propriétés des racines carrées. Formules racine

Cet article est une collection d'informations détaillées qui traitent du sujet des propriétés des racines. Considérant le sujet, nous allons commencer par les propriétés, étudier toutes les formulations et donner des preuves. Pour consolider le sujet, nous examinerons les propriétés du nième degré.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Propriétés racine

Nous parlerons des propriétés.

Propriété nombres multipliés un et b, qui est représenté par l'égalité a · b = a · b . Il peut être représenté sous forme de multiplicateurs, positifs ou égaux à zéro une 1 , une 2 , … , une k comme une 1 une 2 … une k = une 1 une 2 … une k ;
de privé a : b = a : b, a ≥ 0, b > 0, il peut aussi s'écrire sous cette forme a b = a b ;
Propriété de la puissance d'un nombre un avec un exposant pair a 2 m = a m pour tout nombre un, par exemple, une propriété du carré d'un nombre a 2 = a .

Dans chacune des équations présentées, vous pouvez échanger les parties avant et après le tiret, par exemple, l'égalité a · b = a · b est transformée en a · b = a · b . Les propriétés d'égalité sont souvent utilisées pour simplifier des équations complexes.

La preuve des premières propriétés est basée sur la définition racine carrée et les propriétés des puissances avec un exposant naturel. Pour étayer la troisième propriété, il faut se référer à la définition du module d'un nombre.

Tout d'abord, il faut prouver les propriétés de la racine carrée a · b = a · b . Selon la définition, il faut considérer que a b est un nombre, positif ou égal à zéro, qui sera égal à un B pendant la construction dans un carré. La valeur de l'expression a · b est positive ou égale à zéro en tant que produit de nombres non négatifs. La propriété du degré des nombres multipliés nous permet de représenter l'égalité sous la forme (a · b) 2 = a 2 · b 2 . Par la définition de la racine carrée a 2 \u003d a et b 2 \u003d b, alors a b \u003d a 2 b 2 \u003d a b.

De la même manière, on peut prouver qu'à partir du produit k multiplicateurs une 1 , une 2 , … , une k sera égal au produit des racines carrées de ces facteurs. En effet, une 1 · une 2 · … · ak 2 = une 1 2 · une 2 2 · … · ak 2 = une 1 · une 2 · … · a k .

Il découle de cette égalité que a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k .

Regardons quelques exemples pour renforcer le sujet.

Exemple 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5 , 4 , 2 13 1 2 = 4 , 2 13 1 2 et 2 , 7 4 12 17 0 , 2 (1) = 2 , 7 4 12 17 0 . 2 (1) .

Il faut prouver la propriété de la racine carrée arithmétique du quotient : a : b = a : b, a ≥ 0, b > 0. La propriété permet d'écrire l'égalité a : b 2 = a 2 : b 2 , et a 2 : b 2 = a : b , tandis que a : b est un nombre positif ou égal à zéro. Cette expression en sera la preuve.

Par exemple, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 et 30, 121 = 30, 121.

Considérons la propriété de la racine carrée du carré d'un nombre. Elle peut s'écrire comme une égalité sous la forme a 2 = a Pour prouver cette propriété, il faut considérer en détail plusieurs égalités pour un ≥ 0 et à un< 0 .

Évidemment, pour a ≥ 0, l'égalité a 2 = a est vraie. À un< 0 l'égalité a 2 = - a sera vraie. En fait, dans ce cas − un > 0 et (− une) 2 = une 2 . Nous pouvons conclure que a 2 = a , a ≥ 0 - a , a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Regardons quelques exemples.

Exemple 2

5 2 = 5 = 5 et - 0 , 36 2 = - 0 , 36 = 0 , 36 .

La propriété prouvée aidera à justifier a 2 m = a m , où un- réel, et m –entier naturel. En effet, la propriété d'exponentiation permet de remplacer le degré un 2m expression (du matin) 2, alors a 2 · m = (a m) 2 = a m .

Exemple 3

3 8 = 3 4 = 3 4 et (- 8 , 3) 14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) 7 .

Propriétés de la nième racine

Vous devez d'abord considérer les principales propriétés des racines du nième degré:

Propriété du produit de nombres un et b, qui sont positifs ou égaux à zéro, peuvent être exprimés comme l'égalité a b n = a n b n , cette propriété est valable pour le produit k Nombres une 1 , une 2 , … , une k comme une 1 une 2 … une k n = une 1 n une 2 n … une k n ;
de nombre fractionnaire a la propriété a b n = a n b n , où un- n'importe quel nombre réel, qui est positif ou égal à zéro, et b est un nombre réel positif ;
Pour toute un et les nombres pairs n = 2 mètres a 2 m 2 m = a est vrai, et pour impair n = 2 m − 1 l'égalité a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a est satisfaite.
Propriété d'extraction de a m n = a n m , où un- un nombre quelconque, positif ou égal à zéro, n et m sont des nombres naturels, cette propriété peut également être représentée par . . une n k n 2 n 1 = une n 1 · n 2 . . . nk ;
Pour tout a non négatif et arbitraire n et m, qui sont naturels, on peut aussi définir la juste égalité a m n · m = a n ;
propriété de degré n de la puissance d'un nombre un, qui est positif ou égal à zéro, en nature m, défini par l'égalité a m n = a n m ;
Propriété de comparaison ayant les mêmes exposants : pour tous les nombres positifs un et b tel que un< b , l'inégalité a n< b n ;
La propriété de comparaison qui possède les mêmes numéros racine : si m et n- nombres naturels qui m > n, puis à 0 < a < 1 l'inégalité a m > a n est valide, et pour un > 1 suis< a n .

Les équations ci-dessus sont valides si les parties avant et après le signe égal sont inversées. Ils peuvent également être utilisés sous cette forme. Ceci est souvent utilisé lors de la simplification ou de la transformation d'expressions.

La preuve des propriétés ci-dessus de la racine est basée sur la définition, les propriétés du degré et la définition du module d'un nombre. Ces propriétés doivent être prouvées. Mais tout est en ordre.

Tout d'abord, nous prouverons les propriétés de la racine du nième degré à partir du produit a · b n = a n · b n . Pour un et b, qui sommes positif ou nul , la valeur a n · b n est également positive ou égale à zéro, puisqu'elle est une conséquence de la multiplication de nombres non négatifs. La propriété d'un produit énergétique naturel nous permet d'écrire l'égalité a n · b n n = a n n · b n n . Par définition de racine nème degré a n n = a et b n n = b , donc, a n · b n n = a · b . L'égalité qui en résulte est exactement ce qu'il fallait prouver.

Cette propriété se démontre de même pour le produit k facteurs : pour les nombres non négatifs a 1 , a 2 , … , a n a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0 .

Voici des exemples d'utilisation de la propriété root nème puissance du produit : 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 et 8 , 3 4 17 , (21) 4 3 4 5 7 4 = 8 , 3 17 , (21) 3 5 7 4 .

Démontrons la propriété de la racine du quotient a b n = a n b n . À un ≥ 0 et b > 0 la condition a n b n ≥ 0 est satisfaite, et a n b n n = a n n b n n = a b .

Montrons des exemples :

Exemple 4

8 27 3 = 8 3 27 3 et 2 , 3 10 : 2 3 10 = 2 , 3 : 2 3 10 .

Pour l'étape suivante, il est nécessaire de prouver les propriétés du nième degré du nombre au degré n. Nous représentons cela comme une égalité a 2 m 2 m = a et a 2 m - 1 2 m - 1 = a pour tout réel un et naturel m. À un ≥ 0 on obtient a = a et a 2 m = a 2 m , ce qui prouve l'égalité a 2 m 2 m = a , et l'égalité a 2 m - 1 2 m - 1 = a est évidente. À un< 0 on obtient respectivement a = - a et a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m . La dernière transformation du nombre est valide selon la propriété du degré. C'est ce qui prouve l'égalité a 2 m 2 m \u003d a, et a 2 m - 1 2 m - 1 \u003d a sera vrai, puisque - c 2 m - 1 \u003d - c 2 m est considéré pour un impair degré - 1 pour n'importe quel nombre c, positif ou égal à zéro.

Afin de consolider les informations reçues, considérons quelques exemples utilisant la propriété :

Exemple 5

7 4 4 = 7 = 7 , (- 5) 12 12 = - 5 = 5 , 0 8 8 = 0 = 0 , 6 3 3 = 6 et (- 3 , 39) 5 5 = - 3 , 39 .

Démontrons l'égalité suivante a m n = a n · m . Pour ce faire, vous devez modifier les nombres avant le signe égal et après celui-ci par endroits a n · m = a m n . Cela indiquera l'entrée correcte. Pour un , qui est positif ou égal à zéro , de la forme a m n est un nombre positif ou égal à zéro. Passons à la propriété d'élever une puissance à une puissance et à la définition. Avec leur aide, vous pouvez transformer des égalités sous la forme a m n n · m = a m n n m = a m m = a . Cela prouve la propriété considérée d'une racine à partir d'une racine.

D'autres propriétés sont prouvées de manière similaire. Vraiment, . . . une n k n 2 n 1 n 1 n 2 . . . nk = . . . un k n 3 n 2 n 2 n 3 . . . nk = . . . une n 4 n 3 n 3 n 4 . . . nk = . . . = une n k n k = une .

Par exemple, 7 3 5 = 7 5 3 et 0, 0009 6 = 0, 0009 2 2 6 = 0, 0009 24.

Démontrons la propriété suivante a m n · m = a n . Pour cela, il faut montrer que a n est un nombre positif ou égal à zéro. Élevé à une puissance n m est suis. Si nombre un est positif ou nul, alors nème degré parmi un est un nombre positif ou égal à zéro De plus, a n · m n = a n n m , ce qui devait être prouvé.

Afin de consolider les connaissances acquises, considérons quelques exemples.

Prouvons la propriété suivante - la propriété de la racine de la puissance de la forme a m n = a n m . Il est évident qu'à un ≥ 0 le degré a n m est un nombre non négatif. De plus, elle n-ème degré est égal à suis, en effet, une n m n = une n m · n = une n n m = une m . Ceci prouve la propriété considérée du degré.

Par exemple, 2 3 5 3 = 2 3 3 5 .

Il faut prouver que pour tout nombre positif un et B un< b . Considérons l'inégalité a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию un< b . Par conséquent, un n< b n при un< b .

Par exemple, nous donnons 12 4< 15 2 3 4 .

Considérez la propriété racine n-ème degré. Considérons d'abord la première partie de l'inégalité. À m > n et 0 < a < 1 vrai un m > un n . Supposons un m ≤ un n . Les propriétés simplifieront l'expression en a n m · n ≤ a m m · n . Alors, selon les propriétés d'un degré avec un exposant naturel, l'inégalité a n m n m n ≤ a m m n m n est satisfaite, c'est-à-dire une n ≤ une m. La valeur obtenue à m > n et 0 < a < 1 ne correspond pas aux propriétés ci-dessus.

De la même manière, on peut prouver que m > n et un > 1état un m< a n .

Afin de corriger les propriétés ci-dessus, considérez quelques exemples concrets. Considérez les inégalités en utilisant des nombres spécifiques.

Exemple 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Si vous remarquez une erreur dans le texte, veuillez le mettre en surbrillance et appuyer sur Ctrl+Entrée

Cours et présentation sur le sujet :
"Propriétés d'une racine carrée. Formules. Exemples de solutions, tâches avec réponses"

Matériaux additionnels
Chers utilisateurs, n'oubliez pas de laisser vos commentaires, réactions, suggestions. Tous les matériaux sont vérifiés par un programme antivirus.

Aides pédagogiques et simulateurs dans la boutique en ligne "Integral" pour la 8e année
Guide d'étude interactif "La géométrie en 10 minutes" pour la 8e année
Complexe pédagogique "1C: École. Géométrie, 8e année"

Propriétés de la racine carrée

Nous continuons à étudier les racines carrées. Aujourd'hui, nous allons examiner les principales propriétés des racines. Toutes les propriétés principales sont intuitives et cohérentes avec toutes les opérations que nous avons effectuées auparavant.

Propriété 1. La racine carrée du produit de deux nombres non négatifs est égale au produit des racines carrées de ces nombres : $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(b)$.

Il est d'usage de prouver toutes les propriétés, faisons-le.
Soit $\sqrt(a*b)=x$, $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$. Ensuite, nous devons prouver que $x=y*z$.
Mettons au carré chaque expression.
Si $\sqrt(a*b)=x$ alors $a*b=x^2$.
Si $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$, alors en mettant au carré les deux expressions, on obtient : $a=y^2$, $b=z^2$.
$a*b=x^2=y^2*z^2$, soit $x^2=(y*z)^2$. Si les carrés de deux nombres non négatifs sont égaux, alors les nombres eux-mêmes sont égaux, ce qui devait être prouvé.

Il découle de notre propriété que, par exemple, $\sqrt(5)*\sqrt(3)=\sqrt(15)$.

Remarque 1. La propriété est également valable pour le cas où il y a plus de deux facteurs non négatifs sous la racine.
Propriété 2. Si $a≥0$ et $b>0$, alors l'égalité suivante est vérifiée : $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$

Autrement dit, la racine du quotient est égale au quotient des racines.
Preuve.
Utilisons le tableau et prouvons brièvement notre propriété.

Exemples d'utilisation des propriétés de racines carrées

Exemple 1
Calculez : $\sqrt(81*25*121)$.

La solution.
Bien sûr, nous pouvons prendre une calculatrice, multiplier tous les nombres sous la racine et effectuer l'opération d'extraction de la racine carrée. Et s'il n'y a pas de calculatrice à portée de main, que se passe-t-il alors?
$\sqrt(81*25*121)=\sqrt(81)*\sqrt(25)*\sqrt(121)=9*5*11=495$.
Réponse : 495.

Exemple 2. Calculez : $\sqrt(11\frac(14)(25))$.

La solution.
Nous représentons le nombre radical comme une fraction impropre : $11\frac(14)(25)=\frac(11*25+14)(25)=\frac(275+14)(25)=\frac(289)( 25) $.
Utilisons la propriété 2.
$\sqrt(\frac(289)(25))=\frac(\sqrt(289))(\sqrt(25))=\frac(17)(5)=3\frac(2)(5)= 3.4$.
Réponse : 3.4.

Exemple 3
Calculez : $\sqrt(40^2-24^2)$.

La solution.
Nous pouvons évaluer notre expression directement, mais elle peut presque toujours être simplifiée. Essayons de faire ça.
$40^2-24^2=(40-24)(40+24)=16*64$.
Donc $\sqrt(40^2-24^2)=\sqrt(16*64)=\sqrt(16)*\sqrt(64)=4*8=32$.
Réponse : 32.

Les gars, veuillez noter qu'il n'y a pas de formules pour les opérations d'addition et de soustraction d'expressions radicales et que les expressions ci-dessous ne sont pas correctes.
$\sqrt(a+b)≠\sqrt(a)+\sqrt(b)$.
$\sqrt(a-b)≠\sqrt(a)-\sqrt(b)$.

Exemple 4
Calculez : a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)$ ; b) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))$.
La solution.
Les propriétés présentées ci-dessus fonctionnent aussi bien de gauche à droite qu'en ordre inverse, C'est:
$\sqrt(a)*\sqrt(b)=\sqrt(a*b)$.
$\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))=\sqrt(\frac(a)(b))$.
Utilisons cela pour résoudre notre exemple.
a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)=\sqrt(32*8)=\sqrt(256)=16.$

B) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))=\sqrt(\frac(32)(8))=\sqrt(4)=2$.

Réponse : a) 16 ; b) 2.

Propriété 3. Si $a≥0$ et n est un entier naturel, alors l'égalité suivante est vérifiée : $\sqrt(a^(2n))=a^n$.

Par exemple. $\sqrt(a^(16))=a^8$, $\sqrt(a^(24))=a^(12)$ et ainsi de suite.

Exemple 5
Calculez : $\sqrt(129600)$.

La solution.
Le nombre qui nous est présenté est assez grand, décomposons-le en facteurs premiers.
Nous avons : 129600 $=5^2*2^6*3^4$ ou $\sqrt(129600)=\sqrt(5^2*2^6*3^4)=5*2^3*3^2 =5*8*9=360$.
Réponse : 360.

Tâches pour une solution indépendante

1. Calculez : $\sqrt(144*36*64)$.
2. Calculez : $\sqrt(8\frac(1)(36))$.
3. Calculez : $\sqrt(52^2-48^2)$.
4. Calculez :
a) $\sqrt(128*\sqrt(8))$ ;
b) $\frac(\sqrt(128))(\sqrt(8))$.

Les mathématiques sont nées lorsqu'une personne a pris conscience de lui-même et a commencé à se positionner comme une unité autonome du monde. Le désir de mesurer, de comparer, de calculer ce qui vous entoure est ce qui sous-tend l'une des sciences fondamentales de nos jours. Au début, c'étaient des particules de mathématiques élémentaires, qui permettaient de relier les nombres à leurs expressions physiques, plus tard les conclusions ont commencé à être présentées uniquement théoriquement (en raison de leur abstraction), mais après un certain temps, comme l'a dit un scientifique, " les mathématiques ont atteint le plafond de la complexité lorsque tous les nombres." Le concept de "racine carrée" est apparu à une époque où il pouvait être facilement étayé par des données empiriques, dépassant le plan des calculs.

Comment tout a commencé

La première mention de la racine, qui sur ce moment noté √, a été enregistré dans les écrits des mathématiciens babyloniens, qui ont jeté les bases de l'arithmétique moderne. Bien sûr, ils ressemblaient un peu à la forme actuelle - les scientifiques de ces années ont d'abord utilisé des comprimés volumineux. Mais au deuxième millénaire av. e. ils ont proposé une formule de calcul approximative qui montrait comment prendre la racine carrée. La photo ci-dessous montre une pierre sur laquelle des scientifiques babyloniens ont gravé le processus de sortie √2, et il s'est avéré si correct que l'écart dans la réponse n'a été trouvé qu'à la dixième décimale.

De plus, la racine était utilisée s'il fallait trouver le côté d'un triangle, à condition que les deux autres soient connus. Eh bien, lors de la résolution d'équations quadratiques, il n'y a pas d'échappatoire à l'extraction de la racine.

Parallèlement aux travaux babyloniens, le sujet de l'article a également été étudié dans l'ouvrage chinois "Mathematics in Nine Books", et les anciens Grecs sont arrivés à la conclusion que tout nombre dont la racine n'est pas extraite sans reste donne un résultat irrationnel .

L'origine de ce terme est associée à la représentation arabe du nombre : les anciens scientifiques croyaient que le carré d'un nombre arbitraire pousse à partir de la racine, comme une plante. En latin, ce mot sonne comme radix (on peut tracer un schéma - tout ce qui a une charge sémantique "racine" est consonne, que ce soit radis ou sciatique).

Les scientifiques des générations suivantes ont repris cette idée, la désignant comme Rx. Par exemple, au XVe siècle, pour indiquer que la racine carrée est tirée d'un nombre arbitraire a, on écrivait R 2 a. Habituel aspect moderne"tique" √ n'est apparu qu'au 17ème siècle grâce à René Descartes.

Nos jours

Mathématiquement, la racine carrée de y est le nombre z dont le carré est y. Autrement dit, z 2 =y est équivalent à √y=z. Cependant, cette définition n'est pertinente que pour racine arithmétique, puisqu'il implique une valeur non négative de l'expression. En d'autres termes, √y=z, où z est supérieur ou égal à 0.

En général, ce qui est valable pour déterminer une racine algébrique, la valeur d'une expression peut être soit positive, soit négative. Ainsi, du fait que z 2 =y et (-z) 2 =y, on a : √y=±z ou √y=|z|.

Du fait que l'amour pour les mathématiques n'a fait qu'augmenter avec le développement de la science, il existe diverses manifestations d'attachement à celles-ci, non exprimées dans des calculs secs. Par exemple, parallèlement à des événements aussi intéressants que le jour de Pi, les vacances de la racine carrée sont également célébrées. Elles sont célébrées neuf fois en cent ans, et sont déterminées selon le principe suivant : les nombres qui désignent le jour et le mois dans l'ordre doivent être la racine carrée de l'année. Oui, dans la prochaine fois Cette fête sera célébrée le 4 avril 2016.

Propriétés de la racine carrée sur le corps R

Presque toutes les expressions mathématiques ont une base géométrique, ce sort n'est pas passé et √y, qui est défini comme le côté d'un carré d'aire y.

Comment trouver la racine d'un nombre ?

Il existe plusieurs algorithmes de calcul. Le plus simple, mais en même temps assez lourd, est le calcul arithmétique habituel, qui est le suivant :

1) du nombre dont nous avons besoin, les nombres impairs sont soustraits à leur tour - jusqu'à ce que le reste de la sortie soit inférieur à celui soustrait ou même zéro. Le nombre de coups finira par devenir le nombre souhaité. Par exemple, en calculant la racine carrée de 25 :

Suivant nombre impair est 11, on a le reste suivant : 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Pour de tels cas, il existe un développement en série de Taylor :

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , où n prend des valeurs de 0 à

+∞, et |y|≤1.

Représentation graphique de la fonction z=√y

Considérons une fonction élémentaire z=√y sur le corps de nombres réels R, où y est supérieur ou égal à zéro. Son graphique ressemble à ceci :

La courbe croît à partir de l'origine et passe nécessairement par le point (1 ; 1).

Propriétés de la fonction z=√y sur le corps de nombres réels R

1. Le domaine de définition de la fonction considérée est l'intervalle de zéro à plus l'infini (zéro est inclus).

2. La plage de valeurs de la fonction considérée est l'intervalle de zéro à plus l'infini (zéro est à nouveau inclus).

3. La fonction prend la valeur minimale (0) uniquement au point (0; 0). Il n'y a pas de valeur maximale.

4. La fonction z=√y n'est ni paire ni impaire.

5. La fonction z=√y n'est pas périodique.

6. Il n'y a qu'un seul point d'intersection du graphe de la fonction z=√y avec les axes de coordonnées : (0 ; 0).

7. Le point d'intersection du graphique de la fonction z=√y est aussi le zéro de cette fonction.

8. La fonction z=√y croît continuellement.

9. La fonction z=√y ne prend que des valeurs positives, donc son graphique occupe le premier angle de coordonnées.

Options d'affichage de la fonction z=√y

En mathématiques, pour faciliter le calcul d'expressions complexes, on utilise parfois la forme puissance d'écriture de la racine carrée : √y=y 1/2. Cette option est pratique, par exemple, pour élever une fonction à une puissance : (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Cette méthode est également une bonne représentation pour la différenciation avec intégration, puisque grâce à elle la racine carrée est représentée par une fonction puissance ordinaire.

Et en programmation, le remplacement du symbole √ est la combinaison de lettres sqrt.

Il convient de noter que dans ce domaine, la racine carrée est très demandée, car elle fait partie de la plupart des formules géométriques nécessaires aux calculs. L'algorithme de comptage lui-même est assez compliqué et est basé sur la récursivité (une fonction qui s'appelle elle-même).

La racine carrée dans le corps complexe C

Dans l'ensemble, c'est le sujet de cet article qui a stimulé la découverte du corps des nombres complexes C, puisque les mathématiciens étaient hantés par la question d'obtenir une racine de degré pair à partir d'un nombre négatif. C'est ainsi qu'est apparue l'unité imaginaire i, qui se caractérise par une propriété très intéressante : son carré est -1. Grâce à cela, les équations quadratiques et avec un discriminant négatif ont obtenu une solution. En C, pour la racine carrée, les mêmes propriétés sont pertinentes que dans R, la seule chose est que les restrictions sur l'expression de la racine sont supprimées.

Votre vie privée est importante pour nous. Pour cette raison, nous avons développé une politique de confidentialité qui décrit comment nous utilisons et stockons vos informations. Veuillez lire notre politique de confidentialité et faites-nous savoir si vous avez des questions.

Collecte et utilisation des informations personnelles

Les informations personnelles font référence aux données qui peuvent être utilisées pour identifier une personne spécifique ou la contacter.

Vous pouvez être invité à fournir vos informations personnelles à tout moment lorsque vous nous contactez.

Voici quelques exemples des types d'informations personnelles que nous pouvons collecter et de la manière dont nous pouvons utiliser ces informations.

Quelles informations personnelles nous collectons :

Lorsque vous soumettez une candidature sur le site, nous pouvons collecter diverses informations, notamment votre nom, votre numéro de téléphone, votre adresse e-mail, etc.

Comment utilisons-nous vos informations personnelles:

Les informations personnelles que nous collectons nous permettent de vous contacter et de vous informer des offres uniques, promotions et autres événements et événements à venir.
De temps à autre, nous pouvons utiliser vos informations personnelles pour vous envoyer des avis et des messages importants.
Nous pouvons également utiliser des informations personnelles à des fins internes, telles que la réalisation d'audits, l'analyse de données et diverses recherches afin d'améliorer les services que nous fournissons et de vous fournir des recommandations concernant nos services.
Si vous participez à un tirage au sort, à un concours ou à une incitation similaire, nous pouvons utiliser les informations que vous fournissez pour administrer ces programmes.

Divulgation à des tiers

Nous ne divulguons pas les informations reçues de votre part à des tiers.

Exceptions:

Dans le cas où il est nécessaire - conformément à la loi, à l'ordre judiciaire, dans le cadre de procédures judiciaires et / ou sur la base de demandes publiques ou de demandes d'organismes publics sur le territoire de la Fédération de Russie - de divulguer vos informations personnelles. Nous pouvons également divulguer des informations vous concernant si nous déterminons qu'une telle divulgation est nécessaire ou appropriée pour des raisons de sécurité, d'application de la loi ou d'autres raisons d'intérêt public.
En cas de réorganisation, de fusion ou de vente, nous pouvons transférer les informations personnelles que nous collectons au tiers successeur concerné.

Protection des informations personnelles

Nous prenons des précautions - y compris administratives, techniques et physiques - pour protéger vos informations personnelles contre la perte, le vol et l'utilisation abusive, ainsi que contre l'accès, la divulgation, l'altération et la destruction non autorisés.

Maintenir votre vie privée au niveau de l'entreprise

Pour garantir la sécurité de vos informations personnelles, nous communiquons les pratiques de confidentialité et de sécurité à nos employés et appliquons strictement les pratiques de confidentialité.

Fait 1.
$\bullet$ Prenez un nombre non négatif $a$ (c'est-à-dire $a\geqslant 0$ ). Alors (arithmétique) racine carréeà partir du nombre $a$ un tel nombre non négatif $b$ est appelé, en le mettant au carré nous obtenons le nombre $a$ : \[\sqrt a=b\quad \text(identique à )\quad a=b^2\] Il découle de la définition que $a\geqslant 0, b\geqslant 0$. Ces restrictions sont une condition importante pour l'existence d'une racine carrée et doivent être rappelées !
Rappelez-vous que tout nombre au carré donne un résultat non négatif. Autrement dit, $100^2=10000\geqslant 0$ et $(-100)^2=10000\geqslant 0$ .
$\bullet$ Qu'est-ce que $\sqrt(25)$ ? Nous savons que $5^2=25$ et $(-5)^2=25$ . Puisque par définition on doit trouver un nombre non négatif, $-5$ ne convient pas, donc $\sqrt(25)=5$ (puisque $25=5^2$ ).
Trouver la valeur $\sqrt a$ s'appelle prendre la racine carrée du nombre $a$ , et le nombre $a$ s'appelle l'expression racine.
$\bullet$ Basé sur la définition, les expressions $\sqrt(-25)$ , $\sqrt(-4)$ , etc. n'a pas de sens.

Fait 2.
Pour des calculs rapides, il sera utile de connaître le tableau des carrés des entiers naturels de $1$ à $20$ : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(tableau)\]

Fait 3.
Que peut-on faire avec des racines carrées ?
$\balle$ La somme ou la différence des racines carrées N'EST PAS ÉGALE à la racine carrée de la somme ou de la différence, c'est-à-dire \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Ainsi, si vous devez calculer, par exemple, $\sqrt(25)+\sqrt(49)$ , alors vous devez d'abord trouver les valeurs $\sqrt(25)$ et $\sqrt (49)\ ) puis additionnez-les. Par conséquent, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Si les valeurs \(\sqrt a$ ou $\sqrt b$ ne peuvent pas être trouvées lors de l'ajout de $\sqrt a+\sqrt b$, alors une telle expression n'est pas davantage convertie et reste telle quelle. Par exemple, dans la somme $\sqrt 2+ \sqrt (49)$ nous pouvons trouver $\sqrt(49)$ - c'est $7$ , mais $\sqrt 2$ ne peut pas être converti de quelque manière que ce soit, c'est pourquoi $\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7$. De plus, cette expression, malheureusement, ne peut en aucun cas être simplifiée.$\bullet$ Le produit/quotient des racines carrées est égal à la racine carrée du produit/quotient, c'est-à-dire \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (à condition que les deux parties des égalités aient un sens)
Exemple: $\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8$; $\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16$; $\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40$. $\bullet$ En utilisant ces propriétés, il est pratique de trouver les racines carrées de grands nombres en les factorisant.
Prenons un exemple. Trouvez $\sqrt(44100)$ . Puisque $44100:100=441$ , alors $44100=100\cdot 441$ . Selon le critère de divisibilité, le nombre $441$ est divisible par $9$ (puisque la somme de ses chiffres est 9 et est divisible par 9), donc, $441:9=49$ , c'est-à-dire $441=9\ cdot 49$ .
Ainsi, nous avons obtenu : \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Prenons un autre exemple : \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
$\bullet$ Nous allons montrer comment saisir des nombres sous le signe de la racine carrée en utilisant l'exemple de l'expression $5\sqrt2$ (abréviation de l'expression $5\cdot \sqrt2$ ). Puisque $5=\sqrt(25)$ , alors \ Notez également que, par exemple,
1) $\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2$ ,
2) $5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3$
3) $\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a$ .

Pourquoi donc? Expliquons avec l'exemple 1). Comme vous l'avez déjà compris, nous ne pouvons pas en quelque sorte convertir le nombre $\sqrt2$ . Imaginez que $\sqrt2$ est un certain nombre $a$ . En conséquence, l'expression $\sqrt2+3\sqrt2$ n'est rien d'autre que $a+3a$ (un nombre $a$ plus trois autres des mêmes nombres $a$ ). Et nous savons que cela est égal à quatre de ces nombres $a$ , c'est-à-dire $4\sqrt2$ .

Fait 4.
$\bullet$ On dit souvent "ne peut pas extraire la racine" lorsqu'il n'est pas possible de se débarrasser du signe $\sqrt () \ $ de la racine (radical) lors de la recherche de la valeur d'un certain nombre. Par exemple, vous pouvez rooter le nombre $16$ car $16=4^2$ , donc $\sqrt(16)=4$ . Mais extraire la racine du nombre $3$ , c'est-à-dire trouver $\sqrt3$ , c'est impossible, car il n'y a pas de nombre tel que le carré donne $3$ .
De tels nombres (ou expressions avec de tels nombres) sont irrationnels. Par exemple, les nombres $\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)$ etc. sont irrationnels.
Aussi irrationnels sont les nombres $\pi$ (le nombre "pi", approximativement égal à $3,14$ ), $e$ (ce nombre est appelé le nombre d'Euler, approximativement égal à $2 ,7$ ) etc.
$\bullet$ Veuillez noter que tout nombre sera rationnel ou irrationnel. Et ensemble, tous les nombres rationnels et tous les nombres irrationnels forment un ensemble appelé ensemble de nombres réels (réels). Cet ensemble est désigné par la lettre $\mathbb(R)$ .
Cela signifie que tous les nombres que nous connaissons actuellement sont appelés nombres réels.

Fait 5.
$\bullet$ Le module d'un nombre réel $a$ est un nombre non négatif $|a|$ égal à la distance entre le point $a$ et $0$ sur le réel ligne. Par exemple, $|3|$ et $|-3|$ sont égaux à 3, puisque les distances des points $3$ et $-3$ à $0$ sont les identique et égal à $3 $ .
$\bullet$ Si $a$ est un nombre non négatif, alors $|a|=a$ .
Exemple : $|5|=5$ ; $\qquad |\sqrt2|=\sqrt2$ . $\bullet$ Si $a$ est un nombre négatif, alors $|a|=-a$ .
Exemple : $|-5|=-(-5)=5$ ; $\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3$.
Ils disent que pour les nombres négatifs, le module "mange" le moins, et les nombres positifs, ainsi que le nombre $0$ , le module reste inchangé.
MAIS cette règle ne s'applique qu'aux nombres. Si vous avez un $x$ inconnu (ou un autre inconnu) sous le signe du module, par exemple, $|x|$ , dont nous ne savons pas s'il est positif, égal à zéro ou négatif, alors se débarrasser du module, nous ne pouvons pas. Dans ce cas, cette expression reste donc : $|x|$ . $\bullet$ Les formules suivantes sont valables : \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text(fourni) a\geqslant 0\] L'erreur suivante est souvent commise : ils disent que $\sqrt(a^2)$ et $(\sqrt a)^2$ sont la même chose. Ceci n'est vrai que lorsque $a$ est un nombre positif ou zéro. Mais si $a$ est un nombre négatif, alors ce n'est pas vrai. Il suffit de considérer un tel exemple. Prenons le nombre $-1$ au lieu de $a$. Alors $\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1$ , mais l'expression $(\sqrt (-1))^2$ n'existe pas du tout (car c'est impossible sous le signe racine de mettre des nombres négatifs !).
Par conséquent, nous attirons votre attention sur le fait que $\sqrt(a^2)$ n'est pas égal à $(\sqrt a)^2$ ! Exemple 1) $\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2$, car $-\sqrt2<0$ ;

$\phantom(00000)$ 2) $(\sqrt(2))^2=2$ . $\bullet$ Puisque $\sqrt(a^2)=|a|$ , alors \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (l'expression $2n$ désigne un nombre pair)
Autrement dit, lors de l'extraction de la racine d'un nombre qui est dans un certain degré, ce degré est divisé par deux.
Exemple:
1) $\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64$
2) $\sqrt((-25)^2)=|-25|=25$ (notez que si le module n'est pas défini, alors il s'avère que la racine du nombre est égale à $-25 $ ; mais rappelons-nous que, par définition de la racine, cela ne peut pas être : lors de l'extraction de la racine, nous devrions toujours obtenir un nombre positif ou zéro)
3) $\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8$ (puisque tout nombre à une puissance paire est non négatif)

Fait 6.
Comment comparer deux racines carrées ?
$\bullet$ Vrai pour les racines carrées : si $\sqrt a<\sqrt b$ , то $aExemple:
1) comparer \(\sqrt(50)$ et $6\sqrt2$ . Tout d'abord, nous transformons la deuxième expression en $\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)$. Ainsi, puisque $50<72$ , то и $\sqrt{50}<\sqrt{72}$ . Следовательно, $\sqrt{50}<6\sqrt2$ .
2) Entre quels entiers est $\sqrt(50)$ ?
Puisque $\sqrt(49)=7$ , $\sqrt(64)=8$ et $49<50<64$ , то $7<\sqrt{50}<8$ , то есть число $\sqrt{50}$ находится между числами $7$ и $8$ .
3) Comparez $\sqrt 2-1$ et $0,5$ . Supposons $\sqrt2-1>0.5$ : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((ajouter un aux deux côtés))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((carré des deux parties))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(aligned)\] Nous voyons que nous avons obtenu une inégalité incorrecte. Par conséquent, notre hypothèse était erronée et $\sqrt 2-1<0,5$ .
Notez que l'ajout d'un certain nombre aux deux côtés de l'inégalité n'affecte pas son signe. Multiplier/diviser les deux côtés d'une inégalité par un nombre positif ne change pas non plus son signe, mais multiplier/diviser par un nombre négatif inverse le signe de l'inégalité !
Les deux côtés d'une équation/inégalité peuvent être élevés au carré UNIQUEMENT SI les deux côtés sont non négatifs. Par exemple, dans l'inégalité de l'exemple précédent, vous pouvez élever au carré les deux côtés, dans l'inégalité $-3<\sqrt2$ нельзя (убедитесь в этом сами)! $\bullet$ Notez que \[\begin(aligned) &\sqrt 2\approx 1,4\\ &\sqrt 3\approx 1,7 \end(aligned)\] Connaître la signification approximative de ces nombres vous aidera à comparer les nombres ! $\bullet$ Afin d'extraire la racine (si elle est extraite) d'un grand nombre qui n'est pas dans le tableau des carrés, vous devez d'abord déterminer entre quelles "centaines" elle se trouve, puis entre quelles "dizaines", puis déterminez le dernier chiffre de ce nombre. Montrons comment cela fonctionne avec un exemple.
Prenez $\sqrt(28224)$ . Nous savons que $100^2=10\,000$ , $200^2=40\,000$ et ainsi de suite. Notez que $28224$ est compris entre $10\,000$ et $40\,000$ . Par conséquent, $\sqrt(28224)$ est compris entre $100$ et $200$ .
Déterminons maintenant entre quelles "dizaines" se situe notre nombre (c'est-à-dire, par exemple, entre $120$ et $130$ ). Nous savons également par la table des carrés que $11^2=121$ , $12^2=144$ etc., puis $110^2=12100$ , $120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900$ , $140^2=19600$ , $150^2=22500$ , $160^2=25600$ , $170^2=28900 \ ). Nous voyons donc que \(28224$ est compris entre $160^2$ et $170^2$ . Par conséquent, le nombre $\sqrt(28224)$ est compris entre $160$ et $170$ .
Essayons de déterminer le dernier chiffre. Rappelons-nous ce que les nombres à un chiffre lors de la mise au carré donnent à la fin \ (4 \) ? Ce sont $2^2$ et $8^2$ . Par conséquent, $\sqrt(28224)$ se terminera par 2 ou 8. Vérifions cela. Trouvez $162^2$ et $168^2$ :
$162^2=162\cdot 162=26224$
$168^2=168\cdot 168=28224$ .
D'où $\sqrt(28224)=168$ . Voila !

Afin de résoudre correctement l'examen en mathématiques, il est tout d'abord nécessaire d'étudier le matériel théorique, qui introduit de nombreux théorèmes, formules, algorithmes, etc. À première vue, cela peut sembler assez simple. Cependant, trouver une source dans laquelle la théorie de l'examen d'État unifié en mathématiques est présentée de manière simple et compréhensible pour les étudiants de tout niveau de préparation est, en fait, une tâche plutôt difficile. Les manuels scolaires ne sont pas toujours à portée de main. Et trouver les formules de base pour l'examen de mathématiques peut être difficile même sur Internet.

Pourquoi est-il si important d'étudier la théorie en mathématiques, pas seulement pour ceux qui passent l'examen ?

Parce que cela élargit vos horizons. L'étude du matériel théorique en mathématiques est utile pour quiconque souhaite obtenir des réponses à un large éventail de questions liées à la connaissance du monde. Tout dans la nature est ordonné et a une logique claire. C'est précisément ce qui se reflète dans la science, à travers laquelle il est possible de comprendre le monde.
Parce que ça développe l'intellect. En étudiant des documents de référence pour l'examen de mathématiques, ainsi qu'en résolvant divers problèmes, une personne apprend à penser et à raisonner logiquement, à formuler ses pensées correctement et clairement. Il développe la capacité d'analyser, de généraliser, de tirer des conclusions.

Nous vous invitons à évaluer personnellement tous les avantages de notre approche de la systématisation et de la présentation du matériel pédagogique.