Le vecteur directeur de la droite l tout le monde s'appelle vecteur non nul (m, n) parallèle à cette ligne.

Laissez le point M 1 (X 1 , y 1) et le vecteur directeur ( m, n), puis l'équation de la droite passant par le point M 1 dans la direction du vecteur a la forme : . Cette équation est appelée équation canonique de la droite.

Exemple. Trouver l'équation d'une droite de vecteur directeur (1, -1) et passant par le point A(1, 2).

On va chercher l'équation de la droite recherchée sous la forme : Hache+Par+C= 0. Écrivons l'équation canonique de la droite , transformons-la. Avoir x + y - 3 = 0

Équation d'une droite passant par deux points

Soit deux points donnés sur le plan M 1 (X 1 , y 1) et M 2 (X 2, y 2), alors l'équation d'une droite passant par ces points a la forme : . Si l'un des dénominateurs est égal à zéro, le numérateur correspondant doit être égal à zéro.

Exemple. Trouver l'équation d'une droite passant par les points A(1, 2) et B(3, 4).

En appliquant la formule ci-dessus, on obtient :

Équation d'une droite partant d'un point et d'une pente

Si l'équation générale d'une droite Ah + Wu + C= 0 amènent à la forme : et notent , alors l'équation résultante est appelée l'équation d'une droite de pente k.

Équation d'une droite en segments

Si dans l'équation générale la ligne Ah + Wu + C= 0 coefficient Avec¹ 0, puis en divisant par C, on obtient : ou où

sens géométrique coefficients en ce que le coefficient un est la coordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe Oh, un b- la coordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe UO.

Exemple. L'équation générale d'une droite est donnée X – à+ 1 = 0. Trouver l'équation de cette droite en segments. A = -1, B = 1, C = 1, alors un = -1, b= 1. L'équation d'une droite en segments prendra la forme .

Exemple. Les sommets du triangle A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) sont donnés. Trouvez l'équation de la hauteur tirée du sommet C.

On trouve l'équation du côté AB : ;

4X = 6y– 6; 2X – 3y + 3 = 0;

L'équation de hauteur souhaitée a la forme : Hache+Par+C= 0 ou y = kx + b.

k= . Puis y= . Car la hauteur passe par le point C, alors ses coordonnées vérifient cette équation : où b= 17. Somme : .

Réponse : 3 X + 2y – 34 = 0.

Pratique #7

Nom du cours: Courbes du second ordre.

But de la leçon : Apprenez à faire des courbes du 2ème ordre, construisez-les.

Préparation du cours : Répéter matériel théorique sur le thème "Courbes du 2ème ordre"

Littérature:

1. Dadayan A.A. "Mathématiques", 2004

Tâche pour la leçon :

L'ordre de la leçon :

1. Obtenir l'autorisation de travailler
2. Tâches complètes
3. Répondre à des questions de sécurité.

1. Nom, objectif de la leçon, tâche ;
2. Tâche terminée ;
3. Réponses aux questions de contrôle.

question test pour décalage :

1. Définir des courbes du second ordre (cercle, ellipse, hyperbole, parabole), noter leurs équations canoniques.
2. Comment appelle-t-on l'excentricité d'une ellipse ou d'une hyperbole ? Comment le trouver ?
3. Écrire l'équation d'une hyperbole équilatérale

ANNEXE

circonférence est l'ensemble de tous les points du plan équidistants d'un point, appelé centre.

Soit le centre du cercle un point O(un; b), et la distance à tout point M(x;y) cercle est égal à R. Puis ( x-a) 2 + (y-b) 2 = R 2 – équation canonique d'un cercle de centre O(un; b) et rayon R

Exemple. Trouvez les coordonnées du centre et du rayon du cercle si son équation est donnée par : 2 X 2 + 2y 2 - 8x + 5 y – 4 = 0.

Pour trouver les coordonnées du centre et du rayon d'un cercle équation donnée doit être ramené à la forme canonique. Pour cela, sélectionnez les cases pleines :

X 2 + y 2 – 4X + 2,5y – 2 = 0

X 2 – 4X + 4 – 4 + y 2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(X– 2) 2 + (y + 5/4) 2 – 25/16 – 6 = 0

(X – 2) 2 + (y + 5/4) 2 = 121/16

De là, nous trouvons les coordonnées du centre O(2 ; -5/4 ); rayon R = 11/4.

Ellipse un ensemble de points dans un plan est appelé, la somme des distances de chacun d'eux à deux points donnés (appelés foyers) est une valeur constante supérieure à la distance entre les foyers.

Les focus sont indiqués par des lettres F 1 , F avec, la somme des distances de tout point de l'ellipse aux foyers est 2 un (2un > 2c), un- un grand demi-axe ; b- petit demi-axe.

L'équation canonique de l'ellipse est : , où un, b et c liés entre eux par des égalités : une 2 - b 2 \u003d c 2 (ou b 2 - une 2 \u003d c 2).

La forme d'une ellipse est déterminée par une caractéristique qui est le rapport de la distance focale à la longueur du grand axe et s'appelle l'excentricité. ou alors .

Car par définition 2 un> 2c, alors l'excentricité est toujours exprimée comme une fraction propre, c'est-à-dire .

Exemple.Écrivez une équation pour une ellipse si ses foyers sont F 1 (0; 0), F 2 (1; 1), le grand axe est 2.

L'équation de l'ellipse a la forme : .

Distance entre les foyers : 2 c= , Donc, un 2 – b 2 = c 2 = . Par condition 2 un= 2, donc un = 1, b= L'équation désirée de l'ellipse prendra la forme : .

Hyperbole appelé l'ensemble des points du plan, la différence des distances de chacun desquels à deux points donnés, appelés foyers, est une valeur constante, inférieure à la distance entre les foyers.

L'équation canonique d'une hyperbole a la forme : ou , où un, b et c liés par l'égalité une 2 + b 2 = c 2 . L'hyperbole est symétrique par rapport au milieu du segment reliant les foyers et par rapport aux axes de coordonnées. Les focus sont indiqués par des lettres F 1 , F 2 , distance entre les foyers - 2 avec, la différence des distances entre n'importe quel point de l'hyperbole et les foyers est de 2 un (2un < 2c). Axe 2 un appelé axe réel de l'hyperbole, axe 2 b est l'axe imaginaire de l'hyperbole. Une hyperbole a deux asymptotes dont les équations sont

L'excentricité d'une hyperbole est le rapport de la distance entre les foyers à la longueur de l'axe réel : ou. Car par définition 2 un < 2c, alors l'excentricité de l'hyperbole est toujours exprimée comme une fraction impropre, c'est-à-dire .

Si la longueur de l'axe réel est égale à la longueur de l'axe imaginaire, c'est-à-dire un = b, ε = , alors l'hyperbole est appelée équilatéral.

Exemple.Écrire l'équation canonique d'une hyperbole si son excentricité est 2 et les foyers coïncident avec les foyers de l'ellipse d'équation

Nous trouvons distance focale c 2 = 25 – 9 = 16.

Pour l'hyperbole : c 2 = un 2 + b 2 = 16, ε = c/a = 2; c = 2un; c 2 = 4un 2 ; un 2 = 4; b 2 = 16 – 4 = 12.

Ensuite - l'équation souhaitée de l'hyperbole.

parabole est l'ensemble des points dans un plan équidistant de point donné, appelée foyer, et une droite donnée, appelée directrice.

Le foyer d'une parabole est désigné par la lettre F, réalisateur - ré, la distance du foyer à la directrice est R.

L'équation canonique d'une parabole dont le foyer est situé sur l'axe des abscisses est :

y 2 = 2pixels ou alors y 2 = -2pixels

X = -p/2, X = p/2

L'équation canonique d'une parabole dont le foyer est sur l'axe y est :

X 2 = 2py ou alors X 2 = -2py

Équations directrices, respectivement à = -p/2, à = p/2

Exemple. Sur une parabole à 2 = 8X trouver un point dont la distance à la directrice est de 4.

De l'équation de la parabole, nous obtenons que R = 4. r=x + p/2 = 4 ; Par conséquent:

X = 2; y 2 = 16; y= ±4. Points de recherche : M 1 (2; 4), M 2 (2; -4).

Pratique #8

Nom du cours: Actions sur les nombres complexes sous forme algébrique. Interprétation géométrique des nombres complexes.

But de la leçon : Apprenez à opérer sur les nombres complexes.

Préparation du cours : Répétez le matériel théorique sur le sujet "Nombres complexes".

Littérature:

1. Grigoriev V.P., Dubinsky Yu.A. "Éléments mathématiques supérieures", 2008

Tâche pour la leçon :

1. Calculer:

1) je 145 + je 147 + je 264 + je 345 + je 117 ;

2) (je 64 + je 17 + je 13 + je 82)( je 72 – je 34);

Laissez la droite passer par les points M 1 (x 1; y 1) et M 2 (x 2; y 2). L'équation d'une droite passant par le point M 1 a la forme y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10.6)

où k - coefficient encore inconnu.

Puisque la droite passe par le point M 2 (x 2 y 2), alors les coordonnées de ce point doivent satisfaire l'équation (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).

De là, nous trouvons Remplacer la valeur trouvée k dans l'équation (10.6), on obtient l'équation d'une droite passant par les points M 1 et M 2 :

On suppose que dans cette équation x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Si x 1 \u003d x 2, alors la droite passant par les points M 1 (x 1, y I) et M 2 (x 2, y 2) est parallèle à l'axe y. Son équation est x = x 1 .

Si y 2 \u003d y I, alors l'équation de la droite peut s'écrire y \u003d y 1, la droite M 1 M 2 est parallèle à l'axe des x.

Équation d'une droite en segments

Laissez la droite couper l'axe Ox au point M 1 (a; 0) et l'axe Oy - au point M 2 (0; b). L'équation prendra la forme :
ceux.
. Cette équation s'appelle l'équation d'une droite en segments, car les nombres a et b indiquent quels segments la droite coupe sur les axes de coordonnées.

Équation d'une droite passant par un point donné perpendiculaire à un vecteur donné

Trouvons l'équation d'une droite passant par un point donné Mo (x O; y o) perpendiculaire à un vecteur donné non nul n = (A; B).

Prenez un point arbitraire M(x; y) sur la droite et considérez le vecteur M 0 M (x - x 0; y - y o) (voir Fig. 1). Puisque les vecteurs n et M o M sont perpendiculaires, leur produit scalaire est égal à zéro : c'est-à-dire

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

L'équation (10.8) est appelée équation d'une droite passant par un point donné perpendiculaire à un vecteur donné .

Le vecteur n = (A; B) perpendiculaire à la droite est appelé normal vecteur normal de cette droite .

L'équation (10.8) peut être réécrite comme Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

où A et B sont les coordonnées du vecteur normal, C \u003d -Ax o - Vu o - membre libre. Équation (10.9) est l'équation générale d'une droite(voir Fig.2).

Image 1 Image 2

Équations canoniques de la droite

,

Où
sont les coordonnées du point par lequel passe la droite, et
- vecteur directeur.

Courbes du cercle du second ordre

Un cercle est l'ensemble de tous les points d'un plan qui sont équidistants d'un point donné, appelé centre.

Équation canonique d'un cercle de rayon R centré sur un point
:

En particulier, si le centre du pieu coïncide avec l'origine, alors l'équation ressemblera à :

Ellipse

Une ellipse est un ensemble de points dans un plan, la somme des distances de chacun d'eux à deux points donnés et , appelés foyers, est une valeur constante
, supérieure à la distance entre les foyers
.

L'équation canonique d'une ellipse dont les foyers sont sur l'axe Ox et dont l'origine est au milieu entre les foyers a la forme
g de un la longueur du grand demi-axe ; b est la longueur du petit demi-axe (Fig. 2).

L'équation d'une droite passant par t.u A (ha; wah) et ayant une pente k, s'écrit sous la forme

y - ya \u003d k (x - xa).(5)

Équation d'une droite passant par deux points t. A (x 1; y 1) etc. B (x 2; y 2), a la forme

Si les pointes MAIS et À définir une ligne droite parallèle à l'axe Ox (y 1 \u003d y 2) ou alors axe des ordonnées (x 1 = x 2), alors l'équation d'une telle droite s'écrit respectivement sous la forme :

y = y 1 ou alors x = x 1(7)

Équation normale d'une droite

Soit une droite C passant par un point donné Mo(Xo ; V0) et perpendiculaire au vecteur (A ; B). Tout vecteur perpendiculaire à une droite donnée est appelé son vecteur normal. Choisissons un point arbitraire M sur la droite (x; y). Ensuite, ce qui signifie qu'ils produit scalaire. Cette égalité peut s'écrire en coordonnées

A (x-x o) + B (y-y o) \u003d 0 (8)

L'équation (8) est appelée équation normale d'une droite .

Équations paramétriques et canoniques d'une droite

Laisse la ligne je donné par point de départ M 0 (x 0; y 0) et le vecteur directeur ( un 1 ; un 2),. Laissez t. M(x; y)- n'importe quel point sur une ligne je Alors le vecteur est colinéaire au vecteur . Par conséquent, = . En écrivant cette équation en coordonnées, on obtient l'équation paramétrique de la droite

Excluons le paramètre t de l'équation (9). Ceci est possible car le vecteur , et donc au moins une de ses coordonnées est non nul.

Soit et , alors , et, par conséquent,

L'équation (10) est appelée équation canonique de la droite avec vecteur de guidage

\u003d (un 1; un 2). Si un un 1 =0 et , alors les équations (9) prennent la forme

Ces équations définissent une droite parallèle à l'axe, UO et passant par le point

M 0 (x 0; y 0).

x=x 0(11)

Si , , alors les équations (9) prennent la forme

Ces équations définissent une droite parallèle à l'axe O X et passant par le point

M 0 (x 0; y 0). L'équation canonique d'une telle droite a la forme

y=y 0(12)

Angle entre les lignes. La condition de parallélisme et de perpendicularité de deux

direct

Soit deux droites données par des équations générales :

et

Puis l'angle φ entre eux est déterminé par la formule :

(13)

Condition parallèle 2 lignes droites : (14)

Condition perpendiculaire 2 lignes droites : (15)

Condition parallèle dans ce cas a la forme : (17)

Condition perpendiculaire droite : (18)

Si deux droites sont données par des équations canoniques :

et

alors l'angle φ entre ces lignes est déterminé par la formule :

(19)

Condition parallèle droit : (20)

Condition perpendiculaire direct: (21)

Distance d'un point à une ligne

Distance ré de ce point M (x 1 ; y 1) tout droit Ax+Par+C=0 calculé par la formule

(22)

Exemple de mise en œuvre Travaux pratiques

Exemple 1 Construire une ligne 3 X- 2à+6=0.

Solution : Pour construire une droite, il suffit de connaître deux de ses points, par exemple, les points de son intersection avec les axes de coordonnées. Le point A de l'intersection de la droite avec l'axe Ox peut être obtenu si on prend y \u003d 0 dans l'équation de la droite, on a alors 3 X+6=0, c'est-à-dire X=-2. Ainsi, MAIS(–2;0).

Puis À intersection d'une droite avec un axe UO a une abscisse X=0 ; donc l'ordonnée du point À se trouve à partir de l'équation -2 y+ 6=0, c'est-à-dire y=3. Ainsi, À(0;3).

Exemple 2Écrire l'équation d'une droite qui coupe sur le demi-plan négatif UO un segment égal à 2 unités, et forme avec l'axe Oh angle φ =30˚.

Solution : la ligne coupe l'axe UOà ce point À(0;–2) et a une pente k=tg φ= = . En supposant dans l'équation (2) k= et b= –2, on obtient l'équation recherchée

Ou alors .

Exemple 3 MAIS(–1 ; 2) et

À(0;–3). (à témoignage: la pente de la droite est trouvée par la formule (3))

Décision: .De là, nous avons . Remplacer les coordonnées dans cette équation la télé, on a: , c'est à dire. ordonnée initiale b= -3 . On obtient alors l'équation.

Exemple 4Équation générale d'une droite 2 X – 3à– 6 = 0 conduisent à l'équation en segments.

Solution : on écrit cette équation sous la forme 2 X– 3à=6 et diviser ses deux parties par le terme libre : . C'est l'équation de cette droite en segments.

Exemple 5À travers le point MAIS(1;2) tracer une ligne droite coupant des segments égaux sur les demi-axes positifs de coordonnées.

Solution : Soit l'équation de la droite recherchée sous la forme Par condition un=b. Par conséquent, l'équation devient X+ à= un. Puisque le point A (1; 2) appartient à cette droite, alors ses coordonnées satisfont l'équation X + à= un; ceux. 1 + 2 = un, où un= 3. Ainsi, l'équation recherchée s'écrit comme suit : x + y = 3, ou x + y - 3 = 0.

Exemple 6 Pour tout droit écrire l'équation en segments. Calculez l'aire du triangle formé par cette ligne et les axes de coordonnées.

Solution : Transformons cette équation comme suit : , ou alors .

En conséquence, nous obtenons l'équation , qui est l'équation de la droite donnée en segments. Le triangle formé par la ligne donnée et les axes de coordonnées est triangle rectangle avec des jambes égales à 4 et 3, donc son aire est égale à S= (unités carrées)

Exemple 7 Ecrire l'équation d'une droite passant par un point (–2 ; 5) et une génératrice d'axe Oh angle 45º.

Solution : Pente de la droite souhaitée k= tg 45º = 1. Par conséquent, en utilisant l'équation (5), nous obtenons y- 5 = X- (-2), ou x - y + 7 = 0.

Exemple 8Écrire l'équation d'une droite passant par les points MAIS(–3 ; 5) et À( 7; –2).

Solution : Utilisons l'équation (6) :

, ou , d'où 7 X + 10à – 29 = 0.

Exemple 9 Vérifiez si les points se trouvent MAIS(5; 2), À(3 ; 1) et Avec(–1; –1) sur une ligne droite.

Solution : Composez l'équation d'une droite passant par les points MAIS et Avec:

, ou alors

En remplaçant dans cette équation les coordonnées du point À (xB= 3 et y B = 1), on obtient (3–5) / (–6)= = (1–2) / (–3), soit on obtient la bonne égalité. Ainsi, les coordonnées des points À satisfaire l'équation de la droite ( CA), c'est à dire. .

Exemple 10 : Ecrire l'équation d'une droite passant par t A (2; -3).

Perpendiculaire =(-1;5)

Solution : En utilisant la formule (8), on trouve l'équation de cette droite -1(x-2)+5(y+3)=0,

ou enfin, x - 5 y - 17 \u003d 0.

Exemple 11: Points donnés M 1(2;-1) et M 2(4 ; 5). Écrire l'équation d'une droite passant par un point M 1 perpendiculaire au vecteur Solution : Le vecteur normal de la ligne souhaitée a pour coordonnées (2 ; 6), donc, selon la formule (8), nous obtenons l'équation 2(x-2)+6(y+1)=0 ou alors x+3y +1=0.

Exemple 12: et .

Décision: ; .

Exemple 13 :

Solution : a) ;

Exemple 14 : Calculer l'angle entre les lignes

Décision:

Exemple 15 : Se rendre compte arrangement mutuel direct:

Décision:

Exemple 16 : trouver l'angle entre les lignes et .

Décision: .

Exemple 17 : connaître la position relative des lignes:

solution : une ) - les droites sont parallèles ;

b) signifie que les droites sont perpendiculaires.

Exemple 18 : Calculer la distance du point M(6; 8) à la droite

Solution : d'après la formule (22) on obtient : .

Tâches pour séance pratique:

Option 1

1. Amenez l'équation générale de la droite 2x+3y-6=0 à l'équation en segments et calculez l'aire du triangle coupée par cette droite à partir de l'angle de coordonnées correspondant;

2. Dans ∆ABC, les sommets ont pour coordonnées le point A (-3;4), le point B (-4;-3), le point C (8;1). Composez les équations du côté (AB), de la hauteur (VC) et de la médiane (CM);

3. Calculer la pente de la droite passant par le point M 0 (-2 ; 4) et parallèle au vecteur (6 ; -1) ;

4. Calculez l'angle entre les lignes

4. Calculez l'angle entre les lignes :

a) 2x - 3y + 7 = 0 et 3x - y + 5 = 0 ; b) et y = 2x – 4 ;

5. Déterminer la position relative de 2 droites et ;

, si les coordonnées des extrémités du segment t.A (18 ; 8) et t.B (-2 ; -6) sont connues.

Variante 3

1. Amenez l'équation générale de la droite 4x-5y+20=0 à l'équation en segments et calculez l'aire du triangle coupée par cette droite à partir de l'angle de coordonnées correspondant;

2. Dans ∆ABC, les sommets ont pour coordonnées le point A (3;-2), le point B (7;3), les points

C(0;8). Composez les équations du côté (AB), de la hauteur (VC) et de la médiane (CM);

3. Calculer la pente de la droite passant par le point M 0 (-1;-2) et

parallèle au vecteur (3;-5);

4. Calculez l'angle entre les lignes

a) 3x + y - 7 = 0 et x - y + 4 = 0 ; bande;

5. Déterminer la position relative de 2 droites et y = 5x + 3 ;

6. Calculez la distance entre le milieu du segment AB et la ligne droite , si les coordonnées des extrémités du segment t.A (4 ; -3) et t.B (-6 ; 5) sont connues.

Variante 4

1. Amener l'équation générale de la droite 12x-5y+60=0 à l'équation en segments et calculer la longueur du segment coupé de cette droite par l'angle de coordonnées correspondant ;

2. Dans ∆ABC, les sommets ont pour coordonnées le point A (0;-2), le point B (3;6), le point C (1;-4). Composez les équations du côté (AB), de la hauteur (VC) et de la médiane (CM);

3. Calculer la pente de la droite passant par le point M 0 (4;4) et parallèle au vecteur (-2;7) ;

4. Calculez l'angle entre les lignes

a) x +4 y + 8 = 0 et 7x - 3y + 5 = 0 ; bande;

5. Déterminer la position relative de 2 droites et ;

6. Calculez la distance entre le milieu du segment AB et la ligne droite , si les coordonnées des extrémités du segment t.A (-4 ; 8) et t.B (0 ; 4) sont connues.

question test

1. Nommer les équations d'une droite dans un plan dont on connaît le point par lequel elle passe et son vecteur directeur ;

2. Quelle est l'équation générale normale d'une droite sur un plan ?

3. Nommez l'équation d'une droite passant par deux points, l'équation d'une droite en segments, l'équation d'une droite avec une pente;

4. Lister les formules pour calculer l'angle entre les lignes, équations données avec un facteur d'angle. Formuler les conditions de parallélisme et de perpendicularité de deux droites.

5. Comment trouver la distance d'un point à une droite ?

Donnons deux points M(X 1 ,À 1) et N(X 2,y 2). Trouvons l'équation de la droite passant par ces points.

Puisque cette droite passe par le point M, alors selon la formule (1.13) son équation a la forme

À – Oui 1 = K(X-x 1),

Où K est la pente inconnue.

La valeur de ce coefficient est déterminée à partir de la condition que la droite désirée passe par le point N, ce qui signifie que ses coordonnées satisfont l'équation (1.13)

Oui 2 – Oui 1 = K(X 2 – X 1),

De là, vous pouvez trouver la pente de cette ligne :

,

Ou après conversion

(1.14)

La formule (1.14) définit Équation d'une droite passant par deux points M(X 1, Oui 1) et N(X 2, Oui 2).

Dans le cas particulier où les points M(UN, 0), N(0, B), MAIS ¹ 0, B¹ 0, situé sur les axes de coordonnées, l'équation (1.14) prend une forme plus simple

Équation (1.15) appelé Équation d'une droite en segments, ici MAIS et B désignent des segments coupés par une droite sur les axes (figure 1.6).

Figure 1.6

Exemple 1.10. Écrire l'équation d'une droite passant par les points M(1, 2) et B(3, –1).

. D'après (1.14), l'équation de la droite recherchée a la forme

2(Oui – 2) = -3(X – 1).

En transférant tous les termes sur le côté gauche, nous obtenons finalement l'équation souhaitée

3X + 2Oui – 7 = 0.

Exemple 1.11. Écrire une équation pour une droite passant par un point M(2, 1) et le point d'intersection des droites X+ Y- 1 = 0, X-y+ 2 = 0.

. On trouve les coordonnées du point d'intersection des lignes en résolvant ces équations ensemble

Si on additionne ces équations terme à terme, on obtient 2 X+ 1 = 0, d'où . En substituant la valeur trouvée dans n'importe quelle équation, nous trouvons la valeur de l'ordonnée À:

Écrivons maintenant l'équation d'une droite passant par les points (2, 1) et :

ou alors .

D'où ou -5( Oui – 1) = X – 2.

Enfin, on obtient l'équation de la droite désirée sous la forme X + 5Oui – 7 = 0.

Exemple 1.12. Trouver l'équation d'une droite passant par des points M(2.1) et N(2,3).

En utilisant la formule (1.14), on obtient l'équation

Cela n'a pas de sens car le deuxième dénominateur est zéro. On peut voir à partir de la condition du problème que les abscisses des deux points ont la même valeur. Par conséquent, la ligne requise est parallèle à l'axe OY et son équation est : X = 2.

Commenter . Si, lors de l'écriture de l'équation d'une droite selon la formule (1.14), l'un des dénominateurs s'avère être zéro, alors l'équation désirée peut être obtenue en assimilant le numérateur correspondant à zéro.

Considérons d'autres façons de tracer une ligne droite sur un plan.

1. Soit un vecteur non nul perpendiculaire à une droite donnée L, et le point M 0(X 0, Oui 0) se trouve sur cette droite (Figure 1.7).

Illustration 1.7

Dénoter M(X, Oui) un point arbitraire sur la droite L. Vecteurs et Orthogonal. En utilisant les conditions d'orthogonalité de ces vecteurs, on obtient ou MAIS(X – X 0) + B(Oui – Oui 0) = 0.

On a obtenu l'équation d'une droite passant par un point M 0 est perpendiculaire au vecteur . Ce vecteur est appelé Vecteur normal à une ligne droite L. L'équation résultante peut être réécrite comme

Oh + Wu + Avec= 0, où Avec = –(MAISX 0 + Par 0), (1.16),

Où MAIS et À sont les coordonnées du vecteur normal.

On obtient l'équation générale d'une droite sous une forme paramétrique.

2. Une droite sur un plan peut être définie comme suit : soit un vecteur non nul parallèle à une droite donnée L et point M 0(X 0, Oui 0) se trouve sur cette ligne. Encore une fois, prenez un point arbitraire M(X, y) sur une droite (Figure 1.8).

Illustration 1.8

Vecteurs et colinéaire.

Notons la condition de colinéarité de ces vecteurs : , où J est un nombre arbitraire, appelé paramètre. Écrivons cette égalité en coordonnées :

Ces équations sont appelées Équations paramétriques Droit. Excluons de ces équations le paramètre J:

Ces équations peuvent être écrites sous la forme

. (1.18)

L'équation résultante est appelée L'équation canonique d'une droite. Appel de vecteur Vecteur de direction droite .

Commenter . Il est facile de voir que si est le vecteur normal à la droite L, alors son vecteur directeur peut être le vecteur , puisque , c'est-à-dire .

Exemple 1.13. Écrire l'équation d'une droite passant par un point M 0(1, 1) parallèle à la ligne 3 X + 2À– 8 = 0.

Décision . Le vecteur est le vecteur normal aux lignes données et souhaitées. Utilisons l'équation d'une droite passant par un point M 0 avec un vecteur normal donné 3( X –1) + 2(À– 1) = 0 ou 3 X + 2 ans- 5 \u003d 0. Nous avons obtenu l'équation de la droite souhaitée.

Équation d'une droite passant par un point donné dans une direction donnée. Équation d'une droite passant par deux points donnés. Angle entre deux lignes. Condition de parallélisme et de perpendicularité de deux droites. Détermination du point d'intersection de deux lignes

1. Équation d'une droite passant par un point donné UN(X 1 , y 1) dans une direction donnée, déterminée par la pente k,

y - y 1 = k(X - X 1). (1)

Cette équation définit un faisceau de droites passant par un point UN(X 1 , y 1), appelé centre du faisceau.

2. Équation d'une droite passant par deux points : UN(X 1 , y 1) et B(X 2 , y 2) s'écrit ainsi :

La pente d'une droite passant par deux points donnés est déterminée par la formule

3. Angle entre droites UN et B est l'angle de rotation de la première droite UN autour du point d'intersection de ces lignes dans le sens antihoraire jusqu'à ce qu'il coïncide avec la deuxième ligne B. Si deux droites sont données par des équations de pente

y = k 1 X + B 1 ,