Системата от линейни уравнения се нарича съвместна, ако mti. Как да намерим общо и частно решение на система от линейни уравнения

Продължаваме да се занимаваме със системи от линейни уравнения. Досега разглеждахме системи, които имат уникално решение. Такива системи могат да бъдат решени по всякакъв начин: метод на заместване("училище") по формулите на Крамер, матричен метод, Метод на Гаус. Въпреки това, още два случая са широко разпространени в практиката, когато:

1) системата е непоследователна (няма решения);

2) системата има безкрайно много решения.

За тези системи се използва най-универсалният от всички методи за решение - Метод на Гаус. Всъщност „училищният“ начин също ще доведе до отговора, но в висша математикаОбичайно е да се използва методът на Гаус за последователно елиминиране на неизвестните. Тези, които не са запознати с алгоритъма на метода на Гаус, моля, първо проучете урока Метод на Гаус

Самите трансформации на елементарна матрица са абсолютно същите, разликата ще бъде в края на решението. Първо, разгледайте няколко примера, при които системата няма решения (непоследователни).

Пример 1

Какво веднага ви хваща окото в тази система? Броят на уравненията е по-малък от броя на променливите. Има една теорема, която гласи: „Ако броят на уравненията в системата по-малко количествопроменливи, тогава системата е или непоследователна, или има безкрайно много решения.И остава само да разберем.

Началото на решението е съвсем обикновено - пишем разширената матрица на системата и с помощта на елементарни трансформации я привеждаме в стъпаловидна форма:

(един). В горната лява стъпка трябва да получим (+1) или (-1). В първата колона няма такива числа, така че пренареждането на редовете няма да работи. Звеното ще трябва да бъде организирано самостоятелно и това може да стане по няколко начина. Така и направихме. Към първия ред добавяме третия ред, умножен по (-1).

(2). Сега получаваме две нули в първата колона. Към втория ред добавете първия ред, умножен по 3. Към третия ред добавете първия, умножен по 5.

(3). След като трансформацията е направена, винаги е препоръчително да видите дали е възможно да се опростят получените низове? Мога. Разделяме втория ред на 2, като в същото време получаваме желания (-1) на втората стъпка. Разделете третия ред на (-3).

(4). Добавете втория ред към третия ред. Вероятно всички обърнаха внимание на лошата линия, която се оказа в резултат на елементарни трансформации:

. Ясно е, че това не може да бъде така.

Наистина, ние пренаписваме получената матрица

обратно към системата от линейни уравнения:

Ако в резултат на елементарни трансформации низ от формата , къдетоλ е число, различно от нула, тогава системата е непоследователна (няма решения).

Как да запишем края на задача? Трябва да запишете фразата:

„В резултат на елементарни трансформации се получава низ от формата, където λ ≠ 0 ". Отговор: "Системата няма решения (непоследователно)."

Моля, имайте предвид, че в този случай няма обратно движение на алгоритъма на Гаус, няма решения и просто няма какво да се намери.

Пример 2

Решаване на система от линейни уравнения

Това е пример "направи си сам". Пълно решениеи отговора в края на урока.

Отново ви напомняме, че вашият процес на решаване може да се различава от нашия процес на решение, методът на Гаус не задава еднозначен алгоритъм, вие сами трябва да отгатнете процедурата и самите действия във всеки отделен случай.

Друг техническа характеристикарешения: елементарните трансформации могат да бъдат спрени Веднага, веднага щом ред като , къде λ ≠ 0 . Обмисли условен пример: да предположим, че след първата трансформация получаваме матрица

Тази матрица все още не е сведена до стъпаловидна форма, но няма нужда от допълнителни елементарни трансформации, тъй като се появи ред на формата, където λ ≠ 0 . Трябва незабавно да се отговори, че системата е несъвместима.

Когато система от линейни уравнения няма решения, това е почти подарък за ученика, поради факта, че се получава кратко решение, понякога буквално в 2-3 стъпки. Но всичко в този свят е балансирано и проблемът, в който системата има безкрайно много решения, е просто по-дълъг.

Пример 3:

Решаване на система от линейни уравнения

Има 4 уравнения и 4 неизвестни, така че системата може да има или едно решение, или да няма решения, или да има безкраен брой решения. Каквото и да беше, но методът на Гаус във всеки случай ще ни доведе до отговора. Това е неговата универсалност.

Началото отново е стандартно. Нека напишем разширената матрица на системата и, използвайки елементарни трансформации, да я доведем до стъпаловидна форма:

Това е всичко и вие се страхувахте.

(един). Моля, имайте предвид, че всички числа в първата колона се делят на 2, така че двойка също е подходяща в горното ляво стъпало. Към втория ред добавяме първия ред, умножен по (-4). Към третия ред добавяме първия ред, умножен по (-2). Към четвъртия ред добавяме първия ред, умножен по (-1).

Внимание!Мнозина могат да бъдат изкушени от четвъртия ред извадипърва линия. Това може да се направи, но не е необходимо, опитът показва, че вероятността от грешка в изчисленията се увеличава няколко пъти. Просто добавяме: към четвъртия ред добавяме първия ред, умножен по (-1) - точно!

(2). Последните три реда са пропорционални, два от тях могат да бъдат изтрити. Тук отново е необходимо да се покаже повишено внимание, но наистина ли са пропорционални линиите? За презастраховане няма да е излишно да умножите втория ред по (-1) и да разделите четвъртия ред на 2, което ще доведе до три еднакви реда. И едва след това премахнете две от тях. В резултат на елементарни трансформации, разширената матрица на системата се редуцира до стъпаловидна форма:

Когато изпълнявате задача в тетрадка, е препоръчително да направите същите бележки с молив за по-голяма яснота.

Пренаписваме съответната система от уравнения:

„Обикновеното“ единствено решение на системата не мирише тук. Лоша линия къде λ ≠ 0, също не Следователно това е третият оставащ случай - системата има безкрайно много решения.

Безкрайният набор от решения на системата се записва накратко под формата на т.нар общо системно решение.

Ще намерим общото решение на системата с помощта на обратното движение на метода на Гаус. За системи от уравнения с безкраен набор от решения се появяват нови понятия: "основни променливи"и "свободни променливи". Първо, нека дефинираме какви променливи имаме основени какви променливи - Безплатно. Не е необходимо да се обясняват подробно термините на линейната алгебра, достатъчно е да се помни, че има такива базисни променливии безплатни променливи.

Основните променливи винаги "седят" строго на стъпките на матрицата. В този пример основните променливи са х 1 и х 3 .

Свободните променливи са всичко оставащипроменливи, които не са получили стъпка. В нашия случай има две: х 2 и х 4 - свободни променливи.

Сега имате нужда всичкобазисни променливиекспресно само чрезбезплатни променливи. Обратното движение на алгоритъма на Гаус традиционно работи отдолу нагоре. От второто уравнение на системата изразяваме основната променлива х 3:

Сега погледнете първото уравнение: . Първо, ние заместваме намерения израз в него:

Остава да изразим основната променлива х 1 чрез свободни променливи х 2 и х 4:

Резултатът е това, от което се нуждаете - всичкобазисни променливи ( х 1 и х 3) изразено само чрезбезплатни променливи ( х 2 и х 4):

Всъщност общото решение е готово:

Как да запишем общото решение? На първо място, свободните променливи се записват в общото решение „самостоятелно“ и стриктно на техните места. В този случай свободните променливи х 2 и х 4 трябва да се изпише на втора и четвърта позиция:

Получените изрази за основните променливи и очевидно трябва да бъде написано на първа и трета позиция:

От общото решение на системата могат да се намерят безкрайно много частни решения. Много е просто. безплатни променливи х 2 и х 4 се наричат така, защото могат да бъдат дадени всякакви крайни стойности. Най-популярните стойности са нулеви стойности, тъй като това е най-лесният начин за получаване на конкретно решение.

Замяна ( х 2 = 0; х 4 = 0) в общото решение, получаваме едно от конкретните решения:

, или е конкретно решение, съответстващо на свободни променливи със стойности ( х 2 = 0; х 4 = 0).

Едните са още една сладка двойка, нека заместим ( х 2 = 1 и х 4 = 1) в общото решение:

, т.е. (-1; 1; 1; 1) е друго конкретно решение.

Лесно е да се види, че системата от уравнения има безкрайно много решениятъй като можем да дадем безплатни променливи всякаквистойности.

Всекиопределено решение трябва да удовлетворява за всекисистемно уравнение. Това е основата за „бърза” проверка на правилността на решението. Вземете, например, конкретно решение (-1; 1; 1; 1) и го заместете в лявата страна на всяко уравнение в оригиналната система:

Всичко трябва да се събере. И с всяко конкретно решение, което получите, всичко също трябва да се сближи.

Строго погледнато, проверката на определено решение понякога заблуждава, т.е. някакво конкретно решение може да удовлетвори всяко уравнение на системата, а самото общо решение всъщност се намира неправилно. Следователно, на първо място, проверката на общото решение е по-задълбочена и надеждна.

Как да проверите полученото общо решение ?

Не е трудно, но изисква доста дълга трансформация. Трябва да вземем изрази основенпроменливи, в този случай и , и ги заместете в лявата страна на всяко уравнение на системата.

От лявата страна на първото уравнение на системата:

Получава се дясната страна на първоначалното първо уравнение на системата.

От лявата страна на второто уравнение на системата:

Получава се дясната страна на първоначалното второ уравнение на системата.

И по-нататък - към лявата част на третото и четвъртото уравнение на системата. Тази проверка е по-дълга, но гарантира 100% коректност на цялостното решение. Освен това в някои задачи е необходимо да се провери общото решение.

Пример 4:

Решете системата по метода на Гаус. Намерете общо решение и две частни. Проверете цялостното решение.

Това е пример "направи си сам". Тук, между другото, отново броят на уравненията е по-малък от броя на неизвестните, което означава, че веднага става ясно, че системата или ще бъде непоследователна, или ще има безкраен брой решения.

Пример 5:

Решаване на система от линейни уравнения. Ако системата има безкрайно много решения, намерете две конкретни решения и проверете общото решение

решение:Нека напишем разширената матрица на системата и, използвайки елементарни трансформации, да я доведем до стъпаловидна форма:

(един). Добавете първия ред към втория ред. Към третия ред добавяме първия ред, умножен по 2. Към четвъртия ред добавяме първия ред, умножен по 3.

(2). Към третия ред добавяме втория ред, умножен по (-5). Към четвъртия ред добавяме втория ред, умножен по (-7).

(3). Третият и четвъртият ред са еднакви, изтриваме един от тях. Ето такава красота:

Базисните променливи седят на стъпала, така че те са базови променливи.

Има само една безплатна променлива, която не е получила стъпка: .

(4). Обратно движение. Ние изразяваме основните променливи по отношение на свободната променлива:

От третото уравнение:

Разгледайте второто уравнение и заместете намерения израз в него:

, , ,

Разгледайте първото уравнение и заменете намерените изрази и в него:

По този начин общото решение с една свободна променлива х 4:

Още веднъж, как се случи? безплатна променлива х 4 седи сам на законното си четвърто място. Получените изрази за основните променливи , , също са на местата си.

Нека незабавно да проверим общото решение.

Ние заместваме основните променливи , , в лявата страна на всяко уравнение на системата:

Получават се съответните десни части на уравненията, като по този начин се намира правилното общо решение.

Сега от намереното общо решение получаваме две конкретни решения. Всички променливи са изразени тук чрез единична свободна променлива x 4 . Не е нужно да си разбивате главата.

Нека бъде х 4 = 0, тогава е първото конкретно решение.

Нека бъде х 4 = 1, тогава е друго конкретно решение.

Отговор:Общо решение: . Частни решения:

и .

Пример 6:

Намерете общото решение на системата от линейни уравнения.

Вече проверихме общото решение, на отговора може да се вярва. Вашият начин на действие може да се различава от нашия. Основното е, че общите решения съвпадат. Вероятно мнозина са забелязали неприятен момент в решенията: много често, по време на обратния ход на метода на Гаус, трябваше да се занимаваме с обикновени дроби. На практика това е вярно, случаите, когато няма дроби, са много по-рядко срещани. Бъдете подготвени психически и най-важното технически.

Нека се спрем на характеристиките на решението, които не бяха открити в решените примери. Общото решение на системата понякога може да включва константа (или константи).

Например общото решение: . Тук една от основните променливи е равна на постоянно число: . В това няма нищо екзотично, случва се. Очевидно в този случай всяко конкретно решение ще съдържа петица на първа позиция.

Рядко, но има системи, в които броят на уравненията е по-голям от броя на променливите. Методът на Гаус обаче работи при най-тежки условия. Трябва спокойно да приведете разширената матрица на системата в стъпаловидна форма според стандартния алгоритъм. Такава система може да е непоследователна, може да има безкрайно много решения и, колкото и да е странно, може да има уникално решение.

Повтаряме в нашия съвет - за да се чувствате комфортно при решаване на система по метода на Гаус, трябва да напълните ръката си и да решите поне дузина системи.

Решения и отговори:

Пример 2:

решение:Нека запишем разширената матрица на системата и с помощта на елементарни трансформации да я приведем в стъпаловидна форма.

Извършени елементарни трансформации:

(1) Първият и третият ред са разменени.

(2) Първият ред беше добавен към втория ред, умножен по (-6). Първият ред беше добавен към третия ред, умножен по (-7).

(3) Вторият ред беше добавен към третия ред, умножен по (-1).

В резултат на елементарни трансформации, низ от формата, където λ ≠ 0 .Така че системата е непоследователна.Отговор: няма решения.

Пример 4:

Извършени реализации:

(един). Първият ред, умножен по 2, беше добавен към втория ред. Първият ред, умножен по 3, беше добавен към третия ред.

Няма единица за втората стъпка , а трансформацията (2) е насочена към получаването му.

(2). Вторият ред беше добавен към третия ред, умножен по -3.

(3). Вторият и третият ред бяха разменени (резултантният -1 беше преместен на втората стъпка)

(4). Вторият ред беше добавен към третия ред, умножен по 3.

(5). Знакът на първите два реда беше променен (умножен по -1), третият ред беше разделен на 14.

Обратно движение:

(един). Тук са основните променливи (които са на стъпки) и са безплатни променливи (който не е получил стъпката).

(2). Ние изразяваме основните променливи чрез свободни променливи:

От третото уравнение: .

(3). Помислете за второто уравнение:, конкретни решения:

Отговор: Общо решение:

Комплексни числа

В този раздел ще представим концепцията комплексно число, обмисли алгебрични, тригонометричени форма за показванекомплексно число. И също така научете как да извършвате операции с комплексни числа: събиране, изваждане, умножение, деление, степенуване и извличане на корен.

За да овладеете комплексни числа, не се нуждаете от специални знания от курса по висша математика, а материалът е достъпен дори за ученик. Достатъчно е да можете да извършвате алгебрични операции с "обикновени" числа и да помните тригонометрията.

Първо, нека си спомним "обикновените" числа. В математиката те се наричат много реални числа и са отбелязани с буквата R,или R (дебел). Всички реални числа седят на познатата числова права:

Компанията на реалните числа е много цветна - тук има цели числа, дроби и ирационални числа. В този случай всяка точка от числовата ос задължително съответства на някакво реално число.

Системи млинейни уравнения с ннеизвестен.
Решаване на система от линейни уравненияе такъв набор от числа ( x 1 , x 2 , …, x n), замествайки който във всяко от уравненията на системата, се получава правилното равенство.
където a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, nса коефициентите на системата;
b i , i = 1, …, m- безплатни членове;
x j , j = 1, …, n- неизвестен.
Горната система може да бъде написана в матрична форма: A X = B,

където ( А|Б) е основната матрица на системата;
А— разширена матрица на системата;
х— колона с неизвестни;
Бе колона от свободни членове.
Ако матрицата Бне е нулева матрица ∅, то тази система от линейни уравнения се нарича нехомогенна.
Ако матрицата Б= ∅, то тази система от линейни уравнения се нарича хомогенна. Една хомогенна система винаги има нулево (тривиално) решение: x 1 = x 2 = ..., x n = 0.
Съвместна система от линейни уравненияе система от линейни уравнения, която има решение.
Непоследователна система от линейни уравненияе система от линейни уравнения, която няма решение.
Определена система от линейни уравненияе система от линейни уравнения, която има уникално решение.
Неопределена система от линейни уравненияе система от линейни уравнения, която има безкраен брой решения.
Системи от n линейни уравнения с n неизвестни
Ако броят на неизвестните е равен на броя на уравненията, тогава матрицата е квадратна. Матричната детерминанта се нарича главна детерминанта на системата от линейни уравнения и се обозначава със символа Δ.
Метод на Крамерза решаване на системи нлинейни уравнения с ннеизвестен.
Правилото на Крамер.
Ако основната детерминанта на системата от линейни уравнения не е нула, тогава системата е последователна и дефинирана и единственото решение се изчислява по формулите на Крамер:
където Δ i са детерминантите, получени от основната детерминанта на системата Δ чрез замяна ита колона към колоната със свободни членове. .
Системи от m линейни уравнения с n неизвестни
Теорема на Кронекер-Капели.

За да бъде последователна тази система от линейни уравнения, е необходимо и достатъчно рангът на матрицата на системата да бъде равен на ранга на разширената матрица на системата, ранг(Α) = ранг(Α|B).
Ако ранг(Α) ≠ ранг(Α|В), то системата очевидно няма решения.
Ако ранг(Α) = ранг(Α|B), тогава са възможни два случая:
1) rang(Α) = n(до броя на неизвестните) − решението е уникално и може да се получи по формулите на Крамер;
2) ранг (Α)< n − има безкрайно много решения.
Метод на Гаусза решаване на системи от линейни уравнения

Нека съставим разширената матрица ( А|Б) на дадена система от коефициенти в неизвестната и дясната част.
Методът на Гаус или методът за елиминиране на неизвестни се състои в намаляване на разширената матрица ( А|Б) с помощта на елементарни трансформации над неговите редове до диагонална форма (до горна триъгълна форма). Връщайки се към системата от уравнения, всички неизвестни се определят.
Елементарните трансформации на низове включват следното:
1) размяна на две линии;
2) умножаване на низ по число, различно от 0;
3) добавяне към низа на друг низ, умножен по произволно число;
4) отхвърляне на нулев низ.
Разширена матрица, редуцирана до диагонална форма, съответства на линейна система, еквивалентна на дадената, чието решение не създава затруднения. .
Система от хомогенни линейни уравнения.
Хомогенната система има формата:

съответства на матричното уравнение A X = 0.
1) Хомогенната система винаги е последователна, тъй като r(A) = r(A|B), винаги има нулево решение (0, 0, …, 0).
2) За да има хомогенна система решение, различно от нула, това е необходимо и достатъчно r = r(A)< n , което е еквивалентно на Δ = 0.
3) Ако r< n , тогава Δ = 0, тогава има свободни неизвестни c 1 , c 2 , …, c n-r, системата има нетривиални решения и има безкрайно много от тях.
4) Общо решение хв r< n може да се запише в матрична форма, както следва:
X \u003d c 1 X 1 + c 2 X 2 + ... + c n-r X n-r,
къде са решенията X 1 , X 2 , …, X n-rформират фундаментална система от решения.
5) Основната система от решения може да се получи от общото решение на хомогенната система:

,
ако последователно приемем, че стойностите на параметрите са (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1).
Декомпозиция на общото решение от гледна точка на основната система от решенияе запис на общото решение като линейна комбинация от решения, принадлежащи към основната система.
Теорема. За да има система от линейни хомогенни уравнения решение, различно от нула, е необходимо и достатъчно Δ ≠ 0.
Така че, ако детерминантата е Δ ≠ 0, тогава системата има уникално решение.
Ако Δ ≠ 0, тогава системата от линейни хомогенни уравнения има безкраен брой решения.
Теорема. За да има хомогенна система решение, различно от нула, това е необходимо и достатъчно r(A)< n .
Доказателство:
1) rне може да бъде повече н(рангът на матрицата не надвишава броя на колоните или редовете);
2) r< n , защото ако r=n, то главният детерминант на системата Δ ≠ 0 и според формулите на Крамер има уникално тривиално решение x 1 = x 2 = ... = x n = 0, което противоречи на условието. означава, r(A)< n .
Последица. За да се получи хомогенна система нлинейни уравнения с ннеизвестни има ненулево решение, необходимо е и достатъчно е Δ = 0.

Възлагане на услугата. Онлайн калкулаторът е предназначен да изучава система от линейни уравнения. Обикновено в състоянието на проблема се изисква да се намери общо и частно решение на системата. При изучаване на системи от линейни уравнения се решават следните проблеми:

дали системата е съвместна;
ако системата е последователна, тогава тя е определена или неопределена (критерият за съвместимост на системата се определя от теоремата);
ако системата е дефинирана, тогава как да се намери нейното уникално решение (използват се методът на Крамер, методът на обратната матрица или методът на Джордан-Гаус);
ако системата е неопределена, тогава как да опишем множеството от нейните решения.

Класификация на системите от линейни уравнения

Произволна система от линейни уравнения има формата:
a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + ... + a 1 n x n = b 1
a 2 1 x 1 + a 2 2 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2
...................................................
a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ... + a m n x n = b m

Системи от линейни нехомогенни уравнения (броят на променливите е равен на броя на уравненията, m = n).
Произволни системи от линейни нехомогенни уравнения (m > n или m< n).

Определение. Решение на система е всяко множество от числа c 1 ,c 2 ,...,c n , чието заместване в системата вместо съответните неизвестни превръща всяко уравнение на системата в тъждество.

Определение. За две системи се казва, че са еквивалентни, ако решението на първата е решението на втората и обратно.

Определение. Нарича се система, която има поне едно решение става. Система, която няма никакво решение, се нарича непоследователна.

Определение. Нарича се система с уникално решение сигурен, а наличието на повече от едно решение е неопределено.

Алгоритъм за решаване на системи от линейни уравнения

Намерете ранговете на основната и разширената матрици. Ако те не са равни, тогава според теоремата на Кронекер-Капели системата е непоследователна и тук изследването приключва.
Нека ранг(А) = ранг(В) . Избираме основния минор. В този случай всички неизвестни системи от линейни уравнения се разделят на два класа. Неизвестните, чиито коефициенти са включени в основния минор, се наричат зависими, а неизвестните, чиито коефициенти не са включени в основния минор, се наричат свободни. Имайте предвид, че изборът на зависими и свободни неизвестни не винаги е уникален.
Зачеркваме онези уравнения на системата, чиито коефициенти не са включени в основния минор, тъй като са следствие от останалите (съгласно основната минорна теорема).
Членовете на уравненията, съдържащи свободни неизвестни, ще бъдат прехвърлени в дясната страна. В резултат на това получаваме система от r уравнения с r неизвестни, еквивалентни на дадената, чийто детерминант е различен от нула.
Получената система се решава по един от следните начини: методът на Крамер, методът на обратната матрица или методът на Джордан-Гаус. Намерени са релации, които изразяват зависимите променливи през свободните.

Система от m линейни уравнения с n неизвестнинаречена система от формата

където aijи b i (и=1,…,м; б=1,…,н) са някои известни числа и x 1 ,…,x n- неизвестен. В обозначението на коефициентите aijпърви индекс иобозначава номера на уравнението, а вторият jе числото на неизвестното, при което стои този коефициент.

Коефициентите за неизвестните ще бъдат записани под формата на матрица , който ще наречем системна матрица.

Числата от дясната страна на уравненията b 1 ,…,b mНаречен безплатни членове.

Агрегат нчисла c 1 ,…,c nНаречен решениена тази система, ако всяко уравнение на системата се превърне в равенство след заместване на числа в него c 1 ,…,c nвместо съответните неизвестни x 1 ,…,x n.

Нашата задача ще бъде да намерим решения на системата. В този случай могат да възникнат три ситуации:

Нарича се система от линейни уравнения, която има поне едно решение става. В противен случай, т.е. ако системата няма решения, тогава тя се извиква несъвместими.

Помислете за начини за намиране на решения на системата.

МАТРИЧЕН МЕТОД ЗА РЕШАВАНЕ НА СИСТЕМИ НА ЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ

Матриците позволяват накратко да се запише система от линейни уравнения. Нека е дадена система от 3 уравнения с три неизвестни:

Помислете за матрицата на системата и матрични колони от неизвестни и свободни членове

Да намерим продукта

тези. в резултат на произведението получаваме лявата страна на уравненията на тази система. След това се използва дефиницията на матричното равенство тази системаможе да се запише във формата

или по-кратък А∙X=B.

Ето матрици Аи Бса известни, а матрицата хнеизвестен. Тя трябва да бъде намерена, т.к. нейните елементи са решението на тази система. Това уравнение се нарича матрично уравнение.

Нека детерминантата на матрицата е различна от нула | А| ≠ 0. Тогава матричното уравнение се решава по следния начин. Умножете двете страни на уравнението вляво по матрицата A-1, обратното на матрицата А: . Дотолкова доколкото A -1 A = Eи Е∙X=X, тогава получаваме решението на матричното уравнение във формата X = A -1 B .

Имайте предвид, че тъй като обратната матрица може да се намери само за квадратни матрици, матричният метод може да реши само онези системи, в които броят на уравненията е същият като броя на неизвестните. Въпреки това, матричната нотация на системата е възможна и в случай, когато броят на уравненията не е равен на броя на неизвестните, тогава матрицата Ане е квадратна и следователно е невъзможно да се намери решение на системата във формата X = A -1 B.

Примери.Решаване на системи от уравнения.

ПРАВИЛОТО НА КРАМЪР

Да разгледаме система от 3 линейни уравнения с три неизвестни:

Детерминанта от трети порядък, съответстваща на матрицата на системата, т.е. съставен от коефициенти при неизвестни,

Наречен системен детерминант.

Съставяме още три детерминанта, както следва: заменяме последователно 1, 2 и 3 колони в детерминанта D с колона от свободни членове

Тогава можем да докажем следния резултат.

Теорема (правилото на Крамер).Ако детерминантата на системата е Δ ≠ 0, тогава разглежданата система има едно и само едно решение и

Доказателство. И така, разгледайте система от 3 уравнения с три неизвестни. Умножете 1-вото уравнение на системата по алгебричното допълнение А 11елемент а 11, 2-ро уравнение - на A21и 3-то - на А 31:

Нека добавим тези уравнения:

Разгледайте всяка от скобите и дясната страна на това уравнение. По теоремата за разширяването на детерминантата по отношение на елементите от 1-ва колона

По същия начин може да се покаже, че и .

В крайна сметка е лесно да се види това

Така получаваме равенството: .

Следователно, .

Равенствата и се извеждат по подобен начин, откъдето следва твърдението на теоремата.

По този начин отбелязваме, че ако детерминантата на системата е Δ ≠ 0, тогава системата има уникално решение и обратно. Ако детерминантата на системата е равна на нула, тогава системата или има безкраен набор от решения, или няма решения, т.е. несъвместими.

Примери.Решете система от уравнения

МЕТОД НА ГАУС

Разгледаните по-рано методи могат да се използват за решаване само на онези системи, в които броят на уравненията съвпада с броя на неизвестните, а детерминантата на системата трябва да е различна от нула. Методът на Гаус е по-универсален и е подходящ за системи с произволен брой уравнения. Състои се в последователно елиминиране на неизвестните от уравненията на системата.

Помислете отново за система от три уравнения с три неизвестни:

Оставяме първото уравнение непроменено, а от 2-ро и 3-то изключваме членовете, съдържащи х 1. За да направите това, разделяме второто уравнение на а 21 и умножете по - а 11 и след това добавете с 1-во уравнение. По същия начин разделяме третото уравнение на а 31 и умножете по - а 11 и след това го добавете към първия. В резултат на това оригиналната система ще приеме формата:

Сега, от последното уравнение, елиминираме члена, съдържащ x2. За да направите това, разделете третото уравнение на , умножете по и го добавете към второто. Тогава ще имаме система от уравнения:

Следователно от последното уравнение е лесно да се намери х 3, след това от 2-ро уравнение x2и накрая от 1-ви - х 1.

Когато се използва методът на Гаус, уравненията могат да бъдат разменени, ако е необходимо.

Често вместо да пиша нова системауравненията са ограничени до изписване на разширената матрица на системата:

и след това го приведете до триъгълна или диагонална форма с помощта на елементарни трансформации.

Да се елементарни трансформацииматриците включват следните трансформации:

пермутация на редове или колони;
умножаване на низ по ненулево число;
добавяне към един ред на други редове.

Примери:Решаване на системи от уравнения по метода на Гаус.

Така системата има безкраен брой решения.

Системите от уравнения намират широко приложение в икономическата индустрия при математическото моделиране на различни процеси. Например при решаване на проблеми с управлението и планирането на производството, логистичните маршрути (транспортен проблем) или разполагането на оборудване.

Системите от уравнения се използват не само в областта на математиката, но и във физиката, химията и биологията при решаване на задачи за намиране на размера на популацията.

Система от линейни уравнения е термин за две или повече уравнения с няколко променливи, за които е необходимо да се намери общо решение. Такава последователност от числа, за която всички уравнения стават верни равенства или доказват, че последователността не съществува.

Линейно уравнение

Уравнения от вида ax+by=c се наричат линейни. Означенията x, y са неизвестните, чиято стойност трябва да се намери, b, a са коефициентите на променливите, c е свободният член на уравнението.
Решаването на уравнението чрез начертаване на неговата графика ще изглежда като права линия, всички точки на която са решение на полинома.

Видове системи от линейни уравнения

Най-простите са примери за системи от линейни уравнения с две променливи X и Y.

F1(x, y) = 0 и F2(x, y) = 0, където F1,2 са функции и (x, y) са функционални променливи.

Решете система от уравнения - това означава да се намерят такива стойности (x, y), при които системата се превръща в истинско равенство или да се установи, че подходящи стойности x и y не съществуват.

Двойка стойности (x, y), записана като координати на точки, се нарича решение на система от линейни уравнения.

Ако системите имат едно общо решение или няма решение, те се наричат еквивалентни.

Хомогенни системи от линейни уравнения са системи, чиято дясна част е равна на нула. Ако дясната част след знака "равно" има стойност или се изразява с функция, такава система не е хомогенна.

Броят на променливите може да бъде много повече от две, тогава трябва да говорим за пример за система от линейни уравнения с три или повече променливи.

Изправени пред системи, учениците приемат, че броят на уравненията задължително трябва да съвпада с броя на неизвестните, но това не е така. Броят на уравненията в системата не зависи от променливите, може да има произволно голям брой от тях.

Прости и сложни методи за решаване на системи от уравнения

Няма общ аналитичен начин за решаване на такива системи, всички методи се основават на числени решения. Училищният курс по математика описва подробно такива методи като пермутация, алгебрично събиране, заместване, както и графичния и матричния метод, решението по метода на Гаус.

Основната задача в методите за преподаване на решаване е да се научи как правилно да се анализира системата и да се намери оптимален алгоритъмрешения за всеки пример. Основното нещо е не да запомните система от правила и действия за всеки метод, а да разберете принципите на прилагане на определен метод.

Решаване на примери за системи от линейни уравнения от 7-ми клас на програмата средно училищедоста просто и обяснено много подробно. Във всеки учебник по математика на този раздел се отделя достатъчно внимание. Решението на примери за системи от линейни уравнения по метода на Гаус и Крамер се изучава по-подробно в първите курсове на висшите учебни заведения.

Решаване на системи по метода на заместване

Действията на метода на заместването са насочени към изразяване на стойността на една променлива чрез втората. Изразът се замества в останалото уравнение, след което се свежда до единична променлива форма. Действието се повтаря в зависимост от броя на неизвестните в системата

Нека дадем пример за система от линейни уравнения от 7-ми клас по метода на заместване:

Както може да се види от примера, променливата x е изразена чрез F(X) = 7 + Y. Полученият израз, заместен във 2-рото уравнение на системата на мястото на X, помогна да се получи една променлива Y във 2-рото уравнение . Решението на този пример не създава затруднения и ви позволява да получите стойността Y. Последната стъпка е да проверите получените стойности.

Не винаги е възможно да се реши пример за система от линейни уравнения чрез заместване. Уравненията могат да бъдат сложни и изразяването на променливата по отношение на втората неизвестна ще бъде твърде тромаво за по-нататъшни изчисления. Когато в системата има повече от 3 неизвестни, заместващото решение също е непрактично.

Решение на пример за система от линейни нехомогенни уравнения:

Решение с алгебрично събиране

При търсене на решение на системи по метода на събиране, събиране член по член и умножение на уравнения по различни числа. Крайната цел на математическите операции е уравнение с една променлива.

Приложенията на този метод изискват практика и наблюдение. Не е лесно да се реши система от линейни уравнения с помощта на метода на добавяне с брой променливи 3 или повече. Алгебричното събиране е полезно, когато уравненията съдържат дроби и десетични числа.

Алгоритъм за действие на решението:

Умножете двете страни на уравнението по някакво число. Като резултат аритметична операцияедин от коефициентите на променливата трябва да стане равен на 1.
Добавете получения израз член по член и намерете едно от неизвестните.
Заменете получената стойност във 2-рото уравнение на системата, за да намерите останалата променлива.

Метод на решение чрез въвеждане на нова променлива

Може да се въведе нова променлива, ако системата трябва да намери решение за не повече от две уравнения, броят на неизвестните също трябва да бъде не повече от две.

Методът се използва за опростяване на едно от уравненията чрез въвеждане на нова променлива. Новото уравнение се решава по отношение на въведеното неизвестно и получената стойност се използва за определяне на оригиналната променлива.

Примерът показва, че чрез въвеждане на нова променлива t е възможно да се намали 1-вото уравнение на системата до стандартното квадратен трином. Можете да решите полином, като намерите дискриминанта.

Необходимо е да се намери стойността на дискриминанта чрез добре позната формула: D = b2 - 4*a*c, където D е желаният дискриминант, b, a, c са множителите на полинома. В дадения пример a=1, b=16, c=39, следователно D=100. Ако дискриминантът е по-голям от нула, тогава има две решения: t = -b±√D / 2*a, ако дискриминантът е по-малък от нула, тогава има само едно решение: x= -b / 2*a.

Решението за получените системи се намира чрез метода на добавяне.

Визуален метод за решаване на системи

Подходящ за системи с 3 уравнения. Методът се състои в нанасяне на графики на всяко включено в системата уравнение върху координатната ос. Координатите на точките на пресичане на кривите ще бъдат общото решение на системата.

Графичният метод има редица нюанси. Разгледайте няколко примера за решаване на системи от линейни уравнения по визуален начин.

Както се вижда от примера, за всяка линия бяха конструирани две точки, стойностите на променливата x бяха избрани произволно: 0 и 3. Въз основа на стойностите на x бяха намерени стойностите за y: 3 и 0. Точки с координати (0, 3) и (3, 0) бяха отбелязани на графиката и свързани с линия.

Стъпките трябва да се повторят за второто уравнение. Точката на пресичане на линиите е решението на системата.

В следващия пример се изисква да се намери графично решение на системата от линейни уравнения: 0,5x-y+2=0 и 0,5x-y-1=0.

Както се вижда от примера, системата няма решение, тъй като графиките са успоредни и не се пресичат по цялата си дължина.

Системите от примери 2 и 3 са сходни, но когато се конструират, става очевидно, че техните решения са различни. Трябва да се помни, че не винаги е възможно да се каже дали системата има решение или не, винаги е необходимо да се изгради графика.

Матрицата и нейните разновидности

Матриците се използват за кратко записване на система от линейни уравнения. Матрицата е специален тип таблица, пълна с числа. n*m има n - редове и m - колони.

Матрицата е квадратна, когато броят на колоните и редовете е равен. Матрица-вектор е матрица с една колона с безкрайно възможен брой редове. Матрица с единици по един от диагоналите и други нулеви елементи се нарича идентичност.

Обратна матрица е такава матрица, при умножение на която оригиналната се превръща в единична, такава матрица съществува само за оригиналната квадратна.

Правила за преобразуване на система от уравнения в матрица

По отношение на системите от уравнения, коефициентите и свободните членове на уравненията се записват като числа на матрицата, едно уравнение е един ред от матрицата.

Редът на матрицата се нарича ненулев, ако поне един елемент от реда не е равен на нула. Следователно, ако в някое от уравненията броят на променливите се различава, тогава е необходимо да въведете нула на мястото на липсващото неизвестно.

Колоните на матрицата трябва стриктно да съответстват на променливите. Това означава, че коефициентите на променливата x могат да бъдат записани само в една колона, например първата, коефициентът на неизвестното y - само във втората.

Когато се умножава матрица, всички матрични елементи се умножават последователно по число.

Опции за намиране на обратната матрица

Формулата за намиране на обратната матрица е доста проста: K -1 = 1 / |K|, където K -1 е обратната матрица и |K| - матричен детерминант. |K| не трябва да е равно на нула, тогава системата има решение.

Детерминантата се изчислява лесно за матрица две по две, необходимо е само елементите да се умножат диагонално един по друг. За опцията "три по три" има формула |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Можете да използвате формулата или можете да запомните, че трябва да вземете по един елемент от всеки ред и всяка колона, така че номерата на колоните и редовете на елементите да не се повтарят в продукта.

Решаване на примери за системи от линейни уравнения по матричния метод

Матричният метод за намиране на решение прави възможно намаляването на тромавите означения при решаване на системи с голямо количествопроменливи и уравнения.

В примера a nm са коефициентите на уравненията, матрицата е вектор, x n са променливите, а b n са свободните членове.

Решаване на системи по метода на Гаус

Във висшата математика методът на Гаус се изучава заедно с метода на Крамер, а процесът на намиране на решение на системите се нарича метод на решение на Гаус-Крамер. Тези методи се използват за намиране на променливите на системи с голям брой линейни уравнения.

Методът на Гаус е много подобен на решенията за заместване и алгебрично събиране, но е по-систематичен. В училищния курс решението на Гаус се използва за системи от 3 и 4 уравнения. Целта на метода е да доведе системата до формата на обърнат трапец. Чрез алгебрични трансформации и замествания стойността на една променлива се намира в едно от уравненията на системата. Второто уравнение е израз с 2 неизвестни, а 3 и 4 - съответно с 3 и 4 променливи.

След привеждане на системата до описания вид, по-нататъшното решение се свежда до последователно заместване на известни променливи в уравненията на системата.

В училищните учебници за 7 клас пример за гаусово решение е описан, както следва:

Както може да се види от примера, на стъпка (3) бяха получени две уравнения 3x 3 -2x 4 =11 и 3x 3 +2x 4 =7. Решението на всяко от уравненията ще ви позволи да намерите една от променливите x n.

Теорема 5, която е спомената в текста, казва, че ако едно от уравненията на системата се замени с еквивалентно, тогава получената система също ще бъде еквивалентна на оригиналната.

Методът на Гаус е труден за разбиране от учениците гимназия, но е един от най интересни начинида развива изобретателността на децата, записани в програмата за напреднали в часовете по математика и физика.

За по-лесно записване на изчисленията е обичайно да се прави следното:

Коефициентите на уравнение и свободните членове се записват под формата на матрица, където всеки ред от матрицата съответства на едно от уравненията на системата. разделя лявата страна на уравнението от дясната страна. Римските цифри означават номерата на уравненията в системата.

Първо, те записват матрицата, с която да работят, след това всички действия, извършени с един от редовете. Получената матрица се записва след знака "стрелка" и продължава да извършва необходимите алгебрични операции, докато се постигне резултатът.

В резултат на това трябва да се получи матрица, в която един от диагоналите е 1, а всички други коефициенти са равни на нула, тоест матрицата се свежда до единична форма. Не трябва да забравяме да правим изчисления с числата на двете страни на уравнението.

Тази нотация е по-малко тромава и ви позволява да не се разсейвате от изброяване на много неизвестни.

Безплатното прилагане на всеки метод на решение ще изисква грижи и известен опит. Не всички методи се прилагат. Някои начини за намиране на решения са по-предпочитани в определена област на човешката дейност, докато други съществуват с цел обучение.