadi, misalnya, untuk set:

Jika himpunan tidak memiliki elemen yang identik, maka perpotongannya kosong. Kami baru saja menemukan contoh seperti itu ketika mempertimbangkan himpunan numerik:

Himpunan bilangan rasional dan irasional dapat secara skematis diwakili oleh dua lingkaran yang tidak tumpang tindih.

Operasi simpang juga berlaku untuk lagi set, khususnya, Wikipedia memiliki contoh perpotongan himpunan huruf dari tiga abjad.

2) Persatuan set ditandai dengan koneksi logis ATAU dan ditandai dengan

Gabungan dari himpunan adalah himpunan, yang setiap elemennya termasuk dalam himpunan tersebut atau mengatur :

Mari kita tulis persatuan himpunan:
- berbicara secara kasar, di sini Anda perlu membuat daftar semua elemen himpunan dan , dan elemen yang sama (dalam hal ini, unit di persimpangan set) harus ditentukan sekali.

Tetapi himpunan, tentu saja, mungkin tidak berpotongan, seperti halnya dengan bilangan rasional dan irasional:

Dalam hal ini, Anda dapat menggambar dua lingkaran berbayang yang tidak berpotongan.

Operasi gabungan berlaku untuk lebih banyak set, misalnya, jika , maka:

Angka tidak harus dalam urutan menaik. (Saya melakukan ini murni untuk alasan estetika). Tanpa basa-basi lagi, hasilnya dapat ditulis seperti ini:

3) perbedaan dan bukan milik himpunan:

Perbedaannya dibaca sebagai berikut: “a without be”. Dan Anda bisa berdebat dengan cara yang persis sama: pertimbangkan himpunannya. Untuk menuliskan perbedaannya, Anda perlu "membuang" semua elemen yang ada di himpunan dari himpunan:

Contoh dengan himpunan numerik:
- di sini semua bilangan asli dikecualikan dari himpunan bilangan bulat, dan notasinya sendiri berbunyi seperti ini: "kumpulan bilangan bulat tanpa himpunan bilangan asli."

Cermin: perbedaan set dan panggil set, yang masing-masing elemennya termasuk dalam set dan bukan milik himpunan:

Untuk set yang sama
- dari set "dibuang" apa yang ada di set.

Tetapi perbedaan ini ternyata kosong: . Dan pada kenyataannya - jika bilangan bulat dikeluarkan dari himpunan bilangan asli, maka, pada kenyataannya, tidak ada yang tersisa :)

Selain itu, terkadang pertimbangkan simetris perbedaan yang menggabungkan kedua "bulan sabit":
- dengan kata lain, itu adalah "segalanya kecuali persimpangan set."

4) Produk Cartesian (langsung) himpunan dan disebut himpunan semua tertib pasangan di mana elemen dan elemen

Kami menulis produk Cartesian dari set:
- mudah untuk menghitung pasangan sesuai dengan algoritme berikut: “pertama, kami secara berurutan melampirkan setiap elemen himpunan ke elemen 1 himpunan, kemudian kami melampirkan setiap elemen himpunan ke elemen 2 himpunan, lalu kami lampirkan setiap elemen himpunan ke elemen ke-3 himpunan»:

Cermin: produk kartesius himpunan dan disebut himpunan semua tertib pasangan di mana . Dalam contoh kami:
- di sini skema perekaman serupa: pertama, kami secara berurutan melampirkan semua elemen set ke "minus satu", lalu ke "de" - elemen yang sama:

Tapi ini murni untuk kenyamanan - dalam kedua kasus, pasangan dapat dicantumkan dalam urutan apa pun - penting untuk ditulis di sini semua kemungkinan pasangan.

Dan sekarang sorotan dari program ini: produk Cartesian tidak lain adalah sekumpulan poin dalam bahasa asli kita Sistem koordinasi cartesian .

Latihan untuk bahan memperbaiki diri:

Lakukan operasi jika:

Sekelompok lebih mudah untuk menggambarkannya dengan mendaftar elemen-elemennya.

Dan mode dengan interval bilangan real:

Ingatlah bahwa tanda kurung siku berarti penyertaan angka ke dalam interval, dan bulat - it pengecualian, yaitu, "minus satu" milik himpunan, dan "tiga" bukan milik himpunan. Coba cari tahu apa produk Cartesian dari set ini. Jika Anda memiliki kesulitan, ikuti gambar;)

Solusi Cepat tugas di akhir pelajaran.

Setel tampilan

Menampilkan diatur untuk mengatur adalah aturan, yang menurutnya setiap elemen himpunan dikaitkan dengan elemen (atau elemen) himpunan . Jika cocok satu-satunya elemen, aturan ini disebut didefinisikan dengan jelas fungsi atau hanya fungsi.

Fungsinya, seperti yang diketahui banyak orang, paling sering dilambangkan dengan huruf - itu diasosiasikan untuk masing-masing elemen adalah satu-satunya nilai yang dimiliki himpunan.

Nah, sekarang saya akan kembali mengganggu banyak siswa dari baris 1 dan menawarkan 6 topik untuk abstrak (set):

Terpasang (sukarela atau tidak sengaja =)) aturan mengasosiasikan setiap siswa himpunan dengan satu topik abstrak himpunan.

…dan Anda mungkin bahkan tidak dapat membayangkan bahwa Anda akan memainkan peran sebagai argumen fungsi =) =)

Unsur-unsur bentuk himpunan domain fungsi (dilambangkan dengan ), dan elemen himpunan - jangkauan fungsi (dilambangkan dengan ).

Pemetaan himpunan yang dibangun memiliki karakteristik yang sangat penting: satu-ke-satu atau bijektif(bijeksi). PADA contoh ini itu artinya untuk masing-masing siswa sejajar satu yang unik topik esai, dan sebaliknya - untuk setiap satu dan hanya satu siswa yang terpaku pada topik abstrak.

Namun, orang tidak boleh berpikir bahwa setiap pemetaan bersifat bijektif. Jika siswa ke-7 ditambahkan ke baris ke-1 (ke himpunan), maka korespondensi satu-satu akan hilang - atau salah satu siswa akan dibiarkan tanpa topik (tidak ada tampilan sama sekali), atau beberapa topik akan diberikan kepada dua siswa sekaligus. Situasi sebaliknya: jika topik ketujuh ditambahkan ke set, maka pemetaan satu-ke-satu juga akan hilang - salah satu topik akan tetap tidak diklaim.

Siswa yang terhormat, di baris 1, jangan marah - 20 orang yang tersisa setelah kelas akan membersihkan wilayah universitas dari dedaunan musim gugur. Manajer persediaan akan memberikan dua puluh golik, setelah itu korespondensi satu-ke-satu akan dibuat antara bagian utama kelompok dan sapu ..., dan Voldemar juga akan punya waktu untuk lari ke toko =)). unik"y", dan sebaliknya - untuk nilai "y" apa pun, kami dapat mengembalikan "x" dengan jelas. Jadi, merupakan fungsi bijektif.

! Untuk berjaga-jaga, saya menghilangkan kemungkinan kesalahpahaman: reservasi saya yang terus-menerus tentang ruang lingkup bukanlah kebetulan! Fungsi tersebut mungkin tidak didefinisikan untuk semua "x", dan, terlebih lagi, dalam kasus ini mungkin juga satu-ke-satu. Contoh tipikal:

Tapi di fungsi kuadrat tidak ada yang seperti ini yang diamati, pertama:
- yaitu, berbagai arti"x" muncul di sama berarti "y"; dan kedua: jika seseorang menghitung nilai fungsi dan memberi tahu kami bahwa , maka tidak jelas - "y" ini diperoleh pada atau pada ? Tak perlu dikatakan, bahkan tidak ada bau ketidakjelasan timbal balik di sini.

Tugas 2: melihat grafik fungsi dasar dasar dan tuliskan fungsi bijektif pada selembar kertas. Daftar periksa di akhir pelajaran ini.

Setel daya

Intuisi menunjukkan bahwa istilah mencirikan ukuran himpunan, yaitu jumlah elemennya. Dan intuisi tidak menipu kita!

Kardinalitas himpunan kosong adalah nol.

Kardinalitas himpunan adalah enam.

Kekuatan himpunan huruf alfabet Rusia adalah tiga puluh tiga.

Secara umum, kekuatan apa pun terakhir himpunan sama dengan jumlah elemen himpunan ini.

... mungkin tidak semua orang mengerti sepenuhnya apa itu terakhir set - jika Anda mulai menghitung elemen set ini, maka cepat atau lambat penghitungan akan berakhir. Apa yang disebut, dan Cina suatu hari nanti akan habis.

Tentu saja, himpunan dapat dibandingkan dalam kardinalitas, dan kesetaraannya dalam pengertian ini disebut kekuatan yang sama. Kesetaraan didefinisikan sebagai berikut:

Dua himpunan ekuivalen jika korespondensi satu-satu dapat dibuat di antara mereka..

Himpunan siswa setara dengan himpunan topik abstrak, himpunan huruf alfabet Rusia setara dengan himpunan 33 elemen, dll. Perhatikan persis apa siapa pun satu set 33 elemen - dalam hal ini, hanya jumlah mereka yang penting. Huruf-huruf alfabet Rusia dapat dibandingkan tidak hanya dengan banyak angka
1, 2, 3, ..., 32, 33, tetapi juga secara umum dengan kawanan 33 sapi.

Hal-hal jauh lebih menarik dengan set tak terbatas. Tak terbatas juga berbeda! ...hijau dan merah Himpunan tak terbatas "terkecil" adalah perhitungan set. Jika cukup sederhana, elemen-elemen dari himpunan tersebut dapat diberi nomor. Contoh referensi adalah himpunan bilangan asli . Ya - itu tidak terbatas, tetapi masing-masing elemennya dalam PRINSIP memiliki nomor.

Ada banyak contoh. Secara khusus, himpunan semua bilangan asli genap dapat dihitung. Bagaimana membuktikannya? Penting untuk menetapkan korespondensi satu-satu dengan himpunan bilangan asli atau cukup menomori elemen:

Korespondensi satu-satu dibuat, oleh karena itu, himpunan ekuivalen dan himpunan dapat dihitung. Ini paradoks, tetapi dari sudut pandang kekuatan - ada bilangan asli yang sama banyaknya dengan bilangan asli!

Himpunan bilangan bulat juga dapat dihitung. Unsur-unsurnya dapat diberi nomor, misalnya seperti ini:

Selain itu, himpunan bilangan rasional juga dapat dihitung. . Karena pembilangnya adalah bilangan bulat (dan, seperti yang baru saja ditunjukkan, mereka dapat diberi nomor), dan penyebutnya adalah bilangan asli, maka cepat atau lambat kita akan "mendapatkan" ke pecahan rasional apa pun dan memberinya nomor.

Tapi himpunan bilangan real sudah tak terhitung, yaitu unsur-unsurnya tidak dapat diberi nomor. Fakta ini meskipun jelas, hal ini dibuktikan secara ketat dalam teori himpunan. Kardinalitas himpunan bilangan real disebut juga kontinum, dan dibandingkan dengan set yang dapat dihitung, ini adalah set yang "lebih tak terbatas".

Karena ada korespondensi satu-satu antara himpunan dan garis bilangan (Lihat di atas), maka himpunan titik-titik dari garis real juga tak terhitung. Dan terlebih lagi, ada jumlah titik yang sama pada segmen satu kilometer dan satu milimeter! Contoh klasik:


Dengan memutar balok berlawanan arah jarum jam sampai bertepatan dengan balok, kita akan membuat korespondensi satu-satu antara titik-titik segmen biru. Jadi, ada banyak titik di segmen itu sebanyak yang ada di segmen itu dan !

Paradoks ini ternyata berhubungan dengan misteri ketakterhinggaan... tapi sekarang kita tidak akan pusing lagi dengan masalah alam semesta, karena langkah selanjutnya adalah

Tugas 2 Fungsi Satu-ke-Satu dalam Ilustrasi Pelajaran

Tujuan Pelajaran:

• pendidikan: pembentukan keterampilan untuk mengidentifikasi himpunan, himpunan bagian; pembentukan keterampilan untuk menemukan area persimpangan dan penyatuan set dalam gambar dan memberi nama elemen-elemen dari area ini, memecahkan masalah;
• berkembang: pengembangan minat kognitif siswa; pengembangan bidang intelektual individu, pengembangan keterampilan untuk membandingkan dan menggeneralisasi.
• pendidikan: untuk menumbuhkan akurasi dan perhatian dalam mengambil keputusan.

Selama kelas.

1. Momen organisasi.

2. Guru melaporkan topik pelajaran, bersama-sama siswa merumuskan tujuan dan sasaran.

3. Guru bersama-sama dengan siswa mengingat kembali materi yang dipelajari dengan topik “Set” di kelas 7, memperkenalkan konsep dan definisi baru, formula untuk memecahkan masalah.

“Banyak banyak, dianggap oleh kita sebagai satu” (pendiri teori himpunan - Georg Cantor). KANTOR (Cantor) Georg (1845-1918) - Matematikawan Jerman, ahli logika, teolog, pencipta teori himpunan transfinite (tak terbatas), yang memiliki pengaruh yang menentukan pada perkembangan ilmu matematika pada pergantian abad ke-19 dan ke-20.

Himpunan adalah salah satu konsep dasar matematika modern, yang digunakan di hampir semua bagiannya.

Sayangnya, konsep dasar teori - konsep himpunan - tidak dapat diberikan definisi yang ketat. Tentu saja, orang dapat mengatakan bahwa himpunan adalah "koleksi", "koleksi", "ansambel", "koleksi", "keluarga", "sistem", "kelas", dll., namun, semua ini tidak akan menjadi definisi matematika, melainkan penyalahgunaan kosakata bahasa Rusia.

Untuk mendefinisikan konsep apa pun, pertama-tama perlu untuk menunjukkan, sebagai kasus tertentu yang lebih konsep umum, adalah, tidak mungkin melakukan ini untuk konsep himpunan, karena tidak ada konsep yang lebih umum daripada himpunan dalam matematika.

Seringkali Anda harus membicarakan beberapa hal, disatukan oleh beberapa tanda. Jadi, kita bisa berbicara tentang himpunan semua kursi di ruangan itu, tentang himpunan semua sel tubuh manusia, himpunan semua kentang dalam karung tertentu, himpunan semua ikan di laut, himpunan semua kotak pada bidang datar, himpunan semua titik pada lingkaran tertentu, dll.

Benda-benda yang membentuk suatu himpunan disebut unsur-unsurnya.

Misalnya, himpunan hari dalam seminggu terdiri dari unsur-unsur: Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu, Minggu.

Banyak bulan - dari unsur-unsur: Januari, Februari, Maret, April, Mei, Juni, Juli, Agustus, September, Oktober, November, Desember.

Sekelompok operasi aritmatika- dari elemen: penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian.

Misalnya, jika A berarti himpunan semua bilangan asli, maka 6 milik A, tetapi 3 bukan milik A.

Jika A adalah himpunan semua bulan dalam setahun, maka Mei milik A, tetapi Rabu bukan milik A.

Jika suatu himpunan berisi sejumlah elemen yang terbatas, maka itu disebut terbatas, dan jika memiliki jumlah elemen yang tak terbatas, maka itu disebut tak terbatas. Jadi himpunan pohon di hutan berhingga, tetapi himpunan titik-titik pada lingkaran tak berhingga.

Paradoks dalam logika- ini adalah kontradiksi yang memiliki status kesimpulan yang benar secara logis dan, pada saat yang sama, merupakan alasan yang mengarah pada kesimpulan yang saling eksklusif.

Seperti yang telah disebutkan, konsep himpunan adalah jantung matematika. Menggunakan himpunan paling sederhana dan berbagai konstruksi matematika, seseorang dapat membangun hampir semua objek matematika. Ide membangun semua matematika berdasarkan teori himpunan secara aktif dipromosikan oleh G. Kantor. Namun, untuk semua kesederhanaannya, konsep himpunan penuh dengan bahaya kontradiksi atau, seperti yang mereka katakan, paradoks. Munculnya paradoks disebabkan oleh fakta bahwa tidak semua konstruksi dan tidak semua himpunan dapat dipertimbangkan.

Paradoks yang paling sederhana adalah " paradoks tukang cukur".

Seorang prajurit diperintahkan untuk mencukur mereka dan hanya prajurit-prajurit dari peletonnya yang tidak mencukur diri mereka sendiri. Tidak mematuhi perintah di ketentaraan, seperti yang Anda tahu, adalah kejahatan paling parah. Namun, muncul pertanyaan apakah prajurit ini harus mencukur dirinya sendiri. Jika dia mencukur, maka dia harus dikaitkan dengan banyak prajurit yang mencukur dirinya sendiri, dan dia tidak berhak mencukurnya. Jika dia tidak mencukur dirinya sendiri, maka dia akan jatuh ke dalam banyak tentara yang tidak mencukur dirinya sendiri, dan sesuai dengan perintah, dia wajib mencukur tentara tersebut. Paradoks.

Pada himpunan, serta pada banyak objek matematika lainnya, Anda dapat melakukan berbagai operasi, yang kadang-kadang disebut operasi teori himpunan atau operasi himpunan. Sebagai hasil dari operasi, set baru diperoleh dari set asli. Himpunan dilambangkan dengan huruf latin besar, dan elemennya dengan huruf kecil. Rekaman sebuah R artinya elemen sebuah milik himpunan R, yaitu sebuah R. Jika tidak, kapan sebuah bukan milik himpunan R, menulis sebuah R .

Dua set TETAPI dan PADA ditelepon setara (TETAPI =PADA) jika mereka terdiri dari elemen yang sama, yaitu, setiap elemen dari himpunan TETAPI adalah elemen himpunan PADA dan sebaliknya, setiap elemen himpunan PADA adalah elemen himpunan TETAPI .

Tetapkan perbandingan.

Himpunan A terdapat dalam himpunan B (himpunan B termasuk himpunan A) jika setiap anggota A adalah anggota B:

Mereka mengatakan bahwa banyak TETAPI terkandung dalam banyak PADA atau atur TETAPI adalah himpunan bagian set PADA(dalam hal ini tulis TETAPI PADA) jika setiap elemen himpunan TETAPI juga merupakan elemen dari himpunan PADA. Hubungan antar himpunan ini disebut penyertaan . Untuk set apa pun TETAPI ada inklusi: TETAPI dan TETAPI TETAPI

Pada kasus ini A ditelepon himpunan bagian B, B - superset A. Jika , maka A ditelepon subset sendiri PADA. perhatikan itu ,

Prioritas A,

Kedua himpunan tersebut disebut setara jika mereka adalah himpunan bagian satu sama lain

Operasi pada set

persimpangan.

Persatuan.

Properti.

1. Operasi himpunan himpunan adalah komutatif

2. Operasi himpunan himpunan bersifat transitif

3. Himpunan kosong X adalah elemen netral dari operasi himpunan himpunan

1. Misalkan A = (1,2,3,4),B = (3,4,5,6,7). Kemudian

2. A \u003d (2,4,6,8,10), B \u003d (3,6,9,12). Mari kita cari penyatuan dan perpotongan dari himpunan-himpunan ini:

{2,4,6,8, 10,3,6,9,12}, = {6}.

3. Himpunan anak adalah himpunan bagian dari total populasi

4. Perpotongan himpunan bilangan bulat dengan himpunan bilangan positif adalah himpunan bilangan asli.

5. Himpunan himpunan bilangan rasional dengan himpunan bilangan irasional adalah himpunan bilangan positif.

6. Nol adalah komplemen dari himpunan bilangan asli terhadap himpunan bilangan bulat non-negatif.

diagram venn(diagram venn) - nama yang umum sejumlah metode visualisasi dan metode ilustrasi grafis, banyak digunakan di berbagai bidang sains dan matematika: teori himpunan, pada kenyataannya "diagram Venn" menunjukkan semua kemungkinan hubungan antara set atau acara dari beberapa keluarga; varietas diagram venn adalah: diagram Euler,

Diagram Venn dari empat himpunan.

Sebenarnya "diagram Venn" menunjukkan semua kemungkinan hubungan antara set atau peristiwa dari beberapa keluarga. Diagram Venn biasa memiliki tiga set. Venn sendiri mencoba menemukan cara anggun dengan bentuk simetris mewakili pada diagram lagi set, tapi dia hanya bisa melakukan ini untuk empat set (lihat gambar di sebelah kanan) menggunakan elips.

diagram Euler

Diagram Euler mirip dengan diagram Venn. Diagram Euler dapat digunakan untuk mengevaluasi kemungkinan identitas teori himpunan.

Tugas 1. Ada 30 orang di kelas, masing-masing menyanyi atau menari. Diketahui 17 orang menyanyi, dan 19 orang pandai menari. Berapa banyak orang yang bernyanyi dan menari pada saat yang bersamaan?

Keputusan: Pertama, kami mencatat bahwa dari 30 orang, 30 - 17 = 13 orang tidak bisa menyanyi.

Mereka semua tahu cara menari, karena sesuai dengan kondisi, setiap siswa kelas bernyanyi atau menari. Total 19 orang bisa menari, 13 orang di antaranya tidak bisa menyanyi, artinya 19-13 = 6 orang bisa menari sekaligus menyanyi.

Soal-soal pada perpotongan dan penyatuan himpunan.

1. Himpunan A = (3.5, 0, 11, 12, 19), B = (2.4, 8, 12, 18.0) diberikan.
   Temukan himpunan AU B,
2. Buatlah setidaknya tujuh kata yang huruf-hurufnya membentuk himpunan bagian dari himpunan
   A - (k, a, p, y, s, e, l, b).
3. Misalkan A adalah himpunan bilangan asli yang habis dibagi 2, dan B adalah himpunan bilangan asli yang habis dibagi 4. Kesimpulan apa yang dapat ditarik tentang himpunan ini?
4. Perusahaan ini mempekerjakan 67 orang. Dari jumlah tersebut, 47 tahu bahasa Inggris, 35 adalah bahasa Jerman dan 23 adalah bahasa keduanya. Berapa banyak orang di perusahaan yang tidak bisa berbahasa Inggris atau? Jerman?
5. Dari 40 siswa di kelas kami, 32 suka susu, 21 suka limun, dan 15 suka susu dan limun. Berapa banyak anak di kelas kita yang tidak suka susu atau limun?
6. 12 teman sekelas saya suka membaca cerita detektif, 18 suka membaca fiksi ilmiah, tiga dari mereka membaca keduanya dengan senang hati, dan satu tidak membaca sama sekali. Berapa banyak siswa di kelas kita?
7. Dari 18 teman sekelas saya yang suka menonton film thriller, hanya 12 yang tidak keberatan menonton kartun. Berapa banyak teman sekelas saya yang hanya menonton "kartun" jika ada 25 siswa di kelas kami, yang masing-masing suka menonton film thriller, atau kartun, atau keduanya?
8. Dari 29 anak laki-laki di halaman kami, hanya dua yang tidak berolahraga, dan sisanya menghadiri bagian sepak bola atau tenis, atau bahkan keduanya. Ada 17 anak laki-laki bermain sepak bola dan 19 orang bermain tenis.Berapa banyak pemain sepak bola yang bermain tenis? Berapa banyak pemain tenis yang bermain sepak bola?
9. 65% Kelinci Nenek menyukai wortel, 10% menyukai wortel dan kubis. Berapa persen kelinci yang tidak menolak makan kubis?
10. Ada 25 siswa dalam satu kelas. Dari jumlah tersebut, 7 cinta pir, 11 cinta ceri. Dua seperti pir dan ceri; 6 - pir dan apel; 5 - apel dan ceri. Tetapi ada dua siswa di kelas yang menyukai segala sesuatu dan empat siswa yang tidak menyukai buah sama sekali. Berapa banyak siswa di kelas ini yang menyukai apel?
11. 22 gadis berpartisipasi dalam kontes kecantikan. Dari jumlah tersebut, 10 orang cantik, 12 orang pintar, dan 9 orang baik hati. Hanya 2 gadis yang cantik dan pintar; 6 gadis itu pintar dan baik pada saat yang sama. Tentukan berapa banyak gadis cantik dan sekaligus baik hati, jika saya memberi tahu Anda bahwa di antara para peserta tidak ada satu pun yang pintar, baik hati, dan sekaligus perempuan cantik?
12. Ada 35 siswa di kelas kami. Untuk kuartal pertama dari lima dalam bahasa Rusia, 14 siswa memiliki; dalam matematika - 12; dalam sejarah - 23; dalam bahasa Rusia dan matematika - 4; dalam matematika dan sejarah - 9; dalam bahasa dan sejarah Rusia - 5. Berapa banyak siswa yang memiliki balita di ketiga mata pelajaran, jika tidak ada satu siswa di kelas yang tidak memiliki balita di setidaknya salah satu mata pelajaran ini?
13. Dari 100 orang, 85 berbahasa Inggris, 80 berbahasa Spanyol, dan 75 berbahasa Jerman. Semua berbicara setidaknya satu bahasa asing. Di antara mereka tidak ada yang menguasai dua bahasa asing, tetapi ada yang menguasai tiga bahasa. Berapa banyak dari 100 orang itu yang tahu tiga bahasa?
14. Dari karyawan perusahaan, 16 mengunjungi Prancis, 10 - Italia, 6 - Inggris; di Inggris dan Italia - 5; di Inggris dan Prancis - 6; di ketiga negara - 5 karyawan. Berapa banyak orang yang telah mengunjungi Italia dan Prancis, jika ada 19 orang di perusahaan itu, dan masing-masing dari mereka telah mengunjungi setidaknya satu dari negara-negara ini?

5. Menyimpulkan pelajaran.

6. Refleksi.

• saya paling berhasil...
• Itu adalah wahyu bagi saya bahwa...
• Apa yang bisa Anda puji dari diri Anda sendiri?
• Apa yang menurut Anda tidak berhasil? Mengapa? Apa yang harus dipertimbangkan untuk masa depan?
• Prestasi saya di kelas

7. Pekerjaan rumah.

1. Makarychev. Rincian 13. Nomor 263, Nomor 264, Nomor 265, Nomor 266, Nomor 271, Nomor 272.
2. Menyusun tugas untuk penerapan teori himpunan.
3. Dalam kelompok, siapkan presentasi dengan topik "Set".