Дисперсія випадкової величини. Як скласти закон розподілу випадкової величини приклади Знайти дисперсію за законом розподілу

Як відомо, випадковою величиною називається змінна величина, яка може набувати тих чи інших значень залежно від випадку. Випадкові величини позначають великими літерами латинського алфавіту (X, Y, Z), які значення – відповідними малими літерами (x, y, z). Випадкові величини поділяються на перервні (дискретні) та безперервні.

Дискретною випадковою величиною називається випадкова величина, що приймає лише кінцеву або нескінченну (лічильна) безліч значень з певними ненульовими ймовірностями.

Законом розподілу дискретної випадкової величини називається функція, що зв'язує значення випадкової величини з відповідними їм ймовірностями. Закон розподілу може бути заданий одним із таких способів.

1 . Закон розподілу може бути заданий таблицею:

де λ>0, k = 0, 1, 2, ….

в)за допомогою функції розподілу F(x) , що визначає для кожного значення x ймовірність того, що випадкова величина X набуде значення, менше x, тобто. F(x) = P(X< x).

Властивості функції F(x)

3 . Закон розподілу може бути заданий графічно – багатокутником (полігоном) розподілу (дивись задачу 3).

Зазначимо, що для вирішення деяких завдань не обов'язково знати закон розподілу. У деяких випадках достатньо знати одне або кілька чисел, що відображають найважливіші особливості закону розподілу. Це може бути число, що має сенс «середнього значення» випадкової величини, або число, що показує середній розмір відхилення випадкової величини від свого середнього значення. Числа такого роду називають числовими характеристиками випадкової величини.

Основні числові характеристики дискретної випадкової величини :

• Математичне очікування (Середнє значення) дискретної випадкової величини M(X)=Σ x i p i.
  Для біномного розподілу M(X)=np, для розподілу Пуассона M(X)=λ
• Дисперсія дискретної випадкової величини D(X)= M 2або D(X) = M(X 2)− 2. Різниця X-M(X) називають відхиленням випадкової величини від її математичного очікування.
  Для біномного розподілу D(X)=npq, для розподілу Пуассона D(X)=λ
• Середнє квадратичне відхилення (стандартне відхилення) σ(X)=√D(X).

Приклади розв'язання задач на тему «Закон розподілу дискретної випадкової величини»

Завдання 1.

Випущено 1000 лотерейних квитків: на 5 з них випадає виграш у сумі 500 рублів, на 10 – виграш у 100 рублів, на 20 – виграш у 50 рублів, на 50 – виграш у 10 рублів. Визначити закон розподілу ймовірностей випадкової величини X – виграшу однією квиток.

Рішення. За умовою завдання можливі наступні значення випадкової величини X: 0, 10, 50, 100 та 500.

Кількість квитків без виграшу одно 1000 – (5+10+20+50) = 915, тоді P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Аналогічно знаходимо решту ймовірностей: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X=500) = 5/1000=0,005. Отриманий закон подаємо у вигляді таблиці:

Знайдемо математичне очікування величини Х: М(Х) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Завдання 3.

Пристрій складається із трьох незалежно працюючих елементів. Імовірність відмови кожного елемента одному досвіді дорівнює 0,1. Скласти закон розподілу числа елементів, що відмовили в одному досвіді, побудувати багатокутник розподілу. Знайти функцію розподілу F(x) та побудувати її графік. Знайти математичне очікування, дисперсію та середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини.

Рішення. 1. Дискретна випадкова величина X=(число елементів, що відмовили в одному досвіді) має наступні можливі значення: х 1 =0 (жоден з елементів пристрою не відмовив), х 2 =1 (відмовив один елемент), х 3 =2 (відмовило два елементи ) і х 4 = 3 (відмовили три елементи).

Відмовлення елементів незалежні один від одного, ймовірність відмови кожного елемента рівні між собою, тому застосовна формула Бернуллі . Враховуючи, що, за умовою, n=3, р=0,1, q=1-р=0,9, визначимо ймовірність значень:
P 3 (0) = З 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = З 3 1 p 1 q 3-1 = 3 * 0,1 * 0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = З 3 2 p 2 q 3-2 = 3 * 0,1 2 * 0,9 = 0,027;
P 3 (3) = З 3 3 p 3 q 3-3 = р 3 = 0,1 3 = 0,001;
Перевірка: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Таким чином, шуканий біноміальний закон розподілу Х має вигляд:

По осі абсцис відкладаємо можливі значення х i , а по осі ординат - відповідні ймовірності р i . Побудуємо точки М1 (0; 0,729), М2 (1; 0,243), М3 (2; 0,027), М4 (3; 0,001). З'єднавши ці точки відрізками прямих, отримуємо багатокутник розподілу, що шукається.

3. Знайдемо функцію розподілу F(x) = Р(Х

Для x ≤ 0 маємо F(x) = Р(Х<0) = 0;
для 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
для 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
для 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
для x > 3 буде F(x) = 1, т.к. подія достовірна.

Графік функції F(x)

4. Для біномного розподілу Х:
- Математичне очікування М(X) = np = 3 * 0,1 = 0,3;
- дисперсія D(X) = npq = 3 * 0,1 * 0,9 = 0,27;
- Середнє квадратичне відхилення σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

Приклади розв'язання задач на тему «Випадкові величини».

Завдання 1 . У лотереї випущено 100 квитків. Розігрувався один виграш у 50 у.о. та десять виграшів по 10 у.о. Визначити закон розподілу величини X – вартості можливого виграшу.

Рішення. Можливі значення величини X: x 1 = 0; x 2 = 10 та x 3 = 50. Оскільки «порожніх» квитків – 89, то p 1 = 0,89, ймовірність виграшу 10 у. (10 квитків) – p 2 = 0,10 та для виграшу 50 у.о. - p 3 = 0,01. Таким чином:

	0,89	0,10	0,01

Легко проконтролювати: .

Завдання 2. Імовірність те, що покупець ознайомився заздалегідь з рекламою товару дорівнює 0,6 (р=0,6 ). Здійснюється вибірковий контроль якості реклами шляхом опитування покупців до першого, який вивчив рекламу заздалегідь. Скласти низку розподілу кількості опитаних покупців.

Рішення. Відповідно до умови задачі р = 0,6. Звідки: q=1 -p = 0,4. Підставивши дані значення, отримаємо:та побудуємо ряд розподілу:

p i		0,24

Завдання 3. Комп'ютер складається із трьох незалежно працюючих елементів: системного блоку, монітора та клавіатури. При одноразовому різкому підвищенні напруги можливість відмови кожного елемента дорівнює 0,1. Виходячи з розподілу Бернуллі скласти закон розподілу числа елементів, що відмовили при стрибку напруги в мережі.

Рішення. Розглянемо розподіл Бернуллі(або біномне): ймовірність того, що в n випробуваннях подія А з'явиться рівно k раз: , або:

	q n					p n

В ернемося до завдання.

Можливі значення величини X (кількість відмов):

x 0 =0 – жоден із елементів не відмовив;

x 1 = 1 - Відмова одного елемента;

x 2 =2 - відмова двох елементів;

x 3 =3 - відмова всіх елементів.

Оскільки, за умовою, p = 0,1, то q = 1 – p = 0,9. Використовуючи формулу Бернуллі, отримаємо

, ,

, .

Контроль: .

Отже, шуканий закон розподілу:

	0,729	0,243	0,027	0,001

Завдання 4. Виготовлено 5000 набоїв. Імовірність того, що один бракований патрон . Яка ймовірність того, що у всій партії буде рівно 3 браковані патрони?

Рішення. Застосуємо розподіл Пуассона: цей розподіл використовується для визначення ймовірності того, що при дуже великому

кількості випробувань (масові випробування), у кожному з яких ймовірність події A дуже мала, подія A настане раз: де .

Тут n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Знаходимо, тоді шукана ймовірність: .

Завдання 5. При стрільбі до першого влучення з ймовірністю влучення p = 0,6 під час пострілу треба знайти ймовірність того, що попадання відбудеться при третьому пострілі.

Рішення. Застосуємо геометричний розподіл: нехай виробляються незалежні випробування, у кожному з яких подія A має можливість появи p (і непояви q = 1 – p). Випробування закінчуються, щойно станеться подія A.

За таких умов ймовірність того, що подія A відбудеться на k-му випробуванні, визначається за формулою: . Тут p = 0,6; q = 1 - 0,6 = 0,4; k = 3. Отже, .

Завдання 6. Нехай заданий закон розподілу випадкової величини X:

Знайти математичне очікування.

Рішення. .

Зауважимо, що ймовірнісний сенс математичного очікування – це середнє значення випадкової величини.

Завдання 7. Знайти дисперсію випадкової величини X з наступним законом розподілу:

Рішення. Тут .

Закон розподілу квадрата величини X 2 :

X 2

Шукана дисперсія: .

Дисперсія характеризує міру відхилення (розсіювання) випадкової величини від її математичного очікування.

Завдання 8. Нехай випадкова величина задається розподілом:

			10м

Знайти її числові показники.

Рішення: м, м 2 ,

М 2 , М-код.

Про випадкову величину X можна сказати або її математичне очікування 6,4 м з дисперсією 13,04 м 2 , або – її математичне очікування 6,4 м з відхиленням м. Друге формулювання, зрозуміло, наочніше.

Завдання 9. Випадкова величина X задана функцією розподілу:
.

Знайти ймовірність того, що в результаті випробування величина X набуде значення, укладеного в інтервалі .

Рішення. Ймовірність те, що X прийме значення із заданого інтервалу, дорівнює приросту інтегральної функції цьому інтервалі, тобто. . У нашому випадку і тому

.

Завдання 10. Дискретна випадкова величина X задана законом розподілу:

Знайти функцію розподілу F (x ) та побудувати її графік.

Рішення. Оскільки функція розподілу,

для , то

при;

при;

при;

при;

Відповідний графік:

Завдання 11.Безперервна випадкова величина X задана диференціальною функцією розподілу: .

Знайти ймовірність влучення X в інтервал

Рішення. Зауважимо, що це окремий випадок показового закону розподілу.

Скористаємося формулою: .

Завдання 12. Знайти числові характеристики дискретної випадкової величини X, заданої законом розподілу:

	–5
	X 2 : X 2 . , де - Функція Лапласа. Значення цієї функції перебувають за допомогою таблиці. У нашому випадку: . По таблиці знаходимо: , отже:

Призначення сервісу. Онлайн-калькулятор використовується для побудови таблиці розподілу випадкової величини X – числа вироблених дослідів та обчислення всіх характеристик ряду: математичного очікування, дисперсії та середньоквадратичного відхилення. Звіт з рішенням оформляється у форматі Word. Приклад №1. Впадають три монети. Імовірність випадання герба за одного кидання дорівнює 0.5. Складіть закон розподілу випадкової величини X - числа гербів, що випали.
Рішення.
Імовірність того, що не випало жодного герба: P(0) = 0,5*0,5*0,5= 0,125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
Імовірність того, що випало три герби: P(3) = 0,5*0,5*0,5 = 0,125

Закон розподілу випадкової величини X:

X	0	1	2	3
P	0,125	0,375	0,375	0,125

Перевірка: P = P (0) + P (1) + P (2) + P (3) = 0,125 + 0,375 + 0,375 + 0,125 = 1

Приклад №2. Ймовірність влучення в мету одного стрільця за одного пострілу першого стрілка дорівнює 0.8, другого стрілка – 0.85. Стрілки зробили по одному пострілу в ціль. Вважаючи попадання в ціль для окремих стрільців подіями незалежними, знайти ймовірність події А – одно попадання в ціль.
Рішення.
Розглянемо подію A – одне влучення в ціль. Можливі варіанти наступу цієї події:

1. Потрапив перший стрілець, другий стрілок промахнувся: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0.8*(1-0.85)=0.12
2. Перший стрілець промахнувся, другий стрілок влучив у ціль: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0.8)*0.85=0.17
3. Перший і другий стрілки незалежно друг від друга потрапили у мета: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0.8*0.85=0.68

Тоді ймовірність події А – рівно одне влучення в ціль, дорівнюватиме: P(A) = 0.12+0.17+0.68 = 0.97

Визначення.Дисперсією (розсіюванням)дискретної випадкової величини називається математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини від її математичного очікування:

Приклад. Для розглянутого вище прикладу знаходимо.

Математичне очікування випадкової величини дорівнює:

Можливі значення квадрата відхилення:

; ;

Дисперсія дорівнює:

Проте, практично такий спосіб обчислення дисперсії незручний, т.к. наводить при великій кількості значень випадкової величини до громіздких обчислень. Тому застосовується інший спосіб.

Обчислення дисперсії

Теорема. Дисперсія дорівнює різниці між математичним очікуванням квадрата випадкової величини Х та квадратом її математичного очікування:

Доказ.З огляду на те, що математичне очікування і квадрат математичного очікування – величини постійні, можна записати:

Застосуємо цю формулу для розглянутого вище прикладу:

X
X 2
p	0,0778	0,2592	0,3456	0,2304	0,0768	0,0102

Властивості дисперсії

1) Дисперсія постійної величини дорівнює нулю:

2) Постійний множник можна виносити за знак дисперсії, зводячи його в квадрат:

.

3) Дисперсія суми двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин:

4) Дисперсія різниці двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин:

Справедливість цієї рівності випливає із якості 2.

Теорема. Дисперсія числа появи події А в п незалежних випробувань, у кожному з яких ймовірність появи події постійна, дорівнює добутку числа випробувань на ймовірності появи та ймовірність непояви події у кожному випробуванні:

приклад.Завод випускає 96% виробів першого ґатунку та 4% виробів другого ґатунку. Навмання вибирають 1000 виробів. Нехай Х- Число виробів першого сорту в даній вибірці. Знайти закон розподілу, математичне очікування та дисперсію випадкової величини.

Отже, закон розподілу можна вважати біномінальним.

приклад.Знайти дисперсію дискретної випадкової величини Х– числа появи події Ау двох незалежних випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює і відомо, що

Т.к. випадкова величина Хрозподілена за біномінальним законом, то

приклад.Виробляються незалежні випробування з однаковою ймовірністю появи події Ау кожному випробуванні. Знайти ймовірність появи події А, якщо дисперсія числа появи події у трьох незалежних випробуваннях дорівнює 0,63.

За формулою дисперсії біномінального закону отримуємо:

;

приклад.Випробовується пристрій, що складається з чотирьох приладів, що незалежно працюють. Імовірності відмови кожного з приладів рівні відповідно ; ; . Знайти математичне очікування і дисперсію числа приладів, що відмовили.

Приймаючи за випадкову величину число приладів, що відмовили, бачимо що ця випадкова величина може приймати значення 0, 1, 2, 3 або 4.

Для упорядкування закону розподілу цієї випадкової величини необхідно визначити відповідні ймовірності. Приймемо.

1) Не відмовив жоден прилад:

2) Відмовив один із приладів.