Egyenes és görbe vonalú mozgás. Egyenes irányú mozgás és mozgás egy anyagi pont kerülete mentén

Ha gyorsulás anyagi pont mindenkor egyenlő nullával, akkor mozgásának sebessége nagyságrendben és irányban állandó. A pálya ebben az esetben egy egyenes. Egy anyagi pont mozgását a megfogalmazott feltételek mellett egyenletes egyenes vonalúnak nevezzük. Egyenes irányú mozgásnál a gyorsulás centripetális komponense hiányzik, és mivel a mozgás egyenletes, a gyorsulás érintőleges összetevője nulla.

Ha a gyorsulás időben állandó marad (), akkor a mozgást egyformán változónak vagy egyenetlennek nevezzük. Az egyformán változó mozgás egyenletesen gyorsítható, ha a > 0, és ugyanolyan lassú, ha a< 0. В этом случае мгновенное ускорение оказывается равным среднему ускорению за любой промежуток времени. Тогда из формулы (1.5) следует а = Dv/Dt = (v-v o)/t, откуда

(1.7)

ahol v o - kezdeti sebesség t=0, v - sebesség t időpontban.

Az (1.4) képlet szerint ds = vdt. Azután

Mert azért egyenletes mozgás a=const, akkor

(1.8)

Az (1.7) és (1.8) képletek nemcsak egyenletesen változó (nem egyenletes) egyenes vonalú mozgásra érvényesek, hanem szabadesés testre és egy felfelé dobott test mozgására. Az utolsó két esetben a \u003d g \u003d 9,81 m / s 2.

Egyenletes egyenes vonalú mozgás esetén v = v o = const, a = 0, és az (1.8) képlet az s = vt alakot veszi fel.

A körmozgás a görbe vonalú mozgás legegyszerűbb esete. Egy anyagi pont kör mentén történő mozgásának v sebességét lineárisnak nevezzük. Állandó modulo lineáris sebesség mellett a körben a mozgás egyenletes. Egy anyagi pontnak nincs érintőleges gyorsulása a kör mentén történő egyenletes mozgás során, és t = 0. Ez azt jelenti, hogy a modulo sebesség nem változik. A lineáris sebességvektor irányú változását normál gyorsulás jellemzi, és n ¹ 0. A körpálya minden pontjában az a n vektor a sugár mentén a kör középpontjába irányul.

és n \u003d v 2 / R, m / s 2. (1,9)

Az így kapott gyorsulás valóban centripetális (normális), mivel Dt->0-nál Dj is nullára hajlik (Dj->0) és a vektorok, és a kör sugara mentén a középpontjába fog irányulni.

A lineáris sebességgel együtt v egyenletes mozgás egy kör menti anyagi pontot szögsebesség jellemzi. A szögsebesség a sugárvektor Dj elfordulási szögének és annak az időintervallumnak az aránya, amely alatt ez a forgás bekövetkezett,

Rad/s (1,10)

Egyenetlen mozgás esetén a pillanatnyi szögsebesség fogalmát használják

A t időintervallumot, amely alatt az anyagi pont egy teljes fordulatot tesz a kerülete körül, forgási periódusnak nevezzük, és az időszak reciproka a forgási frekvencia: n \u003d 1 / T, s -1.

Egy periódusra egy anyagi pont sugárvektorának elfordulási szöge 2π rad, ezért Dt \u003d T, ahonnan a forgási periódus és a szögsebesség a forgás periódusának vagy frekvenciájának függvénye

Ismeretes, hogy egy anyagi pont kör mentén egyenletes mozgása esetén az általa megtett út a mozgás idejétől és a lineáris sebességtől függ: s = vt, m. Az az út, amelyet egy anyagi pont egy R sugarú kör mentén halad , egy periódusra egyenlő 2πR-rel. Az ehhez szükséges idő megegyezik a forgási periódussal, azaz t \u003d T. És ezért

2πR = vT, m (1,11)

és v = 2nR/T = 2πnR, m/s. Mivel egy anyagi pont sugárvektorának elfordulási szöge a T forgási periódus alatt egyenlő 2π-vel, ezért (1.10) alapján Dt = T, . (1.11) behelyettesítve megkapjuk és innen megtaláljuk a lineáris és a szögsebesség közötti kapcsolatot

A szögsebesség egy vektormennyiség. A szögsebesség-vektort annak a körnek a középpontjából irányítjuk, amely mentén az anyagi pont v lineáris sebességgel mozog, a kör síkjára merőlegesen a jobb oldali csavar szabálya szerint.

Nál nél egyenetlen mozgás egy kör mentén lévő anyagi pont lineáris és szögsebessége megváltozik. -vel analógiával lineáris gyorsulás ebben az esetben bevezetik az átlagos szöggyorsulás és a pillanatnyi fogalmat: . A tangenciális és a szöggyorsulások közötti kapcsolat alakja .

Ennek a leckének a segítségével önállóan tanulmányozhatja az „Egyenes és görbe vonalú mozgás” témát. Egy test állandó modulo sebességű körben történő mozgása. Először is jellemezzük az egyenes és görbe vonalú mozgást, figyelembe véve, hogy ezeknél a mozgástípusoknál hogyan függ össze a sebességvektor és a testre ható erő. Ezután fontolja meg különleges eset amikor a test állandó modulo sebességgel körben mozog.

Az előző leckében a joggal kapcsolatos kérdéseket vizsgáltuk gravitáció. A mai óra témája szorosan kapcsolódik ehhez a törvényhez, rátérünk a test egyenletes mozgására a körben.

Korábban ezt mondtuk mozgás - ez egy test térbeli helyzetének időbeli változása a többi testhez képest. A mozgást és a mozgás irányát többek között a sebesség jellemzi. A sebesség változása és maga a mozgás típusa egy erő hatásához kapcsolódik. Ha egy erő hat egy testre, akkor a test megváltoztatja a sebességét.

Ha az erő a test mozgásával párhuzamosan irányul, akkor ilyen mozgás lesz egyértelmű(1. ábra).

Rizs. egy. Egyenes vonalú mozgás

görbe vonalú akkor lesz ilyen mozgás, ha a test sebessége és az erre a testre kifejtett erő egy bizonyos szögben egymáshoz képest irányul (2. ábra). Ebben az esetben a sebesség megváltoztatja az irányát.

Rizs. 2. Görbe vonalú mozgás

Szóval, at egyenes vonalú mozgás a sebességvektor a testre kifejtett erővel azonos irányban irányul. DE görbe vonalú mozgás Olyan mozgás, amikor a sebességvektor és a testre ható erő valamilyen szöget zár be egymással.

Tekintsük a görbe vonalú mozgás speciális esetét, amikor a test abszolút értékben állandó sebességgel mozog körben. Ha egy test állandó sebességgel körben mozog, csak a sebesség iránya változik. Modulo állandó marad, de a sebesség iránya megváltozik. A sebesség ilyen változása gyorsulás jelenlétéhez vezet a testben, amelyet ún centripetális.

Rizs. 6. Mozgás íves úton

Ha a test mozgásának pályája görbe, akkor körívek mentén végzett mozgások halmazaként ábrázolható, amint az az ábrán látható. 6.

ábrán A 7. ábra mutatja, hogyan változik a sebességvektor iránya. Az ilyen mozgás során a sebesség tangenciálisan arra a körre irányul, amelynek íve mentén a test mozog. Így iránya folyamatosan változik. Még ha a modulo sebesség állandó marad is, a sebesség változása gyorsuláshoz vezet:

Ebben az esetben gyorsulás a kör közepe felé fog irányulni. Ezért nevezik centripetálisnak.

Miért irányul a centripetális gyorsulás a középpont felé?

Emlékezzünk vissza, hogy ha egy test görbe pályán mozog, akkor a sebessége érintőleges. A sebesség vektormennyiség. A vektornak számértéke és iránya van. A test mozgásának sebessége folyamatosan változtatja irányát. Ez azt jelenti, hogy a sebességkülönbség különböző időpontokban nem lesz egyenlő nullával (), ellentétben az egyenes vonalú egyenletes mozgással.

Tehát egy bizonyos időn belül változást tapasztalunk a sebességben. A kapcsolat a gyorsulás. Arra a következtetésre jutunk, hogy ha a sebesség abszolút értékben nem is változik, a körben egyenletes mozgást végző testnek van gyorsulása.

Hova irányul ez a gyorsulás? Tekintsük az ábrát. 3. Néhány test görbe vonalúan (ívben) mozog. A test sebessége az 1. és 2. pontban érintőleges. A test egyenletesen mozog, vagyis a sebességek moduljai egyenlők: , de a sebességek irányai nem esnek egybe.

Rizs. 3. A test körben történő mozgása

Vonjuk ki a sebességet ebből és kapjuk meg a vektort. Ehhez mindkét vektor kezdetét össze kell kötni. Ezzel párhuzamosan mozgatjuk a vektort a vektor elejére. Háromszöggé építjük fel. A háromszög harmadik oldala a sebességkülönbség vektor lesz (4. ábra).

Rizs. 4. Sebességkülönbség vektor

A vektor a kör felé irányul.

Tekintsünk egy háromszöget, amelyet a sebességvektorok és a különbségvektor alkotnak (5. ábra).

Rizs. 5. Sebességvektorok által alkotott háromszög

Ez a háromszög egyenlő szárú (a sebességmodulok egyenlőek). Tehát a szögek az alapnál egyenlők. Írjuk fel a háromszög szögeinek összegére vonatkozó egyenletet:

Nézze meg, hová irányul a gyorsulás a pálya adott pontján. Ehhez kezdjük közelebb hozni a 2. pontot az 1. ponthoz. Ilyen korlátlan szorgalommal a szög 0-ra, a szög pedig -ra hajlik. A sebességváltozás vektora és maga a sebességvektor közötti szög . A sebesség tangenciálisan, a sebességváltozás vektora pedig a kör közepe felé irányul. Ez azt jelenti, hogy a gyorsulás is a kör közepe felé irányul. Ezért nevezik ezt a gyorsulást centripetális.

Hogyan találjuk meg a centripetális gyorsulást?

Tekintsük azt a pályát, amely mentén a test mozog. Ebben az esetben ez egy körív (8. ábra).

Rizs. 8. A test körben történő mozgása

Az ábrán két háromszög látható: egy a sebességek által alkotott háromszög, valamint egy a sugarak és az elmozdulásvektor által alkotott háromszög. Ha az 1. és 2. pont nagyon közel van, akkor az eltolási vektor megegyezik az útvektorral. Mindkét háromszög egyenlő szárú, azonos csúcsszögekkel. Tehát a háromszögek hasonlóak. Ez azt jelenti, hogy a háromszögek megfelelő oldalai azonos arányban vannak:

Az elmozdulás egyenlő a sebesség és az idő szorzatával: . Helyettesítés ezt a képletet, a következő kifejezést kaphatja a centripetális gyorsulásra:

Szögsebesség jelöljük görög levél omega (ω), azt a szöget mutatja, amelyen belül a test egységnyi idő alatt elfordul (9. ábra). Ez annak az ívnek a nagysága, amelyen a test bizonyos idő alatt áthalad, fokokban.

Rizs. 9. Szögsebesség

Vegyük észre, hogy ha szilárd forog, akkor a test bármely pontjának szögsebessége állandó érték lesz. A pont közelebb van a forgásközépponthoz vagy távolabb - nem számít, vagyis nem függ a sugártól.

A mértékegység ebben az esetben vagy fok per másodperc (), vagy radián per másodperc (). A "radián" szót gyakran nem írják le, hanem egyszerűen leírják. Például nézzük meg, mekkora a Föld szögsebessége. A Föld egy óra alatt teljes körforgást végez, és ebben az esetben azt mondhatjuk, hogy a szögsebesség egyenlő:

Ügyeljen a szög- és lineáris sebességek kapcsolatára is:

A lineáris sebesség egyenesen arányos a sugárral. Minél nagyobb a sugár, annál nagyobb a lineáris sebesség. Így a forgás középpontjától távolodva növeljük a lineáris sebességünket.

Megjegyzendő, hogy a körben állandó sebességgel történő mozgás a mozgás speciális esete. A körkörös mozgás azonban egyenetlen is lehet. A sebesség nem csak irányváltozhat és abszolút értékben is változatlan maradhat, hanem az értékében is változhat, azaz az irányváltoztatás mellett a sebességmodulban is változás történik. Ebben az esetben az úgynevezett gyorsított körmozgásról beszélünk.

Mi az a radián?

A szögek mérésére két mértékegység van: fok és radián. A fizikában általában a szög radián mértéke a fő.

Szerkesszünk meg egy középponti szöget, amely egy hosszúságú ívre támaszkodik.

A mozgás pozícióváltás
testek a térben másokhoz képest
testek idővel. Mozgás és
a mozgás irányát jellemzik
beleértve a sebességet is. változás
sebességgel és maga a mozgás típusa kapcsolódik
az erő cselekvése. Ha a szervezet érintett
erő hatására a test megváltoztatja a sebességét.

Ha az erő párhuzamos
a test mozgása, egy irányba, majd ez
a mozgás egyenes lesz.

Egy ilyen mozgás görbe vonalú lesz,
amikor a test sebessége és a rá ható erő
ez a test egymáshoz képest irányul
barátja valamilyen szögből. Ebben az esetben
sebesség megváltozik
irány.

Tehát egy egyenes vonalúhoz
mozgás, a sebességvektor arra irányul
ugyanaz az oldal, mint az erő
test. És görbe vonalú
a mozgás a mozgás
amikor a sebességvektor és az erő,
a testhez rögzítve, alatta található
valamilyen szögben egymáshoz.

centripetális gyorsulás

CENTRIPEAL
GYORSULÁS
Vegyünk egy speciális esetet
görbe vonalú mozgás, amikor a test
konstanssal körben mozog
sebesség modul. Amikor a test mozog
egy körben állandó sebességgel, akkor
csak a sebesség iránya változik. Által
modulo, állandó marad, és
a sebesség iránya megváltozik. Ilyen
a sebesség változása ahhoz vezet
gyorsulási test, amely
centripetálisnak nevezzük.

Ha a test pályája az
görbe, úgy ábrázolható
ívek mentén végzett mozgások halmaza
ábrán látható körökben.
3.

ábrán A 4. ábra mutatja, hogyan változik az irány
sebesség vektor. Ennek a mozgásnak a sebessége
érintőlegesen a körre irányítva, az ív mentén
amelyet a test mozgat. Így őt
az irány folyamatosan változik. Még
a modulo sebesség állandó marad,
a sebesség változása gyorsulás megjelenéséhez vezet:

Ebben az esetben a gyorsulás az lesz
a kör közepe felé irányítva. Így
centripetálisnak nevezik.
Az alábbiak szerint számítható ki
képlet:

Szögsebesség. kapcsolat a szög- és lineáris sebességek között

SZÖGSEBESSÉG. KAPCSOLAT
SAROK ÉS VONAL
SEBESSÉGEK
A mozgás néhány jellemzője
körökben
A szögsebességet görögül jelöljük
az omega (w) betűvel jelzi, hogy melyik
szög egységnyi idő alatt elforgatja a testet.
Ez az ív nagysága fokban,
egy idő alatt elhaladt a testen.
Vegye figyelembe, hogy ha egy merev test forog, akkor
szögsebesség a test bármely pontjára
állandó érték lesz. közelebbi pont
a forgás középpontja felé vagy távolabb helyezkedik el -
mindegy, pl. nem függ a sugártól.

A mértékegység ebben az esetben az lenne
fok per másodperc vagy radián
adj egy percet. A "radián" szót gyakran nem írják, hanem
csak írj c-1-et. Például keressük meg
mekkora a Föld szögsebessége. föld
24 óra alatt teljes 360°-os fordulatot hajt végre, és
Ebben az esetben azt lehet mondani
a szögsebesség egyenlő.

Vegye figyelembe a szög kapcsolatát is
sebesség és vonalsebesség:
V = w. R.
Meg kell jegyezni, hogy a mozgás
állandó sebességű körök egy hányados
mozgás tok. Azonban körkörös mozgás
egyenetlen is lehet. sebesség lehet
ne csak irányt változtasson és maradjon
modulusa azonos, de a maga módján változnak is
jelentése, azaz eltekintve az irányváltástól,
változás történik a sebesség modulusában is. NÁL NÉL
Ebben az esetben beszélünk az ún
gyorsított körkörös mozgás.

A pálya alakjától függően a mozgás egyenes és görbe vonalúra osztható. Leggyakrabban görbe vonalú mozgásokkal találkozik, amikor az utat görbeként ábrázolja. Példa erre a mozgástípusra a horizonthoz képest szögben bedobott test útja, a Föld mozgása a Nap körül, bolygók stb.

1. kép. Pálya és elmozdulás görbe vonalú mozgásban

1. definíció

Görbe vonalú mozgás mozgásnak nevezzük, melynek pályája egy görbe vonal. Ha a test görbült pályán mozog, akkor az s → elmozdulásvektor az 1. ábrán látható módon a húr mentén irányul, l pedig az út hossza. A test pillanatnyi sebességének iránya a pálya ugyanazon pontjában érintőleges, ahol Ebben a pillanatban egy mozgó tárgy található, a 2. ábrán látható módon.

2. ábra. Pillanatnyi sebesség görbe vonalú mozgásban

2. definíció

Anyagi pont görbe vonalú mozgása Egységesnek nevezzük, ha a sebesség modulusa állandó (kör mozgás), és egyenletesen gyorsul változó irány és sebességmodulus mellett (dobott test mozgása).

A görbe vonalú mozgás mindig felgyorsul. Ez azzal magyarázható, hogy változatlan fordulatszám-modulus mellett, de változott irány mellett is mindig van gyorsulás.

Egy anyagi pont görbe vonalú mozgásának vizsgálatára két módszert alkalmazunk.

Az út külön szakaszokra van felosztva, amelyek mindegyikén egyenesnek tekinthető, ahogy az a 3. ábrán látható.

3. ábra. A görbe vonalú mozgás felosztása transzlációsra

Most minden szakaszra alkalmazhatja az egyenes vonalú mozgás törvényét. Ez az elv elfogadott.

A legkényelmesebb megoldási módnak azt tartjuk, hogy az útvonalat több körív mentén végzett mozgás halmazaként ábrázoljuk, amint az a 4. ábrán látható. A partíciók száma sokkal kevesebb lesz, mint az előző módszernél, ráadásul a kör körüli mozgás már görbe vonalú.

4. ábra. Egy görbe vonalú mozgás felosztása körívek mentén történő mozgásokra

Megjegyzés 1

Egy görbe vonalú mozgás rögzítéséhez tudnia kell egy kör mentén történő mozgást leírni, egy tetszőleges mozgást e körök ívei mentén végzett mozgáshalmazok formájában ábrázolni.

A görbe vonalú mozgás tanulmányozása magában foglalja egy kinematikai egyenlet összeállítását, amely leírja ezt a mozgást, és lehetővé teszi a mozgás összes jellemzőjének meghatározását a rendelkezésre álló kezdeti feltételek alapján.

1. példa

Adott egy görbe mentén mozgó anyagpont, ahogy az a 4. ábrán látható. Az O 1, O 2, O 3 körök középpontjai egy egyenesen helyezkednek el. Mozgást kell találni
s → és az l út hossza az A pontból B-be való mozgás során.

Döntés

Feltételünk szerint a kör középpontjai egy egyeneshez tartoznak, tehát:

s → = R 1 + 2 R 2 + R 3 .

Mivel a mozgás pályája a félkörök összege, akkor:

l ~ A B \u003d π R 1 + R 2 + R 3.

Válasz: s → \u003d R 1 + 2 R 2 + R 3, l ~ A B \u003d π R 1 + R 2 + R 3.

2. példa

A test által megtett út időtől való függését az s (t) \u003d A + B t + C t 2 + D t 3 egyenlet ábrázolja (C \u003d 0, 1 m / s 2, D \) u003d 0, 003 m/s 3) . Számolja ki, hogy a mozgás megkezdése után mennyi idő elteltével lesz a test gyorsulása 2 m / s 2

Döntés