A funkciók közül melyik példaértékű. Egy exponenciális függvény, tulajdonságai és grafikonja - Knowledge Hypermarket

EXPONCIÁLIS ÉS LOGARITMIKUS FUNKCIÓK VIII

179. § Az exponenciális függvény alapvető tulajdonságai

Ebben a részben az exponenciális függvény főbb tulajdonságait tanulmányozzuk

y = a x (1)

Emlékezzen arra, hogy lent a az (1) képletben bármely 1-től eltérő rögzített pozitív számot értünk.

1. tulajdonság. Az exponenciális függvény tartománya az összes valós szám halmaza.

Valóban, pozitívumként a kifejezés a x bármely valós számra definiálva x .

2. tulajdonság. Exponenciális függvény csak pozitív értékeket vesz fel.

Valóban, ha x > 0, akkor, amint azt a 176. § bebizonyította,

a x > 0.

Ha x <. 0, то

a x =

ahol - x már nagyobb nullánál. Így a - x > 0. De akkor

a x = > 0.

Végül at x = 0

a x = 1.

Az exponenciális függvény 2. tulajdonságának egyszerű grafikus értelmezése van. Ez abban rejlik, hogy ennek a függvénynek a grafikonja (lásd 246. és 247. ábra) teljes egészében az x tengely felett helyezkedik el.

3. tulajdonság. Ha egy a >1, majd at x > 0 a x > 1, és at x < 0 a x < 1. Ha a < 1, тó, éppen ellenkezőleg, x > 0 a x < 1, és at x < 0 a x > 1.

Az exponenciális függvény ezen tulajdonsága egyszerű geometriai értelmezést is lehetővé tesz. Nál nél a > 1 (246. ábra) görbék y = a x vonal felett található nál nél = 1 at x > 0 és az egyenes alatt van nál nél = 1 at x < 0.

Ha a < 1 (рис. 247), то, наоборот, кривые y = a x vonal alatt található nál nél = 1 at x > 0 és ezen egyenes felett at x < 0.

Adjuk meg a 3. tulajdonság szigorú bizonyítékát. Legyen a > 1 és x egy tetszőleges pozitív szám. Mutassuk meg

a x > 1.

Ha szám x racionális ( x = m / n ) , azután a x = a m / n = n √a m .

Amennyiben a > 1, akkor a m > 1, de egynél nagyobb szám gyöke is nyilvánvalóan nagyobb 1-nél.

Ha egy x irracionális, akkor vannak pozitív racionális számok X" és X" , amelyek a szám decimális közelítéseként szolgálnak x :

X"< х < х" .

De akkor a c fokozat meghatározása szerint irracionális mutató

a x" < a x < a x"" .

Mint fentebb látható, a szám a x" több mint egy. Ezért a szám a x , több mint a x" , nagyobbnak kell lennie 1-nél,

Tehát ezt megmutattuk a >1 és tetszőleges pozitív x

a x > 1.

Ha a szám x negatív volt, akkor mi lettünk volna

a x =

hol van a szám x pozitív lenne. Így a - x > 1. Ezért

a x = < 1.

Így, at a > 1 és tetszőleges negatív x

a x < 1.

Az az eset, amikor 0< a < 1, легко сводится к уже рассмотренному случаю. Учащимся предлагается убедиться в этом самостоятельно.

4. tulajdonság. Ha x = 0, akkor függetlenül a a x =1.

Ez a nulladik fok definíciójából következik; a nullától eltérő szám nulla hatványa egyenlő 1-gyel. Grafikusan ez a tulajdonság abban fejeződik ki, hogy bármely a ív nál nél = a x (lásd 246. és 247. ábra) keresztezi a tengelyt nál nél az 1-es ordinátával rendelkező pontban.

5. ingatlan. Nál nél a >1 exponenciális függvény = a x monoton növekszik, és a < 1 - monoton csökkenő.

Ez a tulajdonság egyszerű geometriai értelmezést is lehetővé tesz.

Nál nél a > 1 (246. ábra) görbe nál nél = a x növekedéssel x egyre magasabbra emelkedik, és a < 1 (рис. 247) - опускается все ниже и ниже.

Adjuk meg az 5. tulajdonság szigorú bizonyítását.

Legyen a > 1 és x 2 > x egy . Mutassuk meg

a x 2 > a x 1

Amennyiben x 2 > x 1., akkor x 2 = x 1 + d , ahol d valami pozitív szám. Így

a x 2 - a x 1 = a x 1 + d - a x 1 = a x 1 (a d - 1)

Az exponenciális függvény 2. tulajdonsága szerint a x 1 > 0. Mivel d > 0, akkor az exponenciális függvény 3. tulajdonságával a d > 1. Mindkét tényező a termékben a x 1 (a d - 1) pozitívak, ezért ez a termék maga is pozitív. Eszközök, a x 2 - a x 1 > 0, vagy a x 2 > a x 1 , amit bizonyítani kellett.

Szóval, at a > 1 funkció nál nél = a x monoton növekszik. Hasonlóképpen bebizonyosodott, hogy a < 1 функция nál nél = a x monoton csökken.

Következmény. Ha azonos pozitív szám 1-től eltérő két hatványa egyenlő, akkor a kitevőik is egyenlők.

Más szóval, ha

a b = a c (a > 0 és a =/= 1),

b = c .

Valóban, ha a számok b és val vel nem voltak egyenlőek, akkor a függvény monotonitása miatt nál nél = a x legtöbbjük megfelelne a >1 nagyobb, és at a < 1 меньшее значение этой функции. Таким образом, было бы или a b > a c , vagy a b < a c . Mindkettő ellentmond a feltételnek a b = a c . Ezt még el kell ismerni b = c .

6. ingatlan. Ha egy > 1, majd az érvelés korlátlan növelésével x (x -> ∞ ) függvényértékek nál nél = a x is korlátlanul nőnek (nál nél -> ∞ ). Az érvelés korlátlan csökkenésével x (x -> -∞ ) ennek a függvénynek az értékei nullára hajlanak, miközben pozitívak maradnak (nál nél->0; nál nél > 0).

Figyelembe véve a függvény fentebb bizonyított monotonitását nál nél = a x , azt mondhatjuk, hogy a vizsgált esetben a függvény nál nél = a x monoton 0-ról növekszik ∞ .

Ha egy 0 <a < 1, akkor az x argumentum korlátlan növelésével (x -> ∞) az y \u003d a x függvény értékei nullára hajlanak, miközben pozitívak maradnak (nál nél->0; nál nél > 0). Az x argumentum korlátlan csökkentésével (x -> -∞ ) ennek a függvénynek az értékei korlátlanul nőnek (nál nél -> ∞ ).

A függvény monotonitása miatt y = a x azt mondhatjuk, hogy ebben az esetben a függvény nál nél = a x monoton csökken től ∞ 0-ra.

Az exponenciális függvény 6. tulajdonságát jól tükrözi a 246. és 247. ábra. Nem fogjuk szigorúan igazolni.

Csak az exponenciális függvény tartományát kell megállapítanunk y = a x (a > 0, a =/= 1).

Fentebb bebizonyítottuk, hogy a függvény y = a x csak pozitív értékeket vesz fel, és vagy monoton növekszik 0-ról ∞ (nál nél a > 1), vagy monoton csökken től ∞ 0-ra (0-nál< a <. 1). Однако остался невыясненным следующий вопрос: не претерпевает ли функция y = a x mikor változtatsz bármilyen ugrást? Kell valami pozitív érték? Erre a kérdésre pozitív a válasz. Ha a > 0 és a =/= 1, akkor bármi legyen is a pozitív szám nál nél 0-t kell találni x 0, olyan

a x 0 = nál nél 0 .

(A függvény monotonitása miatt y = a x meghatározott értéket x Természetesen a 0 lenne az egyetlen.)

Ennek a ténynek a bizonyítása túlmutat programunk keretein. Geometriai értelmezése minden pozitív értékre vonatkozik nál nél 0 függvénygrafikon y = a x metszenie kell a vonallal nál nél = nál nél 0 és ráadásul csak egy ponton (248. ábra).

Ebből a következő következtetést vonhatjuk le, amit a 7. tulajdonság formájában fogalmazunk meg.

7. ingatlan. Az y \u003d a x exponenciális függvény változási területe (a > 0, a =/= 1)az összes pozitív szám halmaza.

Feladatok

1368. Keresse meg a következő függvények tartományait:

1369. A megadott számok közül melyik nagyobb 1-nél és melyik kisebb 1-nél:

1370. Az exponenciális függvény milyen tulajdonsága alapján lehet azt állítani

a) (5/7) 2,6 > (5/7) 2,5; b) (4/3) 1,3 > (4/3) 1,2

1371. Melyik szám nagyobb:

a) π - √3 vagy (1 / π ) - √3; c) (2/3) 1 + √6 vagy (2/3) √2 + √5 ;

b) ( π / 4) 1 + √3 vagy ( π / 4) 2; d) (√3 ) √2 - √5 vagy (√3) √3 - 2 ?

1372. Egyenértékűek-e az egyenlőtlenségek:

1373. Mit mondhatunk a számokról x és nál nél , ha egy x = és y , ahol a adott pozitív szám?

1374. 1) Lehetséges-e egy függvény összes értéke között nál nél = 2x Kiemel:

2) Lehetséges-e az összes függvényérték között nál nél = 2 | x| Kiemel:

a) legmagasabb érték; b) a legkisebb érték?

Exponenciális függvény n szám szorzatának általánosítása egyenlő a -val:
y (n) = a n = a a a a,
az x valós számok halmazához:
y (x) = x.
Itt a rögzítve van valós szám, ami az úgynevezett az exponenciális függvény alapja.
Az a bázisú exponenciális függvényt is nevezzük exponenciális a bázisra.

Az általánosítás a következőképpen történik.
Természetes x = esetén 1, 2, 3,... , az exponenciális függvény x tényező szorzata:
.
Ezenkívül rendelkezik a (1,5-8) () tulajdonságokkal, amelyek a számok szorzásának szabályaiból következnek. Nullánál és negatív értékeket integers , az exponenciális függvényt az (1,9-10) képletek határozzák meg. Törtértékekhez x = m/n racionális számok, , az (1.11) képlet határozza meg. Valós esetén az exponenciális függvény a következőképpen van definiálva sorozathatár:
,
ahol racionális számok tetszőleges sorozata, amely x-hez konvergál: .
Ezzel a definícióval az exponenciális függvény minden -re definiálva van, és kielégíti az (1,5-8) tulajdonságokat, valamint természetes x-re.

Az exponenciális függvény definíciójának szigorú matematikai megfogalmazása és tulajdonságainak bizonyítása az "Exponenciális függvény definíciója és tulajdonságainak bizonyítása" oldalon található.

Az exponenciális függvény tulajdonságai

Az y = a x exponenciális függvény a következő tulajdonságokkal rendelkezik a valós számok halmazán () :
(1.1) meghatározott és folyamatos, for , for all ;
(1.2) amikor a ≠ 1 sok jelentése van;
(1.3) szigorúan növekszik -nál, szigorúan csökken -nál,
állandó -nál;
(1.4) nál nél ;
nál nél ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Egyéb hasznos képletek
.
Az exponenciális függvényre való konvertálás képlete eltérő hatványalappal:

Ha b = e , akkor megkapjuk az exponenciális függvény kifejezését a kitevőben:

Magánértékek

, , , , .

Az ábrán az exponenciális függvény grafikonjai láthatók
y (x) = x
négy értékre fokozati alapok:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 és egy = 1/8 . Látható, hogy egy > 1 az exponenciális függvény monoton növekszik. Minél nagyobb az a fok alapja, annál erősebb a növekedés. Nál nél 0 < a < 1 az exponenciális függvény monoton csökken. Hogyan kevesebb mutató a fok, annál erősebb a csökkenés.

Növekvő csökkenő

Az at exponenciális függvény szigorúan monoton, tehát nincs szélsősége. Főbb tulajdonságait a táblázat mutatja be.

	y = a x , a > 1	y = x, 0 < a < 1
Tartomány	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Értékek tartománya	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Monoton	monoton növekszik	monoton csökken
Nullák, y= 0	Nem	Nem
Az y tengellyel való metszéspontok, x = 0	y= 1	y= 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Inverz függvény

Az a fokú bázisú exponenciális függvény reciproka az a bázis logaritmusa.

Ha akkor
.
Ha akkor
.

Az exponenciális függvény differenciálása

Egy exponenciális függvény megkülönböztetéséhez az alapját e számra kell redukálni, alkalmazni kell a derivált táblázatot és a komplex függvény differenciálására vonatkozó szabályt.

Ehhez a logaritmusok tulajdonságát kell használni
és a származékok táblázatának képlete:
.

Adjunk meg egy exponenciális függvényt:
.
Hozzuk az alapra e:

Alkalmazzuk egy komplex függvény differenciálási szabályát. Ehhez bevezetünk egy változót

Azután

A derivált táblázatból a következőt kapjuk (az x változót z-re cseréljük):
.
Mivel konstans, ezért z deriváltja x-hez képest
.
Az összetett függvény differenciálási szabálya szerint:
.

Az exponenciális függvény deriváltja

.
Az n-edik rend származéka:
.
Képletek származtatása > > >

Példa exponenciális függvény differenciálására

Keresse meg egy függvény deriváltját
y= 35 x

Döntés

Az exponenciális függvény alapját az e számmal fejezzük ki.
3 = e log 3
Azután
.
Bevezetünk egy változót
.
Azután

A származékok táblázatából a következőket találjuk:
.
Amennyiben 5ln 3 konstans, akkor z deriváltja x-hez képest:
.
Egy komplex függvény differenciálási szabálya szerint a következőket kapjuk:
.

Válasz

Integrál

Kifejezések komplex számokkal

Tekintsük a komplex számfüggvényt z:
f (z) = az
ahol z = x + iy ; én 2 = - 1 .
Az a komplex állandót az r modulussal és a φ argumentummal fejezzük ki:
a = r e i φ
Azután


.
A φ argumentum nincs egyértelműen definiálva. NÁL NÉL Általános nézet
φ = φ 0 + 2 pn,
ahol n egy egész szám. Ezért az f függvény (z) szintén kétértelmű. Gyakran fő fontosságának tartják
.

Bővítés sorozatban

.

Referenciák:
BAN BEN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematika kézikönyve mérnököknek és felsőoktatási intézmények hallgatóinak, Lan, 2009.

A legtöbb matematikai probléma megoldása valamilyen módon összefügg numerikus, algebrai vagy funkcionális kifejezések transzformációjával. Ez különösen vonatkozik a megoldásra. A matematika USE változataiban ez a típusú feladat különösen a C3 feladatot tartalmazza. A C3-as feladatok megoldásának megtanulása nem csak a cél érdekében fontos sikeres szállítás Egységes államvizsga, hanem azért is, mert ez a készség hasznos a felsőoktatási matematika szakon.

A C3 feladatok végrehajtása során dönteni kell különböző fajták egyenletek és egyenlőtlenségek. Köztük van racionális, irracionális, exponenciális, logaritmikus, trigonometrikus, modulokat (abszolút értékeket) tartalmazó, valamint kombinált. Ez a cikk az exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek fő típusait tárgyalja, valamint különféle módszerek döntéseiket. Olvasson más típusú egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásáról a C3 problémák megoldási módszereivel foglalkozó cikkekben a "" cím alatt. opciók HASZNÁLATA matematika.

Mielőtt folytatná a konkrét exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek, matematika tanárként azt javaslom, hogy ecseteljen néhányat elméleti anyag amire szükségünk lesz.

Exponenciális függvény

Mi az exponenciális függvény?

Nézet funkció y = egy x, ahol a> 0 és a≠ 1, hívják exponenciális függvény.

Fő exponenciális függvény tulajdonságai y = egy x:

Egy exponenciális függvény grafikonja

Az exponenciális függvény grafikonja az kiállító:

Exponenciális függvények grafikonjai (kitevők)

Exponenciális egyenletek megoldása

tájékoztató jellegű egyenleteknek nevezzük, amelyekben az ismeretlen változó csak bármely hatvány kitevőjében található.

Megoldásokért exponenciális egyenletek ismernie kell és tudnia kell használni a következő egyszerű tételt:

1. tétel. exponenciális egyenlet a f(x) = a g(x) (ahol a > 0, a≠ 1) ekvivalens az egyenlettel f(x) = g(x).

Ezenkívül hasznos megjegyezni az alapvető képleteket és műveleteket fokozatokkal:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

1. példa Oldja meg az egyenletet:

Döntés: használja a fenti képleteket és helyettesíti:

Ekkor az egyenlet a következőképpen alakul:

Megkülönböztetőt kapott másodfokú egyenlet pozitív:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Ez azt jelenti, hogy ennek az egyenletnek két gyökere van. Megtaláljuk őket:

Visszatérve a helyettesítésre, a következőket kapjuk:

A második egyenletnek nincs gyökere, mivel az exponenciális függvény szigorúan pozitív a teljes definíciós tartományban. Oldjuk meg a másodikat:

Az 1. Tételben elmondottakat figyelembe véve áttérünk az ekvivalens egyenletre: x= 3. Ez lesz a válasz a feladatra.

Válasz: x = 3.

2. példa Oldja meg az egyenletet:

Döntés: az egyenletnek nincs korlátozása a megengedett értékek területére, mivel a radikális kifejezésnek bármilyen értékre van értelme x(exponenciális függvény y = 9 4 -x pozitív és nem egyenlő nullával).

Az egyenletet ekvivalens transzformációkkal oldjuk meg a szorzás és a hatványosztás szabályaival:

Az utolsó átmenetet az 1. Tétel szerint hajtottuk végre.

Válasz:x= 6.

3. példa Oldja meg az egyenletet:

Döntés: az eredeti egyenlet mindkét oldala osztható 0,2-vel x. Ez az átmenet egyenértékű lesz, mivel ez a kifejezés bármely érték esetén nagyobb nullánál x(az exponenciális függvény szigorúan pozitív a tartományában). Ekkor az egyenlet a következő alakot veszi fel:

Válasz: x = 0.

4. példa Oldja meg az egyenletet:

Döntés: az egyenletet elemire egyszerűsítjük ekvivalens transzformációkkal a cikk elején megadott hatványok osztási és szorzási szabályai segítségével:

Az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk 4-gyel x, mint az előző példában, egy ekvivalens transzformáció, mivel ez a kifejezés egyetlen érték esetén sem egyenlő nullával x.

Válasz: x = 0.

5. példa Oldja meg az egyenletet:

Döntés: funkció y = 3x, amely az egyenlet bal oldalán áll, növekszik. Funkció y = —x-2/3, amely az egyenlet jobb oldalán áll, csökken. Ez azt jelenti, hogy ha ezen függvények grafikonjai metszik egymást, akkor legfeljebb egy ponton. Ebben az esetben könnyen kitalálható, hogy a grafikonok a pontban metszik egymást x= -1. Nem lesz más gyökere.

Válasz: x = -1.

6. példa Oldja meg az egyenletet:

Döntés: ekvivalens transzformációkkal egyszerűsítjük az egyenletet, mindenhol szem előtt tartva, hogy az exponenciális függvény bármilyen érték esetén szigorúan nagyobb nullánál xés a cikk elején megadott szorzat- és részhatalmazások számítási szabályait alkalmazva:

Válasz: x = 2.

Exponenciális egyenlőtlenségek megoldása

tájékoztató jellegű egyenlőtlenségeknek nevezzük, amelyekben az ismeretlen változót csak egyes hatványok kitevői tartalmazzák.

Megoldásokért exponenciális egyenlőtlenségek a következő tétel ismerete szükséges:

2. tétel. Ha egy a> 1, akkor az egyenlőtlenség a f(x) > a g(x) egyenértékű egy azonos jelentésű egyenlőtlenséggel: f(x) > g(x). Ha 0< a < 1, то exponenciális egyenlőtlenség a f(x) > a g(x) egyenértékű az ellenkező értelmű egyenlőtlenséggel: f(x) < g(x).

7. példa Oldja meg az egyenlőtlenséget:

Döntés:ábrázolja az eredeti egyenlőtlenséget a következő formában:

Osszuk el ennek az egyenlőtlenségnek mindkét oldalát 3 2-vel x, és (a függvény pozitívsága miatt y= 3 2x) az egyenlőtlenség jele nem változik:

Használjunk helyettesítést:

Ekkor az egyenlőtlenség a következő formát ölti:

Tehát az egyenlőtlenség megoldása az intervallum:

áttérve a fordított helyettesítésre, a következőket kapjuk:

A bal oldali egyenlőtlenség az exponenciális függvény pozitívsága miatt automatikusan teljesül. Kihasználva ismert ingatlan logaritmus, áttérünk az ekvivalens egyenlőtlenségre:

Mivel a fokszám alapja egynél nagyobb szám, ekvivalens (a 2. tétel szerint) a következő egyenlőtlenségre való átmenet lesz:

Szóval végre megkapjuk válasz:

8. példa Oldja meg az egyenlőtlenséget:

Döntés: a szorzás és a hatványosztás tulajdonságait felhasználva átírjuk az egyenlőtlenséget a következő alakba:

Vezessünk be egy új változót:

Ezzel a helyettesítéssel az egyenlőtlenség a következő formát ölti:

A tört számlálóját és nevezőjét megszorozzuk 7-tel, így a következő ekvivalens egyenlőtlenséget kapjuk:

Tehát az egyenlőtlenség teljesül a következő értékeket változó t:

Ezután visszatérve a helyettesítésre, a következőket kapjuk:

Mivel a fokszám alapja itt nagyobb egynél, ezért (a 2. Tétel szerint) ekvivalens átmenni az egyenlőtlenségre:

Végre megkapjuk válasz:

9. példa Oldja meg az egyenlőtlenséget:

Döntés:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát elosztjuk a következő kifejezéssel:

Mindig nagyobb, mint nulla (mivel az exponenciális függvény pozitív), így az egyenlőtlenség jelét nem kell megváltoztatni. Kapunk:

t , amelyek a következő intervallumban vannak:

A fordított helyettesítésre áttérve azt találjuk, hogy az eredeti egyenlőtlenség két esetre oszlik:

Az első egyenlőtlenségnek az exponenciális függvény pozitivitása miatt nincs megoldása. Oldjuk meg a másodikat:

10. példa Oldja meg az egyenlőtlenséget:

Döntés:

Parabola ágak y = 2x+2-x 2 lefelé irányul, ezért felülről a csúcsán elért érték határolja:

Parabola ágak y = x 2 -2x A mutatóban lévő +2 felfelé irányul, ami azt jelenti, hogy alulról korlátozza azt az értéket, amelyet a tetején elér:

Ugyanakkor a függvény alulról korlátosnak bizonyul y = 3 x 2 -2x+2 az egyenlet jobb oldalán. Eléri őt a legkisebb érték ugyanabban a pontban, mint a parabola a kitevőben, és ez az érték 3 1 = 3. Tehát az eredeti egyenlőtlenség csak akkor lehet igaz, ha a bal oldali és a jobb oldali függvény egy pontban 3-as értéket vesz fel. a függvények tartományainak metszéspontja csak ez a szám). Ez a feltétel egyetlen ponton teljesül x = 1.

Válasz: x= 1.

Megtanulni, hogyan kell megoldani exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek, folyamatosan edzeni kell a megoldásukban. Ebben a nehéz kérdésben különféle oktatási segédletek, feladatfüzetek elemi matematikából, versenyfeladatgyűjtemények, iskolai matematika órák, valamint egyéni foglalkozások profi oktatóval. Őszintén sok sikert kívánok a felkészüléshez és ragyogó eredményeket a vizsgán.

Szergej Valerievich

P.S. Kedves Vendégeink! Kérjük, ne írjon egyenletei megoldási kérelmet a megjegyzésekbe. Sajnos erre egyáltalán nincs időm. Az ilyen üzenetek törlésre kerülnek. Kérjük, olvassa el a cikket. Talán olyan kérdésekre talál választ, amelyek nem tették lehetővé a feladat önálló megoldását.

Keresse meg a kifejezés értékét az x=2 változó különböző racionális értékeire; 0; -3; -

Figyelem, mindegy, hogy milyen számot cserélünk be az x változó helyett, mindig megtalálhatja ennek a kifejezésnek az értékét. Tehát egy exponenciális függvényt vizsgálunk (y egyenlő három az x hatványával), amelyet a racionális számok halmazán definiálunk: .

Készítsük el ennek a függvénynek a grafikonját úgy, hogy táblázatot készítünk az értékeiről.

Rajzoljunk ezeken a pontokon átmenő sima vonalat (1. ábra)

Ennek a függvénynek a grafikonját használva vegye figyelembe annak tulajdonságait:

3. Növekszik a teljes definíciós területen.

1. nullától a plusz végtelenig terjedhet.

8. A függvény lefelé konvex.

Ha egy koordinátarendszerben függvénygráfokat építeni; y=(y egyenlő kettővel az x hatványokkal, y egyenlő öttel az x hatványokkal, y egyenlő héttel az x hatványokkal), láthatjuk, hogy ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkeznek, mint y=(y egyenlő három az x hatványával) ( .2. ábra), azaz minden y = alakú függvény (y egyenlő a-val x hatványával, egynél nagyobb) ilyen tulajdonságokkal rendelkezik

Ábrázoljuk a függvényt:

1. Értékeinek táblázat összeállítása.

A kapott pontokat a koordinátasíkon jelöljük.

Rajzoljunk ezeken a pontokon átmenő sima vonalat (3. ábra).

Ennek a függvénynek a grafikonjával jelezzük a tulajdonságait:

1. A definíciós tartomány az összes valós szám halmaza.

2. Se nem páros, se nem páratlan.

3. Csökken a teljes definíciós tartományban.

4. Nem rendelkezik sem a legnagyobb, sem a legkisebb értékkel.

5. Alulról korlátozott, de felülről nem korlátozva.

6. Folyamatos a teljes definíciós tartományban.

7. értéktartomány nullától plusz végtelenig.

8. A függvény lefelé konvex.

Hasonlóképpen, ha egy koordinátarendszerben függvénygráfokat készítünk; y=(y egyenlő az x hatvány egy másodpercével, y egyenlő az x hatvány egyötödével, y egyenlő az x hatvány egy hetedével), láthatjuk, hogy ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkeznek, mint y=(y egyenlő az x hatvány egyharmadával x hatványa). x) (4. ábra), azaz minden y \u003d alakú függvény (y egyenlő eggyel osztva a-val x hatványához, nullánál nagyobb, de egynél kisebb) olyan tulajdonságokkal rendelkeznek

Készítsünk függvénygráfokat egy koordinátarendszerben

ez azt jelenti, hogy az y=y= függvények grafikonjai is szimmetrikusak lesznek (y egyenlő a-val x és y hatványával egyenlő eggyel osztva a-val az x) hatványra az a azonos értékére.

Az elmondottakat egy exponenciális függvény definíciójával és főbb tulajdonságainak feltüntetésével foglaljuk össze:

Meghatározás: Az y \u003d alakú függvényt, ahol (y egyenlő a-val x hatványával, ahol a pozitív és különbözik egytől), exponenciális függvénynek nevezzük.

Emlékeznünk kell az y= exponenciális függvény és az y=, a=2,3,4,… hatványfüggvény közötti különbségekre. hangzásban és vizuálisan is. Az exponenciális függvény x egy végzettség, és teljesítmény funkció x az alapja.

1. példa: Oldja meg az egyenletet (három x hatványához egyenlő kilenc)

(y egyenlő három x hatványával, y pedig kilenc) 7. ábra

Jegyezzük meg, hogy van egy közös pontjuk M (2; 9) (em kettő koordinátákkal; kilenc), ami azt jelenti, hogy a pont abszcisszán a gyöke lesz adott egyenlet. Vagyis az egyenletnek egyetlen gyöke van x = 2.

2. példa: Oldja meg az egyenletet

Egy koordinátarendszerben megszerkesztjük az y \u003d függvény két grafikonját (y egyenlő öttel x hatványával, y pedig egy huszonötödével) 8. ábra. A grafikonok egy T pontban metszik egymást (-2; (te koordinátákkal mínusz kettő; egy huszonötödik). Ezért az egyenlet gyöke x \u003d -2 (szám mínusz kettő).

3. példa: Oldja meg az egyenlőtlenséget

Egy koordinátarendszerben megszerkesztjük az y \u003d függvény két grafikonját

(y egyenlő három x hatványával, y pedig huszonhéttel).

9. ábra A függvény grafikonja az y=when függvény grafikonja felett található

x Ezért az egyenlőtlenség megoldása az intervallum (mínusz végtelentől háromig)

4. példa: Oldja meg az egyenlőtlenséget

Egy koordinátarendszerben megszerkesztjük az y \u003d függvény két grafikonját (y egyenlő x hatványának egynegyedével, y pedig tizenhattal). (10. ábra). A grafikonok egy K pontban metszik egymást (-2;16). Ez azt jelenti, hogy az egyenlőtlenség megoldása a (-2; (mínusz kettőtől plusz végtelenig) intervallum, mivel az y \u003d függvény grafikonja az x-nél lévő függvény grafikonja alatt található

Érvelésünk lehetővé teszi, hogy ellenőrizzük a következő tételek érvényességét:

1. tétel: Ha akkor és csak akkor igaz, ha m=n.

2. Tétel: Ha akkor és csak akkor igaz, akkor az egyenlőtlenség akkor és csak akkor igaz (*. ábra)

4. Tétel: Ha akkor és csak akkor igaz (** ábra), az egyenlőtlenség akkor és csak akkor igaz 3. Tétel: Ha akkor és csak akkor igaz, ha m=n.

5. példa: Ábrázolja az y= függvényt

A függvényt az y= fok tulajdonság alkalmazásával módosítjuk

Építsünk kiegészítő rendszer koordináták és in új rendszer koordinátákat, ábrázoljuk az y \u003d függvényt (y egyenlő kettővel x hatványával) 11. ábra.

6. példa: Oldja meg az egyenletet

Egy koordinátarendszerben megszerkesztjük az y \u003d függvény két grafikonját

(Y egyenlő héttel x hatványa, Y pedig nyolc mínusz x) 12. ábra.

A gráfok egy E pontban metszik egymást (1; (e koordinátákkal egy; hét), így az egyenlet gyöke x = 1 (x egyenlő eggyel).

7. példa: Oldja meg az egyenlőtlenséget

Egy koordinátarendszerben megszerkesztjük az y \u003d függvény két grafikonját

(Y egyenlő x hatványának egynegyedével, Y pedig x plusz öttel). Az y= függvény grafikonja az y=x+5 at függvény grafikonja alatt található, az egyenlőtlenség megoldása az x intervallum (mínusz egytől plusz végtelenig).