Геометрична схема за определяне на вероятността. Геометрична дефиниция на вероятността за събитие
Както е показано в раздела Класическа дефиниция на вероятността, в случайни експерименти с краен брой еднакво възможни елементарни резултатиприлаган класическо определение на вероятността.
Да се въведе вероятността от събития в случайни експерименти, възможните резултати от които (елементарни резултати) също са еднакво възможнои запълнете напълно празнинатаправа, фигурав самолета или регионв космоса, приложен геометрична дефиниция на вероятността. При такива експерименти броят на елементарните резултати не е окончателен, и следователно класическата дефиниция на вероятността не може да се приложи към тях.
Нека илюстрираме въвеждането на геометричната дефиниция на вероятността с примери.
Пример 1 . Точка се хвърля на случаен принцип върху сегмент от числова права. Намерете вероятността точката да падне върху отсечката (фиг. 1).
Отговор:
Пример 2. Диагоналите KM и LN на квадрата KLMN пресичат окръжността, вписана в квадрата в точки E и F, точка O е центърът на окръжността (фиг. 2).
Точка се хвърля на случаен принцип в квадрат KLMN. Намерете вероятността точката да попадне в сектора EOF, отбелязан в розово на фигура 2.
Отговор:
Пример 3. Точка се хвърля на случаен принцип в конус с връх S и основен център O. Намерете вероятността точката да попадне в пресечения конус, получена чрез срязване на конуса с равнина, минаваща през средата O" на височината на конуса и успоредна на основата на конуса (фиг. 3).
Решение . Множеството от елементарни резултати Ω от произволен експеримент за хвърляне на точка е множеството от всички точки на конуса с връх S и основен център O .
Попадането на точка в пресечен конус е едно от случайните събития, които ще обозначим с буквата А.
В геометрична дефиниция вероятност за събитиеА се изчислява по формулата
Нека R е радиусът на основата на конуса с връх S и основен център O и нека H е височината на този конус. Тогава радиусът на основата и височината на конуса с върха S и центъра на основата O" ще бъдат равни на
съответно.
Обемът на конус с връх S и основен център O е
Класическата дефиниция на вероятността има ограничение в приложението си. Приема се, че наборът от елементарни събития Ω е краен или изброим, т.е. Ω = ( ω 1 , ω 2 , … , ω n , …) и всички ω i – еднакво възможни елементарни събития. На практика обаче има тестове, за които наборът от елементарни резултати е безкраен. Например, когато се произвежда определена част на машина, е необходимо да се поддържа определен размер. Тук точността на изработка на детайла зависи от уменията на работника, качеството на режещия инструмент, съвършенството на машината и т.н. Ако под тест се разбира производството на част, тогава в резултат на такъв тест са възможни безкраен брой резултати, в този случай получаване на части с необходимия размер.
За да се преодолее недостатъкът на класическата дефиниция на вероятността, понякога се използват някои понятия на геометрията (ако, разбира се, обстоятелствата на теста позволяват). Във всички такива случаи се предполага възможността за провеждане (поне теоретично) на произволен брой тестове и концепцията равни възможностисъщо играят важна роля.
Нека разгледаме тест с пространство от събития, чиито елементарни резултати са представени като точки, запълващи някаква област Ω (в триизмерното пространство Р 3). Нека събитието НОсе състои в удряне на произволно хвърлена точка в поддомейна ддомейн Ω. събитие НОпредпочитат елементарни събития, при които точката попада в някакъв поддомейн д. Тогава под вероятностсъбития НОще разберем съотношението на обема на поддомейна д(маркирана зона на фиг. 1.11) до обема на площта Ω, Р(НО) = V(д) / V(Ω).
|
Ориз.1. 11 |
Тук, по аналогия с концепцията за благоприятен изход, областта дще се нарече благоприятно за появата на събитието НО. Вероятността за събитие се дефинира по подобен начин НО,когато множеството Ω е определена площ от равнина или отсечка от права линия. В тези случаи обемите на регионите се заменят съответно с площите на фигурите или дължините на сегментите.
Така стигаме до ново определение - геометрична вероятностза тестове с безкраен неизброим набор от елементарни събития, който се формулира по следния начин.
Геометричната вероятност за събитие А е съотношението на мярката на поддомейна, която благоприятства настъпването на това събитие към мярката за цялата област, т.е.
p(A) =mesD / месΩ,
където мес– мярка за площи ди Ω , д Ì Ω.
Геометричната вероятност на събитие има всички свойства, присъщи на класическата дефиниция на вероятността. Например 4-то свойство би било: Р(НО+ AT) = Р(НО) + Р(AT).
Класическа дефиниция на вероятността
Основната концепция на теорията на вероятностите е концепцията за случайно събитие. Случайно събитие обикновено се нарича събитие, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ, при определени условия може да се случи или не. Например, удрянето или пропускането на обект при стрелба по този обект с дадено оръжие е случайно събитие.
Събитието обикновено се нарича надеждно, ако в резултат на теста непременно се случи. Прието е събитие да се нарича невъзможно, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ не може да се случи в резултат на тест.
Казва се, че случайните събития са непоследователни в даден опит, ако не могат да се появят две от тях заедно.
Случайните събития образуват пълна група, ако някое от тях може да се появи във всеки опит и не може да се появи друго събитие, което не е в съответствие с тях.
Помислете за пълната група от еднакво възможни несъвместими случайни събития. Такива събития ще се наричат резултати. Казва се, че резултатът е благоприятен за настъпването на събитие А, ако настъпването на това събитие води до настъпване на събитие А.
Геометрична дефиниция на вероятността
Нека произволният тест се разглежда като хвърляне на произволна точка в някаква геометрична област G (на права, равнина или пространство). Елементарни резултати - ϶ᴛᴏ отделни точки G, всяко събитие - подмножество от тази област, пространството на елементарните резултати G. Можем да приемем, че всички точки G са ʼʼравниʼʼ и тогава вероятността точка да попадне в едно от ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ подмножеството е пропорционално по неговата мярка (дължина, площ, обем) и не зависи от местоположението и формата му.
геометрична вероятностсъбитие A се определя от отношението: , където m(G), m(A) са геометрични мерки (дължини, площи или обеми) на цялото пространство на елементарните резултати и събитие A.
Пример.Кръг с радиус r () се хвърля на случаен принцип върху равнина, ограничена от успоредни ивици с ширина 2d, разстоянието между аксиалните линии на които е 2D. Намерете вероятността кръгът да пресече някаква ивица.
Решение.Като елементарен резултат от този тест ще разгледаме разстоянието хот центъра на кръга до централната линия на най-близката до кръга лента. Тогава цялото пространство на елементарните резултати - ϶ᴛᴏ сегмент. Пресичането на окръжността с лентата ще се случи, ако центърът й попадне в лентата, ᴛ.ᴇ. , или ще бъде разположен от ръба на лентата на разстояние, по-малко от радиуса, ᴛ.ᴇ. .
За желаната вероятност получаваме: .
5. Относителната честота на дадено събитие е съотношението на броя на опитите, при които събитието се е случило, към общия брой практически извършени опити. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, относителната честота A се дава от:
(2)където m е броят на събитията, n е общият брой опити. Сравнявайки дефиницията на вероятността и относителната честота, стигаме до заключението: дефиницията на вероятността не изисква тестове да се извършват в действителност; дефиницията на относителната честота предполага, че тестовете са били действително проведени. С други думи, вероятността се изчислява преди преживяването, а относителната честота се изчислява след опита.
Пример 2. От 80 произволно избрани служители 3 души имат сериозни сърдечни заболявания. Относителна честота на хора със сърдечни заболявания
Относителната честота или близко до нея число се приема като статична вероятност.
ДЕФИНИЦИЯ (статистическа дефиниция на вероятността). Числото, към което клони стабилната относителна честота, обикновено се нарича статистическа вероятност за това събитие.
6. сума A+B две събития A и B назовават събитие, състоящо се в настъпването на събитие A, или събитие B, или и двете от тези събития. Например, ако са били изстреляни два изстрела от пистолета и A - ударен при първия изстрел, B - ударен при втория изстрел, след това A + B - ударен при първия изстрел, или при втория, или при двата изстрела.
По-специално, ако две събития A и B са несъвместими, тогава A + B е събитие, състоящо се в появата на едно от тези събития, без значение кое. Сборът от няколко събитиянаречено събитие, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ се състои в настъпването на поне едно от тези събития. Например събитието A + B + C се състои в настъпване на едно от следните събития: A, B, C, A и B, A и C, B и C, A и B и C. Нека събитията A и B са несъвместими и вероятностите за тези събития са известни. Как да намерим вероятността да се случи събитие А или събитие Б? Отговорът на този въпрос се дава от теоремата за добавянето. Теорема. Вероятността за настъпване на едно от двете несъвместими събития, без значение кое, е равна на сумата от вероятностите на тези събития:
P (A + B) = P (A) + P (B) Доказателство
Следствие. Вероятността за възникване на едно от няколкото по двойки несъвместими събития, без значение кое, е равна на сумата от вероятностите за тези събития:
P (A 1 + A 2 + ... + A n) \u003d P (A 1) + P (A 2) + ... + P (A n).
Геометрична дефиниция на вероятността - понятие и видове. Класификация и характеристики на категорията "Геометрична дефиниция на вероятността" 2017, 2018.
На практика много често се срещат подобни изпитания, броят на възможните резултати от които е безкраен. Понякога в такива случаи е възможно да се използва методът за изчисляване на вероятността, при който концепцията за равновероятността на определени събития все още играе основна роля .... .
В определен квадрат точка се избира произволно, каква е вероятността тази точка да бъде вътре в областта D., където SD е площта на областта D, S е площта на цялата квадрат. Съгласно класическия, определена нулева вероятност имаше ... .
За да се преодолее недостатъкът на класическата дефиниция на вероятността, която е, че тя не е приложима за опити с безкраен брой резултати, се въвеждат геометрични вероятности - вероятностите за попадане на точка в дадена област. Нека плоска фигура g (сегмент или тяло)... .
Класическо определение на вероятността ЛЕКЦИЯ 1. ТЕОРИИ НА ВЕРОЯТНОСТИТЕ. ИСТОРИЯ НА ПРОИЗХОД. КЛАСИЧЕСКО ОПРЕДЕЛЕНИЕ НА ВЕРОЯТНОСТТА A.A. Халафян БИБЛИОГРАФСКА ЛИТЕРАТУРА 1. Колемаев V.A., Staroverov O.V., Turundaevsky V.B. Теория ... .[прочети повече] .
Тази дефиниция се използва, когато едно преживяване има неизброим набор от еднакво възможни резултати. В този случай пространството на елементарните събития може да бъде представено като определена област G. Всяка точка от тази област съответства на елементарно събитие. Удари... .
Геометричната дефиниция на вероятността е разширение на концепцията за класическа вероятност в случай на неизброим набор от елементарни събития. В случай, когато е неизброимо множество, вероятността се определя не върху елементарни събития, а върху техните множества.... .
Класическа дефиниция на вероятността ВЕРОЯТНОСТ НА СЛУЧАЙНО СЪБИТИЯ Теоретична интерпретация на операциите върху събития Нека се проведе някакъв експеримент със случаен резултат. Няколко &... .
Формулата P(A)=m/n губи значението си, ако броят на всички еднакво възможни несъвместими случаи е неограничен (образува безкрайно множество). Въпреки това, понякога е възможно да се даде количествена характеристика S в някои мерки за дължина, площ, обем, време и т.н. на целия набор от безкрайни еднакво възможни несъвместими случаи и да се даде част от този набор, която благоприятства началото на разглежданото събитие A, за да даде характеристика S b в същите мерки. Тогава вероятността за настъпване на събитие А се определя от съотношението:
Пример №1. Две числа x и y се избират на случаен принцип от интервала. Намерете вероятността тези числа да удовлетворят неравенствата x 2 ≤ 4y ≤ 4x.
Решение.Тестът се състои в произволен избор на двойка числа x и y от интервала. Ще интерпретираме това като случаен избор на точка M(x;y) от множеството на всички точки на квадрат, чиято страна е равна на две. Нека разгледаме фигурата Ф, която е множеството от всички точки от квадрата, чиито координати удовлетворяват системата от неравенства x 2 ≤ 4y ≤ 4x. Интересното събитие възниква само ако избраната точка M(x;y) принадлежи на фигурата Ф. 
Съгласно формула (8) желаната вероятност е равна на съотношението на площта на фигурата Ф към площта на квадрата: 
Пример №2. Двамата се разбрали да се срещнат на определено място. Всеки от тях пристига на определеното място независимо един от друг в произволен момент от време от и чака не повече от време. Каква е вероятността да се срещнем при такива условия? 
Решение.Нека означим с x времето на пристигането на първия човек на уговореното място, а с y часа на пристигането на втория човек там. От условието следва, че x и y независимо преминават през интервала от време. Тестът се състои във фиксиране на часа на пристигане на посочените лица на мястото на срещата. Тогава пространството на елементарните резултати от това изпитание се интерпретира като множество от всички точки M(x;y) от квадрата Ω=((x;y) : 0 ≤ x ≤ T, 0 ≤ y ≤ T). Интересното за нас събитие A - „срещата се случи“ възниква само ако избраната точка M(x;y) е вътре във фигурата Ф, която е множеството от всички точки на квадрата, чиито координати удовлетворяват неравенство |x – y| ≤ t. Съгласно формула (8), желаната вероятност
е съотношението на площта на фигурата Ф към площта на квадрата Ω:
Анализирайки резултата, получен в този проблем, виждаме, че вероятността за среща нараства с увеличаване. Нека, например, T = 1 час, t = 20 минути, тогава
т.е., по-често от половината от случаите, срещите ще се случат, ако се договарят многократно при горните условия. Пример №3. На отсечката l се избират произволно две точки.
P(0 
Пример №4. Една точка се хвърля произволно в кръг с радиус r по такъв начин, че всяко място в окръжността е еднакво възможно. Намерете вероятността тя да бъде вътре в квадрат със страна а, разположена в кръг.
Решение. Вероятността точка да бъде вътре в квадрат, лежащ в кръг със страна ае равно на съотношението на площта на квадрата към площта на кръга.
Квадратна площ: Skv \u003d a 2.
Площ на кръга: S = πr 2
Тогава вероятността ще бъде: p \u003d Skv / S \u003d a 2 / πr 2
Пример номер 5. Две реални числа се избират на случаен принцип от интервала. Намерете вероятността тяхната сума да е по-голяма от 4 и произведението им да е по-малко от 4.
Решение.
Има общо 5 числа: 0,1,2,3,4. Вероятността за тяхното възникване p=1/5 = 0,2
а) вероятността тяхната сума да бъде по-голяма от 4
Общият брой на тези резултати е 8:
1+4, 2+3, 2+4, 3+4 и 4+1, 3+2, 4+2, 4+3
P = 0,2*0,2*8 = 0,32
б) продуктът е по-малък от 4.
Общият брой на тези резултати е 13:
0*1, 0*2, 0*3, 0*4, 1*1, 1*2.1*3 и 1*0, 2*0, 3*0, 4*0, 2*1, 3* едно
P = 0,2*0,2*13 = 0,52
Задачи за самостоятелно решаване
4.3. След бурята е станало скъсване на проводника в участъка между 40-ия и 70-ия километър на телефонната линия. Каква е вероятността прекъсването да е настъпило между 45-ия и 50-ия километър от линията? (Вероятността за скъсване на проводника на всяко място се приема за еднаква).
Отговор: 1/6.
4.4. Една точка се хвърля на случаен принцип в кръг с радиус r. Намерете вероятността тази точка да е вътре в правилен триъгълник, вписан в дадения кръг.
Отговор:
4.5. Намерете вероятността сборът от две произволно избрани числа от интервала [-1; 1] е по-голямо от нула и произведението им е отрицателно.
Отговор: 0;25.
4.6. По време на бойно обучение n-та бомбардировачна ескадрила получи задачата да атакува „вражеското“ петролно депо. На територията на нефтобазата, която има формата на правоъгълник със страни 30 и 50 m, има четири кръгли нефтени резервоара с диаметър 10 m всеки. Намерете вероятността за директен удар на нефтените резервоари от бомба, ударила територията на петролното депо, ако бомбата удари която и да е точка от тази база с еднаква вероятност.
Отговор: π/15.
4.7. Две реални числа x и y са избрани на случаен принцип, така че сборът от техните квадрати да е по-малък от 100. Каква е вероятността сборът от квадратите на тези числа да е по-голям от 64?
Отговор: 0;36.
4.8. Двамата приятели се разбраха да се срещнат между 13:00 и 14:00 часа. Първият човек, който пристигне, чака втория за 20 минути и след това си тръгва. Определете вероятността да срещнете приятели, ако моментите на пристигането им в определения интервал от време са еднакво вероятни.
Отговор: 5/9.
4.9. Два парахода трябва да дойдат до един и същи кей. Времето на пристигане на двата кораба е еднакво възможно през дадения ден. Определете вероятността, че един от параходите ще трябва да изчака освобождаването на койката, ако първият параход остане един час, а вторият – два часа.
Отговор: ≈ 0;121.
4.10. На случаен принцип се вземат две положителни числа x и y, всяко от които не надвишава две. Намерете вероятността произведението x y да е най-много едно, а частното y/x да е най-много две.
Отговор: ≈ 0;38.
4.11. В областта G, ограничена от елипсоида 
, точка е фиксирана на случаен принцип. Каква е вероятността координатите (x; y; z) на тази точка да удовлетворят неравенството x 2 + y 2 + z 2 ≤4?
Отговор: 1/3.
4.12. Точка се хвърля в правоъгълник с върхове R(-2;0), L(-2;9), M (4;9), N (4;0). Намерете вероятността координатите му да удовлетворят неравенствата 0 ≤ y ≤ 2x – x 2 +8.
Отговор: 2/3.
4.13. Областта G е ограничена от окръжността x 2 + y 2 = 25, а областта g е ограничена от тази окръжност и параболата 16x - 3y 2 > 0. Намерете вероятността да попаднете в областта g.
Отговор: ≈ 0;346.
4.14. На случаен принцип се вземат две положителни числа x и y, всяко от които не надвишава едно. Намерете вероятността сумата x + y да не надвишава 1 и произведението x · y да е не по-малко от 0,09.
Отговор: ≈ 0;198.
Ние също препоръчваме
Продуктивно и репродуктивно мислене
Разумният егоизъм - каква е теорията за разумния егоизъм?
Борис Николаевич Елцин, първият президент на Русия
Подземни битки. Подземни крале. Какво е „борбата не за масите“? Къде можеш да се бориш за пари?
Яков Павлов и други герои на Сталинград, които трябва да знаете
Преживейте катастрофа в морето насън - в действителност изживейте нова любов
Зареждане...