Mitől függenek egy hatványfüggvény tulajdonságai? Teljesítmény funkció

Ebben a leckében a hatványfüggvények tanulmányozását folytatjuk racionális mutató, vegye figyelembe a függvényeket negatív racionális kitevővel.

1. Alapfogalmak és definíciók

Idézzük fel a negatív egész kitevővel rendelkező hatványfüggvények tulajdonságait és grafikonjait.

Páros n esetén:

Funkció példa:

Az ilyen függvények összes grafikonja két fix ponton megy keresztül: (1;1), (-1;1). Az ilyen típusú függvények sajátossága a paritásuk, a grafikonok szimmetrikusak az op-y tengelyhez képest.

Rizs. 1. Egy függvény grafikonja

Páratlan n esetén:

Funkció példa:

Az ilyen függvények grafikonjai két fix ponton haladnak át: (1;1), (-1;-1). Az ilyen típusú függvények sajátossága a páratlanságuk, a gráfok szimmetrikusak az origóhoz képest.

Rizs. 2. Függvénygrafikon

2. Függvény negatív racionális kitevővel, grafikonok, tulajdonságok

Emlékezzünk a fő definícióra.

A racionális pozitív kitevővel rendelkező nem negatív a szám fokszámát számnak nevezzük.

A racionális negatív kitevővel rendelkező pozitív a szám fokszámát számnak nevezzük.

A következő egyenlőségre:

Például: ; - a kifejezés nem létezik negatív racionális kitevővel rendelkező fok definíciója alapján; létezik, mivel a kitevő egész szám,

Térjünk rá a racionális negatív kitevővel rendelkező hatványfüggvények figyelembevételére.

Például:

A függvény ábrázolásához készíthet egy táblázatot. Másként tesszük: először megépítjük és tanulmányozzuk a nevező grafikonját - ismerjük (3. ábra).

Rizs. 3. Egy függvény grafikonja

A nevezőfüggvény grafikonja egy fix ponton (1;1) halad át. Az eredeti függvény gráfjának elkészítésekor ez a pont megmarad, amikor a gyök is nullára hajlik, a függvény a végtelenbe. És fordítva, mivel x a végtelenbe hajlik, a függvény nullára hajlik (4. ábra).

Rizs. 4. Függvénygrafikon

Tekintsünk még egy függvényt a vizsgált függvénycsaládból.

Fontos, hogy definíció szerint

Tekintsük a függvény grafikonját a nevezőben: , ismerjük ennek a függvénynek a grafikonját, definíciós tartományában növekszik és átmegy az (1; 1) ponton (5. ábra).

Rizs. 5. Függvénygrafikon

Az eredeti függvény gráfjának elkészítésekor az (1; 1) pont marad, amikor a gyök is nullára hajlik, a függvény a végtelenbe. És fordítva, mivel x a végtelenbe hajlik, a függvény nullára hajlik (6. ábra).

Rizs. 6. Függvénygrafikon

A vizsgált példák segítenek megérteni, hogyan megy a grafikon, és milyen tulajdonságai vannak a vizsgált függvénynek - egy negatív racionális kitevővel rendelkező függvénynek.

Ennek a családnak a függvénygráfjai az (1;1) ponton haladnak át, a függvény a teljes definíciós tartományon csökken.

Funkció hatóköre:

A függvény nem felülről, hanem alulról korlátos. A függvénynek nincs sem maximuma, sem a legkisebb érték.

A függvény folyamatos, minden pozitív értéket vesz nullától plusz végtelenig.

Konvex lefelé függvény (15.7. ábra)

Az A és B pontokat felvesszük a görbére, rajtuk egy szakaszt húzunk, a teljes görbe a szakasz alatt van, ez a feltétel a görbe tetszőleges két pontjára teljesül, ezért a függvény lefelé konvex. Rizs. 7.

Rizs. 7. Függvény konvexitása

3. Tipikus problémák megoldása

Fontos megérteni, hogy ennek a családnak a funkcióit alulról nulla határolja, de nem a legkisebb értékkel bírnak.

1. példa - keresse meg egy függvény maximumát és minimumát a \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \] intervallumon

Grafikon (2. ábra).

2. ábra: $f\left(x\right)=x^(2n)$ függvény grafikonja

Természetes páratlan kitevővel rendelkező hatványfüggvény tulajdonságai

A definíció tartománya minden valós szám.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ egy páratlan függvény.

$f(x)$ folytonos a teljes definíciós tartományon.

A tartomány minden valós szám.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

A függvény a teljes definíciós tartományban növekszik.

$f\left(x\right)0$, $x\in (0,+\infty)$ esetén.

$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

A függvény konkáv $x\in (-\infty ,0)$ esetén, és konvex $x\in (0,+\infty)$ esetén.

Grafikon (3. ábra).

3. ábra: $f\left(x\right)=x^(2n-1)$ függvény grafikonja

Hatványfüggvény egész kitevővel

Először bemutatjuk az egész kitevővel rendelkező fok fogalmát.

3. definíció

Fokozat valós szám$a$ egész indexű $n$ értékét a következő képlet határozza meg:

4. ábra

Tekintsünk most egy hatványfüggvényt egész kitevővel, annak tulajdonságait és grafikonját.

4. definíció

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ egész kitevőjű hatványfüggvénynek nevezzük.

Ha a fokszám nagyobb, mint nulla, akkor egy természetes kitevővel rendelkező hatványfüggvény esetéhez jutunk. Fentebb már tárgyaltuk. $n=0$ esetén egy $y=1$ lineáris függvényt kapunk. Megfontolását az olvasóra bízzuk. Továbbra is figyelembe kell venni egy negatív egész kitevővel rendelkező hatványfüggvény tulajdonságait

Negatív egész kitevővel rendelkező hatványfüggvény tulajdonságai

A hatókör: $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Ha a kitevő páros, akkor a függvény páros, ha páratlan, akkor a függvény páratlan.

$f(x)$ folytonos a teljes definíciós tartományon.

Értéktartomány:

Ha a kitevő páros, akkor $(0,+\infty)$, ha páratlan, akkor $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Ha a kitevő páratlan, a függvény a következőképpen csökken: $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Páros kitevő esetén a függvény $x\in (0,+\infty)$ értékkel csökken. és a következővel nő: $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ a teljes tartományban

Óra és előadás a témában: "Teljességi függvények. Tulajdonságok. Grafikonok"

Kiegészítő anyagok
Kedves felhasználók, ne felejtsék el megírni észrevételeiket, visszajelzéseiket, javaslataikat! Az összes anyagot egy vírusirtó program ellenőrzi.

Oktatási segédanyagok és szimulátorok az "Integral" online áruházban a 11. osztály számára
Interaktív kézikönyv 9-11. osztályos „Trigonometria”
Interaktív kézikönyv 10-11. évfolyamos "Logaritmusok"

Hatványfüggvények, definíciós tartomány.

Srácok, az utolsó leckében megtanultuk, hogyan kell racionális kitevős számokkal dolgozni. Ebben a leckében a hatványfüggvényeket fogjuk megvizsgálni, és arra az esetre szorítkozunk, amikor a kitevő racionális.
A következő formájú függvényeket fogjuk figyelembe venni: $y=x^(\frac(m)(n))$.
Tekintsük először azokat a függvényeket, amelyek kitevője $\frac(m)(n)>1$.
Adjunk meg egy $y=x^2*5$ függvényt.
Az utolsó leckében adott definíció szerint: ha $x≥0$, akkor függvényünk tartománya a $(x)$ sugár. Ábrázoljuk sematikusan a függvénygrafikonunkat.

A $y=x^(\frac(m)(n))$, $0 függvény tulajdonságai 2. Se nem páros, se nem páratlan.
3. $$-al nő,
b) $(2,10)$,
c) a $$ sugáron.
Megoldás.
Srácok, emlékszel, hogyan találtuk meg egy függvény legnagyobb és legkisebb értékét egy szegmensen a 10. osztályban?
Így van, a származékot használtuk. Oldjuk meg a példánkat, és ismételjük meg a legkisebb és legnagyobb érték megtalálásának algoritmusát.
1. Keresse meg az adott függvény deriváltját:
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. A derivált az eredeti függvény teljes tartományán létezik, akkor nincsenek kritikus pontok. Keressünk stacioner pontokat:
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
$8*\sqrt(x^3)=x^3$.
$64x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ és $x_2=\sqrt(64)=4$.
Csak egy $x_2=4$ megoldás tartozik az adott szegmenshez.
Készítsünk egy táblázatot a függvényünk értékeiről a szegmens végén és a szélsőponton:
Válasz: $y_(név)=-862.65$, ahol $x=9$; $y_(max)=38,4$, ha $x=4$.

Példa. Oldja meg az egyenletet: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
Megoldás. A $y=x^(\frac(4)(3))$ függvény grafikonja növekszik, míg a $y=24-x$ függvény grafikonja csökken. Srácok, ti ​​és én tudjuk: ha az egyik függvény növekszik, a másik pedig csökken, akkor csak egy pontban metszik egymást, vagyis csak egy megoldásunk van.
Jegyzet:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
Azaz $х=8$ esetén megkaptuk a helyes egyenlőséget $16=16$, ez az egyenletünk megoldása.
Válasz: $x=8$.

Példa.
Ábrázolja a függvényt: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
Megoldás.
Függvényünk grafikonját a $y=x^(\frac(3)(4))$ függvény grafikonjából kapjuk, 3 egységgel jobbra és 2 egységgel felfelé tolva.

Példa. Írjuk fel a $y=x^(-\frac(4)(5))$ egyenes érintőjének egyenletét a $x=1$ pontban.
Megoldás. Az érintőegyenletet az általunk ismert képlet határozza meg:
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Esetünkben $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Keressük a származékot:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Számoljunk:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Keresse meg az érintő egyenletet:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Válasz: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.

Önálló megoldási feladatok

1. Keresse meg a $y=x^\frac(4)(3)$ függvény legnagyobb és legkisebb értékét a szegmensen:
a) $$.
b) $(4,50)$.
c) a $$ sugáron.
3. Oldja meg az egyenletet: $x^(\frac(1)(4))=18-x$.
4. Ábrázolja a függvényt: $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$.
5. Írja fel az $y=x^(-\frac(3)(7))$ egyenes érintőjének egyenletét az $x=1$ pontban.

Idézzük fel a negatív egész kitevővel rendelkező hatványfüggvények tulajdonságait és grafikonjait.

Páros n esetén:

Funkció példa:

Az ilyen függvények összes grafikonja két fix ponton megy keresztül: (1;1), (-1;1). Az ilyen típusú függvények sajátossága a paritásuk, a grafikonok szimmetrikusak az op-y tengelyhez képest.

Rizs. 1. Egy függvény grafikonja

Páratlan n esetén:

Funkció példa:

Az ilyen függvények grafikonjai két fix ponton haladnak át: (1;1), (-1;-1). Az ilyen típusú függvények sajátossága a páratlanságuk, a gráfok szimmetrikusak az origóhoz képest.

Rizs. 2. Függvénygrafikon

Emlékezzünk a fő definícióra.

A racionális pozitív kitevővel rendelkező nem negatív a szám fokszámát számnak nevezzük.

A racionális negatív kitevővel rendelkező pozitív a szám fokszámát számnak nevezzük.

A következő egyenlőségre:

Például: ; - a kifejezés nem létezik negatív racionális kitevővel rendelkező fok definíciója alapján; létezik, mivel a kitevő egész szám,

Térjünk rá a racionális negatív kitevővel rendelkező hatványfüggvények figyelembevételére.

Például:

A függvény ábrázolásához készíthet egy táblázatot. Másként tesszük: először megépítjük és tanulmányozzuk a nevező grafikonját - ismerjük (3. ábra).

Rizs. 3. Egy függvény grafikonja

A nevezőfüggvény grafikonja egy fix ponton (1;1) halad át. Az eredeti függvény gráfjának elkészítésekor ez a pont megmarad, amikor a gyök is nullára hajlik, a függvény a végtelenbe. És fordítva, mivel x a végtelenbe hajlik, a függvény nullára hajlik (4. ábra).

Rizs. 4. Függvénygrafikon

Tekintsünk még egy függvényt a vizsgált függvénycsaládból.

Fontos, hogy definíció szerint

Tekintsük a függvény grafikonját a nevezőben: , ismerjük ennek a függvénynek a grafikonját, definíciós tartományában növekszik és átmegy az (1; 1) ponton (5. ábra).

Rizs. 5. Függvénygrafikon

Az eredeti függvény gráfjának elkészítésekor az (1; 1) pont marad, amikor a gyök is nullára hajlik, a függvény a végtelenbe. És fordítva, mivel x a végtelenbe hajlik, a függvény nullára hajlik (6. ábra).

Rizs. 6. Függvénygrafikon

A vizsgált példák segítenek megérteni, hogyan megy a grafikon, és milyen tulajdonságai vannak a vizsgált függvénynek - egy negatív racionális kitevővel rendelkező függvénynek.

Ennek a családnak a függvénygráfjai az (1;1) ponton haladnak át, a függvény a teljes definíciós tartományon csökken.

Funkció hatóköre:

A függvény nem felülről, hanem alulról korlátos. A függvénynek nincs sem maximuma, sem minimális értéke.

A függvény folyamatos, minden pozitív értéket vesz nullától plusz végtelenig.

Konvex lefelé függvény (15.7. ábra)

Az A és B pontokat felvesszük a görbére, rajtuk egy szakaszt húzunk, a teljes görbe a szakasz alatt van, ez a feltétel a görbe tetszőleges két pontjára teljesül, ezért a függvény lefelé konvex. Rizs. 7.

Rizs. 7. Függvény konvexitása

Fontos megérteni, hogy ennek a családnak a funkcióit alulról nulla határolja, de nem a legkisebb értékkel bírnak.

1. példa - keresse meg a függvény maximumát és minimumát az intervallumon)