ระบบสมการเชิงเส้นเรียกว่าข้อต่อถ้า mti วิธีหาคำตอบทั่วไปและเฉพาะของระบบสมการเชิงเส้น

เรายังคงจัดการกับระบบสมการเชิงเส้นต่อไป จนถึงตอนนี้ เราได้พิจารณาระบบที่มีโซลูชันที่ไม่เหมือนใคร ระบบดังกล่าวสามารถแก้ไขได้ในทางใดทางหนึ่ง: วิธีการทดแทน("โรงเรียน") โดยสูตรของแครมเมอร์ วิธีเมทริกซ์, วิธีเกาส์. อย่างไรก็ตาม มีอีกสองกรณีในทางปฏิบัติที่แพร่หลายเมื่อ:

1) ระบบไม่สอดคล้องกัน (ไม่มีวิธีแก้ปัญหา)

2) ระบบมีวิธีแก้ปัญหามากมาย

สำหรับระบบเหล่านี้ จะใช้วิธีการแก้ปัญหาที่เป็นสากลมากที่สุด - วิธีเกาส์. อันที่จริงทาง “โรงเรียน” ก็จะนำไปสู่คำตอบเช่นกัน แต่ใน คณิตศาสตร์ชั้นสูงเป็นเรื่องปกติที่จะใช้วิธีการเกาส์เซียนในการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้จักอย่างต่อเนื่อง ใครไม่คุ้นเคยกับอัลกอริธึมวิธีเกาส์โปรดศึกษาบทเรียนก่อน วิธีเกาส์

การแปลงเมทริกซ์เบื้องต้นนั้นเหมือนกันทุกประการความแตกต่างจะอยู่ที่ส่วนท้ายของการแก้ปัญหา ขั้นแรก ให้พิจารณาสองสามตัวอย่างที่ระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา (ไม่สอดคล้องกัน)

ตัวอย่างที่ 1

อะไรที่ดึงดูดสายตาคุณในระบบนี้ทันที? จำนวนสมการน้อยกว่าจำนวนตัวแปร มีทฤษฎีบทหนึ่งว่า “ถ้าจำนวนสมการในระบบ ปริมาณน้อยลงตัวแปร, จากนั้นระบบก็ไม่สอดคล้องกันหรือมีวิธีแก้ปัญหามากมายและมันยังคงอยู่เพียงเพื่อค้นหา

จุดเริ่มต้นของการแก้ปัญหานั้นค่อนข้างธรรมดา - เราเขียนเมทริกซ์แบบขยายของระบบ และใช้การแปลงเบื้องต้น เราทำให้มันอยู่ในรูปแบบขั้นตอน:

(หนึ่ง). ที่ขั้นตอนบนซ้ายเราต้องได้ (+1) หรือ (-1) ไม่มีตัวเลขดังกล่าวในคอลัมน์แรก ดังนั้นการจัดเรียงแถวใหม่จะไม่ทำงาน หน่วยจะต้องได้รับการจัดระเบียบอย่างอิสระและสามารถทำได้หลายวิธี เราทำเช่นนั้น ในบรรทัดแรก เราบวกบรรทัดที่สาม คูณด้วย (-1)

(2). ตอนนี้เราได้ศูนย์สองตัวในคอลัมน์แรก ในบรรทัดที่สอง ให้เพิ่มบรรทัดแรก คูณด้วย 3 ไปยังบรรทัดที่สาม ให้บวกบรรทัดแรก คูณด้วย 5

(3). หลังจากการแปลงเสร็จสิ้น ขอแนะนำให้ดูเสมอว่าเป็นไปได้ไหมที่จะทำให้สตริงที่เป็นผลลัพธ์ง่ายขึ้น? สามารถ. เราแบ่งบรรทัดที่สองด้วย 2 ในเวลาเดียวกันจะได้ค่าที่ต้องการ (-1) ในขั้นตอนที่สอง หารบรรทัดที่สามด้วย (-3)

(4). เพิ่มบรรทัดที่สองในบรรทัดที่สาม อาจเป็นไปได้ว่าทุกคนให้ความสนใจกับแนวที่ไม่ดีซึ่งเป็นผลมาจากการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้น:

. เป็นที่ชัดเจนว่าสิ่งนี้ไม่สามารถทำได้

อันที่จริง เราเขียนเมทริกซ์ผลลัพธ์ใหม่

กลับไปที่ระบบสมการเชิงเส้น:

ถ้าเป็นผลจากการแปลงเบื้องต้นเป็นสตริงของรูปแบบ , ที่ไหนλ เป็นตัวเลขที่ไม่เป็นศูนย์ แสดงว่าระบบไม่สอดคล้องกัน (ไม่มีวิธีแก้ไข)

จะบันทึกการสิ้นสุดของงานได้อย่างไร คุณต้องเขียนวลี:

“ จากการแปลงเบื้องต้นจะได้สตริงของแบบฟอร์มโดยที่ λ ≠ 0 ". คำตอบ: "ระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา (ไม่สอดคล้องกัน)"

โปรดทราบว่าในกรณีนี้ จะไม่มีการเคลื่อนไหวย้อนกลับของอัลกอริทึมแบบเกาส์เซียน ไม่มีวิธีแก้ไข และไม่พบสิ่งใดเลย

ตัวอย่าง 2

แก้ระบบสมการเชิงเส้น

นี่คือตัวอย่างที่ต้องทำด้วยตัวเอง โซลูชั่นที่สมบูรณ์และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

เราขอเตือนคุณอีกครั้งว่ากระบวนการแก้ปัญหาของคุณอาจแตกต่างไปจากกระบวนการแก้ปัญหาของเรา วิธีเกาส์ไม่ได้ตั้งค่าอัลกอริธึมที่ชัดเจน คุณต้องเดาขั้นตอนและการดำเนินการด้วยตนเองในแต่ละกรณี

อีกคน คุณสมบัติทางเทคนิควิธีแก้ปัญหา: การเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นสามารถหยุดได้ ในครั้งเดียว, ทันทีที่เส้นเช่น , where λ ≠ 0 . พิจารณา ตัวอย่างเงื่อนไข: สมมติว่าหลังจากการแปลงครั้งแรก เราได้เมทริกซ์

.

เมทริกซ์นี้ยังไม่ได้ถูกลดขนาดให้อยู่ในรูปแบบขั้นบันได แต่ไม่จำเป็นต้องแปลงเบื้องต้นเพิ่มเติม เนื่องจากมีเส้นของรูปแบบปรากฏขึ้น โดยที่ λ ≠ 0 . ควรตอบทันทีว่าระบบเข้ากันไม่ได้

เมื่อระบบสมการเชิงเส้นไม่มีคำตอบ นี่เกือบจะเป็นของขวัญให้กับนักเรียน เนื่องจากได้คำตอบสั้นๆ ซึ่งบางครั้งอาจทำได้ 2-3 ขั้นตอน แต่ทุกสิ่งในโลกนี้มีความสมดุล และปัญหาที่ระบบมีวิธีแก้ปัญหามากมายนับไม่ถ้วนนั้นยาวนานกว่า

ตัวอย่างที่ 3:

แก้ระบบสมการเชิงเส้น

มี 4 สมการและ 4 ค่าที่ไม่ทราบค่า ดังนั้นระบบสามารถมีคำตอบเดียว หรือไม่มีคำตอบ หรือมีคำตอบมากมายไม่จำกัด ไม่ว่ามันจะเป็นอะไร แต่วิธี Gauss ในกรณีใด ๆ จะนำเราไปสู่คำตอบ นี่คือความเก่งกาจของมัน

การเริ่มต้นเป็นมาตรฐานอีกครั้ง เราเขียนเมทริกซ์ขยายของระบบ และใช้การแปลงเบื้องต้น นำไปที่รูปแบบขั้นตอน:

นั่นคือทั้งหมดและคุณก็กลัว

(หนึ่ง). โปรดทราบว่าตัวเลขทั้งหมดในคอลัมน์แรกสามารถหารด้วย 2 ลงตัว ดังนั้นในขั้นตอนบนซ้ายเราจึงพอใจกับผีสาง ในบรรทัดที่สอง เราเพิ่มบรรทัดแรก คูณด้วย (-4) ในบรรทัดที่สาม เราเพิ่มบรรทัดแรก คูณด้วย (-2) ในบรรทัดที่สี่ เราเพิ่มบรรทัดแรก คูณด้วย (-1)

ความสนใจ!หลายคนอาจถูกล่อลวงจากบรรทัดที่สี่ ลบเส้นแรก. สิ่งนี้สามารถทำได้ แต่ไม่จำเป็น ประสบการณ์แสดงให้เห็นว่าความน่าจะเป็นของข้อผิดพลาดในการคำนวณเพิ่มขึ้นหลายครั้ง เราเพิ่งเพิ่ม: ในบรรทัดที่สี่ เราเพิ่มบรรทัดแรก คูณด้วย (-1) - อย่างแน่นอน!

(2). สามบรรทัดสุดท้ายเป็นสัดส่วน สองบรรทัดสามารถลบได้ มาอีกแล้วต้องโชว์ ความสนใจเพิ่มขึ้นแต่เส้นเป็นสัดส่วนจริงหรือ สำหรับการประกันภัยต่อจะไม่ฟุ่มเฟือยที่จะคูณแถวที่สองด้วย (-1) และหารแถวที่สี่ด้วย 2 ทำให้เกิดแถวที่เหมือนกันสามแถว และหลังจากนั้นให้ลบสองคนออก อันเป็นผลมาจากการแปลงเบื้องต้น เมทริกซ์แบบขยายของระบบจะลดลงเป็นรูปแบบขั้นบันได:

เมื่อทำงานเสร็จในสมุดบันทึก ขอแนะนำให้จดบันทึกด้วยดินสอเพื่อความชัดเจน

เราเขียนระบบสมการที่สอดคล้องกันใหม่:

วิธีแก้ปัญหา "ปกติ" เท่านั้นของระบบไม่มีกลิ่นที่นี่ สายไม่ดีที่ λ ≠ 0, ยังไม่มี ดังนั้น นี่เป็นกรณีที่สามที่เหลืออยู่ - ระบบมีวิธีแก้ปัญหามากมาย

ชุดคำตอบของระบบไม่มีที่สิ้นสุดเขียนสั้น ๆ ในรูปแบบของสิ่งที่เรียกว่า โซลูชันระบบทั่วไป.

เราจะหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบโดยใช้การเคลื่อนที่ย้อนกลับของวิธีเกาส์ สำหรับระบบสมการที่มีชุดคำตอบไม่สิ้นสุด แนวคิดใหม่จะปรากฏขึ้น: "ตัวแปรพื้นฐาน"และ "ตัวแปรอิสระ". อันดับแรก ให้กำหนดว่าตัวแปรที่เรามีคืออะไร ขั้นพื้นฐานและตัวแปรอะไร - ฟรี. ไม่จำเป็นต้องอธิบายรายละเอียดเกี่ยวกับพีชคณิตเชิงเส้นให้ละเอียด แต่ก็เพียงพอแล้วที่ต้องจำไว้ว่ามีเงื่อนไขดังกล่าว ตัวแปรพื้นฐานและ ตัวแปรอิสระ.

ตัวแปรพื้นฐานมักจะ "นั่ง" อย่างเคร่งครัดตามขั้นตอนของเมทริกซ์. ในตัวอย่างนี้ ตัวแปรฐานคือ x 1 และ x 3 .

ตัวแปรอิสระคือทุกสิ่ง ที่เหลืออยู่ตัวแปรที่ไม่ได้รับขั้นตอน ในกรณีของเรามีสอง: x 2 และ x 4 - ตัวแปรอิสระ

ตอนนี้คุณต้องการ ทั้งหมดตัวแปรพื้นฐานด่วน ผ่าน .เท่านั้นตัวแปรอิสระ. การเคลื่อนย้อนกลับของอัลกอริธึมแบบเกาส์เซียนทำงานจากล่างขึ้นบน จากสมการที่สองของระบบ เราแสดงตัวแปรพื้นฐาน x 3:

ดูสมการแรก: . ขั้นแรก เราแทนที่นิพจน์ที่พบลงในมัน:

มันยังคงแสดงตัวแปรพื้นฐาน x 1 ผ่านตัวแปรอิสระ x 2 และ x 4:

ผลลัพธ์คือสิ่งที่คุณต้องการ - ทั้งหมดตัวแปรพื้นฐาน ( x 1 และ x 3) แสดงออก ผ่าน .เท่านั้นตัวแปรอิสระ ( x 2 และ x 4):

ที่จริงแล้ว วิธีแก้ปัญหาทั่วไปพร้อมแล้ว:

.

จะเขียนวิธีแก้ปัญหาทั่วไปได้อย่างไร ประการแรก ตัวแปรอิสระถูกเขียนลงในโซลูชันทั่วไป "ด้วยตัวเอง" และแทนที่ด้วยตัวมันเองอย่างเคร่งครัด ในกรณีนี้ ตัวแปรอิสระ x 2 และ x 4 ควรเขียนในตำแหน่งที่สองและสี่:

.

นิพจน์ผลลัพธ์สำหรับตัวแปรพื้นฐาน และจำเป็นต้องเขียนในตำแหน่งที่หนึ่งและสามอย่างชัดเจน:

จากเฉลยทั่วไปของระบบ เราสามารถหาได้มากมายมหาศาล การตัดสินใจส่วนตัว. มันง่ายมาก ตัวแปรอิสระ x 2 และ x 4 ที่เรียกเช่นนั้นเพราะให้ได้ ค่าสุดท้ายใด ๆ. ค่าที่นิยมมากที่สุดคือค่าศูนย์ เนื่องจากเป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ

ทดแทน ( x 2 = 0; x 4 = 0) ในโซลูชันทั่วไป เราได้รับหนึ่งในโซลูชันเฉพาะ:

หรือเป็นโซลูชันเฉพาะที่สอดคล้องกับตัวแปรอิสระที่มีค่า ( x 2 = 0; x 4 = 0).

เป็นคู่หวานอีกคู่มาแทนกัน ( x 2 = 1 และ x 4 = 1) ในการแก้ปัญหาทั่วไป:

เช่น (-1; 1; 1; 1) เป็นอีกวิธีหนึ่งโดยเฉพาะ

สังเกตได้ง่ายว่าระบบสมการมี โซลูชั่นมากมายอนันต์เนื่องจากเราสามารถให้ตัวแปรอิสระได้ ใดๆค่านิยม

แต่ละการแก้ปัญหาเฉพาะจะต้องตอบสนอง ถึงแต่ละคนสมการระบบ นี่เป็นพื้นฐานสำหรับการตรวจสอบความถูกต้องของโซลูชัน "อย่างรวดเร็ว" ตัวอย่างเช่น ใช้วิธีแก้ปัญหาเฉพาะ (-1; 1; 1; 1) และแทนที่มันเข้าไปในด้านซ้ายของแต่ละสมการในระบบเดิม:

ทุกอย่างต้องมาคู่กัน และด้วยวิธีแก้ปัญหาเฉพาะใดๆ ที่คุณได้รับ ทุกอย่างควรมาบรรจบกัน

กล่าวโดยเคร่งครัด บางครั้งการทวนสอบการแก้ปัญหาบางอย่างก็หลอกลวง กล่าวคือ วิธีแก้ปัญหาเฉพาะบางอย่างสามารถตอบสนองสมการแต่ละข้อของระบบได้ และพบวิธีแก้ปัญหาทั่วไปอย่างไม่ถูกต้อง ดังนั้น ก่อนอื่น การตรวจสอบโซลูชันทั่วไปจึงละเอียดและเชื่อถือได้มากกว่า

วิธีตรวจสอบผลลัพธ์ทั่วไปที่ได้ผลลัพธ์ ?

ไม่ยาก แต่ต้องแปลงค่อนข้างนาน เราต้องใช้นิพจน์ ขั้นพื้นฐานตัวแปรในกรณีนี้ และ , และแทนที่มันลงในด้านซ้ายของสมการแต่ละสมการของระบบ

ทางด้านซ้ายของสมการแรกของระบบ:

ทางด้านขวาของสมการแรกดั้งเดิมของระบบจะได้มา

ทางด้านซ้ายของสมการที่สองของระบบ:

ทางด้านขวาของสมการที่สองดั้งเดิมของระบบจะได้มา

และต่อไป - ไปทางซ้ายของสมการที่สามและสี่ของระบบ การตรวจสอบนี้ใช้เวลานานกว่า แต่รับประกันความถูกต้อง 100% ของโซลูชันโดยรวม นอกจากนี้ ในบางงาน จำเป็นต้องตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาทั่วไป

ตัวอย่างที่ 4:

แก้ระบบโดยใช้วิธีเกาส์ ค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไปและวิธีแก้ปัญหาส่วนตัวสองวิธี ตรวจสอบโซลูชันโดยรวม

นี่คือตัวอย่างที่ต้องทำด้วยตัวเอง อย่างไรก็ตาม จำนวนสมการน้อยกว่าจำนวนที่ไม่รู้จัก ซึ่งหมายความว่าเป็นที่แน่ชัดในทันทีว่าระบบอาจไม่สอดคล้องกันหรือมีจำนวนคำตอบที่ไม่สิ้นสุด

ตัวอย่างที่ 5:

แก้ระบบสมการเชิงเส้น หากระบบมีวิธีแก้ปัญหามากมายนับไม่ถ้วน ให้ค้นหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะสองวิธีแล้วตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาทั่วไป

การตัดสินใจ:ให้เราเขียนเมทริกซ์แบบขยายของระบบและด้วยความช่วยเหลือของการแปลงเบื้องต้น นำมาสู่รูปแบบขั้น:

(หนึ่ง). เพิ่มบรรทัดแรกไปยังบรรทัดที่สอง ในบรรทัดที่สาม เราเพิ่มบรรทัดแรกคูณ 2 ในบรรทัดที่สี่ เราเพิ่มบรรทัดแรกคูณด้วย 3

(2). ในบรรทัดที่สาม เราเพิ่มบรรทัดที่สอง คูณด้วย (-5) ในบรรทัดที่สี่ เราเพิ่มบรรทัดที่สอง คูณด้วย (-7)

(3). บรรทัดที่สามและสี่เหมือนกัน เราลบหนึ่งบรรทัด นี่คือความงาม:

ตัวแปรพื้นฐานนั่งบนขั้น ดังนั้นจึงเป็นตัวแปรฐาน

มีตัวแปรอิสระเพียงตัวเดียวซึ่งไม่ได้รับขั้นตอน:

(4). ถอยหลัง. เราแสดงตัวแปรพื้นฐานในรูปของตัวแปรอิสระ:

จากสมการที่สาม:

พิจารณาสมการที่สองและแทนที่นิพจน์ที่พบลงไป:

, , ,

พิจารณาสมการแรกและแทนที่นิพจน์ที่พบแล้วลงในสมการนั้น:

ดังนั้น คำตอบทั่วไปที่มีตัวแปรอิสระหนึ่งตัว x 4:

อีกครั้ง มันเกิดขึ้นได้อย่างไร? ตัวแปรอิสระ x 4 นั่งอยู่คนเดียวในสถานที่ที่สี่ที่ถูกต้อง นิพจน์ผลลัพธ์สำหรับตัวแปรพื้นฐาน , , ก็อยู่ในตำแหน่งเช่นกัน

ให้เราตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาทั่วไปทันที

เราแทนที่ตัวแปรพื้นฐาน , , ลงในด้านซ้ายของแต่ละสมการของระบบ:

ได้ทางขวามือที่สอดคล้องกันของสมการ ดังนั้นจึงพบคำตอบทั่วไปที่ถูกต้อง

ตอนนี้จากวิธีแก้ปัญหาทั่วไปที่พบ เราได้รับสองโซลูชันเฉพาะ ตัวแปรทั้งหมดแสดงที่นี่ผ่านตัวเดียว ตัวแปรอิสระ x 4 . คุณไม่จำเป็นต้องหักหัวของคุณ

ปล่อยให้เป็น x 4 = 0 แล้ว เป็นวิธีแก้ปัญหาเฉพาะอย่างแรก

ปล่อยให้เป็น x 4 = 1 แล้ว เป็นอีกวิธีหนึ่งโดยเฉพาะ

ตอบ:การตัดสินใจร่วมกัน: . โซลูชั่นส่วนตัว:

และ .

ตัวอย่างที่ 6:

หาคำตอบทั่วไปของระบบสมการเชิงเส้น

เราได้ตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาทั่วไปแล้ว คำตอบสามารถเชื่อถือได้ แนวทางปฏิบัติของคุณอาจแตกต่างไปจากแนวทางปฏิบัติของเรา สิ่งสำคัญคือการแก้ปัญหาทั่วไปตรงกัน อาจมีหลายคนสังเกตเห็นช่วงเวลาที่ไม่พึงประสงค์ในการแก้ปัญหา: บ่อยครั้งมากในระหว่างการย้อนกลับของวิธี Gauss เราต้องเล่นซอ เศษส่วนธรรมดา. ในทางปฏิบัติ นี่เป็นเรื่องจริง กรณีที่ไม่มีเศษส่วนพบได้น้อยกว่ามาก เตรียมพร้อมทางจิตใจและที่สำคัญที่สุดในทางเทคนิค

ให้เราพิจารณาคุณสมบัติของโซลูชันที่ไม่พบในตัวอย่างที่แก้ไขแล้ว วิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบบางครั้งอาจรวมถึงค่าคงที่ (หรือค่าคงที่)

ตัวอย่างเช่น วิธีแก้ปัญหาทั่วไป: ตัวแปรพื้นฐานตัวใดตัวหนึ่งมีค่าเท่ากับจำนวนคงที่: ไม่มีอะไรแปลกใหม่ในเรื่องนี้ มันเกิดขึ้น แน่นอน ในกรณีนี้ โซลูชันใด ๆ จะมีห้าในตำแหน่งแรก

ไม่ค่อยมี แต่มีระบบที่ จำนวนสมการมากกว่าจำนวนตัวแปร. อย่างไรก็ตาม วิธีเกาส์ทำงานภายใต้สภาวะที่รุนแรงที่สุด คุณควรนำเมทริกซ์แบบขยายของระบบไปเป็นแบบขั้นบันไดอย่างใจเย็นตามอัลกอริทึมมาตรฐาน ระบบดังกล่าวอาจไม่สอดคล้องกัน อาจมีวิธีแก้ปัญหามากมายนับไม่ถ้วน และผิดปกติพอ อาจมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เหมือนใคร

เราทำซ้ำในคำแนะนำของเรา - เพื่อให้รู้สึกสบายใจเมื่อต้องแก้ระบบโดยใช้วิธีเกาส์ คุณควรเติมมือและแก้ปัญหาอย่างน้อยสิบระบบ

โซลูชั่นและคำตอบ:

ตัวอย่างที่ 2:

การตัดสินใจ:ให้เราเขียนเมทริกซ์ขยายของระบบ และใช้การแปลงเบื้องต้น นำไปที่รูปแบบขั้น

ดำเนินการแปลงเบื้องต้น:

(1) เปลี่ยนบรรทัดแรกและบรรทัดที่สาม

(2) เพิ่มบรรทัดแรกในบรรทัดที่สอง คูณด้วย (-6) เพิ่มบรรทัดแรกในบรรทัดที่สาม คูณด้วย (-7)

(3) เพิ่มบรรทัดที่สองในบรรทัดที่สาม คูณด้วย (-1)

อันเป็นผลมาจากการแปลงเบื้องต้น สตริงของรูปแบบ, ที่ไหน λ ≠ 0 .ระบบจึงไม่สอดคล้องกันตอบ: ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 4:

การตัดสินใจ:เราเขียนเมทริกซ์ขยายของระบบ และใช้การแปลงเบื้องต้น นำไปที่รูปแบบขั้นตอน:

แปลงแล้ว:

(หนึ่ง). บรรทัดแรกคูณ 2 ถูกเพิ่มในบรรทัดที่สอง บรรทัดแรกคูณด้วย 3 ถูกเพิ่มในบรรทัดที่สาม

ไม่มีหน่วยสำหรับขั้นตอนที่สอง และการแปลง (2) มีวัตถุประสงค์เพื่อให้ได้มา

(2). เพิ่มบรรทัดที่สองในบรรทัดที่สาม คูณด้วย -3

(3). แถวที่สองและสามถูกสลับ (ผลลัพธ์ -1 ถูกย้ายไปยังขั้นตอนที่สอง)

(4). บรรทัดที่สองถูกเพิ่มในบรรทัดที่สาม คูณด้วย 3

(5). เครื่องหมายของสองบรรทัดแรกเปลี่ยนไป (คูณด้วย -1) บรรทัดที่สามหารด้วย 14

ย้อนกลับ:

(หนึ่ง). ที่นี่ เป็นตัวแปรพื้นฐาน (ซึ่งอยู่ในขั้นตอน) และ เป็นตัวแปรอิสระ (ที่ไม่ได้รับขั้นตอน)

(2). เราแสดงตัวแปรพื้นฐานในรูปของตัวแปรอิสระ:

จากสมการที่สาม: .

(3). พิจารณาสมการที่สอง:, โซลูชั่นเฉพาะ:

ตอบ: การตัดสินใจร่วมกัน:

ตัวเลขที่ซับซ้อน

ในส่วนนี้เราจะมาแนะนำแนวคิด จำนวนเชิงซ้อน, พิจารณา พีชคณิต, ตรีโกณมิติและ โชว์ฟอร์มจำนวนเชิงซ้อน. และยังเรียนรู้วิธีการดำเนินการกับจำนวนเชิงซ้อน: การบวก การลบ การคูณ การหาร การยกกำลัง และการแยกราก

ในการเป็นผู้เชี่ยวชาญเรื่องจำนวนเชิงซ้อน คุณไม่จำเป็นต้องมีความรู้พิเศษใดๆ จากวิชาคณิตศาสตร์ระดับอุดมศึกษา และสื่อการสอนก็มีให้แม้กระทั่งเด็กนักเรียน ก็เพียงพอที่จะดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตด้วยตัวเลข "ธรรมดา" และจำตรีโกณมิติได้

อันดับแรก ให้จำตัวเลข "ธรรมดา" ในทางคณิตศาสตร์เรียกว่า มากมาย ตัวเลขจริง และทำเครื่องหมายด้วยตัวอักษร อาร์หรือ R (หนา) จำนวนจริงทั้งหมดอยู่บนเส้นจำนวนที่คุ้นเคย:

กลุ่มของจำนวนจริงมีสีสันมาก - นี่คือจำนวนเต็มและเศษส่วน และ จำนวนอตรรกยะ. ในกรณีนี้ จุดแต่ละจุดของแกนตัวเลขจำเป็นต้องสอดคล้องกับจำนวนจริงบางจำนวน

• ระบบ มสมการเชิงเส้นด้วย นไม่ทราบ
  การแก้ระบบสมการเชิงเส้นเป็นชุดของตัวเลขดังกล่าว ( x 1 , x 2 , …, x น) แทนที่สมการใดสมการหนึ่งของระบบ จะได้ค่าความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง
  ที่ไหน ij , ผม = 1, …, ม.; เจ = 1, …, nคือสัมประสิทธิ์ของระบบ
  ข ผม ผม = 1, …, ม- สมาชิกฟรี
  x j , j = 1, …, n- ไม่ทราบ
  ระบบข้างต้นสามารถเขียนในรูปแบบเมทริกซ์: A X = B,
  
  
  
  
  ที่ไหน ( อา|บี) เป็นเมทริกซ์หลักของระบบ
  อา— เมทริกซ์ขยายของระบบ
  X— คอลัมน์ที่ไม่รู้จัก
  บีเป็นคอลัมน์ของสมาชิกอิสระ
  ถ้าเมทริกซ์ บีไม่ใช่เมทริกซ์ว่าง ∅ จากนั้นระบบสมการเชิงเส้นนี้เรียกว่าไม่เท่ากัน
  ถ้าเมทริกซ์ บี= ∅ จากนั้นระบบสมการเชิงเส้นนี้เรียกว่า เอกพันธ์ ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันมักจะมีวิธีแก้ปัญหาเป็นศูนย์ (ไม่สำคัญ): x 1 \u003d x 2 \u003d ..., x n \u003d 0.
  ระบบร่วมของสมการเชิงเส้นเป็นระบบสมการเชิงเส้นที่มีคำตอบ
  ระบบสมการเชิงเส้นไม่สอดคล้องกันเป็นระบบสมการเชิงเส้นที่ไม่มีคำตอบ
  ระบบสมการเชิงเส้นบางอย่างเป็นระบบสมการเชิงเส้นที่มีคำตอบเฉพาะ
  ระบบสมการเชิงเส้นไม่แน่นอนเป็นระบบสมการเชิงเส้นที่มีคำตอบเป็นอนันต์
• ระบบของ n สมการเชิงเส้นที่มี n ไม่ทราบค่า
  หากจำนวนไม่ทราบค่าเท่ากับจำนวนสมการ เมทริกซ์จะเป็นกำลังสอง ดีเทอร์มีแนนต์เมทริกซ์เรียกว่าดีเทอร์มีแนนต์หลักของระบบสมการเชิงเส้นและแสดงด้วยสัญลักษณ์ Δ
  วิธีแครมเมอร์สำหรับแก้ระบบ นสมการเชิงเส้นด้วย นไม่ทราบ
  กฎของแครมเมอร์
  ถ้าดีเทอร์มีแนนต์หลักของระบบสมการเชิงเส้นไม่ใช่ ศูนย์จากนั้นระบบจะมีความสอดคล้องและกำหนดไว้ และโซลูชันเฉพาะจะถูกคำนวณโดยสูตรของแครมเมอร์:
  โดยที่ Δ ผม คือดีเทอร์มีแนนต์ที่ได้จากดีเทอร์มีแนนต์หลักของระบบ Δ โดยการแทนที่ ฉันคอลัมน์ที่คอลัมน์ของสมาชิกอิสระ .
• ระบบของสมการเชิงเส้น m กับ n ไม่ทราบค่า
  ทฤษฎีบทโครเนคเกอร์-แคปเปลลี.
  
  
  เพื่อให้ระบบสมการเชิงเส้นนี้สอดคล้องกัน จำเป็นและเพียงพอที่อันดับของเมทริกซ์ของระบบจะเท่ากับอันดับของเมทริกซ์แบบขยายของระบบ อันดับ(Α) = อันดับ(Α|B).
  ถ้า รัง(Α) ≠ รัง(Α|B)เห็นได้ชัดว่าระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา
  ถ้า อันดับ(Α) = อันดับ(Α|B)เป็นไปได้สองกรณี:
  1) รัง(Α) = n(ตามจำนวนที่ไม่รู้จัก) - วิธีแก้ปัญหานั้นไม่ซ้ำกันและสามารถหาได้จากสูตรของแครมเมอร์
  2) อันดับ(Α)< n - มีวิธีแก้ปัญหามากมายนับไม่ถ้วน
• วิธีเกาส์สำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้น
  
  
  มาเขียนเมทริกซ์เสริม ( อา|บี) ของระบบสัมประสิทธิ์ที่กำหนดที่ด้านขวามือและไม่ทราบค่า
  วิธีเกาส์เซียนหรือวิธีกำจัดนิรนามประกอบด้วยการลดเมทริกซ์เสริม ( อา|บี) โดยใช้การแปลงเบื้องต้นเหนือแถวเป็นรูปแบบแนวทแยง (เป็นรูปสามเหลี่ยมบน) กลับไปที่ระบบสมการ ไม่ทราบทั้งหมดจะถูกกำหนด
  การแปลงเบื้องต้นของสตริงมีดังต่อไปนี้:
  1) สลับสองบรรทัด;
  2) การคูณสตริงด้วยตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ 0;
  3) เพิ่มสตริงอื่นคูณด้วยหมายเลขที่กำหนดเอง
  4) ละทิ้งสตริงว่าง
  เมทริกซ์แบบขยายที่ลดขนาดให้อยู่ในรูปแบบแนวทแยงสอดคล้องกับระบบเชิงเส้นตรงที่เทียบเท่ากับระบบที่ให้มา ซึ่งการแก้ปัญหาจะไม่ทำให้เกิดปัญหา .
• ระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธ์
  ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันมีรูปแบบ:
  
  มันสอดคล้องกับสมการเมทริกซ์ A X = 0.
  1) ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันมีความสอดคล้องกันเสมอ เนื่องจาก r(A) = r(A|B)มีคำตอบที่เป็นศูนย์เสมอ (0, 0, …, 0)
  2) เพื่อให้ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันมีสารละลายไม่เป็นศูนย์ มีความจำเป็นและเพียงพอที่ r = r(A)< n ซึ่งเทียบเท่ากับ Δ = 0
  3) ถ้า r< n , จากนั้น Δ = 0 จากนั้นจึงไม่มีค่าที่ไม่ทราบค่า c 1 , c 2 , …, c n-r, ระบบมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่สำคัญ และมีหลายวิธีแก้ปัญหา
  4) วิธีแก้ปัญหาทั่วไป Xที่ r< n สามารถเขียนในรูปเมทริกซ์ได้ดังนี้
  X \u003d c 1 X 1 + c 2 X 2 + ... + c n-r X n-r,
  ทางออกอยู่ที่ไหน X 1 , X 2 , …, X n-rสร้างระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา
  5) ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาสามารถหาได้จากวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน:
  
  ,
  หากเราถือว่าค่าของพารามิเตอร์เป็น (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1) ตามลำดับ
  การสลายตัวของสารละลายทั่วไปในแง่ของระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาเป็นบันทึกของวิธีแก้ปัญหาทั่วไปเป็นการรวมเชิงเส้นของโซลูชันที่เป็นของระบบพื้นฐาน
  ทฤษฎีบท. สำหรับระบบของสมการเอกพันธ์เชิงเส้นตรงให้มีคำตอบที่ไม่ใช่ศูนย์ จำเป็นและเพียงพอที่ Δ ≠ 0
  ดังนั้น ถ้าดีเทอร์มีแนนต์คือ Δ ≠ 0 ระบบก็มีคำตอบเฉพาะ
  ถ้า Δ ≠ 0 ระบบของสมการเอกพันธ์เชิงเส้นจะมีคำตอบเป็นอนันต์
  ทฤษฎีบท. เพื่อให้ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันมีสารละลายที่ไม่ใช่ศูนย์ จำเป็นและเพียงพอที่ ร(เอ)< n .
  การพิสูจน์:
  1) rไม่สามารถมากขึ้น น(อันดับเมทริกซ์ไม่เกินจำนวนคอลัมน์หรือแถว);
  2) r< n , เพราะ ถ้า r=nจากนั้นดีเทอร์มีแนนต์หลักของระบบ Δ ≠ 0 และตามสูตรของแครมเมอร์จะมีวิธีแก้ปัญหาเล็กน้อยที่ไม่เหมือนใคร x 1 \u003d x 2 \u003d ... \u003d x n \u003d 0ซึ่งขัดกับเงื่อนไข วิธี, ร(เอ)< n .
  ผลที่ตามมา. เพื่อให้ระบบเป็นเนื้อเดียวกัน นสมการเชิงเส้นด้วย นนิรนามมีคำตอบที่ไม่ใช่ศูนย์ จำเป็นและเพียงพอที่ Δ = 0

งานบริการ. เครื่องคิดเลขออนไลน์ออกแบบมาเพื่อศึกษาระบบสมการเชิงเส้น โดยปกติในสภาพของปัญหาจะต้องค้นหา วิธีแก้ปัญหาทั่วไปและเฉพาะของระบบ. เมื่อศึกษาระบบสมการเชิงเส้น ปัญหาต่อไปนี้จะได้รับการแก้ไข:

1. ไม่ว่าระบบจะทำงานร่วมกันหรือไม่
2. หากระบบมีความสอดคล้องก็จะมีความแน่นอนหรือไม่แน่นอน (เกณฑ์ของความเข้ากันได้ของระบบถูกกำหนดโดยทฤษฎีบท)
3. หากกำหนดระบบแล้ว จะหาวิธีแก้ไขเฉพาะได้อย่างไร (ใช้วิธี Cramer, วิธีเมทริกซ์ผกผัน หรือวิธี Jordan-Gauss)
4. ถ้าระบบไม่มีกำหนด แล้วจะอธิบายชุดของโซลูชันได้อย่างไร

การจำแนกระบบสมการเชิงเส้น

ระบบสมการเชิงเส้นตามอำเภอใจมีรูปแบบดังนี้
a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + ... + a 1 n x n = b 1
a 2 1 x 1 + a 2 2 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2
...................................................
a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ... + a m n x n = b m

1. ระบบสมการเอกพันธ์เชิงเส้น (จำนวนตัวแปรเท่ากับจำนวนสมการ m = n)
2. ระบบตามอำเภอใจของสมการเอกพันธ์เชิงเส้น (m > n หรือ m< n).

คำนิยาม. คำตอบของระบบคือชุดของตัวเลขใดๆ c 1 ,c 2 ,...,c n ซึ่งการแทนที่ลงในระบบแทนค่าที่ไม่ทราบที่สัมพันธ์กันจะเปลี่ยนสมการแต่ละส่วนของระบบให้เป็นเอกลักษณ์

คำนิยาม. สองระบบได้รับการกล่าวขานว่าเทียบเท่ากันหากวิธีแก้ปัญหาสำหรับระบบแรกคือวิธีแก้ปัญหาสำหรับระบบที่สองและในทางกลับกัน

คำนิยาม. ระบบที่มีทางออกอย่างน้อยหนึ่งวิธีเรียกว่า ข้อต่อ. ระบบที่ไม่มีวิธีแก้ปัญหาเรียกว่าไม่สอดคล้องกัน

คำนิยาม. ระบบที่มีโซลูชันเฉพาะเรียกว่า แน่นอนและมีมากกว่าหนึ่งวิธีแก้ไขไม่มีกำหนด

อัลกอริทึมสำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

1. ค้นหาอันดับของเมทริกซ์หลักและขยาย หากไม่เท่ากัน ตามทฤษฎีบท Kronecker-Capelli ระบบจะไม่สอดคล้องกัน และนี่คือจุดสิ้นสุดของการศึกษา
2. ให้ rank(A) = rank(B) . เราเลือกผู้เยาว์ขั้นพื้นฐาน ในกรณีนี้ ระบบสมการเชิงเส้นที่ไม่รู้จักทั้งหมดจะถูกแบ่งออกเป็นสองคลาส ค่าที่ไม่รู้จักซึ่งรวมอยู่ในค่าสัมประสิทธิ์พื้นฐานเรียกว่าขึ้นอยู่กับและค่าที่ไม่ทราบค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รวมอยู่ในค่ารองพื้นฐานจะเรียกว่าฟรี โปรดทราบว่าการเลือกสิ่งที่ไม่ทราบที่มาและอิสระนั้นไม่เหมือนกันเสมอไป
3. เราตัดสมการของระบบซึ่งสัมประสิทธิ์ไม่รวมอยู่ในค่าเล็กน้อยพื้นฐาน เนื่องจากเป็นผลที่ตามมาของส่วนที่เหลือ (ตามทฤษฎีบทรองพื้นฐาน)
4. เงื่อนไขของสมการที่มีสิ่งที่ไม่ทราบค่าอิสระจะถูกโอนไปทางด้านขวา เป็นผลให้เราได้ระบบสมการ r ที่มีค่า r ไม่ทราบค่า เทียบเท่ากับระบบที่ให้มา ดีเทอร์มีแนนต์แตกต่างจากศูนย์
5. ระบบผลลัพธ์ได้รับการแก้ไขด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งต่อไปนี้ วิธี Cramer วิธีเมทริกซ์ผกผัน หรือวิธี Jordan-Gauss พบความสัมพันธ์ที่แสดงตัวแปรตามในรูปของตัวแปรอิสระ

ระบบสมการเชิงเส้น m กับ n ไม่ทราบค่าเรียกว่าระบบของรูป

ที่ไหน ไอจและ ข ฉัน (ฉัน=1,…,ม; ข=1,…,น) เป็นตัวเลขที่รู้จักและ x 1 ,…,x น- ไม่ทราบ ในสัญกรณ์ของสัมประสิทธิ์ ไอจดัชนีแรก ฉันหมายถึงจำนวนของสมการและวินาที เจคือจำนวนที่ไม่รู้จักซึ่งสัมประสิทธิ์นี้อยู่

ค่าสัมประสิทธิ์ของนิรนามจะถูกเขียนในรูปของเมทริกซ์ ซึ่งเราจะเรียกว่า เมทริกซ์ระบบ.

ตัวเลขทางด้านขวาของสมการ b 1 ,…,b mเรียกว่า สมาชิกฟรี

รวม นตัวเลข ค 1 ,…,ค นเรียกว่า การตัดสินใจของระบบนี้ หากสมการของระบบแต่ละสมการกลายเป็นความเท่าเทียมกันหลังจากแทนค่าตัวเลขลงในระบบแล้ว ค 1 ,…,ค นแทนสิ่งแปลกปลอมที่เกี่ยวข้อง x 1 ,…,x น.

งานของเราคือหาแนวทางแก้ไขให้กับระบบ ในกรณีนี้ อาจเกิดสามสถานการณ์:

ระบบสมการเชิงเส้นที่มีคำตอบอย่างน้อยหนึ่งตัวเรียกว่า ข้อต่อ. มิฉะนั้น กล่าวคือ ถ้าระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหาก็เรียกว่า เข้ากันไม่ได้.

พิจารณาหาแนวทางแก้ไขระบบ

วิธีเมทริกซ์สำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

เมทริกซ์ทำให้สามารถเขียนระบบสมการเชิงเส้นสั้น ๆ ได้ ให้ระบบ 3 สมการที่มีสามไม่ทราบค่า:

พิจารณาเมทริกซ์ของระบบ และคอลัมน์เมทริกซ์ของสมาชิกที่ไม่รู้จักและฟรี

มาหาสินค้ากัน

เหล่านั้น. เป็นผลคูณของผลลัพธ์ เราได้ทางซ้ายมือของสมการของระบบนี้ จากนั้นใช้นิยามความเท่าเทียมกันของเมทริกซ์ ระบบนี้สามารถเขียนได้ในรูป

หรือสั้นกว่า อา∙X=B.

ที่นี่ เมทริกซ์ อาและ บีเป็นที่รู้จักและเมทริกซ์ Xไม่ทราบ เธอต้องหาให้เจอเพราะ องค์ประกอบของมันคือการแก้ปัญหาของระบบนี้ สมการนี้เรียกว่า สมการเมทริกซ์.

ให้ดีเทอร์มีแนนต์เมทริกซ์แตกต่างจากศูนย์ | อา| ≠ 0 จากนั้นสมการเมทริกซ์จะได้รับการแก้ไขดังนี้ คูณทั้งสองข้างของสมการทางด้านซ้ายด้วยเมทริกซ์ A-1, ผกผันของเมทริกซ์ อา: . ตราบเท่าที่ A -1 A = Eและ อี∙X=Xจากนั้นเราจะได้คำตอบของสมการเมทริกซ์ในรูปแบบ X = A -1 B .

สังเกตว่า เนื่องจากเมทริกซ์ผกผันหาได้เฉพาะเมทริกซ์กำลังสอง เมทริกซ์เมทริกซ์จึงสามารถแก้ระบบที่ จำนวนของสมการเท่ากับจำนวนที่ไม่ทราบค่า. อย่างไรก็ตาม สัญกรณ์เมทริกซ์ของระบบยังเป็นไปได้ในกรณีที่จำนวนสมการไม่เท่ากับจำนวนไม่ทราบค่าเมทริกซ์ อาไม่เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะหาคำตอบของระบบในรูปแบบ X = A -1 B.

ตัวอย่าง.แก้ระบบสมการ

กฎของแครมเมอร์

พิจารณาระบบสมการเชิงเส้น 3 สมการที่ไม่ทราบค่า 3 ค่า:

ดีเทอร์มีแนนต์อันดับสามที่สอดคล้องกับเมทริกซ์ของระบบ นั่นคือ ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ที่ไม่ทราบค่า

เรียกว่า ตัวกำหนดระบบ.

เราเขียนดีเทอร์มีแนนต์อีกสามตัวดังนี้: เราแทนที่คอลัมน์ 1, 2 และ 3 ตามลำดับในดีเทอร์มีแนนต์ D ด้วยคอลัมน์ของเทอมอิสระ

จากนั้นเราสามารถพิสูจน์ผลลัพธ์ต่อไปนี้ได้

ทฤษฎีบท (กฎของแครมเมอร์)หากดีเทอร์มีแนนต์ของระบบคือ Δ ≠ 0 ระบบที่พิจารณาจะมีคำตอบเดียวเท่านั้น และ

การพิสูจน์. ดังนั้น ให้พิจารณาระบบสมการ 3 ตัวที่มีสามไม่ทราบค่า คูณสมการที่ 1 ของระบบด้วยส่วนประกอบเกี่ยวกับพีชคณิต A 11องค์ประกอบ 11, สมการที่ 2 - on A21และที่ 3 - on เอ 31:

มาบวกสมการเหล่านี้กัน:

พิจารณาวงเล็บแต่ละอันและด้านขวาของสมการนี้ โดยทฤษฎีบทการขยายตัวของดีเทอร์มีแนนต์ในแง่ขององค์ประกอบของคอลัมน์ที่ 1

ในทำนองเดียวกัน สามารถแสดงให้เห็นได้ว่า และ

ในที่สุดก็เห็นได้ง่าย ๆ ว่า

ดังนั้นเราจึงได้รับความเท่าเทียมกัน: .

เพราะฉะนั้น, .

ความเท่าเทียมกันและได้รับมาในทำนองเดียวกันซึ่งการยืนยันของทฤษฎีบทดังต่อไปนี้

ดังนั้น เราสังเกตว่าถ้าดีเทอร์มีแนนต์ของระบบคือ Δ ≠ 0 ระบบจะมีโซลูชันเฉพาะและในทางกลับกัน หากดีเทอร์มีแนนต์ของระบบเท่ากับศูนย์ แสดงว่าระบบมีชุดของคำตอบที่ไม่มีที่สิ้นสุดหรือไม่มีคำตอบ กล่าวคือ เข้ากันไม่ได้

ตัวอย่าง.แก้ระบบสมการ

วิธีเกาส์

วิธีการที่พิจารณาก่อนหน้านี้สามารถใช้เพื่อแก้ปัญหาเฉพาะระบบที่มีจำนวนสมการตรงกับจำนวนไม่ทราบค่า และดีเทอร์มีแนนต์ของระบบต้องแตกต่างจากศูนย์ วิธีเกาส์เซียนมีความเป็นสากลมากกว่าและเหมาะสำหรับระบบที่มีสมการจำนวนเท่าใดก็ได้ ประกอบด้วยการกำจัดสิ่งแปลกปลอมออกจากสมการของระบบอย่างต่อเนื่อง

ลองพิจารณาระบบสมการสามสมการอีกครั้งโดยมีค่าไม่ทราบสามตัว:

.

เราปล่อยให้สมการแรกไม่เปลี่ยนแปลง และจากข้อที่ 2 และ 3 เราไม่รวมเงื่อนไขที่มี x 1. ในการทำเช่นนี้ เราหารสมการที่สองด้วย เอ 21 และคูณด้วย - เอ 11 แล้วบวกด้วยสมการที่ 1 ในทำนองเดียวกัน เราแบ่งสมการที่สามออกเป็น เอ 31 และคูณด้วย - เอ 11 แล้วบวกกับอันแรก เป็นผลให้ระบบเดิมจะอยู่ในรูปแบบ:

จากสมการที่แล้ว เราตัดพจน์ที่มี x2. เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้หารสมการที่สามด้วย คูณด้วย แล้วบวกลงในสมการที่สอง เราจะมีระบบสมการดังนี้

ดังนั้นจากสมการสุดท้ายจึงหาได้ง่าย x 3แล้วจากสมการที่ 2 x2และในที่สุดจากวันที่ 1 - x 1.

เมื่อใช้วิธีเกาส์เซียน สามารถสลับสมการได้หากจำเป็น

มักจะแทนที่จะเขียน ระบบใหม่สมการถูกจำกัดให้เขียนเมทริกซ์ขยายของระบบ:

แล้วนำมาเป็นรูปสามเหลี่ยมหรือแนวทแยงโดยใช้การแปลงเบื้องต้น

ถึง การแปลงร่างเบื้องต้นเมทริกซ์รวมถึงการแปลงต่อไปนี้:

1. การเปลี่ยนแปลงของแถวหรือคอลัมน์
2. การคูณสตริงด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์
3. เพิ่มไปยังบรรทัดอื่น

ตัวอย่าง:แก้ระบบสมการโดยใช้วิธีเกาส์

ดังนั้นระบบจึงมีวิธีแก้ปัญหามากมาย

ระบบสมการใช้กันอย่างแพร่หลายในอุตสาหกรรมเศรษฐศาสตร์ในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการต่างๆ ตัวอย่างเช่น เมื่อแก้ปัญหาการจัดการและการวางแผนการผลิต เส้นทางการขนส่ง (ปัญหาการขนส่ง) หรือการจัดวางอุปกรณ์

ระบบสมการไม่เพียงแต่ใช้ในสาขาคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังใช้ในสาขาฟิสิกส์ เคมี และชีววิทยาในการแก้ปัญหาการหาขนาดประชากรด้วย

ระบบสมการเชิงเส้นคือคำศัพท์สำหรับสมการตั้งแต่สองสมการขึ้นไปที่มีตัวแปรหลายตัวซึ่งจำเป็นต้องหาคำตอบร่วมกัน ลำดับของตัวเลขดังกล่าวซึ่งสมการทั้งหมดกลายเป็นความเท่าเทียมกันจริงหรือพิสูจน์ว่าไม่มีลำดับ

สมการเชิงเส้น

สมการของรูปแบบ ax+by=c เรียกว่าเส้นตรง การกำหนด x, y คือค่าที่ไม่ทราบค่าซึ่งจะต้องหาค่า b, a คือสัมประสิทธิ์ของตัวแปร, c คือพจน์ว่างของสมการ
การแก้สมการโดยพล็อตกราฟจะมีลักษณะเป็นเส้นตรง ซึ่งทุกจุดเป็นคำตอบของพหุนาม

ประเภทของระบบสมการเชิงเส้น

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปร X และ Y สองตัว

F1(x, y) = 0 และ F2(x, y) = 0 โดยที่ F1,2 เป็นฟังก์ชันและ (x, y) เป็นตัวแปรฟังก์ชัน

แก้ระบบสมการ - หมายถึงการหาค่าดังกล่าว (x, y) ที่ระบบกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริงหรือสร้างสิ่งนั้น ค่าที่เหมาะสม x และ y ไม่มีอยู่

ค่าคู่หนึ่ง (x, y) เขียนเป็นพิกัดจุด เรียกว่า คำตอบของระบบสมการเชิงเส้น

หากระบบมีวิธีแก้ปัญหาร่วมกันเพียงข้อเดียวหรือไม่มีวิธีแก้ปัญหาจะเรียกว่าเทียบเท่า

ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันของสมการเชิงเส้นคือระบบที่มีด้านขวาเท่ากับศูนย์ หากส่วนขวาหลังเครื่องหมาย "เท่ากับ" มีค่าหรือแสดงโดยฟังก์ชัน ระบบดังกล่าวจะไม่เท่ากัน

จำนวนของตัวแปรสามารถมีได้มากว่า 2 ตัว จากนั้นเราควรพูดถึงตัวอย่างของระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรตั้งแต่ 3 ตัวขึ้นไป

เมื่อต้องเผชิญกับระบบ เด็กนักเรียนคิดว่าจำนวนสมการต้องตรงกับจำนวนที่ไม่รู้จัก แต่ก็ไม่เป็นเช่นนั้น จำนวนของสมการในระบบไม่ได้ขึ้นอยู่กับตัวแปร อาจมีจำนวนมากตามอำเภอใจ

วิธีที่ง่ายและซับซ้อนในการแก้ระบบสมการ

ไม่มีวิธีการวิเคราะห์ทั่วไปในการแก้ปัญหาระบบดังกล่าว วิธีการทั้งหมดจะขึ้นอยู่กับการแก้ปัญหาเชิงตัวเลข หลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนอธิบายรายละเอียดวิธีการต่างๆ เช่น การเรียงสับเปลี่ยน การบวกพีชคณิต การแทนที่ ตลอดจนวิธีกราฟิกและเมทริกซ์ การแก้ปัญหาโดยวิธีเกาส์

งานหลักในการสอนวิธีแก้คือสอนวิธีวิเคราะห์ระบบให้ถูกต้องและหา อัลกอริทึมที่เหมาะสมที่สุดวิธีแก้ปัญหาสำหรับแต่ละตัวอย่าง สิ่งสำคัญไม่ใช่การจดจำระบบของกฎและการกระทำสำหรับแต่ละวิธี แต่เพื่อทำความเข้าใจหลักการของการใช้วิธีการเฉพาะ

การแก้ตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นของชั้น 7 ของโปรแกรม โรงเรียนมัธยมค่อนข้างง่ายและอธิบายอย่างละเอียด ในตำราเรียนคณิตศาสตร์ส่วนนี้ได้รับความสนใจเพียงพอ การแก้ปัญหาของตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นโดยวิธี Gauss และ Cramer มีการศึกษารายละเอียดเพิ่มเติมในหลักสูตรแรกของสถาบันอุดมศึกษา

การแก้ปัญหาของระบบโดยวิธีการทดแทน

การกระทำของวิธีการทดแทนมีวัตถุประสงค์เพื่อแสดงค่าของตัวแปรหนึ่งผ่านวินาที นิพจน์จะถูกแทนที่ในสมการที่เหลือ จากนั้นลดลงเป็นรูปแบบตัวแปรเดียว การกระทำซ้ำขึ้นอยู่กับจำนวนของสิ่งที่ไม่รู้จักในระบบ

ยกตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นของคลาส 7 โดยวิธีการแทนที่:

ดังที่เห็นจากตัวอย่าง ตัวแปร x ถูกแสดงผ่าน F(X) = 7 + Y นิพจน์ผลลัพธ์ แทนที่สมการที่ 2 ของระบบแทน X ช่วยให้ได้ตัวแปร Y หนึ่งตัวในสมการที่ 2 . การแก้ปัญหาของตัวอย่างนี้ไม่ทำให้เกิดปัญหาและช่วยให้คุณได้รับค่า Y ขั้นตอนสุดท้ายคือการตรวจสอบค่าที่ได้รับ

เป็นไปไม่ได้เสมอไปที่จะแก้ตัวอย่างของระบบสมการเชิงเส้นโดยการแทนที่ สมการอาจซับซ้อนและการแสดงออกของตัวแปรในแง่ของไม่ทราบลำดับที่สองจะยุ่งยากเกินไปสำหรับการคำนวณเพิ่มเติม เมื่อมีสิ่งที่ไม่รู้จักมากกว่า 3 รายการในระบบ วิธีแก้ปัญหาการแทนที่ก็ไม่สามารถทำได้เช่นกัน

คำตอบของตัวอย่างระบบสมการเอกพันธ์เชิงเส้น:

วิธีแก้ปัญหาโดยใช้การบวกพีชคณิต

เมื่อค้นหาคำตอบของระบบด้วยวิธีการบวก ให้บวกตามระยะและการคูณสมการด้วย ตัวเลขต่างๆ. เป้าหมายสูงสุดของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์คือสมการที่มีตัวแปรเดียว

การประยุกต์ใช้วิธีนี้ต้องอาศัยการฝึกฝนและการสังเกต การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีการบวกที่มีจำนวนตัวแปรตั้งแต่ 3 ตัวขึ้นไปไม่ใช่เรื่องง่าย การบวกพีชคณิตมีประโยชน์เมื่อสมการมีเศษส่วนและเลขทศนิยม

อัลกอริธึมการดำเนินการของโซลูชัน:

1. คูณทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนหนึ่ง ผลที่ตามมา การดำเนินการเลขคณิตหนึ่งในสัมประสิทธิ์ของตัวแปรต้องเท่ากับ 1
2. เพิ่มพจน์ของนิพจน์ที่เป็นผลลัพธ์ตามเทอมและค้นหาหนึ่งในค่าที่ไม่รู้จัก
3. แทนค่าผลลัพธ์ลงในสมการที่ 2 ของระบบเพื่อหาตัวแปรที่เหลือ

วิธีการแก้โดยแนะนำตัวแปรใหม่

ตัวแปรใหม่สามารถนำมาใช้ได้หากระบบต้องการหาคำตอบสำหรับสมการไม่เกินสองสมการ จำนวนไม่ทราบค่าไม่ควรเกินสองสมการ

วิธีการนี้ใช้เพื่อทำให้สมการใดสมการหนึ่งง่ายขึ้นโดยการแนะนำตัวแปรใหม่ สมการใหม่จะได้รับการแก้ไขโดยเทียบกับค่าที่ไม่รู้จักที่ป้อน และค่าผลลัพธ์จะถูกใช้เพื่อกำหนดตัวแปรดั้งเดิม

ตัวอย่างแสดงให้เห็นว่าโดยการแนะนำตัวแปรใหม่ t เป็นไปได้ที่จะลดสมการที่ 1 ของระบบเป็นมาตรฐาน ไตรนามสี่เหลี่ยม. คุณสามารถแก้พหุนามได้โดยการหา discriminant

จำเป็นต้องหาค่าของการเลือกปฏิบัติโดย สูตรที่รู้จักกันดี: D = b2 - 4*a*c โดยที่ D คือตัวจำแนกที่ต้องการ b, a, c คือตัวคูณของพหุนาม ในตัวอย่างที่กำหนด a=1, b=16, c=39 ดังนั้น D=100 หาก discriminant มีค่ามากกว่าศูนย์ แสดงว่ามีวิธีแก้ปัญหาสองทาง: t = -b±√D / 2*a หาก discriminant น้อยกว่าศูนย์ แสดงว่ามีวิธีแก้ปัญหาเดียวเท่านั้น: x= -b / 2*a

วิธีแก้ปัญหาสำหรับระบบผลลัพธ์นั้นพบได้โดยวิธีการเพิ่มเติม

วิธีการมองเห็นสำหรับการแก้ปัญหาระบบ

เหมาะสำหรับระบบที่มี 3 สมการ วิธีการประกอบด้วยการพล็อตกราฟของสมการแต่ละสมการที่รวมอยู่ในระบบบนแกนพิกัด พิกัดของจุดตัดของเส้นโค้งจะเป็นคำตอบทั่วไปของระบบ

วิธีกราฟิกมีความแตกต่างกันหลายประการ ลองพิจารณาตัวอย่างการแก้ระบบสมการเชิงเส้นหลายแบบด้วยภาพ

ดังที่เห็นจากตัวอย่าง แต่ละจุดถูกสร้างขึ้นสองจุด ค่าของตัวแปร x ถูกเลือกโดยพลการ: 0 และ 3 ตามค่าของ x พบค่าสำหรับ y: 3 และ 0 จุดที่มีพิกัด (0, 3) และ (3, 0) ถูกทำเครื่องหมายบนกราฟและเชื่อมต่อด้วยเส้น

ต้องทำซ้ำขั้นตอนสำหรับสมการที่สอง จุดตัดของเส้นคือคำตอบของระบบ

ในตัวอย่างต่อไปนี้ จำเป็นต้องค้นหาคำตอบแบบกราฟิกของระบบสมการเชิงเส้น: 0.5x-y+2=0 และ 0.5x-y-1=0

ดังจะเห็นได้จากตัวอย่าง ระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา เนื่องจากกราฟขนานกันและไม่ตัดกันตามความยาวทั้งหมด

ระบบจากตัวอย่างที่ 2 และ 3 มีความคล้ายคลึงกัน แต่เมื่อสร้างแล้ว จะเห็นได้ชัดว่าวิธีแก้ปัญหาต่างกัน ควรจำไว้ว่าเป็นไปไม่ได้เสมอที่จะบอกว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาหรือไม่ จำเป็นต้องสร้างกราฟเสมอ

เมทริกซ์และความหลากหลายของมัน

เมทริกซ์ใช้เพื่อเขียนระบบสมการเชิงเส้นโดยสังเขป เมทริกซ์คือตารางชนิดพิเศษที่เต็มไปด้วยตัวเลข n*m มี n - แถวและ m - คอลัมน์

เมทริกซ์เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสเมื่อจำนวนคอลัมน์และแถวเท่ากัน เมทริกซ์-เวกเตอร์คือเมทริกซ์แบบคอลัมน์เดียวที่มีจำนวนแถวที่เป็นไปได้อย่างไม่จำกัด เมทริกซ์ที่มีหน่วยตามเส้นทแยงมุมและองค์ประกอบศูนย์อื่นๆ เรียกว่า เอกลักษณ์

เมทริกซ์ผกผันคือเมทริกซ์ดังกล่าว เมื่อคูณโดยที่เมทริกซ์เดิมกลายเป็นหน่วยหนึ่ง เมทริกซ์ดังกล่าวจะมีอยู่สำหรับสแควร์หนึ่งดั้งเดิมเท่านั้น

กฎการเปลี่ยนระบบสมการเป็นเมทริกซ์

สำหรับระบบของสมการ สัมประสิทธิ์และสมาชิกอิสระของสมการเขียนเป็นตัวเลขของเมทริกซ์ สมการหนึ่งคือหนึ่งแถวของเมทริกซ์

แถวเมทริกซ์จะเรียกว่าไม่เป็นศูนย์ ถ้าอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบของแถวไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้น หากจำนวนตัวแปรต่างกันในสมการใด ๆ ก็จำเป็นต้องป้อนศูนย์แทนค่าที่ไม่ทราบค่าที่หายไป

คอลัมน์ของเมทริกซ์ต้องสอดคล้องกับตัวแปรอย่างเคร่งครัด ซึ่งหมายความว่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x สามารถเขียนได้ในคอลัมน์เดียวเท่านั้น ตัวอย่างเช่น คอลัมน์แรก ค่าสัมประสิทธิ์ของ y ที่ไม่รู้จัก - เฉพาะในคอลัมน์ที่สอง

เมื่อคูณเมทริกซ์ องค์ประกอบเมทริกซ์ทั้งหมดจะถูกคูณตามลำดับด้วยตัวเลข

ตัวเลือกในการหาเมทริกซ์ผกผัน

สูตรในการหาเมทริกซ์ผกผันนั้นค่อนข้างง่าย: K -1 = 1 / |K| โดยที่ K -1 คือเมทริกซ์ผกผันและ |K| - ดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์ |K| จะต้องไม่เท่ากับศูนย์ จากนั้นระบบจะมีวิธีแก้ปัญหา

ดีเทอร์มีแนนต์คำนวณได้ง่ายสำหรับเมทริกซ์ขนาด 2 คูณ 2 จำเป็นต้องคูณองค์ประกอบในแนวทแยงเข้าหากันเท่านั้น สำหรับตัวเลือก "สามคูณสาม" มีสูตร |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . คุณสามารถใช้สูตร หรือจำไว้ว่าคุณต้องนำองค์ประกอบหนึ่งรายการจากแต่ละแถวและแต่ละคอลัมน์ เพื่อไม่ให้หมายเลขคอลัมน์และแถวขององค์ประกอบซ้ำกันในผลิตภัณฑ์

คำตอบของตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นโดยวิธีเมทริกซ์

วิธีเมทริกซ์ในการค้นหาวิธีแก้ปัญหาทำให้สามารถลดสัญลักษณ์ที่ยุ่งยากเมื่อแก้ระบบด้วย ปริมาณมากตัวแปรและสมการ

ในตัวอย่าง nm คือสัมประสิทธิ์ของสมการ เมทริกซ์คือเวกเตอร์ x n คือตัวแปร และ b n คือพจน์อิสระ

การแก้ปัญหาระบบด้วยวิธีเกาส์

ในคณิตศาสตร์ชั้นสูง วิธีเกาส์ได้รับการศึกษาร่วมกับวิธีแครมเมอร์ และกระบวนการในการหาคำตอบของระบบเรียกว่าวิธีแก้เกาส์-แครมเมอร์ วิธีการเหล่านี้ใช้เพื่อค้นหาตัวแปรของระบบที่มีสมการเชิงเส้นจำนวนมาก

วิธีเกาส์เซียนคล้ายกันมากกับการแทนที่และการบวกพีชคณิต แต่เป็นระบบมากกว่า ในหลักสูตรของโรงเรียน สารละลายเกาส์เซียนใช้สำหรับระบบสมการ 3 และ 4 วัตถุประสงค์ของวิธีนี้คือเพื่อให้ระบบอยู่ในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูคว่ำ โดยการแปลงและการแทนที่เชิงพีชคณิต ค่าของตัวแปรหนึ่งจะพบได้ในสมการใดสมการหนึ่งของระบบ สมการที่สองคือนิพจน์ที่มี 2 นิรนาม และ 3 และ 4 - พร้อมตัวแปร 3 และ 4 ตามลำดับ

หลังจากนำระบบไปสู่รูปแบบที่อธิบายไว้แล้ว วิธีแก้ปัญหาเพิ่มเติมจะลดลงเป็นการแทนที่ตามลำดับของตัวแปรที่ทราบในสมการของระบบ

ในหนังสือเรียนของโรงเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ตัวอย่างของวิธีแก้ปัญหาแบบเกาส์เซียนอธิบายไว้ดังนี้:

ดังจะเห็นได้จากตัวอย่าง ในขั้นตอนที่ (3) จะได้สมการสองสมการ 3x 3 -2x 4 =11 และ 3x 3 +2x 4 =7 การแก้สมการใดๆ จะทำให้คุณสามารถหาตัวแปร x n ตัวใดตัวหนึ่งได้

ทฤษฎีบท 5 ซึ่งกล่าวถึงในข้อความกล่าวว่าหากสมการใดสมการหนึ่งของระบบถูกแทนที่ด้วยสมการที่เท่ากัน ระบบที่ได้ก็จะเทียบเท่ากับสมการเดิมด้วย

วิธีเกาส์นั้นยากสำหรับนักเรียนที่จะเข้าใจ มัธยมแต่เป็นหนึ่งในที่สุด วิธีที่น่าสนใจเพื่อพัฒนาความเฉลียวฉลาดของเด็กที่ลงทะเบียนเรียนในวิชาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์เชิงลึก

เพื่อความสะดวกในการบันทึกการคำนวณ ให้ทำดังนี้

สัมประสิทธิ์สมการและพจน์อิสระเขียนในรูปแบบของเมทริกซ์ โดยที่แต่ละแถวของเมทริกซ์จะสอดคล้องกับหนึ่งในสมการของระบบ แยกด้านซ้ายของสมการออกจากด้านขวา เลขโรมันแสดงถึงจำนวนสมการในระบบ

อย่างแรก พวกเขาเขียนเมทริกซ์ที่จะใช้ทำงาน จากนั้นจึงดำเนินการทั้งหมดโดยใช้แถวใดแถวหนึ่ง เมทริกซ์ผลลัพธ์จะถูกเขียนหลังเครื่องหมาย "ลูกศร" และดำเนินการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตที่จำเป็นต่อไปจนกว่าจะได้ผลลัพธ์

เป็นผลให้ควรได้เมทริกซ์โดยที่หนึ่งในเส้นทแยงมุมคือ 1 และสัมประสิทธิ์อื่น ๆ ทั้งหมดเท่ากับศูนย์นั่นคือเมทริกซ์จะลดลงเป็นรูปแบบเดียว เราต้องไม่ลืมทำการคำนวณด้วยตัวเลขทั้งสองข้างของสมการ

สัญกรณ์นี้มีความยุ่งยากน้อยกว่าและช่วยให้คุณไม่ต้องฟุ้งซ่านด้วยการแสดงรายการที่ไม่รู้จักมากมาย

แอปพลิเคชันฟรีของวิธีการแก้ปัญหาใด ๆ จะต้องได้รับการดูแลและประสบการณ์จำนวนหนึ่ง ไม่ได้ใช้วิธีการทั้งหมด บางวิธีในการค้นหาวิธีแก้ปัญหานั้นเป็นที่นิยมมากกว่าในกิจกรรมของมนุษย์โดยเฉพาะ ในขณะที่วิธีอื่นๆ มีไว้เพื่อการเรียนรู้