Egy változó függvényeinek elmélete. Matematikai elemzés

Legyen a változó x n végtelen értéksort vesz fel

x 1 , x 2 , ..., x n , ..., (1)

és a változó változásának törvénye ismert x n, azaz minden természetes számra n megadhatja a megfelelő értéket x n. Így feltételezzük, hogy a változó x n függvénye n:

x n = f(n)

Határozzuk meg a matematikai elemzés egyik legfontosabb fogalmát - egy sorozat határát, vagy ami ugyanaz, egy változó határát x n futó szekvencia x 1 , x 2 , ..., x n , ... . .

Meghatározás.állandó szám a hívott sorozathatár x 1 , x 2 , ..., x n , ... . vagy egy változó határértéke x n, ha egy tetszőlegesen kis e pozitív számra létezik ilyen természetes szám N(azaz szám N), hogy a változó összes értéke x n, kezdve x N, különbözik a abszolút értékben kisebb, mint e. Ez a meghatározás röviden a következőképpen van leírva:

| x n - a |< (2)

mindenkinek n  N, vagy ami ugyanaz,

A Cauchy-határ meghatározása. Az A számot egy f (x) függvény határértékének nevezzük egy a pontban, ha ez a függvény az a pont valamelyik szomszédságában van definiálva, kivéve talán magát az a pontot, és minden ε > 0 esetén létezik δ > 0 úgy, hogy minden x esetén |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

A Heine-határ meghatározása. Az A számot egy f (x) függvény határértékének nevezzük egy a pontban, ha ez a függvény az a pont valamely szomszédságában van definiálva, kivéve talán magát az a pontot, és minden olyan sorozatot, az a számhoz konvergálva a függvény megfelelő értéksora az A számhoz konvergál.

Ha az f(x) függvénynek van határértéke az a pontban, akkor ez a határérték egyedi.

Az A 1 számot az f (x) függvény bal oldali határértékének nevezzük az a pontban, ha minden ε > 0 esetén létezik δ >

Az A 2 számot az f (x) függvény jobb oldali határának nevezzük az a pontban, ha minden ε > 0 esetén létezik δ > 0, így az egyenlőtlenség

A bal oldali határt a jobb oldali határként jelöljük - Ezek a határértékek az a ponttól balra és jobbra lévő függvény viselkedését jellemzik. Gyakran egyirányú korlátoknak nevezik őket. Az egyoldali határértékek x → 0 jelölésénél az első nulla általában kimarad: és . Tehát a funkció miatt

Ha minden ε > 0 esetén létezik egy a pont δ-szomszédsága úgy, hogy minden x esetén, amely kielégíti az |x – a| feltételt< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, akkor azt mondjuk, hogy az f (x) függvénynek végtelen határa van az a pontban:

Így a függvénynek végtelen határértéke van az x = 0 pontban. Gyakran megkülönböztetünk +∞ és –∞ határértékeket. Így,

Ha minden ε > 0 esetén létezik δ > 0, így bármely x > δ esetén az |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

Létezési tétel a legkisebb felső korlátra

Meghatározás: AR mR, m - A felső (alsó) lapja, ha аА аm (аm).

Meghatározás: Az A halmaz felülről (alulról) korlátos, ha létezik olyan m, hogy аА, akkor аm (аm) teljesül.

Meghatározás: SupA=m, ha 1) m - A felső határa

2) m': m' m' nem A felső lapja

InfA = n, ha 1) n az A infimuma

2) n': n'>n => n' nem az A infimuma

Meghatározás: SupA=m egy olyan szám, amely: 1)  aA am

2) >0 a  A, úgy, hogy a  a-

InfA = n olyan számnak nevezzük, hogy:

2) >0 a  A, úgy, hogy a E a+

Tétel: Minden felülről határolt, nem üres АR halmaznak van egy legjobb felső korlátja, és egy egyedi.

Bizonyíték:

Konstruálunk egy m számot a valós egyenesen, és bebizonyítjuk, hogy ez A legkisebb felső korlátja.

[m]=max([a]:aA) [[m], [m]+1]A=>[m]+1 - A felső felülete

[[m], [m]+1] szegmens – 10 részre bontva

m 1 =max:aA)]

m 2 =max, m 1:aA)]

m–=max,m 1 ...m K-1:aA)]

[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 K – A felső felület

Bizonyítsuk be, hogy m=[m],m 1 ...m K a legkisebb felső korlát, és ez egyedi:

hoz: .

Rizs. 11. Az y arcsin x függvény grafikonja.

Vezessük most be a komplex függvény fogalmát ( kompozíciók megjelenítése). Legyen adott három D, E, M halmaz és legyen f: D→E, g: E→M. Nyilvánvalóan lehetséges egy új h leképezés: D→M, amelyet f és g leképezések összetételének vagy komplex függvénynek neveznek (12. ábra).

Egy komplex függvényt a következőképpen jelölünk: z =h(x)=g(f(x)) vagy h = f o g.

Rizs. 12. Illusztráció a komplex függvény fogalmához.

Az f (x) függvényt meghívjuk belső funkciója, és a g ( y ) függvény - külső funkció.

1. Belső függvény f (x) = x², külső g (y) sin y. Komplex függvény z= g(f(x))=sin(x²)

2. Most fordítva. Belső függvény f (x)= sinx, külső g (y) y 2 . u=f(g(x))=sin²(x)