Купчина ужасни формули, ръководства по висша математика, които отваряш и веднага затваряш, мъчителното търсене на решение на привидно много прост проблем.... Тази ситуация не е необичайна, особено когато учебник по математика беше отворен за последно в далечния 11 клас. Междувременно в университетите учебните програми на много специалности предвиждат изучаване на любимата на всички висша математика. И в тази ситуация често се чувствате като пълен чайник пред купчина ужасни математически глупости. Освен това подобна ситуация може да възникне при изучаването на всеки предмет, особено от цикъла на природните науки.

Какво да правя? За редовен студент всичко е много по-просто, освен ако, разбира се, предметът не е много пренебрегван. Можете да се консултирате с учител, съученици и просто да отпишете от съсед на бюрото. Дори пълен чайник по висша математика ще оцелее в сесията при такива сценарии.

И ако човек учи в кореспондентския отдел на университет, а висшата математика, меко казано, едва ли ще се изисква в бъдеще? Освен това няма време за уроци. В повечето случаи е така, но никой не е отменил изпълнението на тестове и полагането на изпита (най-често писмен). С тестовете по висша математика всичко е по-лесно, независимо дали сте чайник или не - може да се поръча тест по математика. Аз например имам. Могат да бъдат поръчани и други артикули. Вече не тук. Но изпълнението и подаването на тестови работи за преглед все още няма да доведе до желаното вписване в класната книга. Често се случва, че произведението на изкуството, направено по поръчка, трябва да бъде защитено и е необходимо да се обясни защо тази формула произтича от тези писма. Освен това предстоят изпити, а там вече ще трябва да решавате детерминанти, лимити и производни САМОСТОЯТЕЛНО. Освен ако, разбира се, учителят не приеме ценни подаръци или няма нает доброжелател извън класната стая.

Позволете ми да ви дам няколко много важни съвета. На тестове, изпити по точни и природни науки Е МНОГО ВАЖНО НЕЩО ДА РАЗБИРАТЕ. Запомнете, ПОНЕ НЕЩО. Пълната липса на мисловни процеси просто вбесява учителя, знам за случаи, когато задочниците са били увивани 5-6 пъти. Спомням си, че един млад мъж издържа теста 4 пъти и след всяко повторно полагане се обръщаше към мен за безплатна гаранционна консултация. В крайна сметка забелязах, че в отговора той пише буквата „pe“ вместо буквата „pi“, което беше последвано от тежки санкции от страна на рецензента. Студентът ДОРИ НЕ ИСКАЛ ДА РАЗГЛЕДА в заданието, което небрежно пренаписа

Можете да бъдете пълен манекен във висшата математика, но е много желателно да знаете, че производната на константа е равна на нула. Защото ако отговорите на някаква глупост на елементарен въпрос, тогава има голяма вероятност следването ви в университета да приключи за вас. Учителите са много по-благосклонни към ученика, който ПОНЕ СЕ ОПИТВА да разбере предмета, към този, който макар и погрешно, но се опитва да реши, обясни или докаже нещо. И това твърдение е вярно за всички дисциплини. Следователно позицията „нищо не знам, нищо не разбирам“ трябва да бъде категорично отхвърлена.

Вторият важен съвет е да ходите на лекции, дори и да не са много. Вече споменах това на главната страница на сайта. Математика за задочни студенти. Няма смисъл да повтарям защо е МНОГО важно, прочетете там.

И така, какво да направите, ако има тест на носа, изпит по висша математика и нещата са плачевни - състоянието на пълен или по-скоро празен чайник?

Една от възможностите е да наемете преподавател. Може да се намери най-голямата база данни с преподаватели (главно Москва) или (главно Санкт Петербург). С помощта на търсачка е много вероятно да намерите преподавател във вашия град или да погледнете местните рекламни вестници. Цената за услугите на преподавател може да варира от 400 или повече рубли на час, в зависимост от квалификацията на учителя. Трябва да се отбележи, че евтино не означава лошо, особено ако имате добър математически опит. В същото време за 2-3K рубли ще получите МНОГО. Напразно никой не взема такива пари и напразно никой не плаща такива пари ;-). Единственият важен момент - опитайте се да изберете преподавател със специализирано педагогическо образование. И всъщност ние не ходим на зъболекар за правна помощ.

Напоследък услугата за онлайн обучение набира популярност. Много е удобно, когато трябва спешно да решите един или два проблема, да разберете тема или да се подготвите за изпит. Безспорното предимство са цените, които са няколко пъти по-ниски от тези на офлайн преподавател + спестяване на време за пътуване, което е особено важно за жителите на мегаполисите.

В хода на висшата математика е много трудно да се овладеят някои неща без преподавател, просто се нуждаете от „на живо“ обяснение.

Въпреки това е напълно възможно да разберете много видове проблеми сами и целта на този раздел на сайта е да ви научи как да решавате типични примери и задачи, които почти винаги се срещат в изпитите. Освен това за редица задачи има "твърди" алгоритми, при които няма измъкване от правилното решение. И доколкото ми е известно ще се опитам да ви помогна, още повече че имам педагогическо образование и трудов стаж по специалността си.

Нека започнем да бъркаме математически глупости. Всичко е наред, дори и да сте чайник, висшата математика е наистина проста и наистина достъпна.

И трябва да започнете с повтаряне на училищния курс по математика. Повторението е майката на болката.

Преди да започнете да изучавате моите методически материали и като цяло да започнете да изучавате каквито и да било материали по висша математика, СИЛНО ПРЕПОРЪЧВАМ да прочетете следното.

За да решавате успешно задачи по висша математика, ТРЯБВА:

ВЗЕМЕТЕ МИКРОКАЛКУЛАТОР.

От програмите - Excel (отличен избор!). Качих ръководството за "манекени" в библиотеката.

Има? Вече добре.

– От пренареждането на сроковете - сумата не се променя: .
Но това са съвсем различни неща:

Просто е невъзможно да пренаредите "x" и "four". В същото време си припомняме емблематичната буква "x", която в математиката означава неизвестна или променлива стойност.

– Чрез пренареждане на факторите - продуктът не се променя: .
При деление такъв трик няма да работи, а това са две напълно различни дроби и пренареждането на числителя със знаменателя не става без последствия.
Припомняме също, че знакът за умножение („точки“) най-често не се пише:,

– Припомнете си правилата за разширяване на скоби:
- тук знаците на термините не се променят
- и тук те са обърнати.
И за умножение:

Като цяло е достатъчно да запомните това ДВА МИНУС ДАВА ПЛЮС, а ТРИ МИНУС - ДАВАТЕ МИНУС. И опитайте се да не се бъркате в това, когато решавате задачи по висша математика (много честа и досадна грешка).

– Припомнете си намаляването на подобни термини, Трябва да имате добро разбиране на следната операция:

– Спомнете си какво е диплома:

, , , .

Степента е просто обикновено умножение.

–Не забравяйте, че фракциите могат да бъдат намалени: (намалено с 2), (намалено с пет), (намалено с ).

– Запомнете действията с дроби:

и също много важно правило за намаляване на дробите до общ знаменател:

Ако тези примери не са ясни, вижте училищните учебници.
Без това ще бъде ТРУДНО.

СЪВЕТ: всички МЕЖДИННИ изчисления във висшата математика се правят най-добре в ОБИКНОВЕНИ ДЕСНИ И НЕРЕГЛАМЕННИ ДРОБИ, дори ако са страшни дроби като . Тази дроб НЕ ТРЯБВА да бъде представена като , и освен това НЕ разделяйте числителя на знаменателя на калкулатора, получавайки 4,334552102 ....

ИЗКЛЮЧЕНИЕТО от правилото е крайният отговор на задачата, тогава е по-добре да напишете или.

– Уравнението. Има лява и дясна страна. Например:

Можете да прехвърлите всеки термин в друга част, като промените знака му:
Да преместим, например, всички термини в лявата страна:

Или вдясно:

Нова страница 1

Математически анализ за манекени. Урок 1. Набори.

Концепцията за комплект

Няколкое колекция от някои обекти. Какво могат да бъдат комплекти? Първо, краен или безкраен. Например наборът от кибрити в кутия е краен набор, те могат да бъдат взети и преброени. Броят на пясъчните зърна на плажа е много по-труден за преброяване, но по принцип е възможно. И това количество се изразява с някакво крайно число. Толкова много песъчинки на плажа, разбира се. Но множеството от точки на права линия е безкрайно множество. Тъй като, първо, самата линия е безкрайна и можете да поставите толкова точки върху нея, колкото искате. Наборът от точки на отсечката също е безкраен. Тъй като теоретично една точка може да бъде произволно малка. Разбира се, не можем физически да начертаем точка, например, по-малка от размера на атом, но от гледна точка на математиката точката няма размер. Размерът му е нула. Какво се случва, когато разделите число на нула? Точно така, безкрайност. И въпреки че множеството от точки на права линия и на отсечка клони към безкрайност, това не е едно и също нещо. Наборът не е количество от нещо там, а колекция от всякакви обекти. И само онези набори, които съдържат абсолютно еднакви обекти, се считат за равни. Ако един набор съдържа същите обекти като друг набор, но плюс още един "ляв" обект, тогава това вече не са равни набори.

Помислете за пример. Да кажем, че имаме два комплекта. Първият е събирането на всички точки на линията. Вторият е множеството от всички точки на отсечка от права линия. Защо не са равни? Първо, отсечката и правата може дори да не се пресичат. Тогава те със сигурност не са равни, тъй като съдържат напълно различни точки. Ако се пресичат, значи имат само една обща точка. Всички останали са също толкова различни. Ами ако сегментът лежи на права линия? Тогава всички точки на отсечката също са точки от правата. Но не всички точки на права са точки от отсечка от права. Така че в този случай множествата не могат да се считат за равни (идентични).

Всеки набор се дефинира от правило, което уникално определя дали даден елемент принадлежи към този набор или не. Какви могат да бъдат тези правила? Например, ако множеството е крайно, можете глупаво да изброите всички негови обекти. Можете да зададете диапазон. Например всички цели числа от 1 до 10. Това също ще бъде крайно множество, но тук не изброяваме неговите елементи, а формулираме правило. Или неравенство, например, всички числа са по-големи от 10. Това вече ще бъде безкрайно множество, тъй като е невъзможно да се назове най-голямото число - независимо кое число ще извикаме, винаги има това число плюс 1.

Като правило множествата се обозначават с главни букви на латинската азбука A, B, C и т.н. Ако наборът се състои от конкретни елементи и искаме да го дефинираме като списък с тези елементи, тогава можем да затворим този списък в къдрави скоби, например A=(a, b, c, d). Ако a е елемент от множеството A, тогава това се записва по следния начин: а Î А. Ако a не е елемент от множеството A, тогава напишете a Ï А. Едно от важните множества е множеството N от всички естествени числа N=(1,2,3,...,) . Има и специален, така наречен празен набор, който не съдържа нито един елемент. Празният набор се обозначава със символа Æ .

Определение 1 (дефиниция на равенството на множествата). Комплекти НОи B са равни, ако се състоят от едни и същи елементи, тоест ако са от xн A следва x н B и обратно, от x н B следва x н A.

Формално равенството на две множества се записва, както следва:

(A=B) := " х (( х Î А ) Û (х Î Б )),

Това означава, че за всеки обект x отношенията xÎ А и хО B са еквивалентни.

Тук " е универсалният квантор (" хгласи „за всеки х").

Определение 2 (дефиниция на подмножество). Няколко НОе подмножество на множеството ATАко някой хпринадлежащи към комплекта НО, принадлежи към комплекта AT.Формално това може да се изрази като израз:

(А Ì Б) := " х((х Î А) Þ (х Î Б))

Ако Ì Б но А ¹ B, тогава A е правилно подмножество на множеството AT.Като пример отново могат да бъдат цитирани права линия и сегмент. Ако отсечката лежи на права, тогава множеството от неговите точки е подмножество от точките на тази права. Или друг пример. Наборът от цели числа, които се делят равномерно на 3, е подмножество от множество цели числа.

Коментирайте.Празният набор е подмножество от всяко множество.

Операции върху множества

Следните операции са възможни върху комплекти:

съюз.Същността на тази операция е да се комбинират два набора в един, съдържащ елементи от всеки от комбинираните набори. Формално изглежда така:

C=AÈ Б:= {x:x Î А или хÎ Б}

Пример. Нека решим неравенството | 2 х+ 3 | > 7.

Това означава или неравенството 2x+3 >7, за 2x+3≥0, след това x>2

или неравенство 2x+3<-7, для 2x+3 <0, тогда x<-5.

Множеството от решения на това неравенство е обединение от множества (-∞,-5) È (2, ∞).

Да проверим. Нека изчислим стойността на израза | 2 х+ 3 | за няколко точки, лежащи и нележащи в дадения диапазон:

х	| 2 х+ 3 |
-10	17
-6	9
-5	7
-4	5
-2	1
0	3
1	5
2	7
3	9
5	13

Както можете да видите, всичко беше решено правилно (граничните диапазони са маркирани в червено).

пресичане.Пресичането е операцията за създаване на нов набор от два съдържащи елемента, които са включени и в двата набора. За да си представим това, нека си представим, че имаме два набора от точки в равнината, а именно фигура A и фигура B. Тяхното пресичане означава фигура C – това е резултат от операцията за пресичане на множества:

Формално операцията за пресичане на множества се записва по следния начин:

C=A Ç Б:= (x: x Î A и x О B )

Пример.Нека имаме набор Тогава C=A Ç Б = {5,6,7}

Изваждане.Изваждането на множество е изключване от изваденото множество на онези елементи, които се съдържат в изваждането и изваждателя:

Формално изваждането на множество се записва, както следва:

A\B:={x:x Î А и хÏ Б}

Пример.Дано имаме много A=(1,2,3,4,5,6,7), B=(5,6,7,8,9,10).Тогава C=A\ Б = { 1,2,3,4}

Добавяне.Допълнението е унарна операция (операция не върху две, а върху един набор). Тази операция е резултат от изваждане на даденото множество от пълното универсално множество (множеството, което включва всички останали множества).

A := (x:x О U и x П A) = U \ A

Графично това може да бъде представено като:

симетрична разлика.За разлика от обичайната разлика, при симетрична разлика на множествата остават само онези елементи, които присъстват или в едно, или в друго множество. Или, по-просто казано, той е създаден от два набора, но тези елементи, които са в двата набора, са изключени от него:

Математически това може да се изрази по следния начин:

Ад Б:= (A\B) È ( B\A) = (А È Б) \ (А Ç Б)

Свойства на операциите върху множества.

От дефинициите за обединение и пресичане на множества следва, че операциите на пресичане и обединение имат следните свойства:

1. Комутативност.

А È B=BÈ А
АÇ B=BÇ А

1. Асоциативност.

(А È Б) È C=AÈ ( Б È ° С)
(А Ç Б) Ç C= AÇ ( Б Ç ° С)

Купчина ужасни формули, ръководства по висша математика, които отваряш и веднага затваряш, мъчителното търсене на решение на привидно много прост проблем.... Тази ситуация не е необичайна, особено когато учебник по математика беше отворен за последно в далечния 11 клас. Междувременно в университетите учебните програми на много специалности предвиждат изучаване на любимата на всички висша математика. И в тази ситуация често се чувствате като пълен чайник пред купчина ужасни математически глупости. Освен това подобна ситуация може да възникне при изучаването на всеки предмет, особено от цикъла на природните науки.

Какво да правя? За редовен студент всичко е много по-просто, освен ако, разбира се, предметът не е много пренебрегван. Можете да се консултирате с учител, съученици и просто да отпишете от съсед на бюрото. Дори пълен чайник по висша математика ще оцелее в сесията при такива сценарии.

И ако човек учи в кореспондентския отдел на университет, а висшата математика, меко казано, едва ли ще се изисква в бъдеще? Освен това няма време за уроци. В повечето случаи е така, но никой не е отменил изпълнението на тестове и полагането на изпита (най-често писмен). С тестовете по висша математика всичко е по-лесно, независимо дали сте чайник или не - може да се поръча тест по математика. Аз например имам. Могат да бъдат поръчани и други артикули. Вече не тук. Но изпълнението и подаването на тестови работи за преглед все още няма да доведе до желаното вписване в класната книга. Често се случва, че произведението на изкуството, направено по поръчка, трябва да бъде защитено и е необходимо да се обясни защо тази формула произтича от тези писма. Освен това предстоят изпити, а там вече ще трябва да решавате детерминанти, лимити и производни САМОСТОЯТЕЛНО. Освен ако, разбира се, учителят не приеме ценни подаръци или няма нает доброжелател извън класната стая.

Позволете ми да ви дам няколко много важни съвета. На тестове, изпити по точни и природни науки Е МНОГО ВАЖНО НЕЩО ДА РАЗБИРАТЕ. Запомнете, ПОНЕ НЕЩО. Пълната липса на мисловни процеси просто вбесява учителя, знам за случаи, когато задочниците са били увивани 5-6 пъти. Спомням си, че един млад мъж издържа теста 4 пъти и след всяко повторно полагане се обръщаше към мен за безплатна гаранционна консултация. В крайна сметка забелязах, че в отговора той пише буквата „pe“ вместо буквата „pi“, което беше последвано от тежки санкции от страна на рецензента. Студентът ДОРИ НЕ ИСКАЛ ДА РАЗГЛЕДА в заданието, което небрежно пренаписа

Можете да бъдете пълен манекен във висшата математика, но е много желателно да знаете, че производната на константа е равна на нула. Защото ако отговорите на някаква глупост на елементарен въпрос, тогава има голяма вероятност следването ви в университета да приключи за вас. Учителите са много по-благосклонни към ученика, който ПОНЕ СЕ ОПИТВА да разбере предмета, към този, който макар и погрешно, но се опитва да реши, обясни или докаже нещо. И това твърдение е вярно за всички дисциплини. Следователно позицията „нищо не знам, нищо не разбирам“ трябва да бъде категорично отхвърлена.

Вторият важен съвет е да ходите на лекции, дори и да не са много. Вече споменах това на главната страница на сайта. Математика за задочни студенти. Няма смисъл да повтарям защо е МНОГО важно, прочетете там.

И така, какво да направите, ако има тест на носа, изпит по висша математика и нещата са плачевни - състоянието на пълен или по-скоро празен чайник?

Една от възможностите е да наемете преподавател. Може да се намери най-голямата база данни с преподаватели (главно Москва) или (главно Санкт Петербург). С помощта на търсачка е много вероятно да намерите преподавател във вашия град или да погледнете местните рекламни вестници. Цената за услугите на преподавател може да варира от 400 или повече рубли на час, в зависимост от квалификацията на учителя. Трябва да се отбележи, че евтино не означава лошо, особено ако имате добър математически опит. В същото време за 2-3K рубли ще получите МНОГО. Напразно никой не взема такива пари и напразно никой не плаща такива пари ;-). Единственият важен момент - опитайте се да изберете преподавател със специализирано педагогическо образование. И всъщност ние не ходим на зъболекар за правна помощ.

Напоследък услугата за онлайн обучение набира популярност. Много е удобно, когато трябва спешно да решите един или два проблема, да разберете тема или да се подготвите за изпит. Безспорното предимство са цените, които са няколко пъти по-ниски от тези на офлайн преподавател + спестяване на време за пътуване, което е особено важно за жителите на мегаполисите.

В хода на висшата математика е много трудно да се овладеят някои неща без преподавател, просто се нуждаете от „на живо“ обяснение.

Въпреки това е напълно възможно да разберете много видове проблеми сами и целта на този раздел на сайта е да ви научи как да решавате типични примери и задачи, които почти винаги се срещат в изпитите. Освен това за редица задачи има "твърди" алгоритми, при които няма измъкване от правилното решение. И доколкото ми е известно ще се опитам да ви помогна, още повече че имам педагогическо образование и трудов стаж по специалността си.

Нека започнем да бъркаме математически глупости. Всичко е наред, дори и да сте чайник, висшата математика е наистина проста и наистина достъпна.

И трябва да започнете с повтаряне на училищния курс по математика. Повторението е майката на болката.

Преди да започнете да изучавате моите методически материали и като цяло да започнете да изучавате каквито и да било материали по висша математика, СИЛНО ПРЕПОРЪЧВАМ да прочетете следното.

За да решавате успешно задачи по висша математика, ТРЯБВА:

ВЗЕМЕТЕ МИКРОКАЛКУЛАТОР.

От програмите - Excel (отличен избор!). Качих ръководството за "манекени" в библиотеката.

Има? Вече добре.

– От пренареждането на сроковете - сумата не се променя: .
Но това са съвсем различни неща:

Просто е невъзможно да пренаредите "x" и "four". В същото време си припомняме емблематичната буква "x", която в математиката означава неизвестна или променлива стойност.

– Чрез пренареждане на факторите - продуктът не се променя: .
При деление такъв трик няма да работи, а това са две напълно различни дроби и пренареждането на числителя със знаменателя не става без последствия.
Припомняме също, че знакът за умножение („точки“) най-често не се пише:,

– Припомнете си правилата за разширяване на скоби:
- тук знаците на термините не се променят
- и тук те са обърнати.
И за умножение:

Като цяло е достатъчно да запомните това ДВА МИНУС ДАВА ПЛЮС, а ТРИ МИНУС - ДАВАТЕ МИНУС. И опитайте се да не се бъркате в това, когато решавате задачи по висша математика (много честа и досадна грешка).

– Припомнете си намаляването на подобни термини, Трябва да имате добро разбиране на следната операция:

– Спомнете си какво е диплома:

, , , .

Степента е просто обикновено умножение.

–Не забравяйте, че фракциите могат да бъдат намалени: (намалено с 2), (намалено с пет), (намалено с ).

– Запомнете действията с дроби:

и също много важно правило за намаляване на дробите до общ знаменател:

Ако тези примери не са ясни, вижте училищните учебници.
Без това ще бъде ТРУДНО.

СЪВЕТ: всички МЕЖДИННИ изчисления във висшата математика се правят най-добре в ОБИКНОВЕНИ ДЕСНИ И НЕРЕГЛАМЕННИ ДРОБИ, дори ако са страшни дроби като . Тази дроб НЕ ТРЯБВА да бъде представена като , и освен това НЕ разделяйте числителя на знаменателя на калкулатора, получавайки 4,334552102 ....

ИЗКЛЮЧЕНИЕТО от правилото е крайният отговор на задачата, тогава е по-добре да напишете или.

– Уравнението. Има лява и дясна страна. Например:

Можете да прехвърлите всеки термин в друга част, като промените знака му:
Да преместим, например, всички термини в лявата страна:

Или вдясно:

Ограниченията създават много проблеми на всички студенти по математика. За да разрешите ограничението, понякога трябва да използвате много трикове и да изберете от множество решения точно това, което е подходящо за конкретен пример.

В тази статия няма да ви помогнем да разберете границите на вашите способности или да разберете границите на контрола, но ще се опитаме да отговорим на въпроса: как да разберете границите във висшата математика? Разбирането идва с опита, така че в същото време ще дадем някои подробни примери за решаване на ограничения с обяснения.

Концепцията за граница в математиката

Първият въпрос е: каква е границата и границата на какво? Можем да говорим за границите на числовите поредици и функции. Интересува ни концепцията за границата на функция, тъй като студентите най-често се сблъскват с тях. Но първо, най-общата дефиниция на лимит:

Да кажем, че има някаква променлива. Ако тази стойност в процеса на промяна за неопределено време се доближи до определено число а , тогава а е границата на тази стойност.

За функция, дефинирана в някакъв интервал f(x)=y ограничението е числото А , към който функцията клони, когато х стремящи се към определена точка а . точка а принадлежи на интервала, на който е дефинирана функцията.

Звучи тромаво, но е написано много просто:

Лим- от английски лимит- лимит.

Има и геометрично обяснение за дефиницията на границата, но тук няма да навлизаме в теорията, тъй като се интересуваме повече от практическата, отколкото от теоретичната страна на въпроса. Когато казваме това х клони към някаква стойност, това означава, че променливата не приема стойността на число, а се доближава до нея безкрайно близо.

Да вземем конкретен пример. Предизвикателството е да се намери границата.

За да разрешим този пример, заместваме стойността х=3 във функция. Получаваме:

Между другото, ако се интересувате от основни операции с матрици, прочетете отделна статия по тази тема.

В примерите х може да се стреми към всяка стойност. Може да бъде произволно число или безкрайност. Ето един пример кога х клони към безкрайност:

Интуитивно е ясно, че колкото по-голямо е числото в знаменателя, толкова по-малка стойност ще вземе функцията. И така, с неограничен растеж х смисъл 1/x ще намалее и ще се доближи до нула.

Както можете да видите, за да разрешите ограничението, просто трябва да замените стойността, към която да се стремите, във функцията х . Това обаче е най-простият случай. Често намирането на границата не е толкова очевидно. В границите има несигурност от типа 0/0 или безкрайност/безкрайност . Какво да правим в такива случаи? Използвайте трикове!

Несигурност вътре

Неопределеност на формата безкрайност/безкрайност

Нека има граница:

Ако се опитаме да заместим безкрайността във функцията, ще получим безкрайност както в числителя, така и в знаменателя. Като цяло си струва да се каже, че има известен елемент на изкуството в разрешаването на такива несигурности: трябва да забележите как можете да трансформирате функцията по такъв начин, че несигурността да изчезне. В нашия случай делим числителя и знаменателя на х в висша степен. Какво ще се случи?

От примера, който вече беше разгледан по-горе, знаем, че членовете, съдържащи x в знаменателя, ще клонят към нула. Тогава решението на лимита е:

За да разкриете неяснотите на типа безкрайност/безкрайностразделете числителя и знаменателя на хдо най-висока степен.

Между другото! За нашите читатели вече има 10% отстъпка всякакъв вид работа

Друг вид несигурност: 0/0

Както винаги, заместване във функцията стойност х=-1 дава 0 в числителя и знаменателя. Погледнете малко по-внимателно и ще забележите, че имаме квадратно уравнение в числителя. Да намерим корените и да напишем:

Нека намалим и получим:

Така че, ако срещнете неяснота на типа 0/0 - разложете на множители числителя и знаменателя.

За да ви улесни при решаването на примери, ето таблица с ограниченията на някои функции:

Правилото на L'Hopital отвътре

Друг мощен начин за премахване на двата вида несигурност. Каква е същността на метода?

Ако има несигурност в границата, вземаме производната на числителя и знаменателя, докато неопределеността изчезне.

Визуално правилото на L'Hopital изглежда така:

Важен момент : границата, в която вместо числителя и знаменателя са производните на числителя и знаменателя, трябва да съществува.

А сега реален пример:

Има типична несигурност 0/0 . Вземете производните на числителя и знаменателя:

Voila, несигурността се елиминира бързо и елегантно.

Надяваме се, че ще успеете да приложите добре тази информация на практика и да намерите отговора на въпроса „как се решават граници във висшата математика”. Ако трябва да изчислите границата на последователност или границата на функция в дадена точка и няма време за тази работа от думата „абсолютно“, свържете се с професионален студентски сервиз за бързо и подробно решение.

Категорията Calculus съдържа безплатни онлайн видео уроци по тази тема. Математическият анализ е съвкупност от клонове на математиката, които изучават функциите и техните обобщения с помощта на методите на диференциалното и интегралното смятане. Те включват: функционален анализ, включително теорията на интеграла на Лебег, комплексен анализ (TFKP), който изучава функции, определени на комплексната равнина, теория на редовете и многомерните интеграли, нестандартен анализ, който изучава безкрайно малки и безкрайно големи числа, векторен анализ и вариационно смятане. Изучаването на смятане от видео уроци ще бъде полезно както за начинаещи, така и за по-опитни математици. Можете да гледате безплатно видео уроци от раздела Математически анализ по всяко удобно време. Някои видео уроци по математически анализ имат допълнителни материали, които могат да бъдат изтеглени. Приятно учене!

Общо материали: 12
Показани материали: 1-10

Каква е производната на функция

Искате ли да знаете каква е производната на функция в математиката? Разбира се, че сте чували за производната много пъти и дори, вероятно, сте взели точно тази производна в училище, напълно не разбирайки смисъла на вашите действия. В това видео няма да ви уча формули, но ще обясня значението на производната на пръстите, така че дори кръгъл чайник да разбере. Но първо, по-добре изгледайте предишното ми видео, където също говоря за функцията по достъпен начин. В този видео урок ние сме прости, ясни и илюстративни примери от живота...

Въведение в анализа. Мощност на комплектите

Онлайн урок „Въведение в анализа. Мощност на множествата” е посветена на въпроса за такова понятие като силата на множествата. Този въпрос се отнася до количествената характеристика на множествата. Ако множеството е крайно, тогава можем да говорим за броя на неговите елементи. Но какво да кажем за безкрайните множества? Всъщност в този случай няма да има концепция за повече или по-малко. За да се реши този проблем, се въвежда такова понятие като мощност. Силата е инструмент за количествено сравняване на безкрайни множества. Този урок дава...

Лимит на функция в точка - определение, примери

Този онлайн урок говори за такова понятие като граница на функция в дадена точка - определение, примери. Повечето елементи от изучаването на функциите се основават на основната концепция за границата на функция. Тук границата на функция в точка ще бъде разгледана с помощта на прост пример, след което ще бъде дадено строго определение на границата на функция в точка с подробна илюстрация на графиката за по-добро усвояване на материала. Този урок разглежда и други примери и предоставя строго определение на едностранчивото...

Конвергенция на степенните редове - пример за това как да намерите областта на сближаване, изследване

Този видеоурок говори за такава концепция като конвергенцията на степенните редове, пример за това как да намерите областта на сближаване, изследване. Степенен ред е специален случай на функционален ред, когато неговите членове са степенни функции на аргумента x. Площта на сближаване е всички стойности на променливата x, за които се сближават съответните числови серии. За изследване можете да използвате теста на д'Аламбер и да го използвате, за да покажете, че силовият ред се сближава или разминава и когато ...

Какво е примитивно

В това видео ще ви разкажа за антидеривата, който е близък роднина на производната. Всъщност, вие вече знаете почти всичко за нея, ако сте гледали предишните ми видеоклипове, и ние просто трябва да поставим точки на i. Антипроизводната е функцията "родител" за производната. Намирането на антидериват означава отговор на въпроса: чие е детето? Ако дъщерята е известна, тогава трябва да намерим майката. Преди, напротив, търсихме дъщеря за дадена майка. Сега правим прехода от...

Геометричното значение на производната

В това видео ще говоря за геометричното значение на производната. Ще научите, че геометричният смисъл на производната е, че производната и наклонът на допирателната са почти едно и също нещо. Казвам "почти", защото производната е равна на допирателната на наклона на допирателната. Можем да приемем, че производната и наклонът на допирателната са тясно свързани. Ако наклонът е голям, тогава производната също е голяма и функцията в този момент се увеличава рязко. Ако ъгълът на наклона е малък, тогава производната също е малка...

Какво е функция в математиката

Искате ли да знаете какво е функция в математиката? В този видео урок ние просто и ясно, използвайки графични илюстрации и илюстративни примери от живота, ще ви кажем какво представлява функцията, какъв е нейният аргумент, какви са функциите (увеличаващи, намаляващи, смесени), как можете да зададете функция (използвайки графика, таблица, формули). Ще видите, че връзка, която показва как една величина е свързана с друга величина, се нарича функция. Всяка функция е връзка между количествата...

Предел на функция в безкрайност - определение, примери

Урокът "Граница на функция в безкрайност - определение, примери" е посветен на въпроса какво са границите в безкрайността. Повечето от елементарните функции са дефинирани за произволно голяма стойност на аргумента. В този случай е важно да се знае поведението на функцията в безкрайност. Един елемент от изследването на такова поведение е да се намери границата на функцията в безкрайността. Въпреки че безкрайността не е число и нито една точка на числовата права не й съответства, определението на границата на ...