Найменше загальне кратне числа 2. Як знайти найменше загальне кратне число для двох і більше чисел

Як знайти найменше спільне кратне?

Потрібно знайти кожен множник кожного з двох чисел, у яких знаходимо найменше загальне кратне, а потім перемножити один на одного множники, які збіглися у першого та другого числа. Результатом твору буде шукане кратне.

Наприклад, у нас є числа 3 і 5 і нам треба знайти НОК(найменше загальне кратне). Нам треба множитиі трійку та п'ятірку на всі числа починаючи з 1 2 3 ...і т д поки ми не побачимо однакове числоі там і там.

Множимо трійку і отримуємо: 3, 6, 9, 12, 15

Множимо п'ятірку і отримуємо: 5, 10, 15

Метод розкладання на прості множники - найкласичніший для знаходження найменшого загального кратного (НОК) для кількох чисел. Наочно і просто продемонстровано цей метод у наступному відеоролику:

Складати, множити, ділити, приводити до спільного знаменника та інші арифметичні діїдуже цікаве заняття, особливо захоплюють приклади, що займають цілий лист.

Отже знайти загальне кратне для двох чисел, яке буде найменшим числом, на яке діляться два числа. Хочу зауважити, що не обов'язково надалі вдаватися до формул, щоб знайти те, що шукає, якщо можеш вважати в умі (а це можна натренувати), то цифри самі спливають у голові і потім дроби клацаються як горішки.

Для початку зрозуміємо, що можна помножити два числа один на одного, а потім цю цифру зменшувати і ділити по черзі на ці два числа, так ми знайдемо найменше кратне.

Наприклад, два числа 15 та 6. Примножуємо та отримуємо 90. Це явно більше число. Причому 15 ділиться на 3 і 6 ділиться на 3, значить 90 теж ділимо на 3. Отримуємо 30. Пробуємо 30 розділити 15 і 2. І 30 ділимо 6 і 5. Так як 2 це межа, то виходить, що найменше кратне для чисел 15 та 6 буде 30.

З цифрами більше буде трохи важче. але якщо знати, які цифри дають нульовий залишок при розподілі чи множенні, то труднощів, у принципі, більших немає.

• Як знайти НОК

  Ось відео, в якому вам буде запропоновано два способи знаходження найменшого загального кратного (НОК). Попружавшись у використанні першого із запропонованих способів, ви зможете краще зрозуміти, що таке найменше загальне кратне.

Представляю ще один спосіб знаходження найменшого загального кратного. Розглянемо його на наочному прикладі.

Необхідно знайти НОК відразу трьох чисел: 16, 20 і 28.

• Представляємо кожне число як добуток його простих множників:
• Записуємо ступеня всіх простих множників:

16 = 224 = 2^24^1

20 = 225 = 2^25^1

28 = 227 = 2^27^1

• Вибираємо всі прості дільники (множники) з найбільшими ступенями, перемножуємо їх і знаходимо НОК:

НОК = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.

НОК(16, 20, 28) = 560.

Таким чином, в результаті розрахунку вийшло число 560. Воно є найменшим загальним кратним, тобто ділиться на кожне із трьох чисел без залишку.

Найменша загальна кратна кількість - це така цифра, яка розділиться на кілька запропонованих чисел без залишку. Щоб таку цифру розрахувати, треба взяти кожне число і розкласти його на прості множники. Ті цифри, які збігаються, забираємо. Залишає всіх по одній, перемножуємо їх по черзі і отримуємо шукане - найменше загальне кратне.

НОК, або найменше загальне кратне, - це найменше натуральне числодвох і більше чисел, що ділиться на кожне з цих чисел без залишку.

Ось приклад того, як знайти найменше загальне кратне 30 та 42.

• Насамперед потрібно розкласти дані числа на прості множники.

Для 30 – це 2 х 3 х 5.

Для 42 - це 2 х 3 х 7. Так як 2 і 3 є розкладання числа 30, то викреслюємо їх.

• Виписуємо множники, які входять до розкладання числа 30. Це 2 х 3 х 5 .
• Тепер потрібно примножити їх на множник, який має при розкладанні 42,а це 7. Отримуємо 2 х 3 х 5 х 7.
• Знаходимо, що дорівнює 2 х 3 х 5 х 7 і отримуємо 210.

Через війну отримуємо, що НОК чисел 30 і 42 дорівнює 210.

Щоб знайти найменше спільне кратне, потрібно виконати кілька простих дій. Розглянемо це з прикладу двох чисел: 8 і 12

1. Розкладаємо обидва числа на прості множники: 8 = 2 * 2 * 2 і 12 = 3 * 2 * 2
2. Зменшуємо однакові множники в одного з чисел. У нашому випадку збігаються 2*2, скоротимо їх для числа 12, тоді 12 залишиться один множник: 3.
3. Знаходимо твір всіх множників, що залишилися: 2*2*2*3=24

Перевіряючи, переконуємося, що 24 ділиться і 8 і 12, причому це найменше натуральне число, яке ділиться кожне з цих чисел. Ось ми й знайшли найменше загальне кратне.

Спробую пояснити на прикладі цифр 6 і 8. Найменше загальне кратне - це число, яке можна поділити на ці числа (у нашому випадку 6 та 8) і залишку не буде.

Отже, починаємо множити спочатку 6 на 1, 2, 3 і т.д. і 8 на 1, 2, 3 і т.д.

Найбільше натуральне число, яке діляться без залишку числа a і b, називають найбільшим спільним дільникомцих чисел. Позначають НОД(a, b).

Розглянемо знаходження НОД на прикладі двох натуральних чисел 18 та 60:

1 Розкладемо числа на прості множники:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

2 Викреслити з розкладання першого числа всі множники які не входять до розкладання другого числа, отримаємо 2×3×3 .

3 Перемножуємо прості множники, що залишилися після викреслення і отримуємо найбільший загальний дільник чисел: НОД( 18 , 60 )=2 × 3= 6 .

4 Зауважимо, що не важливо з першого або другого числа викреслюємо множники, результат буде однаковий:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

324 , 111 і 432

Розкладемо числа на прості множники:

324 = 2×2×3×3×3×3

111 = 3 × 37

432 = 2×2×2×2×3×3×3

Викреслити з першого числа, множники яких нема у другому та третьому числі, отримаємо:

2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3

В результаті НОД( 324 , 111 , 432 )=3

Знаходження НОД за допомогою алгоритму Евкліда

Другий спосіб знаходження найбільшого загального дільника за допомогою алгоритму Евкліда. Алгоритм Евкліда є найбільш ефективним способомзнаходження НІД, використовуючи його потрібно постійно знаходити залишок від розподілу чисел та застосовувати рекурентну формулу.

Рекурентна формуладля НОД, НОД (a, b) = НОД (b, a mod b), де a mod b - залишок від розподілу a на b.

Алгоритм Евкліда

Приклад Знайти найбільший спільний дільник чисел 7920 і 594

Знайдемо НОД( 7920 , 594 ) за допомогою алгоритму Евкліда, обчислювати залишок від розподілу за допомогою калькулятора.

НОД( 7920 , 594 )

НОД( 594 , 7920 mod 594 ) = НОД( 594 , 198 )

НОД( 198 , 594 mod 198 ) = НОД( 198 , 0 )

НОД( 198 , 0 ) = 198

• 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
• 594 mod 198 = 594 - 3 × 198 = 0

В результаті отримуємо НОД( 7920 , 594 ) = 198

Найменше загальне кратне

Для того, щоб знаходити спільний знаменник при складанні та відніманні дробів з різними знаменникаминеобхідно знати та вміти розраховувати найменше загальне кратне(НОК).

Кратне числу «a» - це число, яке ділиться на число «a» без залишку.

Числа кратні 8 (тобто ці числа поділяться на 8 без залишку): це числа 16, 24, 32 …

Кратні 9: 18, 27, 36, 45 …

Чисел, кратних даному числу a нескінченно багато, на відміну дільників цього числа. Дільників – кінцева кількість.

Загальним кратним двох натуральних чисел називається число, яке ділиться на обидва ці числа націло.

Найменшим загальним кратним(НОК) двох і більше натуральних чисел називається найменше натуральне число, яке ділиться націло на кожне з цих чисел.

Як знайти НОК

НОК можна знайти та записати двома способами.

Перший спосіб знаходження НОК

Цей спосіб зазвичай застосовується для невеликих чисел.

1. Виписуємо в рядок кратні для кожного з чисел, доки не знайдеться кратне, однакове для обох чисел.
2. Кратне числа "a" позначаємо великою літерою "К".

приклад. Знайти НОК 6 та 8 .

Другий спосіб знаходження НОК

Цей спосіб зручно використовувати, щоб знайти НОК для трьох чи більше чисел.

Кількість однакових множників у розкладах чисел може бути різною.

Підкреслити в розкладанні меншого числа (менших чисел) множники, які не увійшли до розкладання великого числа (у нашому прикладі це 2) і додати ці множники до розкладання великого числа.
НОК (24, 60) = 2 · 2 · 3 · 5 · 2

Отриманий твір записати у відповідь.
Відповідь: НОК (24, 60) = 120

Оформити знаходження найменшого загального кратного (НОК) можна також в такий спосіб. Знайдемо НОК (12, 16, 24).

24 = 2 · 2 · 2 · 3

Як бачимо з розкладання чисел, всі множники 12 увійшли до розкладання 24 (найбільшого з чисел), тому в НОК додаємо тільки одну 2 з розкладання числа 16 .

НОК (12, 16, 24) = 2 · 2 · 2 · 3 · 2 = 48

Відповідь: НОК (12, 16, 24) = 48

Особливі випадки знаходження НОК

Якщо одне з чисел ділиться націло на інші, то найменше загальне кратне цих чисел дорівнює цьому числу.

Наприклад, НОК (60, 15) = 60
Оскільки взаємно прості числа немає спільних простих дільників, їх найменше загальне кратне і добутку цих чисел.

На нашому сайті ви також можете за допомогою спеціального калькулятора знайти найменше кратне онлайн, щоб перевірити свої обчислення.

Якщо натуральне число ділиться тільки на 1 і на себе, воно називається простим.

Будь-яке натуральне число завжди ділиться на 1 і на себе.

Число 2 – найменше просте число. Це єдине парне просте число, інші прості числа - непарні.

Простих чисел багато, і перше у тому числі - число 2 . Проте останнього простого числа. У розділі «Для навчання» ви можете завантажити таблицю простих чисел до 997 .

Але багато натуральних чисел діляться націло ще й на інші натуральні числа.

• число 12 ділиться на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;
• число 36 ділиться на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36.

Числа, куди число ділиться націло (для 12 це 1, 2, 3, 4, 6 і 12) називаються дільниками числа.

Дільник натурального числа a - це таке натуральне число, яке поділяє це число "a" без залишку.

Натуральне число, яке має більше двох дільників, називається складовим.

Зверніть увагу, що числа 12 та 36 мають спільні дільники. Це числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Найбільший із дільників цих чисел – 12 .

Загальний дільник двох даних чисел «a» та «b» - це число, на яке діляться без залишку обидва дані числа «a» і «b».

Найбільший спільний дільник(НОД) двох даних чисел «a» та «b» - це найбільша кількість, на яке обидва числа "a" і "b" діляться без залишку.

Коротко найбільший спільний дільник чисел a і b записують так:

Приклад: НОД (12; 36) = 12 .

Дільники чисел у записі рішення позначають великою літерою "Д".

Числа 7 і 9 мають лише один спільний дільник - число 1 . Такі числа називають взаємно простими числами.

Взаємно прості числа- це натуральні числа, які мають лише один спільний дільник – число 1 . Їхній НОД дорівнює 1 .

Як знайти найбільший спільний дільник

Щоб знайти НОД двох або більше натуральних чисел потрібно:

• розкласти дільники чисел на прості множники;

Обчислення зручно записувати за допомогою вертикальної межі. Зліва від межі спочатку записуємо ділене, праворуч - дільник. Далі у лівому стовпці записуємо значення приватних.

Пояснимо одразу на прикладі. Розкладемо на прості множники числа 28 та 64 .

Підкреслюємо однакові прості множники в обох числах.
28 = 2 · 2 · 7

64 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2
Знаходимо добуток однакових простих множників та записати відповідь;
НОД (28; 64) = 2 · 2 = 4

Відповідь: НОД (28; 64) = 4

Оформити перебування НОД можна двома способами: у стовпчик (як робили вище) або «у рядок».

Перший спосіб запису НОД

Знайти НОД 48 і 36 .

НОД (48; 36) = 2 · 2 · 3 = 12

Другий спосіб запису НОД

Тепер запишемо рішення пошуку НОД у рядок. Знайти НОД 10 та 15 .

На нашому інформаційному сайті ви також можете за допомогою програми помічника знайти найбільший спільний дільник онлайн, щоб перевірити свої обчислення.

Знаходження найменшого загального кратного способи, приклади знаходження НОК.

Поданий нижче матеріал є логічним продовженням теорії із статті під заголовком НОК — найменше загальне кратне визначення, приклади, зв'язок між НОК і НОД. Тут ми поговоримо про знаходження найменшого загального кратного (НОК), і особливу увагуприділимо рішенню прикладів. Спочатку покажемо, як обчислюється НОК двох чисел через НОД цих чисел. Далі розглянемо знаходження найменшого загального кратного за допомогою розкладання чисел на найпростіші множники. Після цього зупинимося на знаходженні НОК трьох та більшої кількостічисел, і навіть приділимо увагу обчисленню НОК негативних чисел.

Навігація на сторінці.

Обчислення найменшого загального кратного (НОК) через НОД

Один із способів знаходження найменшого загального кратного заснований на зв'язку між НОК та НОД. Існуючий зв'язок між НОК та НОД дозволяє обчислювати найменше загальне кратне двох цілих позитивних чисел через відомий найбільший спільний дільник. Відповідна формула має вигляд НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b). Розглянемо приклади знаходження НОК за наведеною формулою.

Знайдіть найменше загальне кратне двох чисел 126 та 70 .

У цьому прикладі a = 126, b = 70. Скористаємося зв'язком НОК з НОД, що виражається формулою НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b). Тобто, спочатку ми маємо знайти найбільший загальний дільник чисел 70 і 126 , після чого ми зможемо обчислити НОК цих чисел за записаною формулою.

Знайдемо НОД(126, 70) , використовуючи алгоритм Евкліда: 126 = 70 · 1 +56 , 70 = 56 · 1 +14 , 56 = 14 · 4 , отже, НОД (126, 70) = 14 .

Тепер знаходимо необхідне найменше загальне кратне: НОК (126, 70) = 126 · 70: НОД (126, 70) = 126 · 70: 14 = 630 .

Чому одно НОК (68, 34)?

Оскільки 68 ділиться націло на 34 , то НОД (68, 34) = 34 . Тепер обчислюємо найменше загальне кратне: НОК (68, 34) = 68 · 34: НОД (68, 34) = 68 · 34: 34 = 68 .

Зауважимо, що попередній приклад підходить під наступне правило знаходження НОК для цілих позитивних чисел a і b: якщо число a ділиться на b , то найменше кратне цих чисел дорівнює a .

Знаходження НОК за допомогою розкладання чисел на прості множники

Інший спосіб знаходження найменшого загального кратного базується на розкладанні чисел на прості множники. Якщо скласти твір з усіх простих множників даних чисел, після чого з цього твору виключити всі загальні прості множники, присутні в розкладах даних чисел, то отриманий твір дорівнює найменшому загальному кратному даних чисел .

Озвучене правило знаходження НОК випливає з рівності НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b). Справді, добуток чисел a та b дорівнює добутку всіх множників, що беруть участь у розкладах чисел a та b . У свою чергу НОД(a, b) дорівнює добутку всіх простих множників, що одночасно присутні в розкладаннях чисел a і b (про що написано в розділі знаходження НОД за допомогою розкладання чисел на прості множники).

Наведемо приклад. Нехай ми знаємо, що 75 = 3 · 5 · 5 і 210 = 2 · 3 · 5 · 7 . Складемо твір із усіх множників даних розкладів: 2·3·3·5·5·5·7 . Тепер з цього твору виключимо всі множники, присутні і в розкладанні числа 75 і в розкладанні числа 210 (такими множниками є 3 і 5), тоді добуток набуде вигляду 2·3·5·5·7 . Значення цього твору дорівнює найменшому загальному кратному чисел 75 і 210, тобто НОК (75, 210) = 2 · 3 · 5 · 5 · 7 = 1050 .

Розклавши числа 441 та 700 на прості множники, знайдіть найменше загальне кратне цих чисел.

Розкладемо числа 441 і 700 на прості множники:

Отримуємо 441 = 3 · 3 · 7 · 7 і 700 = 2 · 2 · 5 · 5 · 7 .

Тепер складемо твір з усіх множників, що беруть участь у розкладаннях даних чисел: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 · 7 . Виключимо з цього твору всі множники, одночасно присутні в обох розкладаннях (такий множник тільки один – це число 7): 2·2·3·3·5·5·7·7 . Таким чином, НОК(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100 .

НОК(441, 700) = 44100 .

Правило знаходження НОК з використанням розкладання чисел на прості множники можна сформулювати трохи інакше. Якщо до множників з розкладання числа a додати множники з розкладання числа b , то значення отриманого твору дорівнюватиме найменшому загальному кратному чисел a і b .

Наприклад візьмемо ті самі числа 75 і 210 , їх розкладання на прості множники такі: 75=3·5·5 і 210=2·3·5·7 . До множників 3, 5 і 5 з розкладання числа 75 додаємо відсутні множники 2 і 7 з розкладання числа 210, отримуємо добуток 2·3·5·5·7, значення якого дорівнює НОК(75, 210).

Знайдіть найменше загальне кратне чисел 84 та 648 .

Отримуємо спочатку розкладання чисел 84 та 648 на прості множники. Вони мають вигляд 84 = 2 · 2 · 3 · 7 і 648 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 . До множників 2, 2, 3 і 7 з розкладання числа 84 додаємо відсутні множники 2, 3, 3 і 3 з розкладання числа 648, отримуємо добуток 2·2·2·3·3·3·3·7, яке дорівнює 4 536 . Таким чином, шукане найменше загальне кратне чисел 84 і 648 дорівнює 4536 .

Знаходження НОК трьох та більшої кількості чисел

Найменше загальне кратне трьох і більшої кількості чисел можна знайти через послідовне знаходження НОК двох чисел. Нагадаємо відповідну теорему, що дає спосіб знаходження НОК трьох та більшої кількості чисел.

Нехай дані цілі позитивні числа a 1 , a 2 , …, a k , найменше загальне кратне m k цих чисел знаходиться при послідовному обчисленні m 2 =НОК(a 1 , a 2) , m 3 =НОК(m 2 , a 3) , … m k =НОК(m k−1 , a k) .

Розглянемо застосування цієї теореми з прикладу знаходження найменшого загального кратного чотирьох чисел.

Знайдіть НОК чотирьох чисел 140 , 9 , 54 та 250 .

Спочатку знаходимо m 2 = НОК (a 1, a 2) = НОК (140, 9) . Для цього за алгоритмом Евкліда визначаємо НОД(140, 9) , маємо 140=9·15+5 , 9=5·1+4 , 5=4·1+1 , 4=1·4 , отже, НОД(140, 9) = 1, звідки НОК (140, 9) = 140 · 9: НД (140, 9) = 140 · 9: 1 = 1 260 . Тобто, m 2 = 1260 .

Тепер знаходимо m 3 = НОК (m 2 , a 3) = НОК (1 260, 54) . Обчислимо його через НОД (1260, 54), який також визначимо за алгоритмом Евкліда: 1260 = 54 · 23 +18, 54 = 18 · 3. Тоді НОД (1260, 54) = 18, звідки НОК (1260, 54) = 1260 · 54: НОД (1260, 54) = 1260 · 54:18 = 3780. Тобто, m3 = 3780 .

Залишилося знайти m 4 = НОК (m 3 , a 4) = НОК (3 780, 250) . Для цього знаходимо НОД (3780, 250) за алгоритмом Евкліда: 3780 = 250 · 15 +30, 250 = 30 · 8 +10, 30 = 10 · 3. Отже, НОД (3780, 250) = 10, звідки НОК (3780, 250) = 3780 · 250: НОД (3780, 250) = 3780 · 250: 10 = 94500 . Тобто, m 4 = 94500 .

Таким чином, найменше загальне кратне вихідних чотирьох чисел дорівнює 94500 .

НОК(140, 9, 54, 250) = 94500 .

У багатьох випадках найменше кратне трьох і більшої кількості чисел зручно знаходити з використанням розкладів даних чисел на прості множники. При цьому слід дотримуватись наступного правила. Найменше загальне кратне декількох чисел дорівнює добутку, яке складається так: до всіх множників з розкладання першого числа додаються множники, що відсутні, з розкладання другого числа, до отриманих множників додаються відсутні множники з розкладання третього числа і так далі .

Розглянемо приклад знаходження найменшого загального кратного з використанням розкладання чисел на прості множники.

Знайдіть найменше загальне кратне п'ять чисел 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Спочатку отримуємо розкладання даних чисел на прості множники: 84=2·2·3·7 , 6=2·3 , 48=2·2·2·2·3 , 7 (7 – просте число, воно збігається зі своїм розкладанням на прості множники) і 143 = 11 · 13 .

Для знаходження НОК даних чисел до множників першого числа 84 (ними є 2 , 2 , 3 і 7) потрібно додати множники, що відсутні, з розкладання другого числа 6 . Розкладання числа 6 не містить множників, що відсутні, так як і 2 і 3 вже присутні в розкладанні першого числа 84 . Далі до множників 2 , 2 , 3 і 7 додаємо множники 2 і 2 з розкладання третього числа 48 , отримуємо набір множників 2 , 2 , 2 , 2 , 3 і 7 . До цього набору на наступному кроці не доведеться додавати множників, тому що 7 вже міститься в ньому. Нарешті, до множників 2, 2, 2, 2, 3 і 7 додаємо відсутні множники 11 і 13 з розкладання числа 143. Отримуємо добуток 2·2·2·2·3·7·11·13 , який дорівнює 48 048 .

Отже, НОК(84, 6, 48, 7, 143) = 48048 .

НОК(84, 6, 48, 7, 143) = 48048 .

Знаходження найменшого загального кратного негативних чисел

Іноді зустрічаються завдання, у яких потрібно знайти найменше загальне кратне чисел, серед яких одне, кілька чи всі числа є негативними. У цих випадках всі негативні числа слід замінити протилежними їм числами, після чого знаходити НОК позитивних чисел. У цьому полягає спосіб знаходження НОК негативних чисел. Наприклад, НОК(54, −34)=НОК(54, 34) , а НОК(−622, −46, −54, −888)= НОК(622, 46, 54, 888).

Ми можемо так чинити, тому що безліч кратних числа a збігаються з безліччю кратних числа −a (a та −a – протилежні числа). Справді, нехай b - якесь кратне числа a тоді b ділиться на a і поняття подільності стверджує існування такого цілого числа q, що b = a · q. Але буде справедливим і рівність b=(−a)·(−q) , яке з тієї ж поняття ділимості означає, що b ділиться на −a , тобто, є кратне числа −a . Справедливе і зворотне твердження: якщо b – якесь кратне числа a, то b є кратним і числа a .

Знайдіть найменше загальне кратне від'ємних чисел −145 та −45 .

Замінимо негативні числа −145 та −45 на протилежні їм числа 145 та 45 . Маємо НОК (-145, -45) = НОК (145, 45). Визначивши НОД(145, 45)=5 (наприклад, за алгоритмом Евкліда), обчислюємо НОК(145, 45)=145·45:НОД(145, 45)= 145·45:5=1 305 . Таким чином, найменше загальне кратне негативних цілих чисел -145 і -45 дорівнює 1305 .

www.cleverstudents.ru

Продовжуємо вивчати поділ. У цьому уроці ми розглянемо такі поняття, як НІДі НОК.

НІД– це найбільший спільний дільник.

НОК- це найменша загальна кратність.

Тема досить нудна, але розібратись у ній потрібно обов'язково. Не розуміючи цієї теми, не вдасться ефективно працювати з дробами, які є справжньою перешкодою математики.

Найбільший спільний дільник

Визначення. Найбільшим спільним дільником чисел aі b aі bділяться без залишку.

Щоб добре зрозуміти це визначення, підставимо замість змінних aі bбудь-які два числа, наприклад, замість змінної aпідставимо число 12, а замість змінної bчисло 9. Тепер спробуємо прочитати це визначення:

Найбільшим спільним дільником чисел 12 і 9 називається найбільше число, на яке 12 і 9 діляться без залишку.

З визначення зрозуміло, що йдеться про загальний дільник чисел 12 і 9, причому цей дільник є найбільшим з усіх дільників. Цей найбільший спільний дільник (НДД) потрібно знайти.

Для знаходження найбільшого загального дільника двох чисел використовується три способи. Перший спосіб досить трудомісткий, але дозволяє добре зрозуміти суть теми і відчути весь її сенс.

Другий і третій способи задоволені прості і дають можливість швидко знайти НОД. Ми з вами розглянемо всі три способи. А який застосовувати на практиці – вибирати вам.

Перший спосіб полягає у пошуку всіх можливих дільників двох чисел та у виборі найбільшого з них. Розглянемо цей спосіб на наступному прикладі: знайти найбільший спільний дільник чисел 12 та 9.

Спочатку знайдемо всі можливі дільники числа 12. Для цього розділимо 12 на всі дільники в діапазоні від 1 до 12. Якщо дільник дозволить розділити 12 без залишку, то виділятимемо його синім кольором і в дужках робити відповідне пояснення.

12: 1 = 12
(12 розділилося на 1 без залишку, значить 1 є дільником числа 12)

12: 2 = 6
(12 розділилося на 2 без залишку, отже 2 є дільником числа 12)

12: 3 = 4
(12 розділилося на 3 без залишку, отже 3 є дільником числа 12)

12: 4 = 3
(12 розділилося на 4 без залишку, отже 4 є дільником числа 12)

12: 5 = 2 (2 у залишку)
(12 не поділилося на 5 без залишку, значить 5 не є дільником числа 12)

12: 6 = 2
(12 розділилося на 6 без залишку, отже 6 є дільником числа 12)

12: 7 = 1 (5 у залишку)
(12 не поділилося на 7 без залишку, значить 7 не є дільником числа 12)

12: 8 = 1 (4 у залишку)
(12 не поділилося на 8 без залишку, значить 8 не є дільником числа 12)

12: 9 = 1 (3 у залишку)
(12 не поділилося на 9 без залишку, значить 9 не є дільником числа 12)

12: 10 = 1 (2 у залишку)
(12 не поділилося на 10 без залишку, значить 10 не є дільником числа 12)

12: 11 = 1 (1 у залишку)
(12 не поділилося на 11 без залишку, значить 11 не є дільником числа 12)

12: 12 = 1
(12 розділилося на 12 без залишку, отже 12 є дільником числа 12)

Тепер знайдемо дільники числа 9. Для цього перевіримо всі дільники від 1 до 9

9: 1 = 9
(9 поділилося на 1 без залишку, значить 1 є дільником числа 9)

9: 2 = 4 (1 у залишку)
(9 не розділилося на 2 без залишку, значить 2 не є дільником числа 9)

9: 3 = 3
(9 розділилося на 3 без залишку, отже 3 є дільником числа 9)

9: 4 = 2 (1 у залишку)
(9 не розділилося на 4 без залишку, значить 4 не є дільником числа 9)

9: 5 = 1 (4 у залишку)
(9 не поділилося на 5 без залишку, значить 5 не є дільником числа 9)

9: 6 = 1 (3 у залишку)
(9 не розділилося на 6 без залишку, значить 6 не є дільником числа 9)

9: 7 = 1 (2 у залишку)
(9 не поділилося на 7 без залишку, значить 7 не є дільником числа 9)

9: 8 = 1 (1 у залишку)
(9 не поділилося на 8 без залишку, значить 8 не є дільником числа 9)

9: 9 = 1
(9 розділилося на 9 без залишку, отже 9 є дільником числа 9)

Тепер випишемо дільники обох чисел. Числа виділені синім кольором і є дільниками. Їх і випишемо:

Виписавши дільники, можна відразу визначити, який є найбільшим та загальним.

Згідно з визначенням, найбільшим загальним дільником чисел 12 і 9 є число, на яке 12 і 9 діляться без залишку. Найбільшим та загальним дільником чисел 12 та 9 є число 3

І число 12 і число 9 діляться на 3 без залишку:

Значить НОД (12 та 9) = 3

Другий спосіб знаходження НОД

Тепер розглянемо другий спосіб знаходження найбільшого спільного дільника. Суть даного способуполягає в тому, щоб розкласти обидва числа на прості множники та перемножити загальні з них.

Приклад 1. Знайти НОД чисел 24 та 18

Спочатку розкладемо обидва числа на прості множники:

Тепер перемножимо їх спільні множники. Щоб не заплутатися, спільні множники можна наголосити.

Дивимося на розкладання числа 24. Перший його множник це 2. Шукаємо такий самий множник у розкладанні числа 18 і бачимо, що він там теж є. Підкреслюємо обидві двійки:

Знову дивимося на розкладання числа 24. Другий його множник теж 2. Шукаємо такий самий множник у розкладанні числа 18 і бачимо, що його там вдруге вже немає. Тоді нічого не наголошуємо.

Наступна двійка у розкладанні числа 24 також відсутня у розкладанні числа 18.

Переходимо до останнього множника у розкладанні числа 24. Це множник 3. Шукаємо такий самий множник у розкладанні числа 18 і бачимо, що там він теж є. Підкреслюємо обидві трійки:

Отже, загальними множниками чисел 24 та 18 є множники 2 та 3. Щоб отримати НОД, ці множники необхідно перемножити:

Значить НОД (24 та 18) = 6

Третій спосіб знаходження НОД

Тепер розглянемо третій спосіб знаходження найбільшого спільного дільника. Суть даного способу полягає в тому, що числа, що підлягають пошуку найбільшого загального дільника, розкладають на прості множники. Потім розкладання першого числа викреслюють множники, які входять у розкладання другого числа. Що залишилися в першому розкладанні перемножують і отримують НОД.

Наприклад, знайдемо НОД для чисел 28 та 16 цим способом. Насамперед, розкладаємо ці числа на прості множники:

Отримали два розкладання: і

Тепер із розкладання першого числа викреслимо множники, які не входять до розкладання другого числа. У розкладання другого числа не входить сімка. Її і викреслимо з першого розкладання:

Тепер перемножуємо множники, що залишилися, і отримуємо НОД:

Число 4 є найбільшим загальним дільником чисел 28 та 16. Обидва ці числа діляться на 4 без залишку:

приклад 2.Знайти НОД чисел 100 та 40

Розкладаємо на множники число 100

Розкладаємо на множники число 40

Отримали два розкладання:

Тепер із розкладання першого числа викреслимо множники, які не входять до розкладання другого числа. До розкладання другого числа не входить одна п'ятірка (там лише одна п'ятірка). Її і викреслимо з першого розкладання

Перемножимо числа, що залишилися:

Отримали відповідь 20. Значить число 20 є найбільшим загальним дільником чисел 100 та 40. Ці два числа діляться на 20 без залишку:

НОД (100 та 40) = 20.

Приклад 3.Знайти НОД чисел 72 та 128

Розкладаємо на множники число 72

Розкладаємо на множники число 128

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

Тепер із розкладання першого числа викреслимо множники, які не входять до розкладання другого числа. До розкладання другого числа не входять дві трійки (там їх взагалі немає). Їх і викреслимо з першого розкладання:

Отримали відповідь 8. Значить число 8 є найбільшим спільним дільником чисел 72 та 128. Ці два числа діляться на 8 без залишку:

НОД (72 та 128) = 8

Знаходження НОД для кількох чисел

Найбільший спільний дільник можна шукати і для кількох чисел, а не лише двох. Для цього числа, які підлягають пошуку найбільшого загального дільника, розкладають на прості множники, потім знаходять добуток загальних простих множників цих чисел.

Наприклад, знайдемо НОД для чисел 18, 24 та 36

Розкладемо на множники число 18

Розкладемо на множники число 24

Розкладемо на множники число 36

Отримали три розкладання:

Тепер виділимо та підкреслимо загальні множники у цих числах. Загальні множники повинні входити у всі три числа:

Ми бачимо, що загальні множники для чисел 18, 24 і 36 це множники 2 і 3. Перемноживши ці множники, ми отримаємо НОД, який шукаємо:

Отримали відповідь 6. Значить, число 6 є найбільшим загальним дільником чисел 18, 24 і 36. Ці три числа діляться на 6 без залишку:

НОД (18, 24 та 36) = 6

приклад 2.Знайти НОД для чисел 12, 24, 36 та 42

Розкладемо на прості множники кожне число. Потім знайдемо добуток загальних множників цих чисел.

Розкладемо на множники число 12

Розкладемо на множники число 42

Отримали чотири розкладання:

Тепер виділимо та підкреслимо загальні множники у цих числах. Загальні множники повинні входити до всіх чотирьох числах:

Ми бачимо, що загальні множники для чисел 12, 24, 36 і 42 це множники 2 і 3. Перемноживши ці множники, ми отримаємо НОД, який шукаємо:

Отримали відповідь 6. Значить, число 6 є найбільшим загальним дільником чисел 12, 24, 36 і 42. Ці числа діляться на 6 без залишку:

НОД (12, 24, 36 і 42) = 6

З попереднього уроку ми знаємо, що якщо якесь число без залишку розділилося на інше, його називають кратним цього числа.

Виявляється, кратне може бути загальним у кількох чисел. І зараз нас цікавитиме кратне двох чисел, при цьому воно має бути максимально маленьким.

Визначення. Найменше загальне кратне (НОК) чисел aі b - aі b aі число b.

Визначення містить дві змінні aі b. Давайте підставимо замість цих змінних будь-які два числа. Наприклад, замість змінної aпідставимо число 9, а замість змінної bпідставимо число 12. Тепер спробуємо прочитати визначення:

Найменше загальне кратне (НОК) чисел 9 і 12 - це найменша кількість, яке кратне 9 і 12 . Іншими словами, це таке невелике число, яке ділиться без залишку на число 9 і на число 12 .

З визначення зрозуміло, що НОК це найменше число, яке ділиться без залишку на 9 і 12. Цей НОК потрібно знайти.

Для знаходження найменшого загального кратного (НОК) можна скористатися двома методами. Перший спосіб полягає в тому, що можна виписати перші кратні двох чисел, а потім вибрати серед цих кратних таке число, яке буде загальним для обох чисел та маленьким. Давайте застосуємо цей метод.

Насамперед, знайдемо перші кратні для числа 9. Щоб знайти кратні для 9, потрібно цю дев'ятку по черзі помножити на числа від 1 до 9. Отримані відповіді будуть кратними для числа 9. Отже, почнемо. Кратні виділятимемо червоним кольором:

Тепер знаходимо кратні для числа 12. Для цього по черзі множимо 12 на всі числа 1 до 12.

Розглянемо рішення наступного завдання. Крок хлопчика становить 75 см, а крок дівчинки 60 см. Необхідно знайти найменшу відстань, на якій вони обидва зроблять за кількістю кроків.

Рішення.Весь шлях який пройдуть хлопці, повинен ділитися без залишку на 60 та на 70, тому що вони повинні зробити кожну цілу кількість кроків. Інакше кажучи, у відповіді має бути число, кратне як 75 і 60.

Спочатку виписуватимемо всі кратні числа, для числа 75. Отримуємо:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Тепер випишемо числа, які будуть кратні 60. Отримуємо:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Тепер знаходимо числа, які є в обох рядах.

• Загальними кратними числами будуть числа, 300, 600, і т.д.

Найменше їх, це число 300. Воно у разі буде називатися найменшим загальним кратним чисел 75 і 60.

Повертаючись до умови завдання, найменша відстань, на якій хлопці зроблять цілу кількість кроків, буде 300 см. Хлопчик пройде цей шлях за 4 кроки, а дівчинці потрібно зробити 5 кроків.

Визначення найменшого загального кратного

• Найменшим загальним кратним двох натуральних чисел a та b називається найменше натуральне число, яке кратне як a, так і b.

Для того, щоб знайти найменше загальне кратне двох чисел, не обов'язково виписати підряд всі кратні для цих чисел.

Можна скористатися таким методом.

Як знайти найменше загальне кратне

Спочатку необхідно розкласти ці числа на прості множники.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Тепер випишемо всі множники які є в розкладанні першого числа (2,2,3,5) і додамо до нього всі множники, що відсутні, з розкладання другого числа (5).

Отримаємо у результаті ряд простих чисел: 2,2,3,5,5. Добуток цих чисел і буде найменшим загальним помножувачем для цих чисел. 2 * 2 * 3 * 5 * 5 = 300.

Загальна схема знаходження найменшого загального кратного

• 1. Розкласти числа на звичайні множники.
• 2. Виписати прості множники, які входять до складу одного з них.
• 3. Додати до цих множників усі ті, які є в розкладанні інших, але немає у вибраному.
• 4. Знайти добуток всіх виписаних співмножників.

Цей спосіб універсальний. З його допомогою можна знайти найменше загальне кратне будь-якої кількості натуральних чисел.

Онлайн калькулятор дозволяє швидко знаходити найбільший спільний дільник та найменше загальне кратне як для двох, так і для будь-якої іншої кількості чисел.

Калькулятор для знаходження НОД та НОК

Знайти НОД та НОК

Знайдено НОД та НОК: 6433

Як користуватися калькулятором

• Введіть цифри у полі для введення
• У разі введення некоректних символів, поле для введення буде підсвічене червоним.
• натисніть кнопку "Знайти НОД та НОК"

Як вводити числа

• Числа вводяться через пробіл, точку або кому
• Довжина чисел, що вводяться, не обмежена, так що знайти НОД і НОК довгих чисел не складе жодних труднощів

Що таке НОД та НОК?

Найбільший спільний дільниккількох чисел – це найбільше натуральне ціле число, яке всі вихідні числа діляться без залишку. Найбільший спільний дільник скорочено записується як НІД.
Найменше загальне кратнекількох чисел – це найменше число, яке ділиться кожне з вихідних чисел без залишку. Найменше загальне кратне скорочено записується як НОК.

Як перевірити, чи число ділиться на інше число без залишку?

Щоб дізнатися, чи ділиться одне число інше без залишку, можна скористатися деякими властивостями ділимості чисел. Тоді, комбінуючи їх, можна перевіряти подільність на деякі з них та їх комбінації.

Деякі ознаки ділимості чисел

1. Ознака подільності числа на 2
Щоб визначити, чи ділиться число на два (чи є парним), достатньо подивитися на останню цифру цього числа: якщо вона дорівнює 0, 2, 4, 6 або 8, то число парне, а значить ділиться на 2.
Приклад:визначити, чи ділиться на 2 число 34 938 .
Рішення:дивимося останню цифру: 8 - отже число ділиться на два.

2. Ознака ділимості числа на 3
Число ділиться на три тоді, коли сума його цифр ділиться на три. Таким чином, щоб визначити, чи ділиться число на 3, потрібно порахувати суму цифр і перевірити, чи вона ділиться на 3. Навіть якщо сума цифр вийшла дуже великою, можна повторити цей же процес знову.
Приклад:визначити, чи ділиться число 34 938 на 3.
Рішення:рахуємо суму цифр: 3+4+9+3+8 = 27. 27 ділиться на 3, отже, і число ділиться на три.

3. Ознака подільності числа на 5
Число ділиться на 5 тоді, коли його остання цифра дорівнює нулю чи п'яти.
Приклад:визначити, чи ділиться число 34 938 на 5.
Рішення:дивимося на останню цифру: 8 - значить число НЕ ділиться п'ять.

4. Ознака подільності числа на 9
Ця ознака дуже схожа на ознаку ділимості на трійку: число ділиться на 9 тоді, коли його цифр ділиться на 9.
Приклад:визначити, чи ділиться число 34 938 на 9.
Рішення:вважаємо суму цифр: 3+4+9+3+8 = 27. 27 ділиться на 9, отже, і число ділиться на дев'ять.

Як знайти НОД та НОК двох чисел

Як знайти НОД двох чисел

Найбільш простим способомОбчислення найбільшого загального дільника двох чисел є пошук всіх можливих дільників цих чисел та вибір найбільшого з них.

Розглянемо цей спосіб з прикладу перебування НОД(28, 36) :

1. Розкладаємо обидва числа на множники: 28 = 1 · 2 · 2 · 7 , 36 = 1 · 2 · 2 · 3 · 3
2. Знаходимо спільні множники, тобто ті, що є в обох чисел: 1, 2 та 2.
3. Обчислюємо добуток цих множників: 1 · 2 · 2 = 4 - це і є найбільший загальний дільник чисел 28 та 36.

Як знайти НОК двох чисел

Найбільш поширені два способи знаходження найменшого кратного двох чисел. Перший спосіб полягає в тому, що можна виписати перші кратні двох чисел, а потім вибрати серед них таке число, яке буде загальним для обох чисел і при цьому найменшим. А другий полягає у знаходженні НОД цих чисел. Розглянемо лише його.

Для обчислення НОК необхідно обчислити добуток вихідних чисел і потім розділити його на попередньо знайдений НОД. Знайдемо НОК для тих самих чисел 28 і 36:

1. Знаходимо добуток чисел 28 і 36: 28 · 36 = 1008
2. НОД(28, 36), як відомо, дорівнює 4
3. НОК(28, 36) = 1008/4 = 252 .

Знаходження НОД та НОК для кількох чисел

Найбільший спільний дільник можна шукати і для кількох чисел, а не лише двох. Для цього числа, які підлягають пошуку найбільшого загального дільника, розкладають на прості множники, потім знаходять добуток загальних простих множників цих чисел. Також для знаходження НОД кількох чисел можна скористатися таким співвідношенням: НОД(a, b, c) = НОД(НОД(a, b), c).

Аналогічне співвідношення діє і найменшого загального кратного чисел: НОК(a, b, c) = НОК(НОК(a, b), c)

Приклад:знайти НОД та НОК для чисел 12, 32 та 36.

1. Спочатку розкладемо числа на множники: 12 = 1 · 2 · 2 · 3 , 32 = 1 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 , 36 = 1 · 2 · 2 · 3 · 3 ?
2. Знайдемо загальні множники: 1, 2 та 2 .
3. Їхній твір дасть НОД: 1·2·2 = 4
4. Знайдемо тепер НОК: цього знайдемо спочатку НОК(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
5. Щоб знайти НОК всіх трьох чисел, потрібно знайти НОД(96, 36): 96 = 1 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 36 = 1 · 2 · 2 · 3 · 3 НОД = 1 · 2 · 2 · 3 = 12 .
6. НОК (12, 32, 36) = 96 · 36 / 12 = 288 .

Поданий нижче матеріал є логічним продовженням теорії із статті під заголовком НОК – найменше загальне кратне, визначення, приклади, зв'язок між НОК та НОД. Тут ми поговоримо про знаходження найменшого загального кратного (НОК), та особливу увагу приділимо рішенню прикладів. Спочатку покажемо, як обчислюється НОК двох чисел через НОД цих чисел. Далі розглянемо знаходження найменшого загального кратного за допомогою розкладання чисел на найпростіші множники. Після цього зупинимося на знаходженні НОК трьох та більшої кількості чисел, а також приділимо увагу обчисленню НОК негативних чисел.

Навігація на сторінці.

Обчислення найменшого загального кратного (НОК) через НОД

Один із способів знаходження найменшого загального кратного заснований на зв'язку між НОК та НОД. Існуючий зв'язок між НОК та НОД дозволяє обчислювати найменше загальне кратне двох цілих позитивних чисел через відомий найбільший спільний дільник. Відповідна формула має вигляд НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b) . Розглянемо приклади знаходження НОК за наведеною формулою.

приклад.

Знайдіть найменше загальне кратне двох чисел 126 та 70 .

Рішення.

У цьому прикладі a = 126, b = 70. Скористаємося зв'язком НОК із НОД, що виражається формулою НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b). Тобто, спочатку ми маємо знайти найбільший загальний дільник чисел 70 і 126 , після чого ми зможемо обчислити НОК цих чисел за записаною формулою.

Знайдемо НОД(126, 70) , використовуючи алгоритм Евкліда: 126 = 70 · 1 +56 , 70 = 56 · 1 +14 , 56 = 14 · 4 , отже, НОД (126, 70) = 14 .

Тепер знаходимо необхідне найменше загальне кратне: НОК(126, 70) = 126 · 70: НОД (126, 70) = 126 · 70: 14 = 630 .

Відповідь:

НОК (126, 70) = 630 .

приклад.

Чому одно НОК (68, 34)?

Рішення.

Так як 68 ділиться націло на 34 , то НОД (68, 34) = 34 . Тепер обчислюємо найменше загальне кратне: НОК (68, 34) = 68 · 34: НОД (68, 34) = 68 · 34: 34 = 68 .

Відповідь:

НОК (68, 34) = 68 .

Зауважимо, що попередній приклад підходить під наступне правило знаходження НОК для цілих позитивних чисел a і b : якщо число a ділиться на b , то найменше кратне цих чисел дорівнює a .

Знаходження НОК за допомогою розкладання чисел на прості множники

Інший спосіб знаходження найменшого загального кратного базується на розкладанні чисел на прості множники. Якщо скласти твір з усіх простих множників даних чисел, після чого з цього твору виключити всі загальні прості множники, присутні в розкладах даних чисел, то отриманий твір дорівнює найменшому загальному кратному даних чисел .

Озвучене правило знаходження НОК випливає з рівності НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b). Справді, добуток чисел a та b дорівнює добутку всіх множників, що беруть участь у розкладах чисел a та b . У свою чергу НОД(a, b) дорівнює добутку всіх простих множників, що одночасно присутні в розкладаннях чисел a і b (про що написано в розділі знаходження НОД за допомогою розкладання чисел на прості множники).

Наведемо приклад. Нехай ми знаємо, що 75 = 3 · 5 · 5 і 210 = 2 · 3 · 5 · 7 . Складемо твір із усіх множників даних розкладів: 2·3·3·5·5·5·7 . Тепер з цього твору виключимо всі множники, присутні і в розкладанні числа 75 і в розкладі числа 210 (такими множниками є 3 і 5), тоді добуток набуде вигляду 2·3·5·5·7 . Значення цього твору дорівнює найменшому загальному кратному чисел 75 і 210, тобто, НОК (75, 210) = 2 · 3 · 5 · 5 · 7 = 1050.

приклад.

Розклавши числа 441 та 700 на прості множники, знайдіть найменше загальне кратне цих чисел.

Рішення.

Розкладемо числа 441 і 700 на прості множники:

Отримуємо 441 = 3 · 3 · 7 · 7 і 700 = 2 · 2 · 5 · 5 · 7 .

Тепер складемо твір з усіх множників, що беруть участь у розкладаннях даних чисел: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 · 7 . Виключимо з цього твору всі множники, одночасно присутні в обох розкладаннях (такий множник тільки один – це число 7): 2·2·3·3·5·5·7·7 . Таким чином, НОК (441, 700) = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 = 44 100.

Відповідь:

НОК(441, 700) = 44100 .

Правило знаходження НОК з використанням розкладання чисел на прості множники можна сформулювати трохи інакше. Якщо до множників з розкладання числа a додати множники, що відсутні, з розкладання числа b , то значення отриманого твору дорівнюватиме найменшому загальному кратному чисел a і b.

Наприклад візьмемо ті самі числа 75 і 210 , їх розкладання на прості множники такі: 75=3·5·5 і 210=2·3·5·7 . До множників 3, 5 і 5 з розкладання числа 75 додаємо відсутні множники 2 і 7 з розкладання числа 210, отримуємо добуток 2·3·5·5·7, значення якого дорівнює НОК(75, 210).

приклад.

Знайдіть найменше загальне кратне чисел 84 та 648 .

Рішення.

Отримуємо спочатку розкладання чисел 84 та 648 на прості множники. Вони мають вигляд 84 = 2 · 2 · 3 · 7 і 648 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 . До множників 2, 2, 3 і 7 з розкладання числа 84 додаємо відсутні множники 2, 3, 3 і 3 з розкладання числа 648, отримуємо добуток 2·2·2·3·3·3·3·7, яке дорівнює 4 536 . Таким чином, шукане найменше загальне кратне чисел 84 і 648 дорівнює 4536 .

Відповідь:

НОК (84, 648) = 4536 .

Знаходження НОК трьох та більшої кількості чисел

Найменше загальне кратне трьох і більшої кількості чисел можна знайти через послідовне знаходження НОК двох чисел. Нагадаємо відповідну теорему, що дає спосіб знаходження НОК трьох та більшої кількості чисел.

Теорема.

Нехай дані цілі позитивні числа a 1 , a 2 , …, a k , найменше загальне кратне m k цих чисел знаходиться при послідовному обчисленні m 2 =НОК(a 1 , a 2) , m 3 =НОК(m 2 , a 3) , … m k =НОК(m k−1 , a k) .

Розглянемо застосування цієї теореми з прикладу знаходження найменшого загального кратного чотирьох чисел.

приклад.

Знайдіть НОК чотирьох чисел 140 , 9 , 54 та 250 .

Рішення.

У цьому прикладі a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Спочатку знаходимо m 2 =НОК(a 1 , a 2)=НОК(140, 9). Для цього за алгоритмом Евкліда визначаємо НОД(140, 9) , маємо 140=9·15+5 , 9=5·1+4 , 5=4·1+1 , 4=1·4 , отже, НОД(140, 9) = 1, звідки НОК (140, 9) = 140 · 9: НОД (140, 9) = 140 · 9: 1 = 1 260 . Тобто, m 2 = 1260 .

Тепер знаходимо m 3 =НОК(m 2 , a 3)=НОК(1 260, 54). Обчислимо його через НОД (1260, 54), який також визначимо за алгоритмом Евкліда: 1260 = 54 · 23 +18, 54 = 18 · 3. Тоді НОД (1260, 54) = 18, звідки НОК (1260, 54) = 1260 · 54: НОД (1260, 54) = 1260 · 54:18 = 3780. Тобто, m3 = 3780 .

Залишилось знайти m 4 =НОК(m 3 , a 4)=НОК(3 780, 250). Для цього знаходимо НОД (3780, 250) за алгоритмом Евкліда: 3780 = 250 · 15 +30, 250 = 30 · 8 +10, 30 = 10 · 3. Отже, НОД (3780, 250) = 10, звідки НОК (3780, 250) = 3 780 · 250: НОД (3 780, 250) = 3 780 250:10 = 94 500 . Тобто, m 4 = 94500 .

Таким чином, найменше загальне кратне вихідних чотирьох чисел дорівнює 94500 .

Відповідь:

НОК(140, 9, 54, 250) = 94500.

У багатьох випадках найменше кратне трьох і більшої кількості чисел зручно знаходити з використанням розкладів даних чисел на прості множники. При цьому слід дотримуватись наступного правила. Найменше загальне кратне декількох чисел дорівнює добутку, яке складається так: до всіх множників з розкладання першого числа додаються множники, що відсутні, з розкладання другого числа, до отриманих множників додаються відсутні множники з розкладання третього числа і так далі .

Розглянемо приклад знаходження найменшого загального кратного з використанням розкладання чисел на прості множники.

приклад.

Знайдіть найменше загальне кратне п'ять чисел 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Рішення.

Спочатку отримуємо розкладання даних чисел на прості множники: 84=2·2·3·7 , 6=2·3 , 48=2·2·2·2·3 , 7 (7 – просте число , воно збігається зі своїм розкладанням на прості множники) і 143 = 11 · 13 .

Для знаходження НОК даних чисел до множників першого числа 84 (ними є 2, 2, 3 і 7) потрібно додати відсутні множники з розкладання другого числа 6. Розкладання числа 6 не містить множників, що відсутні, так як і 2 і 3 вже присутні в розкладанні першого числа 84 . Далі до множників 2 , 2 , 3 і 7 додаємо множники 2 і 2 з розкладання третього числа 48 , отримуємо набір множників 2 , 2 , 2 , 2 , 3 і 7 . До цього набору на наступному кроці не доведеться додавати множників, тому що 7 вже міститься в ньому. Нарешті, до множників 2, 2, 2, 2, 3 і 7 додаємо відсутні множники 11 і 13 з розкладання числа 143. Отримуємо добуток 2·2·2·2·3·7·11·13 , який дорівнює 48 048 .