Коренът на което уравнение е дроб. Най-простите рационални уравнения

Решаване на уравнения с дробинека да разгледаме примери. Примерите са прости и илюстративни. С тяхна помощ можете да разберете по най-разбираемия начин.
Например, трябва да решите просто уравнение x/b + c = d.

Уравнение от този тип се нарича линейно, т.к знаменателят съдържа само числа.

Решението се извършва чрез умножаване на двете страни на уравнението по b, след което уравнението приема формата x = b*(d – c), т.е. знаменателят на дроб от лявата страна се намалява.

Например как да се реши дробно уравнение:
х/5+4=9
Умножаваме и двете части по 5. Получаваме:
х+20=45
х=45-20=25

Друг пример, където неизвестното е в знаменателя:

Уравненията от този тип се наричат дробно рационални или просто дробни.

Дробно уравнение бихме решили, като се отървем от дроби, след което това уравнение най-често се превръща в линейно или квадратно, което се решава по обичайния начин. Трябва да вземете предвид само следните точки:

стойността на променлива, която превръща знаменателя в 0, не може да бъде корен;
не можете да разделите или умножите уравнението по израза =0.

Тук влиза в сила такова понятие като площта на допустимите стойности(ODZ) - това са стойностите на корените на уравнението, за които уравнението има смисъл.

По този начин, решавайки уравнението, е необходимо да намерите корените и след това да ги проверите за съответствие с ODZ. Тези корени, които не отговарят на нашия DHS, са изключени от отговора.

Например, трябва да решите дробно уравнение:

Въз основа на горното правило x не може да бъде = 0, т.е. ODZ в този случай: x - всяка стойност, различна от нула.

Отърваваме се от знаменателя, като умножаваме всички членове на уравнението по x

И решете обичайното уравнение

5x - 2x = 1
3x=1
х = 1/3

Отговор: x = 1/3

Нека решим уравнението по-сложно:

ODZ също присъства тук: x -2.

Решавайки това уравнение, няма да прехвърлим всичко в една посока и да доведем дроби до общ знаменател. Веднага умножаваме двете страни на уравнението по израз, който ще намали всички знаменатели наведнъж.

За да намалите знаменателите, трябва да умножите лявата страна по x + 2, а дясната страна по 2. И така, двете страни на уравнението трябва да се умножат по 2 (x + 2):

Това е най-често срещаното умножение на дроби, което вече обсъдихме по-горе.

Пишем същото уравнение, но по малко по-различен начин.

Лявата страна се намалява с (x + 2), а дясната с 2. След намаляването получаваме обичайното линейно уравнение:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, което съответства на нашия ODZ

Отговор: х = 2.

Решаване на уравнения с дробине е толкова трудно, колкото може да изглежда. В тази статия показахме това с примери. Ако имате някакви затруднения с как се решават уравнения с дроби, след което се отпишете в коментарите.

Презентация и урок на тема: "Рационални уравнения. Алгоритъм и примери за решаване на рационални уравнения"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, предложения! Всички материали се проверяват от антивирусна програма.

Учебни помагала и симулатори в онлайн магазин "Интеграл" за 8 клас
Ръководство за учебника Макаричев Ю.Н. Ръководство за учебника Мордкович A.G.

Въведение в ирационалните уравнения

Момчета, научихме се как да решаваме квадратни уравнения. Но математиката не се ограничава до тях. Днес ще се научим как да решаваме рационални уравнения. концепция рационални уравнениямного подобен на концепцията рационални числа. Само в допълнение към числата, сега въведохме някаква променлива $x$. И така получаваме израз, в който има операции събиране, изваждане, умножение, деление и повишаване на степен на цяло число.

Нека $r(x)$ бъде рационално изразяване . Такъв израз може да бъде прост полином в променливата $x$ или съотношение на полиноми (въвежда се операцията на деление, както при рационалните числа).
Извиква се уравнението $r(x)=0$ рационално уравнение.
Всяко уравнение от формата $p(x)=q(x)$, където $p(x)$ и $q(x)$ са рационални изрази, също ще бъде рационално уравнение.

Помислете за примери за решаване на рационални уравнения.

Пример 1
Решете уравнението: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

Решение.
Нека преместим всички изрази в лявата страна: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Ако обикновените числа бяха представени от лявата страна на уравнението, тогава щяхме да доведем две дроби до общ знаменател.
Нека направим това: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Получаваме уравнението: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Една дроб е равна на нула, ако и само ако е числител на дробта нула, а знаменателят е различен от нула. След това отделно приравнете числителя на нула и намерете корените на числителя.
$3(x^2+2x-3)=0$ или $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Сега нека проверим знаменателя на дроба: $(x-3)*x≠0$.
Произведението на две числа е равно на нула, когато поне едно от тези числа е равно на нула. След това: $x≠0$ или $x-3≠0$.
$x≠0$ или $x≠3$.
Корените, получени в числителя и знаменателя, не съвпадат. Така че в отговор записваме и двата корена на числителя.
Отговор: $x=1$ или $x=-3$.

Ако изведнъж един от корените на числителя съвпадне с корена на знаменателя, тогава той трябва да бъде изключен. Такива корени се наричат външни!

Алгоритъм за решаване на рационални уравнения:

1. Всички изрази, съдържащи се в уравнението, трябва да бъдат прехвърлени на лява странаот знака за равенство.
2. Преобразувайте тази част от уравнението в алгебрична дроб: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Приравнете получения числител към нула, тоест решете уравнението $p(x)=0$.
4. Приравнете знаменателя на нула и решете полученото уравнение. Ако корените на знаменателя съвпадат с корените на числителя, тогава те трябва да бъдат изключени от отговора.

Пример 2
Решете уравнението: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Решение.
Ще решаваме според точките от алгоритъма.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Приравнете числителя на нула: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Приравнете знаменателя към нула:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ и $x=-1$.
Един от корените $x=1$ съвпадна с корена на числителя, тогава ние не го записваме в отговор.
Отговор: $x=-1$.

Удобно е да се решават рационални уравнения с помощта на метода за промяна на променливите. Нека го демонстрираме.

Пример 3
Решете уравнението: $x^4+12x^2-64=0$.

Решение.
Въвеждаме замяна: $t=x^2$.
Тогава нашето уравнение ще приеме вида:
$t^2+12t-64=0$ е обикновено квадратно уравнение.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4$.
Нека въведем обратна замяна: $x^2=4$ или $x^2=-16$.
Корените на първото уравнение са двойка числа $x=±2$. Втората няма корени.
Отговор: $x=±2$.

Пример 4
Решете уравнението: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Решение.
Нека представим нова променлива: $t=x^2+x+1$.
Тогава уравнението ще приеме формата: $t=\frac(15)(t+2)$.
След това ще действаме според алгоритъма.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3$.
4. $t≠-2$ - корените не съвпадат.
Въвеждаме обратна замяна.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Нека решим всяко уравнение поотделно:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - не корени.
И второто уравнение: $x^2+x-2=0$.
Вкоренени дадено уравнениеще има числа $x=-2$ и $x=1$.
Отговор: $x=-2$ и $x=1$.

Пример 5
Решете уравнението: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Решение.
Въвеждаме замяна: $t=x+\frac(1)(x)$.
Тогава:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ или $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Получаваме уравнението: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Корените на това уравнение са двойката:
$t=-3$ и $t=2$.
Нека представим обратното заместване:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Ще решим отделно.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Нека решим второто уравнение:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Коренът на това уравнение е числото $x=1$.
Отговор: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Задачи за самостоятелно решаване

Решаване на уравнения:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

Въведохме уравнението по-горе в § 7. Първо, припомняме си какво е рационален израз. Това - алгебричен израз, съставен от числа и променливата x, използвайки операциите събиране, изваждане, умножение, деление и степенуване с естествен степен.

Ако r(x) е рационален израз, тогава уравнението r(x) = 0 се нарича рационално уравнение.

На практика обаче е по-удобно да се използва малко повече широко тълкуванетермин "рационално уравнение": това е уравнение от формата h(x) = q(x), където h(x) и q(x) са рационални изрази.

Досега не можехме да решим нито едно рационално уравнение, а само едно, което в резултат на различни трансформации и разсъждения беше сведено до линейно уравнение. Сега нашите възможности са много по-големи: ще можем да решим рационално уравнение, което се свежда не само до линейно
mu, но и към квадратното уравнение.

Припомнете си как решавахме рационални уравнения по-рано и се опитайте да формулираме алгоритъм за решение.

Пример 1реши уравнението

Решение. Пренаписваме уравнението във формата

В този случай, както обикновено, използваме факта, че равенствата A \u003d B и A - B \u003d 0 изразяват една и съща връзка между A и B. Това ни позволи да прехвърлим члена в лявата страна на уравнението с противоположен знак.

Нека извършим трансформации на лявата част на уравнението. Ние имаме

Припомнете си условията за равенство фракциинула: ако и само ако две отношения са изпълнени едновременно:

1) числителят на дроба е нула (a = 0); 2) знаменателят на дроба е различен от нула).
Приравнявайки към нула числителя на дроба от лявата страна на уравнение (1), получаваме

Остава да проверим изпълнението на второто условие, посочено по-горе. Съотношението означава за уравнение (1), че . Стойностите x 1 = 2 и x 2 = 0,6 удовлетворяват посочените отношения и следователно служат като корени на уравнение (1), а в същото време и корени на даденото уравнение.

1) Нека преобразуваме уравнението във формата

2) Нека извършим трансформациите на лявата страна на това уравнение:

(едновременно сменени знаците в числителя и
дроби).
По този начин, дадено уравнениеприема формата

3) Решете уравнението x 2 - 6x + 8 = 0. Намерете

4) За намерените стойности проверете условието . Числото 4 удовлетворява това условие, но числото 2 не. Така че 4 е коренът на даденото уравнение, а 2 е външен корен.
Отговор: 4.

2. Решаване на рационални уравнения чрез въвеждане на нова променлива

Методът за въвеждане на нова променлива ви е познат, използвали сме го повече от веднъж. Нека покажем с примери как се използва при решаването на рационални уравнения.

Пример 3Решете уравнението x 4 + x 2 - 20 = 0.

Решение. Представяме нова променлива y = x 2. Тъй като x 4 = (x 2) 2 = y 2, тогава даденото уравнение може да бъде пренаписано във формата

y 2 + y - 20 = 0.

Това е квадратно уравнение, чиито корени ще намерим с помощта на известните формули; получаваме y 1 = 4, y 2 = - 5.
Но y \u003d x 2, което означава, че проблемът е сведен до решаване на две уравнения:
x2=4; x 2 \u003d -5.

От първото уравнение откриваме, че второто уравнение няма корени.
Отговор: .
Уравнение от формата ax 4 + bx 2 + c \u003d 0 се нарича биквадратично уравнение („bi“ - две, т.е. уравнение „два квадрата“). Току-що решеното уравнение беше точно биквадратично. Всяко биквадратично уравнение се решава по същия начин като уравнението от пример 3: въвежда се нова променлива y = x 2, полученото квадратно уравнение се решава по отношение на променливата y и след това се връща към променливата x.

Пример 4реши уравнението

Решение. Имайте предвид, че един и същ израз x 2 + 3x се среща два пъти тук. Следователно има смисъл да се въведе нова променлива y = x 2 + Zx. Това ще ни позволи да пренапишем уравнението в по-проста и по-приятна форма (което всъщност е целта на въвеждането на нов променлива- и записването е по-лесно
и структурата на уравнението става по-ясна):

И сега ще използваме алгоритъма за решаване на рационално уравнение.

1) Нека преместим всички членове на уравнението в една част:

= 0
2) Нека преобразуваме лявата част на уравнението

И така, ние трансформирахме даденото уравнение във формата

3) От уравнението - 7y 2 + 29y -4 = 0 намираме (вече сме решили доста квадратни уравнения, така че вероятно не си струва винаги да даваме подробни изчисления в учебника).

4) Нека проверим намерените корени, използвайки условието 5 (y - 3) (y + 1). И двата корена отговарят на това условие.
И така, квадратното уравнение за новата променлива y е решено:
Тъй като y = x 2 + Zx и y, както установихме, приема две стойности: 4 и, - все още трябва да решим две уравнения: x 2 + Zx = 4; x 2 + Zx \u003d. Корените на първото уравнение са числата 1 и - 4, корените на второто уравнение са числата

В разглежданите примери методът за въвеждане на нова променлива беше, както обичат да казват математиците, адекватен на ситуацията, тоест отговаряше добре на нея. Защо? Да, защото един и същ израз беше ясно срещан в записа на уравнението няколко пъти и беше разумно този израз да се обозначи с нова буква. Но това не винаги е така, понякога нова променлива се "появява" само в процеса на трансформации. Точно това ще се случи в следващия пример.

Пример 5реши уравнението
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Решение. Ние имаме
x (x - 3) \u003d x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) \u003d x 2 -3x + 2.

Така даденото уравнение може да се пренапише като

(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24

Сега се "появи" нова променлива: y = x 2 - Zx.

С негова помощ уравнението може да бъде пренаписано във формата y (y + 2) \u003d 24 и след това y 2 + 2y - 24 = 0. Корените на това уравнение са числата 4 и -6.

Връщайки се към първоначалната променлива x, получаваме две уравнения x 2 - Zx \u003d 4 и x 2 - Zx \u003d - 6. От първото уравнение намираме x 1 = 4, x 2 = 1; второто уравнение няма корени.

Отговор: 4, - 1.

Съдържание на урока резюме на урокаподкрепа рамка презентация урок ускорителни методи интерактивни технологии Практика задачи и упражнения самоизпитване семинари, обучения, казуси, куестове домашна работа дискусия въпроси реторични въпроси от ученици Илюстрации аудио, видео клипове и мултимедияснимки, картини графики, таблици, схеми хумор, анекдоти, вицове, комикси притчи, поговорки, кръстословици, цитати Добавки резюметастатии чипове за любопитни cheat sheets учебници основни и допълнителен речник на термини други Подобряване на учебниците и уроцитекоригиране на грешки в учебникаактуализиране на фрагмент в учебника, елементи на иновация в урока, замяна на остарелите знания с нови Само за учители перфектни уроци календарен планза година насокидискусионни програми Интегрирани уроци

Нека се запознаем с рационални и дробни рационални уравнения, да дадем тяхното определение, да дадем примери, а също и да анализираме най-често срещаните видове проблеми.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Рационално уравнение: определение и примери

Запознаването с рационалните изрази започва в 8 клас на училището. По това време в уроците по алгебра учениците все повече започват да срещат задачи с уравнения, които съдържат рационални изрази в своите бележки. Нека освежим паметта си какво представлява.

Определение 1

рационално уравнениее уравнение, в което и двете страни съдържат рационални изрази.

В различни ръководства можете да намерите друга формулировка.

Определение 2

рационално уравнение- това е уравнение, записът на лявата част на което съдържа рационален израз, а дясната съдържа нула.

Определенията, които сме дали за рационалните уравнения, са еквивалентни, тъй като означават едно и също нещо. Правилността на нашите думи се потвърждава от факта, че за всякакви рационални изрази ПИ Вуравнения P=QИ P − Q = 0ще бъдат еквивалентни изрази.

Сега нека се обърнем към примери.

Пример 1

Рационални уравнения:

x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , xx 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

Рационалните уравнения, подобно на уравненията от други типове, могат да съдържат произволен брой променливи от 1 до няколко. Като начало ще разгледаме прости примери, в който уравненията ще съдържат само една променлива. И тогава започваме постепенно да усложняваме задачата.

Рационалните уравнения са разделени на две големи групи: целочислени и дробни. Нека видим кои уравнения ще се прилагат за всяка от групите.

Определение 3

Рационалното уравнение ще бъде цяло число, ако записът на неговите лява и дясна част съдържа цели рационални изрази.

Определение 4

Рационалното уравнение ще бъде дробно, ако едната или и двете му части съдържат дроб.

Дробно рационалните уравнения задължително съдържат деление на променлива или променливата присъства в знаменателя. Няма такова деление при писане на целочислени уравнения.

Пример 2

3 x + 2 = 0И (x + y) (3 x 2 − 1) + x = − y + 0 , 5са цели рационални уравнения. Тук и двете части на уравнението са представени с целочислени изрази.

1 x - 1 = x 3 и x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5са дробно рационални уравнения.

Целите рационални уравнения включват линейни и квадратни уравнения.

Решаване на целочислени уравнения

Решаването на такива уравнения обикновено се свежда до превръщането им в еквивалентни алгебрични уравнения. Това може да се постигне чрез извършване на еквивалентни трансформации на уравненията в съответствие със следния алгоритъм:

първо получаваме нула от дясната страна на уравнението, за това е необходимо да прехвърлим израза, който е от дясната страна на уравнението, в лявата му страна и да променим знака;
след това преобразуваме израза от лявата страна на уравнението в полином стандартен изглед.

Трябва да получим алгебрично уравнение. Това уравнение ще бъде еквивалентно по отношение на оригиналното уравнение. Лесните случаи ни позволяват да решим проблема, като сведем цялото уравнение до линейно или квадратно. В общия случай решаваме алгебрично уравнение на степен н.

Пример 3

Необходимо е да се намерят корените на цялото уравнение 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.

Решение

Нека трансформираме оригиналния израз, за да получим алгебрично уравнение, еквивалентно на него. За да направим това, ще прехвърлим израза, съдържащ се в дясната страна на уравнението, в лявата страна и ще променим знака на противоположния. В резултат на това получаваме: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

Сега ще трансформираме израза, който е от лявата страна, в полином от стандартната форма и ще изпълним необходими действияс този полином:

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

Успяхме да сведем решението на оригиналното уравнение до решението квадратно уравнениемил x 2 − 5 x − 6 = 0. Дискриминантът на това уравнение е положителен: D = (− 5) 2 − 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49 .Това означава, че ще има два реални корена. Нека ги намерим с помощта на формулата на корените на квадратното уравнение:

x \u003d - - 5 ± 49 2 1,

x 1 = 5 + 7 2 или x 2 = 5 - 7 2,

x 1 = 6 или x 2 = - 1

Нека проверим правилността на корените на уравнението, което открихме в хода на решението. За това число, което получихме, заместваме в оригиналното уравнение: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3И 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. В първия случай 63 = 63 , във втория 0 = 0 . корени х=6И x = − 1са наистина корените на уравнението, дадено в примерното условие.

Отговор: 6 , − 1 .

Нека да видим какво означава "сила на цялото уравнение". Често ще срещаме този термин в случаите, когато трябва да представим цяло уравнение под формата на алгебрично. Нека дефинираме понятието.

Определение 5

Степен на целочислено уравнениее степента алгебрично уравнение, което е еквивалентно на първоначалното цяло уравнение.

Ако погледнете уравненията от горния пример, можете да установите: степента на цялото това уравнение е втората.

Ако нашият курс беше ограничен до решаване на уравнения от втора степен, тогава разглеждането на темата може да бъде завършено тук. Но всичко не е толкова просто. Решаването на уравнения от трета степен е изпълнено с трудности. А за уравнения над четвърта степен изобщо не съществува общи формуликорени. В тази връзка решаването на цели уравнения от трета, четвърта и други степени изисква от нас да използваме редица други техники и методи.

Най-често използваният подход за решаване на цели рационални уравнения се основава на метода на факторизация. Алгоритъмът на действията в този случай е следният:

прехвърляме израза от дясната страна в лявата страна, така че нулата да остане от дясната страна на записа;
представяме израза от лявата страна като продукт на фактори и след това преминаваме към набор от няколко по-прости уравнения.

Пример 4

Намерете решението на уравнението (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) = 2 x (x 2 − 10 x + 13) .

Решение

Прехвърляме израза от дясната страна на записа към лявата страна с противоположен знак: (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) − 2 x (x 2 − 10 x + 13) = 0. Преобразуването на лявата страна в полином от стандартната форма е непрактично поради факта, че това ще ни даде алгебрично уравнение от четвърта степен: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Лекотата на трансформация не оправдава всички трудности при решаването на такова уравнение.

Много по-лесно е да се върви по другия път: изваждаме общия фактор x 2 − 10 x + 13 .Така стигаме до уравнение на формата (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Сега заменяме полученото уравнение с набор от две квадратни уравнения x 2 − 10 x + 13 = 0И x 2 − 2 x − 1 = 0и намерете корените им чрез дискриминанта: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Отговор: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

По същия начин можем да използваме метода за въвеждане на нова променлива. Този метод ни позволява да преминем към еквивалентни уравнения с по-ниски степени от тези в оригиналното цяло уравнение.

Пример 5

Уравнението има ли корени? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

Решение

Ако сега се опитаме да сведем цялото рационално уравнение до алгебрично, ще получим уравнение от степен 4, което няма рационални корени. Следователно ще ни бъде по-лесно да отидем по другия начин: да въведете нова променлива y, която ще замени израза в уравнението х 2 + 3 х.

Сега ще работим с цялото уравнение (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4). Прехвърляме дясната страна на уравнението в лявата страна с противоположен знак и извършваме необходимите трансформации. Получаваме: y 2 + 4 y + 3 = 0. Нека намерим корените на квадратното уравнение: y = − 1И y = − 3.

Сега нека направим обратното заместване. Получаваме две уравнения x 2 + 3 x = − 1И х 2 + 3 х = - 3 .Нека ги пренапишем като x 2 + 3 x + 1 = 0 и х 2 + 3 х + 3 = 0. Използваме формулата на корените на квадратното уравнение, за да намерим корените на първото получено уравнение: - 3 ± 5 2 . Дискриминантът на второто уравнение е отрицателен. Това означава, че второто уравнение няма реални корени.

Отговор:- 3 ± 5 2

Целочислени уравнения от високи степени се срещат в проблеми доста често. Няма нужда да се страхувате от тях. Трябва да сте готови да приложите нестандартен метод за решаването им, включително редица изкуствени трансформации.

Решение на дробно рационални уравнения

Започваме разглеждането на тази подтема с алгоритъм за решаване на дробно рационални уравнения от вида p (x) q (x) = 0 , където p(x)И q(x)са целочислени рационални изрази. Решението на други дробно рационални уравнения винаги може да се сведе до решението на уравнения от посочения вид.

Най-често използваният метод за решаване на уравнения p (x) q (x) = 0 се основава на следното твърдение: числова дроб u v, където vе число, което е различно от нула, равно на нула само в случаите, когато числителят на дроба е равен на нула. Следвайки логиката на горното твърдение, можем да твърдим, че решението на уравнението p (x) q (x) = 0 може да се сведе до изпълнението на две условия: p(x)=0И q(x) ≠ 0. Върху това се изгражда алгоритъм за решаване на дробни рационални уравнения от вида p (x) q (x) = 0:

намираме решението на цялото рационално уравнение p(x)=0;
проверяваме дали е изпълнено условието за корените, намерени по време на решението q(x) ≠ 0.

Ако това условие е изпълнено, тогава намереният корен. Ако не, тогава коренът не е решение на проблема.

Пример 6

Намерете корените на уравнението 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .

Решение

Имаме работа с дробно рационално уравнение от вида p (x) q (x) = 0 , в което p (x) = 3 · x − 2 , q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 . Нека започнем да решаваме линейното уравнение 3 х - 2 = 0. Коренът на това уравнение ще бъде х = 2 3.

Нека проверим намерения корен, дали отговаря на условието 5 x 2 - 2 ≠ 0. За да направите това, заменете числова стойност в израза. Получаваме: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 = 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0.

Условието е изпълнено. Означава, че х = 2 3е коренът на оригиналното уравнение.

Отговор: 2 3 .

Има и друг вариант за решаване на дробни рационални уравнения p (x) q (x) = 0 . Припомнете си, че това уравнение е еквивалентно на цялото уравнение p(x)=0върху диапазона на допустимите стойности на променливата x на оригиналното уравнение. Това ни позволява да използваме следния алгоритъм при решаването на уравненията p(x) q(x) = 0:

реши уравнението p(x)=0;
намерете диапазона от приемливи стойности за променливата x;
вземаме корените, които лежат в областта на допустимите стойности на променливата x като желаните корени на оригиналното дробно рационално уравнение.

Пример 7

Решете уравнението x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 .

Решение

Първо, нека решим квадратното уравнение x 2 − 2 x − 11 = 0. За да изчислим неговите корени, използваме формулата за корен за четен втори коефициент. Получаваме D 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12и x = 1 ± 2 3 .

Сега можем да намерим ODV на x за оригиналното уравнение. Това са всички числа, за които x 2 + 3 x ≠ 0. Това е същото като x (x + 3) ≠ 0, откъдето x ≠ 0 , x ≠ − 3 .

Сега нека проверим дали корените x = 1 ± 2 3, получени на първия етап от решението, са в рамките на допустимите стойности на променливата x . Виждаме какво влиза. Това означава, че първоначалното дробно рационално уравнение има два корена x = 1 ± 2 3 .

Отговор: x = 1 ± 2 3

Описан е вторият метод за решение по-лесно от първотов случаите, когато е лесно да се намери площта на допустимите стойности на променливата x и корените на уравнението p(x)=0ирационално. Например, 7 ± 4 26 9 . Корените могат да бъдат рационални, но с голям числител или знаменател. Например, 127 1101 И − 31 59 . Това спестява време за проверка на състоянието. q(x) ≠ 0: много по-лесно е да се изключат корени, които не пасват, според ODZ.

Когато корените на уравнението p(x)=0са цели числа, по-целесъобразно е да се използва първият от описаните алгоритми за решаване на уравнения от вида p (x) q (x) = 0 . По-бързо намиране на корените на цялото уравнение p(x)=0, и след това проверете дали условието е изпълнено за тях q(x) ≠ 0, а не намиране на ODZ и след това решаване на уравнението p(x)=0на това ОДЗ. Това се дължи на факта, че в такива случаи обикновено е по-лесно да се направи проверка, отколкото да се намери ОДЗ.

Пример 8

Намерете корените на уравнението (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0 .

Решение

Започваме с разглеждане на цялото уравнение (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0и намиране на нейните корени. За целта прилагаме метода за решаване на уравнения чрез факторизация. Оказва се, че оригиналното уравнение е еквивалентно на набор от четири уравнения 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, от които три са линейни и едното е квадратно. Намираме корените: от първото уравнение х = 1 2, от втория х=6, от третия - x \u003d 7, x \u003d - 2, от четвъртия - x = − 1.

Нека проверим получените корени. Трудно ни е да определим ODZ в този случай, тъй като за това ще трябва да решим алгебрично уравнение от пета степен. Ще бъде по-лесно да се провери условието, според което знаменателят на дроб, който е от лявата страна на уравнението, не трябва да изчезва.

На свой ред заменете корените на мястото на променливата x в израза x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112и изчислете стойността му:

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ;

6 5 − 15 6 4 + 57 6 3 − 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 7 4 + 57 7 3 − 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .

Извършената проверка ни позволява да установим, че корените на оригиналното дробно рационално уравнение са 1 2 , 6 и − 2 .

Отговор: 1 2 , 6 , - 2

Пример 9

Намерете корените на дробното рационално уравнение 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 .

Решение

Да започнем с уравнението (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. Да открием корените му. За нас е по-лесно да представим това уравнение като комбинация от квадратни и линейни уравнения 5 x 2 - 7 x - 1 = 0И x − 2 = 0.

Използваме формулата на корените на квадратно уравнение, за да намерим корените. Получаваме два корена x = 7 ± 69 10 от първото уравнение и от второто х=2.

Заместването на стойността на корените в оригиналното уравнение за проверка на условията ще бъде доста трудно за нас. Ще бъде по-лесно да се определи LPV на променливата x. В този случай DPV на променливата x е всички числа, с изключение на тези, за които условието е изпълнено x 2 + 5 x − 14 = 0. Получаваме: x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .

Сега нека проверим дали корените, които открихме, принадлежат към диапазона от приемливи стойности за променливата x.

Корените x = 7 ± 69 10 - принадлежат, следователно, те са корените на оригиналното уравнение, и х=2- не принадлежи, следователно е външен корен.

Отговор: x = 7 ± 69 10 .

Нека разгледаме отделно случаите, когато числителят на дробно рационално уравнение от вида p (x) q (x) = 0 съдържа число. В такива случаи, ако числителят съдържа число, различно от нула, тогава уравнението няма да има корени. Ако това число е равно на нула, тогава коренът на уравнението ще бъде произволно число от ODZ.

Пример 10

Решете дробното рационално уравнение - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .

Решение

Това уравнение няма да има корени, тъй като числителят на дробта от лявата страна на уравнението съдържа число, различно от нула. Това означава, че за всякакви стойности на x стойността на фракцията, дадена в условието на задачата, няма да бъде равна на нула.

Отговор:няма корени.

Пример 11

Решете уравнението 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Решение

Тъй като числителят на дроба е нула, решението на уравнението ще бъде всяка стойност на x от ODZ променливата x.

Сега нека дефинираме ODZ. Той ще включва всички x стойности, за които x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Решения на уравнения х 4 + 5 х 3 = 0са 0 И − 5 , тъй като това уравнение е еквивалентно на уравнението x 3 (x + 5) = 0, а то от своя страна е еквивалентно на набора от две уравнения x 3 = 0 и х + 5 = 0където се виждат тези корени. Стигаме до заключението, че желаният диапазон от приемливи стойности са произволни x, освен х=0И х = -5.

Оказва се, че дробното рационално уравнение 0 x 4 + 5 x 3 = 0 има безкраен брой решения, които са произволни числа с изключение на нула и - 5.

Отговор: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Сега нека поговорим за дробни рационални уравнения с произволна форма и методи за тяхното решаване. Те могат да бъдат написани като r(x) = s(x), където r(x)И s(x)са рационални изрази и поне един от тях е дробен. Решението на такива уравнения се свежда до решение на уравнения от вида p (x) q (x) = 0 .

Вече знаем, че можем да получим еквивалентно уравнение, като прехвърлим израза от дясната страна на уравнението в лявата страна с противоположен знак. Това означава, че уравнението r(x) = s(x)е еквивалентно на уравнението r (x) − s (x) = 0. Също така вече обсъдихме как да преобразуваме рационален израз в рационална дроб. Благодарение на това можем лесно да трансформираме уравнението r (x) − s (x) = 0в своята идентична рационална част от вида p (x) q (x) .

Така че преминаваме от първоначалното дробно рационално уравнение r(x) = s(x)към уравнение от вида p (x) q (x) = 0 , което вече научихме как да решаваме.

Трябва да се отбележи, че при извършване на преходи от r (x) − s (x) = 0до p (x) q (x) = 0 и след това до p(x)=0може да не вземем предвид разширяването на диапазона от валидни стойности на променливата x.

Съвсем реалистично е оригиналното уравнение r(x) = s(x)и уравнение p(x)=0в резултат на трансформациите те ще престанат да бъдат еквивалентни. След това решението на уравнението p(x)=0може да ни даде корени, които ще бъдат чужди r(x) = s(x). В тази връзка във всеки отделен случай е необходимо да се извърши проверка по някой от методите, описани по-горе.

За да ви улесним при изучаването на темата, обобщихме цялата информация в алгоритъм за решаване на дробно рационално уравнение от вида r(x) = s(x):

прехвърляме израза от дясната страна с противоположен знак и получаваме нула отдясно;
преобразуваме оригиналния израз в рационална дроб p (x) q (x) чрез последователно извършване на действия с дроби и полиноми;
реши уравнението p(x)=0;
ние разкриваме външни корени, като проверяваме принадлежността им към ODZ или като ги заместваме в оригиналното уравнение.

Визуално веригата от действия ще изглежда така:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → отпадане r o n d e r o o n s

Пример 12

Решете дробното рационално уравнение x x + 1 = 1 x + 1 .

Решение

Нека да преминем към уравнението x x + 1 - 1 x + 1 = 0 . Нека трансформираме дробно рационалния израз от лявата страна на уравнението във вида p (x) q (x) .

За да направим това, трябва да намалим рационалните дроби до общ знаменател и да опростим израза:

xx + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - xx (x + 1) = - 2 x - 1 x (x + 1)

За да намерим корените на уравнението - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, трябва да решим уравнението − 2 x − 1 = 0. Получаваме един корен х = - 1 2.

Остава да извършим проверката по някой от методите. Нека ги разгледаме и двамата.

Заместете получената стойност в оригиналното уравнение. Получаваме - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . Стигнахме до правилното числово равенство − 1 = − 1 . Означава, че x = − 1 2е коренът на оригиналното уравнение.

Сега ще проверим през ОДЗ. Нека да определим областта на приемливите стойности за променливата x. Това ще бъде целият набор от числа, с изключение на − 1 и 0 (когато x = − 1 и x = 0, знаменателите на дробите изчезват). Коренът, който получихме x = − 1 2е към ОДЗ. Това означава, че това е коренът на оригиналното уравнение.

Отговор: − 1 2 .

Пример 13

Намерете корените на уравнението x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x .

Решение

Имаме работа с дробно рационално уравнение. Затова ще действаме според алгоритъма.

Нека преместим израза от дясната страна в лявата страна с обратен знак: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Нека извършим необходимите трансформации: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.

Стигаме до уравнението х=0. Коренът на това уравнение е нула.

Нека проверим дали този корен е чужд за оригиналното уравнение. Заменете стойността в оригиналното уравнение: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 . Както можете да видите, полученото уравнение няма смисъл. Това означава, че 0 е външен корен и оригиналното дробно рационално уравнение няма корени.

Отговор:няма корени.

Ако не сме включили други еквивалентни трансформации в алгоритъма, това изобщо не означава, че те не могат да бъдат използвани. Алгоритъмът е универсален, но е предназначен да помага, а не да ограничава.

Пример 14

Решете уравнението 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Решение

Най-лесният начин е да решите даденото дробно рационално уравнение според алгоритъма. Но има и друг начин. Нека го разгледаме.

Извадете от дясната и лявата част 7, получаваме: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24.

От това можем да заключим, че изразът в знаменателя на лявата страна трябва да е равен на числото, обратно на числото от дясната страна, тоест 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .

Извадете от двете части 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . По аналогия 2 + 1 5 - x 2 = 7 3, откъдето 1 5 - x 2 = 1 3 и по-нататък 5 - x 2 = 3, x 2 = 2, x \u003d ± 2

Нека проверим, за да установим дали намерените корени са корените на оригиналното уравнение.

Отговор:х = ± 2

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

В тази статия ще ви покажа алгоритми за решаване на седем вида рационални уравнения, които се редуцират до квадратни чрез промяна на променливи. В повечето случаи трансформациите, които водят до подмяната, са много нетривиални и е доста трудно да се досетите сами.

За всеки тип уравнение ще обясня как да направя променлива промяна в него и след това ще покажа подробно решение в съответния видео урок.

Имате възможност да продължите сами да решавате уравненията и след това да проверите решението си с видеоурока.

И така, да започнем.

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

Обърнете внимание, че произведението на четири скоби е от лявата страна на уравнението, а числото е от дясната страна.

1. Нека групираме скобите по две, така че сумата от свободните членове да е еднаква.

2. Умножете ги.

3. Нека въведем промяна на променливата.

В нашето уравнение групираме първата скоба с третата, а втората с четвъртата, тъй като (-1) + (-4) \u003d (-7) + 2:

В този момент промяната на променливата става очевидна:

Получаваме уравнението

Отговор:

2 .

Уравнение от този тип е подобно на предишното с една разлика: от дясната страна на уравнението е произведението на число от. И се решава по съвсем различен начин:

1. Групираме скобите по две, така че произведението на свободните членове да е същото.

2. Умножаваме всяка двойка скоби.

3. От всеки фактор изваждаме x от скобата.

4. Разделете двете страни на уравнението на .

5. Въвеждаме промяна на променливата.

В това уравнение групираме първата скоба с четвъртата, а втората с третата, тъй като:

Имайте предвид, че във всяка скоба коефициентът at и свободният член са еднакви. Нека извадим множителя от всяка скоба:

Тъй като x=0 не е коренът на оригиналното уравнение, ние разделяме двете страни на уравнението на . Получаваме:

Получаваме уравнението:

Отговор:

3 .

Забележете, че знаменателите на двете дроби съдържат квадратни триноми, чийто водещ коефициент и свободен член са еднакви. Изваждаме, както в уравнението от втория тип, x от скобата. Получаваме:

Разделете числителя и знаменателя на всяка дроб на x:

Сега можем да въведем промяна на променливата:

Получаваме уравнението за променливата t:

4 .

Забележете, че коефициентите на уравнението са симетрични спрямо централния. Такова уравнение се нарича подлежащ на връщане .

За да го реша

1. Разделете двете страни на уравнението на (Можем да направим това, тъй като x=0 не е коренът на уравнението.) Получаваме:

2. Групирайте термините по този начин:

3. Във всяка група изваждаме общия фактор:

4. Нека представим заместител:

5. Нека изразим израза чрез t:

Оттук

Получаваме уравнението за t:

Отговор:

5. Хомогенни уравнения.

Уравнения, които имат структура на хомогенна, могат да се срещнат при решаване на експоненциални, логаритмични и тригонометрични уравнения, така че трябва да бъде разпознат.

Хомогенните уравнения имат следната структура:

В това равенство A, B и C са числа, а същите изрази са обозначени с квадрат и кръг. Тоест, от лявата страна на хомогенното уравнение е сборът от едночлени, които имат една и съща степен (в този случай степента на мономи е 2) и няма свободен член.

За да решим хомогенното уравнение, разделяме двете страни на

Внимание! Когато разделите дясната и лявата част на уравнението с израз, съдържащ неизвестно, можете да загубите корените. Следователно е необходимо да се провери дали корените на израза, с който разделяме двете части на уравнението, са корените на оригиналното уравнение.

Да вървим по първия път. Получаваме уравнението:

Сега въвеждаме заместване на променлива:

Опростете израза и получете биквадратично уравнение за t:

Отговор:или

7 .

Това уравнение има следната структура:

За да го решите, трябва да изберете пълния квадрат от лявата страна на уравнението.

За да изберете пълен квадрат, трябва да добавите или извадите двойното произведение. Тогава получаваме квадрата на сбора или разликата. Това е от решаващо значение за успешното заместване на променливата.

Нека започнем с намирането на двойното произведение. Това ще бъде ключът за замяна на променливата. В нашето уравнение двойното произведение е

Сега нека да разберем какво е по-удобно за нас - квадратът на сбора или разликата. Помислете за начало сумата от изразите:

Глоба! този израз е точно равен на двойното произведение. След това, за да получите квадрата на сбора в скоби, трябва да добавите и извадите двойното произведение: