หัวข้อบทเรียน: การดำเนินการเลขคณิตในระบบเลขตำแหน่ง

เกรด 9

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

การสอน: แนะนำนักเรียนให้รู้จักการบวก การลบ การคูณ และการหารในระบบเลขฐานสอง และดำเนินการฝึกทักษะเบื้องต้นในการดำเนินการเหล่านี้

เกี่ยวกับการศึกษา: เพื่อพัฒนาความสนใจของนักเรียนในการเรียนรู้สิ่งใหม่ ๆ เพื่อแสดงความเป็นไปได้ของวิธีการคำนวณที่ไม่ได้มาตรฐาน

กำลังพัฒนา: พัฒนาความสนใจความเข้มงวดในการคิดความสามารถในการให้เหตุผล

โครงสร้างบทเรียน

ออร์กโมเมนต์ -1 นาที.

ตรวจการบ้านด้วยข้อสอบปากเปล่า -15 นาที.

การบ้าน -2 นาที.

การแก้ปัญหาด้วยการวิเคราะห์พร้อมกันและการพัฒนาวัสดุอย่างอิสระ -25 นาที

สรุปบทเรียน -2 นาที.

ระหว่างเรียน

ช่วงเวลาขององค์กร

ตรวจการบ้าน (แบบทดสอบปากเปล่า) .

ครูอ่านคำถามตามลำดับ นักเรียนตั้งใจฟังคำถามโดยไม่เขียนลงไป มีเพียงคำตอบเท่านั้นที่บันทึกไว้และสั้นมาก (หากตอบได้เพียงคำเดียว ให้บันทึกเฉพาะคำนี้)

ระบบตัวเลขคืออะไร? (-นี่คือระบบสัญญาณที่ตัวเลขถูกเขียนตามกฎบางอย่างโดยใช้อักขระของตัวอักษรบางตัวที่เรียกว่าตัวเลข )

คุณรู้จักระบบตัวเลขอะไรบ้าง?( ไม่ใช่ตำแหน่งและตำแหน่ง )

ระบบใดที่เรียกว่าไม่มีตำแหน่ง? (SCH เรียกว่า non-positional หากปริมาณเทียบเท่า (ค่าเชิงปริมาณ) ของตัวเลขในตัวเลขไม่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งในสัญกรณ์ของตัวเลข ).

ฐานของ SSC ตำแหน่งคืออะไร (เท่ากับจำนวนหลักที่ประกอบเป็นตัวอักษร )

ควรใช้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์แบบใดในการแปลงจำนวนเต็มจาก NSC ทศนิยมไปเป็นอย่างอื่น (แผนก )

ต้องทำอะไรเพื่อแปลงตัวเลขจากทศนิยมเป็นเลขฐานสอง (หารด้วย 2 . อย่างสม่ำเสมอ )

จำนวน 11.1 จะลดลงกี่ครั้ง 2 เมื่อย้ายเครื่องหมายจุลภาคไปทางซ้ายหนึ่งอักขระ? (2 ครั้ง )

ตอนนี้เรามาฟังบทกวีเกี่ยวกับผู้หญิงที่ไม่ธรรมดาและตอบคำถาม (ฟังดูเหมือนประโยค )

สาววิสามัญ

นางอายุหนึ่งพันร้อยปี
เธอไปชั้นหนึ่งร้อยและเฟิร์สคลาส
ฉันพกหนังสือร้อยเล่มไว้ในแฟ้มสะสมผลงาน
ทั้งหมดนี้เป็นความจริงไม่ใช่เรื่องไร้สาระ

เมื่อปัดฝุ่นด้วยสิบฟุต
เธอเดินไปตามถนน
เธอมักจะตามด้วยลูกสุนัข
มีหางเดียวแต่ร้อยขา

เธอจับทุกเสียง
มีสิบหู
และสิบมือสีแทน
พวกเขาถือกระเป๋าเอกสารและสายจูง

และดวงตาสีน้ำเงินเข้มสิบดวง
ถือว่าโลกเป็นนิสัย,
แต่ทุกอย่างจะค่อนข้างปกติ
เมื่อคุณเข้าใจเรื่องราวของฉัน

/ N. Starikov /

แล้วผู้หญิงคนนั้นอายุเท่าไหร่? (12 ปี ) เธอเรียนวิชาอะไร (ป.5 ) เธอมีแขนและขากี่อัน? (2แขน2ขา ) ลูกสุนัขมี 100 ขาอย่างไร? (4 อุ้งเท้า )

หลังจากเสร็จสิ้นการทดสอบ นักเรียนจะออกเสียงคำตอบด้วยตนเอง การตรวจสอบตนเองจะดำเนินการและนักเรียนให้คะแนนตนเอง

เกณฑ์:

10 คำตอบที่ถูกต้อง (อาจเป็นข้อบกพร่องเล็กน้อย) - “5”;

9 หรือ 8 - "4";

7, 6 – “3”;

ที่เหลือคือ “2”

ครั้งที่สอง การบ้าน (2 นาที)

10111 2 - 1011 2 = ? ( 1100 2 )
10111 2 + 1011 2 = ? ( 100010 2 )
10111 2 * 1011 2 = ? ( 11111101 2 ))

สาม. ทำงานกับวัสดุใหม่

การดำเนินการเลขคณิตในระบบเลขฐานสอง

เลขคณิตของระบบเลขฐานสองขึ้นอยู่กับการใช้ตารางการบวก การลบ และการคูณตัวเลข ตัวถูกดำเนินการทางคณิตศาสตร์จะอยู่ที่แถวบนสุดและในคอลัมน์แรกของตาราง และผลลัพธ์จะอยู่ที่จุดตัดของคอลัมน์และแถว:

0

1

1

1

ส่วนที่เพิ่มเข้าไป.

ตารางบวกเลขฐานสองนั้นง่ายมาก ในกรณีเดียวเท่านั้น เมื่อทำการบวก 1 + 1 การถ่ายโอนไปยังบิตที่สำคัญที่สุดจะเกิดขึ้น

1001 + 1010 = 10011

1101 + 1011 = 11000

11111 + 1 = 100000

1010011,111 + 11001,11 = 1101101,101

10111 2 + 1001 2 = ? (100000 2 )

การลบ

เมื่อทำการลบ ตัวเลขที่น้อยกว่าจะถูกลบออกจากจำนวนที่มากกว่าด้วยค่าสัมบูรณ์เสมอ และจะมีการใส่เครื่องหมายที่สอดคล้องกัน ในตารางการลบ 1 ที่มีแท่งหมายถึงเงินกู้ที่มีคำสั่งซื้อสูง 10111001,1 – 10001101,1 = 101100,0

101011111 – 110101101 = – 1001110

100000 2 - 10111 2 = ? (1001 2 )

การคูณ

การดำเนินการคูณจะดำเนินการโดยใช้ตารางสูตรคูณตามรูปแบบปกติที่ใช้ในระบบเลขฐานสิบโดยมีการคูณตัวคูณแบบต่อเนื่องด้วยตัวเลขถัดไปของตัวคูณ 11001 * 1101 = 101000101

11001,01 * 11,01 = 1010010,0001

การคูณจะลดลงเป็นกะของตัวคูณและการบวก

111 2 * 11 2 = ? (10101 2 )

V. สรุปบทเรียน

บัตรสำหรับการทำงานเพิ่มเติมของนักเรียน

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์:

ก) 1110 2 + 1001 2 = ? (10111 2 ); 1101 2 + 110 2 = ? (10011 2 );

10101 2 + 1101 2 = ? (100010 2 ); 1011 2 + 101 2 = ? (10000 2 );

101 2 + 11 2 = ? (1000 2 ); 1101 2 + 111 2 = ? (10100 2 );

ข) 1110 2 - 1001 2 = ? (101); 10011 2 - 101 2 = ? (1110 2 );

ส่วนที่เพิ่มเข้าไป. การเพิ่มตัวเลขในระบบเลขฐานสองจะขึ้นอยู่กับตารางการบวกเลขฐานสองหลักเดียว (ตารางที่ 6)

สิ่งสำคัญคือต้องใส่ใจกับความจริงที่ว่าเมื่อเพิ่มสองหน่วยการโอนจะถูกโอนไปยังตัวเลขสูงสุด สิ่งนี้เกิดขึ้นเมื่อค่าของตัวเลขเท่ากับหรือมากกว่าฐานของระบบตัวเลข

การเพิ่มเลขฐานสองหลายหลักจะดำเนินการตามตารางการบวกด้านบน โดยคำนึงถึงการถ่ายโอนที่เป็นไปได้จากตัวเลขที่ต่ำกว่าไปยังตัวเลขที่สูงกว่า ตัวอย่างเช่น ลองเพิ่มเลขฐานสองในคอลัมน์:

ตรวจสอบความถูกต้องของการคำนวณโดยการบวกในระบบเลขฐานสิบ มาแปลงเลขฐานสองเป็นระบบเลขฐานสิบแล้วบวกกัน:

การลบ การลบเลขฐานสองขึ้นอยู่กับตารางการลบเลขฐานสองหลักเดียว (ตารางที่ 7)

เมื่อลบออกจากจำนวนที่น้อยกว่า (0) ตัวเลขที่มากกว่า (1) เงินกู้จะทำจากลำดับสูงสุด ในตาราง เงินกู้จะแสดงด้วย 1 พร้อมแถบ

การลบเลขฐานสองหลายหลักดำเนินการตามตารางนี้ โดยคำนึงถึงการกู้ยืมที่เป็นไปได้ในตัวเลขที่มีลำดับสูง

ตัวอย่างเช่น ลองลบเลขฐานสอง:

การคูณ การคูณขึ้นอยู่กับตารางการคูณของเลขฐานสองหลักเดียว (ตารางที่ 8)

การคูณเลขฐานสองหลายหลักจะดำเนินการตามตารางการคูณนี้ตามรูปแบบปกติที่ใช้ในระบบเลขฐานสิบ โดยจะมีการคูณตัวคูณแบบต่อเนื่องด้วยตัวคูณหลักถัดไปของตัวคูณ พิจารณาตัวอย่างของการคูณเลขฐานสอง

หมายเหตุ: เมื่อบวกตัวเลขสองตัวที่เท่ากับ 1 จะได้ 0 ในหลักนี้ และหลักที่ 1 จะถูกโอนไปยังหลักที่มีนัยสำคัญที่สุด

ตัวอย่าง_21: ให้หมายเลข 101 (2) และ 11 (2) หาผลรวมของตัวเลขเหล่านี้

โดยที่ 101 (2) = 5 (10) , 11 (2) = 3 (10) , 1000 (2) = 8 (10) .

ตรวจสอบ: 5+3=8

เมื่อลบหนึ่งจาก 0 หน่วยจะถูกนำมาจากหลักสูงสุดที่ใกล้ที่สุดซึ่งแตกต่างจาก 0 ในขณะเดียวกันหน่วยที่อยู่ในหลักสูงสุดจะให้ 2 หน่วยในหลักที่มีความสำคัญน้อยที่สุดและหนึ่งในหลักทั้งหมดระหว่างสูงสุด และต่ำสุด

ตัวอย่าง_22: ให้หมายเลข 101 (2) และ 11 (2) ค้นหาความแตกต่างระหว่างตัวเลขเหล่านี้

โดยที่ 101 (2) =5 (10) , 11 (2) =3 (10) , 10 (2) =2 (10) .

ตรวจสอบ: 5-3=2

การดำเนินการคูณจะลดลงเป็นกะและบวกซ้ำ

ตัวอย่าง_23: ให้หมายเลข 11 (2) และ 10 (2) ค้นหาผลคูณของตัวเลขเหล่านี้

โดยที่ 11 (2) =3 (10) , 10 (2) =2 (10) , 110 (2) =6 (10) .

ตรวจสอบ: 3*2=6

การดำเนินการเลขคณิตในระบบเลขฐานแปด

เมื่อบวกตัวเลขสองตัวผลรวมเท่ากับ 8 ในหมวดหมู่นี้จะได้รับ 0 และอันดับที่ 1 จะถูกโอนไปยังลำดับสูงสุด

ตัวอย่าง_24: ให้หมายเลข 165 (8) และ 13 (8) หาผลรวมของตัวเลขเหล่านี้

โดยที่ 165 (8) = 117 (10) , 13 (8) = 11 (10) , 200 (8) = 128 (10) .

เมื่อลบจำนวนที่มากกว่าออกจากจำนวนที่น้อยกว่า หน่วยจะถูกนำมาจากหลักสูงสุดที่ใกล้ที่สุดซึ่งต่างจาก 0 ในขณะเดียวกัน หน่วยที่อยู่ในหลักสูงสุดจะให้ 8 ในหลักที่มีนัยสำคัญน้อยที่สุด

ตัวอย่าง_25: ให้หมายเลข 114 (8) และ 15 (8) ค้นหาความแตกต่างระหว่างตัวเลขเหล่านี้

โดยที่ 114 (8) =76 (10) , 15 (8) =13 (10) , 77 (8) =63 (10) .

การดำเนินการเลขคณิตในระบบเลขฐานสิบหก

เมื่อบวกสองตัวเลข รวมเป็น 16, 0 จะถูกเขียนในหมวดนี้ และ 1 จะถูกโอนไปยังลำดับสูงสุด

ตัวอย่าง_26: ให้หมายเลข 1B5 (16) และ 53 (16) หาผลรวมของตัวเลขเหล่านี้

โดยที่ 1B5 (16) = 437 (10) , 53 (16) = 83 (10) , 208 (16) = 520 (10) .

เมื่อลบจำนวนที่มากกว่าออกจากจำนวนที่น้อยกว่า หน่วยจะถูกนำมาจากหลักสูงสุดที่ใกล้ที่สุดอื่นที่ไม่ใช่ 0 ในขณะเดียวกันหน่วยที่อยู่ในหลักสูงสุดจะให้ 16 ในหลักที่มีนัยสำคัญน้อยที่สุด

ตัวอย่าง_27: ให้หมายเลข 11A (16) และ 2C (16) ค้นหาความแตกต่างระหว่างตัวเลขเหล่านี้

โดยที่ 11A (16) =282 (10) , 2C (16) =44 (10) , EE (16) =238 (10) .

การเข้ารหัสข้อมูลคอมพิวเตอร์

ข้อมูลในคอมพิวเตอร์แสดงเป็นรหัส ซึ่งประกอบด้วยหนึ่งและศูนย์ในลำดับที่ต่างกัน

รหัส– ชุดสัญลักษณ์สำหรับนำเสนอข้อมูล การเข้ารหัสเป็นกระบวนการนำเสนอข้อมูลในรูปแบบของรหัส

รหัสตัวเลข

เมื่อดำเนินการคำนวณทางคณิตศาสตร์ในคอมพิวเตอร์จะใช้ โดยตรงย้อนกลับ และ เพิ่มเติม รหัสตัวเลข

รหัสตรง

ตรงรหัส (การแสดงในรูปของค่าสัมบูรณ์พร้อมเครื่องหมาย) ของเลขฐานสองคือเลขฐานสองเอง โดยที่ตัวเลขทั้งหมดที่แทนค่าของมันจะถูกเขียนเป็นสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ และเครื่องหมายของตัวเลขนั้นเขียนเป็น เลขฐานสอง.

จำนวนเต็มสามารถแสดงในคอมพิวเตอร์ที่มีหรือไม่มีเครื่องหมาย

จำนวนเต็มที่ไม่ได้ลงนามมักจะใช้หน่วยความจำหนึ่งหรือสองไบต์ ในการจัดเก็บจำนวนเต็มที่ลงนาม จะมีการจัดสรรหนึ่ง สอง หรือสี่ไบต์ ในขณะที่บิตที่สำคัญที่สุด (ซ้ายสุด) จะได้รับการจัดสรรภายใต้เครื่องหมายของตัวเลข หากตัวเลขเป็นบวก ค่า 0 จะถูกเขียนลงในบิตนี้ หากเป็นค่าลบ ให้เท่ากับ 1

ตัวอย่าง_28:

1 (10) =0 000 0001 (2) , -1 (10) =1 000 0001 (2)

ตัวเลขที่เป็นบวกในคอมพิวเตอร์จะแสดงโดยใช้รหัสโดยตรงเสมอ รหัสตรงของหมายเลขตรงกับการป้อนหมายเลขในเซลล์ของเครื่องอย่างสมบูรณ์ รหัสตรงของจำนวนลบแตกต่างจากรหัสตรงของจำนวนบวกที่สอดคล้องกันเฉพาะในเนื้อหาของบิตเครื่องหมาย

รหัสตรงจะใช้เมื่อเก็บตัวเลขในหน่วยความจำคอมพิวเตอร์เช่นเดียวกับเมื่อทำการคูณและหาร แต่รูปแบบสำหรับการแสดงตัวเลขในรหัสโดยตรงนั้นไม่สะดวกสำหรับใช้ในการคำนวณเนื่องจากการบวกและการลบของตัวเลขบวกและลบ แตกต่างกัน ดังนั้นจึงจำเป็นต้องวิเคราะห์บิตตัวถูกดำเนินการของเครื่องหมาย ดังนั้น โค้ดตรงจึงไม่ถูกใช้จริงเมื่อดำเนินการคำนวณทางคณิตศาสตร์กับจำนวนเต็มใน ALU แต่จำนวนเต็มลบจะไม่แสดงในคอมพิวเตอร์ด้วยรหัสโดยตรง แทนที่จะใช้รูปแบบนี้ รูปแบบสำหรับการแสดงตัวเลขแบบย้อนกลับและโค้ดเพิ่มเติมได้กลายเป็นที่แพร่หลาย

รหัสย้อนกลับ

รหัสย้อนกลับของจำนวนบวกตรงกับจำนวนโดยตรง และเมื่อเขียนจำนวนลบ ตัวเลขทั้งหมดยกเว้นหลักที่แทนเครื่องหมายของตัวเลข จะถูกแทนที่ด้วยตัวเลขตรงข้าม (0 แทนที่ด้วย 1 และ 1 แทนที่ด้วย 0 ).

ตัวอย่าง_29:

ตัวอย่าง_30:

ในการเรียกคืนรหัสตรงของตัวเลขติดลบจากรหัสย้อนกลับ จะต้องแทนที่ตัวเลขทั้งหมด ยกเว้นตัวเลขที่แสดงเครื่องหมายของตัวเลขด้วยตัวเลขตรงข้าม

รหัสเพิ่มเติม

รหัสเพิ่มเติมของจำนวนบวกตรงกับจำนวนโดยตรง และรหัสของจำนวนลบจะเกิดขึ้นโดยการเพิ่ม 1 ลงในโค้ดผกผัน

ตัวอย่าง_31:

ตัวอย่าง_32:

ตัวอย่าง_33:

สำหรับจำนวนเต็ม -32 (10) ให้เขียนโค้ดเพิ่มเติม

1. หลังจากแปลงเลข 32 (10) เป็นระบบเลขฐานสองแล้ว เราจะได้:

32 (10) =100000 (2) .

2. รหัสตรงสำหรับจำนวนบวก 32 (10) คือ 0010 0000

3. สำหรับจำนวนลบ -32 (10) รหัสตรงคือ 1010 0000

4. รหัสย้อนกลับของหมายเลข -32 (10) คือ 1101 1111

5. รหัสเพิ่มเติมของหมายเลข -32 (10) คือ 1110 0000

ตัวอย่าง_34:

รหัสเพิ่มเติมของตัวเลขคือ 0011 1011 ค้นหาค่าของตัวเลขในรูปแบบทศนิยม

1. หลักแรก (เครื่องหมาย) ของตัวเลข 0 011 1011 คือ 0 ดังนั้นตัวเลขจึงเป็นบวก

2. สำหรับจำนวนบวก รหัสเพิ่มเติม ผกผัน และโดยตรงจะเหมือนกัน

3. ตัวเลขในระบบเลขฐานสองได้มาจากบันทึกของรหัสตรง - 111011 (2) (เราทิ้งศูนย์จากตัวเลขสูงสุด)

4. จำนวน 111011 (2) หลังจากแปลงเป็นระบบเลขฐานสิบแล้วคือ 59 (10)

ตัวอย่าง_35:

รหัสเพิ่มเติมของตัวเลขคือ 1011 1011 ค้นหาค่าของตัวเลขในรูปแบบทศนิยม

1. ลงชื่อหลักของตัวเลข 1 011 1011 คือ 1 ดังนั้นตัวเลขจึงเป็นลบ

2. ในการกำหนดรหัสย้อนกลับของตัวเลข ให้ลบหนึ่งรหัสออกจากรหัสเพิ่มเติม รหัสย้อนกลับคือ 1 011 1010.

3. รหัสตรงได้มาจากการย้อนกลับโดยแทนที่เลขฐานสองทั้งหมดของตัวเลขด้วยตัวเลขตรงข้าม (1 สำหรับ 0, 0 สำหรับ 1) รหัสตรงของตัวเลขคือ 1 100 0101 (ในเครื่องหมายบิตเราเขียน 1)

4. ตัวเลขในระบบเลขฐานสองได้มาจากบันทึกรหัสตรง - -100 0101 (2)

4. จำนวน -1000101 (2) หลังจากแปลงเป็นทศนิยมแล้ว เท่ากับ -69 (10)

ข้อมูลที่คล้ายกัน

บ้าน \ เอกสาร \ สำหรับครูวิทยาการคอมพิวเตอร์

เมื่อใช้วัสดุจากไซต์นี้ - และการจัดวางแบนเนอร์เป็นข้อบังคับ!!!

เลขคณิตไบนารี

ตัวเลขที่เราคุ้นเคยเรียกว่าทศนิยมและเลขคณิตที่เราใช้เรียกว่าทศนิยม เนื่องจากแต่ละตัวเลขสามารถประกอบขึ้นจากชุดตัวเลขที่มีอักขระ 10 ตัว - หลัก - "0123456789"

คณิตศาสตร์พัฒนาจนกลายเป็นเซตหลัก แต่เลขทศนิยมไม่ใช่ชุดเดียว หากเราใช้ตัวเลขเพียงห้าหลัก เราก็สามารถสร้างเลขคณิตห้าเท่าจากหลักเจ็ดหลักได้ ในสาขาความรู้ที่เกี่ยวข้องกับเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ มักใช้เลขคณิตซึ่งตัวเลขประกอบด้วยตัวเลขสิบหกหลักตามลำดับ เลขคณิตนี้เรียกว่าเลขฐานสิบหก เพื่อทำความเข้าใจว่าจำนวนใดอยู่ในเลขคณิตที่ไม่ใช่ทศนิยม อันดับแรก ให้หาว่าตัวเลขใดอยู่ในเลขคณิตทศนิยม

ยกตัวอย่างเช่น หมายเลข 246 รายการนี้หมายความว่ามีสองร้อย สี่ สิบ และหกในตัวเลข ดังนั้น เราสามารถเขียนสมการต่อไปนี้ได้:

246 = 200 + 40 + 6 = 2 * 10 2 + 4 * 10 1 + 6 * 10 0

ในที่นี้ เครื่องหมายเท่ากับแยกสามวิธีในการเขียนตัวเลขเดียวกัน สิ่งที่น่าสนใจที่สุดสำหรับเราในตอนนี้คือรูปแบบการเขียนที่สาม: 2 * 10 2 + 4 * 10 1 + 6 * 10 0 มีการจัดระเบียบดังนี้:

เรามีสามตัวเลข ตัวเลขสูงสุด "2" มีเลข 3 จึงคูณด้วย 10 ยกกำลังสอง หลักถัดไป "4" มีหมายเลขซีเรียล 2 และคูณด้วย 10 ในหลักแรก จะเห็นได้ว่าเลขหลักคูณด้วยสิบยกกำลังหนึ่งน้อยกว่าเลขลำดับของหลัก เมื่อเข้าใจสิ่งที่พูดไปแล้ว เราก็สามารถเขียนสูตรทั่วไปสำหรับแทนเลขทศนิยมได้ ให้มีตัวเลขที่มีตัวเลข N เราจะแสดงว่าหลัก i-th โดย i จากนั้นตัวเลขสามารถเขียนได้ในรูปแบบต่อไปนี้: a n a n-1 ….a 2 a 1 . นี่คือแบบฟอร์มแรก และแบบฟอร์มรายการที่สามจะมีลักษณะดังนี้:

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 10 n-1 + a n-1 * 10 n-2 + …. + 2 * 10 1 + 1 * 10 0 0

โดยที่ a i เป็นตัวละครจากชุด "0123456789"

ในรายการนี้ บทบาทของสิบนั้นชัดเจนมาก สิบเป็นพื้นฐานสำหรับการก่อตัวของตัวเลข และอีกอย่าง มันถูกเรียกว่า "ฐานของระบบตัวเลข" และระบบตัวเลขนั่นเอง เหตุนี้จึงเรียกว่า "ทศนิยม" แน่นอนว่าเลขสิบไม่มีคุณสมบัติพิเศษใดๆ เราสามารถแทนที่สิบด้วยตัวเลขอื่นได้อย่างง่ายดาย ตัวอย่างเช่น ตัวเลขในระบบตัวเลขห้าหลักสามารถเขียนได้ดังนี้:

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 5 n-1 + a n-1 * 5 n-2 + …. + 2 * 5 1 + 1 * 5 0

โดยที่ i เป็นตัวละครจากชุด "01234"

โดยทั่วไป เราจะแทนที่ 10 ด้วยตัวเลขอื่น และรับระบบตัวเลขและเลขคณิตที่ต่างกันโดยสิ้นเชิง เลขคณิตที่ง่ายที่สุดจะได้มาถ้า 10 ถูกแทนที่ด้วย 2 ระบบตัวเลขที่เป็นผลลัพธ์เรียกว่าไบนารีและตัวเลขในนั้นถูกกำหนดดังนี้:

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 2 n-1 + a n-1 * 2 n-2 + …. + 2 * 2 1 + 1 * 2 0

โดยที่ i เป็นตัวละครจากชุด "01"

ระบบนี้เป็นระบบที่ง่ายที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้เนื่องจากในนั้นตัวเลขใด ๆ จะเกิดขึ้นจากตัวเลขสองหลักเท่านั้น 0 และ 1 เป็นที่ชัดเจนว่าไม่มีที่ไหนง่ายกว่านี้ ตัวอย่างของเลขฐานสอง: 10, 111, 101

คำถามสำคัญมาก เลขฐานสองสามารถแสดงเป็นเลขฐานสิบได้หรือไม่ และในทางกลับกัน เลขฐานสองสามารถแสดงเป็นเลขฐานสองได้หรือไม่

ไบนารีถึงทศนิยม มันง่ายมาก วิธีการแปลดังกล่าวทำให้เราสามารถเขียนตัวเลขได้ ยกตัวอย่างเลขฐานสอง 1011 ต่อไปนี้ ลองขยายเป็นยกกำลังสอง เราได้รับสิ่งต่อไปนี้:

1011 = 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0

เราดำเนินการตามที่บันทึกไว้ทั้งหมดและรับ:

1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0 = 8 + 0+ 2 + 1 = 11 ดังนั้นเราจึงได้ 1011 (ไบนารี) = 11 (ทศนิยม) คุณสามารถเห็นความไม่สะดวกเล็กน้อยของระบบไบนารีได้ทันที ตัวเลขเดียวกันซึ่งในระบบทศนิยมเขียนด้วยอักขระหนึ่งตัวในระบบเลขฐานสอง ต้องใช้อักขระสี่ตัวในการบันทึก แต่นี่เป็นราคาสำหรับความเรียบง่าย (ไม่มีอะไรเกิดขึ้นฟรี) แต่ระบบเลขฐานสองให้ประโยชน์อย่างมากในการดำเนินการเลขคณิต แล้วเราจะเห็นมัน

แสดงเลขฐานสองต่อไปนี้เป็นเลขฐานสิบ

ก) 10010 ข) 11101 ค) 1010 ค) 1110 ง) 100011 จ) 1100111 ฉ) 1001110

การบวกเลขฐานสอง

วิธีการบวกด้วยคอลัมน์โดยทั่วไปจะเหมือนกับเลขทศนิยม กล่าวคือ การบวกจะดำเนินการทีละน้อยโดยเริ่มจากหลักที่มีนัยสำคัญน้อยที่สุด หากการบวกเลขสองหลักส่งผลให้ผลรวมมากกว่าเก้า ตัวเลข = SUM-10 จะถูกเขียน และส่วนทั้งหมด (SUM / 10) จะถูกเพิ่มลงในหลักสูงสุด (เพิ่มตัวเลขสองสามตัวในคอลัมน์ จำไว้ว่ามันทำได้อย่างไร) มันคือเลขฐานสอง เพิ่มขึ้นทีละน้อยโดยเริ่มจากตัวเลขต่ำสุด หากปรากฎมากกว่า 1 แสดงว่า 1 ถูกเขียนและ 1 จะถูกเพิ่มในหลักที่สำคัญที่สุด (พวกเขากล่าวว่า "มันบ้า")

มาดูตัวอย่างกัน: 10011 + 10001

อันดับแรก: 1+1 = 2 เราจด 0 และ 1 อยู่ในใจ

อันดับสอง: 1+0+1(หน่วยที่จำได้) =2 เราเขียน 0 และ 1 อยู่ในใจ

อันดับสาม: 0+0+1(หน่วยที่จำได้) = 1. เขียน 1

อันดับสี่ 0+0=0. เราเขียน 0

อันดับห้า 1+1=2. เราเขียน 0 และเพิ่ม 1 ถึงบิตที่หก

ลองแปลงตัวเลขทั้งสามตัวเป็นระบบทศนิยมแล้วตรวจสอบความถูกต้องของการบวกกัน

10011 = 1*2 4 + 0*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 = 16 + 2 + 1 =19

10001 = 1*2 4 + 0*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 16 + 1 = 17

100100 = 1*2 5 + 0*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 0*2 0 =32+4=36

17 + 19 = 36 ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง

ตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ:

ก) 11001 +101 =

b) 11001 +11001 =

ค) 1001 + 111 =

จ) 10011 + 101 =

ฉ) 11011 + 1111 =

จ) 11111 + 10011 =

วิธีแปลงทศนิยมให้เป็นเลขฐานสอง การดำเนินการต่อไปคือการลบ แต่เราจะจัดการกับการดำเนินการนี้ในภายหลัง และตอนนี้ เราจะพิจารณาวิธีการแปลงเลขฐานสิบเป็นเลขฐานสอง

ในการแปลงเลขฐานสิบเป็นเลขฐานสอง จะต้องขยายกำลังสอง แต่ถ้าขยายกำลังหลักสิบได้ในทันที วิธีการขยายกำลังสองต้องใช้ความคิดเล็กน้อย ขั้นแรก มาดูวิธีการทำโดยวิธีการเลือก ลองหาทศนิยม 12 กัน.

ขั้นตอนแรก. 2 2 \u003d 4 นี่ยังไม่พอ มันยังเล็กอยู่และ 2 3 \u003d 8 และ 2 4 \u003d 16 ก็เยอะอยู่แล้ว ปล่อย 2 3 =8 ทิ้งไป 12 - 8 = 4 ตอนนี้คุณต้องแทน 4 เป็นกำลังสอง

ขั้นตอนที่สอง 4 = 2 2 .

จากนั้นหมายเลขของเรา 12 = 2 3 + 2 2 . ตัวเลขสูงสุดมีเลข 4 ดีกรีสูงสุด = 3 ดังนั้นจึงควรมีพจน์ที่ยกกำลัง 1 กับ 0 สองตัว แต่เราไม่ต้องการมัน ดังนั้น เพื่อกำจัดองศาที่ไม่จำเป็นออกไป เราเขียนตัวเลขดังนี้: 1 * 2 3 + 1 * 2 2 +0*2 1 + 0*2 0 = 1100 - นี่คือการแทนค่าเลขฐานสองของตัวเลข 12 มันง่ายที่จะเห็นว่าแต่ละยกกำลัง เป็นกำลังสองที่ใหญ่ที่สุด ซึ่งน้อยกว่าจำนวนที่จะขยาย มาดูตัวอย่างอื่นเพื่อแก้ไขวิธีการ หมายเลข 23.

ขั้นตอนที่ 1 กำลังใกล้ที่สุดของสองคือ 2 4 = 16. 23 -16 = 7

ขั้นที่ 2. กำลังใกล้ที่สุดของสองคือ 2 2 = 4. 7 - 4 = 3

ขั้นตอนที่ 3 กำลังใกล้ที่สุดของสองคือ 2 1 = 2. 3 - 2 = 1

ขั้นตอนที่ 4 กำลังใกล้ที่สุดของสอง 2 0 =1 1 - 1 =0

เราได้รับการสลายตัวต่อไปนี้: 1*2 4 + 0*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +1*2 0

และเลขฐานสองที่ต้องการของเราคือ 10111

วิธีการที่พิจารณาข้างต้นสามารถแก้ปัญหาที่ตั้งไว้ก่อนหน้านี้ได้ดี แต่มีวิธีการที่อัลกอริธึมดีขึ้นมาก อัลกอริทึมสำหรับวิธีนี้เขียนไว้ด้านล่าง:

ตราบใดที่ NUMBER มากกว่าศูนย์ do

NEXT DIGIT \u003d ส่วนที่เหลือของการหาร NUMBER ด้วย 2

NUMBER = ส่วนจำนวนเต็มของ NUMBER หารด้วย 2

เมื่ออัลกอริธึมนี้ทำงานเสร็จสิ้น ลำดับของ REGULAR DIGITS ที่คำนวณได้จะแสดงเลขฐานสอง ตัวอย่างเช่น ลองทำงานกับหมายเลข 19

อัลกอริทึมเริ่มต้น NUMBER = 19

หลักถัดไป = 1

หลักถัดไป = 1

หลักถัดไป = 0

หลักถัดไป = 0

หลักถัดไป = 1

ดังนั้นเราจึงได้หมายเลข 10011 ดังต่อไปนี้ โปรดทราบว่าทั้งสองวิธีที่พิจารณาจะแตกต่างกันตามลำดับที่จะได้รับตัวเลขถัดไป ในวิธีแรก หลักแรกที่ได้รับคือตัวเลขสูงสุดของเลขฐานสอง และในวิธีที่สอง หลักแรกที่ได้รับกลับกันคือค่าต่ำสุด

แปลงทศนิยมเป็นเลขฐานสองในสองวิธี

a) 14 b) 29 c) 134 d) 158 f) 1190 g) 2019

วิธีแปลงเศษส่วนให้เป็นทศนิยม

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าจำนวนตรรกยะใดๆ สามารถแสดงเป็นทศนิยมและเศษส่วนธรรมดาได้ เศษส่วนธรรมดา นั่นคือ เศษส่วนของรูปแบบ A / B สามารถเป็นแบบปกติและไม่เหมาะสม เศษส่วนเรียกว่าถูกต้องถ้า A<В и неправильной если А>ที่.

หากจำนวนตรรกยะแสดงด้วยเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม และในขณะเดียวกันตัวเศษของเศษส่วนถูกหารด้วยตัวส่วนจนหมด ดังนั้นจำนวนตรรกยะนี้เป็นจำนวนเต็ม ในกรณีอื่นทั้งหมด ส่วนที่เป็นเศษส่วนจะปรากฏขึ้น เศษส่วนมักเป็นตัวเลขที่ยาวมากและแม้กระทั่งอนันต์ (เศษส่วนที่มีระยะเวลาไม่จำกัด เช่น 20/6) ดังนั้นในกรณีของเศษส่วน เราจึงไม่ได้มีหน้าที่แค่แปลตัวแทนหนึ่งไปเป็นอีกส่วน แต่แปล ด้วยความแม่นยำบางอย่าง

กฎความแม่นยำ สมมติว่าคุณได้รับตัวเลขทศนิยมที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนทศนิยมได้ไม่เกิน N หลัก เพื่อให้เลขฐานสองที่สอดคล้องกันมีความแม่นยำเท่ากัน จำเป็นต้องเขียนอักขระ M ลงไป ดังนั้น

ทีนี้ลองหากฎการแปลและพิจารณาตัวอย่าง 5,401 . ก่อน

การตัดสินใจ:

เราจะได้ส่วนจำนวนเต็มตามกฎที่เรารู้อยู่แล้ว และมันเท่ากับเลขฐานสอง 101 และเราขยายส่วนที่เป็นเศษส่วนด้วยยกกำลัง 2

ขั้นตอนที่ 1: 2 -2 = 0.25; 0.401 - 0.25 = 0.151 คือส่วนที่เหลือ

ขั้นตอนที่ 2:ตอนนี้เราต้องแทน 0.151 เป็นกำลังสอง ลองทำสิ่งนี้: 2 -3 = 0.125; 0.151 - 0.125 = 0.026

ดังนั้นเศษส่วนดั้งเดิมสามารถแสดงเป็น 2 -2 +2 -3 . เช่นเดียวกันสามารถเขียนเป็นเลขฐานสองได้: 0.011 เศษส่วนหลักแรกเป็นศูนย์ เนื่องจากไม่มีดีกรี 2 -1 ในการขยายของเรา

เป็นที่ชัดเจนจากขั้นตอนแรกและขั้นตอนที่สองว่าการนำเสนอนี้ไม่ถูกต้องและอาจจำเป็นต้องขยายต่อไป กลับไปที่กฎกัน มันบอกว่าเราต้องการเครื่องหมาย M มากจน 10 3 น้อยกว่า 2 M นั่นคือ 1000<2 M . То есть в двоичном разложении у нас должно быть не менее десяти знаков, так как 2 9 = 512 и только 2 10 = 1024. Продолжим процесс.

ขั้นตอนที่ 3:ตอนนี้เรากำลังทำงานกับหมายเลข 0.026 กำลังไฟฟ้าที่ใกล้ที่สุดของสองถึงจำนวนนี้คือ 2 -6 \u003d 0.015625; 0.026 - 0.015625 = 0.010375 ตอนนี้เลขฐานสองที่แม่นยำยิ่งขึ้นของเราคือ 0.011001 มีทศนิยมหกตำแหน่งหลังจุดทศนิยมแล้ว แต่ยังไม่เพียงพอ ดังนั้นเราจึงดำเนินการอีกขั้นหนึ่ง

ขั้นตอนที่ 4:ตอนนี้เรากำลังทำงานกับหมายเลข 0.010375 กำลังสองที่ใกล้ที่สุดของเลขนี้คือ 2 -7 \u003d 0.0078125;

0,010375 - 0,0078125 = 0,0025625

ขั้นตอนที่ 5:ตอนนี้เรากำลังทำงานกับหมายเลข 0.0025625 กำลังสองที่ใกล้ที่สุดของตัวเลขนี้คือ 2 -9 \u003d 0.001953125;

0,0025625 - 0,001953125 = 0,000609375

ผลลัพธ์ที่เหลือสุดท้ายมีค่าน้อยกว่า 2 -10 และหากเราต้องการเข้าใกล้จำนวนเดิมต่อไป เราก็จะต้อง 2 -11 แต่สิ่งนี้เกินความแม่นยำที่กำหนดแล้ว ดังนั้นการคำนวณสามารถหยุดและการแสดงค่าไบนารีสุดท้ายของ ส่วนที่เป็นเศษส่วนสามารถเขียนได้

0,401 = 0,011001101

อย่างที่คุณเห็น การแปลงเศษส่วนของตัวเลขทศนิยมให้เป็นเลขฐานสองนั้นซับซ้อนกว่าการแปลงส่วนจำนวนเต็มเล็กน้อย ตารางพลังสองตอนท้ายการบรรยาย

และตอนนี้เราเขียนอัลกอริธึมการแปลง:

ข้อมูลเริ่มต้นของอัลกอริทึม: ผ่าน A เราจะระบุเศษส่วนทศนิยมเดิมที่ถูกต้องซึ่งเขียนในรูปแบบทศนิยม ให้เศษส่วนนี้มีเครื่องหมาย N

อัลกอริทึม

การดำเนินการ 1 กำหนดจำนวนอักขระไบนารีที่ต้องการ M จากความไม่เท่าเทียมกัน 10 N< 2 M

ขั้นตอนที่ 2: คำนวณตัวเลขของการแทนค่าไบนารี (ตัวเลขหลังศูนย์) ตัวเลขจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ K

1. ตัวเลข = 1
2. ถ้า 2 -K > A

จากนั้นเราเพิ่มศูนย์ให้กับสัญกรณ์ของเลขฐานสอง

• เพิ่ม 1 ให้กับเลขฐานสอง
• A \u003d A - 2 -K

1. K = K + 1
2. ถ้า K > M

• จากนั้นอัลกอริทึมจะเสร็จสิ้น
• มิฉะนั้น ให้ไปที่ขั้นตอนที่ 2

แปลงทศนิยมเป็นไบนารี

ก) 3.6 ข) 12.0112 ค) 0.231 ง) 0.121 จ) 23.0091

การลบเลขฐานสอง เราจะลบตัวเลขด้วย เราจะใช้คอลัมน์ด้วย และกฎทั่วไปก็เหมือนกับเลขทศนิยม การลบจะดำเนินการทีละน้อย และหากมีหน่วยไม่เพียงพอในบิต แสดงว่ามีหน่วยที่เก่ากว่า ลองแก้ตัวอย่างต่อไปนี้:

อันดับ 1 1 - 0 =1. เราเขียนลงไป 1

อันดับสอง 0-1. หน่วยที่หายไป เราใช้มันในหมวดอาวุโส หนึ่งจากหลักสูงสุดไปที่หนึ่งต่ำสุดเนื่องจากสองหน่วย (เนื่องจากตัวเลขสูงสุดแสดงด้วยสององศาที่มากกว่า) 2-1 \u003d 1 เราเขียนลงไป 1

อันดับสาม. เรายึดครองหน่วยของหลักนี้ ดังนั้นในหลัก 0 จึงจำเป็นต้องครอบครองหน่วยของหลักที่สำคัญที่สุด 2-1=1. เราเขียนลงไป 1

มาเช็คผลในระบบทศนิยมกันเถอะ

1101 - 110 = 13 - 6 = 7 (111) ความเท่าเทียมกันที่แท้จริง

อีกวิธีหนึ่งที่น่าสนใจในการทำการลบนั้นเกี่ยวข้องกับแนวคิดของส่วนประกอบสองส่วน ซึ่งช่วยให้คุณลดการลบเพื่อบวกได้ ปรากฎว่าตัวเลขในรหัสเพิ่มเติมนั้นง่ายมาก เราใช้ตัวเลข แทนที่ศูนย์ด้วยตัวเลข ในทางกลับกัน เราแทนที่ตัวเลขด้วยศูนย์และเพิ่มหนึ่งไปยังหลักที่มีนัยสำคัญน้อยที่สุด ตัวอย่างเช่น 10010 จะเป็น 011011 ในโค้ดเสริมของทั้งสอง

กฎการลบเสริมของทั้งสองระบุว่าการลบสามารถแทนที่ด้วยการบวกได้ ถ้าแทนที่ด้วยตัวเลขในโค้ดเสริมของทั้งสอง

ตัวอย่าง: 34 - 22 = 12

ลองเขียนตัวอย่างนี้ในรูปแบบไบนารี 100010 - 10110 = 1100

รหัสเพิ่มเติมสำหรับหมายเลข 10110 จะเป็นดังนี้

01001 + 00001 = 01010 จากนั้นตัวอย่างเดิมสามารถแทนที่ด้วยการบวกเช่นนี้ 100010 + 01010 = 101100 ถัดไป คุณต้องทิ้งหนึ่งหน่วยในลำดับสูงสุด ถ้าเราทำเช่นนี้ เราจะได้ 001100 เราทิ้งศูนย์ที่ไม่มีนัยสำคัญและได้ 1100 นั่นคือตัวอย่างได้รับการแก้ไขอย่างถูกต้อง

ทำการลบของคุณ ในวิธีปกติและในโค้ดเพิ่มเติม โดยก่อนหน้านี้ได้แปลงเลขฐานสิบเป็นเลขฐานสอง:

ตรวจสอบโดยแปลงผลลัพธ์ไบนารีเป็นทศนิยม

การคูณในระบบเลขฐานสอง

เริ่มต้นด้วยข้อเท็จจริงที่น่าสนใจต่อไปนี้ ในการคูณเลขฐานสองด้วย 2 (ทศนิยมสองเป็น 10 ในเลขฐานสอง) ก็เพียงพอแล้วที่จะเพิ่มศูนย์หนึ่งตัวให้กับตัวเลขที่คูณทางด้านซ้าย

ตัวอย่าง. 10101 * 10 = 101010

การตรวจสอบ.

10101 = 1*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 +1*2 0 = 16 + 4 + 1 = 21

101010 =1*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 +1*2 1 +0*2 0 = 32 + 8 + 2 = 42

หากเราจำได้ว่าเลขฐานสองใดๆ สามารถขยายกำลังสองได้ ก็จะเป็นที่ชัดเจนว่าการคูณในระบบเลขฐานสองจะลดลงเหลือ 10 (นั่นคือ ทศนิยม 2) ดังนั้น การคูณจึงเป็นชุดต่อเนื่องกัน กะ กฎทั่วไปคือ เช่นเดียวกับตัวเลขทศนิยม การคูณเลขฐานสองจะดำเนินการทีละบิต และสำหรับแต่ละหลักของตัวคูณที่สอง จะมีการเพิ่มศูนย์หนึ่งตัวทางด้านขวาของตัวคูณตัวแรก ตัวอย่าง (ยังไม่มีคอลัมน์):

1011 * 101 การคูณนี้สามารถลดลงเป็นผลรวมของการคูณระดับบิตสามตัว:

1011 * 1 + 1011 * 0 + 1011 * 100 \u003d 1011 + 101100 \u003d 110111 สิ่งเดียวกันสามารถเขียนในคอลัมน์เช่นนี้:

การตรวจสอบ:

101 = 5 (ทศนิยม)

1011 = 11 (ทศนิยม)

110111 = 55 (ทศนิยม)

5*11 = 55 ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง

ตัดสินใจเอาเอง

ก) 1101 * 1110 =

ข) 1010 * 110 =

จ) 101011 * 1101 =

ฉ) 10010 * 1001 =

หมายเหตุ: อย่างไรก็ตาม ตารางสูตรคูณในระบบเลขฐานสองมีเพียงหนึ่งรายการเท่านั้น 1 * 1 = 1

การหารในระบบเลขฐานสอง

เราได้พิจารณาการกระทำสามอย่างแล้ว และฉันคิดว่ามันชัดเจนอยู่แล้วว่าโดยทั่วไปแล้ว การกระทำกับเลขฐานสองต่างกันเพียงเล็กน้อยจากการกระทำกับตัวเลขทศนิยม ความแตกต่างปรากฏเฉพาะในข้อเท็จจริงที่ว่ามีตัวเลขสองหลักและไม่ใช่สิบ แต่นี่เป็นเพียงการลดความซับซ้อนของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เท่านั้น เช่นเดียวกับการหาร แต่เพื่อความเข้าใจที่ดีขึ้นของอัลกอริธึมการหาร เราจะวิเคราะห์ในรายละเอียดเพิ่มเติม สมมติว่าเราต้องหารทศนิยมสองจำนวน เช่น 234 หารด้วย 7. เราจะทำอย่างไร

เราจัดสรรไปทางขวา (จากหลักที่สำคัญที่สุด) เช่นจำนวนหลักที่จำนวนผลลัพธ์มีขนาดเล็กที่สุดและในเวลาเดียวกันมากกว่าตัวหาร 2 น้อยกว่าตัวหาร ดังนั้น จำนวนที่เราต้องการคือ 23 จากนั้นเราหารจำนวนผลลัพธ์ด้วยตัวหารด้วยเศษที่เหลือ เราได้รับผลลัพธ์ดังต่อไปนี้:

การดำเนินการที่อธิบายไว้จะถูกทำซ้ำจนกว่าผลลัพธ์ที่เหลือจะน้อยกว่าตัวหาร เมื่อสิ่งนี้เกิดขึ้น จำนวนที่ได้รับภายใต้แถบจะเป็นผลหาร และส่วนที่เหลือสุดท้ายคือส่วนที่เหลือของการดำเนินการ ดังนั้นการดำเนินการหารเลขฐานสองจึงดำเนินการในลักษณะเดียวกันทุกประการ มาลองกัน

ตัวอย่าง: 10010111 / 101

เรากำลังมองหาตัวเลขจากลำดับสูงสุดซึ่งตัวแรกจะมากกว่าตัวหาร นี่คือตัวเลขสี่หลัก 1001 ซึ่งแสดงเป็นตัวหนา ตอนนี้คุณต้องหาตัวหารสำหรับจำนวนที่เลือก และที่นี่เราชนะอีกครั้งเมื่อเปรียบเทียบกับระบบทศนิยม ความจริงก็คือตัวหารที่เลือกต้องเป็นตัวเลข และเรามีเพียงสองหลักเท่านั้น เนื่องจาก 1001 มากกว่า 101 อย่างชัดเจน ทุกอย่างชัดเจนด้วยตัวหาร นี่คือ 1 มาทำตามขั้นตอนการดำเนินการกัน

ดังนั้น ส่วนที่เหลือของการดำเนินการคือ 100 ซึ่งน้อยกว่า 101 ดังนั้นเพื่อดำเนินการขั้นตอนการหารที่สอง คุณต้องเพิ่มหลักถัดไปเป็น 100 นี่คือตัวเลข 0 ตอนนี้ เรามีตัวเลขต่อไปนี้:

1,000 มากกว่า 101 ดังนั้นในขั้นตอนที่สอง เราบวก 1 อีกครั้งในหลักส่วนตัว และรับผลลัพธ์ต่อไปนี้ (เพื่อประหยัดพื้นที่ เราจะละเว้นหลักถัดไปทันที)

ขั้นตอนที่สาม จำนวนผลลัพธ์ 110 มากกว่า 101 ดังนั้นในขั้นตอนนี้เราจะเขียนลงในผลหาร 1 ได้ดังนี้:

ผลลัพธ์จำนวน 11 น้อยกว่า 101 ดังนั้นเราจึงเขียนในหลักส่วนตัว 0 และลดหลักถัดไปลง ปรากฎเช่นนี้:

จำนวนผลลัพธ์มากกว่า 101 ดังนั้นเราจึงเขียนตัวเลข 1 ลงในผลหารและดำเนินการอีกครั้ง ปรากฎว่าภาพนี้:

1

0

ผลลัพธ์ที่เหลือ 10 น้อยกว่า 101 แต่เราไม่มีตัวเลขในการจ่ายเงินปันผล ดังนั้น 10 จึงเป็นส่วนที่เหลือสุดท้าย และ 1110 คือผลหารที่ต้องการ

ตรวจสอบทศนิยม

สรุปคำอธิบายของการดำเนินการเลขคณิตที่ง่ายที่สุดที่คุณจำเป็นต้องรู้เพื่อใช้เลขคณิตแบบไบนารี และตอนนี้ เราจะพยายามตอบคำถาม "ทำไมเราจึงต้องใช้เลขคณิตแบบไบนารี" แน่นอน มันแสดงให้เห็นแล้วข้างต้นว่าการเขียนตัวเลขในระบบเลขฐานสองทำให้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ง่ายขึ้นอย่างมาก แต่ในขณะเดียวกัน ตัวบันทึกเองก็ยาวขึ้นมาก ซึ่งลดค่าของการลดความซับซ้อนที่ได้รับลง ดังนั้นจึงจำเป็นต้องดู สำหรับปัญหาดังกล่าว วิธีแก้ที่ง่ายกว่ามากในเลขฐานสอง

ภารกิจที่ 1: รับตัวอย่างทั้งหมด

บ่อยครั้งที่มีงานที่คุณต้องสร้างชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ทั้งหมดจากชุดไอเท็มที่กำหนด ตัวอย่างเช่น งานดังกล่าว:

ให้กองหินขนาดใหญ่เรียงหินเป็นสองกองเพื่อให้มวลของสองกองนี้เท่ากันมากที่สุด

งานนี้สามารถกำหนดได้ดังนี้:

หาตัวอย่างหินจากกองขนาดใหญ่ที่มวลรวมจะแตกต่างกันน้อยที่สุดจากมวลครึ่งหนึ่งของกองใหญ่

มีงานประเภทนี้ค่อนข้างน้อย และทั้งหมดนั้นลงมาดังที่ได้กล่าวไปแล้วถึงความสามารถในการรับชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ทั้งหมด (เราจะเรียกว่าตัวเลือกด้านล่าง) จากชุดขององค์ประกอบที่กำหนด และตอนนี้ เราจะพิจารณาวิธีการทั่วไปในการรับตัวอย่างที่เป็นไปได้ทั้งหมดโดยใช้การดำเนินการบวกเลขฐานสอง เริ่มต้นด้วยตัวอย่าง ให้มีชุดสามรายการ เราสร้างตัวอย่างที่เป็นไปได้ทั้งหมด รายการจะแสดงด้วยหมายเลขซีเรียล นั่นคือมีรายการต่อไปนี้: 1, 2, 3

ตัวอย่าง: (0, 0, 1); (0, 1, 0); (0, 1, 1); (100); (1, 0, 1); (1, 1, 0); (1, 1, 1);

หากมีหนึ่งในตำแหน่งที่มีตัวเลขถัดไป แสดงว่าองค์ประกอบที่มีตัวเลขเท่ากับตำแหน่งนี้มีอยู่ในส่วนที่เลือก และหากมีศูนย์ แสดงว่าองค์ประกอบนั้นไม่มีอยู่ ตัวอย่างเช่น ตัวอย่าง(0, 1, 0); ประกอบด้วยองค์ประกอบหนึ่งที่มีหมายเลข 2 และตัวอย่างคือ (1, 1, 0); ประกอบด้วยสององค์ประกอบที่มีตัวเลข 1 และ 2

ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นชัดเจนว่ากลุ่มตัวอย่างสามารถแสดงเป็นเลขฐานสองได้ นอกจากนี้ เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าเลขฐานสองที่เป็นไปได้ทั้งหมดหนึ่ง สอง และสามหลักถูกเขียนไว้ด้านบน ลองเขียนใหม่ดังนี้:

001; 010; 011; 100; 101; 110; 111

1; 10; 11; 100; 101; 110; 111

เราได้รับชุดเลขฐานสองที่ต่อเนื่องกัน ซึ่งแต่ละชุดได้มาจากเลขฐานสองก่อนหน้านี้โดยการเพิ่มหนึ่งชุด คุณสามารถตรวจสอบออก การใช้ความสม่ำเสมอที่สังเกตได้นี้ เราสามารถสร้างอัลกอริทึมต่อไปนี้เพื่อรับตัวอย่าง

ข้อมูลเริ่มต้นของอัลกอริทึม

ให้ชุดรายการ N - ชิ้น ต่อไปนี้ เราจะเรียกเซตนี้เป็นเซตของอิลิเมนต์ตั้งต้น ลองนับองค์ประกอบทั้งหมดของชุดเดิมจาก 1 ถึง N มาสร้างเลขฐานสองจากศูนย์ที่ไม่มีนัยสำคัญ N กัน 0000… 0 N เลขฐานสองศูนย์นี้จะแสดงถึงศูนย์ตัวอย่างซึ่งกระบวนการสุ่มตัวอย่างจะเริ่มขึ้น ตัวเลขของตัวเลขจะนับจากขวาไปซ้าย กล่าวคือ หลักซ้ายสุดคือหลักที่สำคัญที่สุด

ตกลงกันเพื่อแสดงเลขฐานสองนี้ด้วยตัวพิมพ์ใหญ่BINARY

อัลกอริทึม

ถ้าเลขฐานสองประกอบด้วยตัวเลขทั้งหมด

จากนั้นเราก็หยุดอัลกอริทึม

• เราบวกเลขฐานสองตามกฎของเลขคณิตไบนารี
• จากหมายเลข BINARY ที่ได้รับ เราจะสร้างตัวอย่างต่อไป ดังที่อธิบายไว้ข้างต้น

ภารกิจที่ 2: ค้นหาไพรม์ขนาดใหญ่

อันดับแรก จำไว้ว่าจำนวนเฉพาะเป็นจำนวนธรรมชาติที่หารด้วย 1 และตัวมันเองลงตัวเท่านั้น ตัวอย่างของจำนวนเฉพาะ: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31

การหาจำนวนเฉพาะจำนวนมากเป็นปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญมาก จำเป็นต้องใช้หมายเลขเฉพาะจำนวนมากเพื่อเข้ารหัสข้อความอย่างปลอดภัยด้วยอัลกอริธึมการเข้ารหัสบางตัว และไม่ใช่แค่จำนวนที่มากเท่านั้น แต่ยังต้องการจำนวนมากอีกด้วย ยิ่งตัวเลขมากเท่าไร ตัวเลขก็ยิ่งปลอดภัยมากขึ้นตามตัวเลขนั้น

บันทึก. รหัสที่แข็งแกร่งคือรหัสที่ใช้เวลานานมากในการถอดรหัส

ทำไม จำนวนเฉพาะมีบทบาทเป็นกุญแจสำคัญในการเข้ารหัสและถอดรหัส นอกจากนี้ เราทราบดีว่าจำนวนเฉพาะไม่ได้เกิดขึ้นบ่อยนักในชุดของจำนวนธรรมชาติ มีจำนวนมากในพันแรกจากนั้นจำนวนก็เริ่มลดลงอย่างรวดเร็ว ดังนั้น หากเราใช้จำนวนไม่มากเป็นคีย์ ตัวถอดรหัสโดยใช้คอมพิวเตอร์ที่ไม่เร็วนักก็จะสามารถเข้าถึงมันได้ (โดยการจัดเรียงเฉพาะจำนวนเฉพาะทั้งหมดเป็นคีย์) ในเวลาจำกัด

คุณสามารถรับรหัสที่ค่อนข้างน่าเชื่อถือได้หากคุณใช้รหัสง่าย ๆ เช่น 150 อักขระ อย่างไรก็ตาม การค้นหาสิ่งง่ายๆ เช่นนี้ไม่ใช่เรื่องง่าย สมมุติว่าต้องมีการทดสอบจำนวน A (มาก) เพื่อความเหมาะสม นี่ก็เหมือนกับการหาตัวหารของมัน หากเราสามารถหาตัวหารระหว่าง 2 กับรากที่สองของ A ได้ แสดงว่าไม่ใช่จำนวนเฉพาะ ลองประมาณจำนวนตัวเลขที่ต้องตรวจสอบความสามารถในการหารจำนวน A กัน

สมมติว่าหมายเลข A มี 150 หลัก รากที่สองของมันจะประกอบด้วยอักขระอย่างน้อย 75 ตัว ในการแยกแยะตัวหารที่เป็นไปได้จำนวนดังกล่าว เราจำเป็นต้องมีคอมพิวเตอร์ที่ทรงพลังมากและใช้เวลามาก ซึ่งหมายความว่าปัญหานั้นแก้ไขไม่ได้ในทางปฏิบัติ

วิธีจัดการกับมัน

ประการแรก คุณสามารถเรียนรู้ที่จะตรวจสอบการหารของตัวเลขหนึ่งโดยอีกจำนวนหนึ่งได้อย่างรวดเร็ว และประการที่สอง คุณสามารถลองเลือกตัวเลข A ในลักษณะที่ง่ายโดยมีความน่าจะเป็นสูง ปรากฎว่าเป็นไปได้ นักคณิตศาสตร์ Mersen ค้นพบว่าตัวเลขของรูปแบบต่อไปนี้

เป็นเรื่องง่ายและมีความเป็นไปได้สูง

เพื่อให้เข้าใจวลีที่เขียนด้านบนนี้ ให้ลองนับจำนวนเฉพาะในพันแรกและจำนวน Mersenne ในพันเดียวกันที่เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้นตัวเลขเมอร์เซนในพันแรกจึงเป็นดังนี้:

2 1 - 1 = 1 ; 2 2 -1 = 3 ; 2 3 - 1 = 7 ; 2 4 - 1 = 15; 2 5 - 1 = 31 ; 2 6 -1 = 63;

2 7 - 1 =127 ; 2 8 -1 = 255; 2 9 - 1 = 511;

ตัวเลขเฉพาะจะถูกทำเครื่องหมายด้วยตัวหนา มีทั้งหมด 5 จำนวนเฉพาะสำหรับตัวเลขเมอร์แซน 9 ตัว เปอร์เซ็นต์นี่คือ 5/9 * 100 \u003d 55.6% ในเวลาเดียวกัน มีเพียง 169 จำนวนเฉพาะสำหรับตัวเลขธรรมชาติ 1,000 ตัวแรก ตามเปอร์เซ็นต์ นี่คือ 169/1000 * 100 = 16.9% นั่นคือในพันแรกในแง่เปอร์เซ็นต์ จำนวนเฉพาะของตัวเลขเมอร์เซนพบได้บ่อยกว่าจำนวนธรรมชาติทั่วไปเกือบ 4 เท่า

___________________________________________________________

ทีนี้ลองหาเลข Mersen เฉพาะกัน เช่น 2 4 - 1 ลองเขียนมันเป็นเลขฐานสองกัน

2 4 - 1 = 10000 - 1 = 1111

ลองหา Mersen จำนวน 2 5 -1 ต่อไปแล้วเขียนเป็นเลขฐานสอง เราได้รับสิ่งต่อไปนี้:

2 5 -1 = 100000 - 1 = 11111

เป็นที่แน่ชัดแล้วว่าตัวเลข Mersenne ทั้งหมดเป็นลำดับของตัวเลข และข้อเท็จจริงนี้เพียงอย่างเดียวให้ประโยชน์มหาศาล ประการแรก ในระบบเลขฐานสอง มันง่ายมากที่จะหาเลข Mersenne ตัวถัดไป แค่บวกหนึ่งเข้าไปในเลขถัดไป และประการที่สอง การหาตัวหารในระบบเลขฐานสองนั้นง่ายกว่าในทศนิยมมาก

การแปลงทศนิยมเป็นเลขฐานสองอย่างรวดเร็ว

ปัญหาหลักประการหนึ่งของการใช้ระบบเลขฐานสองคือความยากในการแปลงเลขฐานสิบเป็นเลขฐานสอง นี่เป็นงานที่ค่อนข้างลำบาก แน่นอนว่าการแปลตัวเลขขนาดเล็กสามหรือสี่หลักนั้นไม่ยากเกินไป แต่สำหรับตัวเลขทศนิยมที่มี 5 หลักขึ้นไป นี่เป็นเรื่องยากอยู่แล้ว นั่นคือ เราต้องการวิธีแปลงเลขทศนิยมขนาดใหญ่เป็นเลขฐานสองอย่างรวดเร็ว

วิธีนี้คิดค้นโดย Legendre นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ตัวอย่างเช่น ให้หมายเลข 11183445 เราหารด้วย 64 เราได้เศษ 21 และผลหาร 174741 เราหารจำนวนนี้อีกครั้งด้วย 64 เราได้เศษ 21 และผลหาร 2730 สุดท้าย 2730 หารด้วย 64 ให้เศษ 42 และผลหาร 42 แต่ 64 ในรูปไบนารีคือ 1000000, 21 ในเลขฐานสองคือ 10101 และ 42 คือ 101010 ดังนั้นตัวเลขเดิมจะถูกเขียนเป็นเลขฐานสองดังนี้:

101010 101010 010101 010101

เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้นอีกตัวอย่างหนึ่งที่มีจำนวนน้อยกว่า ลองแปลการแทนค่าเลขฐานสองของตัวเลข 235 กัน หาร 235 ด้วย 64 ด้วยเศษเหลือ เราได้รับ:

ส่วนตัว = 3, ไบนารี 11 หรือ 000011

ความละเอียด = 43, เลขฐานสอง 101011

จากนั้น 235 = 1111011 ตรวจสอบผลลัพธ์นี้:

11101011 = 2 7 + 2 6 + 2 5 + 2 3 + 2 1 + 2 0 = 128+64+32+8+2+1 = 235

หมายเหตุ:

1. ง่ายที่จะเห็นว่าเลขฐานสองสุดท้ายรวมเศษทั้งหมด และในขั้นตอนสุดท้าย ทั้งเศษที่เหลือและผลหาร
2. ผลหารจะถูกเขียนก่อนส่วนที่เหลือ
3. หากผลหารที่เป็นผลลัพธ์หรือเศษเหลือมีน้อยกว่า 6 หลักในการแทนค่าไบนารี (6 ศูนย์ประกอบด้วยการแทนค่าเลขฐานสองของตัวเลข 64 = 1000000) ดังนั้นศูนย์ที่ไม่มีนัยสำคัญจะถูกเพิ่มเข้าไป

และอีกตัวอย่างที่ยาก หมายเลข 25678425

ขั้นตอนที่ 1: 25678425 หารด้วย 64

ส่วนตัว = 401225

ส่วนที่เหลือ = 25 = 011001

ขั้นตอนที่ 2: 401225 หารด้วย 64

ส่วนตัว = 6269

ส่วนที่เหลือ = 9 = 001001

ขั้นตอนที่ 3: 6269 หารด้วย 64

ส่วนตัว = 97

ส่วนที่เหลือ = 61 = 111101

ขั้นตอนที่ 4: 97 หารด้วย 64

ส่วนตัว = 1 = 000001

ส่วนที่เหลือ = 33 = 100001

ผลลัพธ์ตัวเลข = 1.100001.111101.001001.011001

ในตัวเลขนี้ จุดจะแยกผลลัพธ์กลางที่รวมอยู่ในนั้น

แปลงเป็นการแทนเลขฐานสองของตัวเลข:

ภาคผนวก: ตารางที่ 1

		0,015625
		0,0078125
		0,00390625
		0,001953125
		0,0009765625
		0,00048828125
		0,000244140625
		0,0001220703125
		0,00006103515625
		0,000030517578125
		0,0000152587890625
		0,00000762939453125
		0,000003814697265625
		0,0000019073486328125
		0,00000095367431640625
		0,000000476837158203125

1. สถานที่เรียน: บทเรียน ป.3 ป.3 ของภาคเรียน
2. หัวข้อบทเรียน: การดำเนินการเลขคณิตในระบบเลขฐานสอง

ประเภทชั้นเรียน: บรรยาย สนทนา ทำงานอิสระ

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

การสอน: แนะนำกฎการดำเนินการเลขคณิต (การบวก การคูณ การลบ) ในระบบเลขฐานสอง

เกี่ยวกับการศึกษา: การปลูกฝังทักษะความเป็นอิสระในการทำงานการศึกษาความถูกต้องวินัย

กำลังพัฒนา: การพัฒนาความสนใจ ความจำของนักเรียน การพัฒนาความสามารถในการเปรียบเทียบข้อมูลที่ได้รับ

การเชื่อมต่อแบบสหวิทยาการ:คณิตศาสตร์:

คลาสอุปกรณ์การศึกษา (อุปกรณ์):โปรเจ็กเตอร์ โต๊ะ การ์ดงาน

การสนับสนุนระเบียบวิธีของบทเรียน:การนำเสนอใน PowerPoint

แผนการเรียน

1. ช่วงเวลาขององค์กร (2 นาที)
2. การทำซ้ำ (10)
3. อธิบายเนื้อหาใหม่ (15 นาที)
4. การรวมวัสดุที่ครอบคลุม (10 นาที)
5. การบ้าน
6. รีเฟล็กชั่น (2 นาที)
7. สรุป (2 นาที)

ระหว่างเรียน

1. เวลาจัดงาน
2. อัพเดทความรู้.เรายังคงศึกษาหัวข้อของระบบตัวเลขต่อไปและเป้าหมายของบทเรียนในวันนี้คือการเรียนรู้วิธีการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในระบบเลขฐานสอง กล่าวคือ เราจะพิจารณากฎการดำเนินการกับคุณ เช่น การบวก การลบ การคูณหาร
3. การตรวจสอบความรู้ (สำรวจหน้าผาก).

จำไว้ว่า:

1. ระบบตัวเลขคืออะไร?
2. ฐานของระบบตัวเลขคืออะไร?
3. ฐานของระบบเลขฐานสองคืออะไร?
4. ระบุว่าตัวเลขใดเขียนผิดพลาดและให้เหตุผลกับคำตอบของคุณ:
   123 8, 3006 2, 12АС09 20, 13476 10,
5. ฐานขั้นต่ำที่ระบบตัวเลขควรมีคืออะไรถ้าสามารถเขียนตัวเลขได้: 10, 21, 201, 1201
6. จุดสิ้นสุดของเลขฐานสองคู่คืออะไร?
   หลักใดที่ลงท้ายด้วยเลขฐานสองคี่

4 . การศึกษาเนื้อหาใหม่จะมาพร้อมกับการนำเสนอ

/ ภาคผนวก 1/

ครูอธิบายหัวข้อใหม่บนสไลด์ของงานนำเสนอ นักเรียนจดบันทึกและทำงานที่ครูเสนอในสมุดบันทึกให้เสร็จ

จากระบบตำแหน่งทั้งหมด ระบบเลขฐานสองนั้นง่ายเป็นพิเศษ พิจารณาดำเนินการคำนวณพื้นฐานเกี่ยวกับเลขฐานสอง

ระบบเลขตำแหน่งทั้งหมด "เหมือนกัน" กล่าวคือ การดำเนินการเลขคณิตทั้งหมดดำเนินการตามกฎเดียวกัน:

หนึ่ง . กฎเลขคณิตเดียวกันนั้นใช้ได้: การสับเปลี่ยน, การเชื่อมโยง, การแจกจ่าย;

2. กฎของการบวก การลบ และการคูณด้วยคอลัมน์นั้นยุติธรรม

3. กฎสำหรับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์นั้นยึดตามตารางการบวกและการคูณ

ส่วนที่เพิ่มเข้าไป

พิจารณาตัวอย่างเพิ่มเติม

เมื่อเพิ่มคอลัมน์ที่มีตัวเลขสองหลักจากขวาไปซ้ายในระบบเลขฐานสอง เช่นเดียวกับในระบบตำแหน่งใดๆ จะมีเพียงตัวเดียวเท่านั้นที่สามารถไปยังบิตถัดไปได้

ผลลัพธ์ของการเพิ่มจำนวนบวกสองจำนวนนั้นมีจำนวนหลักเท่ากันกับจำนวนสูงสุดของสองเทอมหรือมากกว่าหนึ่งหลัก แต่ตัวเลขนี้สามารถมีได้เพียงตัวเดียวเท่านั้น

1011022+111112=?

1110112+110112=?

การลบ

งานอิสระของนักเรียนในสมุดบันทึกเพื่อรวมสื่อการสอน

101101 2 -11111 2 =?

110011 2 -10101 2 =?
การคูณ
พิจารณาตัวอย่างสำหรับการคูณ

การดำเนินการคูณจะดำเนินการโดยใช้ตารางสูตรคูณตามรูปแบบปกติ (ใช้ในระบบเลขฐานสิบ) พร้อมการคูณแบบต่อเนื่องของตัวคูณด้วยหลักถัดไปของตัวคูณ
พิจารณาตัวอย่างการคูณ
เมื่อทำการคูณในตัวอย่างที่ 2 จะมีการบวกหน่วยสามหน่วยเข้าด้วยกัน 1+1+1=11 ในหลักที่ตรงกัน โดย 1 จะถูกเขียน และอีกหน่วยหนึ่งจะถูกโอนไปยังตัวเลขสูงสุด
ในระบบเลขฐานสอง การดำเนินการคูณจะลดลงเป็นกะของตัวคูณและการเพิ่มผลลัพธ์ระดับกลาง
แผนก

การดำเนินการหารจะดำเนินการตามอัลกอริธึมที่คล้ายกับอัลกอริธึมการดำเนินการหารในระบบเลขฐานสิบ

พิจารณาตัวอย่างการแบ่ง

การรวมบัญชี (งานอิสระของนักเรียนบนการ์ดจะดำเนินการในสมุดบันทึก) / ภาคผนวก 2 /

สำหรับนักเรียนที่ทำงานอิสระในช่วงเวลาสั้นๆ จะมีการเสนองานเพิ่มเติม

5. การบ้าน

2. เรียนรู้กฎการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในระบบเลขฐานสอง เรียนรู้ตารางการบวก การลบ การคูณ

3. ทำตามขั้นตอนเหล่านี้:

110010+111,01

11110000111-110110001

10101,101*111

6 รีเฟลคชั่น

วันนี้ในบทเรียนที่ให้ข้อมูลมากที่สุดสำหรับฉันคือ ...

ฉันรู้สึกประหลาดใจที่...

วันนี้สามารถนำสิ่งที่เรียนมาประยุกต์ใช้ได้...

7. สรุปบทเรียน

วันนี้เราได้เรียนรู้วิธีดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในระบบเลขฐานสอง (การให้คะแนนสำหรับบทเรียน)

คำบรรยายสไลด์:

หัวข้อของบทเรียน: “การคำนวณทางคณิตศาสตร์ในระบบตัวเลขตำแหน่ง” ครูวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ Marina Valentinovna Fedorchenko MOU Berezovskaya มัธยมศึกษากับเขต Berezovka Taishet ภูมิภาคอีร์คุตสค์ จำไว้ว่า: ระบบตัวเลขคืออะไร ฐานของระบบตัวเลขคืออะไร คืออะไร ฐานของระบบเลขฐานสองคือตัวเลขที่เขียนผิดและให้เหตุผลว่าคำตอบ: 1238, 30062, 12AAC0920, 1347610, อะไรคือฐานขั้นต่ำที่ระบบตัวเลขควรมีถ้าสามารถเขียนตัวเลขได้: 10, 21, 201 , 1201 เลขอะไรลงท้ายด้วยเลขฐานสองเลขคู่ เลขอะไรลงท้ายด้วยเลขฐานสองคี่
Laplace เขียนเกี่ยวกับทัศนคติของเขาต่อระบบเลขฐานสอง (binary) ของ Leibniz นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่: “ในเลขคณิตเลขฐานสองของเขา Leibniz ได้เห็นต้นแบบของการสร้างสรรค์ ดูเหมือนว่าเขาจะเป็นตัวแทนของหลักการอันศักดิ์สิทธิ์ และไม่มีศูนย์ - การไม่มีอยู่จริง และสิ่งมีชีวิตที่สูงกว่าสร้างทุกสิ่งจากการไม่มีอยู่ในลักษณะเดียวกับที่หนึ่งและศูนย์ในระบบของเขาแสดงตัวเลขทั้งหมด คำเหล่านี้เน้นความเป็นสากลของตัวอักษรซึ่งประกอบด้วยอักขระสองตัว ระบบเลขตำแหน่งทั้งหมด "เหมือนกัน" กล่าวคือ การดำเนินการเลขคณิตจะดำเนินการตามกฎเดียวกันทั้งหมด:
กฎเลขคณิตเหมือนกัน: --commutative (displacement) m + n = n + m m n = n m ที่เชื่อมโยง (combinative) (m + n) + k = m + (n + k) = m + n + k (m n ) k = m (n k) = m n k แบบกระจาย (แบบกระจาย) (m + n) k = m k + n k
กฎของการบวก การลบ และการคูณด้วยคอลัมน์นั้นถูกต้อง
กฎสำหรับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์จะขึ้นอยู่กับตารางการบวกและการคูณ
การเพิ่มเติมในระบบเลขตำแหน่ง ของระบบตำแหน่งทั้งหมด ระบบเลขฐานสองนั้นง่ายเป็นพิเศษ พิจารณาดำเนินการคำนวณพื้นฐานเกี่ยวกับเลขฐานสอง ระบบเลขตำแหน่งทั้งหมด "เหมือนกัน" กล่าวคือ การดำเนินการเลขคณิตจะดำเนินการตามกฎเดียวกัน: ระบบเดียวกันใช้ได้: การสลับเปลี่ยน เชื่อมโยง การกระจาย กฎของการบวก การลบ และการคูณคอลัมน์คือ ถูกต้อง กฎสำหรับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ขึ้นอยู่กับตารางการบวกและการคูณ
เมื่อเพิ่มคอลัมน์ที่มีตัวเลขสองหลักจากขวาไปซ้ายในระบบเลขฐานสอง เช่นเดียวกับในระบบตำแหน่งใดๆ จะมีเพียงตัวเดียวเท่านั้นที่สามารถไปยังบิตถัดไปได้ ผลลัพธ์ของการเพิ่มจำนวนบวกสองจำนวนนั้นมีจำนวนหลักเท่ากันกับจำนวนสูงสุดของสองเทอมหรือมากกว่าหนึ่งหลัก แต่ตัวเลขนี้สามารถมีได้เพียงตัวเดียวเท่านั้น พิจารณาตัวอย่าง แก้ตัวอย่างด้วยตัวเอง:
1011012 + 111112
1110112 + 110112
1001100
1010110
เมื่อทำการลบ ตัวเลขที่น้อยกว่าจะถูกลบออกจากค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าเสมอ และเครื่องหมายที่สอดคล้องกันจะถูกใส่ลงบนผลลัพธ์
การลบ พิจารณาตัวอย่าง ตัวอย่าง:
1011012– 111112
1100112– 101012
1110
11110
การคูณในระบบเลขตำแหน่ง การคูณทำได้โดยใช้ตารางการคูณตามแบบแผนปกติ (ใช้ในระบบเลขฐานสิบ) โดยจะคูณกันแบบต่อเนื่องของตัวคูณด้วยหลักถัดไปของตัวคูณ ลองมาดูตัวอย่างการคูณกัน มาดูตัวอย่าง มาดูตัวอย่างการหารกัน
มาแก้ตัวอย่าง:
11012 1112

111102:1102=
1011011
101
การบ้าน 1.&3.1.22.เรียนรู้กฎสำหรับการดำเนินการเลขคณิตในระบบเลขฐานสอง เรียนรู้ตารางการบวก การลบ การคูณ3. ทำดังต่อไปนี้: 110010+111.01111000111-111-11011000110101.101*111 การสะท้อนกลับ วันนี้ในบทเรียนที่ให้ข้อมูลมากที่สุดสำหรับฉันคือ ... ฉันรู้สึกประหลาดใจที่ ... ฉันสามารถนำความรู้ที่ได้รับในวันนี้ไปใช้ในบทเรียน ...