Розрахунок відносної та абсолютної похибки вимірювань. Відносна та абсолютна похибка: поняття, розрахунок та властивості
Вимірювання багатьох величин, які у природі, може бути точним. Вимірювання дає число, що виражає величину з тим чи іншим ступенем точності (вимірювання довжини з точністю до 0,01 см, обчислення значення функції в точці з точністю до і т.д.), тобто приблизно з деякою похибкою. Похибка може бути задана наперед або, навпаки, її потрібно знайти.
Теорія похибок має об'єктом свого вивчення переважно наближені числа. При обчисленнях замість 
зазвичай використовують наближені числа: (якщо точність не дуже важлива), (якщо точність важлива). Як проводити обчислення з наближеними числами, визначати їх похибки – цим займається теорія наближених обчислень (теорія похибок).
Надалі точні числа позначатимемо великими літерами , а відповідні їм наближені - малими
Похибки, що виникають на тому чи іншому етапі розв'язання задачі, можна умовно розділити на три типи:
1) Похибка задачі. Цей тип похибки виникає при побудові математичної моделіявища. Не завжди виявляється можливим врахувати всі чинники і рівень їхнього впливу остаточний результат. Тобто, математична модель об'єкта не є його влучним чином, не є влучним його опис. Така похибка є непереборною.
2) Похибка способу. Ця похибка виникає внаслідок заміни вихідної математичної моделі більш спрощеної, наприклад, у деяких завданнях кореляційного аналізу прийнятною є лінійна модель. Така похибка є усувною, тому що на етапах обчислення вона може звестися до скільки завгодно малої величини.
3) Обчислювальна ("машинна") похибка. Виникає під час виконання арифметичних операцій комп'ютером.
Визначення 1.1. Нехай – точне значеннявеличини (числа) - наближене значення тієї ж величини (). Істинною абсолютною похибкоюнаближеного числа називається модуль різниці точного та наближеного значень:
. (1.1)
Нехай, наприклад, = 1/3. При обчисленні МК дали результат розподілу 1 на 3 як наближене число =0,33. Тоді 
.
Проте насправді найчастіше точного значення величини невідомо, отже, не можна застосовувати (1.1), тобто не можна знайти справжню абсолютну похибкою. Тому вводять іншу величину, яка служить деякою оцінкою (верхньою межею для ).
Визначення 1.2.
Граничною абсолютною похибкоюнаближеного числа , що представляє невідоме точне число , називається таке можливо менше, якого не перевищує істинна абсолютна похибка, тобто 
. (1.2)
Для наближеного числа величин , що задовольняють нерівності (1.2), існує нескінченно багато, але найціннішим їх буде найменше з усіх знайдених. З (1.2) на підставі визначення модуля маємо , або скорочено у вигляді рівності
. (1.3)
Рівність (1.3) визначає межі, в яких знаходиться невідоме точне число (кажуть, що наближене число виражає точне з абсолютною абсолютною похибкою). Неважко бачити, що менше , тим точніше визначаються ці межі.
Наприклад, якщо виміри деякої величини дали результат см, при цьому точність цих вимірів не перевищувала 1 см, то істинна (точна) довжина 
див.
приклад 1.1. Дано число. Знайти граничну абсолютну похибку числа числом.
Рішення: З рівності (1.3) для числа ( =1,243; =0,0005) маємо подвійну нерівність , тобто
Тоді завдання ставиться так: знайти для числа граничну абсолютну похибку, що задовольняє нерівності 
. Враховуючи умову (*), отримаємо (в (*) віднімаємо з кожної частини нерівності)
Бо в нашому випадку 
, Звідки =0,0035.
Відповідь: =0,0035.
Гранична абсолютна похибка часто погано дає уявлення про точність вимірів чи обчислень. Наприклад, =1 м при вимірах довжини будівлі вкаже, що вони проводилися не точно, а та ж похибка =1 м при вимірах відстані між містами дає дуже якісну оцінку. Тому запроваджують іншу величину.
Визначення 1.3. Істинною відносною похибкоючисла, що є наближеним значенням точного числа, називається відношення істинної абсолютної похибки числа до модуля самого числа:
. (1.4)
Наприклад, якщо відповідно точне та наближене значення, то
Однак формула (1.4) не застосовна, якщо не відоме точне значення числа. Тому, за аналогією з граничною абсолютною похибкою, вводять граничну відносну похибку.
Визначення 1.4. Граничною відносною похибкоючисла, що є наближеним значенням невідомого точного числа, називається можливо менше , якого не перевершує справжня відносна похибка , тобто
.
(1.5)
З нерівності (1.2) маємо 
; звідки, враховуючи (1.5)
Формула (1.6) має велику практичну застосовність у порівнянні з (1.5), тому що в ній не бере точного значення. З огляду на (1.6), (1.3) можна знайти межі, в яких полягає точне значення невідомої величини.
Нехай деяка випадкова величина aвимірюється nразів у однакових умовах. Результати вимірювань дали набір nрізних чисел
Абсолютна похибка- Розмірна величина. Серед nзначень абсолютних похибок обов'язково зустрічаються як позитивні, і негативні.
За найбільш ймовірне значення величини азазвичай приймають середнє арифметичнезначення результатів вимірів
.
Чим більше числовимірів, тим ближче середнє значення до істинного.
Абсолютною похибкоюi
.
Відносною похибкоюi-го виміру називається величина
Відносна похибка – величина безрозмірна. Зазвичай відносна похибка виявляється у відсотках, при цьому e iпримножують на 100%. Величина відносної похибки характеризує точність виміру.
Середня абсолютна похибкавизначається так:
.
Наголосимо на необхідності підсумовування абсолютних значень (модулів) величин D а i .Інакше вийде тотожний нульовий результат.
Середньою відносною похибкоюназивається величина
.
При великому числівимірювань.
Відносну похибку можна як значення похибки, що припадає на одиницю вимірюваної величини.
Про точність вимірів судять виходячи з порівняння похибок результатів вимірів. Тому похибки вимірювань виражають у такій формі, щоб для оцінки точності достатньо було порівняти лише одні похибки результатів, не порівнюючи при цьому розміри об'єктів, що вимірюваються або знаючи ці розміри дуже наближено. З практики відомо, що абсолютна похибка виміру кута залежить від значення кута, а абсолютна похибка вимірювання довжини залежить від значення довжини. Чим більше значення довжини, тим за даного методу та умов вимірювання абсолютна похибка буде більшою. Отже, за абсолютною похибкою результату про точність вимірювання кута можна судити, а про точність вимірювання довжини не можна. Вираз похибки у відносній формі дозволяє порівнювати у відомих випадках точність кутових та лінійних вимірів.
Основні поняття теорії ймовірності. Випадкова похибка.
Випадковою похибкою називають складову похибки вимірювань, що змінюється випадковим чином при повторних вимірах однієї й тієї величини.
При проведенні з однаковою ретельністю та в однакових умовах повторних вимірювань однієї й тієї ж постійної незмінної величини ми отримуємо результати вимірювань – деякі з них відрізняються один від одного, а деякі збігаються. Такі розбіжності у результатах вимірів свідчать про наявність у яких випадкових складових похибки.
Випадкова похибка виникає при одночасному вплив багатьох джерел, кожен з яких сам по собі надає непомітний вплив на результат вимірювання, але сумарний вплив всіх джерел може виявитися досить сильним.
Випадкові помилки є неминучим наслідком будь-яких вимірів та обумовлені:
а) неточністю відліків за шкалою приладів та інструментів;
б) не ідентичність умов повторних вимірювань;
в) безладними змінами зовнішніх умов(температури, тиску, силового поляі т.д.), які неможливо контролювати;
г) усіма іншими впливами на вимірювання, причини яких нам невідомі. Величину випадкової похибки можна звести до мінімуму шляхом багаторазового повторення експерименту та відповідної математичної обробки отриманих результатів.
Випадкова помилка може набувати різних за абсолютною величиною значення, передбачити які для даного акта вимірювання неможливо. Ця помилка однаково може бути як позитивною, і негативною. Випадкові помилки завжди є в експерименті. За відсутності систематичних помилок вони спричиняють розкид повторних вимірів щодо істинного значення.
Припустимо, що з допомогою секундоміра вимірюють період коливань маятника, причому вимір багаторазово повторюють. Похибки пуску та зупинки секундоміра, помилка у величині відліку, невелика нерівномірність руху маятника – все це викликає розкид результатів повторних вимірювань і тому може бути віднесено до категорії випадкових помилок.
Якщо інших помилок немає, то одні результати виявляться дещо завищеними, а інші дещо заниженими. Але якщо, крім цього, годинник ще й відстає, то всі результати будуть занижені. Це вже систематична помилка.
Деякі фактори можуть викликати одночасно систематичні та випадкові помилки. Так, включаючи і вимикаючи секундомір, ми можемо створити невеликий нерегулярний розкид моментів пуску та зупинки годинника щодо руху маятника і внести тим самим випадкову помилку. Але якщо до того ж ми щоразу поспішаємо включити секундомір і трохи запізнюємося вимкнути його, це призведе до систематичної помилки.
Випадкові похибки викликаються помилкою паралаксу при відліку поділів шкали приладу, струсі фундаменту будівлі, впливом незначного руху повітря тощо.
Хоча виключити випадкові похибки окремих вимірів неможливо, математична теоріявипадкових явищ дозволяємо зменшити вплив цих похибок на остаточний результат вимірів. Нижче буде показано, що для цього необхідно зробити не один, а кілька вимірювань, причому чим менше значення похибки ми хочемо отримати, тим більше вимірювань потрібно провести.
У зв'язку з тим, що виникнення випадкових похибок неминуче і неусувне, основним завданням будь-якого процесу виміру є доведення похибок до мінімуму.
В основі теорії похибок лежать два основні припущення, що підтверджуються досвідом:
1. При великій кількості вимірів випадкові похибки однакової величини, але різного знаку, тобто похибки у бік збільшення та зменшення результату зустрічаються досить часто.
2. Великі за абсолютною величиною похибки зустрічаються рідше, ніж малі, отже, ймовірність виникнення похибки зменшується зі зростанням її величини.
Поведінка випадкових величин описують статистичні закономірності, що є предметом теорії ймовірностей. Статистичним визначенням ймовірності w iподії iє відношення
де n - загальне числодослідів, n i- кількість дослідів, у яких подія iсталося. При цьому загальна кількість дослідів має бути дуже великою. n®¥). При великій кількості вимірів випадкові помилки підпорядковуються нормальному розподілу (розподіл Гаусса), основними ознаками якого є:
1. Чим більше відхилення значення виміряної величини від істинного, тим менша ймовірність такого результату.
2. Відхилення в обидві сторони від істинного значення є рівноймовірними.
З наведених вище припущень випливає, що зменшення впливу випадкових помилок необхідно зробити вимір цієї величини кілька разів. Припустимо, що вимірюємо деяку величину x. Нехай зроблено nвимірювань: x 1 , x 2 , ... x n- одним і тим самим методом і з однаковою ретельністю. Очікується, що число dnотриманих результатів, які лежать у деякому досить вузькому інтервалі від xдо x + dx, має бути пропорційно:
Величині взятого інтервалу dx;
Загальною кількістю вимірів n.
Ймовірність dw(x) того, що деяке значення xлежить в інтервалі від xдо x + dx,визначається наступним чином :
(при числі вимірювань n ®¥).
Функція f(х) називається функцією розподілу або щільністю ймовірності.
Як постулат теорії помилок приймається, що результати прямих вимірювань та їх випадкові похибки при великій їх кількості підпорядковуються закону нормального розподілу.
Знайдена Гауссом функція розподілу безперервної випадкової величини xмає такий вигляд:
де mіs -
параметри розподілу .
Параметр нормального розподілу дорівнює середньому значенню á xñ випадкової величини, яке при довільній відомій функції розподілу визначається інтегралом
.
Таким чином, величина m є найімовірнішим значенням вимірюваної величини x, тобто. її найкращою оцінкою.
Параметр s2 нормального розподілу дорівнює дисперсії D випадкової величини, яка в загальному випадку визначається наступним інтегралом
.
Квадратний коріньз дисперсії називається середнім квадратичним відхиленням випадкової величини.
Середнє відхилення (похибка) випадкової величини визначається за допомогою функції розподілу наступним чином
Середня похибка вимірювань ásñ, обчислена за функцією розподілу Гауса, співвідноситься з величиною середнього квадратичного відхилення s наступним чином:
< s > = 0,8 s.
Параметри s і m пов'язані між собою так:
.
Цей вираз дозволяє знаходити середнє квадратичне відхилення s якщо є крива нормального розподілу.
Графік функції Гауса представлений малюнки. Функція f(x) симетрична щодо ординати, проведеної в точці x = m; проходить через максимум у точці x = m і має перегин у точках m±s. Таким чином, дисперсія характеризує ширину функції розподілу або показує, наскільки широко розкидані значення випадкової величини щодо її істинного значення. Чим точніше виміру, тим ближче до справжнього значення результати окремих вимірів, тобто. величина s – менше. На малюнку A зображено функцію f(x) для трьох значень s .
Площа фігури, обмеженою кривою f(x) і вертикальними прямими, проведеними з точок x 1 та x 2 (рис.б) , чисельно дорівнює ймовірності попадання результату вимірювання в інтервал D x = x 1 - x 2 яка називається довірчою ймовірністю. Площа під усією кривою f(x) дорівнює ймовірності влучення випадкової величини в інтервал від 0 до ¥, тобто.
,
оскільки можливість достовірного події дорівнює одиниці.
Використовуючи нормальний розподіл, теорія помилок ставить та вирішує два основні завдання. Перша – оцінка точності проведених вимірювань. Друга – оцінка точності середнього арифметичного значення результатів вимірів. Довірчий інтервал. Коефіцієнт Ст'юдента.
Теорія ймовірностей дозволяє визначити величину інтервалу, у якому із відомою ймовірністю wперебувають результати окремих вимірів. Ця ймовірність називається довірчою ймовірністю, а відповідний інтервал (<x>±D x)wназивається довірчим інтервалом.Довірча ймовірність також дорівнює відносної частки результатів, що опинилися всередині довірчого інтервалу.
Якщо кількість вимірів nдосить велике, то довірча ймовірність висловлює частку із загальної кількості nтих вимірів, у яких виміряна величина опинилася у межах довірчого інтервалу. Кожній довірчій ймовірності wвідповідає свій довірчий інтервал. 2 80%. Чим ширший довірчий інтервал, тим більша ймовірність отримати результат усередині цього інтервалу. Теоретично ймовірностей встановлюється кількісний зв'язок між величиною довірчого інтервалу, довірчою ймовірністю і числом вимірів.
Якщо в якості довірчого інтервалу вибрати інтервал, що відповідає середній похибці, тобто D a =áD аñ, то при досить великій кількості вимірювань він відповідає довірчій ймовірності w 60%. При зменшенні кількості вимірювань довірча ймовірність, що відповідає такому довірчому інтервалу (á аñ ± áD аñ), зменшується.
Таким чином, для оцінки довірчого інтервалу випадкової величини можна користуватися величиною середньої похибки. аñ .
Для характеристики величини випадкової похибки необхідно задати два числа, а саме величину довірчого інтервалу та величину довірчої ймовірності . Вказівка однієї лише величини похибки без відповідної їй довірчої ймовірності значною мірою позбавлена сенсу.
Якщо відома середня похибка вимірювання ásñ, довірчий інтервал, записаний у вигляді (<x> ± ásñ) w, визначений з довірчою ймовірністю w= 0,57.
Якщо відоме середнє квадратичне відхилення s розподілу результатів вимірювань, зазначений інтервал має вигляд (<x>± t w s) w, де t w- Коефіцієнт, що залежить від величини довірчої ймовірності і що розраховується за розподілом Гауса.
Найбільш часто використовувані величини D xнаведено у таблиці 1.
Вимірювання називаються прямими,якщо значення величин визначаються приладами безпосередньо (наприклад, вимірювання довжини лінійкою, визначення часу секундоміром тощо). Вимірювання називаються непрямимиякщо значення вимірюваної величини визначається за допомогою прямих вимірювань інших величин, які пов'язані з вимірюваною певною залежністю.
Випадкові похибки при прямих вимірах
Абсолютна та відносна похибка.Нехай проведено Nвимірювань однієї і тієї ж величини xбез систематичної похибки. Окремі результати вимірювань мають вигляд: x 1 ,x 2 , …,x N. Як найкраще вибирається середнє значення виміряної величини:
Абсолютною похибкоюодиничного виміру називається різниця виду:
.
Середнє значення абсолютної похибки Nодиничних вимірів:
(2)
називається середньою абсолютною похибкою.
Відносною похибкоюназивається відношення середньої абсолютної похибки до середнього значення вимірюваної величини:
.
(3)
Приладові похибки при прямих вимірах
Якщо немає особливих вказівок, похибка приладу дорівнює половині ціни розподілу (лінійка, мензурка).
Похибка приладів, забезпечених ноніусом, дорівнює ціні поділу ноніуса (мікрометр – 0,01 мм, штангенциркуль – 0,1 мм).
Похибка табличних величин дорівнює половині одиниці останнього розряду (п'ять одиниць наступного порядку за останньою цифрою).
Похибка електровимірювальних приладів визначається відповідно до класу точності. З, вказаному на шкалі приладу:
Наприклад: 
і 
,
де U maxі I max- Межа вимірювання приладу.
Похибка приладів із цифровою індикацією дорівнює одиниці останнього розряду індикації.
Після оцінки випадкової та приладової похибок у розрахунок приймається та, значення якої більше.
Обчислення похибок при непрямих вимірах
Більшість вимірів є непрямими. У цьому випадку потрібна величина Х є функцією декількох змінних а,b, c… , Значення яких можна знайти прямими вимірами: Х = f ( a, b, c…).
Середнє арифметичне результату непрямих вимірів дорівнюватиме:
X = f( a, b, c…).
Одним із способів обчислення похибки є спосіб диференціювання натурального логарифму функції Х = f( a,
b,
c…). Якщо, наприклад, потрібна величина Х визначається співвідношенням Х = 
, то після логарифмування отримуємо: lnX = ln a+ ln b+ ln ( c+
d).
Диференціал цього виразу має вигляд:
.
Щодо обчислення наближених значень його можна записати для відносної похибки у вигляді:
=
.
(4)
Абсолютна похибка при цьому розраховується за такою формулою:
Х = Х(5)
Таким чином, розрахунок похибок та обчислення результату при непрямих вимірах виробляють у наступному порядку:
1) Проводять виміри всіх величин, що входять у вихідну формулу для обчислення кінцевого результату.
2) Обчислюють середні арифметичні значення кожної вимірюваної величини та його абсолютні похибки.
3) Підставляють у вихідну формулу середні значення всіх виміряних величин та обчислюють середнє значення шуканої величини:
X = f( a, b, c…).
4) Логарифмують вихідну формулу Х = f( a, b, c…) і записують вираз відносної похибки як формули (4).
5) Розраховують відносну похибку = 
.
6) Розраховують абсолютну похибку результату за формулою (5).
7) Остаточний результат записують у вигляді:
|
Х = Х ср Х |
Абсолютні та відносні похибки найпростіших функцій наведені в таблиці:
|
Абсолютна похибка |
Відносна похибка |
|
|
a+ b |
a+ b |
|
|
a+ b |
|
|
|
Внаслідок похибок, властивих засобу вимірювань, обраного методу та методики вимірювань, відхилення зовнішніх умов, у яких виконується вимір, від встановлених та інших причин результат практично кожного вимірювання обтяжений похибкою. Ця похибка обчислюється або оцінюється та приписується отриманому результату. Похибка результату вимірів(коротко - похибка вимірів) - відхилення результату виміру від справжнього значення вимірюваної величини. Справжнє значення величини через наявність похибок залишається невідомим. Його застосовують при вирішенні теоретичних завданьметрології. Насправді користуються дійсним значенням величини, яке замінює справжнє значення. Похибка вимірювання (Δх) знаходять за формулою: x = x змін. - x дійств. (1.3) де х змін. - Значення величини, отримане на підставі вимірювань; х дійств. - Значення величини, прийняте за дійсне. За дійсне значення при одноразових вимірах нерідко приймають значення, отримане за допомогою зразкового засобу вимірів, при багаторазових вимірах - середнє арифметичне з значень окремих вимірів, що входять до цього ряду. Похибки вимірювання можуть бути класифіковані за такими ознаками: За характером прояву - систематичні та випадкові; За способом висловлювання - абсолютні та відносні; За умовами зміни вимірюваної величини - статичні та динамічні; За способом обробки ряду вимірювань - середні арифметичні та середні квадратичні; За повнотою охоплення вимірювального завдання - приватні та повні; По відношенню до одиниці фізичної величини- Похибки відтворення одиниці, зберігання одиниці та передачі розміру одиниці. Систематична похибка виміру(коротко - систематична похибка) - складова похибки результату вимірювання, що залишається постійною для даного ряду вимірювань або закономірно змінюється при повторних вимірюваннях однієї і тієї ж фізичної величини. За характером прояву систематичні похибки поділяються на постійні, прогресивні та періодичні. Постійні систематичні похибки(коротко - постійні похибки) - похибки, тривалий часщо зберігають своє значення (наприклад, протягом усієї серії вимірювань). Це найпоширеніший вид похибки. Прогресивні систематичні похибки(коротко - прогресивні похибки) - безперервно зростаючі або спадні похибки (наприклад, похибки від зношування вимірювальних наконечників, що контактують у процесі шліфування з деталлю при контролі її приладом активного контролю). Періодична систематична похибка(коротко - періодична похибка) - похибка, значення якої є функцією часу або функцією переміщення покажчика вимірювального приладу(Наприклад, наявність ексцентриситету в кутомірних приладах з круговою шкалою викликає систематичну похибку, що змінюється за періодичним законом). Виходячи з причин появи систематичних похибок, розрізняють інструментальні похибки, похибки методу, суб'єктивні похибки та похибки внаслідок відхилення зовнішніх умов виміру від встановлених методиками. Інструментальна похибка виміру(коротко - інструментальна похибка) є наслідком низки причин: зношування деталей приладу, зайве тертя в механізмі приладу, неточне нанесення штрихів на шкалу, невідповідність дійсного і номінального значеньзаходи та ін. Похибка методу вимірів(коротко - похибка методу) може виникнути через недосконалість методу вимірювань або допущених спрощень, встановлених методикою вимірювань. Наприклад, така похибка може бути обумовлена недостатньою швидкодією застосовуваних засобів вимірювань при вимірюванні параметрів швидкоплинних процесів або неврахованими домішками щодо щільності речовини за результатами вимірювання його маси і обсягу. Суб'єктивна похибка виміру(коротко - суб'єктивна похибка) обумовлена індивідуальними похибками оператора. Іноді цю похибку називають особистою різницею. Вона викликається, наприклад, запізненням або випередженням прийняття оператором сигналу. Похибка внаслідок відхилення(в один бік) зовнішніх умов виміру від встановлених методикою виміру призводить до виникнення систематичної складової похибки виміру. Систематичні похибки спотворюють результат вимірювання, тому вони підлягають виключенню наскільки це можливо шляхом введення поправок або юстировкою приладу з доведенням систематичних похибок до допустимого мінімуму. Невиключена систематична похибка(коротко - невиключена похибка) - це похибка результату вимірювань, обумовлена похибкою обчислення та введення поправки на дію систематичної похибки, або невеликою систематичною похибкою, поправка на дію якої не введена внаслідок дрібниці. Іноді цей вид похибки називають невиключеними залишками систематичної похибки(коротко - невиключені залишки). Наприклад, при вимірі довжини штрихового метра в довжинах хвиль еталонного випромінювання виявлено кілька невиключених систематичних похибок (i): через неточний вимір температури - 1; через неточне визначення показника заломлення повітря - 2, через неточне значення довжини хвилі - 3 . Зазвичай враховують суму невиключених систематичних похибок (встановлюють їх межі). При числі доданків N ≤ 3 межі невиключених систематичних похибок обчислюють за формулою При числі доданків N ≥ 4 для обчислень використовують формулу
де k — коефіцієнт залежності невиключених систематичних похибок від обраної довірчої ймовірності Р за її рівномірному розподілі. За Р = 0,99, k = 1,4, за Р = 0,95, k = 1,1. Випадкова похибка виміру(коротко - випадкова похибка) - складова похибки результату вимірювання, що змінюється випадковим чином (за знаком і значенням) у серії вимірювань одного й того самого розміру фізичної величини. Причини випадкових похибок: похибки округлення при відліку показань, варіація показань, зміна умов вимірів випадкового характеру та інших. Випадкові похибки викликають розсіювання результатів вимірів у серії. В основі теорії похибок лежать два положення, що підтверджуються практикою: 1. При велику кількість вимірів випадкові похибки однакового числового значення, але різного знака, зустрічаються однаково часто; 2. Великі (за абсолютним значенням) похибки зустрічаються рідше, ніж малі. З першого положення випливає важливий для практики висновок: зі збільшенням числа вимірювань випадкова похибка результату, отриманого із серії вимірювань, зменшується, оскільки сума похибок окремих вимірювань цієї серії прагне нулю, тобто.
Наприклад, в результаті вимірювань отримано ряд значень електричного опору(в які введені поправки на дії систематичних похибок): R 1 = 15,5 Ом, R 2 = 15,6 Ом, R 3 = 15,4 Ом, R 4 = 15,6 Ом та R 5 = 15,4 Ом . Звідси R = 15,5 Ом. Відхилення від R (R 1 = 0,0; R 2 = +0,1 Ом, R 3 = -0,1 Ом, R 4 = +0,1 Ом і R 5 = -0,1 Ом) є випадковими похибки окремих вимірів у цій серії. Неважко переконатися, що сума R i = 0,0. Це свідчить про те, що похибки окремих вимірів цього ряду обчислені правильно. Незважаючи на те, що зі збільшенням числа вимірів сума випадкових похибок прагне нуля (у даному прикладівона випадково вийшла рівною нулю), обов'язково проводиться оцінка випадкової похибки результату вимірів. Теоретично випадкових величин характеристикою розсіювання значень випадкової величини служить дисперсія о2. "|/о2 = а називають середнім квадратичним відхиленням генеральної сукупності або стандартним відхиленням. Воно зручніше, ніж дисперсія, оскільки його розмірність збігається з розмірністю вимірюваної величини (наприклад, значення величини отримано у вольтах, середнє відхилення теж буде у вольтах). Оскільки у практиці вимірів мають справу з терміном «похибка», для характеристики низки вимірів слід застосовувати похідний від цього термін «середня квадратична похибка». Характеристикою низки вимірів може бути середня арифметична похибка чи розмах результатів вимірів. Розмах результатів вимірювань (коротко - розмах) - алгебраїчна різниця найбільшого та найменшого результатів окремих вимірювань, що утворюють ряд (або вибірку) з n вимірювань: R n = X max – Х min (1.7) де R n - Розмах; X max і Х min - найбільше та найменше значеннявеличини у цьому ряду вимірів. Наприклад, з п'яти вимірювань діаметра d отвори значення R 5 = 25,56 мм і R 1 = 25,51 мм виявилися максимальним та мінімальним його значенням. У цьому випадку R n = d 5 – d 1 = 25,56 мм – 25,51 мм = 0,05 мм. Це означає, що решта похибок даного ряду менше 0,05 мм. Середня арифметична похибка окремого виміру в серії(коротко - середня арифметична похибка) - узагальнена характеристика розсіювання (внаслідок випадкових причин) окремих результатів вимірювань (однієї і тієї ж величини), що входять до серії з n рівноточних незалежних вимірювань, обчислюється за формулою
де Х і - результат і-го виміру, що входить до серії; х - середнє арифметичне з n значень величини: | Х і - X | - Абсолютне значення похибки i-го виміру; r – середня арифметична похибка. Справжнє значення середньої арифметичної похибки р визначається із співвідношення р = lim r, (1.9) При числі вимірювань n > 30 між середньою арифметичною (r) та середньою квадратичною (s)похибками існують співвідношення s = 1,25 r; r = 0,80 s. (1.10) Перевага середньої арифметичної похибки – простота її обчислення. Але все ж таки частіше визначають середню квадратичну похибку. Середня квадратична похибкаокремого виміру в серії (коротко - середня квадратична похибка) - узагальнена характеристика розсіювання (внаслідок випадкових причин) окремих результатів вимірів (одної й тієї ж величини), що входять до серії прівноточних незалежних вимірів, що обчислюється за формулою
Середня квадратична похибка для генеральної вибірки, що є статистичною межею S, може бути обчислена при /і-мх > за формулою: Σ = lim S (1.12) Насправді число вимірювань завжди обмежене, тому обчислюється не σ , а її наближене значення (або оцінка), якою є s. Чим більше п,тим ближче до своєї межі σ . За нормального закону розподілу ймовірність того, що похибка окремого виміру в серії не перевершить обчислену середню квадратичну похибку, невелика: 0,68. Отже, у 32 випадках зі 100 або 3 випадках з 10 дійсна похибка може бути більшою за обчислену.
Рисунок 1.2 Зменшення значення випадкової похибки результату багаторазового виміру зі збільшенням кількості вимірів у серії У серії вимірювань існує залежність між середньою квадратичною похибкою окремого виміру s та середньою квадратичною похибкою арифметичного середнього S x: яку часто називають «правилом У n». З цього правила випливає, що похибка вимірювань внаслідок дії випадкових причин може бути зменшена в n разів, якщо виконувати n вимірювань одного розміру будь-якої величини, а за остаточний результат набувати середнього арифметичного значення (рис. 1.2). Виконання не менше 5 вимірів у серії дає змогу зменшити вплив випадкових похибок більш ніж у 2 рази. При 10 вимірах вплив випадкової похибки зменшується втричі. Подальше збільшення кількості вимірювань який завжди економічно доцільно і, зазвичай, здійснюється лише за відповідальних вимірах, потребують високої точності. Середня квадратична похибка окремого виміру з однорідних подвійних вимірів S α обчислюється за формулою
де x "i і х"" i - і-і результати вимірювань одного розміру величини при прямому та зворотному напрямках одним засобом вимірювань. При нерівноточних вимірах середню квадратичну похибку арифметичного середнього в серії визначають за формулою
де p i - Вага і-го вимірювання в серії нерівноточних вимірювань. Середню квадратичну похибку результату непрямих вимірювань величини Y, що є функцією Y = F (X 1 , X 2 , X n), обчислюють за формулою
де S 1 , S 2 , S n - Середні квадратичні похибки результатів вимірювань величин X 1 , X 2 , X n . Якщо для більшої надійності отримання задовільного результату проводять кілька серій вимірів, середню квадратичну похибку окремого виміру з m серій (S m) знаходять за формулою
Де n – число вимірів у серії; N - загальна кількість вимірювань у всіх серіях; m – число серій. При обмеженій кількості вимірювань часто необхідно знати похибку середньої квадратичної похибки. Для визначення похибки S, що обчислюється за формулою (2.7), і похибки S m , що обчислюється за формулою (2.12), можна скористатися такими виразами
де S і S m - Середні квадратичні похибки відповідно S і S m . Наприклад, при обробці результатів низки вимірювань довжини х отримані
Значення S = ±0,7 мм означає, що через похибку обчислення s знаходиться в межах від 2,4 до 3,8 мм, отже, десяті частки міліметра тут ненадійні. У розглянутому випадку слід записати: S = ±3 мм. Щоб мати велику впевненість у оцінці похибки результату вимірювань, обчислюють довірчу похибку чи довірчі межі похибки. При нормальному законі розподілу довірчі межі похибки обчислюють як ±t-s або ±t-s x , де s і s x — середні квадратичні похибки відповідно до окремого виміру в серії та середнього арифметичного; t - число, що залежить від довірчої ймовірності Р та числа вимірювань n. Важливим поняттям є надійність результатів вимірів (α), тобто. ймовірність того, що значення вимірюваної величини потрапить в даний довірчий інтервал. Наприклад, під час обробки деталей на верстатах у стійкому технологічному режимі розподіл похибок підпорядковується нормальному закону. Припустимо, що встановлено допуск на довжину деталі, що дорівнює 2а. У цьому випадку довірчим інтервалом, в якому знаходиться значення довжини деталі а, буде (а - а, а + а). Якщо 2a = ±3s, то надійність результату a = 0,68, тобто у 32 випадках зі 100 слід очікувати на вихід розміру деталі за допуск 2а. При оцінюванні якості деталі за допуском 2a = ±3s надійність результату становитиме 0,997. У цьому випадку очікується виходу за встановлений допуск лише трьох деталей з 1000. Однак збільшення надійності можливе лише при зменшенні похибки довжини деталі. Так, підвищення надійності з a = 0,68 до a = 0,997 похибка довжини деталі необхідно зменшити втричі. Останнім часом отримав широке розповсюдженнятермін «достовірність вимірів». У деяких випадках він необґрунтовано застосовується замість терміна «точність вимірів». Наприклад, у деяких джерелах можна зустріти вираз «встановлення єдності та достовірності вимірів у країні». Тоді як правильніше сказати «встановлення єдності та необхідної точності вимірів». Достовірність нами сприймається як якісна характеристика, що відбиває близькість до нуля випадкових похибок. Кількісно вона може бути визначена через недостовірність вимірів. Недостовірність вимірів(коротко - недостовірність) - оцінка розбіжності результатів у серії вимірювань внаслідок впливу сумарного впливу випадкових похибок (визначуваних статистичними та нестатистичними методами), що характеризується областю значень, в якій знаходиться справжнє значення вимірюваної величини. Відповідно до рекомендацій Міжнародного бюро заходів та терезів недостовірність виражається у вигляді сумарної середньої квадратичної похибки вимірювань - Su, що включає середню квадратичну похибку S (визначається статистичними методами) і середню квадратичну похибку u (визначувану нестатистичними методами), тобто.
Гранична похибка виміру(коротко – гранична похибка) – максимальна похибка виміру (плюс, мінус), ймовірність якої не перевищує значення Р, при цьому різниця 1 – Р незначна. Наприклад, за нормального закону розподілу ймовірність появи випадкової похибки, що дорівнює ±3s, становить 0,997, а різниця 1-Р = 0,003 незначна. Тож у багатьох випадках довірчу похибку ±3s, беруть за граничну, тобто. пр = ±3s. У разі необхідності пр може мати й інші співвідношення з s за досить великого Р (2s, 2,5s, 4s і т.д.). У зв'язку з тим, у стандартах ДСІ замість терміна «середня квадратична похибка» застосовано термін «середнє квадратичне відхилення», у подальших міркуваннях ми будемо дотримуватися саме цього терміна. Абсолютна похибка виміру(коротко - абсолютна похибка) - похибка виміру, виражена в одиницях вимірюваної величини. Так, похибка Х виміру довжини деталі Х, виражена в мікрометрах, є абсолютною похибкою. Не слід плутати терміни «абсолютна похибка» та «абсолютне значення похибки», під яким розуміють значення похибки без урахування знаку. Тож якщо абсолютна похибка вимірювання дорівнює ±2мкВ, то абсолютне значення похибки буде 0,2 мкВ. Відносна похибка виміру(коротко - відносна похибка) - похибка виміру, виражена у частках значення вимірюваної величини чи відсотках. Відносну похибку δ знаходять із відносин:
Наприклад, дійсне значення довжини деталі х = 10,00 мм і абсолютне значення похибки х = 0,01мм. Відносна похибка становитиме Статична похибка- Похибка результату вимірювання, обумовлена умовами статичного вимірювання. Динамічна похибка- Похибка результату вимірювання, обумовлена умовами динамічного вимірювання. Похибка відтворення одиниці- Похибка результату вимірювань, що виконуються при відтворенні одиниці фізичної величини. Так, похибка відтворення одиниці з допомогою національного зразка вказують як її складових: невиключеної систематичної похибки, характеризується її кордоном; випадковою похибкою, що характеризується середнім квадратичним відхиленням s та нестабільністю за рік ν. Похибка передачі розміру одиниці- Похибка результату вимірювань, що виконуються при передачі розміру одиниці. У похибку передачі розміру одиниці входять невиключені систематичні похибки та випадкові похибки методу та засобів передачі розміру одиниці (наприклад, компаратора). Реферат Абсолютна та відносна похибка Вступ Абсолютна похибка - є оцінкою абсолютної помилки виміру. Обчислюється різними способами. Спосіб обчислення визначається розподілом випадкової величини. Відповідно, величина абсолютної похибки в залежності від розподілу випадкової величини може бути різною. Якщо - Виміряне значення, а - справжнє значення, та нерівність повинно виконуватися з певною ймовірністю, близькою до 1. Якщо випадкова величина розподілена за нормальним законом, то зазвичай за абсолютну похибку приймають її середньоквадратичне відхилення. Абсолютна похибка вимірюється у тих самих одиницях виміру, як і сама величина. Існує кілька способів запису величини разом із її абсолютною похибкою. · Зазвичай використовується запис зі знаком ± . Наприклад, рекорд у бігу на 100 метрів, встановлений у 1983 році, дорівнює 9,930±0,005 с. · Для запису величин, виміряних дуже високою точністю, використовується інший запис: цифри, відповідні похибки останніх цифр мантиси, дописуються в дужках. Наприклад, виміряне значення постійної Больцмана одно 1,380 6488 (13)×10?23 Дж/К, що також можна записати значно довше як 1,380 6488×10?23 ± 0,000 0013×10?23 Дж/К. Відносна похибка- похибка виміру, виражена відношенням абсолютної похибки виміру до дійсного або середнього значення вимірюваної величини (РМГ 29-99):. Відносна похибка є безрозмірною величиною або вимірюється у відсотках. 1. Що називається наближеним значенням? З надлишковим та недостатнім? У процесі обчислень часто доводиться мати справу з наближеними числами. Нехай А- точне значення деякої величини, зване надалі точним числомА.Під наближеним значенням величини А,або наближеним числам,називається число а, Що замінює точне значення величини А.Якщо а< А,то аназивається наближеним значенням числа А за браком.Якщо а> А,- то з надлишку.Наприклад, 3,14 є наближеним значенням числа ? за нестачею, а 3,15 - за надлишком. Для характеристики ступеня точності цього наближення користуються поняттям похибкиабо помилки. Похибкою ?анаближеного числа аназивається різниця виду ?а = А - а, де А- Відповідне точне число. З малюнка видно, що довжина відрізка АВ укладена між 6 см та 7 см. Значить, 6 – наближене значення довжини відрізка АВ (у сантиметрах) > з нестачею, а 7 – з надлишком. Позначивши довжину відрізка буквою у, отримаємо: 6< у < 1. Если a < х < b, то а называют приближенным значением числа х с недостатком, a b - приближенным значением х с избытком. Длина відрізкаАВ (див. рис. 149) ближче до 6 см, ніж до 7 см. Вона приблизно дорівнює 6 см. Кажуть, що число 6 вийшло при округленні довжини відрізка до цілих. . Що називається похибкою наближення? А) Абсолютною? Б) Відносною? А) Абсолютною похибкою наближення називається модуль різниці між істинним значенням величини та її наближеним значенням. | x - x_n |, де x - дійсне значення, x_n - наближене. Наприклад: Довжина аркуша паперу формату А4 дорівнює (29.7±0.1) див. А відстань від Санкт-Петербурга до Москви дорівнює (650±1) км. Абсолютна похибка в першому випадку не перевищує одного міліметра, а в другому – одного кілометра. Питання, порівняти точність цих вимірів. Якщо ви вважаєте, що довжина листа виміряна точніше тому, що величина абсолютної похибки не перевищує 1 мм. То ви помиляєтесь. Безпосередньо порівняти ці величини не можна. Проведемо деякі міркування. При вимірі довжини листа абсолютна похибка вбирається у 0.1 див на 29.7 див, тобто у відсотковому співвідношенні це становить 0.1/29.7 *100% = 0.33% вимірюваної величини. Коли ми вимірюємо відстань від Санкт-Петербурга до Москви абсолютна похибка вбирається у 1 км на 650 км, що у відсотковому співвідношенні становить 1/650 *100% = 0.15% вимірюваної величини. Бачимо, що відстань між містами виміряна точніше, ніж довжина аркуша формату А4. Б) Відносною похибкою наближення називається відношення абсолютної похибки до модуля наближеного значення величини. математичний похибка дріб де x – справжнє значення, x_n – наближене. Відносну похибку зазвичай викликають у відсотках. приклад. При округленні числа 243 до одиниць виходить число 24. Відносна похибка дорівнює. Говорять, що відносна похибка в цьому випадку дорівнює 12,5%. ) Яке округлення називається округленням? А) З нестачею? Б) З надлишком? А) Округлення з нестачею При округленні числа, вираженого десятковим дробом, з точністю до 10^(-n) з недоліком зберігають перших n знаків після коми, а наступні відкидаються. Наприклад, округляючи 12,4587 до тисячних із нестачею, отримаємо 12,458. Б) Округлення з надлишком При округленні числа, вираженого десятковим дробом, з точністю до 10^(-n) з надлишком зберігають перших n знаків після коми, а наступні відкидаються. Наприклад, округляючи 12,4587 до тисячних із нестачею, отримаємо 12,459. ) Правило округлення десяткових дробів. Правило. Щоб округлити десятковий дріб до певного розряду цілої або дробової частини, всі менші розряди замінюються нулями або відкидаються, а попередній цифрі, що відкидається при округленні, розряд не змінює своєї величини, якщо за ним йдуть цифри 0, 1, 2, 3, 4, і збільшується на 1 (одиницю), якщо йдуть цифри 5, 6, 7, 8, 9. приклад. Округлити дріб 93,70584 до: десятитисячних: 93,7058 тисячних: 93,706 сотих: 93,71 десятих: 93,7 цілого числа: 94 десятків: 90 Попри рівність абсолютних похибок, т.к. різні вимірювані величини. Чим більший розмір, тим менше відносна похибка при сталості абсолютної. РепетиторствоПотрібна допомога з вивчення якоїсь теми?
Наші фахівці проконсультують або нададуть репетиторські послуги з цікавої для вас тематики.  Loading... |
(1.5)
(1.6)
(1.8)
(1.11)
(1.14)
(1.15)
(1.16)
(1.17)
(1.18)
(1.19)
= 86 мм 2 при n = 10
= 3,1 мм
= 0,7 мм або S = ±0,7 мм
(1.20)
(1.21)
