Az integrál és gyakorlati alkalmazása. Az integrál tantárgyi alkalmazása

Kutatási téma

Integrálszámítás alkalmazása a családi kiadások tervezésében

A probléma relevanciája

Egyre inkább a társadalmi és gazdasági szférák a jövedelemeloszlás egyenlőtlenségi fokának kiszámításakor a matematikát, nevezetesen az integrálszámítást használják. tanul gyakorlati használat megkapjuk az integrált:

Hogyan segíti az integrál és az integrált használó területszámítás az anyagköltségek felosztását?

Hogyan segít az integrál pénzt megtakarítani a nyaraláshoz.

Cél

tervezze meg a családi kiadásokat integrálszámítással

Feladatok

Fedezd fel geometriai jelentése integrál.
Fontolja meg az integráció módszereit az élet társadalmi és gazdasági szférájába.
Készítsen előrejelzést a család anyagköltségeiről egy lakás javítása során az integrál segítségével.
Számítsa ki a család energiafogyasztásának mennyiségét egy évre, figyelembe véve az integrálszámítást.
Számolja ki a takarékbetét összegét a Sberbankban nyaraláshoz.

Hipotézis

Az integrálszámítás segít a gazdaságos számításokban a családi bevételek és kiadások tervezésekor.

Kutatási szakaszok

Tanulmányoztuk az integrál geometriai jelentését és az integráció módszereit az élet társadalmi és gazdasági szférájában.
Egy lakás javításához szükséges anyagköltségeket az integrál segítségével számoltuk ki.
Kiszámoltuk a lakás áramfogyasztásának mértékét és a család áramköltségét egy évre.
Megfontoltuk az egyik lehetőséget a családi jövedelem beszedésére a Sberbankban lévő betéteken keresztül az integrál használatával.

A vizsgálat tárgya

integrálszámítás az élet társadalmi és gazdasági szférájában.

Mód

"Az integrálszámítás gyakorlati alkalmazása" témakör szakirodalmának elemzése
Integrálási módszerek tanulmányozása az integrált használó ábrák terület- és térfogatszámítására vonatkozó problémák megoldásában.
Családi kiadások és bevételek elemzése integrálszámítással.

Munkafolyamat

Irodalmi áttekintés "Az integrálszámítás gyakorlati alkalmazása" témában
Az ábrák területeinek és térfogatainak számítására szolgáló feladatrendszer megoldása integrál segítségével.
A családi kiadások és bevételek kiszámítása integrált számítással: szobafelújítás, villamosenergia-mennyiség, betétek a Sberbankban nyaraláshoz.

Eredményeink

Hogyan segít az integrál és az integrál segítségével történő térfogatszámítás a villamosenergia-fogyasztás mennyiségének előrejelzésében?

megállapításait

A lakás javításához szükséges pénzeszközök gazdasági számítása gyorsabban és pontosabban elvégezhető integrálszámítással.

Könnyebb és gyorsabb a családi áramfogyasztás kiszámítása integrálszámítással és Microsoft Office Excel-lel, ami azt jelenti, hogy egy család villamosenergia-költségét egy évre előre jelezzük.

A takarékpénztári betétekből származó nyereséget integrálszámítással lehet kiszámítani, ami családi nyaralás tervezését jelenti.

Az erőforrások listája

Nyomtatott kiadások:

Tankönyv. Algebra és az elemzés kezdete 10-11 évfolyam. A.G. Mordkovich. Mnemosyne. M: 2007
Tankönyv. Algebra és az elemzés kezdete 10-11 évfolyam. A. Kolmogorov felvilágosodás. M: 2007
Matematika szociológusoknak és közgazdászoknak. Akhtyamov A.M. M.: FIZMATLIT, 2004. - 464 p.
Integrálszámítás, kézikönyv Felső matematika M. Ya. Vygodsky, Felvilágosodás, 2000

Ivanov Szergej, diák gr.14-EOP-33D

A munka felhasználható egy általánosító órán a "Származék", "Integrál" témakörökben.

Letöltés:

Előnézet:

A prezentációk előnézetének használatához hozzon létre fiókot magának ( fiókot) Google, és jelentkezzen be: https://accounts.google.com

Diák feliratai:

GBPOU KNT őket. B. I. Kornyilova Kutatás témában: "A deriváltak és integrálok használata a fizikában, a matematikában és az elektrotechnikában." Diák gr. 2014-eop-33d Ivanov Szergej.

1. A származék megjelenésének története. A 17. század végén a nagy angol tudós, Isaac Newton bebizonyította, hogy az ösvény és a sebesség a következő képlettel függ össze: V (t) \u003d S '(t), és ilyen kapcsolat létezik a legkülönfélébb állatok mennyiségi jellemzői között. vizsgált folyamatok: fizika, (a \u003d V '= x '' , F = ma = m * x '' , impulzus P = mV = mx ' , kinetikai E = mV 2 /2= mx ' 2 /2), kémia, biológia és mérnöki tudományok. Newtonnak ez a felfedezése fordulópont volt a természettudomány történetében.

1. A származék megjelenésének története. Az alaptörvények felfedezésének megtiszteltetése matematikai elemzés Newtonnal együtt Gottfried Wilhelm Leibniz német matematikushoz tartozik. Leibniz ezekhez a törvényekhez azáltal jutott el, hogy megoldotta azt a problémát, hogy egy tetszőleges görbére érintőt rajzoljunk, i.e. megfogalmazta a derivált geometriai jelentését, hogy a származék értéke az érintkezési pontban az lejtőérintő vagy tg az érintő dőlésszöge az O X tengely pozitív irányával. A származékos kifejezést és az y ’ , f ’ modern elnevezéseket J. Lagrange vezette be 1797-ben.

2. Az integrál megjelenésének története. Az integrál- és integrálszámítás fogalma abból adódott, hogy ki kellett számítani bármely alakzat területét (négyzetét) és tetszőleges testek térfogatát (kubatúráját). Az integrálszámítás őstörténete az ókorba nyúlik vissza. Az integrálszámítás első ismert módszere a görbe vonalú alakzatok területének vagy térfogatának vizsgálatára szolgáló módszer - az Eudoxus-kimerülési módszer (Cnidus Eudoxusa (Kr. e. 408 - Kr. e. 355 körül) - ókori görög matematikus, mechanikus és csillagász), amelyet Kr.e. 370 körül javasoltak. e. Ennek a módszernek a lényege a következő: azt a figurát, amelynek területét vagy térfogatát próbálták megkeresni, végtelen számú részre bontottuk, amelyeknek a területe vagy térfogata már ismert.

"A kimerítési módszer" Tegyük fel, hogy ki kell számítanunk egy citrom térfogatát szabálytalan alakú, ezért bármelyiket alkalmazza ismert képlet hangerő nem lehetséges. Méréssel a térfogatot is nehéz megtalálni, mivel a citrom sűrűsége benne van Különböző részek ez más. Folytassuk a következőképpen. A citromot vékony szeletekre vágjuk. Mindegyik szelet megközelítőleg egy hengernek, az alap sugarának tekinthető, amely mérhető. Egy ilyen henger térfogata könnyen kiszámítható kész formula. A kis hengerek térfogatát összeadva megkapjuk a teljes citrom térfogatának hozzávetőleges értékét. A közelítés minél pontosabb, minél vékonyabb részein tudjuk vágni a citromot.

2. Az integrál megjelenésének története. Eudoxus nyomán az ókori tudós Arkhimédész a „kimerülési” módszert és annak változatait használta a térfogatok és területek kiszámítására. Sikeresen fejlesztve elődei elképzeléseit, meghatározta a kerületet, a kör területét, a labda térfogatát és felületét. Megmutatta, hogy egy gömb, egy ellipszoid, egy hiperboloid és egy forgásparaboloid térfogatának meghatározása egy henger térfogatának meghatározására redukálódik.

A differenciálegyenletek elméletének alapja a Leibniz és Newton által megalkotott differenciálszámítás volt. Maga a „differenciálegyenlet” kifejezést Leibniz javasolta 1676-ban. 3. A differenciálegyenletek megjelenésének története. Kezdetben a mechanika problémáiból keletkeztek a differenciálegyenletek, amelyekben meg kellett határozni a testek koordinátáit, sebességeiket és gyorsulásaikat, amelyeket különböző hatások hatására az idő függvényének tekintettek. Az akkoriban vizsgált geometriai problémák egy része differenciálegyenletekhez is vezetett.

3. A differenciálegyenletek megjelenésének története. A 17. századi differenciálegyenletekkel foglalkozó munkái közül Euler (1707-1783) és Lagrange (1736-1813) munkái emelkednek ki. Ezekben a munkákban dolgozták ki először a kis rezgések elméletét, és ennek következtében az elméletet. lineáris rendszerek differenciál egyenletek; az út során felmerültek a lineáris algebra alapfogalmai ( sajátértékekés vektorok n-dimenziós esetben). Newton nyomán Laplace és Lagrange, majd Gauss (1777-1855) is kidolgozta a perturbációelmélet módszereit.

4. A derivált és integrál alkalmazása a matematikában: A matematikában a derivált széles körben használatos számos probléma, egyenlet, egyenlőtlenség megoldásában, valamint a függvénytanulmányozás folyamatában. Példa: Algoritmus egy extrémum függvényének vizsgálatára: 1)O.O.F. 2) y ′=f ′(x), f ′(x)=0 és oldja meg az egyenletet. 3) O.O.F. szakaszokra bontani. 4) Minden intervallumon meghatározzuk a derivált előjelét. Ha f ′(x)>0 , akkor a függvény növekszik. Ha f'(x)

4. A derivált és integrál alkalmazása a matematikában: Az integrált (határozott integrált) a matematikában (geometria) használják egy görbe trapéz területének meghatározására. Példa: Algoritmus egy lapos alakzat területének meghatározására egy határozott integrál segítségével: 1) A jelzett függvények grafikonját készítjük. 2) Jelölje be az e vonalak által határolt ábrát! 3) Keresse meg az integráció határait, írja fel a határozott integrált és számítsa ki!

5. A derivált és az integrál alkalmazása a fizikában. A fizikában a derivált elsősorban problémák megoldására használatos, például: bármely test sebességének vagy gyorsulásának megállapítása. Példa: 1) Egy pont egyenes mentén történő mozgásának törvényét az s(t)= 10t^2 képlet adja meg, ahol t az idő (másodpercben), s(t) a pont eltérése t idő (méterben) a kiindulási helyzettől. Határozza meg a sebességet és a gyorsulást t időpontban, ha: t=1,5 s. 2) Az anyagi pont egyenesen mozog az x(t)= 2+20t+5t2 törvény szerint. Határozza meg a sebességet és a gyorsulást t=2s időpontban (x a pont koordinátája méterben, t az idő másodpercben).

Fizikai mennyiség Középérték Pillanatnyi érték Sebesség Gyorsulás Szögsebesség Áram Erő Teljesítmény

5. A derivált és az integrál alkalmazása a fizikában. Az integrált olyan problémáknál is használják, mint a sebesség vagy a távolság meghatározása. A test v(t) = t + 2 (m/s) sebességgel mozog. Keresse meg azt az utat, amelyet a test bejár a mozgás megkezdése után 2 másodpercen belül. Példa:

6. A derivált és integrál alkalmazása az elektrotechnikában. A származék az elektrotechnikában is alkalmazásra talált. Láncban elektromos áram elektromos töltés q=q (t) törvény szerint idővel változik. Az I áram a q töltés deriváltja az idő függvényében. I=q ′(t) Példa: 1) A vezetőn átfolyó töltés a q=sin(2t-10) törvény szerint változik. Határozza meg az áramerősséget a t=5 mp időpontban. Az integrál az elektrotechnikában inverz feladatok megoldására használható, pl. az elektromos töltés megtalálása az áramerősség ismeretében stb. 2) A vezetőn átfolyó elektromos töltést a t \u003d 0 pillanattól kezdve a q (t) \u003d 3t2 + t + 2 képlet adja meg. Határozza meg az áramerősséget a t \u003d 3 s időpontban. Az integrál az elektrotechnikában inverz feladatok megoldására használható, pl. az elektromos töltés megtalálása az áramerősség ismeretében stb.

Az integrál fogalma széles körben alkalmazható az életben. Az integrálokat a tudomány és a technológia különböző területein használják. Az integrálokkal számított fő feladatok a következők:

1. A test térfogatának meghatározása

2. A test tömegközéppontjának megtalálása.

Tekintsük mindegyiket részletesebben. Itt és alább valamilyen f(x) függvény határozott integráljának jelölésére a-tól b-ig terjedő integrációs határokkal a következő jelölést használjuk ∫ a b f(x).

Egy test térfogatának meghatározása

Tekintsük a következő ábrát. Tegyük fel, hogy van olyan test, amelynek térfogata V-vel egyenlő. Létezik olyan egyenes is, hogy ha felveszünk egy bizonyos, erre az egyenesre merőleges síkot, akkor ennek a testnek a sík szerinti S keresztmetszete lesz ismert.

Mindegyik ilyen sík merőleges lesz az x tengelyre, és ezért metszi azt egy x pontban. Vagyis a szegmens minden x pontjához hozzá kell rendelni az S (x) számot - a test keresztmetszeti területét, az ezen a ponton áthaladó síkot.

Kiderül, hogy a szakaszon valamilyen S(x) függvény lesz megadva. Ha ez a függvény folytonos ezen a szegmensen, akkor a következő képlet lesz érvényes:

V = ∫ a b S(x)dx.

Ennek az állításnak a bizonyítása túlmutat az iskolai tanterv keretein.

Egy test tömegközéppontjának kiszámítása

A tömegközéppontot leggyakrabban a fizikában használják. Például van olyan test, amely bármilyen sebességgel mozog. De kényelmetlen nagy testnek tekinteni, ezért a fizikában ezt a testet egy pont mozgásának tekintik, feltételezve, hogy ennek a pontnak a tömege megegyezik az egész test tömegével.

És ebben a kérdésben a fő feladat a test tömegközéppontjának kiszámítása. Mert a test nagy, és melyik pontot kell tömegközéppontnak tekinteni? Talán a test közepén? Vagy talán az élvonalhoz legközelebbi pont? Itt jön képbe az integráció.

A tömegközéppont meghatározásához a következő két szabályt kell használni:

1. Valamely A1, A2,A3, … An anyagi pontrendszer tömegközéppontjának x' koordinátája m1, m2, m3, … mn tömegekkel, amelyek egyenes vonalon helyezkednek el az x1, x2 koordinátájú pontokban, x3, … xn a következő képlettel található:

x’ = (m1*x1 + ma*x2 + … + mn*xn)/(m1 + m2 + m3 +… + mn)

2. A tömegközéppont koordinátáinak kiszámításakor a vizsgált ábra bármely része helyettesíthető anyagi pont, miközben az ábra ezen különálló részének tömegközéppontjába helyezzük, és vegyük az ábra ezen részének tömegével megegyező tömeget.

Például, ha a p(x) sűrűségű tömeg eloszlik a rúdon - az Ox tengely egy szakaszán, ahol p(x) egy folytonos függvény, akkor az x' tömegközéppont koordinátája egyenlő lesz.

Képzeljük el, hogy van valami függőségi függvényünk valamitől.

Például a grafikonon nagyjából így ábrázolhatja a munkám sebességét a napszaktól függően:

A sebességet percenkénti kódsorokban mérem, in való élet Számítógép-programozó vagyok.

A munka mennyisége a munka aránya szorozva az idővel. Vagyis ha percenként 3 sort írok, akkor óránként 180. Ha van ilyen ütemezésünk, akkor megtudhatja, mennyi munkát végeztem egy nap: ez az ütemterv alatti terület. De hogyan számolod ki?

Osszuk fel a grafikont egyenlő szélességű oszlopokra, óránként. És ezeknek az oszlopoknak a magasságát egyenlővé tesszük a munka sebességével ezen óra közepén.

Az egyes oszlopok területe külön-külön könnyen kiszámítható, meg kell szorozni a szélességét a magasságával. Kiderült, hogy az egyes oszlopok területe hozzávetőlegesen mennyi munkát végeztem óránként. És ha összeadja az összes oszlopot, akkor hozzávetőlegesen megkapja az aznapi munkámat.

A probléma az, hogy az eredmény hozzávetőleges lesz, de szükségünk van rá pontos szám. Osszuk fél órára oszlopokra a diagramot:

A képen látszik, hogy ez már sokkal közelebb van ahhoz, amit keresünk.

Így a grafikon szegmenseit a végtelenségig csökkentheti, és minden alkalommal egyre közelebb kerülünk a grafikon alatti területhez. És ha az oszlopok szélessége nullára hajlik, akkor területük összege a grafikon alatti területhez fog fordulni. Ezt integrálnak nevezzük, és a következőképpen jelöljük:

Ebben a képletben f(x) olyan függvényt jelent, amely x értékétől függ, az a és b betű pedig az a szegmens, amelyen az integrált meg akarjuk találni.

Miért van erre szükség?

A tudósok minden fizikai jelenséget megpróbálnak matematikai képlet formájában kifejezni. Ha megvan a képlet, akkor bármit kiszámolhatunk vele. Az integrál pedig a funkciókkal való munka egyik fő eszköze.

Például, ha megvan a kör képlete, akkor az integrál segítségével kiszámíthatjuk a területét. Ha megvan a képlet egy gömbre, akkor ki tudjuk számítani a térfogatát. Az integráció segítségével energia, munka, nyomás, tömeg, elektromos töltés és sok más mennyiség található.

Nem, miért van szükségem rá?

Igen, semmit – csak úgy, kíváncsiságból. Valójában az integrálok még benne vannak iskolai tananyag, de nem sok ember emlékszik rá, hogy mi az.

Az "Archívum letöltése" gombra kattintva ingyenesen letöltheti a szükséges fájlt.
Mielőtt letöltené ezt a fájlt, emlékezzen a jó esszékre, ellenőrzésekre, szakdolgozatokra, tézisek, cikkek és egyéb dokumentumok, amelyek igény nélkül hevernek a számítógépén. Ez az Ön munkája, részt kell vennie a társadalom fejlődésében és az emberek javára. Keresse meg ezeket a műveket, és küldje el a tudásbázisba.
Mi és minden hallgató, végzős hallgató, fiatal tudós, aki felhasználja a tudásbázist tanulmányai és munkája során, nagyon hálásak leszünk Önnek.

Egy dokumentumot tartalmazó archívum letöltéséhez írjon be egy ötjegyű számot az alábbi mezőbe, majd kattintson az "Archívum letöltése" gombra.

Hasonló dokumentumok

Ismerkedés az integrál fogalmának történetével. Az integrálszámítás eloszlása, a Newton-Leibniz képlet felfedezése. Összeg szimbólum; az összeg fogalmának kiterjesztése. Az összes fizikai jelenség matematikai képlet formájában való kifejezésének szükségességének leírása.

bemutató, hozzáadva 2015.01.26

Az integrálszámítás gondolatai az ókori matematikusok munkáiban. A kimerítési módszer jellemzői. A Kepler tórusz térfogatképletének megtalálásának története. Az integrálszámítás elvének elméleti alátámasztása (Cavalieri-elv). A határozott integrál fogalma.

bemutató, hozzáadva: 2016.07.05

Az integrálszámítás története. A kettős integrál definíciója és tulajdonságai. Geometriai értelmezése, számítása derékszögű és poláris koordinátákkal, redukálása ismétlődőre. Alkalmazás a közgazdaságtanban és a geometriában térfogatok és területek kiszámítására.

szakdolgozat, hozzáadva 2013.10.16

A koordináták feletti görbe integrál definíciója, főbb tulajdonságai és számítása. A görbe vonalú integrál függetlenségének feltétele az integráció útjától. Az ábrák területének kiszámítása a kettős integrál segítségével. Green-képlet segítségével.

teszt, hozzáadva 2011.02.23

A határozott integrál létezésének feltételei. Integrálszámítás alkalmazása. Integrálszámítás a geometriában. A határozott integrál mechanikai alkalmazása. Integrálszámítás a biológiában. Integrálszámítás a közgazdaságtanban.

szakdolgozat, hozzáadva 2008.01.21

Az integrál- és differenciálszámítás története. A határozott integrál alkalmazásai egyes mechanikai és fizikai problémák megoldásában. Síkgörbék nyomatékai és tömegközéppontjai, Gulden-tétel. Differenciál egyenletek. Példák a MatLab problémamegoldására.

absztrakt, hozzáadva: 2009.09.07

A Stieltjes integrál fogalma. Általános feltételek a Stieltjes integrál létezése, létezésének eseteinek osztályai, és a jele alatti határig való áthaladás. A Stieltjes-integrál redukálása Riemann-integrálra. Alkalmazás a valószínűségszámításban és a kvantummechanikában.

szakdolgozat, hozzáadva: 2009.07.20