itthon > gépészet

Az y x n függvény tulajdonságai. Exponenciális függvény - tulajdonságok, grafikonok, képletek

Funkció hol x – változó, A – adott szám, nak, nek hívják teljesítmény funkció .

Ha akkor egy lineáris függvény, akkor a grafikonja egy egyenes (lásd 4.3. szakasz, 4.7. ábra).

Ha akkor- másodfokú függvény, grafikonja egy parabola (lásd 4.3. bekezdés, 4.8. ábra).

Ha akkor a gráfja egy köbös parabola (lásd 4.3. szakasz, 4.9. ábra).

Teljesítmény funkció

Ez inverz függvény számára

1. Tartomány:

2. Több érték:

3. Páros és páratlan: páratlan függvény.

4. Funkció periodicitása: nem időszakos.

5. Funkció nullák: x= 0 az egyetlen nulla.

6. A függvénynek nincs maximális vagy minimális értéke.

7.

8. Függvénygrafikon Szimmetrikus egy köbös parabola grafikonjára az egyeneshez képest Y=xés az ábrán látható. 5.1.

Teljesítmény funkció

1. Tartomány:

2. Több érték:

3. Páros és páratlan: a függvény páros.

4. Funkció periodicitása: nem időszakos.

5. Funkció nullák: egyetlen nulla x = 0.

6. A függvény legnagyobb és legkisebb értékei: a legkisebb értéket veszi fel x= 0, egyenlő 0-val.

7. Növekvő és csökkenő intervallumok: a függvény az intervallumon csökken, az intervallumon pedig növekszik

8. Függvénygrafikon(mindenkinek N Î N) „úgy néz ki”, mint egy grafikon másodfokú parabola(függvénygrafikonok az 5.2. ábrán láthatók).

Teljesítmény funkció

1. Tartomány:

2. Több érték:

3. Páros és páratlan: páratlan függvény.

4. Funkció periodicitása: nem időszakos.

5. Funkció nullák: x= 0 az egyetlen nulla.

6. Maximális és minimális értékek:

7. Növekvő és csökkenő intervallumok: a függvény a teljes definíciós tartományban növekszik.

8. Függvénygrafikon(mindegyik esetén) úgy néz ki, mint egy köbös parabola grafikonja (a függvénygrafikonok az 5.3. ábrán láthatók).

Teljesítmény funkció

1. Tartomány:

2. Több érték:

3. Páros és páratlan: páratlan függvény.

4. Funkció periodicitása: nem időszakos.

5. Funkció nullák: nincsenek nullák.

6. A függvény legnagyobb és legkisebb értékei: a függvény egyikhez sem rendelkezik a legnagyobb és legkisebb értékkel

7. Növekvő és csökkenő intervallumok: a függvény a definíciós tartományban csökken.

8. Aszimptoták:(tengely OU) a függőleges aszimptota;

(tengely Ó) a vízszintes aszimptota.

9. Függvénygrafikon(bárkinek N) "úgy néz ki", mint egy hiperbola grafikonja (a függvények grafikonjait az 5.4. ábra mutatja).

Teljesítmény funkció

1. Tartomány:

2. Több érték:

3. Páros és páratlan: a függvény páros.

4. Funkció periodicitása: nem időszakos.

5. A függvény legnagyobb és legkisebb értékei: a függvény egyikhez sem rendelkezik a legnagyobb és legkisebb értékkel

6. Növekvő és csökkenő intervallumok: a funkció növekszik és csökken

7. Aszimptoták: x= 0 (tengely OU) a függőleges aszimptota;

Y= 0 (tengely Ó) a vízszintes aszimptota.

8. Függvénygrafikonok Másodfokú hiperbolák (5.5. ábra).

Teljesítmény funkció

1. Tartomány:

2. Több érték:

3. Páros és páratlan: a függvénynek nincs páros és páratlan tulajdonsága.

4. Funkció periodicitása: nem időszakos.

5. Funkció nullák: x= 0 az egyetlen nulla.

6. A függvény legnagyobb és legkisebb értékei: a legkisebb 0-val egyenlő értéket a függvény a pontban veszi fel x= 0; a legnagyobb érték nem rendelkezik.

7. Növekvő és csökkenő intervallumok: a függvény a teljes definíciós tartományban növekszik.

8. Minden ilyen függvény egy bizonyos indikátorral inverz a függvényre, feltéve

9. Függvénygrafikon"úgy néz ki", mint egy függvény grafikonja bármely Nés az ábrán látható. 5.6.

Teljesítmény funkció

1. Tartomány:

2. Több érték:

3. Páros és páratlan: páratlan függvény.

4. Funkció periodicitása: nem időszakos.

5. Funkció nullák: x= 0 az egyetlen nulla.

6. A függvény legnagyobb és legkisebb értékei: a függvény egyikhez sem rendelkezik a legnagyobb és legkisebb értékkel

7. Növekvő és csökkenő intervallumok: a függvény a teljes definíciós tartományban növekszik.

8. Függvénygrafikonábrán látható. 5.7.

Idézzük fel a negatív egész kitevővel rendelkező hatványfüggvények tulajdonságait és grafikonjait.

Páros n esetén:

Példa a függvényre:

Az ilyen függvények összes grafikonja két fix ponton megy keresztül: (1;1), (-1;1). Az ilyen típusú függvények sajátossága a paritásuk, a grafikonok szimmetrikusak az op-y tengelyhez képest.

Rizs. 1. Egy függvény grafikonja

Páratlan n esetén:

Példa a függvényre:

Az ilyen függvények összes grafikonja két fix ponton megy keresztül: (1;1), (-1;-1). Az ilyen típusú függvények sajátossága a páratlanságuk, a gráfok szimmetrikusak az origóhoz képest.

Rizs. 2. Függvénygrafikon

Emlékezzünk a fő definícióra.

A racionális pozitív kitevővel rendelkező, nem negatív a szám fokszámát számnak nevezzük.

A racionális negatív kitevővel rendelkező pozitív a szám fokszámát számnak nevezzük.

A következő egyenlőségre vonatkozik:

Például: ; - a kifejezés nem létezik negatív racionális kitevővel rendelkező fok definíciója szerint; létezik, mivel a kitevő egész szám,

Térjünk rá a hatványfüggvények figyelembevételére racionális negatív kitevővel.

Például:

A függvény ábrázolásához készíthet egy táblázatot. Másként fogunk tenni: először megszerkesztjük és tanulmányozzuk a nevező grafikonját - ismerjük (3. ábra).

Rizs. 3. Egy függvény grafikonja

A nevezőfüggvény grafikonja egy fix ponton (1;1) halad át. Az eredeti függvény gráfjának elkészítésekor ez a pont megmarad, amikor a gyök is nullára hajlik, a függvény a végtelenbe. És fordítva, mivel x a végtelenbe hajlik, a függvény nullára hajlik (4. ábra).

Rizs. 4. Függvénygrafikon

Tekintsünk még egy függvényt a vizsgált függvénycsaládból.

Fontos, hogy definíció szerint

Tekintsük a függvény grafikonját a nevezőben: , ismerjük ennek a függvénynek a grafikonját, definíciós tartományában növekszik és átmegy az (1; 1) ponton (5. ábra).

Rizs. 5. Függvénygrafikon

Az eredeti függvény gráfjának elkészítésekor az (1; 1) pont marad, amikor a gyök is nullára hajlik, a függvény a végtelenbe. És fordítva, mivel x a végtelenbe hajlik, a függvény nullára hajlik (6. ábra).

Rizs. 6. Függvénygrafikon

A vizsgált példák segítenek megérteni, hogyan megy a grafikon, és milyen tulajdonságai vannak a vizsgált függvénynek - egy negatív racionális kitevővel rendelkező függvénynek.

Ennek a családnak a függvénygráfjai az (1;1) ponton haladnak át, a függvény a teljes definíciós tartományon csökken.

Funkció hatóköre:

A függvény nem felülről, hanem alulról korlátos. A függvénynek nincs sem maximuma, sem a legkisebb érték.

A függvény folyamatos, minden pozitív értéket vesz nullától plusz végtelenig.

Konvex lefelé függvény (15.7. ábra)

Az A és B pontokat felvesszük a görbére, rajtuk egy szakaszt húzunk, a teljes görbe a szakasz alatt van, ez a feltétel a görbe tetszőleges két pontjára teljesül, ezért a függvény lefelé konvex. Rizs. 7.

Rizs. 7. Függvény konvexitása

Fontos megérteni, hogy ennek a családnak a funkcióit alulról nulla határolja, de nem a legkisebb értékük.

1. példa - keresse meg egy függvény maximumát és minimumát a \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \] intervallumon

Grafikon (2. ábra).

2. ábra: $f\left(x\right)=x^(2n)$ függvény grafikonja

Természetes páratlan kitevővel rendelkező hatványfüggvény tulajdonságai

    A definíció tartománya minden valós szám.

    $f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ egy páratlan függvény.

    $f(x)$ folytonos a teljes definíciós tartományon.

    A tartomány minden valós szám.

    $f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

    A függvény a teljes definíciós tartományban növekszik.

    $f\left(x\right)0$, $x\in (0,+\infty)$ esetén.

    $f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

    \ \

    A függvény konkáv $x\in (-\infty ,0)$ esetén, és konvex $x\in (0,+\infty)$ esetén.

    Grafikon (3. ábra).

3. ábra: $f\left(x\right)=x^(2n-1)$ függvény grafikonja

Hatványfüggvény egész kitevővel

Először bemutatjuk az egész kitevővel rendelkező fok fogalmát.

3. definíció

A $n$ egész kitevővel rendelkező $a$ valós szám mértékét a következő képlet határozza meg:

4. ábra

Tekintsünk most egy hatványfüggvényt egész kitevővel, annak tulajdonságait és grafikonját.

4. definíció

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ egész kitevőjű hatványfüggvénynek nevezzük.

Ha a fokszám nagyobb nullánál, akkor egy természetes kitevővel rendelkező hatványfüggvény esetéhez jutunk. Fentebb már foglalkoztunk vele. $n=0$ esetén egy $y=1$ lineáris függvényt kapunk. Megfontolását az olvasóra bízzuk. Továbbra is figyelembe kell venni egy negatív egész kitevővel rendelkező hatványfüggvény tulajdonságait

Negatív egész kitevővel rendelkező hatványfüggvény tulajdonságai

    A hatókör: $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

    Ha a kitevő páros, akkor a függvény páros, ha páratlan, akkor a függvény páratlan.

    $f(x)$ folytonos a teljes definíciós tartományon.

    Értéktartomány:

    Ha a kitevő páros, akkor $(0,+\infty)$, ha páratlan, akkor $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

    Ha a kitevő páratlan, a függvény a következőképpen csökken: $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Páros kitevő esetén a függvény $x\in (0,+\infty)$ értékkel csökken. és a következővel nő: $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

    $f(x)\ge 0$ a teljes tartományban

Az exponenciális függvény referenciaadatai megadva - alapvető tulajdonságok, grafikonok és képletek. A következő kérdéseket vizsgáljuk: definíciós tartomány, értékkészlet, monotonitás, inverz függvény, derivált, integrál, hatványsorok kiterjesztése és ábrázolása komplex számokkal.

Meghatározás

Exponenciális függvény n szám szorzatának általánosítása egyenlő a -val:
y (n) = a n = a a a a,
az x valós számok halmazához:
y (x) = x.
Itt a rögzítve van valós szám, ami az úgynevezett az exponenciális függvény alapja.
Az a bázisú exponenciális függvényt is nevezzük exponenciális a bázisra.

Az általánosítás a következőképpen történik.
Természetes x = esetén 1, 2, 3,... , az exponenciális függvény x tényező szorzata:
.
Ezenkívül rendelkezik a (1,5-8) () tulajdonságokkal, amelyek a számok szorzásának szabályaiból következnek. Nullánál és negatív értékeket integers , az exponenciális függvényt az (1,9-10) képletek határozzák meg. Törtértékekhez x = m/n racionális számok, , az (1.11) képlet határozza meg. Valós esetén az exponenciális függvény a következőképpen van definiálva sorozathatár:
,
ahol racionális számok tetszőleges sorozata, amely x-hez konvergál: .
Ezzel a definícióval az exponenciális függvény minden -re definiálva van, és kielégíti az (1,5-8) tulajdonságokat, valamint természetes x-re.

Az exponenciális függvény definíciójának szigorú matematikai megfogalmazása és tulajdonságainak bizonyítása az "Exponenciális függvény definíciója és tulajdonságainak bizonyítása" oldalon található.

Az exponenciális függvény tulajdonságai

Az y = a x exponenciális függvény a következő tulajdonságokkal rendelkezik a valós számok halmazán () :
(1.1) meghatározott és folyamatos, for , for all ;
(1.2) amikor a ≠ 1 sok jelentése van;
(1.3) szigorúan növekszik -nál, szigorúan csökken -nál,
állandó -nál;
(1.4) nál nél ;
nál nél ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Egyéb hasznos képletek
.
Az exponenciális függvényre való konvertálás képlete eltérő hatványalappal:

Ha b = e , akkor megkapjuk az exponenciális függvény kifejezését a kitevőben:

Magánértékek

, , , , .

Az ábrán az exponenciális függvény grafikonjai láthatók
y (x) = x
négy értékre fokozati alapok:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 és egy = 1/8 . Látható, hogy egy > 1 az exponenciális függvény monoton növekszik. Minél nagyobb az a fok alapja, annál erősebb a növekedés. Nál nél 0 < a < 1 az exponenciális függvény monoton csökken. Hogyan kevesebb mutató a fok, annál erősebb a csökkenés.

Növekvő csökkenő

Az at exponenciális függvény szigorúan monoton, tehát nincs szélsősége. Főbb tulajdonságait a táblázat mutatja be.

y = a x , a > 1 y = x, 0 < a < 1
Tartomány - ∞ < x < + ∞ - ∞ < x < + ∞
Értékek tartománya 0 < y < + ∞ 0 < y < + ∞
Monoton monoton növekszik monoton csökken
Nullák, y= 0 Nem Nem
Az y tengellyel való metszéspontok, x = 0 y= 1 y= 1
+ ∞ 0
0 + ∞

Inverz függvény

Az a fokú bázisú exponenciális függvény reciproka az a bázis logaritmusa.

Ha akkor
.
Ha akkor
.

Az exponenciális függvény differenciálása

Egy exponenciális függvény megkülönböztetéséhez az alapját e számra kell redukálni, alkalmazni kell a derivált táblázatot és a komplex függvény differenciálására vonatkozó szabályt.

Ehhez a logaritmusok tulajdonságát kell használni
és a származékok táblázatának képlete:
.

Adjunk meg egy exponenciális függvényt:
.
Hozzuk az alapra e:

Alkalmazzuk egy komplex függvény differenciálási szabályát. Ehhez bevezetünk egy változót

Azután

A derivált táblázatból a következőt kapjuk (az x változót z-re cseréljük):
.
Mivel konstans, ezért z deriváltja x-hez képest
.
Az összetett függvény differenciálási szabálya szerint:
.

Az exponenciális függvény deriváltja

.
Az n-edik rend származéka:
.
Képletek származtatása > > >

Példa exponenciális függvény differenciálására

Keresse meg egy függvény deriváltját
y= 35 x

Döntés

Az exponenciális függvény alapját az e számmal fejezzük ki.
3 = e log 3
Azután
.
Bevezetünk egy változót
.
Azután

A származékok táblázatából a következőket találjuk:
.
Amennyiben 5ln 3 konstans, akkor z deriváltja x-hez képest:
.
Egy komplex függvény differenciálási szabálya szerint a következőket kapjuk:
.

Válasz

Integrál

Kifejezések komplex számokkal

Tekintsük a komplex számfüggvényt z:
f (z) = az
ahol z = x + iy ; én 2 = - 1 .
Az a komplex állandót az r modulussal és a φ argumentummal fejezzük ki:
a = r e i φ
Azután


.
A φ argumentum nincs egyértelműen definiálva. NÁL NÉL Általános nézet
φ = φ 0 + 2 pn,
ahol n egy egész szám. Ezért az f függvény (z) szintén kétértelmű. Gyakran fő fontosságának tartják
.

Bővítés sorozatban


.

Referenciák:
BAN BEN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematika kézikönyve mérnököknek és felsőoktatási intézmények hallgatóinak, Lan, 2009.

Azt is ajánljuk

Betöltés...Betöltés...