Теория на функциите на една променлива. Математически анализ

Нека променливата х нприема безкрайна последователност от стойности

х 1 , х 2 , ..., х н , ..., (1)

и законът за промяна на променливата е известен х н, т.е. за всяко естествено число нможете да посочите съответната стойност х н. По този начин се приема, че променливата х не функция на н:

х н = f(n)

Нека дефинираме едно от най-важните понятия на математическия анализ - границата на последователност или, каквото е същото, границата на променлива х нпоследователност на бягане х 1 , х 2 , ..., х н , ... . .

Определение.постоянно число аНаречен граница на последователността х 1 , х 2 , ..., х н , ... . или границата на променлива х н, ако за произволно малко положително число e съществува такова естествено число н(т.е. номер н), че всички стойности на променливата х н, започвайки с х н, различавам се от апо-малко по абсолютна стойност от e. Това определение е написано накратко, както следва:

| х н - а |< (2)

за всички н  н, или, което е същото,

Определение на границата на Коши. Число A се нарича граница на функция f (x) в точка a, ако тази функция е дефинирана в някаква околност на точка a, с изключение може би за самата точка a и за всяко ε > 0 съществува δ > 0 такава, че за всички x удовлетворяващи условие |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Определение на границата на Хайне. Число A се нарича граница на функция f (x) в точка a, ако тази функция е дефинирана в някаква околност на точка a, с изключение може би за самата точка a и за всяка последователност, такава, че сближавайки се до числото a, съответната последователност от стойности на функцията се сближава с числото A.

Ако функцията f(x) има ограничение в точка a, тогава тази граница е уникална.

Числото A 1 се нарича лява граница на функцията f (x) в точка a, ако за всяко ε > 0 съществува δ >

Числото A 2 се нарича дясна граница на функцията f (x) в точка a, ако за всяко ε > 0 съществува δ > 0, така че неравенството

Границата отляво се обозначава като граница отдясно - Тези граници характеризират поведението на функцията отляво и отдясно на точка а. Те често се наричат ​​еднопосочни граници. В обозначението на едностранните граници като x → 0, първата нула обикновено се пропуска: и . И така, за функцията

Ако за всяко ε > 0 съществува δ-околност на точка a такава, че за всички x, удовлетворяващи условието |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, тогава казваме, че функцията f (x) има безкраен лимит в точка a:

Така функцията има безкраен лимит в точката x = 0. Често се разграничават граници, равни на +∞ и –∞. Така,

Ако за всяко ε > 0 съществува δ > 0 такова, че за всяко x > δ неравенството |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

Теорема за съществуване за най-малката горна граница

определение: AR mR, m - горна (долна) страна на A, ако аА аm (аm).

определение:Множеството A е ограничено отгоре (отдолу), ако съществува m такова, че аА, то аm (аm) е изпълнено.

определение: SupA=m, ако 1) m - горна граница на A

2) m’: m’ m' не е горно лице на A

InfA = n, ако 1) n е долната част на A

2) n’: n’>n => n’ не е инфимум на A

Определение: SupA=m е число такова, че: 1)  aA am

2) >0 a  A, така че a  a-

InfA = n се нарича число, такова че:

2) >0 a  A, така че a E a+

теорема:Всяко непразно множество АR, ограничено отгоре, има най-добра горна граница, и то уникална.

доказателство:

Построяваме число m на реалната права и доказваме, че това е най-ниската горна граница на A.

[m]=max([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - горна страна на A

Сегмент [[m],[m]+1] - разделен на 10 части

m 1 =max:aA)]

m 2 =max,m 1:aA)]

m до =max,m 1 ...m K-1:aA)]

[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 K - горно лице A

Нека докажем, че m=[m],m 1 ...m K е най-малката горна граница и че е единствена:

до: .

Ориз. 11. Графика на функцията y arcsin x.

Нека сега представим концепцията за сложна функция ( дисплей композиции). Нека са дадени три множества D, E, M и f: D→E, g: E→M. Очевидно е възможно да се построи ново отображение h: D→M, наречено композиция от отображения f и g или комплексна функция (фиг. 12).

Комплексна функция се обозначава, както следва: z =h(x)=g(f(x)) или h = f o g.

Ориз. 12. Илюстрация за понятието сложна функция.

Извиква се функцията f (x). вътрешна функцияи функцията g ( y ) - външна функция.

1. Вътрешна функция f (x) = x², външна g (y) sin y. Комплексна функция z= g(f(x))=sin(x²)

2. Сега обратното. Вътрешна функция f (x)= sinx, външна g (y) y 2 . u=f(g(x))=sin²(x)