Това, което се нарича дроб. Обикновени дроби

Числителят и знаменателят на дроб. Видове фракции. Да продължим с дробите. Първо, малко предупреждение - ние, като имаме предвид дробите и съответните примери с тях, засега ще работим само с тяхното числово представяне. Има и дробни буквални изрази(с и без числа).Всички "принципи" и правила обаче важат и за тях, но за такива изрази ще говорим отделно в бъдеще. Препоръчвам да посетите и изучавате (запомняте) темата за дробите стъпка по стъпка.

Най-важното е да разберете, запомните и осъзнаете, че ЧИСЛО е ЧИСЛО!!!

Обикновена дробе число от формата:

Числото, разположено "отгоре" (в този случай m), се нарича числител, числото, разположено отдолу (числото n), се нарича знаменател. Тези, които току-що са се докоснали до темата, често се объркват - как се казва.

Ето един трик за вас как да запомните завинаги - къде е числителят и къде е знаменателят. Тази техника е свързана с вербално-фигуративна асоциация. Представете си буркан с мътна вода. Известно е, че докато водата се утаява, чистата вода остава отгоре, а мътността (мръсотията) се утаява, запомнете:

CHISSS стопена вода НАГОРЕ (CHISSS наливник отгоре)

кал ZZZNNN ДЪНО на водата (ZZZNN Amenator по-долу)

Така че, веднага щом стане необходимо да се помни къде е числителят и къде е знаменателят, те веднага визуално представиха буркан с утаена вода, в който Чиста вода, и по-долу мръсна вода. Има и други трикове, които трябва да запомните, ако ви помогнат, значи добре.

Примери за обикновени дроби:

Какво означава хоризонталната линия между числата? Това не е нищо повече от знак за разделяне. Оказва се, че една дроб може да се разглежда като пример с действието на деление. Това действие просто се записва в тази форма. Тоест горното число (числител) се разделя на долното число (знаменател):

Освен това има и друга форма на запис - една дроб може да бъде написана по този начин (чрез наклонена черта):

1/9, 5/8, 45/64, 25/9, 15/13, 45/64 и така нататък...

Можем да запишем горните дроби, както следва:

Резултатът от разделянето, както знаете, е числото.

Изяснено - ДРАБЯТ ТОЗИ ЧИСЛО !!!

Както вече забелязахте, в обикновена дроб числителят може да е по-малък от знаменателя, може да е по-голям от знаменателя и може да е равен на него. Тук има много важни точки, които са разбираеми интуитивно, без никакви теоретични излишъци. Например:

1. Дроби 1 и 3 могат да бъдат записани като 0,5 и 0,01. Нека избягаме малко напред - това са десетични дроби, ще говорим за тях малко по-ниско.

2. Фракции 4 и 6 водят до цяло число 45:9=5, 11:1 = 11.

3. В резултат на дроб 5 се получава единица 155:155 = 1.

Какви изводи се налагат сами? Следното:

1. Числителят, разделен на знаменателя, може да даде крайно число. Може да не работи, разделете на колона 7 на 13 или 17 на 11 - няма как! Можете да разделяте за неопределено време, но ще говорим и за това малко по-надолу.

2. Дроба може да доведе до цяло число. Следователно, можем да представим всяко цяло число като дроб, или по-скоро безкрайна серия от дроби, вижте, всички тези дроби са равни на 2:

Повече ▼! Винаги можем да запишем всяко цяло число като дроб - самото това число е в числителя, едно в знаменателя:

3. Винаги можем да представим единица като дроб с произволен знаменател:

*Посочените точки са изключително важни за работа с дроби при изчисления и преобразувания.

Видове фракции.

И сега за теоретичното деление на обикновените дроби. Те са разделени на правилно и грешно.

Дроб, чийто числител е по-малък от знаменателя, се нарича правилна дроб. Примери:

Дроб, чийто числител е по-голям или равен на знаменателя, се нарича неправилна дроб. Примери:

смесена фракция(смесен брой).

Смесена дроб е дроб, записана като цяло число и правилна дроб и се разбира като сбор от това число и неговата дробна част. Примери:

Смесената дроб винаги може да бъде представена като неправилна дроб и обратно. Да отидем по-нататък!

Десетични знаци.

Вече ги докоснахме по-горе, това са примери (1) и (3), сега по-подробно. Ето примери за десетични знаци: 0,3 0,89 0,001 5,345.

Дроб, чийто знаменател е степен на 10, като 10, 100, 1000 и т.н., се нарича десетична дроб. Не е трудно да напишете първите три посочени дроби като обикновени дроби:

Четвъртата е смесена дроб (смесено число):

Десетичната дроб има следното обозначение - сзапочна цялата част, след това разделителят на целочислената и дробната част беше точка или запетая и след това дробната част, броят на цифрите на дробната част се определя строго от размера на дробната част: ако това са десети, дробната част се записва като една цифра; ако хилядни - три; десетхилядници - четири и т.н.

Тези дроби са крайни и безкрайни.

Крайни десетични примери: 0,234; 0,87; 34,00005; 5,765.

Примерите са безкрайни. Например числото Pi е безкрайна десетична дроб, но - 0,333333333333…... 0,16666666666…. и други. Също така резултатът от извличане на корена от числата 3, 5, 7 и т.н. ще бъде безкрайна дроб.

Дробната част може да бъде циклична (в нея има цикъл), двата примера по-горе са абсолютно еднакви, още примери:

0,123123123123…... цикъл 123

0,781781781718…... цикъл 781

0,0250102501…. цикъл 02501

Те могат да бъдат записани като 0, (123) 0, (781) 0, (02501).

Числото Pi не е циклична дроб, като например коренът от три.

По-долу в примерите ще звучат думи като „обърнете“ дроба - това означава, че числителят и знаменателят се разменят. Всъщност такава дроб има име - реципрочната дроб. Примери за реципрочни дроби:

Малко обобщение! Фракциите са:

Обикновено (правилно и неправилно).

Десетични (крайни и безкрайни).

Смесени (смесени числа).

Това е всичко!

С уважение, Александър.

Числителят и това, на което се дели, е знаменателят.

За да напишете дроб, първо напишете нейния числител, след това начертайте хоризонтална линия под това число и напишете знаменателя под линията. Хоризонталната линия, разделяща числителя и знаменателя, се нарича дробна лента. Понякога се изобразява като наклонено "/" или "∕". В този случай числителят се записва отляво на реда, а знаменателят отдясно. Така, например, фракцията "две трети" ще бъде записана като 2/3. За по-голяма яснота числителят обикновено се пише в горната част на реда, а знаменателят в долната част, тоест вместо 2/3, можете да намерите: ⅔.

За да изчислите произведението на дробите, първо умножете числителя на едно фракциикъм друг числител. Запишете резултата в числителя на новия фракции. След това умножете и знаменателите. Посочете крайната стойност в new фракции. Например 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

За да разделите една дроб на друга, първо умножете числителя на първата по знаменателя на втората. Направете същото с втората дроб (делител). Или, преди да изпълните всички стъпки, първо „завъртете“ делителя, ако е по-удобно за вас: знаменателят трябва да е на мястото на числителя. След това умножете знаменателя на делителя по новия знаменател на делителя и умножете числителите. Например 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 × 5 = 5; 3 × 1 = 3).

Източници:

• Основни задачи за дроби

Дробните числа ви позволяват да изразявате в различна форма точна стойностколичества. Можете да направите същото с дроби. математически операции, както при цели числа: изваждане, събиране, умножение и деление. За да се научите как да решавате фракции, е необходимо да се запомнят някои от техните характеристики. Те зависят от вида фракции, наличието на цяла част, общ знаменател. някои аритметични операциислед изпълнение изискват намаляване на дробната част от резултата.

Ще имаш нужда

• - калкулатор

Инструкция

Погледнете внимателно числата. Ако има десетични и неправилни дроби, понякога е по-удобно първо да извършите действия с десетични знаци и след това да ги преобразувате в грешна форма. Можеш ли да преведеш фракциив тази форма първоначално, като запишете стойността след десетичната запетая в числителя и поставите 10 в знаменателя. Ако е необходимо, намалете дроба, като разделите числата отгоре и отдолу на един делител. Дроби, в които се откроява цялата част, водят до грешна форма, като я умножат по знаменателя и добавят числителя към резултата. Дадени стойностище стане новият числител фракции. За да извлечете цялата част от първоначално неправилната фракции, разделете числителя на знаменателя. Напишете целия резултат от фракции. А остатъкът от делението става новият числител, знаменателят фракциидокато не се променя. За дроби с цяла част е възможно да се извършват действия поотделно, първо за цялото число и след това за дробните части. Например, сумата от 1 2/3 и 2 ¾ може да се изчисли:
- Преобразуване на дроби в грешна форма:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Сумиране поотделно на цели и дробни части на термините:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

За с дроби. Направете същото със знаменателите. При разделяне на един фракциинапишете една дроб върху другата и след това умножете нейния числител по знаменателя на втората. В същото време знаменателят на първия фракцииумножено съответно по числителя на втория. В същото време един вид обръщане на второто фракции(разделител). Крайната дроб ще бъде от резултатите от умножаването на числителите и знаменателите на двете дроби. Лесен за научаване фракции, написана в състоянието под формата на "четириетажна" фракции. Ако разделя две фракции, пренапишете ги с разделител ":" и продължете с нормалното деление.

За да получите крайния резултат, намалете получената дроб, като разделите числителя и знаменателя на едно цяло число, възможно най-голямото в този случай. В този случай трябва да има цели числа над и под реда.

Забележка

Не правете аритметика с дроби, които имат различни знаменатели. Изберете число, така че когато числителят и знаменателят на всяка дроб се умножат по него, в резултат знаменателите на двете дроби са равни.

Полезен съвет

При записване на дробни числа, дивидентът се записва над реда. Това количество се нарича числител на дроб. Под реда е изписан делителят или знаменателят на дроба. Например, един и половина килограма ориз под формата на фракция ще бъдат написани, както следва: 1 ½ кг ориз. Ако знаменателят на дроб е 10, той се нарича десетична дроб. В този случай числителят (дивидентът) се записва отдясно на цялата част, разделена със запетая: 1,5 кг ориз. За удобство на изчисленията такава фракция винаги може да бъде написана в грешна форма: 1 2/10 кг картофи. За да опростите, можете да намалите стойностите на числителя и знаменателя, като ги разделите на едно цяло число. AT този примервъзможно е разделяне на 2. Резултатът ще бъде 1 1/5 кг картофи. Уверете се, че числата, с които ще правите аритметика, са в еднакъв вид.

Акции на дял и се представя като \frac(a)(b).

числител на дроби (a)- числото над линията на дроба и показващо броя на акциите, на които е разделен дялът.

Знаменател на дроби (b)- числото под линията на дроба и показващо на колко акции дялът е разделен.

Скриване Покажи

Основно свойство на дроб

Ако ad=bc, тогава две дроби \frac(a)(b)и \frac(c)(d)се считат за равни. Например, дробите ще бъдат равни \frac35и \frac(9)(15), тъй като 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 , \frac(12)(7)и \frac(24)(14), тъй като 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 .

От определението за равенството на дробите следва, че дробите ще бъдат равни \frac(a)(b)и \frac(am)(bm), тъй като a(bm)=b(am) е ясен пример за използването на асоциативните и комутативни свойства на умножението естествени числаВ действие.

Средства \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- изглежда така основно свойство на дроб.

С други думи, получаваме дроб, равна на дадената, като умножим или разделим числителя и знаменателя на първоначалната дроб на същото естествено число.

Намаляване на фракциятае процесът на замяна на дроб, при който новата дроб е равна на оригиналната, но с по-малък числител и знаменател.

Обичайно е дробите да се намаляват въз основа на основното свойство на дроб.

Например, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(числителят и знаменателят се делят на числото 3); получената фракция отново може да се намали чрез разделяне на 5, т.е. \frac(15)(20)=\frac 34.

неприводима фракцияе част от формата \frac 34, където числителят и знаменателят са относително прости числа. Основната цел на намаляването на фракцията е да направи фракцията несводима.

Привеждане на дроби до общ знаменател

Да вземем две дроби като пример: \frac(2)(3)и \frac(5)(8)с различни знаменатели 3 и 8 . За да доведете тези дроби до общ знаменател и първо умножете числителя и знаменателя на дроба \frac(2)(3)до 8 . Получаваме следния резултат: \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). След това умножете числителя и знаменателя на дроба \frac(5)(8)от 3 . В резултат получаваме: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). И така, първоначалните дроби се редуцират до общ знаменател 24.

Аритметични операции върху обикновени дроби

Събиране на обикновени дроби

а) Кога едни и същи знаменателиЧислителят на първата дроб се добавя към числителя на втората дроб, като знаменателят остава същият. Както се вижда в примера:

\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);

б) Кога различни знаменателидробите първо се редуцират до общ знаменател и след това числителите се добавят съгласно правило а):

\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12).

Изваждане на обикновени дроби

а) Със същите знаменатели извадете числителя на втората дроб от числителя на първата дроб, оставяйки знаменателя същия:

\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);

б) Ако знаменателите на дробите са различни, тогава първо дробите се редуцират до общ знаменател и след това се повтарят стъпките, както в параграф а).

Умножение на обикновени дроби

Умножението на дроби се подчинява на следното правило:

\frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),

тоест умножете числителите и знаменателите поотделно.

Например:

\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).

Деление на обикновени дроби

Фракциите се разделят по следния начин:

\frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),

това е дроб \frac(a)(b)умножено по дроб \frac(d)(c).

пример: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2).

Реципрочни числа

Ако ab=1, то числото b е обратен номерза номер а.

Пример: за числото 9 е обратното \frac(1)(9), като 9 \cdot \frac(1)(9)=1, за числото 5 - \frac(1)(5), като 5 \cdot \frac(1)(5)=1.

Десетични знаци

Десетичнае правилна дроб, чийто знаменател е 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n .

Например: \frac(6)(10)=0,6;\enspace \frac(44)(1000)=0,044.

По същия начин се записват неправилни числа със знаменател 10 ^ n или смесени числа.

Например: 5\frac(1)(10)=5.1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7.63.

Под формата на десетична дроб е представена всяка обикновена дроб със знаменател, който е делител на определена степен на числото 10.

Пример: 5 е делител на 100, така че дробът \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0,2.

Аритметични операции върху десетични дроби

Добавяне на десетични знаци

За да добавите две десетични дроби, трябва да ги подредите така, че една под друга да се появяват едни и същи цифри и запетая под запетая и след това да добавите дробите като обикновени числа.

Изваждане на десетичните знаци

Работи по същия начин като добавянето.

Десетично умножение

При умножаване десетични числапросто умножете дадени числа, като не се обръща внимание на запетаи (като естествени числа), а в получения отговор запетаята вдясно разделя толкова цифри, колкото има след запетаята и в двата фактора общо.

Нека направим умножението на 2,7 по 1,3. Имаме 27 \cdot 13=351. Двете цифри отдясно разделяме със запетая (първото и второто число имат по една цифра след десетичната запетая; 1+1=2). В резултат получаваме 2.7 \cdot 1.3=3.51 .

Ако полученият резултат е по-малък от броя на цифрите, които трябва да бъдат разделени със запетая, тогава липсващите нули се записват отпред, например:

За да умножите по 10, 100, 1000, е необходимо да преместите десетичната запетая с 1, 2, 3 цифри вдясно в десетична дроб (ако е необходимо, определен бройнули).

Например: 1,47 \cdot 10\,000 = 14,700 .

Десетично деление

Разделянето на десетична дроб на естествено число се извършва по същия начин като разделянето на естествено число на естествено число. Запетаята в частното се поставя след завършване на разделянето на цялата част.

Ако цялата част на дивидента е по-малка от делителя, тогава отговорът е нула цели числа, например:

Помислете за разделяне на десетичен знак на десетичен знак. Да кажем, че трябва да разделим 2,576 на 1,12. Първо, умножаваме делителя и делителя на дроба по 100, тоест преместваме запетаята вдясно в делителя и делителя с толкова знака, колкото има в делителя след десетичната запетая (в този пример , две). След това трябва да разделите дроба 257,6 на естественото число 112, тоест проблемът се свежда до вече разгледания случай:

Това се случва, че крайната десетична дроб не винаги се получава при разделяне на едно число на друго. Резултатът е безкраен десетичен знак. В такива случаи преминете към обикновени дроби.

2.8: 0.09= \frac(28)(10) : \frac (9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31 \frac( 1)(9).

Тази статия е за обикновени дроби. Тук ще се запознаем с понятието дроб от цяло, което ще ни доведе до определението за обикновена дроб. След това ще се спрем на приетата нотация за обикновени дроби и ще дадем примери за дроби, да речем за числителя и знаменателя на дроб. След това ще дадем определения за правилни и неправилни, положителни и отрицателни дроби, а също така ще разгледаме позицията на дробните числа върху координатния лъч. В заключение изброяваме основните действия с дроби.

Навигация в страницата.

Акции от цялото

Първо се представяме споделяне на концепцията.

Да приемем, че имаме някакъв обект, съставен от няколко абсолютно идентични (тоест равни) части. За по-голяма яснота можете да си представите, например, една ябълка, нарязана на няколко равни части, или портокал, състоящ се от няколко равни резена. Всяка една от тези равни части, които съставляват целия обект, се нарича дял от цялотоили просто акции.

Имайте предвид, че дяловете са различни. Нека обясним това. Да кажем, че имаме две ябълки. Нека разрежем първата ябълка на две равни части, а втората на 6 равни части. Ясно е, че делът на първата ябълка ще бъде различен от дела на втората ябълка.

В зависимост от броя на акциите, които съставляват целия обект, тези акции имат свои собствени имена. Да анализираме споделяйте имена. Ако обектът се състои от две части, всяка от тях се нарича една втора част от целия обект; ако обектът се състои от три части, тогава всяка от тях се нарича една трета част и т.н.

Един втори ритъм има специално име - наполовина. Една трета се нарича третии една четворка - тримесечие.

За краткост, следното споделяне на обозначения. Една втора акция се обозначава като или 1/2, една трета акция - като или 1/3; една четвърта акция - лайк или 1/4 и т.н. Имайте предвид, че нотацията с хоризонтална лента се използва по-често. За да консолидираме материала, нека дадем още един пример: записът обозначава сто шестдесет и седма от цялото.

Концепцията за дял естествено се простира от обекти до величини. Например, една от мерките за дължина е метърът. За измерване на дължини, по-малки от метър, могат да се използват части от метър. Така че можете да използвате, например, половин метър или десета или хилядна от метъра. Аналогично се прилагат дяловете на други количества.

Обикновени дроби, определение и примери за дроби

За описание на броя на акциите се използват обикновени дроби. Нека дадем пример, който ще ни позволи да се доближим до определението на обикновените дроби.

Нека портокалът се състои от 12 части. Всяка акция в този случай представлява една дванадесета от целия портокал, т.е. Нека да обозначим два удара като , три удара като и така нататък, 12 удара като . Всяко от тези записи се нарича обикновена дроб.

Сега да дадем генерал дефиниция на обикновени дроби.

Озвучената дефиниция на обикновените дроби ни позволява да донесем примери за обикновени дроби: 5/10 , 21/1 , 9/4 , . А ето и записите не отговарят на изразената дефиниция за обикновени дроби, тоест те не са обикновени дроби.

Числител и знаменател

За удобство разграничаваме обикновените дроби числител и знаменател.

Определение.

Числителобикновената дроб (m / n) е естествено число m.

Определение.

знаменателобикновената дроб (m / n) е естествено число n.

И така, числителят е разположен над дробната черта (вляво от наклонената черта), а знаменателят е под дробната черта (вдясно от наклонената черта). Например, нека вземем обикновена дроб 17/29, числителят на тази дроб е числото 17, а знаменателят е числото 29.

Остава да обсъдим значението, което се съдържа в числителя и знаменателя на обикновена дроб. Знаменателят на дроба показва от колко акции се състои един елемент, числителят от своя страна показва броя на тези акции. Например, знаменател 5 на дроб 12/5 означава, че един елемент се състои от пет части, а числителят 12 означава, че са взети 12 такива части.

Естествено число като дроб със знаменател 1

Знаменателят на обикновена дроб може да бъде равно на едно. В този случай можем да приемем, че обектът е неделим, с други думи, той е нещо цяло. Числителят на такава дроб показва колко цели елементи са взети. Така обикновена дроб от вида m/1 има значението на естествено число m. Така обосновахме равенството m/1=m .

Нека пренапишем последното равенство така: m=m/1 . Това равенство ни позволява да представим всяко естествено число m като обикновена дроб. Например числото 4 е дробът 4/1, а числото 103498 е дробът 103498/1.

Така, всяко естествено число m може да бъде представено като обикновена дроб със знаменател 1 като m/1 и всяка обикновена дроб от вида m/1 може да бъде заменена с естествено число m.

Дробна лента като знак за деление

Представянето на оригиналния обект под формата на n дяла не е нищо повече от разделяне на n равни части. След като артикулът бъде разделен на n акции, можем да го разделим поравно между n души - всеки ще получи по една акция.

Ако първоначално имаме m идентични обекта, всеки от които е разделен на n дяла, тогава можем да разделим по равно тези m обекта между n души, давайки на всеки човек по една част от всеки от m обекта. В този случай всяко лице ще има m акции 1/n, а m акции 1/n дава обикновена дроб m/n. По този начин обикновената дроб m/n може да се използва за представяне на разделянето на m елементи между n души.

Така че получихме изрична връзка между обикновените дроби и деленето (вижте общата идея за разделянето на естествени числа). Тази връзка се изразява по следния начин: Лентата на дроб може да се разбира като знак за деление, тоест m/n=m:n.

С помощта на обикновена дроб можете да напишете резултата от разделянето на две естествени числа, за които не се извършва деление на цяло число. Например, резултатът от разделянето на 5 ябълки на 8 души може да се запише като 5/8, тоест всеки ще получи пет осми от ябълка: 5:8=5/8.

Равни и неравни обикновени дроби, сравнение на дроби

Доста естествено действие е сравнение на обикновени дроби, защото е ясно, че 1/12 от един портокал е различен от 5/12, а 1/6 от една ябълка е същата като другата 1/6 от тази ябълка.

В резултат на сравняването на две обикновени дроби се получава един от резултатите: дробите са или равни, или не равни. В първия случай имаме равни обикновени дроби, а във втория неравни обикновени дроби. Нека дадем определение на равни и неравни обикновени дроби.

Определение.

равни, ако равенството a d=b c е вярно.

Определение.

Две обикновени дроби a/b и c/d не е равно, ако равенството a d=b c не е изпълнено.

Ето няколко примера за равни дроби. Например, обикновената дроб 1/2 е равна на дроба 2/4, тъй като 1 4=2 2 (ако е необходимо, вижте правилата и примерите за умножение на естествени числа). За по-голяма яснота можете да си представите две еднакви ябълки, първата се нарязва наполовина, а втората - на 4 дяла. Очевидно е, че две четвърти от една ябълка са 1/2 акция. Други примери за равни обикновени дроби са дробите 4/7 и 36/63 и двойката дроби 81/50 и 1620/1000.

И обикновените дроби 4/13 и 5/14 не са равни, тъй като 4 14=56 и 13 5=65, тоест 4 14≠13 5. Друг пример за неравни обикновени дроби са дробите 17/7 и 6/4.

Ако при сравняване на две обикновени дроби се окаже, че те не са равни, тогава може да се наложи да разберете коя от тези обикновени дроби по-малъкдруг и който Повече ▼. За да разберете, се използва правилото за сравняване на обикновени дроби, чиято същност е да приведете сравнените дроби до общ знаменател и след това да сравните числителите. Подробна информация по тази тема е събрана в статията за сравнение на дроби: правила, примери, решения.

Дробни числа

Всяка дроб е рекорд дробно число. Тоест, дробът е просто „черупка“ на дробно число, неговата външен вид, а цялото семантично натоварване се съдържа точно в дробно число. Въпреки това, за краткост и удобство, концепцията за дроб и дробно число се комбинират и просто се наричат ​​дроб. Тук е уместно да перифразираме добре познатата поговорка: казваме дроб – имаме предвид дробно число, казваме дробно число - имаме предвид дроб.

Дроби на координатния лъч

Всички дробни числа, съответстващи на обикновени дроби, имат свои собствени уникално мястона , тоест има съответствие едно към едно между фракции и точки на координатния лъч.

За да се стигне до точката, съответстваща на фракцията m / n на координатния лъч, е необходимо да се отложат m сегмента от началото в положителна посока, чиято дължина е 1 / n от единичния сегмент. Такива сегменти могат да бъдат получени чрез разделяне на единичен сегмент на n равни части, което винаги може да се направи с помощта на пергел и линийка.

Например, нека покажем точката M на координатния лъч, съответстваща на дроб 14/10. Дължината на отсечката с краища в точка O и най-близката до нея точка, отбелязана с малко тире, е 1/10 от единичния сегмент. Точката с координата 14/10 се отстранява от началото с 14 такива сегмента.

Равни дроби съответстват на едно и също дробно число, т.е. равни дробиса координатите на една и съща точка на координатния лъч. Например, една точка съответства на координатите 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 на координатния лъч, тъй като всички записани дроби са равни (намира се на разстояние от половината от единичния сегмент, отложен от началото в положителна посока).

На хоризонтален и дясно насочен координатен лъч точката, чиято координата е голяма дроб, се намира вдясно от точката, чиято координата е по-малка дроб. По същия начин точката с по-малка координата лежи вляво от точката с по-голяма координата.

Правилни и неправилни дроби, определения, примери

Сред обикновените фракции има правилни и неправилни дроби. Това деление основно има сравнение на числителя и знаменателя.

Нека да дадем определение за правилни и неправилни обикновени дроби.

Определение.

Правилна фракцияе обикновена дроб, чийто числител е по-малък от знаменателя, тоест ако m

Определение.

Неправилна дробе обикновена дроб, в която числителят е по-голям или равен на знаменателя, тоест, ако m≥n, тогава обикновената дроб е неправилна.

Ето няколко примера за правилни дроби: 1/4 , , 32 765/909 003 . Всъщност във всяка от написаните обикновени дроби числителят е по-малък от знаменателя (ако е необходимо, вижте статията за сравнение на естествени числа), така че те са правилни по дефиниция.

И ето примери за неправилни дроби: 9/9, 23/4,. Действително, числителят на първата от написаните обикновени дроби е равен на знаменателя, а в останалите дроби числителят е по-голям от знаменателя.

Има също дефиниции за правилни и неправилни дроби, базирани на сравняване на дроби с единица.

Определение.

правилноако е по-малко от единица.

Определение.

Обикновената дроб се нарича погрешно, ако е равно на единица или по-голямо от 1.

Така че обикновената дроб 7/11 е правилна, тъй като 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 и 27/27=1.

Нека помислим как обикновените дроби с числител, по-голям или равен на знаменателя, заслужават такова име - "грешно".

Да вземем за пример неправилната дроб 9/9. Тази дроб означава, че са взети девет части от обект, който се състои от девет части. Тоест от наличните девет акции можем да съставим цяла тема. Тоест, неправилната дроб 9/9 по същество дава цял обект, тоест 9/9=1. По принцип неправилните дроби с числител, равен на знаменателя, означават един цял обект и такава дроб може да бъде заменена с естествено число 1.

Сега разгледайте неправилните дроби 7/3 и 12/4. Съвсем очевидно е, че от тези седем трети можем да направим два цели обекта (един цял обект е 3 дяла, след това за да съставим два цели обекта са ни необходими 3 + 3 = 6 дяла) и пак ще има една трета част. Тоест, неправилната дроб 7/3 по същество означава 2 елемента и дори 1/3 от дела на такъв елемент. И от дванадесет четвърти можем да направим три цели обекта (три обекта с по четири части всеки). Тоест дроб 12/4 по същество означава 3 цели обекта.

Разгледаните примери ни водят до следния извод: неправилните дроби могат да бъдат заменени или с естествени числа, когато числителят е разделен изцяло на знаменателя (например 9/9=1 и 12/4=3), или сумата от естествено число и правилна дроб, когато числителят не се дели равномерно на знаменателя (например 7/3=2+1/3). Може би точно това е това, което неправилните дроби заслужават такова име - „грешни“.

Особен интерес представлява представянето на неправилна дроб като сбор от естествено число и правилна дроб (7/3=2+1/3). Този процес се нарича извличане на цяла част от неправилна дроб и заслужава отделно и по-внимателно разглеждане.

Също така си струва да се отбележи, че има много тясна връзка между неправилните дроби и смесените числа.

Положителни и отрицателни дроби

Всяка обикновена дроб съответства на положително дробно число (вижте статията положителни и отрицателни числа). Тоест обикновените дроби са положителни дроби. Например обикновените дроби 1/5, 56/18, 35/144 са положителни дроби. Когато е необходимо да се подчертае положителността на дроб, тогава пред него се поставя знак плюс, например +3/4, +72/34.

Ако поставите знак минус пред обикновена дроб, тогава този запис ще съответства на отрицателно дробно число. В случая може да се говори за отрицателни дроби. Ето някои примери за отрицателни дроби: −6/10 , −65/13 , −1/18 .

Положителните и отрицателните дроби m/n и −m/n са противоположни числа. Например, дробите 5/7 и −5/7 са противоположни дроби.

Положителните дроби, като положителните числа като цяло, означават увеличение, доход, промяна на някаква стойност нагоре и т.н. Отрицателните дроби съответстват на разход, дълг, промяна на всяка стойност в посока на намаляване. Например, отрицателна дроб -3/4 може да се тълкува като дълг, чиято стойност е 3/4.

На хоризонталната и дясно насочените отрицателни фракции са разположени вляво от референтната точка. Точките от координатната права, чиито координати са положителната част m/n и отрицателната дроб −m/n, са разположени на същото разстояние от началото, но от противоположните страни на точката O.

Тук си струва да споменем дроби от вида 0/n. Тези дроби са равни на числото нула, тоест 0/n=0.

Положителните дроби, отрицателните дроби и 0/n дробите се комбинират, за да образуват рационални числа.

Действия с дроби

Едно действие с обикновени дроби - сравняване на дроби - вече разгледахме по-горе. Дефинирани са още четири аритметични операции с дроби- събиране, изваждане, умножение и деление на дроби. Нека се спрем на всеки един от тях.

Общата същност на действията с дроби е подобна на същността на съответните действия с естествени числа. Нека направим аналогия.

Умножение на дробиможе да се разглежда като действие, при което дроб се намира от дроб. За да изясним, нека вземем пример. Да предположим, че имаме 1/6 от ябълката и трябва да вземем 2/3 от нея. Частта, от която се нуждаем, е резултат от умножаването на дробите 1/6 и 2/3. Резултатът от умножаването на две обикновени дроби е обикновена дроб (която в конкретен случай е равна на естествено число). По-нататък препоръчваме да проучите информацията от статията умножение на дроби - правила, примери и решения.

Библиография.

• Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика: учебник за 5 клетки. образователни институции.
• Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 клас: учебник за образователни институции.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (наръчник за кандидати в техникуми).

Част от единица или няколко нейни части се наричат ​​проста или обикновена дроб. Броят на равни части, на които е разделена единицата, се нарича знаменател, а броят на взетите части се нарича числител. Дробата се записва като:

В този случай a е числителят, b е знаменателят.

Ако числителят е по-малък от знаменателя, тогава дробът е по-малък от 1 и се нарича правилна дроб. Ако числителят е по-голям от знаменателя, тогава дробът е по-голям от 1, тогава дробът се нарича неправилна дроб.

Ако числителят и знаменателят на дроб са равни, тогава дробът е равна.

1. Ако числителят може да се раздели на знаменателя, тогава тази дроб е равна на частното от деление:

Ако делението се извършва с остатък, тогава тази неправилна дроб може да бъде представена със смесено число, например:

Тогава 9 е непълно частно (цялата част от смесеното число),
1 - остатък (числител на дробната част),
5 е знаменателят.

За да преобразувате смесено число във дроб, умножете цялата част от смесеното число по знаменателя и добавете числителя на дробната част.

Полученият резултат ще бъде числител на обикновена дроб, а знаменателят ще остане същият.

Действия с дроби

Фракционно разширение.Стойността на една дроб не се променя, ако нейният числител и знаменател се умножат по едно и също число, различно от нула.
например:

Намаляване на фракцията.Стойността на една дроб не се променя, ако нейният числител и знаменател се разделят на едно и също число, различно от нула.
например:

Сравнение на фракции.От две дроби с един и същ числител по-голямата е тази с по-малък знаменател:

От две дроби с еднакви знаменатели тази с по-голям числител е по-голяма:

За да сравните дроби, които имат различни числители и знаменатели, е необходимо да ги разширите, тоест да ги доведете до общ знаменател. Помислете например за следните дроби:

Събиране и изваждане на дроби.Ако знаменателите на дробите са еднакви, тогава, за да се съберат дробите, е необходимо да се съберат техните числители, а за да се извадят дробите, е необходимо да се извадят техните числители. Получената сума или разлика ще бъде числителят на резултата, докато знаменателят ще остане същият. Ако знаменателите на дробите са различни, първо трябва да намалите дробите до общ знаменател. При събиране на смесени числа техните цели и дробни части се събират поотделно. Когато изваждате смесени числа, първо трябва да ги преобразувате във формата на неправилни дроби, след това да изваждате едно от друго и след това отново да доведете резултата, ако е необходимо, до формата на смесено число.

Умножение на дроби. За да умножите дроби, трябва да умножите техните числители и знаменатели поотделно и да разделите първия продукт на втория.

Деление на дроби. За да разделите число на дроб, трябва да умножите това число по обратното му число.

Десетичнае резултат от разделянето на едно на десет, сто, хиляда и т.н. части. Първо се записва цялата част от числото, след това десетичната запетая се поставя отдясно. Първата цифра след десетичната запетая означава броя на десетите, втората - броя на стотните, третата - броя на хилядните и т. н. Числата след десетичната запетая се наричат ​​десетични знаци.

Например:

Десетични свойства

Имоти:

• Десетичната дроб не се променя, ако вдясно се добавят нули: 4,5 = 4,5000.
• Десетичната дроб не се променя, ако нулите, разположени в края на десетичната дроб, бъдат премахнати: 0,0560000 = 0,056.
• Десетичната запетая се увеличава с 10, 100, 1000 и т.н. пъти, ако преместите десетичната запетая на едно, две, три и т.н. позиции вдясно: 4,5 45 (фракцията се е увеличила 10 пъти).
• Десетичната запетая се намалява с 10, 100, 1000 и т.н. пъти, ако преместите десетичната запетая на едно, две, три и т.н. позиции вляво: 4,5 0,45 (фракцията е намаляла 10 пъти).

Периодичният десетичен знак съдържа безкрайно повтаряща се група от цифри, наречена период: 0,321321321321…=0,(321)

Операции с десетични знаци

Добавянето и изваждането на десетичните знаци се извършва по същия начин като събирането и изваждането на цели числа, просто трябва да напишете съответните десетични знаци едно под друго.
Например:

Умножението на десетичните дроби се извършва на няколко етапа:

• Умножаваме десетичните числа като цели числа, без да отчитаме десетичната запетая.
• Прилага се правилото: броят на десетичните знаци в произведението е равен на сбора от десетичните знаци във всички фактори.

например:

Сборът от числата след десетичната запетая във факторите е: 2+1=3. Сега трябва да преброите 3 цифри от края на полученото число и да поставите десетична запетая: 0,675.

Деление на десетичните знаци. Разделяне на десетичен знак на цяло число: ако дивидентът е по-малък от делителя, тогава трябва да напишете нула в цялата част на частното и да поставите десетична точка след нея. След това, без да отчитате десетичната запетая на дивидента, добавете следващата цифра на дробната част към нейната цяла част и отново сравнете получената цяла част от делителя с делителя. Ако новото число отново е по-малко от делителя, операцията трябва да се повтори. Този процес се повтаря, докато полученият дивидент е по-голям от делителя. След това деленето се извършва както за цели числа. Ако дивидентът е по-голям или равен на делителя, първо разделяме цялата му част, записваме резултата от делението в частното и поставяме десетична запетая. След това делението продължава, както в случая с цели числа.

Разделяне на една десетична дроб на друга: първо, десетичните точки в делителя и делителя се прехвърлят с броя на десетичните знаци в делителя, тоест правим делителя цяло число и действията, описани по-горе, се извършват.

За да преобразувате десетична дроб в обикновена, е необходимо да вземете числото след десетичната запетая като числител и да вземете k-та степен на десет като знаменател (k е броят на десетичните знаци). Ненулевата цяла част се запазва в обикновената дроб; нулевата част е пропусната.
Например:

За да преобразувате обикновена дроб в десетична, е необходимо да разделите числителя на знаменателя в съответствие с правилата за деление.

Процентът е една стотна от единицата, например: 5% означава 0,05. Съотношението е частното от деленето на едно число на друго. Пропорцията е равенството на две съотношения.

Например:

Основното свойство на пропорцията: произведението на крайните членове на пропорцията е равно на произведението на средните й членове, тоест 5x30 = 6x25. Две взаимно зависими величини се наричат ​​пропорционални, ако съотношението на техните количества остава непроменено (коефициент на пропорционалност).

Така се разкриват следните аритметични операции.
Например:

Множеството от рационални числа включва положителни и отрицателни числа (цели и дробни) и нула. По-точна дефиниция на рационалните числа, възприета в математиката, е следната: числото се нарича рационално, ако може да бъде представено като обикновена неприводима дроб от вида:, където a и b са цели числа.

За отрицателно число абсолютната стойност (модул) е положително число, получено чрез промяна на знака му от "-" на "+"; за положително число и нула, самото число. За обозначаване на модула на число се използват две прави линии, вътре в които се изписва това число, например: |–5|=5.

Свойства на абсолютна стойност

Нека е даден модулът на число , за които са валидни свойствата:

Едночленът е произведение на два или повече фактора, всеки от които е или число, или буква, или степен на буква: 3 x a x b. Коефициентът най-често се нарича само числов фактор. За мономиите се казва, че са сходни, ако са еднакви или се различават само по коефициенти. Степента на един моном е сумата от степените на всички негови букви. Ако има подобни сред сбора от мономи, тогава сумата може да бъде намалена до по-проста форма: 3 x a x b + 6 x a \u003d 3 x a x (b + 2). Тази операция се нарича принуда на подобни термини или скоби.

Полиномът е алгебричен сбор от мономи. Степента на полином е най-голямата от степените на мономиите, включени в дадения полином.

Има следните формули за съкратено умножение:

Методи на факторинг:

Алгебричната дроб е израз от вида , където A и B могат да бъдат число, моном, полином.

Ако два израза (цифров и азбучен) са свързани със знака "=", тогава се казва, че образуват равенство. Всяко истинско равенство, валидно за всички допустими числови стойности на буквите, включени в него, се нарича идентичност.

Уравнението е буквално равенство, което е валидно за определени стойности на буквите, включени в него. Тези букви се наричат ​​неизвестни (променливи), а техните стойности, при които даденото уравнение се превръща в тъждество, се наричат ​​корени на уравнението.

Решаването на уравнение означава намиране на всичките му корени. За две или повече уравнения се казва, че са еквивалентни, ако имат еднакви корени.

• нула беше коренът на уравнението;
• Уравнението има само краен брой корени.

Основни видове алгебрични уравнения:

Линейното уравнение има ax + b = 0:

• ако a x 0, има единичен корен x = -b/a;
• ако a = 0, b ≠ 0, няма корени;
• ако a = 0, b = 0, коренът е всяко реално число.

Уравнение xn = a, n N:

• ако n е нечетно число, има реален корен, равен на a/n за всяко a;
• ако n е четно число, тогава за 0 има два корена.

Основни идентични трансформации: замяна на един израз с друг, идентично равен на него; прехвърляне на членовете на уравнението от едната страна на другата с противоположни знаци; умножение или деление на двете части на уравнението с един и същ израз (число), различен от нула.

Линейно уравнение с едно неизвестно е уравнение от вида: ax+b=0, където a и b са известни числа, а x е неизвестна стойност.

Системите от две линейни уравнения с две неизвестни имат формата:

Където a, b, c, d, e, f са дадени числа; x, y са неизвестни.

Числа a, b, c, d - коефициенти за неизвестни; e, f - свободни членове. Решението на тази система от уравнения може да бъде намерено чрез два основни метода: методът на заместване: от едно уравнение изразяваме едно от неизвестните чрез коефициентите, а другото неизвестно и след това го заместваме във второто уравнение, решавайки последното уравнение , първо намираме едно неизвестно, след това заместваме намерената стойност в първото уравнение и намираме второто неизвестно; метод за добавяне или изваждане на едно уравнение от друго.

Операции с корени:

Аритметичният корен от n-та степен на неотрицателно число a е неотрицателно число, чиято n-та степен е равна на a. Алгебричният корен от n-та степен от дадено число е множеството от всички корени от това число.

Ирационалните числа, за разлика от рационалните, не могат да бъдат представени като обикновена неприводима дроб от вида m/n, където m и n са цели числа. Това са числа от нов тип, които могат да бъдат изчислени с всякаква точност, но не могат да бъдат заменени с рационално число. Те могат да се появят в резултат на геометрични измервания, например: съотношението на дължината на диагонала на квадрат към дължината на неговата страна е равно.

Квадратното уравнение е алгебрично уравнение от втора степен ax2+bx+c=0, където a, b, c са дадени числови или азбучни коефициенти, x е неизвестно. Ако разделим всички членове на това уравнение на a, в резултат получаваме x2+px+q=0 - редуцираното уравнение p=b/a, q=c/a. Корените му се намират по формулата:

Ако b2-4ac>0, тогава има два различни корена, b2-4ac=0, тогава има два равен корен; b2-4ac Уравнения, съдържащи модули

Основни видове уравнения, съдържащи модули:
1) |f(x)| = |g(x)|;
2) |f(x)| = g(x);
3) f1(x)|g1(x)| + f2(x)|g2(x)| + … + fn(x)|gn(x)| =0, n N, където f(x), g(x), fk(x), gk(x) са дадени функции.