Szörnyű képletek halmaza, felsőbb matematikai kézikönyvek, amelyeket kinyitsz és azonnal bezársz, fájdalmas megoldás keresése egy látszólag nagyon egyszerű feladatra... Ez a helyzet nem ritka, különösen akkor, amikor utoljára a távoli 11. osztályban nyitottak ki matematika tankönyvet. Eközben az egyetemeken sok szak tanterve rendelkezik mindenki kedvenc felsőfokú matematikájának tanulmányozásáról. És ebben a helyzetben gyakran úgy érzi magát, mint egy komplett teáskanna egy szörnyű matematikai halandzsa előtt. Sőt, hasonló helyzet állhat elő bármely tantárgy tanulmányozása során, különösen a természettudományi ciklusból.

Mit kell tenni? Egy nappali tagozatos hallgató számára minden sokkal egyszerűbb, kivéve persze, ha a tárgy nincs nagyon elhanyagolva. Konzultálhat egy tanárral, osztálytársakkal, és egyszerűen leírhatja a szomszédból az asztalra. Még egy tele teáskanna is túléli a felsőbb matematikai gyakorlatot ilyen forgatókönyvekben.

És ha valaki egy egyetem levelező tagozatán tanul, és enyhén szólva felsőfokú matematikára valószínűleg nem lesz szükség a jövőben? Ráadásul nincs idő az órákra. A legtöbb esetben így van, de a tesztek teljesítését és a sikeres (leggyakrabban írásbeli) vizsgát senki nem mondta le. A felsőbb matematikai tesztekkel minden könnyebb, akár teáskanna, akár nem teáskanna - matematika teszt rendelhető. Például nekem van. Más termékek is rendelhetők. Itt már nem. De a tesztdolgozatok végrehajtása és áttekintésre való benyújtása még nem vezet az áhított bejegyzéshez az osztályzati könyvbe. Gyakran előfordul, hogy egy rendelésre készült műalkotást meg kell védeni, és meg kell magyarázni, miért következik ezekből a levelekből ez a képlet. Ráadásul jönnek a vizsgák, ott pedig már FÜGGETLENÜL kell megoldani a determinánsokat, limiteket, deriváltokat. Kivéve persze, ha a tanár nem fogad el értékes ajándékokat, vagy nincs bérelt jóakaró az osztálytermen kívül.

Hadd adjak néhány nagyon fontos tanácsot. A teszteken, vizsgákon egzakt és természettudományokból NAGYON FONTOS VALAMIT MEGÉRTENI. Ne feledje, legalább VALAMIT. A gondolkodási folyamatok teljes hiánya egyszerűen feldühíti a tanárt, tudok olyan esetekről, amikor 5-6 alkalommal betakarták a részidős hallgatókat. Emlékszem, egy fiatalember 4-szer vizsgázott, és minden ismétlés után hozzám fordult ingyenes garanciális konzultációért. A végén azt vettem észre, hogy a válaszban a „pi” betű helyett „pe” betűt írt, amit a bíráló súlyos szankciói követtek. A diák IS NEM AKART BEnézni a feladatba, amit lazán átírt

A felsőbb matematikában teljes áldás lehetsz, de nagyon kívánatos tudni, hogy egy állandó deriváltja nullával egyenlő. Mert ha egy elemi kérdésre valami hülyeséget válaszolsz, akkor nagy a valószínűsége annak, hogy számodra véget ér az egyetemi tanulmányaid. A tanárok sokkal kedvezőbbek ahhoz a tanulóhoz, aki LEGALÁBB MEGPRÓBÁLJA megérteni a tantárgyat, annak, aki tévedésből is, de megpróbál valamit megoldani, megmagyarázni, bizonyítani. És ez az állítás minden tudományágra igaz. Ezért a „nem tudok semmit, nem értek semmit” álláspontot határozottan el kell utasítani.

A második fontos tanács, hogy VEGYÉL EL ELŐADÁSOKRA, még akkor is, ha nem sok van belőlük. Ezt már említettem az oldal főoldalán. Matematika levelező hallgatóknak. Nincs értelme ismételni, hogy miért NAGYON fontos, olvass ott.

Szóval, mi a teendő, ha orrvizsga, felsőfokú matematika vizsga, és a dolgok siralmasak - egy tele vagy inkább üres teáskanna állapota?

Az egyik lehetőség egy oktató felvétele. A legnagyobb oktatói adatbázis (főleg Moszkva) vagy (főleg Szentpétervár) található. A keresőmotor használatával meglehetősen valószínű, hogy oktatót talál a városban, vagy megnézheti a helyi hirdetési újságokat. Az oktatói szolgáltatások ára óránként 400 vagy több rubel között változhat, a tanár képzettségétől függően. Tudni kell, hogy az olcsó nem jelent rosszat, főleg ha jó a matematikai előéleted. Ugyanakkor 2-3 ezer rubelért SOKAT kapsz. Hiába nem vesz el senki ilyen pénzt, és hiába nem fizet ilyen pénzt ;-). Az egyetlen fontos pont - próbáljon meg egy speciális pedagógiai oktatással rendelkező oktatót választani. És valójában nem jogi segítségért járunk fogorvoshoz.

Az utóbbi időben az online oktatói szolgáltatás egyre népszerűbb. Nagyon kényelmes, ha sürgősen meg kell oldania egy vagy két problémát, meg kell értenie egy témát vagy fel kell készülnie egy vizsgára. Kétségtelen előnye az árak, amelyek többszörösen alacsonyabbak, mint egy offline oktatóé + az utazási időmegtakarítás, ami különösen fontos a nagyvárosok lakói számára.

A felsőbb matematika során nagyon nehéz néhány dolgot oktató nélkül elsajátítani, csak „élő” magyarázatra van szükség.

Mindazonáltal sokféle probléma önmagában is megérthető, és az oldal ezen részének célja, hogy megtanítsa Önnek, hogyan kell megoldani a tipikus példákat és problémákat, amelyek szinte mindig megtalálhatók a vizsgákon. Sőt, számos feladathoz léteznek „kemény” algoritmusok, ahol nincs menekvés a helyes megoldás elől. És legjobb tudásom szerint igyekszem segíteni, főleg, hogy a szakterületemen pedagógiai végzettséggel és munkatapasztalattal is rendelkezem.

Kezdjük el a matematikai halandzsát. Rendben van, még ha teáskanna vagy is, a felsőfokú matematika nagyon egyszerű és nagyon hozzáférhető.

És először meg kell ismételnie a matematika iskolai kurzusát. Az ismétlés a fájdalom anyja.

Mielőtt elkezdené tanulmányozni a módszertani anyagaimat, és általában elkezdené tanulmányozni a felsőbb matematikai anyagokat, NAGYON AJÁNLOM, hogy olvassa el az alábbiakat.

A magasabb matematikai feladatok sikeres megoldásához KÖTELEZŐ:

SZEREZZ MIKROSZÁMÍTÓT.

A programok közül - Excel (kiváló választás!). Feltöltöttem a könyvtárba a "dummies" kézikönyvét.

Van? Már jó.

– A feltételek átrendezésétől - az összeg nem változik: .
De ezek teljesen más dolgok:

Egyszerűen lehetetlen átrendezni az „x”-et és a „négyet”. Ugyanakkor felidézzük az ikonikus "x" betűt, amely a matematikában ismeretlen vagy változó értéket jelent.

– A tényezők átrendezésével - a termék nem változik: .
Osztással egy ilyen trükk nem fog működni, és ez két teljesen különböző tört, és a számláló átrendezése a nevezővel nem marad következmények nélkül.
Emlékezzünk arra is, hogy a szorzójelet („pontok”) legtöbbször nem írják:,

– Emlékezzünk vissza a zárójelek bővítésének szabályaira:
- itt a kifejezések előjele nem változik
- és itt fordítva vannak.
És a szorzáshoz:

Általában elegendő erre emlékezni KÉT MÍNUSZ PLUSZT AD, a HÁROM MÍNUSZ – ADJ MÍNUSZT. És próbáljon meg ebben ne összezavarodni, amikor magasabb matematikai feladatokat old meg (nagyon gyakori és bosszantó hiba).

– Emlékezzünk vissza a hasonló kifejezések csökkentésére, Jól ismernie kell a következő műveleteket:

– Ne feledje, mi az a diploma:

, , , .

A fokozat csak egy közönséges szorzás.

–Ne feledje, hogy a töredékek csökkenthetők: (2-vel csökkentve), (öttel csökkentve), (-vel csökkentve).

– Emlékezzen a törtekkel végzett műveletekre:

és egy nagyon fontos szabály a törtek közös nevezőre való redukálására:

Ha ezek a példák nem egyértelműek, lásd az iskolai tankönyveket.
E nélkül KEMÉNY lesz.

TANÁCS: minden KÖZÉPES számítást a felsőbb matematikában a legjobb KÖZÖNÖS JOBB ÉS SZABÁLYTALAN TÖRTEKBEN elvégezni, még akkor is, ha az olyan félelmetes törtek, mint a . Ezt a törtet NEM KELL ábrázolni, és ráadásul NE osszuk el a számlálót a számológép nevezőjével, így 4,334552102 ....

A KIVÉTEL a szabály alól a feladat végső válasza, akkor már csak jobb, ha ill.

– Az egyenlet. Van egy bal és egy jobb oldala. Például:

Bármely kifejezést átvihet egy másik részre a jelének megváltoztatásával:
Tegyük át például az összes kifejezést a bal oldalra:

Vagy jobbra:

Új oldal 1

Matematikai elemzés bábukhoz. 1. lecke. Készletek.

A halmaz fogalma

Egy csomó néhány objektum gyűjteménye. Mik lehetnek készletek? Először is véges vagy végtelen. Például egy dobozban lévő gyufák halmaza véges halmaz, vehetjük és megszámolhatjuk. A parton lévő homokszemek számát sokkal nehezebb megszámolni, de elvileg lehetséges. Ezt a mennyiséget pedig valamilyen véges szám fejezi ki. Persze annyi homokszem a parton. De az egyenes pontjainak halmaza végtelen halmaz. Mivel először is maga a vonal végtelen, és annyi pontot rakhatsz rá, amennyit csak akarsz. A szakasz pontjainak halmaza is végtelen. Mert elméletileg egy pont tetszőlegesen kicsi lehet. Természetesen fizikailag nem rajzolhatunk például egy atom méreténél kisebb pontot, de matematikai szempontból a pontnak nincs mérete. A mérete nulla. Mi történik, ha egy számot elosztunk nullával? Így van, a végtelenség. És bár az egyenesen és a szakaszon lévő pontok halmaza a végtelenbe hajlik, ez nem ugyanaz. A halmaz nem valaminek mennyisége, hanem tetszőleges objektumok gyűjteménye. És csak azokat a halmazokat tekintjük egyenlőnek, amelyek pontosan ugyanazokat az objektumokat tartalmazzák. Ha egy halmaz ugyanazokat az objektumokat tartalmazza, mint egy másik halmaz, de plusz még egy "bal" objektum, akkor ezek többé nem egyenlő halmazok.

Vegyünk egy példát. Tegyük fel, hogy két készletünk van. Az első a vonal összes pontjának összegyűjtése. A második az összes pont halmaza egy egyenes szakaszon. Miért nem egyenlőek? Először is, egy szakasz és egy egyenes nem is metszi egymást. Akkor biztosan nem egyenlőek, hiszen teljesen különböző pontokat tartalmaznak. Ha metszik egymást, akkor csak egy közös pontjuk van. Az összes többi ugyanolyan más. Mi van akkor, ha a szakasz egy egyenesen fekszik? Ekkor a szakasz minden pontja az egyenes pontja is. De nem minden pont egy egyenesen pont egy szakaszon. Tehát ebben az esetben a halmazok nem tekinthetők egyenlőnek (azonosnak).

Minden halmazt egy szabály határoz meg, amely egyértelműen meghatározza, hogy egy elem ebbe a halmazba tartozik-e vagy sem. Mik lehetnek ezek a szabályok? Például, ha a halmaz véges, akkor ostobán felsorolhatod az összes objektumát. Beállíthat egy tartományt. Például az összes egész szám 1-től 10-ig. Ez is véges halmaz lesz, de itt nem az elemeit soroljuk fel, hanem egy szabályt fogalmazunk meg. Vagy egyenlőtlenség, például minden szám nagyobb 10-nél. Ez már végtelen halmaz lesz, hiszen lehetetlen megnevezni a legnagyobb számot – mindegy, milyen számot hívunk, mindig ez a szám plusz 1.

A halmazokat általában a latin ábécé nagybetűivel jelölik, A, B, C stb. Ha a halmaz meghatározott elemekből áll, és ezeknek az elemeknek a listájaként szeretnénk definiálni, akkor ezt a listát kapcsos zárójelek közé tehetjük, például A=(a, b, c, d). Ha a az A halmaz eleme, akkor ezt a következőképpen írjuk le: a Î A. Ha a nem eleme az A halmaznak, akkor írjon a-t Ï V. Az egyik fontos halmaz az összes természetes szám N halmaza N=(1,2,3,...,) . Létezik egy speciális, úgynevezett üres halmaz is, amely egyetlen elemet sem tartalmaz. Az üres halmazt a szimbólum jelöli Æ .

1. definíció (halmazegyenlőség definíciója). Készletek DEés B egyenlők, ha azonos elemekből állnak, vagyis ha x-bőlн A követi x н B és fordítva, x н B után x н A.

Formálisan a két halmaz egyenlőségét a következőképpen írjuk le:

(A=B) := " x (( x Î A ) Û (x Î B )),

Ez azt jelenti, hogy bármely x objektumra az x relációkÎ A és xО B egyenértékűek.

Itt " az univerzális kvantor (" x"mindegyikhez" olvasható x").

2. definíció (részhalmaz definíció). Egy csomó DE a halmaz egy részhalmaza NÁL NÉL ha van x a készlethez tartozó DE, a készlethez tartozik NÁL NÉL. Formálisan ez kifejezésként fejezhető ki:

(A Ì B) := " x((x Î A) Þ (x Î B))

Ha egy Ì B de A ¹ B, akkor A a halmaz megfelelő részhalmaza NÁL NÉL. Példaként ismét egy egyenes és egy szakasz említhető. Ha egy szakasz egy egyenesen fekszik, akkor a pontjainak halmaza ennek az egyenesnek a pontjainak részhalmaza. Vagy egy másik példa. A 3-mal egyenlően osztható egész számok halmaza az egész számok halmazának részhalmaza.

Megjegyzés. Az üres halmaz bármely halmaz részhalmaza.

Műveletek a készleteken

A következő műveletek lehetségesek a készleteken:

Unió. Ennek a műveletnek az a lényege, hogy két halmazt egyesítünk egy olyanba, amely az egyesített halmazok elemeit tartalmazza. Formálisan így néz ki:

C=AÈ B:= {x:x Î A vagy xÎ B}

Példa. Oldjuk meg az egyenlőtlenséget | 2 x+ 3 | > 7.

Ez vagy a 2x+3 >7 egyenlőtlenséget jelenti 2x+3 esetén≥0, majd x>2

vagy egyenlőtlenség 2x+3<-7, для 2x+3 <0, тогда x<-5.

Ennek az egyenlőtlenségnek a megoldási halmaza a halmazok uniója (-∞,-5) È (2, ∞).

Ellenőrizzük. Számítsuk ki a kifejezés értékét | 2 x+ 3 | több pontra, hazugság és nem fekvés az adott tartományban:

x	| 2 x+ 3 |
-10	17
-6	9
-5	7
-4	5
-2	1
0	3
1	5
2	7
3	9
5	13

Mint látható, minden helyesen döntött (a határtartományok pirossal vannak jelölve).

útkereszteződés. A metszés egy új halmaz létrehozása két olyan elemből, amelyek mindkét halmazban szerepelnek. Ennek megjelenítéséhez képzeljük el, hogy két ponthalmazunk van a síkon, mégpedig az A és a B ábra. A metszéspontjuk a C ábrát jelöli – ez a halmazok metszéspontjának műveletének eredménye:

Formálisan a halmazok metszéspontjának műveletét a következőképpen írják le:

C=A Ç B:= (x: x Î A és x О B )

Példa. Akkor legyen egy készletünk C=A Ç B = {5,6,7}

Kivonás. A halmazkivonás azon elemek kizárása a kivont halmazból, amelyeket a kivonó és a kivonó tartalmaz:

Formálisan egy halmaz kivonását a következőképpen írják le:

A\B:={x:x Î A és xÏ B}

Példa. Legyen sokunk A=(1,2,3,4,5,6,7), B=(5,6,7,8,9,10). Azután C=A\ B = { 1,2,3,4}

Kiegészítés. A komplement egy unáris művelet (nem kettő, hanem egy halmaz művelete). Ez a művelet úgy jön létre, hogy az adott halmazt kivonjuk a teljes univerzális halmazból (az összes többi halmazt tartalmazó halmazból).

A := (x:x О U és x П A) = U \ A

Grafikusan ez a következőképpen ábrázolható:

szimmetrikus különbség. A szokásos különbséggel ellentétben a halmazok szimmetrikus különbsége mellett csak azok az elemek maradnak meg, amelyek akár az egyik, akár a másik halmazban jelen vannak. Vagy leegyszerűsítve, két halmazból jön létre, de azok az elemek, amelyek mindkét halmazban vannak, ki vannak zárva belőle:

Matematikailag ez a következőképpen fejezhető ki:

A D B:= (A\B) È ( B\A) = (A È B) \ (A Ç B)

A halmazokon végzett műveletek tulajdonságai.

A halmazok egyesülésének és metszetének definícióiból az következik, hogy a metszés és az unió műveletei a következő tulajdonságokkal rendelkeznek:

1. Kommutativitás.

A È B=BÈ A
AÇ B=BÇ A

1. Az asszociativitás.

(A È B) È C=AÈ ( B È C)
(A Ç B) Ç C=AÇ ( B Ç C)

Szörnyű képletek halmaza, felsőbb matematikai kézikönyvek, amelyeket kinyitsz és azonnal bezársz, fájdalmas megoldás keresése egy látszólag nagyon egyszerű feladatra... Ez a helyzet nem ritka, különösen akkor, amikor utoljára a távoli 11. osztályban nyitottak ki matematika tankönyvet. Eközben az egyetemeken sok szak tanterve rendelkezik mindenki kedvenc felsőfokú matematikájának tanulmányozásáról. És ebben a helyzetben gyakran úgy érzi magát, mint egy komplett teáskanna egy szörnyű matematikai halandzsa előtt. Sőt, hasonló helyzet állhat elő bármely tantárgy tanulmányozása során, különösen a természettudományi ciklusból.

Mit kell tenni? Egy nappali tagozatos hallgató számára minden sokkal egyszerűbb, kivéve persze, ha a tárgy nincs nagyon elhanyagolva. Konzultálhat egy tanárral, osztálytársakkal, és egyszerűen leírhatja a szomszédból az asztalra. Még egy tele teáskanna is túléli a felsőbb matematikai gyakorlatot ilyen forgatókönyvekben.

És ha valaki egy egyetem levelező tagozatán tanul, és enyhén szólva felsőfokú matematikára valószínűleg nem lesz szükség a jövőben? Ráadásul nincs idő az órákra. A legtöbb esetben így van, de a tesztek teljesítését és a sikeres (leggyakrabban írásbeli) vizsgát senki nem mondta le. A felsőbb matematikai tesztekkel minden könnyebb, akár teáskanna, akár nem teáskanna - matematika teszt rendelhető. Például nekem van. Más termékek is rendelhetők. Itt már nem. De a tesztdolgozatok végrehajtása és áttekintésre való benyújtása még nem vezet az áhított bejegyzéshez az osztályzati könyvbe. Gyakran előfordul, hogy egy rendelésre készült műalkotást meg kell védeni, és meg kell magyarázni, miért következik ezekből a levelekből ez a képlet. Ráadásul jönnek a vizsgák, ott pedig már FÜGGETLENÜL kell megoldani a determinánsokat, limiteket, deriváltokat. Kivéve persze, ha a tanár nem fogad el értékes ajándékokat, vagy nincs bérelt jóakaró az osztálytermen kívül.

Hadd adjak néhány nagyon fontos tanácsot. A teszteken, vizsgákon egzakt és természettudományokból NAGYON FONTOS VALAMIT MEGÉRTENI. Ne feledje, legalább VALAMIT. A gondolkodási folyamatok teljes hiánya egyszerűen feldühíti a tanárt, tudok olyan esetekről, amikor 5-6 alkalommal betakarták a részidős hallgatókat. Emlékszem, egy fiatalember 4-szer vizsgázott, és minden ismétlés után hozzám fordult ingyenes garanciális konzultációért. A végén azt vettem észre, hogy a válaszban a „pi” betű helyett „pe” betűt írt, amit a bíráló súlyos szankciói követtek. A diák IS NEM AKART BEnézni a feladatba, amit lazán átírt

A felsőbb matematikában teljes áldás lehetsz, de nagyon kívánatos tudni, hogy egy állandó deriváltja nullával egyenlő. Mert ha egy elemi kérdésre valami hülyeséget válaszolsz, akkor nagy a valószínűsége annak, hogy számodra véget ér az egyetemi tanulmányaid. A tanárok sokkal kedvezőbbek ahhoz a tanulóhoz, aki LEGALÁBB MEGPRÓBÁLJA megérteni a tantárgyat, annak, aki tévedésből is, de megpróbál valamit megoldani, megmagyarázni, bizonyítani. És ez az állítás minden tudományágra igaz. Ezért a „nem tudok semmit, nem értek semmit” álláspontot határozottan el kell utasítani.

A második fontos tanács, hogy VEGYÉL EL ELŐADÁSOKRA, még akkor is, ha nem sok van belőlük. Ezt már említettem az oldal főoldalán. Matematika levelező hallgatóknak. Nincs értelme ismételni, hogy miért NAGYON fontos, olvass ott.

Szóval, mi a teendő, ha orrvizsga, felsőfokú matematika vizsga, és a dolgok siralmasak - egy tele vagy inkább üres teáskanna állapota?

Az egyik lehetőség egy oktató felvétele. A legnagyobb oktatói adatbázis (főleg Moszkva) vagy (főleg Szentpétervár) található. A keresőmotor használatával meglehetősen valószínű, hogy oktatót talál a városban, vagy megnézheti a helyi hirdetési újságokat. Az oktatói szolgáltatások ára óránként 400 vagy több rubel között változhat, a tanár képzettségétől függően. Tudni kell, hogy az olcsó nem jelent rosszat, főleg ha jó a matematikai előéleted. Ugyanakkor 2-3 ezer rubelért SOKAT kapsz. Hiába nem vesz el senki ilyen pénzt, és hiába nem fizet ilyen pénzt ;-). Az egyetlen fontos pont - próbáljon meg egy speciális pedagógiai oktatással rendelkező oktatót választani. És valójában nem jogi segítségért járunk fogorvoshoz.

Az utóbbi időben az online oktatói szolgáltatás egyre népszerűbb. Nagyon kényelmes, ha sürgősen meg kell oldania egy vagy két problémát, meg kell értenie egy témát vagy fel kell készülnie egy vizsgára. Kétségtelen előnye az árak, amelyek többszörösen alacsonyabbak, mint egy offline oktatóé + az utazási időmegtakarítás, ami különösen fontos a nagyvárosok lakói számára.

A felsőbb matematika során nagyon nehéz néhány dolgot oktató nélkül elsajátítani, csak „élő” magyarázatra van szükség.

Mindazonáltal sokféle probléma önmagában is megérthető, és az oldal ezen részének célja, hogy megtanítsa Önnek, hogyan kell megoldani a tipikus példákat és problémákat, amelyek szinte mindig megtalálhatók a vizsgákon. Sőt, számos feladathoz léteznek „kemény” algoritmusok, ahol nincs menekvés a helyes megoldás elől. És legjobb tudásom szerint igyekszem segíteni, főleg, hogy a szakterületemen pedagógiai végzettséggel és munkatapasztalattal is rendelkezem.

Kezdjük el a matematikai halandzsát. Rendben van, még ha teáskanna vagy is, a felsőfokú matematika nagyon egyszerű és nagyon hozzáférhető.

És először meg kell ismételnie a matematika iskolai kurzusát. Az ismétlés a fájdalom anyja.

Mielőtt elkezdené tanulmányozni a módszertani anyagaimat, és általában elkezdené tanulmányozni a felsőbb matematikai anyagokat, NAGYON AJÁNLOM, hogy olvassa el az alábbiakat.

A magasabb matematikai feladatok sikeres megoldásához KÖTELEZŐ:

SZEREZZ MIKROSZÁMÍTÓT.

A programok közül - Excel (kiváló választás!). Feltöltöttem a könyvtárba a "dummies" kézikönyvét.

Van? Már jó.

– A feltételek átrendezésétől - az összeg nem változik: .
De ezek teljesen más dolgok:

Egyszerűen lehetetlen átrendezni az „x”-et és a „négyet”. Ugyanakkor felidézzük az ikonikus "x" betűt, amely a matematikában ismeretlen vagy változó értéket jelent.

– A tényezők átrendezésével - a termék nem változik: .
Osztással egy ilyen trükk nem fog működni, és ez két teljesen különböző tört, és a számláló átrendezése a nevezővel nem marad következmények nélkül.
Emlékezzünk arra is, hogy a szorzójelet („pontok”) legtöbbször nem írják:,

– Emlékezzünk vissza a zárójelek bővítésének szabályaira:
- itt a kifejezések előjele nem változik
- és itt fordítva vannak.
És a szorzáshoz:

Általában elegendő erre emlékezni KÉT MÍNUSZ PLUSZT AD, a HÁROM MÍNUSZ – ADJ MÍNUSZT. És próbáljon meg ebben ne összezavarodni, amikor magasabb matematikai feladatokat old meg (nagyon gyakori és bosszantó hiba).

– Emlékezzünk vissza a hasonló kifejezések csökkentésére, Jól ismernie kell a következő műveleteket:

– Ne feledje, mi az a diploma:

, , , .

A fokozat csak egy közönséges szorzás.

–Ne feledje, hogy a töredékek csökkenthetők: (2-vel csökkentve), (öttel csökkentve), (-vel csökkentve).

– Emlékezzen a törtekkel végzett műveletekre:

és egy nagyon fontos szabály a törtek közös nevezőre való redukálására:

Ha ezek a példák nem egyértelműek, lásd az iskolai tankönyveket.
E nélkül KEMÉNY lesz.

TANÁCS: minden KÖZÉPES számítást a felsőbb matematikában a legjobb KÖZÖNÖS JOBB ÉS SZABÁLYTALAN TÖRTEKBEN elvégezni, még akkor is, ha az olyan félelmetes törtek, mint a . Ezt a törtet NEM KELL ábrázolni, és ráadásul NE osszuk el a számlálót a számológép nevezőjével, így 4,334552102 ....

A KIVÉTEL a szabály alól a feladat végső válasza, akkor már csak jobb, ha ill.

– Az egyenlet. Van egy bal és egy jobb oldala. Például:

Bármely kifejezést átvihet egy másik részre a jelének megváltoztatásával:
Tegyük át például az összes kifejezést a bal oldalra:

Vagy jobbra:

A korlátok sok gondot okoznak minden matematikus tanulónak. A korlát feloldásához időnként rengeteg trükköt kell bevetni, és a sokféle megoldás közül pontosan azt kell kiválasztani, amelyik az adott példához illik.

Ebben a cikkben nem segítünk abban, hogy megértse képességei határait, vagy felfogja az irányítás határait, hanem megpróbáljuk megválaszolni a kérdést: hogyan lehet megérteni a határokat a felsőbb matematikában? A megértés tapasztalattal jár, ezért egyúttal néhány részletes példát adunk a határok megoldására magyarázatokkal.

A határ fogalma a matematikában

Az első kérdés: mi a határa és mi a határa? Beszélhetünk a numerikus sorozatok és függvények határairól. Érdekel bennünket a függvény határának fogalma, hiszen ezekkel találkoznak a hallgatók leggyakrabban. De először a határ legáltalánosabb meghatározása:

Tegyük fel, hogy van valami változó. Ha ez az érték a változás folyamatában korlátlanul megközelít egy bizonyos számot a , azután a ennek az értéknek a határa.

Valamely intervallumban meghatározott függvényre f(x)=y a határ a szám A , amelyre a függvény hajlamos mikor x egy bizonyos pontra hajlik a . Pont a ahhoz az intervallumhoz tartozik, amelyen a függvény definiálva van.

Nehéznek hangzik, de nagyon egyszerűen van leírva:

Lim- angolról határ- limit.

A határérték meghatározásának geometriai magyarázata is van, de itt nem térünk ki az elméletre, hiszen minket inkább a kérdés gyakorlati, mint elméleti oldala érdekel. Amikor azt mondjuk x valamilyen értékre hajlik, ez azt jelenti, hogy a változó nem veszi fel egy szám értékét, hanem végtelenül közelíti azt.

Vegyünk egy konkrét példát. A kihívás a határ megtalálása.

A példa megoldásához behelyettesítjük az értéket x=3 függvénybe. Kapunk:

Egyébként, ha érdeklik a mátrixokkal kapcsolatos alapvető műveletek, olvass el egy külön cikket erről a témáról.

A példákban x hajlamos bármilyen értékre. Bármilyen szám vagy végtelen lehet. Íme egy példa, amikor x a végtelenbe hajlik:

Intuitív módon egyértelmű, hogy minél nagyobb a szám a nevezőben, annál kisebb értéket vesz fel a függvény. Tehát korlátlan növekedéssel x jelentése 1/x csökkenni fog és megközelíti a nullát.

Amint látja, a határ megoldásához csak be kell cserélni a függvénybe a törekedni kívánt értéket x . Ez azonban a legegyszerűbb eset. A határ megtalálása gyakran nem olyan nyilvánvaló. A határokon belül vannak típusbizonytalanságok 0/0 vagy végtelen/végtelen . Mi a teendő ilyen esetekben? Használj trükköket!

Bizonytalanságok belül

A végtelen/végtelen alak bizonytalansága

Legyen egy határ:

Ha megpróbáljuk a függvénybe behelyettesíteni a végtelent, akkor a számlálóban és a nevezőben is végtelent kapunk. Általában érdemes elmondani, hogy van egy bizonyos eleme a művészetnek az ilyen bizonytalanságok feloldásában: észre kell venni, hogyan lehet a függvényt úgy átalakítani, hogy a bizonytalanság eltűnjön. Esetünkben a számlálót és a nevezőt elosztjuk vele x felsőfokú végzettséggel. Mi fog történni?

A fentebb már tárgyalt példából tudjuk, hogy a nevezőben x-et tartalmazó kifejezések nullára hajlanak. Akkor a megoldás a határra:

A típus kétértelműségének feltárása végtelen/végtelen oszd el a számlálót és a nevezőt ezzel x a legmagasabb fokig.

Mellesleg! Olvasóink most 10% kedvezményt kapnak bármilyen munka

A bizonytalanság másik fajtája: 0/0

Mint mindig, behelyettesítés az értékfüggvénybe x=-1 ad 0 a számlálóban és a nevezőben. Nézze meg egy kicsit alaposabban, és észre fogja venni, hogy van egy másodfokú egyenlet a számlálóban. Keressük meg a gyökereket, és írjuk:

Csökkentsük és kapjuk:

Tehát, ha típus kétértelműséggel találkozik 0/0 - a számlálót és a nevezőt faktorizálni.

A példák megoldásának megkönnyítése érdekében itt van egy táblázat, amely néhány függvény korlátait tartalmazza:

L'Hopital uralma belül

Egy másik hatékony módszer mindkét típusú bizonytalanság kiküszöbölésére. Mi a módszer lényege?

Ha a határértékben bizonytalanság van, akkor a számláló és a nevező deriváltját vesszük, amíg a bizonytalanság el nem tűnik.

Vizuálisan a L'Hopital szabálya így néz ki:

Fontos pont : annak a határnak, amelyben a számláló és a nevező helyett a számláló és a nevező származékai vannak, léteznie kell.

És most egy igazi példa:

Van egy tipikus bizonytalanság 0/0 . Vegyük a számláló és a nevező származékait:

Voila, a bizonytalanság gyorsan és elegánsan megszűnik.

Reméljük, hogy ezeket az információkat hasznosítani tudja a gyakorlatban, és megtalálja a választ a „hogyan oldjuk meg a határértékeket a felsőbb matematikában” kérdésre. Ha egy ponton egy sorozat vagy egy függvény határértékét kell kiszámolnia, és erre a munkára az „abszolút” szóból nincs idő, forduljon szakképzett diákszolgálathoz a gyors és részletes megoldásért.

A Calculus kategória ingyenes online videoleckéket tartalmaz erről a témáról. A matematikai elemzés a matematika azon ágainak összessége, amelyek a függvények tanulmányozásával és általánosításaival foglalkoznak a differenciál- és integrálszámítás módszereivel. Ide tartozik a funkcionális elemzés, beleértve a Lebesgue-integrál elméletét, a komplex elemzés (TFKP), amely a komplex síkon definiált függvényeket vizsgálja, a soros és többdimenziós integrálok elmélete, a nem szabványos elemzés, amely végtelenül kicsi és végtelenül nagy számokat vizsgál, vektoranalízis és variációszámítás. A videoleckékből a kalkulus tanulása kezdőknek és tapasztaltabb matematikusoknak egyaránt hasznos lesz. A Matematikai elemzés szakaszból bármikor ingyenesen megtekintheti a videoleckéket. A matematikai elemzésről szóló egyes videoleckékhez további letölthető anyagok is tartoznak. Boldog tanulást!

Összes anyag: 12
Megjelenített anyagok: 1-10

Mi a függvény deriváltja

Szeretné tudni, hogy mi a függvény deriváltja a matematikában? Természetesen sokszor hallottál a származékról, sőt valószínűleg ezt a származékot is felvetted az iskolában, teljesen nem értve tetteid értelmét. Ebben a videóban nem képleteket tanítok meg, hanem az ujjakon elmagyarázom a származék jelentését, hogy egy kerek teáskanna is megértse. De előbb inkább nézd meg az előző videómat, ahol a funkcióról is beszélek hozzáférhető módon. Ebben az oktatóvideóban egyszerű, világos és szemléletes életpéldákat mutatunk be...

Bevezetés az elemzésbe. A halmazok ereje

Online lecke „Bevezetés az elemzésbe. A halmazok hatalma” címmel foglalkozik egy olyan fogalom kérdésével, mint a halmazok hatalma. Ez a kérdés a halmazok mennyiségi jellemzésére vonatkozik. Ha a halmaz véges, akkor elemeinek számáról beszélhetünk. De mi a helyzet a végtelen halmazokkal? Valójában ebben az esetben nem lesz több vagy kevesebb fogalma. A probléma megoldására egy olyan fogalmat vezetnek be, mint a hatalom. A hatalom a végtelen halmazok mennyiségi összehasonlításának eszköze. Ez a lecke ad...

Egy függvény határértéke egy pontban - definíció, példák

Ez az online lecke olyan fogalomról beszél, mint egy függvény határértéke egy ponton - definíció, példák. A függvénytanulmányozás legtöbb eleme a függvény határának alapkoncepcióján alapul. Itt egy függvény határértékét egy pontban egy egyszerű példa segítségével vesszük figyelembe, majd egy pontban egy függvény határértékének szigorú definícióját adjuk meg a grafikonon lévő részletes szemléltetéssel az anyag jobb asszimilációja érdekében. Ez a lecke más példákat is megvizsgál, és szigorúan meghatározza az egyoldalú...

Hatványsorok konvergenciája - példa arra, hogyan lehet megtalálni a konvergencia területét, kutatás

Ez az oktatóvideó olyan koncepcióról beszél, mint a hatványsorok konvergenciája, egy példa arra, hogyan lehet megtalálni a konvergencia területét, kutatást. A hatványsor egy funkcionális sorozat speciális esete, amikor tagjai az x argumentum hatványfüggvényei. A konvergencia területe az x változó minden olyan értéke, amelyre a megfelelő numerikus sorozatok konvergálnak. Kutatáshoz használhatja a d'Alembert-tesztet, és annak kimutatására, hogy a hatványsorok konvergálnak vagy divergálnak, és amikor ...

Mi a primitív

Ebben a videóban az antiderivatívról fogok mesélni, amely a származék közeli rokona. Tulajdonképpen már szinte mindent tudsz róla, ha megnézted a korábbi videóimat, és már csak az i-t kell pötyögnünk. Az antiderivatív a származék „szülő” függvénye. Az antiderivatív megtalálása azt jelenti, hogy meg kell válaszolni a kérdést: kinek a gyermeke? Ha ismert a lánya, akkor meg kell találnunk az anyát. Korábban éppen ellenkezőleg, egy adott anyához kerestünk lányt. Most éppen áttérünk a...

A származék geometriai jelentése

Ebben a videóban a származék geometriai jelentéséről fogok beszélni. Meg fogja tanulni, hogy a derivált geometriai jelentése az, hogy a derivált és az érintő meredeksége majdnem ugyanaz. Azért mondom, hogy "majdnem", mert a derivált egyenlő az érintő meredekségének érintőjével. Feltételezhetjük, hogy az érintő deriváltja és meredeksége szorosan összefügg. Ha a meredekség nagy, akkor a derivált is nagy, és a függvény ezen a ponton meredeken növekszik. Ha kicsi a dőlésszög, akkor kicsi a derivált is...

Mi a függvény a matematikában

Szeretné tudni, mi a függvény a matematikában? Ebben az oktatóvideóban egyszerűen és érthetően, grafikus illusztrációk és szemléltető életpéldák segítségével elmondjuk, mi egy függvény, mi az argumentuma, mik a függvények (növekvő, csökkentő, kevert), hogyan állíthatsz be egy függvényt (a grafikon, táblázat, képletek). Látni fogja, hogy azt a kapcsolatot, amely megmutatja, hogy egy mennyiség hogyan kapcsolódik egy másik mennyiséghez, függvénynek nevezzük. Bármely függvény kapcsolat a mennyiségek között...

Egy függvény határértéke a végtelenben - definíció, példák

A „Függvény határértéke a végtelenben – definíció, példák” című leckét annak a kérdésnek szenteljük, hogy mik a határértékek a végtelenben. A legtöbb elemi függvény az argumentum tetszőlegesen nagy értékéhez van definiálva. Ebben az esetben fontos ismerni a függvény végtelenben való viselkedését. Az ilyen viselkedés vizsgálatának egyik eleme a függvény végtelenben lévő határának megtalálása. Bár a végtelen nem szám, és a számegyenesen egyetlen pont sem felel meg neki, a határérték meghatározása ...