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Équations irrationnelles et moyens de les résoudre. Équations irrationnelles

Établissement d'enseignement municipal

"L'école secondaire Kudinskaya n ° 2"

Façons de résoudre des équations irrationnelles

Complété par : Egorova Olga,

Superviseur:

Prof

mathématiques,

qualification supérieure

Introduction....……………………………………………………………………………………… 3

Section 1. Méthodes de résolution d'équations irrationnelles…………………………………6

1.1 Résolution des équations irrationnelles de la partie C……….….….……………………21

Section 2. Tâches individuelles…………………………………………….....………...24

Réponses………………………………………………………………………………………….25

Bibliographie…….…………………………………………………………………….26

Introduction

Formation en mathématiques reçue en école d'enseignement général, est un composante essentielle enseignement général et culture générale l'homme moderne. Presque tout ce qui entoure une personne moderne est lié d'une manière ou d'une autre aux mathématiques. MAIS réalisations récentes en physique, en ingénierie et en technologie de l'information ne laissent aucun doute sur le fait qu'à l'avenir, la situation restera la même. Par conséquent, la solution de nombreux problèmes pratiques se réduit à résoudre diverses sorteséquations pour apprendre à les résoudre. L'un de ces types sont des équations irrationnelles.

Équations irrationnelles

Une équation contenant une inconnue (ou un rationnel expression algébrique de l'inconnu) sous le signe du radical, s'appelle équation irrationnelle. En mathématiques élémentaires, les solutions aux équations irrationnelles se trouvent dans l'ensemble nombres réels.

Tout ir équation rationnelleà l'aide d'opérations algébriques élémentaires (multiplication, division, élévation des deux parties de l'équation à une puissance entière) peut être réduite à une équation algébrique rationnelle. Dans le même temps, il convient de garder à l'esprit que le raisonnement rationnel qui en résulte équation algébrique peut s'avérer non équivalente à l'équation irrationnelle d'origine, c'est-à-dire qu'elle peut contenir des racines "supplémentaires" qui ne seront pas les racines de l'équation irrationnelle d'origine. Par conséquent, après avoir trouvé les racines de l'équation algébrique rationnelle obtenue, il est nécessaire de vérifier si toutes les racines de l'équation rationnelle seront les racines de l'équation irrationnelle.

Dans le cas général, il est difficile d'indiquer une méthode universelle pour résoudre une équation irrationnelle, car il est souhaitable qu'à la suite de transformations de l'équation irrationnelle d'origine, on n'obtienne pas seulement une sorte d'équation algébrique rationnelle, parmi les racines de où il y aura les racines de cette équation irrationnelle, mais une équation algébrique rationnelle formée de polynômes d'aussi peu de degré que possible. Le désir d'obtenir cette équation algébrique rationnelle formée de polynômes du plus petit degré possible est tout à fait naturel, car trouver toutes les racines d'une équation algébrique rationnelle peut en soi être une tâche assez difficile, que nous ne pouvons résoudre complètement qu'en un nombre très limité de cas.

Types d'équations irrationnelles

La résolution d'équations irrationnelles de degré pair pose toujours plus de problèmes que la résolution d'équations irrationnelles de degré impair. Lors de la résolution d'équations irrationnelles de degré impair, l'ODZ ne change pas. Par conséquent, nous considérerons ci-dessous des équations irrationnelles dont le degré est pair. Il existe deux types d'équations irrationnelles :

2..

Considérons le premier d'entre eux.

équation odz : f(x)≥ 0. Dans ODZ, le côté gauche de l'équation est toujours non négatif, donc une solution ne peut exister que lorsque g(X)≥ 0. Dans ce cas, les deux côtés de l'équation sont non négatifs et l'exponentiation 2 n donne une équation équivalente. On comprend ça

Faisons attention au fait que tandis que ODZ est exécuté automatiquement, et vous ne pouvez pas l'écrire, mais la conditiong(x) ≥ 0 doit être coché.

Noter: C'est très condition importanteéquivalence. Tout d'abord, cela libère l'étudiant du besoin d'enquêter et, après avoir trouvé des solutions, vérifie la condition f(x) ≥ 0 - la non-négativité de l'expression racine. Deuxièmement, il se concentre sur la vérification de l'étatg(x) ≥ 0 sont la non négativité du côté droit. Après tout, après la quadrature, l'équation est résolue c'est-à-dire que deux équations sont résolues à la fois (mais sur des intervalles différents de l'axe numérique !) :

1. - où g(X)≥ 0 et

2. - où g(x) ≤ 0.

Pendant ce temps, beaucoup, selon l'habitude de l'école de trouver ODZ, font exactement le contraire lors de la résolution de telles équations :

a) vérifier, après avoir trouvé des solutions, la condition f(x) ≥ 0 (qui est automatiquement satisfaite), faire des erreurs arithmétiques et obtenir un résultat incorrect ;

b) ignorer la conditiong(x) ≥ 0 - et encore une fois la réponse peut être fausse.

Noter: La condition d'équivalence est particulièrement utile lors de la résolution d'équations trigonométriques, dans lesquelles la recherche de l'ODZ est associée à la résolution d'inégalités trigonométriques, ce qui est beaucoup plus difficile que la résolution d'équations trigonométriques. Enregistrement équations trigonométriques même conditions g(X)≥ 0 n'est pas toujours facile à faire.

Considérons le deuxième type d'équations irrationnelles.

. Laissez l'équation . Son ODZ :

Dans l'ODZ, les deux côtés sont non négatifs et la quadrature donne l'équation équivalente F(x) =g(X). Par conséquent, dans l'ODZ ou

Avec cette méthode de solution, il suffit de vérifier la non-négativité d'une des fonctions - vous pouvez en choisir une plus simple.

Section 1. Méthodes de résolution d'équations irrationnelles

1 méthode. Libération des radicaux en élevant successivement les deux côtés de l'équation à la puissance naturelle correspondante

La méthode la plus couramment utilisée pour résoudre les équations irrationnelles est la méthode de libération des radicaux en élevant successivement les deux parties de l'équation au degré naturel correspondant. Dans ce cas, il convient de garder à l'esprit que lorsque les deux parties de l'équation sont élevées à une puissance impaire, l'équation résultante est équivalente à l'originale, et lorsque les deux parties de l'équation sont élevées à une puissance paire, l'équation résultante l'équation sera, en règle générale, non équivalente à l'équation d'origine. Ceci est facile à vérifier en élevant les deux côtés de l'équation à n'importe quelle puissance paire. Cette opération aboutit à l'équation , dont l'ensemble de solutions est l'union d'ensembles de solutions : https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" height="21 src=">. Cependant, malgré cet inconvénient, c'est la procédure pour élever les deux parties de l'équation à une certaine puissance (souvent même) qui est la procédure la plus courante pour réduire une équation irrationnelle à une équation rationnelle.

Résous l'équation:

Où sont des polynômes. En vertu de la définition de l'opération d'extraction de la racine dans l'ensemble des nombres réels, les valeurs admissibles de l'inconnu https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" width=" 123 hauteur=21" hauteur="21">..gif " largeur="243" hauteur="28 src=">.

Étant donné que les deux parties de la 1ère équation ont été mises au carré, il peut s'avérer que toutes les racines de la 2ème équation ne seront pas des solutions à l'équation d'origine, il est nécessaire de vérifier les racines.

Résous l'équation:

https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" width="137" height="25">

En élevant les deux côtés de l'équation dans un cube, on obtient

Étant donné que https://pandia.ru/text/78/021/images/image024_19.gif" width="195" height="27">(La dernière équation peut avoir des racines qui, en général, ne sont pas des racines du équation ).

Nous élevons les deux côtés de cette équation à un cube : . On réécrit l'équation sous la forme x3 - x2 = 0 ↔ x1 = 0, x2 = 1. En vérifiant, on établit que x1 = 0 est une racine étrangère de l'équation (-2 ≠ 1), et x2 = 1 satisfait la équation originale.

Répondre: x = 1.

2 méthode. Remplacement d'un système de conditions adjacent

Lors de la résolution d'équations irrationnelles contenant des radicaux d'ordre pair, des racines étrangères peuvent apparaître dans les réponses, qui ne sont pas toujours faciles à identifier. Pour faciliter l'identification et l'élimination des racines étrangères, au cours de la résolution d'équations irrationnelles, il est immédiatement remplacé par un système de conditions adjacent. Des inégalités supplémentaires dans le système prennent en compte l'ODZ de l'équation en cours de résolution. Vous pouvez trouver l'ODZ séparément et en tenir compte plus tard, mais il est préférable d'utiliser des systèmes mixtes de conditions : il y a moins de risque d'oublier quelque chose, de ne pas en tenir compte dans le processus de résolution de l'équation. Par conséquent, dans certains cas, il est plus rationnel d'utiliser la méthode de transition vers des systèmes mixtes.

Résous l'équation:

Répondre: https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" width="109 height=27" height="27">

Cette équation est équivalente au système

Répondre: l'équation n'a pas de solutions.

3 méthode. Utilisation des propriétés de la nième racine

Lors de la résolution d'équations irrationnelles, les propriétés de la racine du nième degré sont utilisées. racine arithmétique n- e degrés parmi un appeler un numéro non négatif, n- je dont le degré est égal à un. Si un n- même( 2n), alors a ≥ 0, sinon la racine n'existe pas. Si un n-étrange( 2 n+1), alors a est quelconque et = - ..gif" width="45" height="19"> Alors :

2.

3.

4.

5.

En appliquant formellement l'une de ces formules (sans tenir compte des restrictions indiquées), il convient de garder à l'esprit que l'ODZ des parties gauche et droite de chacune d'elles peut être différente. Par exemple, l'expression est définie avec f ≥ 0 et g ≥ 0, et l'expression est comme dans f ≥ 0 et g ≥ 0, ainsi que f ≤ 0 et g ≤ 0.

Pour chacune des formules 1 à 5 (sans tenir compte des restrictions indiquées), l'ODZ de sa partie droite peut être plus large que l'ODZ de la gauche. Il s'ensuit que les transformations de l'équation avec l'utilisation formelle des formules 1 à 5 "de gauche à droite" (telles qu'elles sont écrites) conduisent à une équation qui est une conséquence de l'originale. Dans ce cas, des racines étrangères à l'équation d'origine peuvent apparaître, la vérification est donc une étape obligatoire dans la résolution de l'équation d'origine.

Les transformations d'équations avec l'utilisation formelle des formules 1 à 5 «de droite à gauche» sont inacceptables, car il est possible de juger de l'ODZ de l'équation d'origine et, par conséquent, de la perte de racines.

https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" width="247" height="61 src=">,

qui est une conséquence de l'original. La solution de cette équation se réduit à résoudre l'ensemble des équations .

De la première équation de cet ensemble, nous trouvons https://pandia.ru/text/78/021/images/image044_7.gif" width="89" height="27"> d'où nous trouvons . Ainsi, les racines équation donnée ne peuvent être que des nombres (-1) et (-2). La vérification montre que les deux racines trouvées satisfont cette équation.

Répondre: -1,-2.

Résous l'équation: .

Solution : en fonction des identités, remplacer le premier terme par . Notez que comme la somme de deux nombres non négatifs sur le côté gauche. "Retirez" le module et, après avoir apporté des termes semblables, résolvez l'équation. Puisque , on obtient l'équation . Depuis et , puis https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" width="89" height="27 src=">.gif" width="39" height="19 src=" >.gif" largeur="145" hauteur="21 src=">

Répondre: x = 4,25.

4 méthode. Introduction de nouvelles variables

Un autre exemple de résolution d'équations irrationnelles est la manière dont de nouvelles variables sont introduites, par rapport auxquelles une équation irrationnelle plus simple ou une équation rationnelle est obtenue.

La solution des équations irrationnelles en remplaçant l'équation par sa conséquence (avec vérification ultérieure des racines) peut être effectuée comme suit :

1. Trouvez l'ODZ de l'équation d'origine.

2. Passer de l'équation à son corollaire.

3. Trouvez les racines de l'équation résultante.

4. Vérifiez si les racines trouvées sont les racines de l'équation d'origine.

Le chèque est le suivant :

A) l'appartenance de chaque racine trouvée de l'ODZ à l'équation d'origine est vérifiée. Les racines qui n'appartiennent pas à l'ODZ sont étrangères à l'équation d'origine.

B) pour chaque racine incluse dans l'ODZ de l'équation d'origine, on vérifie si elles ont signes identiques les parties gauche et droite de chacune des équations qui surviennent lors du processus de résolution de l'équation d'origine et sont élevées à une puissance paire. Ces racines pour lesquelles les parties de toute équation élevée à une puissance paire ont différents signes, sont étrangers à l'équation d'origine.

C) seules les racines qui appartiennent à l'ODZ de l'équation d'origine et pour lesquelles les deux parties de chacune des équations qui apparaissent lors du processus de résolution de l'équation d'origine et élevées à une puissance paire ont les mêmes signes sont vérifiées par substitution directe dans l'équation d'origine.

Une telle méthode de résolution avec la méthode de vérification indiquée permet d'éviter des calculs fastidieux en cas de substitution directe de chacune des racines trouvées de la dernière équation dans celle d'origine.

Résoudre l'équation irrationnelle :

.

L'ensemble des valeurs admissibles de cette équation :

En posant , après substitution on obtient l'équation

ou son équation équivalente

qui peut être considérée comme une équation quadratique pour . En résolvant cette équation, on obtient

.

Par conséquent, l'ensemble de solutions de l'équation irrationnelle d'origine est l'union des ensembles de solutions des deux équations suivantes :

, .

Cubez les deux côtés de chacune de ces équations, et nous obtenons deux équations algébriques rationnelles :

, .

En résolvant ces équations, nous constatons que cette équation irrationnelle a une seule racine x = 2 (aucune vérification n'est nécessaire, puisque toutes les transformations sont équivalentes).

Répondre: x = 2.

Résoudre l'équation irrationnelle :

Notons 2x2 + 5x - 2 = t. Alors l'équation originale prendra la forme . En mettant au carré les deux parties de l'équation résultante et en ramenant des termes semblables, on obtient l'équation , qui est une conséquence de la précédente. De là, nous trouvons t=16.

Revenant à l'inconnu x, nous obtenons l'équation 2x2 + 5x - 2 = 16, qui est une conséquence de celle d'origine. En vérifiant, on s'assure que ses racines x1 \u003d 2 et x2 \u003d - 9/2 sont les racines de l'équation d'origine.

Répondre: x1 = 2, x2 = -9/2.

5 méthode. Transformation de l'équation d'identité

Lors de la résolution d'équations irrationnelles, il ne faut pas commencer à résoudre une équation en élevant les deux parties des équations à une puissance naturelle, en essayant de réduire la solution d'une équation irrationnelle à la résolution d'une équation algébrique rationnelle. Tout d'abord, il est nécessaire de voir s'il est possible de faire une transformation identique de l'équation, ce qui peut simplifier considérablement sa solution.

Résous l'équation:

L'ensemble des valeurs valides pour cette équation : https://pandia.ru/text/78/021/images/image074_1.gif" width="292" height="45"> Divisez cette équation par .

.

On a:

Pour a = 0, l'équation n'aura pas de solution ; pour , l'équation peut être écrite comme

car cette équation n'a pas de solutions, puisque pour tout X, appartenant à l'ensemble des valeurs admissibles de l'équation, l'expression du côté gauche de l'équation est positive ;

quand l'équation a une solution

En tenant compte du fait que l'ensemble des solutions admissibles de l'équation est déterminé par la condition , on obtient finalement :

Lors de la résolution de cette équation irrationnelle, https://pandia.ru/text/78/021/images/image084_2.gif" width="60" height="19"> la solution de l'équation sera . Pour toutes les autres valeurs X l'équation n'a pas de solutions.

EXEMPLE 10 :

Résoudre l'équation irrationnelle : https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" width="381" height="51">

Décision équation quadratique Le système donne deux racines : x1 = 1 et x2 = 4. La première des racines obtenues ne satisfait pas l'inégalité du système, donc x = 4.

Remarques.

1) Réaliser des transformations identiques permet de se passer de vérification.

2) L'inégalité x – 3 ≥0 fait référence à transformations identiques, et non au domaine de l'équation.

3) Il y a une fonction décroissante sur le côté gauche de l'équation et une fonction croissante sur le côté droit de cette équation. Les graphes de fonctions décroissantes et croissantes à l'intersection de leurs domaines de définition ne peuvent avoir plus d'un point commun. Évidemment, dans notre cas, x = 4 est l'abscisse du point d'intersection des graphiques.

Répondre: x = 4.

6 méthode. Utilisation du domaine de définition des fonctions lors de la résolution d'équations

Cette méthode est plus efficace pour résoudre des équations qui incluent des fonctions https://pandia.ru/text/78/021/images/image088_2.gif" width="36" height="21 src="> et trouver ses définitions de zone (F)..gif" largeur="53" hauteur="21"> .gif" width="88" height="21 src=">, alors vous devez vérifier si l'équation est vraie aux extrémités de l'intervalle, de plus, si un< 0, а b >0, alors il faut vérifier sur les intervalles (un;0) et . Le plus petit entier de E(y) est 3.

Répondre: x = 3.

8 méthode. Application de la dérivée à la résolution d'équations irrationnelles

Le plus souvent, lors de la résolution d'équations à l'aide de la méthode dérivée, la méthode d'estimation est utilisée.

EXEMPLE 15 :

Résolvez l'équation : (1)

Solution : Depuis https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29">, ou (2). Considérez la fonction ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> du tout et donc en augmentation. Par conséquent, l'équation équivaut à une équation dont la racine est la racine de l'équation d'origine.

Répondre:

EXEMPLE 16 :

Résoudre l'équation irrationnelle :

Le domaine de définition de la fonction est un segment. Trouvez le plus grand et plus petite valeur les valeurs de cette fonction sur l'intervalle . Pour ce faire, on trouve la dérivée de la fonction F(X): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. Trouvons les valeurs de la fonction F(X) aux extrémités du segment et au point: Alors, Mais, et, par conséquent, l'égalité n'est possible que sous la condition https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 " height="19 src=" > La vérification montre que le nombre 3 est la racine de cette équation.

Répondre: x = 3.

9 méthode. Fonctionnel

Dans les examens, ils proposent parfois de résoudre des équations qui peuvent être écrites sous la forme , où est une certaine fonction.

Par exemple, quelques équations : 1) 2) . En effet, dans le premier cas , dans le second cas . Par conséquent, résolvez des équations irrationnelles en utilisant l'énoncé suivant : si une fonction est strictement croissante sur l'ensemble X et pour tout , alors les équations, etc., sont équivalentes sur l'ensemble X .

Résoudre l'équation irrationnelle : https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> augmentant strictement sur le plateau R, et https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > qui a une racine unique Par conséquent, l'équation équivalente (1) a aussi une racine unique

Répondre: x = 3.

EXEMPLE 18 :

Résoudre l'équation irrationnelle : (1)

Grâce à la définition de la racine carrée, on obtient que si l'équation (1) a des racines, alors elles appartiennent à l'ensemble DIV_ADBLOCK166">

. (2)

Considérez la fonction https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> augmentant strictement sur cet ensemble pour tout ..gif" width="100" height="41"> qui a une seule racine Par conséquent, et qui lui est équivalente sur l'ensemble X l'équation (1) a une seule racine

Répondre: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

Solution : Cette équation est équivalente à un système mixte

Si l'équation contient une variable sous le signe de la racine carrée, alors l'équation est dite irrationnelle.
Considérez l'équation irrationnelle

Cette égalité, par définition de la racine carrée, signifie que 2x + 1 = 32. En fait, nous sommes passés de l'équation irrationnelle donnée à l'équation rationnelle 2x + 1 = 9 en mettant au carré les deux côtés de l'équation irrationnelle. La méthode de mise au carré des deux côtés d'une équation est la principale méthode de résolution des équations irrationnelles. Cependant, cela est compréhensible : comment se débarrasser autrement du signe de la racine carrée ? De l'équation 2x + 1 = 9, nous trouvons x = 4.
C'est à la fois la racine de l'équation 2x + 1 = 9 et l'équation irrationnelle donnée.
La méthode de mise au carré est techniquement simple, mais conduit parfois à des problèmes. Considérons, par exemple, l'équation irrationnelle

En quadrillant les deux côtés, on obtient

Ensuite nous avons :
2x-4x = -7 +5 ; -2x = -2 ; x = 1.
Mais la valeur x - 1, étant la racine de l'équation rationnelle 2x - 5 = 4x - 7, n'est pas la racine de l'équation irrationnelle donnée. Pourquoi? En substituant 1 au lieu de x dans l'équation irrationnelle donnée, nous obtenons . Comment pouvons-nous parler de l'accomplissement de l'égalité numérique, si ses parties gauche et droite contiennent des expressions qui n'ont pas de sens ? Dans de tels cas, ils disent: x \u003d 1 est une racine étrangère pour une équation irrationnelle donnée. Il s'avère que l'équation irrationnelle donnée n'a pas de racines.
Résolvons l'équation irrationnelle


-
Les racines de cette équation peuvent être trouvées oralement, comme nous l'avons fait à la fin du paragraphe précédent : leur produit est - 38, et la somme est - 17 ; il est facile de deviner que ce sont les nombres 2
et - 19. Donc, x 1 \u003d 2, x 2 \u003d - 19.
En substituant la valeur 2 au lieu de x dans l'équation irrationnelle donnée, nous obtenons

Ce n'est pas vrai.
En substituant la valeur - 19 au lieu de x dans l'équation irrationnelle donnée, nous obtenons

Ceci est également incorrect.
Quelle est la conclusion? Les deux valeurs trouvées sont des racines étrangères. En d'autres termes, l'équation irrationnelle donnée, comme la précédente, n'a pas de racines.
Une racine étrangère n'est pas un nouveau concept pour vous, des racines étrangères ont déjà été rencontrées lors de la résolution d'équations rationnelles, la vérification aide à les détecter. Pour les équations irrationnelles, la vérification est une étape obligatoire dans la résolution de l'équation, ce qui aidera à détecter les racines étrangères, le cas échéant, et à les éliminer (généralement, ils disent «éliminer»).

Ainsi, une équation irrationnelle est résolue en élevant au carré ses deux parties; après avoir résolu l'équation rationnelle résultante, il est nécessaire de procéder à une vérification en éliminant les éventuelles racines étrangères.

En utilisant cette dérivation, regardons quelques exemples.

Exemple 1 résous l'équation

Décision. Mettons au carré les deux côtés de l'équation (1):


Ensuite, nous avons successivement

5x - 16 \u003d x 2 - 4x + 4;
x 2 - 4x + 4 - 5x + 16 = 0 ;
x2 - 9x + 20 = 0 ;
X 1 = 5, X 2 = 4.
Examen. En remplaçant x \u003d 5 dans l'équation (1), nous obtenons - l'égalité correcte. En remplaçant x \u003d 4 dans l'équation (1), nous obtenons - l'égalité correcte. Par conséquent, les deux valeurs trouvées sont les racines de l'équation (1).
O n e t : 4 ; 5.

Exemple 2 résous l'équation
(nous avons rencontré cette équation au § 22 et nous avons « reporté » sa solution à des temps meilleurs.) d'une équation irrationnelle, on obtient
2x2 + 8* + 16 = (44 - 2x) 2 .
Ensuite nous avons
2x 2 + 8x + 16 \u003d 1936 - 176x + 4x 2;
- 2x 2 + 184x - 1920 = 0 ;
x2 - 92x + 960 = 0 ;
x 1 = 80, x 2 = 12.
Examen. En substituant x = 80 dans l'équation irrationnelle donnée, nous obtenons

Il s'agit évidemment d'une égalité incorrecte, puisque son côté droit contient un nombre négatif et son côté gauche contient un nombre positif. Donc x = 80 est une racine étrangère pour cette équation.

En substituant x = 12 dans l'équation irrationnelle donnée, nous obtenons

c'est à dire. . = 20, est la bonne égalité. Par conséquent, x = 12 est la racine de cette équation.
Réponse : 12.



On divise les deux parties de la dernière équation terme à terme par 2 :

Examen. En remplaçant la valeur x = 14 dans l'équation (2), on obtient est une égalité incorrecte, donc x = 14 est une racine étrangère.
En remplaçant la valeur x = -1 dans l'équation (2), on obtient
- une véritable égalité. Par conséquent, x = - 1 est la racine de l'équation (2).
A n t e t : - 1.

Exemple 4 résous l'équation

Décision. Bien sûr, vous pouvez résoudre cette équation de la même manière que nous avons utilisé dans les exemples précédents : réécrivez l'équation sous la forme

Mettez les deux côtés de cette équation au carré, résolvez l'équation rationnelle résultante et vérifiez les racines trouvées en les substituant dans
équation irrationnelle originale.

Mais nous utiliserons une manière plus élégante : nous introduisons une nouvelle variable y = . Ensuite, nous obtenons 2y 2 + y - 3 \u003d 0 - une équation quadratique par rapport à la variable y. Trouvons ses racines : y 1 = 1, y 2 = -. Ainsi, la tâche a été réduite à résoudre deux

À partir de la première équation, nous trouvons x \u003d 1, la deuxième équation n'a pas de racine (vous vous souvenez qu'elle ne prend que des valeurs non négatives).
Réponse 1.
Nous terminons cette section par une discussion théorique assez sérieuse. Le propos est le suivant. Vous avez déjà acquis une certaine expérience dans la résolution de diverses équations : linéaire, carrée, rationnelle, irrationnelle. Vous savez que lors de la résolution d'équations, diverses transformations sont effectuées,
par exemple : un membre de l'équation est transféré d'une partie de l'équation à une autre avec le signe opposé ; les deux côtés de l'équation sont multipliés ou divisés par le même nombre non nul ; se débarrasser du dénominateur, c'est-à-dire remplacer l'équation = 0 par l'équation p (x) = 0 ; Les deux côtés de l'équation sont au carré.

Bien sûr, vous avez remarqué qu'à la suite de certaines transformations, des racines étrangères pouvaient apparaître, et il fallait donc être vigilant : vérifiez toutes les racines trouvées. Nous allons donc maintenant essayer d'appréhender tout cela d'un point de vue théorique.

Définition. Deux équations f (x) = g (x) et r (x) = s (x) sont dites équivalentes si elles ont les mêmes racines (ou, en particulier, si les deux équations n'ont pas de racines).

Habituellement, lors de la résolution d'une équation, ils essaient de remplacer cette équation par une équation plus simple, mais équivalente. Un tel changement est appelé une transformation équivalente de l'équation.

Les transformations suivantes sont des transformations équivalentes de l'équation :

1. Transfert des termes de l'équation d'une partie de l'équation à une autre avec des signes opposés.
Par exemple, remplacer l'équation 2x + 5 = 7x - 8 par l'équation 2x - 7x = - 8 - 5 est une transformation équivalente de l'équation. Cela signifie que

les équations 2x + 5 = 7x -8 et 2x - 7x = -8 - 5 sont équivalentes.

2. Multiplier ou diviser les deux membres d'une équation par le même nombre non nul.
Par exemple, en remplaçant l'équation 0,5x 2 - 0,3x \u003d 2 par l'équation 5x 2 - Zx \u003d 20
(les deux parties de l'équation ont été multipliées terme par terme par 10) est une transformation équivalente de l'équation.

Les transformations non équivalentes de l'équation sont les transformations suivantes :

1. Exemption des dénominateurs contenant des variables.
Par exemple, remplacer une équation par l'équation x 2 \u003d 4 est une transformation non équivalente de l'équation. Le fait est que l'équation x 2 \u003d 4 a deux racines: 2 et - 2, et équation donnée la valeur x = 2 ne peut pas satisfaire (le dénominateur s'annule). Dans de tels cas, nous avons dit ceci: x \u003d 2 est une racine étrangère.

2. Mettre au carré les deux côtés de l'équation.
Nous ne donnerons pas d'exemples, car il y en avait pas mal dans ce paragraphe.
Si, lors du processus de résolution de l'équation, l'une des transformations non équivalentes indiquées a été utilisée, toutes les racines trouvées doivent être vérifiées par substitution dans l'équation d'origine, car parmi elles, il peut y avoir des racines étrangères.

Sujet : "Équations irrationnelles de la forme , .»

(Développement méthodologique.)

Concepts de base

Équations irrationnelles appelées équations dans lesquelles la variable est contenue sous le signe de la racine (radical) ou le signe de l'élévation à une puissance fractionnaire.

Une équation de la forme f(x)=g(x), où au moins une des expressions f(x) ou g(x) est irrationnelle équation irrationnelle.

Propriétés de base des radicaux:

  • Tous les radicaux degré pair sont arithmétique, ceux. si l'expression radicale est négative, alors le radical n'a pas de sens (n'existe pas) ; si l'expression racine est égale à zéro, alors le radical est aussi zéro; si l'expression radicale est positive, alors la valeur du radical existe et est positive.
  • Tous les radicaux degré impair sont définis pour toute valeur de l'expression radicale. De plus, le radical est négatif si l'expression radicale est négative ; vaut zéro si l'expression racine vaut zéro ; est positif si l'expression assujettie est positive.

Méthodes de résolution d'équations irrationnelles

Résoudre une équation irrationnelle - signifie trouver toutes les valeurs réelles de la variable, en les remplaçant dans l'équation d'origine, cela se transforme en l'égalité numérique correcte, ou pour prouver que de telles valeurs n'existent pas. Les équations irrationnelles sont résolues sur l'ensemble des nombres réels R.

La plage de valeurs valides de l'équation se compose des valeurs de la variable pour lesquelles toutes les expressions sous le signe des radicaux de degré pair sont non négatives.

Les principales méthodes de résolution d'équations irrationnelles sont:

a) la méthode pour élever les deux parties de l'équation à la même puissance ;

b) la méthode d'introduction de nouvelles variables (méthode des substitutions) ;

c) des méthodes artificielles pour résoudre des équations irrationnelles.

Dans cet article, nous allons nous intéresser à la prise en compte des équations de la forme définie ci-dessus et présenter 6 méthodes de résolution de telles équations.

1 méthode. cube.

Cette méthode nécessite l'utilisation de formules de multiplication abrégées et ne contient pas de "pièges", c'est-à-dire ne conduit pas à l'apparition de racines étrangères.

Exemple 1 résous l'équation

Décision:

On réécrit l'équation sous la forme et cubez les deux côtés de celui-ci. On obtient une équation équivalente à cette équation ,

Répondre: x=2, x=11.

Exemple 2. Résous l'équation.

Décision:

Réécrivons l'équation sous la forme et élevons les deux côtés de celle-ci en un cube. On obtient une équation équivalente à cette équation

et considérons l'équation résultante comme une équation quadratique par rapport à l'une des racines

donc, le discriminant est 0, et l'équation peut avoir une solution x=-2.

Examen:

Répondre:x=-2.

Commenter: La vérification peut être omise si l'équation quadratique est terminée.

2 méthode. Cube utilisant une formule.

Nous continuerons à mettre l'équation au cube, mais en même temps nous utiliserons des formules modifiées pour la multiplication abrégée.

Utilisons les formules :

(modification mineure formule connue), alors

Exemple3. résous l'équation .

Décision:

Mettons au cube l'équation en utilisant les formules données ci-dessus.

Mais l'expression doit être égal au côté droit. Nous avons donc :

.

Maintenant, une fois au cube, nous obtenons l'équation quadratique habituelle :

, et ses deux racines

Les deux valeurs, comme le montre le test, sont correctes.

Répondre: x=2, x=-33.

Mais toutes les transformations sont-elles ici équivalentes ? Avant de répondre à cette question, résolvons une dernière équation.

Exemple 4. Résous l'équation.

Décision:

En élevant, comme précédemment, les deux parties à la puissance 3, on a :

D'où (en considérant que l'expression entre parenthèses est ), on obtient :

Nous obtenons, .Faisons une vérification et assurons-nous que x=0 est une racine étrangère.

Répondre: .

Répondons à la question: "Pourquoi des racines étrangères sont-elles apparues?"

L'égalité mène à l'égalité . En remplaçant from par -s, on obtient :

Il est facile de vérifier l'identité

Donc, si , alors soit , soit . L'équation peut être représentée comme , .

En remplaçant from par -s, on obtient : if , alors soit , soit

Par conséquent, lors de l'utilisation de cette méthode de résolution, il est impératif de vérifier et de s'assurer qu'il n'y a pas de racines étrangères.

3 méthode. Méthode système.

Exemple 5 résous l'équation .

Décision:

Laisser être , . Puis:

Comment est-il évident que

La deuxième équation du système est obtenue de telle manière que la combinaison linéaire des expressions radicales ne dépende pas de la variable d'origine.

Il est facile de voir que le système n'a pas de solution, et donc l'équation d'origine n'a pas de solution.

Répondre: Pas de racines.

Exemple 6 résous l'équation .

Décision:

Nous introduisons un remplacement, composons et résolvons un système d'équations.

Laisser être , . Puis

En revenant à la variable d'origine, nous avons :

Répondre:x=0.

4 méthode. Utiliser la monotonie des fonctions.

Avant d'utiliser cette méthode, passons à la théorie.

Nous aurons besoin des propriétés suivantes :

Exemple 7 résous l'équation .

Décision:

Le côté gauche de l'équation est une fonction croissante et le côté droit est un nombre, c'est-à-dire constante, par conséquent, l'équation n'a pas plus d'une racine, que nous sélectionnons: x \u003d 9. Vérifier que la racine convient.

Les équations sont dites irrationnelles si elles contiennent une quantité inconnue sous le signe racine. Ce sont, par exemple, les équations

Dans de nombreux cas, en appliquant une ou plusieurs fois l'exponentiation des deux parties de l'équation, il est possible de réduire l'équation irrationnelle à une équation algébrique d'un degré ou d'un autre (qui est une conséquence de l'équation d'origine). Puisqu'en élevant l'équation à une puissance, des solutions étrangères peuvent apparaître, alors, après avoir résolu l'équation algébrique à laquelle nous avons réduit cette équation irrationnelle, nous devons vérifier les racines trouvées en substituant dans l'équation originale et ne garder que celles qui la satisfont, et jetez le reste - étranger.

En résolvant des équations irrationnelles, nous nous limitons uniquement à leurs racines réelles ; toutes les racines de degré pair dans la notation des équations s'entendent au sens arithmétique.

Considérez certains exemples typiqueséquations irrationnelles.

A. Équations contenant l'inconnu sous le signe de la racine carrée. Si cette équation ne contient qu'un seul Racine carrée, sous le signe duquel il y a une inconnue, alors cette racine doit être isolée, c'est-à-dire placée dans une partie de l'équation, et tous les autres termes doivent être transférés dans une autre partie. Après avoir élevé au carré les deux côtés de l'équation, nous nous sommes déjà libérés de l'irrationalité et obtenons une équation algébrique pour

Exemple 1. Résolvez l'équation.

Décision. Nous isolons la racine du côté gauche de l'équation ;

On élève au carré l'équation résultante :

On retrouve les racines de cette équation :

La vérification montre que ne satisfait que l'équation d'origine.

Si l'équation comprend deux ou plusieurs racines contenant x, alors la quadrature doit être répétée plusieurs fois.

Exemple 2. Résolvez les équations suivantes :

Solution, a) Nous élevons au carré les deux côtés de l'équation :

Nous séparons la racine:

L'équation résultante est à nouveau au carré :

Après transformations, on obtient l'équation quadratique suivante pour :

résoudre:

En substituant dans l'équation d'origine, nous nous assurons qu'il y a sa racine, mais c'est une racine étrangère pour elle.

b) L'exemple peut être résolu de la même manière que l'exemple a) a été résolu. Cependant, profitant du fait que le côté droit de cette équation ne contient pas d'inconnue, nous procéderons différemment. On multiplie l'équation par l'expression conjuguée à son côté gauche ; on a

À droite, le produit de la somme et de la différence, c'est-à-dire la différence des carrés. D'ici

Du côté gauche de cette équation se trouvait la somme des racines carrées ; sur le côté gauche de l'équation maintenant obtenue est la différence des mêmes racines. Écrivons les équations données et reçues :

En faisant la somme de ces équations, on obtient

On élève au carré la dernière équation et, après simplifications, on obtient

De là, nous trouvons . En vérifiant on est convaincu que seul le nombre sert de racine à cette équation. Exemple 3. Résoudre l'équation

Ici, déjà sous le signe radical, nous avons des trinômes carrés.

Décision. On multiplie l'équation par l'expression conjuguée à son membre gauche :

Soustrayez la dernière équation de celle donnée :

Mettons au carré cette équation :

De la dernière équation, nous trouvons . En vérifiant, nous sommes convaincus que seul le nombre x \u003d 1 sert de racine à cette équation.

B. Équations contenant des racines du troisième degré. Systèmes d'équations irrationnelles. Nous nous limitons à des exemples individuels de telles équations et systèmes.

Exemple 4. Résoudre l'équation

Décision. Montrons deux manières de résoudre l'équation (70.1). Première voie. Mettons au cube les deux côtés de cette équation (voir formule (20.8)) :

(ici nous avons remplacé la somme racines cubiques numéro 4, en utilisant l'équation).

Nous avons donc

c'est-à-dire, après simplifications,

d'où Les deux racines satisfont l'équation d'origine.

La deuxième façon. Mettons

L'équation (70.1) s'écrira . De plus, il est clair que. De l'équation (70.1) nous sommes passés au système

En divisant la première équation du système terme à terme par la seconde, on trouve

Une équation irrationnelle est une équation qui contient une fonction sous le signe racine. Par example:

De telles équations sont toujours résolues en 3 étapes :

  1. Séparez la racine. Autrement dit, s'il y a d'autres nombres ou fonctions à gauche du signe égal en plus de la racine, tout cela doit être déplacé vers la droite en changeant de signe. Dans le même temps, seul le radical doit rester à gauche - sans aucun coefficient.
  2. 2. Nous mettons les deux côtés de l'équation au carré. Dans le même temps, rappelez-vous que la plage de la racine est constituée de tous les nombres non négatifs. D'où la fonction à droite équation irrationnelle doit également être non négatif : g (x) ≥ 0.
  3. La troisième étape découle logiquement de la seconde : vous devez effectuer une vérification. Le fait est que dans la deuxième étape, nous pourrions avoir des racines supplémentaires. Et pour les couper, il est nécessaire de substituer les nombres candidats résultants dans l'équation d'origine et de vérifier : l'égalité numérique correcte est-elle vraiment obtenue ?

Résoudre une équation irrationnelle

Traitons de notre équation irrationnelle donnée au tout début de la leçon. Ici la racine est déjà isolée : à gauche du signe égal il n'y a que la racine. Équarrissons les deux côtés :

2x 2 - 14x + 13 = (5 - x) 2
2x2 - 14x + 13 = 25 - 10x + x2
x2 - 4x - 12 = 0

Nous résolvons l'équation quadratique résultante à l'aide du discriminant :

ré = b 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 1 (−12) = 16 + 48 = 64
x1 = 6 ; x 2 \u003d -2

Il ne reste plus qu'à substituer ces nombres dans l'équation d'origine, c'est-à-dire effectuer une vérification. Mais même ici, vous pouvez faire ce qu'il faut pour simplifier la décision finale.

Comment simplifier la solution

Réfléchissons : pourquoi vérifie-t-on même à la fin de la résolution d'une équation irrationnelle ? Nous voulons nous assurer que lors de la substitution de nos racines, il y aura un nombre non négatif à droite du signe égal. Après tout, nous savons déjà avec certitude qu'il s'agit d'un nombre non négatif à gauche, car la racine carrée arithmétique (à cause de laquelle notre équation est appelée irrationnelle) ne peut par définition pas être inférieure à zéro.

Il suffit donc de vérifier que la fonction g ( x ) = 5 − x , qui est à droite du signe égal, est positive :

g(x) ≥ 0

Nous substituons nos racines dans cette fonction et obtenons :

g (x 1) \u003d g (6) \u003d 5 - 6 \u003d -1< 0
g (x 2) = g (−2) = 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 > 0

D'après les valeurs obtenues, il s'ensuit que la racine x 1 = 6 ne nous convient pas, car lors de la substitution dans le côté droit de l'équation d'origine, nous obtenons un nombre négatif. Mais la racine x 2 \u003d −2 nous convient tout à fait, car:

  1. Cette racine est la solution de l'équation quadratique obtenue en élevant les deux côtés équation irrationnelle dans un carré.
  2. Le côté droit de l'équation irrationnelle d'origine, lorsque la racine x 2 = −2 est substituée, se transforme en un nombre positif, c'est-à-dire Portée racine arithmétique pas cassé.

C'est tout l'algorithme ! Comme vous pouvez le voir, résoudre des équations avec des radicaux n'est pas si difficile. L'essentiel est de ne pas oublier de vérifier les racines reçues, sinon il est très probable d'obtenir des réponses supplémentaires.

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