Ajout de racines négatives. Que sont les racines carrées et comment s'additionnent-elles ?

Attention!
Il y a d'autres
matériel dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont forts "pas très. »
Et pour ceux qui « très même. "")

Dans la leçon précédente, nous avons compris ce qu'est une racine carrée. Il est temps de comprendre ce que sont formules pour les racines, quels sont propriétés racine et que peut-on faire pour tout cela.

Formules racine, propriétés racine et règles pour les actions avec racines sont essentiellement la même chose. Il existe étonnamment peu de formules pour les racines carrées. Ce qui, bien sûr, plaît! Au contraire, vous pouvez écrire beaucoup de formules de toutes sortes, mais seulement trois suffisent pour un travail pratique et confiant avec les racines. Tout le reste découle de ces trois. Bien que beaucoup s'égarent dans les trois formules des racines, oui.

Commençons par le plus simple. Elle est là:

Je vous rappelle (de la leçon précédente): a et b sont des nombres non négatifs! Sinon, la formule n'a aucun sens.

C'est propriété des racines , comme vous pouvez le voir, simple, court et inoffensif. Mais avec cette formule racine, vous pouvez faire beaucoup de choses utiles ! Jetons un coup d'oeil à exemples toutes ces choses utiles.

Chose utile première. Cette formule nous permet multiplier les racines.

Comment multiplier les racines ?

Oui, très simple. Directement à la formule. Par example:

Il semblerait qu'ils se soient multipliés, et alors ? Y a-t-il beaucoup de joie ? Je suis d'accord, un peu. Mais comment aimez-vous ça Exemple?

Les racines ne sont pas exactement extraites des facteurs. Et le résultat est super ! Déjà mieux, non ? Au cas où, je vous informerai qu'il peut y avoir autant de multiplicateurs que vous le souhaitez. La formule de multiplication racine fonctionne toujours. Par example:

Donc, avec la multiplication, tout est clair pourquoi cela est nécessaire propriété des racines- est également compréhensible.

Chose utile la seconde. Saisie d'un nombre sous le signe de la racine.

Comment saisir un nombre sous la racine ?

Disons que nous avons cette expression :

Est-il possible de cacher le diable à l'intérieur de la racine ? Facilement! Si vous créez une racine sur deux, la formule de multiplication des racines fonctionnera. Et comment faire une racine à partir d'un deux? Oui, ce n'est pas non plus une question ! Le doublé est racine carrée de quatre!

Soit dit en passant, la racine peut être constituée de n'importe quel nombre non négatif ! Ce sera la racine carrée du carré de ce nombre. 3 est la racine de 9. 8 est la racine de 64. 11 est la racine de 121. Et ainsi de suite.

Bien sûr, il n'est pas nécessaire de peindre avec autant de détails. Sauf, pour commencer. Il suffit de se rendre compte que tout nombre non négatif multiplié par la racine peut être ramené sous la racine. Mais n'oubliez pas ! - sous la racine ce numéro deviendra carré lui-même. Cette action - saisir un nombre sous la racine - peut également être appelée multiplier un nombre par la racine. De manière générale, on peut écrire :

Le processus est simple, comme vous pouvez le voir. Pourquoi est-elle nécessaire?

Comme toute transformation, cette procédure élargit nos possibilités. Opportunités de transformer une expression cruelle et inconfortable en une expression douce et pelucheuse). En voici une simple pour vous Exemple:

Comme vous pouvez le voir propriété racine, qui permet d'introduire un facteur sous le signe de la racine, convient tout à fait à la simplification.

De plus, l'ajout d'un multiplicateur sous la racine permet de comparer facilement et simplement les valeurs de différentes racines. Sans aucun calcul et calculatrice! La troisième chose utile.

Comment comparer les racines ?

Cette compétence est très importante dans les missions solides, lors du déverrouillage de modules et d'autres choses intéressantes.

Comparez ces expressions. Lequel est le plus? Sans calculatrice ! Chacun avec une calculatrice. euh-euh. Bref, tout le monde peut le faire !)

Tu ne le dis pas tout de suite. Et si vous entrez des nombres sous le signe de la racine ?

Rappelez-vous (du coup, ne savait pas ?) : si le nombre sous le signe de la racine est plus grand, alors la racine elle-même est plus grande ! D'où la réponse immédiatement correcte, sans calculs et calculs compliqués :

C'est génial, non ? Mais ce n'est pas tout! Rappelons que toutes les formules fonctionnent à la fois de gauche à droite et de droite à gauche. Nous avons jusqu'à présent utilisé la formule pour multiplier les racines de gauche à droite. Exécutons cette propriété racine à l'envers, de droite à gauche. Comme ça:

Et quelle est la différence ? Cela vous apporte-t-il quelque chose ! ? Certainement! Maintenant, vous verrez par vous-même.

Supposons que nous ayons besoin d'extraire (sans calculatrice !) La racine carrée du nombre 6561. Certaines personnes à ce stade tomberont dans une lutte inégale avec la tâche. Mais nous sommes têtus, nous n'abandonnons pas ! Chose utile quatrième.

Comment extraire les racines d'un grand nombre ?

On rappelle la formule pour extraire les racines d'un produit. Celui que j'ai posté plus haut. Mais où est notre travail ? Nous avons un nombre énorme 6561 et c'est tout. Oui, il n'y a pas d'art. Mais si nous en avons besoin, nous faisons! Factorisons ce nombre. Nous avons le droit.

Commençons par déterminer par quoi ce nombre est divisible exactement ? Quoi, vous ne savez pas !? Avez-vous oublié les signes de divisibilité !? En vain. Aller à Section spéciale 555, le sujet est "Fractions", les voilà. Ce nombre est divisible par 3 et 9. Parce que la somme des chiffres (6+5+6+1=18) est divisible par ces nombres. C'est un des signes de divisibilité. Nous n'avons pas besoin de diviser par trois (vous comprendrez maintenant pourquoi), mais nous diviserons par 9. Au moins dans un coin. Nous obtenons 729. Nous avons donc trouvé deux facteurs ! Le premier est un neuf (nous l'avons choisi nous-mêmes), et le second est un 729 (il s'est avéré comme ça). Vous pouvez déjà écrire :

Vous avez l'idée ? Faisons de même avec le nombre 729. Il est également divisible par 3 et 9. Encore une fois, nous ne divisons pas par 3, nous divisons par 9. Nous obtenons 81. Et nous connaissons ce nombre ! Nous écrivons :

Tout s'est avéré simple et élégant! La racine a dû être enlevée morceau par morceau, eh bien, d'accord. Cela peut être fait avec n'importe quel gros chiffres. Multipliez-les et c'est parti !

Au fait, pourquoi n'avez-vous pas dû diviser par 3, vous avez deviné ? Oui, car la racine de trois n'est pas exactement extraite ! Il est logique de décomposer en facteurs tels qu'au moins une racine puisse être bien extraite. C'est 4, 9, 16 puits, et ainsi de suite. Divisez votre nombre énorme par ces nombres à tour de rôle, vous voyez, et vous avez de la chance !

Mais pas nécessairement. Peut-être pas de chance. Disons que le nombre 432, lorsqu'il est factorisé et en utilisant la formule racine du produit, donnera le résultat suivant :

Bien, OK. Nous avons quand même simplifié l'expression. En mathématiques, il est d'usage de laisser le plus Petit nombre des possibles. Dans le processus de résolution, tout dépend de l'exemple (peut-être que tout est réduit sans simplification), mais dans la réponse, il est nécessaire de donner un résultat qui ne peut pas être simplifié davantage.

Au fait, savez-vous ce que nous avons fait avec la racine de 432 maintenant ?

Nous pris des facteurs sous le signe de la racine ! C'est ainsi que s'appelle cette opération. Et puis la tâche tombera - " retirer le facteur sous le signe de la racine"Mais les hommes ne savent même pas.) Voici une autre utilisation pour vous propriétés racine. Chose utile cinquième.

Comment retirer le multiplicateur sous la racine?

Facilement. Factoriser l'expression racine et extraire les racines qui sont extraites. Nous regardons:

Rien de surnaturel. Il est important de choisir les bons multiplicateurs. Ici, nous avons décomposé 72 en 36 2. Et tout s'est bien passé. Ou ils auraient pu le décomposer différemment : 72 = 6 12. Et alors!? Ni de 6 ni de 12 la racine n'est extraite. Que faire?!

C'est bon. Ou cherchez d'autres options de décomposition, ou continuez à tout étaler jusqu'à l'arrêt ! Comme ça:

Comme vous pouvez le voir, tout a fonctionné. Au fait, ce n'est pas le plus rapide, mais le plus moyen fiable. Décomposez le nombre en plus petits facteurs, puis rassemblez les mêmes en tas. La méthode est également appliquée avec succès lors de la multiplication de racines gênantes. Par exemple, vous devez calculer :

Multipliez tout - vous obtenez un nombre fou ! Et puis comment en extraire la racine ?! Multiplier encore ? Non, nous n'avons pas besoin de travail supplémentaire. Nous décomposons immédiatement en facteurs et collectons les mêmes en tas :

C'est tout. Bien sûr, il n'est pas nécessaire de disposer jusqu'à l'arrêt. Tout est déterminé par vos capacités personnelles. A amené l'exemple à un état où tout est clair pour toi donc vous pouvez déjà compter. L'essentiel est de ne pas faire d'erreurs. Pas un homme pour les mathématiques, mais des mathématiques pour un homme !)

Appliquons nos connaissances à la pratique ? Commençons par un simple :

Règle pour ajouter des racines carrées

Propriétés des racines carrées

Jusqu'ici, nous avons effectué cinq opérations arithmétiques sur des nombres : addition, soustraction, multiplication, division et exponentiation, et diverses propriétés de ces opérations ont été activement utilisées dans les calculs, par exemple, a + b = b + a, et n -b n = (ab) n, etc.

Ce chapitre introduit une nouvelle opération - prendre la racine carrée d'un nombre non négatif. Pour l'utiliser avec succès, vous devez vous familiariser avec les propriétés de cette opération, ce que nous ferons dans cette section.

Preuve. Introduisons la notation suivante :
Nous devons prouver que pour les nombres non négatifs x, y, z l'égalité x = yz est vraie.

Donc x 2 = ab, y 2 = a, z 2 = b. Alors x 2 \u003d y 2 z 2, soit x 2 \u003d (yz) 2.

Si un carrés deux nombres non négatifs sont égaux, alors les nombres eux-mêmes sont égaux, ce qui signifie que de l'égalité x 2 \u003d (yz) 2 il s'ensuit que x \u003d yz, et cela devait être prouvé.

Nous donnons un bref compte rendu de la preuve du théorème :

Remarque 1. Le théorème reste valable pour le cas où l'expression radicale est le produit de plus de deux facteurs non négatifs.

Remarque 2. Théorème 1 peut être écrit en utilisant le "if. , alors » (comme il est d'usage pour les théorèmes en mathématiques). On donne la formulation correspondante : si a et b sont des nombres non négatifs, alors l'égalité .

C'est ainsi que nous formulons le théorème suivant.

(Formulation courte plus commode à utiliser en pratique : la racine de la fraction égal à une fraction des racines ou la racine du quotient est égale au quotient des racines.)

Cette fois, nous ne donnerons qu'un bref compte rendu de la preuve, et vous pouvez essayer de faire des commentaires appropriés similaires à ceux qui ont constitué l'essentiel de la preuve du théorème 1.

Exemple 1. Calculer .
Décision. Utilisation de la première propriété racines carrées(Théorème 1), on obtient

Remarque 3. Bien sûr, cet exemple peut être résolu d'une autre manière, surtout si vous avez une calculatrice à portée de main : multipliez les nombres 36, 64, 9, puis prenez la racine carrée du produit obtenu. Cependant, vous conviendrez que la solution proposée ci-dessus semble plus culturelle.

Remarque 4. Dans la première méthode, nous avons effectué des calculs de front. La deuxième façon est plus élégante :
nous avons appliqué formule a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b) et utilisé la propriété des racines carrées.

Remarque 5. Certaines "têtes brûlées" proposent parfois la "solution" suivante à l'exemple 3 :

Ceci, bien sûr, n'est pas vrai : vous voyez, le résultat n'est pas le même que dans notre exemple 3. Le fait est qu'il n'y a pas de propriété comme non et propriétés Il n'y a que des propriétés concernant la multiplication et la division des racines carrées. Soyez prudent et prudent, ne prenez pas un vœu pieux.

Exemple 4. Calculez : a)
Décision. Toute formule en algèbre est utilisée non seulement "de droite à gauche", mais aussi "de gauche à droite". Ainsi, la première propriété des racines carrées signifie que, si nécessaire, elle peut être représentée par , et vice versa, qui peut être remplacée par l'expression Il en va de même pour la deuxième propriété des racines carrées. Dans cet esprit, résolvons l'exemple proposé.

En conclusion de la section, nous en notons un de plus assez simple et en même temps propriété importante:
si a > 0 et n - entier naturel , alors

Exemple 5 Calculer , sans utiliser un tableau de carrés de nombres et une calculatrice.

Décision. Décomposons le nombre racine en facteurs premiers :

Remarque 6. Cet exemple pourrait être résolu de la même manière que l'exemple similaire du § 15. Il est facile de deviner que la réponse sera « 80 avec une queue », puisque 80 2 2 . Trouvons la "queue", c'est-à-dire le dernier chiffre du nombre souhaité. Jusqu'à présent, nous savons que si la racine est extraite, la réponse peut être 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88 ou 89. Seuls deux nombres doivent être vérifiés : 84 et 86, car seuls eux, au carré, donnera comme résultat à quatre chiffres un nombre se terminant par 6, c'est-à-dire le même chiffre qui se termine par le nombre 7056. Nous avons 84 2 \u003d 7056 - c'est ce dont nous avons besoin. Moyens,

Mordkovich A. G., Algèbre. 8e année : Proc. pour l'enseignement général institutions - 3e éd., finalisée. - M. : Mnemosyne, 2001. - 223 p. : ill.

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Comment ajouter des racines carrées

La racine carrée d'un nombre X appelé un numéro UN, qui en train de se multiplier par lui-même ( Un*Un) peut donner un nombre X.
Ceux. UNE * UNE = UNE 2 = X, et √X = UNE.

Sur les racines carrées ( √x), comme pour les autres nombres, vous pouvez effectuer des opérations arithmétiques telles que la soustraction et l'addition. Pour soustraire et ajouter des racines, il faut les relier par des signes correspondant à ces actions (par exemple √x - √y ).
Et puis apportez-leur les racines forme la plus simple- s'il y en a des semblables entre eux, il faut faire un casting. Cela consiste en ce que les coefficients de termes similaires avec les signes des termes correspondants sont pris, puis ils sont mis entre parenthèses, et la racine commune est affichée en dehors des parenthèses multiplicatrices. Le coefficient que nous avons obtenu est simplifié selon les règles habituelles.

Étape 1. Extraction des racines carrées

Tout d'abord, pour ajouter des racines carrées, vous devez d'abord extraire ces racines. Cela peut être fait si les nombres sous le signe racine sont des carrés parfaits. Par exemple, prenons l'expression donnée √4 + √9 . Premier numéro 4 est le carré du nombre 2 . Deuxième numéro 9 est le carré du nombre 3 . Ainsi, l'égalité suivante peut être obtenue : √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Tout, l'exemple est résolu. Mais cela ne se passe pas toujours ainsi.

Étape 2. Retirer le multiplicateur d'un nombre sous la racine

S'il n'y a pas de carrés pleins sous le signe racine, vous pouvez essayer de retirer le multiplicateur du nombre sous le signe racine. Prenons par exemple l'expression √24 + √54 .

Factorisons les nombres :
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Dans la liste 24 nous avons un multiplicateur 4 , il peut être retiré sous le signe de la racine carrée. Dans la liste 54 nous avons un multiplicateur 9 .

On obtient l'égalité :
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

En considérant cet exemple, nous obtenons la suppression du facteur sous le signe racine, simplifiant ainsi l'expression donnée.

Étape 3. Réduire le dénominateur

Considérez la situation suivante : la somme de deux racines carrées est le dénominateur d'une fraction, par exemple, A / (√a + √b).
Nous sommes maintenant confrontés à la tâche de "se débarrasser de l'irrationalité du dénominateur".
Utilisons la méthode suivante : multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par l'expression √a - √b.

Nous obtenons maintenant la formule de multiplication abrégée au dénominateur :
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

De même, si le dénominateur contient la différence des racines : √a - √b, le numérateur et le dénominateur de la fraction sont multipliés par l'expression √a + √b.

Prenons une fraction comme exemple :
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Un exemple de réduction de dénominateur complexe

Considérons maintenant assez exemple complexe se débarrasser de l'irrationalité dans le dénominateur.

Prenons une fraction comme exemple : 12 / (√2 + √3 + √5) .
Vous devez prendre son numérateur et son dénominateur et multiplier par l'expression √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Étape 4. Calculez la valeur approximative sur la calculatrice

Si vous n'avez besoin que d'une valeur approximative, cela peut être fait sur une calculatrice en calculant la valeur des racines carrées. Séparément, pour chaque nombre, la valeur est calculée et enregistrée avec la précision requise, qui est déterminée par le nombre de décimales. De plus, toutes les opérations requises sont effectuées, comme avec les nombres ordinaires.

Exemple de calcul estimé

Il faut calculer la valeur approchée de cette expression √7 + √5 .

En conséquence, nous obtenons :

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Attention : il ne faut en aucun cas ajouter des racines carrées comme nombres premiers, c'est totalement inacceptable. Autrement dit, si vous ajoutez la racine carrée de cinq et trois, nous ne pouvons pas obtenir la racine carrée de huit.

Conseil utile: si vous décidez de factoriser un nombre, afin de dériver un carré sous le signe racine, vous devez effectuer une vérification inverse, c'est-à-dire multiplier tous les facteurs résultant des calculs et le résultat final de ce le calcul mathématique devrait être le nombre qui nous a été donné à l'origine.

Action avec les racines : addition et soustraction

Extraire la racine carrée d'un nombre n'est pas la seule opération réalisable avec ce phénomène mathématique. Tout comme les numéros normaux racines carrées ajouter et soustraire.

Règles d'addition et de soustraction de racines carrées

Des actions telles que l'ajout et la soustraction d'une racine carrée ne sont possibles que si l'expression de la racine est la même.

Vous pouvez ajouter ou soustraire des expressions 2 3 et 6 3, mais pas 5 6 et 9 4 . S'il est possible de simplifier l'expression et de l'amener aux racines avec le même numéro de racine, alors simplifiez, puis ajoutez ou soustrayez.

Actions racine : les bases

6 50 — 2 8 + 5 12

Simplifier l'expression racine. Pour ce faire, il est nécessaire de décomposer l'expression racine en 2 facteurs dont l'un est un nombre carré (le nombre dont on extrait toute la racine carrée, par exemple 25 ou 9).
Ensuite, vous devez extraire la racine de nombre carré et écrivez la valeur résultante avant le signe racine. Veuillez noter que le deuxième facteur est entré sous le signe racine.
Après le processus de simplification, il est nécessaire de souligner les racines avec les mêmes expressions radicales - seules elles peuvent être ajoutées et soustraites.
Pour les racines avec les mêmes expressions radicales, il est nécessaire d'ajouter ou de soustraire les facteurs qui précèdent le signe racine. L'expression racine reste inchangée. N'ajoutez ni ne soustrayez pas de nombres racine !

Si vous avez un exemple avec grande quantité expressions radicales identiques, puis soulignez ces expressions avec des lignes simples, doubles et triples pour faciliter le processus de calcul.

Essayons cet exemple :

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2 . Vous devez d'abord décomposer 50 en 2 facteurs 25 et 2, puis prendre la racine de 25, qui est 5, et retirer 5 sous la racine. Après cela, vous devez multiplier 5 par 6 (le multiplicateur à la racine) et obtenir 30 2 .

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2 . Tout d'abord, vous devez décomposer 8 en 2 facteurs : 4 et 2. Ensuite, à partir de 4, extrayez la racine, qui est égale à 2, et retirez 2 sous la racine. Après cela, vous devez multiplier 2 par 2 (le facteur à la racine) et obtenir 4 2 .

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3 . Tout d'abord, vous devez décomposer 12 en 2 facteurs : 4 et 3. Ensuite, extrayez la racine de 4, qui est 2, et sortez-la de sous la racine. Après cela, vous devez multiplier 2 par 5 (le facteur à la racine) et obtenir 10 3 .

Résultat simplifié : 30 2 — 4 2 + 10 3

30 2 — 4 2 + 10 3 = (30 — 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

En conséquence, nous avons vu combien d'expressions radicales identiques sont contenues dans cet exemple. Pratiquons maintenant avec d'autres exemples.

Simplifier (45) . Nous factorisons 45 : (45) = (9 × 5) ;
Nous retirons 3 sous la racine (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
Nous additionnons les facteurs aux racines : 3 5 + 4 5 = 7 5 .
Simplifier 6 40 . Nous factorisons 40 : 6 40 \u003d 6 (4 × 10) ;
Nous retirons 2 sous la racine (4 \u003d 2): 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
Nous multiplions les facteurs qui sont devant la racine : 12 10 ;
On écrit l'expression sous une forme simplifiée : 12 10 - 3 10 + 5 ;
Puisque les deux premiers termes ont les mêmes nombres racines, nous pouvons les soustraire : (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

Comme nous pouvons le voir, il n'est pas possible de simplifier les nombres radicaux, nous recherchons donc des membres avec les mêmes nombres radicaux dans l'exemple, effectuons des opérations mathématiques (addition, soustraction, etc.) et écrivons le résultat :

(9 — 4) 5 — 2 3 = 5 5 — 2 3 .

Conseil :

Avant d'additionner ou de soustraire, il est impératif de simplifier (si possible) les expressions radicales.
L'ajout et la soustraction de racines avec des expressions de racine différentes sont strictement interdits.
Ne pas ajouter ou soustraire un nombre entier ou une racine carrée : 3 + (2 x) 1 / 2 .
Lorsque vous effectuez des actions avec des fractions, vous devez trouver un nombre entièrement divisible par chaque dénominateur, puis amener les fractions à un dénominateur commun, puis ajouter les numérateurs et laisser les dénominateurs inchangés.

Propriétés de la racine carrée arithmétique. Puissance de la racine carrée arithmétique

Conversion de racines carrées arithmétiques. Conversion des racines carrées arithmétiques

Extraire racine carrée d'un polynôme, il faut calculer le polynôme et extraire la racine du nombre résultant.

Attention! Il est impossible d'extraire la racine de chaque terme (réduit et soustrait) séparément.

Victoire de Shchob racine carrée d'un polynôme, il faut calculer le terme riche et à partir du nombre soustrait prendre la racine.

Respect! Il est impossible d'extraire la racine du supplément de peau (modifié et visible) OKremo.

Pour extraire la racine carrée du produit (quotient), vous pouvez calculer la racine carrée de chaque facteur (dividende et diviseur), et prendre les valeurs résultantes par le produit (quotient).

Pour gagner la racine carrée de la dobutka (parties), vous pouvez calculer la racine carrée du multiplicateur de peau (divisé et dilnik) et supprimer la valeur en prenant un complément (fréquent).

Prendre la racine carrée d'une fraction, vous devez extraire la racine carrée du numérateur et du dénominateur séparément, et laisser les valeurs résultantes sous forme de fraction ou calculer sous forme de quotient (si possible par condition).

Pour gagner la racine carrée de la fraction, il faut prendre la racine carrée du livre des nombres et la bannière de l'okremo, et priver la valeur de la fraction d'une fraction, ou la compter comme une partie (comme c'est possible pour l'esprit).

Un facteur peut être retiré sous le signe racine et un facteur peut être introduit sous le signe racine. Lorsqu'un facteur est retiré, la racine en est extraite et, lorsqu'elle est introduite, elle est élevée à la puissance correspondante.

Le 3ème signe racine peut être multiplié et le signe racine peut être multiplié. Au défaut du multiplicateur, les racines se tordent, et à l'introduction, les racines se construisent aux pieds supérieurs.

Exemples. Appliquer

Pour convertir la somme (différence) des racines carrées, vous devez amener les expressions racine à une base du degré, si possible, extraire les racines des degrés et les écrire avant les signes des racines, et les racines carrées restantes avec les mêmes expressions de racine peuvent être ajoutées, pour lesquelles les coefficients sont ajoutés avant la racine de signe et ajoutent la même racine carrée.

Afin de refaire la somme (coût) des racines carrées, il faut ramener les racines racines à l'une des bases du pas, comme c'est possible, prendre la racine des pas et les noter avant les signes de les racines, et la solution des racines carrées avec les mêmes mots racines, que je peux assembler pour ce que je peux ajouter et ajouter la même racine carrée.

Nous amenons toutes les expressions radicales en base 2.

A partir d'un degré pair, la racine est extraite complètement, à partir d'un degré impair, la racine de la base au degré 1 est laissée sous le signe de la racine.

Nous donnons des nombres entiers similaires et additionnons les coefficients avec les mêmes racines. Nous écrivons le binôme comme le produit d'un nombre et le binôme de la somme.

Amener toutes les sous-racines du virazi à la base 2.

A partir du stade apparié, les racines sont tirées dans une rangée, à partir du stade non apparié, les racines de la base au stade 1 sont remplies sous le signe de la racine.

Il est suggéré que des nombres et des coefficients similaires soient ajoutés aux mêmes racines. Nous écrivons le binôme en complément du nombre i du binôme sumi.

On ramène les expressions radicales à la plus petite base ou le produit des puissances avec les plus petites bases. Nous extrayons la racine des degrés pairs des expressions radicales, laissons les restes sous la forme d'une base d'un degré avec un indicateur de 1 ou le produit de telles bases sous le signe de la racine. On donne des termes similaires (additionner les coefficients des mêmes racines).

Nous conduisons la racine du virazi à la plus petite base ou l'ajout d'étapes avec les plus petites bases. À partir des étapes jumelles sous les racines du viraz, la racine est prise, les excès à la base de l'étape avec l'indicateur 1, ou l'ajout de telles bases est rempli sous le signe de la racine. On propose des termes similaires (on additionne les coefficients des mêmes racines).

Remplaçons la division des fractions par la multiplication (avec le remplacement de la deuxième fraction par l'inverse). Multipliez les numérateurs et les dénominateurs séparément. Sous chaque signe de la racine, nous mettons en évidence les degrés. Annulons les mêmes facteurs au numérateur et au dénominateur. Nous extrayons des racines de puissances paires.

Nous remplaçons la division des fractions par une multiplication (avec le remplacement d'une autre fraction par un retour). Multipliez les nombres d'okremo et les bannières de fractions. Des marches sont visibles sous le signe cutané de la racine. Nous allons accélérer les mêmes multiplicateurs dans le livre de nombres et la bannière. Blâmez la racine des étapes jumelles.

Pour comparer deux racines carrées, leurs expressions radicales doivent être réduites en degrés de même base, alors plus on montre les degrés de l'expression radicale, plus la valeur de la racine carrée est grande.

Dans cet exemple, les expressions radicales ne peuvent pas être réduites à une base, puisque la base est 3 dans la première, et 3 et 7 dans la seconde.

La deuxième façon de comparer consiste à entrer le coefficient de la racine dans l'expression radicale et à comparer les valeurs numériques des expressions radicales. Pour une racine carrée, plus l'expression de la racine est grande, plus la valeur de la racine est grande.

Pour faire correspondre deux racines carrées, leurs sous-racines doivent être ramenées au niveau avec la même base, tandis que plus l'indicateur du degré de la sous-racine du virus est grand, plus la valeur de la racine carrée est grande.

Dans ce cas, il n'est pas possible d'amener sur une base les racines racine du virazi, car dans la première la base est 3, et dans l'autre - 3 et 7.

Une autre façon d'égaliser consiste à ajouter le coefficient racine à la virase racine et à égaliser les valeurs numériques de la virase racine. Plus la racine carrée a de viraz sous-racine, plus la racine a de valeur.

En utilisant la loi distributive de la multiplication et la règle de multiplication des racines avec les mêmes exposants (dans notre cas, les racines carrées), nous avons obtenu la somme de deux racines carrées avec le produit sous le signe racine. Nous décomposons 91 en facteurs premiers et retirons la racine des parenthèses avec des facteurs radicaux communs (13 * 5).

Nous avons obtenu le produit d'une racine et d'un binôme, dans lequel l'un des monômes est un entier (1).

La loi de multiplication de Vikoristovuyuchi rozpodilny et la règle de multiplication des racines avec les mêmes indicateurs (dans notre cas - les racines carrées), ont pris la somme de deux racines carrées avec un signe supplémentaire de la racine. Nous pouvons exposer 91 multiplicateurs en termes simples et prendre la racine des arcs à partir des multiplicateurs racine (13 * 5).

Nous avons pris l'addition d'une racine et d'un binaire, qui a l'un des mononômes dans le nombre entier (1).

Exemple 9 :

Dans les expressions radicales, on sélectionne par facteurs les nombres dont on peut extraire la racine carrée entière. Nous extrayons les racines carrées des puissances et mettons les nombres par les coefficients des racines carrées.

Les termes de ce polynôme ont un facteur commun √3, qui peut être retiré des parenthèses. Présentons des termes similaires.

Dans les virases sous-racines, il est vu comme des multiplicateurs du nombre, à partir desquels on peut prendre la racine carrée. Nous blâmons les racines carrées des étapes et mettons les nombres par les coefficients des racines carrées.

Les termes de ce polynôme ont un multiplicateur commun √3, ce que l'on peut reprocher aux bras. Nous suggérons des ajouts similaires.

Le produit de la somme et de la différence de deux mêmes bases(3 et √5) en utilisant la formule de multiplication abrégée peut s'écrire comme la différence des carrés des bases.

La racine carrée au carré est toujours égale à l'expression radicale, nous nous débarrasserons donc du radical (signe racine) dans l'expression.

La somme et la différence de Dobutok de deux bases identiques (3 і √5) à partir de la formule de multiplication rapide peuvent être écrites comme une différence de bases carrées.

La racine carrée du carré zavzhd est égale à la sous-racine virase, nous appellerons donc le radical (signe racine) de la virase.

Retour à l'école. Ajout de racines

A notre époque, les ordinateurs électroniques modernes, le calcul de la racine du nombre n'est pas représenté tâche difficile. Par exemple, √2704=52, n'importe quelle calculatrice le calculera pour vous. Heureusement, la calculatrice n'est pas seulement dans Windows, mais aussi dans un téléphone ordinaire, même le plus simple. Certes, si tout à coup (avec un faible degré de probabilité, dont le calcul inclut d'ailleurs l'ajout de racines), vous vous retrouvez sans fonds disponibles, alors, hélas, vous ne devrez compter que sur votre cerveau.

L'entraînement mental n'échoue jamais. Surtout pour ceux qui ne travaillent pas si souvent avec les chiffres, et encore plus avec les racines. Ajouter et soustraire des racines est un bon entraînement pour un esprit ennuyé. Et je vais vous montrer l'ajout de racines étape par étape. Des exemples d'expressions peuvent être les suivants.

L'équation à simplifier est la suivante :

C'est une expression irrationnelle. Afin de le simplifier, vous devez réduire toutes les expressions radicales à vue générale. Nous procédons par étapes :

Le premier numéro ne peut plus être simplifié. Passons au deuxième terme.

3√48 on factorise 48 : 48=2×24 ou 48=3×16. La racine carrée de 24 n'est pas un nombre entier, c'est-à-dire a un reste fractionnaire. Puisque nous avons besoin valeur exacte, alors les racines approximatives ne nous conviennent pas. La racine carrée de 16 est 4, sortez-la de sous le signe racine. On obtient : 3×4×√3=12×√3

Notre expression suivante est négative, c'est-à-dire écrit avec un signe moins -4×√(27.) Factoriser 27. Nous obtenons 27=3×9. Nous n'utilisons pas de facteurs fractionnaires, car il est plus difficile de calculer la racine carrée à partir de fractions. Nous en retirons 9 sous le signe, c'est-à-dire calculer la racine carrée. On obtient l'expression suivante : -4×3×√3 = -12×√3

Le terme suivant √128 calcule la partie qui peut être extraite de sous la racine. 128=64×2 où √64=8. Si cela vous facilite la tâche, vous pouvez représenter cette expression comme suit : √128=√(8^2×2)

Nous réécrivons l'expression avec des termes simplifiés :

Maintenant, nous additionnons les nombres avec la même expression radicale. Vous ne pouvez pas ajouter ou soustraire des expressions avec des expressions radicales différentes. L'ajout de racines nécessite le respect de cette règle.

Nous obtenons la réponse suivante :

√2=1×√2 - J'espère qu'il est d'usage en algèbre d'omettre de tels éléments ne sera pas nouveau pour vous.

Les expressions peuvent être représentées non seulement par des racines carrées, mais également par des racines cubiques ou nièmes.

L'addition et la soustraction de racines avec des exposants différents, mais avec une expression de racine équivalente, se produisent comme suit :

Si nous avons une expression comme √a+∛b+∜b, alors nous pouvons simplifier cette expression comme ceci :

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

Nous avons ramené deux termes semblables à l'exposant commun de la racine. La propriété des racines a été utilisée ici, qui dit: si le nombre du degré de l'expression radicale et le nombre de l'exposant racine sont multipliés par le même nombre, alors son calcul restera inchangé.

Remarque : les exposants ne sont ajoutés que lorsqu'ils sont multipliés.

Prenons un exemple où des fractions sont présentes dans une expression.

Résolvons-le étape par étape :

5√8=5*2√2 - nous retirons la partie extraite sous la racine.

Si le corps de la racine est représenté par une fraction, alors souvent cette fraction ne changera pas si la racine carrée du dividende et du diviseur est prise. En conséquence, nous avons obtenu l'égalité décrite ci-dessus.

Voici la réponse.

La principale chose à retenir est qu'une racine avec un exposant pair n'est pas extraite des nombres négatifs. Si une expression radicale de degré pair est négative, alors l'expression est insoluble.

L'addition des racines n'est possible que si les expressions radicales coïncident, puisqu'il s'agit de termes similaires. Il en va de même pour la différence.

L'addition de racines avec des exposants numériques différents s'effectue en réduisant les deux termes à un degré racine commun. Cette loi fonctionne de la même manière que la réduction à un dénominateur commun lors de l'addition ou de la soustraction de fractions.

Si l'expression radicale contient un nombre élevé à une puissance, alors cette expression peut être simplifiée à condition qu'il y ait un dénominateur commun entre la racine et l'exposant.

La racine carrée d'un produit et d'une fraction

La racine carrée de a est un nombre dont le carré est a. Par exemple, les nombres -5 et 5 sont les racines carrées du nombre 25. Autrement dit, les racines de l'équation x^2=25 sont les racines carrées du nombre 25. Maintenant, vous devez apprendre à travailler avec le opération de la racine carrée : étudiez ses propriétés de base.

La racine carrée du produit

√(a*b)=√a*√b

La racine carrée du produit de deux nombres non négatifs est égale au produit des racines carrées de ces nombres. Par exemple, √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15 ;

Il est important de comprendre que cette propriété s'applique également au cas où l'expression radicale est le produit de trois, quatre, etc. multiplicateurs non négatifs.

Parfois, il existe une autre formulation de cette propriété. Si a et b sont des nombres non négatifs, alors l'égalité suivante est vraie : √(a*b) =√a*√b. Il n'y a absolument aucune différence entre eux, vous pouvez utiliser l'un ou l'autre libellé (lequel est le plus pratique à retenir).

La racine carrée d'une fraction

Si a>=0 et b>0, alors l'égalité suivante est vraie :

√(a/b)=√a/√b.

Par exemple, √(9/25) = √9/√25 =3/5 ;

Cette propriété a aussi une formulation différente, à mon sens, plus pratique à retenir.
La racine carrée du quotient est égale au quotient des racines.

Il est à noter que ces formules fonctionnent aussi bien de gauche à droite que de droite à gauche. Autrement dit, si nécessaire, nous pouvons représenter le produit des racines comme la racine du produit. Il en va de même pour la deuxième propriété.

Comme vous pouvez le voir, ces propriétés sont très pratiques, et j'aimerais avoir les mêmes propriétés pour l'addition et la soustraction :

√(a+b)=√a+√b ;

√(a-b)=√a-√b ;

Mais malheureusement, ces propriétés sont carrées n'ont pas de racines, et donc ne peut pas être fait dans les calculs..

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Salut les chatons ! La dernière fois, nous avons analysé en détail ce que sont les racines (si vous ne vous en souvenez pas, je vous recommande de lire). La principale conclusion de cette leçon : il n'y a qu'une seule définition universelle des racines, que vous devez connaître. Le reste est absurde et une perte de temps.

Aujourd'hui on va plus loin. Nous apprendrons à multiplier les racines, nous étudierons certains problèmes liés à la multiplication (si ces problèmes ne sont pas résolus, ils peuvent devenir mortels à l'examen) et nous nous exercerons correctement. Alors faites le plein de pop-corn, installez-vous confortablement - et nous commencerons. :)

Vous n'avez pas encore fumé, n'est-ce pas ?

La leçon s'est avérée assez volumineuse, alors je l'ai divisée en deux parties :

Tout d'abord, nous allons examiner les règles de multiplication. Le plafond semble faire allusion: c'est quand il y a deux racines, il y a un signe «multiplier» entre elles - et nous voulons en faire quelque chose.
Ensuite, nous analyserons la situation inverse : il y a une grande racine, et nous étions impatients de la présenter comme un produit de deux racines de manière plus simple. Avec quelle peur il est nécessaire est une question distincte. Nous n'analyserons que l'algorithme.

Pour ceux qui ont hâte de passer directement à la partie 2, vous êtes les bienvenus. Commençons par le reste dans l'ordre.

Règle de multiplication de base

Commençons par les racines carrées classiques les plus simples. Ceux qui sont désignés par $\sqrt(a)$ et $\sqrt(b)$. Pour eux, tout est globalement clair :

règle de multiplication. Pour multiplier une racine carrée par une autre, il suffit de multiplier leurs expressions radicales, et d'écrire le résultat sous le radical commun :

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Aucune restriction supplémentaire n'est imposée sur les nombres à droite ou à gauche : si les racines multiplicatrices existent, alors le produit existe également.

Exemples. Considérez quatre exemples avec des nombres à la fois :

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10 ; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(aligner)\]

Comme vous pouvez le voir, le sens principal de cette règle est de simplifier les expressions irrationnelles. Et si dans le premier exemple nous aurions extrait les racines de 25 et 4 sans aucune nouvelle règle, alors l'étain commence : $\sqrt(32)$ et $\sqrt(2)$ ne comptent pas par eux-mêmes, mais leur produit s'avère être un carré exact, donc sa racine est égale à un nombre rationnel.

Séparément, je voudrais noter la dernière ligne. Là, les deux expressions radicales sont des fractions. Grâce au produit, de nombreux facteurs s'annulent et l'expression entière se transforme en un nombre adéquat.

Bien sûr, tout ne sera pas toujours aussi beau. Parfois, il y aura de la merde complète sous les racines - on ne sait pas quoi en faire et comment se transformer après la multiplication. Un peu plus tard, quand tu commences à étudier équations irrationnelles et les inégalités, il y aura généralement toutes sortes de variables et de fonctions. Et très souvent, les compilateurs des problèmes comptent simplement sur le fait que vous trouverez des termes ou des facteurs contractuels, après quoi la tâche sera grandement simplifiée.

De plus, il n'est pas nécessaire de multiplier exactement deux racines. Vous pouvez multiplier trois à la fois, quatre - oui même dix ! Cela ne changera pas la règle. Regarde:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6 ; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(aligner)\]

Et encore une petite remarque sur le deuxième exemple. Comme vous pouvez le voir, dans le troisième multiplicateur, il y a une fraction décimale sous la racine - dans le processus de calcul, nous la remplaçons par une normale, après quoi tout est facilement réduit. Donc : je recommande fortement de se débarrasser des fractions décimales dans toutes les expressions irrationnelles (c'est-à-dire contenant au moins une icône radicale). Cela vous fera économiser beaucoup de temps et de nerfs à l'avenir.

Mais c'était une digression lyrique. Considérons maintenant un cas plus général - lorsque l'exposant racine contient un nombre arbitraire $n$, et pas seulement les deux "classiques".

Le cas d'un indicateur arbitraire

Donc, nous avons compris les racines carrées. Et que faire des cubes ? Ou en général avec des racines de degré arbitraire $n$ ? Oui, tout est pareil. La règle reste la même :

Pour multiplier deux racines de degré $n$, il suffit de multiplier leurs expressions radicales, après quoi le résultat s'écrit sous un radical.

En général, rien de compliqué. Sauf si le volume de calculs peut être plus. Regardons quelques exemples :

Exemples. Calculer les produits :

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5 ; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 ))))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(aligner)\]

Et encore attention à la seconde expression. Nous multiplions les racines cubiques, nous nous débarrassons de la fraction décimale et, par conséquent, nous obtenons le produit des nombres 625 et 25 au dénominateur. grand nombre- Personnellement, je ne considère pas immédiatement à quoi cela correspond.

Par conséquent, nous avons simplement sélectionné le cube exact au numérateur et au dénominateur, puis utilisé l'une des propriétés clés (ou, si vous préférez, la définition) de la racine du $n$ième degré :

\[\begin(aligner) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| un\droit|. \\ \end(aligner)\]

De telles "arnaques" peuvent vous faire gagner beaucoup de temps lors de l'examen ou travail de contrôle Alors souviens-toi:

Ne vous précipitez pas pour multiplier les nombres dans l'expression radicale. Tout d'abord, vérifiez : que se passe-t-il si le degré exact d'une expression y est "crypté" ?

Avec toute l'évidence de cette remarque, je dois admettre que la plupart des étudiants non préparés à bout portant ne voient pas les diplômes exacts. Au lieu de cela, ils multiplient tout à l'avance, puis se demandent : pourquoi ont-ils obtenu des chiffres aussi brutaux ? :)

Cependant, tout cela est un jeu d'enfant par rapport à ce que nous allons étudier maintenant.

Multiplication de racines avec différents exposants

Eh bien, maintenant nous pouvons multiplier les racines avec les mêmes exposants. Et si les scores sont différents ? Dites, comment multipliez-vous un $\sqrt(2)$ ordinaire par une merde comme $\sqrt(23)$ ? Est-il même possible de faire cela?

Oui bien sûr, vous pouvez. Tout se fait selon cette formule :

Règle de multiplication racine. Pour multiplier $\sqrt[n](a)$ par $\sqrt[p](b)$, faites simplement la transformation suivante :

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Cependant, cette formule ne fonctionne que si les expressions radicales ne sont pas négatives. C'est une remarque très importante, sur laquelle nous reviendrons un peu plus tard.

Pour l'instant, regardons quelques exemples :

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \ sqrt (5625). \\ \end(aligner)\]

Comme vous pouvez le voir, rien de compliqué. Voyons maintenant d'où vient l'exigence de non-négativité et ce qui se passera si nous la violons. :)

Il est facile de multiplier les racines.

Pourquoi les expressions radicales doivent-elles être non négatives ?

Bien sûr, vous pouvez être comme professeurs d'école et citez intelligemment le manuel:

L'exigence de non-négativité est associée à différentes définitions des racines de degrés pairs et impairs (respectivement, leurs domaines de définition sont également différents).

Eh bien, c'est devenu plus clair? Personnellement, quand j'ai lu ce non-sens en 8e année, j'ai compris par moi-même quelque chose comme ceci: "L'exigence de non-négativité est associée à *#&^@(*#@^#)~%" - en bref, je je ne comprenais rien à l'époque. :)

Alors maintenant, je vais tout expliquer de manière normale.

Voyons d'abord d'où vient la formule de multiplication ci-dessus. Pour ce faire, permettez-moi de vous rappeler une propriété importante de la racine :

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

En d'autres termes, nous pouvons sans risque élever l'expression racine à n'importe quelle puissance naturelle $k$ - dans ce cas, l'indice racine devra être multiplié par la même puissance. Par conséquent, nous pouvons facilement réduire toutes les racines à un indicateur commun, après quoi nous multiplions. C'est de là que vient la formule de multiplication :

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Mais il y a un problème qui limite sévèrement l'application de toutes ces formules. Considérez ce nombre :

Selon la formule qui vient d'être donnée, on peut ajouter n'importe quel degré. Essayons d'ajouter $k=2$ :

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Nous avons supprimé le moins précisément parce que le carré brûle le moins (comme tout autre degré pair). Et maintenant, effectuons la transformation inverse : "réduisez" les deux dans l'exposant et le degré. Après tout, toute égalité peut être lue à la fois de gauche à droite et de droite à gauche :

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](un); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(aligner)\]

Mais alors quelque chose de fou se produit :

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Cela ne peut pas être dû au fait que $\sqrt(-5) \lt 0$ et $\sqrt(5) \gt 0$. Cela signifie que pour les puissances paires et les nombres négatifs, notre formule ne fonctionne plus. Après quoi nous avons deux options :

Se battre contre le mur pour affirmer que les mathématiques sont une science stupide, où « il y a des règles, mais c'est inexact » ;
Introduire des restrictions supplémentaires en vertu desquelles la formule deviendra 100 % fonctionnelle.

Dans la première option, nous devrons constamment attraper les cas «sans travail» - c'est difficile, long et généralement fu. Par conséquent, les mathématiciens ont préféré la deuxième option. :)

Mais ne vous inquiétez pas ! En pratique, cette restriction n'affecte en rien les calculs, car tous les problèmes décrits ne concernent que les racines d'un degré impair, et des inconvénients peuvent en être retirés.

Par conséquent, nous formulons une autre règle qui s'applique en général à toutes les actions avec des racines :

Avant de multiplier les racines, assurez-vous que les expressions radicales ne sont pas négatives.

Exemple. Dans le nombre $\sqrt(-5)$, vous pouvez retirer le moins sous le signe racine - alors tout ira bien :

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(aligner)\]

Sentir la différence? Si vous laissez un moins sous la racine, alors lorsque l'expression radicale sera mise au carré, elle disparaîtra et la merde commencera. Et si vous retirez d'abord un moins, vous pouvez même augmenter / supprimer un carré jusqu'à ce que vous soyez bleu au visage - le nombre restera négatif. :)

Ainsi, la manière la plus correcte et la plus fiable de multiplier les racines est la suivante :

Supprimez tous les inconvénients sous les radicaux. Les moins ne sont que dans les racines de la multiplicité impaire - ils peuvent être placés devant la racine et, si nécessaire, réduits (par exemple, s'il y a deux de ces moins).
Effectuez la multiplication selon les règles décrites ci-dessus dans la leçon d'aujourd'hui. Si les indices des racines sont les mêmes, il suffit de multiplier les expressions racine. Et s'ils sont différents, on utilise la formule diabolique \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. Nous apprécions le résultat et les bonnes notes. :)

Hé bien? allons-nous pratiquer ?

Exemple 1. Simplifiez l'expression :

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ sqrt(64)=-4 ; \end(aligner)\]

C'est l'option la plus simple: les indicateurs des racines sont identiques et impairs, le problème n'est que dans le moins du deuxième multiplicateur. Nous supportons ce moins nafig, après quoi tout est facilement considéré.

Exemple 2. Simplifiez l'expression :

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( aligner)\]

Ici, beaucoup seraient confus par ce que la sortie s'est avérée nombre irrationnel. Oui, ça arrive : on n'a pas pu se débarrasser complètement de la racine, mais au moins on a considérablement simplifié l'expression.

Exemple 3. Simplifiez l'expression :

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

C'est sur cela que je voudrais attirer votre attention. Il y a deux points ici:

Sous la racine n'est pas un nombre ou un degré spécifique, mais la variable $a$. À première vue, c'est un peu inhabituel, mais en réalité, lors de la résolution de problèmes mathématiques, vous aurez le plus souvent affaire à des variables.
Au final, nous avons réussi à "réduire" l'exposant racine et le degré dans l'expression radicale. Cela arrive assez souvent. Et cela signifie qu'il était possible de simplifier considérablement les calculs si vous n'utilisez pas la formule principale.

Par exemple, vous pourriez faire ceci :

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \end(aligner)\]

En fait, toutes les transformations ont été effectuées uniquement avec le second radical. Et si vous ne peignez pas en détail toutes les étapes intermédiaires, le nombre de calculs diminuera considérablement au final.

En fait, nous avons déjà rencontré une tâche similaire ci-dessus lors de la résolution de l'exemple $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Maintenant, il peut être écrit beaucoup plus facilement :

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(aligner)\]

Eh bien, nous avons compris la multiplication des racines. Considérons maintenant l'opération inverse : que faire lorsqu'il y a une œuvre sous la racine ?

En mathématiques, les racines peuvent être carrées, cubiques ou avoir tout autre exposant (puissance), qui est écrit à gauche au-dessus du signe racine. L'expression sous le signe racine est appelée l'expression racine. L'addition de racine est similaire à l'addition de terme. expression algébrique, c'est-à-dire qu'il nécessite la définition de racines similaires.

Pas

Partie 1 sur 2 : Trouver des racines

Désignation racine. Une expression sous le signe racine () signifie qu'il faut extraire une racine d'un certain degré de cette expression.

La racine est désignée par un signe.
L'indice (degré) de la racine est écrit à gauche au-dessus du signe racine. Par exemple, la racine cubique de 27 s'écrit : (27)
Si l'exposant (degré) de la racine est absent, alors l'exposant est considéré comme égal à 2, c'est-à-dire qu'il s'agit de la racine carrée (ou de la racine du second degré).
Le nombre écrit avant le signe racine s'appelle un multiplicateur (c'est-à-dire que ce nombre est multiplié par la racine), par exemple 5 (2)
S'il n'y a pas de facteur devant la racine, alors il est égal à 1 (rappelez-vous que tout nombre multiplié par 1 est égal à lui-même).
Si vous travaillez avec des racines pour la première fois, prenez des notes appropriées sur le multiplicateur et l'exposant de la racine afin de ne pas vous tromper et de mieux comprendre leur objectif.

Rappelez-vous quelles racines peuvent être pliées et lesquelles ne le peuvent pas. Tout comme vous ne pouvez pas ajouter différents termes d'une expression, tels que 2a + 2b 4ab, vous ne pouvez pas ajouter différentes racines.

Vous ne pouvez pas ajouter de racines avec différentes expressions de racine, par exemple, (2) + (3) (5). Mais vous pouvez ajouter des nombres sous la même racine, par exemple, (2 + 3) = (5) (la racine carrée de 2 est d'environ 1,414, la racine carrée de 3 est d'environ 1,732 et la racine carrée de 5 est d'environ 2,236 ).

Vous ne pouvez pas ajouter des racines avec les mêmes expressions de racine, mais des exposants différents, par exemple, (64) + (64) (cette somme n'est pas égale à (64), puisque la racine carrée de 64 est 8, la racine cubique de 64 est 4, 8 + 4 = 12, ce qui est beaucoup plus grand que la cinquième racine de 64, qui est d'environ 2,297).

Partie 2 sur 2 : Simplifier et ajouter des racines

Identifiez et regroupez les racines similaires. Les racines similaires sont des racines qui ont les mêmes exposants et les mêmes expressions de racine. Par exemple, considérons l'expression :
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

Tout d'abord, réécrivez l'expression de sorte que les racines avec le même exposant soient en série.
2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
Ensuite, réécrivez l'expression de sorte que les racines avec le même exposant et la même expression racine soient en série.
2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Simplifiez vos racines. Pour ce faire, décomposez (si possible) les expressions radicales en deux facteurs, dont l'un est extrait de sous la racine. Dans ce cas, le nombre rendu et le facteur racine sont multipliés.

Dans l'exemple ci-dessus, divisez 50 en 2*25 et le nombre 32 en 2*16. De 25 et 16, vous pouvez extraire les racines carrées (respectivement 5 et 4) et retirer 5 et 4 sous la racine, en les multipliant respectivement par les facteurs 2 et 1. Ainsi, vous obtenez une expression simplifiée : 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Le nombre 81 peut être factorisé en 3 * 27, et la racine cubique de 3 peut être extraite du nombre 27. Ce nombre 3 peut être extrait de sous la racine. Ainsi, vous obtenez une expression encore plus simplifiée : 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + 3 (3)

Additionnez les facteurs de racines similaires. Dans notre exemple, il existe des racines carrées similaires de 2 (elles peuvent être additionnées) et des racines carrées similaires de 3 (elles peuvent également être additionnées). À racine cubique sur 3 il n'y a pas de telles racines.

10 (2) + 4 (2) = 14 (2).

2 (3)+ 6 (3) = 8 (3).

Expression finale simplifiée : 14 (2) + 8 (3) + 3 (3)

Il n'y a pas de règles généralement acceptées pour l'ordre dans lequel les racines sont écrites dans une expression. Par conséquent, vous pouvez écrire les racines dans l'ordre croissant de leurs exposants et dans l'ordre croissant des expressions radicales.

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Le nombre qui se trouve sous le signe racine interfère souvent avec la solution de l'équation, il n'est pas pratique de travailler avec. Même s'il est élevé à une puissance, fractionnaire, ou ne peut pas être représenté comme un entier dans une certaine mesure, on peut essayer de le dériver de…

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Lors de l'exécution de divers opérations arithmétiques avec des racines, il faut souvent pouvoir transformer des expressions radicales. Pour simplifier les calculs, il peut être nécessaire de retirer le facteur du signe du radical ou de le placer en dessous. Cette opération peut...

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Le signe de la racine dans les sciences mathématiques s'appelle symbole pour les racines. Le nombre sous le signe racine est appelé l'expression radicale. En l'absence d'exposant, la racine est un carré, sinon le chiffre indique ...

Arithmétique la racine du nième degrés de nombre réel a est un tel nombre non négatif x, nième puissance qui est égal au nombre a. Ceux. (n) une = x, x^n = une. Exister différentes manières ajouts racine arithmétique et un nombre rationnel...

La racine n-ième d'un nombre réel a est un nombre b pour lequel l'égalité b^n = a est vraie. Les racines impaires existent pour les nombres négatifs et positifs, et les racines paires n'existent que pour les nombres positifs.…

La racine carrée d'un nombre x est le nombre a, qui, multiplié par lui-même, donne le nombre x : a * a = a^2 = x, √x = a. Comme pour tout nombre, vous pouvez effectuer les opérations arithmétiques d'addition et de soustraction sur les racines carrées.

Instruction

Tout d'abord, lors de l'ajout de racines carrées, essayez d'extraire ces racines. Cela sera possible si les nombres sous le signe racine sont des carrés parfaits. Par exemple, donnons l'expression √4 + √9. Le premier chiffre 4 est le carré du chiffre 2. Le deuxième chiffre 9 est le carré du chiffre 3. Il s'avère donc que : √4 + √9 = 2 + 3 = 5.
S'il n'y a pas de carrés pleins sous le signe racine, essayez de retirer le multiplicateur du nombre sous le signe racine. Par exemple, disons que √24 + √54 est donné. Factorisez les nombres : 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. Le nombre 24 a un facteur de 4, qui peut être extrait du signe de la racine carrée. Le nombre 54 a un facteur 9. Ainsi, il s'avère que : √24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 . Dans cet exemple, à la suite de la suppression du multiplicateur du signe racine, il s'est avéré simplifier l'expression donnée.
Soit la somme de deux racines carrées le dénominateur d'une fraction, par exemple A / (√a + √b). Et laissez votre tâche consister à "se débarrasser de l'irrationalité du dénominateur". Ensuite, vous pouvez utiliser la méthode suivante. Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par l'expression √a - √b. Ainsi, au dénominateur, la formule de multiplication abrégée sera obtenue : (√a + √b) * (√a - √b) = a - b. Par analogie, si la différence des racines est donnée au dénominateur : √a - √b, alors le numérateur et le dénominateur de la fraction doivent être multipliés par l'expression √a + √b. Par exemple, étant donné une fraction 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3).
Considérons un exemple plus complexe de suppression de l'irrationalité dans le dénominateur. Soit la fraction 12 / (√2 + √3 + √5) donnée. Il faut multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction par l'expression √2 + √3 - √5 :
12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
Et enfin, si vous n'avez besoin que d'une valeur approximative, vous pouvez calculer les racines carrées sur la calculatrice. Calculez les valeurs séparément pour chaque nombre et notez-les avec la précision requise (par exemple, deux décimales). Et puis effectuez les opérations arithmétiques requises, comme avec les nombres ordinaires. Par exemple, supposons que vous souhaitiez connaître la valeur approximative de l'expression √7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89.

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