L'intégrale et son application pratique. Cours d'application de l'intégrale

Sujet de recherche

Application du calcul intégral dans la planification des dépenses familiales

Pertinence du problème

De plus en plus dans les domaines sociaux et sphères économiques lors du calcul du degré d'inégalité dans la répartition des revenus, les mathématiques sont utilisées, à savoir le calcul intégral. en train d'étudier utilisation pratique on obtient l'intégrale :

Comment l'intégrale et le calcul de la surface à l'aide de l'intégrale aident-ils à répartir les coûts des matériaux ?

Comment l'intégrale aidera à économiser de l'argent pour les vacances.

Cibler

planifier les dépenses familiales par calcul intégral

Tâches

Explorer sens géométrique intégral.
Envisager des méthodes d'intégration dans les sphères sociales et économiques de la vie.
Faites une prévision des coûts matériels de la famille lors de la réparation d'un appartement à l'aide de l'intégrale.
Calculez le volume de consommation d'énergie de la famille pendant un an, en tenant compte du calcul intégral.
Calculez le montant d'un dépôt d'épargne à la Sberbank pour les vacances.

Hypothèse

le calcul intégral aide aux calculs économiques lors de la planification des revenus et des dépenses de la famille.

Étapes de la recherche

Nous avons étudié la signification géométrique de l'intégrale et les méthodes d'intégration dans les sphères sociales et économiques de la vie.
Nous avons calculé les coûts matériels nécessaires à la réparation d'un appartement à l'aide de l'intégrale.
Nous avons calculé le volume de consommation d'électricité dans l'appartement et le coût de l'électricité pour la famille pendant un an.
Nous avons envisagé l'une des options de collecte du revenu familial par le biais de dépôts à la Sberbank en utilisant l'intégrale.

Objet d'étude

calcul intégral dans les sphères sociales et économiques de la vie.

Méthodes

Analyse de la littérature sur le thème "Application pratique du calcul intégral"
L'étude des méthodes d'intégration dans la résolution de problèmes de calcul d'aires et de volumes de figures à l'aide de l'intégrale.
Analyse des dépenses et des revenus familiaux par calcul intégral.

Processus de travail

Revue de littérature sur le thème "Application pratique du calcul intégral"
Résoudre un système de problèmes pour calculer les aires et les volumes de figures à l'aide de l'intégrale.
Calcul des dépenses et des revenus de la famille à l'aide d'un calcul intégral : rénovation de la chambre, volume d'électricité, dépôts à la Sberbank pour les vacances.

Nos résultats

Comment l'intégrale et le calcul du volume à l'aide de l'intégrale aident-ils à prévoir le volume de consommation d'électricité ?

résultats

Le calcul économique des fonds nécessaires à la réparation d'un appartement peut être effectué plus rapidement et plus précisément à l'aide d'un calcul intégral.

Il est plus facile et plus rapide de calculer la consommation d'électricité de la famille à l'aide d'un calcul intégral et de Microsoft Office Excel, c'est-à-dire de prévoir les dépenses d'électricité de la famille pendant un an.

Le bénéfice des dépôts dans une caisse d'épargne peut être calculé à l'aide d'un calcul intégral, ce qui signifie planifier des vacances en famille.

Liste des ressources

Éditions imprimées :

Cahier de texte. Algèbre et le début de l'analyse 10-11 année. A. G. Mordkovitch. Mnémosyne. M : 2007
Cahier de texte. Algèbre et le début de l'analyse 10-11 année. Lumières A. Kolmogorov. M : 2007
Mathématiques pour sociologues et économistes. Akhtyamov A.M. M. : FIZMATLIT, 2004. - 464 p.
Calcul intégral Ouvrage de référence Mathématiques supérieures M. Ya. Vygodsky, Lumières, 2000

Ivanov Sergey, étudiant gr.14-EOP-33D

Le travail peut être utilisé dans une leçon de généralisation sur les thèmes "Dérivée", "Intégrale".

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Légendes des diapositives :

GBPOU les KNT. B. I. Kornilova Rechercher sur le thème: "L'utilisation des dérivées et des intégrales en physique, en mathématiques et en génie électrique." Étudiant gr. 2014-eop-33d Ivanov Sergey.

1. L'histoire de l'apparition du dérivé. À la fin du XVIIe siècle, le grand scientifique anglais Isaac Newton a prouvé que le Chemin et la vitesse sont interconnectés par la formule: V (t) \u003d S '(t) et une telle relation existe entre les caractéristiques quantitatives des plus diverses processus à l'étude: physique, (a \u003d V '= x '' , F = ma = m * x '' , quantité de mouvement P = mV = mx ' , cinétique E = mV 2 /2= mx ' 2 /2), chimie, biologie et ingénierie. Cette découverte de Newton a marqué un tournant dans l'histoire des sciences naturelles.

1. L'histoire de l'apparition du dérivé. L'honneur de découvrir les lois fondamentales analyse mathematique avec Newton appartient au mathématicien allemand Gottfried Wilhelm Leibniz. Leibniz est venu à ces lois en résolvant le problème de tracer une tangente à une courbe arbitraire, c'est-à-dire formulé la signification géométrique de la dérivée, que la valeur de la dérivée au point de contact est pente tangente ou tg l'angle d'inclinaison de la tangente avec la direction positive de l'axe O X. Le terme dérivé et les appellations modernes y ’ , f ’ ont été introduits par J. Lagrange en 1797.

2. L'histoire de l'apparition de l'intégrale. Le concept de calcul intégral et intégral est né de la nécessité de calculer l'aire (carré) de toutes les figures et les volumes (cubature) de corps arbitraires. La préhistoire du calcul intégral remonte à l'Antiquité. La première méthode connue pour calculer les intégrales est la méthode d'étude de l'aire ou du volume des figures curvilignes - la méthode d'épuisement d'Eudoxe (Eudoxe de Cnide (vers 408 avant JC - vers 355 avant JC) - ancien mathématicien grec, mécanicien et astronome), proposée vers 370 av. e. L'essence de cette méthode est la suivante: la figure, dont on a essayé de trouver l'aire ou le volume, a été divisée en un nombre infini de parties, dont l'aire ou le volume est déjà connu.

"La méthode d'épuisement" Supposons que nous ayons besoin de calculer le volume d'un citron qui a forme irrégulière, et donc appliquer n'importe formule connue volume n'est pas possible. A la pesée, il est également difficile de trouver le volume, car la densité d'un citron dans Différents composants c'est différent. Procédons comme suit. Couper le citron en fines tranches. Chaque tranche peut être approximativement considérée comme un cylindre, le rayon de la base pouvant être mesuré. Le volume d'un tel cylindre peut être facilement calculé à partir de formule finie. En additionnant les volumes des petits cylindres, on obtient la valeur approximative du volume du citron entier. L'approximation sera d'autant plus précise, plus on pourra couper de parties fines du citron.

2. L'histoire de l'apparition de l'intégrale. A la suite d'Eudoxe, la méthode de "l'épuisement" et ses variantes de calcul des volumes et des surfaces ont été utilisées par l'ancien scientifique Archimède. Développant avec succès les idées de ses prédécesseurs, il détermine la circonférence, l'aire du cercle, le volume et la surface de la balle. Il a montré que la détermination des volumes d'une sphère, d'un ellipsoïde, d'un hyperboloïde et d'un paraboloïde de révolution se réduit à la détermination du volume d'un cylindre.

La base de la théorie des équations différentielles était le calcul différentiel créé par Leibniz et Newton. Le terme "équation différentielle" lui-même a été proposé en 1676 par Leibniz. 3. L'histoire de l'apparition des équations différentielles. Initialement, les équations différentielles sont issues des problèmes de mécanique, dans lesquels il s'agissait de déterminer les coordonnées des corps, leurs vitesses et accélérations, considérées comme des fonctions du temps sous diverses influences. Certains des problèmes géométriques envisagés à cette époque conduisaient également à des équations différentielles.

3. L'histoire de l'apparition des équations différentielles. Parmi le grand nombre de travaux du XVIIe siècle sur les équations différentielles, les travaux d'Euler (1707-1783) et de Lagrange (1736-1813) se distinguent. Dans ces travaux, la théorie des petites oscillations a d'abord été développée et, par conséquent, la théorie systèmes linéaireséquations différentielles; en cours de route, les concepts de base de l'algèbre linéaire sont apparus ( valeurs propres et vecteurs dans le cas à n dimensions). Après Newton, Laplace et Lagrange, puis Gauss (1777-1855), ont également développé les méthodes de la théorie des perturbations.

4. Application de la dérivée et de l'intégrale en mathématiques : En mathématiques, la dérivée est largement utilisée pour résoudre de nombreux problèmes, équations, inégalités, ainsi que dans le processus d'étude d'une fonction. Exemple : Algorithme d'étude d'une fonction pour un extremum : 1)O.O.F. 2) y ′=f ′(x), f ′(x)=0 et résoudre l'équation. 3)O.O.F. décomposez-le en intervalles. 4) On détermine le signe de la dérivée sur chaque intervalle. Si f ′(x)>0 , alors la fonction est croissante. Si f′(x)

4. Application de la dérivée et de l'intégrale en mathématiques : L'intégrale (intégrale définie) est utilisée en mathématiques (géométrie) pour trouver l'aire d'un trapèze curviligne. Exemple : Algorithme pour trouver l'aire d'une figure plate à l'aide d'une intégrale définie : 1) On construit un graphe des fonctions indiquées. 2) Indiquer le chiffre délimité par ces lignes. 3) Trouvez les limites d'intégration, écrivez l'intégrale définie et calculez-la.

5. Application de la dérivée et de l'intégrale en physique. En physique, la dérivée est principalement utilisée pour résoudre des problèmes, par exemple : trouver la vitesse ou l'accélération de n'importe quel corps. Exemple : 1) La loi de déplacement d'un point le long d'une droite est donnée par la formule s(t)= 10t^2 , où t est le temps (en secondes), s(t) est la déviation du point à temps t (en mètres) à partir de la position initiale. Trouver la vitesse et l'accélération à l'instant t si : t=1,5 s. 2) Le point matériel se déplace rectilignement selon la loi x(t)= 2+20t+5t2. Trouver la vitesse et l'accélération au temps t=2s (x est la coordonnée du point en mètres, t est le temps en secondes).

Grandeur physique Valeur moyenne Valeur instantanée Vitesse Accélération Vitesse angulaire Intensité du courant Puissance

5. Application de la dérivée et de l'intégrale en physique. L'intégrale est également utilisée dans des problèmes tels que la recherche de vitesse ou de distance. Le corps se déplace à la vitesse v(t) = t + 2 (m/s). Trouvez le chemin que le corps parcourra en 2 secondes après le début du mouvement. Exemple:

6. Application de la dérivée et de l'intégrale en génie électrique. Le dérivé a également trouvé une application en génie électrique. En chaîne courant électrique charge électriqueévolue dans le temps selon la loi q=q (t). Le courant I est la dérivée de la charge q par rapport au temps. I=q ′(t) Exemple : 1) La charge traversant le conducteur change selon la loi q=sin(2t-10) Trouver l'intensité du courant au temps t=5 sec. L'intégrale en génie électrique peut être utilisée pour résoudre des problèmes inverses, c'est-à-dire trouver la charge électrique en connaissant la force du courant, etc. 2) La charge électrique traversant le conducteur, à partir de l'instant t \u003d 0, est donnée par la formule q (t) \u003d 3t2 + t + 2. Trouvez l'intensité du courant à l'instant t \u003d 3 s. L'intégrale en génie électrique peut être utilisée pour résoudre des problèmes inverses, c'est-à-dire trouver la charge électrique en connaissant la force du courant, etc.

Le concept d'intégrale est largement applicable dans la vie. Les intégrales sont utilisées dans divers domaines de la science et de la technologie. Les principales tâches calculées à l'aide d'intégrales sont des tâches pour :

1. Trouver le volume du corps

2. Trouver le centre de masse du corps.

Considérons chacun d'eux plus en détail. Ici et ci-dessous, pour désigner une intégrale définie d'une fonction f(x), avec des limites d'intégration de a à b, nous utiliserons la notation suivante ∫ une b f(x).

Trouver le volume d'un corps

Considérez la figure suivante. Supposons qu'il existe un corps dont le volume est égal à V. Il existe également une droite telle que si l'on prend un certain plan perpendiculaire à cette droite, l'aire de section S de ce corps par ce plan sera connue.

Chacun de ces plans sera perpendiculaire à l'axe des x et le coupera donc en un point x. C'est-à-dire que chaque point x du segment se verra attribuer le numéro S (x) - la section transversale du corps, le plan passant par ce point.

Il s'avère qu'une fonction S(x) sera donnée sur le segment. Si cette fonction est continue sur ce segment, alors la formule suivante sera valide :

V = ∫ une b S(x)dx.

La preuve de cette affirmation dépasse le cadre du programme scolaire.

Calcul du centre de masse d'un corps

Le centre de masse est le plus souvent utilisé en physique. Par exemple, il y a un corps qui se déplace à n'importe quelle vitesse. Mais il est gênant de considérer un grand corps, et donc en physique ce corps est considéré comme le mouvement d'un point, en supposant que ce point a la même masse que le corps entier.

Et la tâche de calculer le centre de masse du corps est la principale en la matière. Parce que le corps est grand, et quel point faut-il prendre comme centre de masse ? Peut-être celui au milieu du corps ? Ou peut-être le point le plus proche du bord d'attaque ? C'est là qu'intervient l'intégration.

Les deux règles suivantes sont utilisées pour trouver le centre de masse :

1. Coordonnée x' du centre de masse d'un système de points matériels A1, A2, A3, … An de masses m1, m2, m3, … mn, respectivement, situées sur une droite aux points de coordonnées x1, x2, x3, … xn se trouve par la formule suivante :

x’ = (m1*x1 + ma*x2 + … + mn*xn)/(m1 + m2 + m3 +… + mn)

2. Lors du calcul des coordonnées du centre de masse, toute partie de la figure considérée peut être remplacée par point matériel, en le plaçant au centre de masse de cette partie distincte de la figure, et prendre la masse égale à la masse de cette partie de la figure.

Par exemple, si une masse de densité p(x) est distribuée le long de la tige - un segment de l'axe Ox, où p(x) est une fonction continue, alors la coordonnée du centre de masse x' sera égale à.

Imaginez que nous ayons une sorte de fonction de dépendance de quelque chose sur quelque chose.

Par exemple, voici comment vous pouvez représenter grossièrement la vitesse de mon travail en fonction de l'heure de la journée sur le graphique :

Je mesure la vitesse en lignes de code par minute, en vrai vie Je suis un programmeur informatique.

La quantité de travail est le taux de travail multiplié par le temps. Autrement dit, si j'écris 3 lignes par minute, j'en reçois 180 par heure.Si nous avons un tel horaire, vous pouvez savoir combien de travail j'ai fait en une journée: c'est la zone sous l'horaire. Mais comment le calcule-t-on ?

Divisons le graphique en colonnes de largeur égale, chaque heure. Et nous rendrons la hauteur de ces colonnes égale à la vitesse de travail au milieu de cette heure.

La surface de chaque colonne individuellement est facile à calculer, vous devez multiplier sa largeur par sa hauteur. Il s'avère que la superficie de chaque colonne correspond approximativement à la quantité de travail que j'ai effectuée pour chaque heure. Et si vous additionnez toutes les colonnes, vous obtenez une approximation de mon travail pour la journée.

Le problème est que le résultat sera approximatif, mais nous avons besoin nombre exact. Divisons le graphique en colonnes pendant une demi-heure :

La photo montre que c'est déjà beaucoup plus proche de ce que nous recherchons.

Ainsi, vous pouvez réduire les segments sur le graphique à l'infini, et à chaque fois nous nous rapprocherons de plus en plus de la zone sous le graphique. Et lorsque la largeur des colonnes tend vers zéro, alors la somme de leurs aires tendra vers l'aire sous le graphique. C'est ce qu'on appelle une intégrale et se note comme suit :

Dans cette formule, f(x) signifie une fonction qui dépend de la valeur de x, et les lettres a et b sont le segment sur lequel on veut trouver l'intégrale.

Pourquoi est-ce nécessaire ?

Les scientifiques essaient d'exprimer tous les phénomènes physiques sous la forme d'une formule mathématique. Une fois que nous avons une formule, nous pouvons l'utiliser pour calculer n'importe quoi. Et l'intégrale est l'un des principaux outils pour travailler avec les fonctions.

Par exemple, si nous avons la formule d'un cercle, nous pouvons utiliser l'intégrale pour calculer son aire. Si nous avons la formule d'une sphère, nous pouvons calculer son volume. À l'aide de l'intégration, on trouve l'énergie, le travail, la pression, la masse, la charge électrique et de nombreuses autres quantités.

Non, pourquoi en ai-je besoin ?

Oui, rien - juste comme ça, par curiosité. En fait, les intégrales sont incluses même dans programme scolaire, mais peu de gens se souviennent de ce que c'est.

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