Примери за решение на квадратна функция 9. Квадратична функция и нейната графика

Важни бележки!
1. Ако вместо формули видите абракадабра, изчистете кеша. Как да го направите във вашия браузър е написано тук:
2. Преди да започнете да четете статията, обърнете най-много внимание на нашия навигатор полезен ресурсза

За да разберете какво ще пише тук, трябва добре да знаете какво е квадратична функция и с какво се яде. Ако се смятате за професионалист в квадратичните функции, добре дошли. Но ако не, трябва да прочетете темата.

Да започнем с малко чекове:

Как изглежда квадратичната функция в общ вид (формула)?
Какво е името на диаграмата квадратична функция?
Как водещият коефициент влияе на графиката на квадратична функция?

Ако можете веднага да отговорите на тези въпроси, продължете да четете. Ако поне един въпрос предизвика затруднения, отидете на.

И така, вече знаете как да боравите с квадратична функция, да анализирате нейната графика и да изградите графика по точки.

Е, ето го:.

Нека да разгледаме набързо какво правят. коефициенти.

Старшият коефициент е отговорен за „стръмността“ на параболата или, с други думи, за нейната ширина: колкото по-голяма, толкова по-тясна (стръмна) е параболата и колкото по-малка е, толкова по-широка (по-плоска) е параболата.
Свободният член е координатата на пресечната точка на параболата с оста y.
И коефициентът по някакъв начин е отговорен за изместването на параболата от центъра на координатите. Ето повече за това сега.

Защо винаги започваме да изграждаме парабола? Каква е нейната отличителна черта?

Това връх. И как да намерите координатите на върха, помните ли?

Абсцисата се търси по следната формула:

Така: какво Повече ▼, теми налявовърхът на параболата се движи.

Ордината на върха може да бъде намерена чрез заместване във функцията:

Заменете се и пребройте. Какво стана?

Ако направите всичко правилно и опростите получения израз колкото е възможно повече, получавате:

Оказва се, че колкото повече по модул, теми по-гореще връхпараболи.

И накрая, нека да преминем към начертаването.
Най-лесният начин е да построите парабола, започвайки от върха.

пример:

Начертайте функцията.

Решение:

Първо, нека дефинираме коефициентите: .

Сега нека изчислим координатите на върха:

И сега запомнете: всички параболи с един и същ водещ коефициент изглеждат еднакво. Така че, ако построим парабола и преместим върха й до точка, получаваме графиката, от която се нуждаем:

Просто, нали?

Остава само един въпрос: как бързо да нарисувате парабола? Дори да начертаем парабола с връх в началото, пак трябва да я изградим точка по точка, което е дълго и неудобно. Но всички параболи изглеждат еднакво, може би има начин да се ускори рисуването им?

Когато бях в училище, моят учител по математика каза на всички да изрежат шаблон с форма на парабола от картон, за да могат да го нарисуват бързо. Но няма да можете да ходите навсякъде с шаблон и няма да им бъде позволено да го вземат на изпит. Така че няма да използваме чужди предмети, а ще търсим модел.

Помислете за най-простата парабола. Нека го изградим по точки:

Правилото тук е следното. Ако се движим отгоре надясно (по оста) до и нагоре (по оста) до, тогава ще стигнем до точката на параболата. По-нататък: ако от тази точка се движим надясно и нагоре, отново ще стигнем до точката на параболата. Следващо: надясно и нагоре. Какво следва? Точно и нагоре. И така нататък: преместете се надясно и на следващия нечетно числонагоре. След това правим същото с левия клон (в края на краищата параболата е симетрична, тоест нейните клонове изглеждат еднакви):

Страхотно, това ще помогне да се изгради всяка парабола от върха с най-висок коефициент, равен на. Например, научихме, че върхът на парабола е в точка. Конструирайте (самостоятелно, на хартия) тази парабола.

Построен?

Трябва да се получи така:

Сега свързваме получените точки:

Това е всичко.

Добре, добре, сега изградете само параболи?

Разбира се, че не. Сега нека да разберем какво да правим с тях, ако.

Нека разгледаме някои типични случаи.

Чудесно, научихме се как да рисуваме парабола, сега нека се упражняваме върху реални функции.

И така, начертайте графики на такива функции:

Отговори:

3. Отгоре: .

Спомняте ли си какво да правите, ако старшият коефициент е по-малък?

Гледаме знаменателя на дроба: той е равен. Така че ще се движим така:

надясно - нагоре
надясно - нагоре
надясно - нагоре

а също и вляво:

4. Отгоре: .

О, какво да правя с него? Как да измерим клетки, ако върхът е някъде между линиите?..

И изневеряваме. Първо, нека нарисуваме парабола и едва след това преместваме върха й до точка. Не дори, нека го направим още по-сложно: Да нарисуваме парабола и след това преместване на оси:- на надолу, а - на право:

Тази техника е много удобна в случай на всяка парабола, запомнете я.

Нека ви напомня, че можем да представим функцията в този вид:

Например: .

Какво ни дава това?

Факт е, че числото, което се изважда от в скоби (), е абсцисата на върха на параболата, а терминът извън скобите () е ордината на върха.

Това означава, че след като сте изградили парабола, просто трябва преместете оста наляво и оста надолу.

Пример: нека начертаем графика на функцията.

Нека изберем пълен квадрат:

Какъв номер изваденот в скоби? Това (а не как можеш да решиш, без да мислиш).

И така, ние изграждаме парабола:

Сега преместваме оста надолу, тоест нагоре:

И сега - отляво, тоест отдясно:

Това е всичко. Това е същото като преместването на парабола с върха й от началото до точка, само правата ос е много по-лесна за преместване от крива парабола.

Сега, както обикновено, аз:

И не забравяйте да изтриете старите оси с гумичка!

аз съм като отговориза проверка ще ви напиша ординатите на върховете на тези параболи:

Всичко пасна ли?

Ако да, значи сте страхотни! Да знаеш как да боравиш с парабола е много важно и полезно и тук открихме, че изобщо не е трудно.

ГРАФИКА НА КВАДРАТНА ФУНКЦИЯ. КРАТКО ЗА ОСНОВНОТО

квадратична функцияе функция на формата, където и са произволни числа (коефициенти), е свободен член.

Графиката на квадратична функция е парабола.

Горната част на параболата:
, т.е. колкото по-голям е \displaystyle b, толкова по-наляво се движи горната част на параболата.
Заменете във функцията и получете:
, т.е. колкото по-голям е \displaystyle b модул, толкова по-висок ще бъде горната част на параболата

Свободният член е координатата на пресечната точка на параболата с оста y.

Е, темата свърши. Ако четете тези редове, значи сте много готини.

Защото само 5% от хората са в състояние да овладеят нещо сами. И ако сте прочели до края, значи сте в 5%!

Сега най-важното.

Разбрахте теорията по тази тема. И, повтарям, това е... просто е супер! Вече сте по-добри от по-голямата част от връстниците си.

Проблемът е, че това може да не е достатъчно...

За какво?

За успешно полагане на изпита, за прием в института на бюджет и, НАЙ-ВАЖНОТО, за цял живот.

Няма да те убеждавам в нищо, само ще кажа едно...

Хората, които са получили добро образование, печелят много повече от тези, които не са го получили. Това е статистика.

Но това не е основното.

Основното е, че са ПО-ЩАСТЛИВИ (има и такива изследвания). Може би защото пред тях се отварят много повече възможности и животът става по-ярък? Не знам...

Но помислете сами...

Какво е необходимо, за да сте сигурни, че сте по-добри от другите на изпита и в крайна сметка... по-щастливи?

НАПЪЛНЕТЕ РЪКАТА СИ, РЕШАвайки ПРОБЛЕМИ ПО ТАЗИ ТЕМА.

На изпита няма да ви питат теория.

Ще имаш нужда решавайте проблемите навреме.

И ако не сте ги решили (МНОГО!), определено ще направите глупава грешка някъде или просто няма да я направите навреме.

Това е като в спорта – трябва да повториш много пъти, за да спечелиш със сигурност.

Намерете колекция, където искате задължително с решения подробен анализ и решавай, решавай, решавай!

Можете да използвате нашите задачи (не е необходимо) и ние със сигурност ги препоръчваме.

За да се намесите с помощта на нашите задачи, трябва да помогнете да удължите живота на учебника YouClever, който четете в момента.

Как? Има две възможности:

Отключете достъпа до всички скрити задачи в тази статия -
Отключете достъпа до всички скрити задачи във всички 99 статии на урока - Купете учебник - 499 рубли

Да, имаме 99 такива статии в учебника и достъпът до всички задачи и всички скрити текстове в тях може да се отвори веднага.

Достъпът до всички скрити задачи е осигурен за целия живот на сайта.

В заключение...

Ако не ви харесват нашите задачи, намерете други. Просто не спирайте с теорията.

„Разбрах“ и „Знам как да реша“ са напълно различни умения. Трябват ти и двете.

Намерете проблеми и ги решавайте!

Всеки знае какво е парабола. Но как да го използвате правилно, компетентно при решаване на различни практически проблеми, ще разберем по-долу.

Първо, нека обозначим основните понятия, които алгебрата и геометрията дават на този термин. Обмислете всичко възможни видоветази диаграма.

Научаваме всички основни характеристики на тази функция. Нека разберем основите на конструирането на крива (геометрия). Нека се научим как да намерим горните, други основни стойности на графиката от този тип.

Ще разберем: как е правилно построена необходимата крива според уравнението, на какво трябва да обърнете внимание. Да видим основното практическа употребатази уникална ценност в човешкия живот.

Какво е парабола и как изглежда

Алгебра: Този термин се отнася до графиката на квадратична функция.

Геометрия: Това е крива от втори ред, която има редица специфични характеристики:

Канонично параболно уравнение

Фигурата показва правоъгълна координатна система (XOY), екстремум, посоката на чертежа на функцията се разклонява по оста на абсцисата.

Каноничното уравнение е:

y 2 \u003d 2 * p * x,

където коефициентът p е фокусният параметър на параболата (AF).

В алгебрата се пише по различен начин:

y = a x 2 + b x + c (разпознаваем модел: y = x 2).

Свойства и графика на квадратична функция

Функцията има ос на симетрия и център (екстремум). Домейнът на дефиниция са всички стойности на оста x.

Диапазонът на стойностите на функцията - (-∞, M) или (M, +∞) зависи от посоката на клоните на кривата. Параметърът M тук означава стойността на функцията в горната част на реда.

Как да определим къде са насочени клоните на парабола

За да намерите посоката на този тип крива от израз, трябва да посочите знака пред първия параметър алгебричен израз. Ако a ˃ 0, тогава те са насочени нагоре. В противен случай надолу.

Как да намерим върха на парабола с помощта на формулата

Намирането на екстремума е основната стъпка при решаването на много практически проблеми. Разбира се, можете да отворите специални онлайн калкулаторино е по-добре да можете да го направите сами.

Как да го определим? Има специална формула. Когато b не е равно на 0, трябва да търсим координатите на тази точка.

Формули за намиране на върха:

x 0 \u003d -b / (2 * a);
y 0 = y (x 0).

Пример.

Има функция y \u003d 4 * x 2 + 16 * x - 25. Нека намерим върховете на тази функция.

За такъв ред:

x \u003d -16 / (2 * 4) \u003d -2;
y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Получаваме координатите на върха (-2, -41).

Изместване на парабола

Класическият случай е, когато в квадратична функция y = a x 2 + b x + c, вторият и третият параметър са 0, а = 1 - върхът е в точката (0; 0).

Движението по осите на абсцисата или ординатите се дължи на промяна на параметрите b и c, съответно.Изместването на линията в равнината ще се извърши точно с броя единици, който е равен на стойността на параметъра.

Пример.

Имаме: b = 2, c = 3.

Това означава, че класическият изглед на кривата ще се измести с 2 единични сегмента по оста на абсцисата и с 3 по оста на ординатата.

Как да построим парабола с помощта на квадратно уравнение

Важно е учениците да се научат как правилно да рисуват парабола според дадените параметри.

Като анализирате изрази и уравнения, можете да видите следното:

Точката на пресичане на желаната права с ординатния вектор ще има стойност, равна на c.
Всички точки на графиката (по оста x) ще бъдат симетрични по отношение на главния екстремум на функцията.

В допълнение, пресечните точки с OX могат да бъдат намерени, като се знае дискриминанта (D) на такава функция:

D \u003d (b 2 - 4 * a * c).

За да направите това, трябва да приравните израза на нула.

Наличието на корени от парабола зависи от резултата:

D ˃ 0, тогава x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
D \u003d 0, след това x 1, 2 \u003d -b / (2 * a);
D ˂ 0, то няма пресечни точки с вектора OX.

Получаваме алгоритъма за конструиране на парабола:

определете посоката на клоните;
намиране на координатите на върха;
намерете пресечната точка с оста y;
намерете пресечната точка с оста x.

Пример 1

Дадена е функция y = x 2 - 5 * x + 4. Необходимо е да се изгради парабола. Действаме според алгоритъма:

a \u003d 1, следователно, клоните са насочени нагоре;
екстремални координати: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
пресича се с оста y при стойност y = 4;
намерете дискриминанта: D = 25 - 16 = 9;
търси корени

X 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
X 2 = (5 - 3) / 2 = 1; (10).

Пример 2

За функцията y \u003d 3 * x 2 - 2 * x - 1, трябва да построите парабола. Ние действаме според горния алгоритъм:

a \u003d 3, следователно, клоните са насочени нагоре;
екстремални координати: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
с оста y ще се пресича при стойността y \u003d -1;
намерете дискриминанта: D = 4 + 12 \u003d 16. Така че корените:

X 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
X 2 = (2 - 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

От получените точки можете да построите парабола.

Директриса, ексцентриситет, фокус на парабола

Въз основа на каноничното уравнение фокусът F има координати (p/2, 0).

Правата AB е директриса (вид параболна хорда с определена дължина). Нейното уравнение е x = -p/2.

Ексцентриситет (константа) = 1.

Заключение

Разгледахме темата, по която учат учениците гимназия. Сега знаете, гледайки квадратичната функция на парабола, как да намерите нейния връх, в каква посока ще бъдат насочени клоните, дали има изместване по осите и, като имате алгоритъм за изграждане, можете да начертаете нейната графика.