Contoh solusi fungsi kuadrat 9. Fungsi kuadrat dan grafiknya

Catatan penting!
1. Jika alih-alih rumus Anda melihat abracadabra, kosongkan cache Anda. Cara melakukannya di browser Anda tertulis di sini:
2. Sebelum Anda mulai membaca artikel, perhatikan navigator kami terlebih dahulu sumber daya yang berguna untuk

Untuk memahami apa yang akan ditulis di sini, Anda perlu mengetahui dengan baik apa itu fungsi kuadrat dan apa yang dimakannya. Jika Anda menganggap diri Anda ahli dalam fungsi kuadrat, selamat datang. Tetapi jika tidak, Anda harus membaca utasnya.

Mari kita mulai dari yang kecil cek:

Seperti apa bentuk fungsi kuadrat dalam bentuk umum (rumus)?
Apa nama grafiknya? fungsi kuadrat?
Bagaimana koefisien terkemuka mempengaruhi grafik fungsi kuadrat?

Jika Anda dapat menjawab pertanyaan-pertanyaan ini langsung, teruslah membaca. Jika setidaknya satu pertanyaan menyebabkan kesulitan, lanjutkan ke.

Jadi, Anda sudah tahu cara menangani fungsi kuadrat, menganalisis grafiknya, dan membuat grafik berdasarkan titik.

Nah ini dia : .

Mari kita lihat sekilas apa yang mereka lakukan. kemungkinan.

Koefisien senior bertanggung jawab atas "kecuraman" parabola, atau, dengan kata lain, untuk lebarnya: semakin besar, semakin sempit (curam) parabola, dan semakin kecil, semakin lebar (datar) parabola.
Istilah bebasnya adalah koordinat perpotongan parabola dengan sumbu y.
Dan koefisien entah bagaimana bertanggung jawab atas perpindahan parabola dari pusat koordinat. Berikut lebih banyak tentang itu sekarang.

Mengapa kita selalu mulai membangun parabola? Apa poin pembedanya?

dia puncak. Dan bagaimana menemukan koordinat titik, ingat?

Absis dicari dengan rumus berikut:

Seperti ini: apa? lagi, topik ke kiri bagian atas parabola bergerak.

Oordinat suatu simpul dapat dicari dengan mensubstitusikan ke dalam fungsi:

Gantikan dirimu dan hitung. Apa yang terjadi?

Jika Anda melakukan segalanya dengan benar dan menyederhanakan ekspresi yang dihasilkan sebanyak mungkin, Anda mendapatkan:

Ternyata semakin banyak modulo, topik di atas akan puncak parabola.

Akhirnya, mari kita beralih ke plot.
Cara termudah adalah membangun parabola mulai dari atas.

Contoh:

Plot fungsinya.

Larutan:

Pertama, mari kita tentukan koefisiennya: .

Sekarang mari kita hitung koordinat titiknya:

Dan sekarang ingat: semua parabola dengan koefisien awal yang sama terlihat sama. Jadi, jika kita membuat parabola dan memindahkan simpulnya ke suatu titik, kita mendapatkan grafik yang kita butuhkan:

Sederhana, bukan?

Hanya ada satu pertanyaan yang tersisa: bagaimana cara menggambar parabola dengan cepat? Bahkan jika kita menggambar parabola dengan titik di titik asal, kita masih harus membangunnya titik demi titik, yang panjang dan merepotkan. Tapi semua parabola terlihat sama, mungkin ada cara untuk mempercepat gambarnya?

Ketika saya di sekolah, guru matematika saya menyuruh semua orang untuk memotong stensil berbentuk parabola dari karton sehingga mereka dapat menggambarnya dengan cepat. Tetapi Anda tidak akan bisa berjalan ke mana-mana dengan stensil, dan mereka tidak akan diizinkan untuk membawanya ke ujian. Jadi, kita tidak akan menggunakan benda asing, tetapi kita akan mencari polanya.

Pertimbangkan parabola paling sederhana. Mari kita membangunnya dengan poin:

Aturannya di sini adalah ini. Jika kita bergerak dari atas ke kanan (sepanjang sumbu) ke, dan ke atas (sepanjang sumbu), maka kita akan sampai ke titik parabola. Selanjutnya: jika dari titik ini kita bergerak ke kanan dan ke atas, kita akan kembali ke titik parabola. Selanjutnya: terus dan terus. Apa berikutnya? Terus dan terus. Dan seterusnya: pindah ke kanan, dan ke depan angka ganjil ke atas. Kemudian kami melakukan hal yang sama dengan cabang kiri (bagaimanapun, parabolanya simetris, yaitu cabangnya terlihat sama):

Bagus, ini akan membantu membangun parabola apa pun dari titik dengan koefisien tertinggi sama dengan. Sebagai contoh, kita telah mempelajari bahwa titik puncak parabola berada di suatu titik. Bangun (sendiri, di atas kertas) parabola ini.

Dibuat?

Seharusnya menjadi seperti ini:

Sekarang kami menghubungkan poin yang diperoleh:

Itu saja.

Oke, sekarang buat hanya parabola dengan?

Tentu saja tidak. Sekarang mari kita cari tahu apa yang harus dilakukan dengan mereka, jika.

Mari kita pertimbangkan beberapa kasus tipikal.

Hebat, kita belajar cara menggambar parabola, sekarang mari kita berlatih pada fungsi nyata.

Jadi, buatlah grafik dari fungsi-fungsi tersebut:

Jawaban:

3. Atas: .

Apakah Anda ingat apa yang harus dilakukan jika koefisien senior kurang?

Kami melihat penyebut pecahan: itu sama. Jadi kita akan bergerak seperti ini:

kanan - atas
kanan - atas
kanan - atas

dan juga ke kiri:

4. Atas: .

Oh, apa yang harus dilakukan dengan itu? Bagaimana cara mengukur sel jika simpulnya berada di antara garis?...

Dan kami menipu. Pertama, mari kita menggambar parabola, dan baru kemudian pindahkan simpulnya ke suatu titik. Bahkan tidak, mari kita lakukan lebih rumit: Mari kita menggambar parabola, dan kemudian memindahkan sumbu:- di jalan menurun, a - on Baik:

Teknik ini sangat nyaman dalam kasus parabola apa pun, ingatlah.

Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa kami dapat mewakili fungsi dalam bentuk ini:

Sebagai contoh: .

Apa yang ini berikan kepada kita?

Faktanya adalah bahwa bilangan yang dikurangi dalam tanda kurung () adalah absis dari simpul parabola, dan suku di luar kurung () adalah ordinat dari simpul tersebut.

Artinya, setelah membuat parabola, Anda hanya perlu gerakkan sumbu ke kiri dan sumbu ke bawah.

Contoh: mari kita plot grafik fungsi.

Mari kita pilih kotak penuh:

Nomor berapa dikurangi dari dalam kurung? Ini (dan bukan bagaimana Anda dapat memutuskan tanpa berpikir).

Jadi, kami membangun parabola:

Sekarang kita menggeser sumbu ke bawah, yaitu ke atas:

Dan sekarang - ke kiri, yaitu ke kanan:

Itu saja. Ini sama dengan memindahkan parabola dengan titik puncaknya dari titik asal ke titik, hanya sumbu lurus yang jauh lebih mudah untuk bergerak daripada parabola bengkok.

Sekarang, seperti biasa, saya sendiri:

Dan jangan lupa untuk menghapus as roda lama dengan penghapus!

saya sebagai jawaban untuk verifikasi, saya akan menulis Anda ordinat dari simpul parabola ini:

Apakah semuanya cocok?

Jika ya, maka Anda hebat! Mengetahui cara menangani parabola sangat penting dan berguna, dan di sini kami menemukan bahwa itu tidak sulit sama sekali.

GAMBAR FUNGSI KUADRAT. SINGKAT TENTANG UTAMA

fungsi kuadrat adalah fungsi dari bentuk, di mana, dan adalah bilangan (koefisien), adalah anggota bebas.

Grafik fungsi kuadrat adalah parabola.

Puncak parabola:
, yaitu semakin besar \displaystyle b , semakin kiri bagian atas parabola bergerak.
Substitusi ke fungsi, dan dapatkan:
, yaitu semakin besar \displaystyle b modulo , semakin tinggi puncak parabola

Istilah bebasnya adalah koordinat perpotongan parabola dengan sumbu y.

Nah, topiknya sudah berakhir. Jika Anda membaca baris-baris ini, maka Anda sangat keren.

Karena hanya 5% orang yang mampu menguasai sesuatu sendiri. Dan jika Anda telah membaca sampai akhir, maka Anda berada di 5%!

Sekarang hal yang paling penting.

Anda telah menemukan teori tentang topik ini. Dan, saya ulangi, itu ... itu luar biasa! Anda sudah lebih baik daripada sebagian besar rekan-rekan Anda.

Masalahnya adalah ini mungkin tidak cukup ...

Untuk apa?

Untuk sukses lulus ujian, untuk masuk ke institut dengan anggaran dan, PALING PENTING, seumur hidup.

Saya tidak akan meyakinkan Anda tentang apa pun, saya hanya akan mengatakan satu hal ...

Orang yang menerima pendidikan yang baik, mendapatkan lebih banyak daripada mereka yang tidak menerimanya. Ini adalah statistik.

Tapi ini bukan hal utama.

Yang utama adalah mereka LEBIH BAHAGIA (ada penelitian seperti itu). Mungkin karena lebih banyak peluang terbuka di hadapan mereka dan hidup menjadi lebih cerah? Tidak tahu...

Tapi pikirkan sendiri...

Apa yang diperlukan untuk menjadi lebih baik daripada yang lain dalam ujian dan pada akhirnya ... lebih bahagia?

ISI TANGAN ANDA, MENYELESAIKAN MASALAH PADA TOPIK INI.

Pada ujian, Anda tidak akan ditanya teori.

Anda akan perlu menyelesaikan masalah tepat waktu.

Dan, jika Anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), Anda pasti akan membuat kesalahan bodoh di suatu tempat atau tidak akan berhasil tepat waktu.

Ini seperti dalam olahraga - Anda harus mengulang berkali-kali untuk menang dengan pasti.

Temukan koleksi di mana pun Anda mau tentu dengan solusi analisis rinci dan putuskan, putuskan, putuskan!

Anda dapat menggunakan tugas kami (tidak harus) dan kami pasti merekomendasikannya.

Untuk membantu tugas kami, Anda perlu membantu memperpanjang umur buku teks YouClever yang sedang Anda baca.

Bagaimana? Ada dua opsi:

Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di artikel ini -
Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di semua 99 artikel tutorial - Beli buku teks - 499 rubel

Ya, kami memiliki 99 artikel seperti itu di buku teks dan akses ke semua tugas dan semua teks tersembunyi di dalamnya dapat segera dibuka.

Akses ke semua tugas tersembunyi disediakan sepanjang masa situs.

Kesimpulannya...

Jika Anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Hanya saja, jangan berhenti dengan teori.

"Dipahami" dan "Saya tahu bagaimana menyelesaikannya" adalah keterampilan yang sama sekali berbeda. Anda membutuhkan keduanya.

Temukan masalah dan selesaikan!

Semua orang tahu apa itu parabola. Tetapi bagaimana menggunakannya dengan benar, kompeten dalam memecahkan berbagai masalah praktis, kita akan mengerti di bawah ini.

Pertama, mari kita tunjukkan konsep dasar yang diberikan aljabar dan geometri pada istilah ini. Pertimbangkan semuanya kemungkinan jenis grafik ini.

Kami mempelajari semua karakteristik utama dari fungsi ini. Mari kita memahami dasar-dasar membangun kurva (geometri). Mari kita pelajari cara menemukan puncak, nilai dasar lain dari grafik jenis ini.

Kami akan mencari tahu: bagaimana kurva yang diperlukan dibangun dengan benar sesuai dengan persamaan, apa yang perlu Anda perhatikan. Mari kita lihat yang utama penggunaan praktis nilai unik ini dalam kehidupan manusia.

Apa itu parabola dan seperti apa bentuknya

Aljabar: Istilah ini mengacu pada grafik fungsi kuadrat.

Geometri: Ini adalah kurva orde kedua yang memiliki sejumlah fitur spesifik:

Persamaan parabola kanonik

Gambar tersebut menunjukkan sistem koordinat persegi panjang (XOY), sebuah ekstrem, arah cabang menggambar fungsi sepanjang sumbu absis.

Persamaan kanoniknya adalah:

y 2 \u003d 2 * p * x,

di mana koefisien p adalah parameter fokus parabola (AF).

Dalam aljabar, ditulis berbeda:

y = a x 2 + b x + c (pola yang dapat dikenali: y = x 2).

Sifat dan Grafik Fungsi Kuadrat

Fungsi memiliki sumbu simetri dan pusat (ekstrim). Domain definisi adalah semua nilai sumbu x.

Rentang nilai fungsi - (-∞, M) atau (M, +∞) tergantung pada arah cabang kurva. Parameter M di sini berarti nilai fungsi di bagian atas baris.

Cara menentukan arah cabang parabola

Untuk menemukan arah jenis kurva ini dari ekspresi, Anda perlu menentukan tanda di depan parameter pertama ekspresi aljabar. Jika a 0, maka arahnya ke atas. Jika tidak, turun.

Cara mencari titik sudut parabola menggunakan rumus

Menemukan ekstrem adalah langkah utama dalam memecahkan banyak masalah praktis. Tentu saja, Anda dapat membuka spesial kalkulator online tapi lebih baik untuk bisa melakukannya sendiri.

Bagaimana mendefinisikannya? Ada rumus khusus. Ketika b tidak sama dengan 0, kita harus mencari koordinat titik ini.

Rumus untuk menemukan puncak:

x 0 \u003d -b / (2 * a);
y 0 = y (x 0).

Contoh.

Ada fungsi y \u003d 4 * x 2 + 16 * x - 25. Mari kita cari simpul dari fungsi ini.

Untuk baris seperti itu:

x \u003d -16 / (2 * 4) \u003d -2;
y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Kami mendapatkan koordinat titik (-2, -41).

Offset parabola

Kasus klasik adalah ketika dalam fungsi kuadrat y = a x 2 + b x + c, parameter kedua dan ketiga adalah 0, dan = 1 - titik berada di titik (0; 0).

Pergerakan sepanjang sumbu absis atau ordinat disebabkan oleh perubahan parameter b dan c, masing-masing. Pergeseran garis pada bidang akan dilakukan persis dengan jumlah unit, yang sama dengan nilai parameter.

Contoh.

Kami memiliki: b = 2, c = 3.

Ini berarti bahwa pandangan klasik kurva akan bergeser sebanyak 2 unit segmen sepanjang sumbu absis dan 3 sepanjang sumbu ordinat.

Cara membuat parabola menggunakan persamaan kuadrat

Penting bagi anak sekolah untuk belajar cara menggambar parabola dengan benar sesuai dengan parameter yang diberikan.

Dengan menganalisis ekspresi dan persamaan, Anda dapat melihat hal berikut:

Titik perpotongan garis yang diinginkan dengan vektor ordinat akan memiliki nilai sama dengan c.
Semua titik grafik (sepanjang sumbu x) akan simetris terhadap ekstrem utama fungsi.

Selain itu, perpotongan dengan OX dapat ditemukan dengan mengetahui diskriminan (D) dari fungsi tersebut:

D \u003d (b 2 - 4 * a * c).

Untuk melakukan ini, Anda perlu menyamakan ekspresi menjadi nol.

Kehadiran akar parabola tergantung pada hasil:

D 0, maka x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
D \u003d 0, lalu x 1, 2 \u003d -b / (2 * a);
D 0, maka tidak ada titik potong dengan vektor OX.

Kami mendapatkan algoritma untuk membangun parabola:

menentukan arah cabang;
menemukan koordinat titik;
temukan perpotongan dengan sumbu y;
tentukan perpotongan dengan sumbu x.

Contoh 1

Diberikan fungsi y \u003d x 2 - 5 * x + 4. Hal ini diperlukan untuk membangun parabola. Kami bertindak sesuai dengan algoritma:

a \u003d 1, oleh karena itu, cabang-cabang diarahkan ke atas;
koordinat ekstrem: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
berpotongan dengan sumbu y pada nilai y = 4;
cari diskriminannya: D = 25 - 16 = 9;
mencari akar

X 1 \u003d (5 + 3) / 2 \u003d 4; (4, 0);
X 2 \u003d (5 - 3) / 2 \u003d 1; (sepuluh).

Contoh 2

Untuk fungsi y \u003d 3 * x 2 - 2 * x - 1, Anda perlu membuat parabola. Kami bertindak sesuai dengan algoritma di atas:

a \u003d 3, oleh karena itu, cabang-cabang diarahkan ke atas;
koordinat ekstrem: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
dengan sumbu y akan berpotongan pada nilai y \u003d -1;
cari diskriminannya: D \u003d 4 + 12 \u003d 16. Jadi akarnya:

X 1 \u003d (2 + 4) / 6 \u003d 1; (1;0);
X 2 \u003d (2 - 4) / 6 \u003d -1/3; (-1/3; 0).

Dari poin yang diperoleh, Anda dapat membangun parabola.

Direktriks, eksentrisitas, fokus parabola

Berdasarkan persamaan kanonik, fokus F memiliki koordinat (p/2, 0).

Garis lurus AB adalah direktriks (semacam tali parabola dengan panjang tertentu). Persamaannya adalah x = -p/2.

Eksentrisitas (konstanta) = 1.

Kesimpulan

Kami mempertimbangkan topik yang dipelajari siswa SMA. Sekarang Anda tahu, melihat fungsi kuadrat dari parabola, cara menemukan titik puncaknya, ke arah mana cabang akan diarahkan, apakah ada offset di sepanjang sumbu, dan, dengan algoritme konstruksi, Anda dapat menggambar grafiknya.