Skema geometris untuk menentukan probabilitas. Definisi geometris peluang suatu kejadian
Seperti yang ditunjukkan pada bagian Definisi Klasik dari Probabilitas, dalam eksperimen acak dengan sejumlah hasil elementer yang mungkin sama terapan definisi klasik dari probabilitas.
Untuk memperkenalkan probabilitas kejadian dalam eksperimen acak, kemungkinan hasil yang (hasil dasar) juga sama mungkin dan mengisi celah sepenuhnya garis lurus, angka di pesawat atau wilayah di luar angkasa, diterapkan definisi geometris probabilitas. Dalam percobaan seperti itu, jumlah hasil dasar belum final, dan oleh karena itu definisi klasik tentang probabilitas tidak dapat diterapkan pada mereka.
Mari kita ilustrasikan pengenalan definisi geometris probabilitas dengan contoh-contoh.
Contoh 1 . Sebuah titik dilemparkan secara acak pada segmen garis bilangan. Temukan probabilitas bahwa titik jatuh pada segmen (Gbr. 1).
Menjawab:
Contoh 2 . Diagonal KM dan LN bujur sangkar KLMN memotong lingkaran yang terdapat pada bujur sangkar di titik E dan F, titik O adalah pusat lingkaran (Gbr. 2).
Sebuah titik dilemparkan secara acak ke dalam kotak KLMN. Tentukan peluang titik tersebut jatuh ke sektor EOF bertanda merah muda pada Gambar 2.
Menjawab:
Contoh 3 . Sebuah titik dilemparkan secara acak ke dalam kerucut dengan titik sudut S dan pusat alas O. Temukan probabilitas bahwa titik akan jatuh ke dalam kerucut terpotong diperoleh dengan memotong kerucut dengan bidang yang melewati titik tengah O "dari ketinggian kerucut dan sejajar dengan alas kerucut (Gbr. 3).
Keputusan . Himpunan hasil dasar dari percobaan acak melempar sebuah titik adalah himpunan semua titik kerucut dengan titik S dan pusat alas O .
Pukulan sebuah titik pada kerucut yang terpotong adalah salah satu kejadian acak, yang dilambangkan dengan huruf A.
Pada definisi geometris kemungkinan kejadian A dihitung dengan rumus
Misalkan R adalah jari-jari alas kerucut dengan simpul S dan alas pusat O, dan misalkan H adalah tinggi kerucut ini. Maka jari-jari alas dan tinggi kerucut dengan titik sudut S dan pusat alas O" akan sama dengan
masing-masing.
Volume kerucut dengan titik sudut S dan pusat alas O adalah
Definisi klasik tentang probabilitas memiliki keterbatasan dalam penerapannya. Diasumsikan bahwa himpunan kejadian elementer berhingga atau dapat dihitung, yaitu, = ( ω 1 , ω 2 , … , ω n , …), dan semua ω i – kejadian dasar yang sama mungkin. Namun, dalam praktiknya ada tes yang himpunan hasil elementernya tidak terbatas. Misalnya, ketika membuat bagian tertentu pada mesin, perlu untuk mempertahankan ukuran tertentu. Di sini, keakuratan pembuatan bagian tergantung pada keterampilan pekerja, kualitas alat pemotong, kesempurnaan mesin, dll. Jika tes dipahami sebagai pembuatan bagian, maka sebagai hasil dari pengujian semacam itu, jumlah hasil yang tidak terbatas dimungkinkan, dalam hal ini memperoleh bagian dengan ukuran yang diperlukan.
Untuk mengatasi kekurangan definisi klasik tentang probabilitas, beberapa konsep geometri kadang-kadang digunakan (jika, tentu saja, keadaan pengujian memungkinkan). Dalam semua kasus seperti itu, kemungkinan melakukan (setidaknya secara teoritis) sejumlah tes diasumsikan, dan konsepnya kesempatan yang sama juga memainkan peran utama.
Mari kita pertimbangkan tes dengan ruang kejadian, hasil dasar yang direpresentasikan sebagai titik yang mengisi beberapa area (dalam ruang tiga dimensi R 3). Biarkan acara TETAPI terdiri dari memukul titik yang dilemparkan secara acak di subdomain D domain . peristiwa TETAPI mendukung peristiwa dasar di mana intinya jatuh ke dalam beberapa subdomain D. Kemudian di bawah probabilitas acara TETAPI kita akan memahami rasio volume subdomain D(area yang disorot pada Gambar 1.11) dengan volume area , R(TETAPI) = V(D) / V(Ω).
|
Beras.1. 11 |
Di sini, dengan analogi dengan konsep hasil yang menguntungkan, area D akan disebut menguntungkan untuk penampilan acara TETAPI. Probabilitas suatu peristiwa didefinisikan dengan cara yang sama TETAPI, ketika himpunan adalah luas tertentu pada bidang atau segmen pada garis lurus. Dalam kasus ini, volume daerah masing-masing diganti dengan luas gambar atau panjang segmen.
Jadi, kita sampai pada definisi baru - probabilitas geometris untuk pengujian dengan rangkaian kejadian dasar yang tak terhitung jumlahnya, yang dirumuskan sebagai berikut.
Probabilitas geometrik suatu peristiwa A adalah rasio ukuran subdomain yang mendukung terjadinya peristiwa ini dengan ukuran seluruh area, mis.
p(A) =pesanD / mesΩ,
di mana mes– ukuran luas D dan , D Ì Ω.
Probabilitas geometrik suatu peristiwa memiliki semua sifat yang melekat dalam definisi klasik tentang probabilitas. Misalnya, properti ke-4 adalah: R(TETAPI+ PADA) = R(TETAPI) + R(PADA).
Definisi klasik dari probabilitas
Konsep dasar teori probabilitas adalah konsep kejadian acak. Peristiwa acak biasanya disebut peristiwa, , dalam kondisi tertentu, mungkin atau mungkin tidak terjadi. Misalnya, mengenai atau meleset suatu objek saat menembak objek ini dengan senjata yang diberikan adalah peristiwa acak.
Suatu peristiwa biasanya disebut andal jika, sebagai hasil dari pengujian, peristiwa itu pasti terjadi. Merupakan kebiasaan untuk menyebut suatu peristiwa tidak mungkin, tidak dapat terjadi sebagai hasil dari suatu pengujian.
Peristiwa acak dikatakan tidak konsisten dalam percobaan yang diberikan jika tidak ada dua dari mereka dapat muncul bersama-sama.
Peristiwa acak membentuk kelompok lengkap jika salah satu dari mereka dapat muncul di setiap percobaan dan tidak ada peristiwa lain yang tidak sesuai dengan mereka yang dapat muncul.
Pertimbangkan kelompok lengkap dari peristiwa acak yang sama-sama mungkin tidak kompatibel. Peristiwa semacam itu akan disebut hasil. Suatu hasil dikatakan menguntungkan bagi terjadinya peristiwa A jika terjadinya peristiwa tersebut menyebabkan terjadinya peristiwa A.
Definisi geometris probabilitas
Biarkan tes acak dianggap sebagai melempar sebuah titik secara acak ke beberapa wilayah geometris G (pada garis, bidang, atau ruang). Hasil elementer adalah titik yang terpisah dari G, setiap kejadian adalah himpunan bagian ϶ᴛᴏ dari area ini, ruang dari hasil elementer G. Kita dapat mengasumsikan bahwa semua titik di G adalah sama dan kemudian peluang sebuah titik jatuh ke salah satu titik himpunan bagian sebanding dengan ukurannya (panjang, luas, volume) dan tidak bergantung pada lokasi dan bentuknya.
probabilitas geometris kejadian A ditentukan oleh hubungan: , di mana m(G), m(A) adalah ukuran geometris (panjang, luas atau volume) dari seluruh ruang hasil elementer dan kejadian A.
Contoh. Sebuah lingkaran berjari-jari r () dilemparkan secara acak ke atas sebuah bidang, dibatasi oleh garis-garis paralel dengan lebar 2d, jarak antara garis-garis aksialnya adalah 2D. Temukan peluang bahwa lingkaran memotong beberapa garis.
Keputusan. Sebagai hasil dasar dari tes ini, kami akan mempertimbangkan jarak x dari pusat lingkaran ke garis tengah strip yang paling dekat dengan lingkaran. Kemudian seluruh ruang hasil dasar - segmen. Perpotongan lingkaran dengan strip akan terjadi jika pusatnya jatuh ke strip, .ᴇ. , atau akan ditempatkan dari tepi strip pada jarak kurang dari jari-jari, .ᴇ. .
Untuk probabilitas yang diinginkan, kami memperoleh: .
5. Frekuensi relatif suatu peristiwa adalah rasio jumlah percobaan di mana peristiwa itu terjadi dengan jumlah total percobaan yang dilakukan secara praktis. , frekuensi relatif A diberikan oleh:
(2)di mana m adalah jumlah kejadian, n adalah jumlah percobaan. Membandingkan definisi probabilitas dan frekuensi relatif, kami menyimpulkan: definisi probabilitas tidak mengharuskan pengujian dilakukan dalam kenyataan; definisi frekuensi relatif mengasumsikan bahwa tes benar-benar dilakukan. Dengan kata lain, probabilitas dihitung sebelum pengalaman, dan frekuensi relatif dihitung setelah pengalaman.
Contoh 2. Dari 80 karyawan yang dipilih secara acak, 3 orang mengalami gangguan jantung berat. Frekuensi relatif orang dengan penyakit jantung
Frekuensi relatif atau angka yang mendekatinya diambil sebagai probabilitas statis.
DEFINISI (definisi statistik probabilitas). Angka yang cenderung memiliki frekuensi relatif stabil biasanya disebut probabilitas statistik dari peristiwa ini.
6. jumlah A+B dua acara A dan B sebutkan suatu peristiwa yang terdiri dari terjadinya peristiwa A, atau peristiwa B, atau kedua peristiwa tersebut. Misalnya, jika dua tembakan ditembakkan dari pistol dan A - hit pada tembakan pertama, B - hit pada tembakan kedua, kemudian A + B - hit pada tembakan pertama, atau pada tembakan kedua, atau di kedua tembakan .
Khususnya, jika dua kejadian A dan B tidak sesuai, maka A + B adalah kejadian yang terdiri dari kemunculan salah satu kejadian ini, tidak peduli yang mana. Jumlah dari beberapa peristiwa disebut peristiwa, terdiri dari terjadinya setidaknya satu dari peristiwa ini. Misalnya, kejadian A + B + C terdiri dari terjadinya salah satu kejadian berikut: A, B, C, A dan B, A dan C, B dan C, A dan B dan C. Misalkan kejadian A dan B menjadi tidak kompatibel, dan probabilitas peristiwa ini diketahui. Bagaimana cara mencari peluang terjadinya kejadian A atau kejadian B? Jawaban atas pertanyaan ini diberikan oleh teorema penjumlahan. Dalil. Probabilitas terjadinya salah satu dari dua peristiwa yang tidak sesuai, tidak peduli yang mana, sama dengan jumlah peluang dari peristiwa-peristiwa ini:
P (A + B) = P (A) + P (B).Bukti
Akibat wajar. Probabilitas terjadinya salah satu dari beberapa kejadian yang tidak kompatibel berpasangan, tidak peduli yang mana, sama dengan jumlah probabilitas dari kejadian-kejadian ini:
P (A 1 + A 2 + ... + A n) \u003d P (A 1) + P (A 2) + ... + P (A n).
Definisi geometris probabilitas - konsep dan jenis. Klasifikasi dan fitur kategori "Definisi probabilitas geometris" 2017, 2018.
Dalam praktiknya, percobaan seperti itu sangat sering ditemui, jumlah kemungkinan hasil yang tidak terbatas. Terkadang dalam kasus seperti itu dimungkinkan untuk menggunakan metode penghitungan probabilitas, di mana konsep ekuiprobabilitas peristiwa tertentu masih memainkan peran utama .... .
Pada suatu bujur sangkar tertentu dipilih sebuah titik secara acak, berapa peluang titik tersebut berada di dalam daerah D. Dimana SD adalah luas daerah D, S adalah luas seluruh kotak. Di bawah klasik, probabilitas nol tertentu memiliki ... .
Untuk mengatasi kelemahan definisi klasik tentang probabilitas, yaitu bahwa hal itu tidak dapat diterapkan pada percobaan dengan jumlah hasil tak terhingga, probabilitas geometrik diperkenalkan - probabilitas suatu titik jatuh ke dalam suatu area. Biarkan sosok datar g (segmen atau tubuh) ... .
Definisi klasik tentang probabilitas KULIAH 1. TEORI PROBABILITAS. SEJARAH ASAL. DEFINISI PROBABILITAS KLASIK A.A. REFERENSI DAFTAR PUSTAKA Khalafyan 1. Kolemaev V.A., Staroverov O.V., Turundaevsky V.B. Teori... .[baca selengkapnya] .
Definisi ini digunakan ketika sebuah pengalaman memiliki serangkaian hasil yang mungkin dan tidak terhitung jumlahnya. Dalam hal ini, ruang kejadian elementer dapat direpresentasikan sebagai daerah tertentu G. Setiap titik pada daerah ini bersesuaian dengan kejadian elementer. Memukul... .
Definisi geometris probabilitas adalah perluasan dari konsep probabilitas klasik untuk kasus himpunan kejadian elementer yang tak terhitung. Dalam kasus himpunan tak terhitung, peluangnya ditentukan bukan pada kejadian elementer, tetapi pada himpunannya.... .
Definisi Klasik dari Probabilitas PROBABILITAS PERISTIWA Acak Interpretasi Teori Himpunan Operasi pada Peristiwa Biarkan beberapa percobaan dilakukan dengan hasil acak. Sekelompok &... .
Rumus P(A)=m/n kehilangan artinya jika jumlah semua kasus yang tidak kompatibel sama-sama mungkin tidak terbatas (membentuk himpunan tak terbatas). Namun, kadang-kadang dimungkinkan untuk memberikan karakteristik kuantitatif S dalam beberapa ukuran panjang, luas, volume, waktu, dan sebagainya, ke seluruh himpunan tak hingga dari kasus-kasus yang tidak kompatibel sama-sama mungkin, dan untuk memberikan bagian dari himpunan ini yang mendukung permulaan peristiwa A yang sedang dipertimbangkan, untuk memberikan karakteristik S b dalam tindakan yang sama. Maka peluang terjadinya kejadian A ditentukan oleh relasi:
Contoh 1. Dua buah bilangan x dan y dipilih secara acak dari selang tersebut. Tentukan peluang bahwa bilangan-bilangan ini memenuhi pertidaksamaan x 2 4y 4x.
Keputusan. Tes terdiri dari pemilihan acak dari pasangan angka x dan y dari interval. Kami akan menafsirkan ini sebagai pilihan acak titik M(x;y) dari himpunan semua titik bujur sangkar yang sisinya sama dengan dua. Mari kita perhatikan gambar , yang merupakan himpunan semua titik bujur sangkar yang koordinatnya memenuhi sistem pertidaksamaan x 2 4y 4x. Peristiwa yang menarik terjadi jika dan hanya jika titik yang dipilih M(x;y) termasuk dalam gambar . 
Menurut rumus (8), probabilitas yang diinginkan sama dengan rasio luas gambar dengan luas persegi: 
Contoh #2. Keduanya sepakat untuk bertemu di suatu tempat. Masing-masing dari mereka tiba di tempat yang ditentukan secara independen satu sama lain pada saat waktu yang acak dari dan menunggu tidak lebih dari waktu. Berapa probabilitas bertemu dalam kondisi seperti itu? 
Keputusan. Mari kita nyatakan dengan x waktu kedatangan orang pertama di tempat yang disepakati, dan dengan y waktu kedatangan orang kedua di sana. Ini mengikuti dari kondisi bahwa x dan y secara independen berjalan melalui interval waktu . Tes terdiri dari menentukan waktu kedatangan orang yang ditunjuk di tempat pertemuan. Kemudian ruang hasil elementer dari percobaan ini diinterpretasikan sebagai himpunan semua titik M(x;y) dari kuadrat =((x;y) : 0 x T, 0 y T). Peristiwa A yang menarik bagi kita - "pertemuan terjadi" terjadi jika dan hanya jika titik yang dipilih M(x;y) ada di dalam gambar , yang merupakan himpunan semua titik bujur sangkar, yang koordinatnya memenuhi pertidaksamaan |x – y| t. Menurut rumus (8), probabilitas yang diinginkan
adalah rasio luas gambar dengan luas persegi :
Menganalisis hasil yang diperoleh dalam masalah ini, kita melihat bahwa kemungkinan pertemuan meningkat dengan meningkatnya. Misalkan, T = 1 jam, t = 20 menit, maka
, yaitu, lebih sering dari setengah kasus, pertemuan akan terjadi jika berulang kali dinegosiasikan pada kondisi di atas. Contoh #3. Dua titik dipilih secara acak pada ruas l.
P(0 
Contoh #4. Sebuah titik dilemparkan secara acak ke dalam lingkaran berjari-jari r sedemikian rupa sehingga setiap lokasi dalam lingkaran adalah sama mungkin. Cari peluang bahwa itu akan berada di dalam bujur sangkar dengan sisi a terletak di dalam lingkaran.
Keputusan. Peluang suatu titik berada di dalam bujur sangkar yang terletak pada lingkaran dengan sisi sebuah sama dengan perbandingan luas persegi dengan luas lingkaran.
Area persegi: Skv \u003d a 2.
Luas lingkaran: S = r 2
Maka probabilitasnya adalah: p \u003d Skv / S \u003d a 2 / r 2
Contoh nomor 5. Dua bilangan real dipilih secara acak dari selang tersebut. Tentukan peluang bahwa jumlah mereka lebih besar dari 4 dan hasil kali mereka kurang dari 4.
Keputusan.
Ada 5 angka total: 0,1,2,3,4. Probabilitas kemunculannya p=1/5 = 0,2
a) peluang jumlah mereka lebih besar dari 4
Jumlah total hasil tersebut adalah 8:
1+4, 2+3, 2+4, 3+4 dan 4+1, 3+2, 4+2, 4+3
P = 0,2*0,2*8 = 0,32
b) produk kurang dari 4.
Jumlah total hasil tersebut adalah 13:
0*1, 0*2, 0*3, 0*4, 1*1, 1*2.1*3 dan 1*0, 2*0, 3*0, 4*0, 2*1, 3* satu
P = 0,2*0,2*13 = 0,52
Tugas untuk solusi independen
4.3. Setelah badai, putus kabel terjadi di bagian antara 40 dan 70 kilometer dari saluran telepon. Berapa peluang terjadinya patahan antara kilometer ke-45 dan ke-50? (Probabilitas putusnya kawat di sembarang tempat diasumsikan sama).
Jawaban: 1/6.
4.4. Sebuah titik dilemparkan secara acak ke dalam lingkaran berjari-jari r. Temukan probabilitas bahwa titik ini berada di dalam segitiga beraturan yang tertulis di lingkaran yang diberikan.
Menjawab:
4.5. Tentukan peluang munculnya jumlah dua bilangan yang dipilih secara acak dari selang [-1; 1] lebih besar dari nol, dan produknya negatif.
Jawaban: 0;25.
4.6. Selama pelatihan tempur, skuadron pembom ke-n menerima tugas menyerang depot minyak "musuh". Di wilayah depot minyak, yang berbentuk persegi panjang dengan sisi 30 dan 50 m, ada empat tangki minyak bundar dengan diameter masing-masing 10 m. Temukan peluang serangan langsung tangki minyak oleh bom yang mengenai wilayah depot minyak, jika bom itu mengenai titik mana pun dari pangkalan ini dengan probabilitas yang sama.
Jawaban: /15.
4.7. Dua bilangan real x dan y dipilih secara acak sehingga jumlah kuadratnya kurang dari 100. Berapa peluang jumlah kuadrat kedua bilangan tersebut lebih besar dari 64?
Jawaban: 0;36.
4.8. Kedua sahabat itu sepakat untuk bertemu antara pukul 13:00 dan 14:00. Orang pertama yang tiba menunggu orang kedua selama 20 menit dan kemudian pergi. Tentukan peluang bertemu teman jika saat-saat kedatangan mereka dalam selang waktu yang ditentukan sama-sama mungkin.
Jawaban: 5/9.
4.9. Dua kapal uap harus datang ke dermaga yang sama. Waktu kedatangan kedua kapal sama-sama memungkinkan pada hari yang ditentukan. Tentukan peluang bahwa salah satu kapal uap harus menunggu hingga dermaga dilepaskan jika kapal uap pertama bertahan selama satu jam dan kapal kedua selama dua jam.
Jawaban: 0;121.
4.10. Dua bilangan positif x dan y diambil secara acak, masing-masing tidak lebih dari dua. Tentukan peluang bahwa hasil kali x y paling banyak satu dan hasil bagi y/x paling banyak dua.
Jawaban: 0;38.
4.11. Pada daerah G yang dibatasi oleh ellipsoid 
, sebuah titik ditentukan secara acak. Berapa peluang bahwa koordinat (x; y; z) dari titik ini akan memenuhi pertidaksamaan x 2 + y 2 + z 2 4?
Jawab: 1/3.
4.12. Sebuah titik dilemparkan ke dalam persegi panjang dengan simpul R(-2;0), L(-2;9), M (4;9), N (4;0). Tentukan peluang koordinatnya memenuhi pertidaksamaan 0 y ≤ 2x – x 2 +8.
Jawaban: 2/3.
4.13. Daerah G dibatasi oleh lingkaran x 2 + y 2 = 25, dan daerah g dibatasi oleh lingkaran ini dan parabola 16x - 3y 2 > 0. Tentukan peluang jatuh ke daerah g.
Jawaban: 0;346.
4.14. Dua bilangan positif x dan y diambil secara acak, masing-masing tidak lebih dari satu. Tentukan peluang bahwa jumlah x + y tidak melebihi 1 dan hasil kali x · y tidak kurang dari 0,09.
Jawaban: 0;198.
Kami juga merekomendasikan
Smartphone xperia z5 premium hitam
Unduh rencana bisnis kertas toilet
Deskripsi Nokia X2 dual sim pada platform Android, prosesor yang kuat dan dukungan untuk dua kartu sim
Apakah mungkin untuk membuka hostel di apartemen?
Layanan kepada publik: ide bisnis paling menjanjikan
Bagaimana cara memulai bertani?
Memuat...