สมการกำลังสองแก้และแก้ปัญหา สมการกำลังสอง

ในความต่อเนื่องของหัวข้อ "การแก้สมการ" เนื้อหาในบทความนี้จะแนะนำคุณเกี่ยวกับสมการกำลังสอง

ลองพิจารณาทุกอย่างโดยละเอียด: สาระสำคัญและสัญกรณ์ของสมการกำลังสอง กำหนดเงื่อนไขที่มาพร้อมกัน วิเคราะห์โครงร่างสำหรับการแก้สมการที่ไม่สมบูรณ์และสมบูรณ์ ทำความคุ้นเคยกับสูตรของรากและการแบ่งแยก สร้างการเชื่อมต่อระหว่างรากและค่าสัมประสิทธิ์ และของ แน่นอนเราจะให้วิธีแก้ปัญหาด้วยภาพตัวอย่างที่ใช้งานได้จริง

Yandex.RTB R-A-339285-1

สมการกำลังสอง ประเภทของมัน

คำจำกัดความ 1

สมการกำลังสองเป็นสมการที่เขียนเป็น a x 2 + b x + c = 0, ที่ไหน x– ตัวแปร a , b และ คเป็นตัวเลขบางส่วนในขณะที่ เอไม่เป็นศูนย์

บ่อยครั้ง สมการกำลังสองเรียกอีกอย่างว่าสมการของดีกรีที่สอง เนื่องจากอันที่จริง สมการกำลังสองคือสมการพีชคณิตของดีกรีที่สอง

ให้ตัวอย่างเพื่อแสดงคำจำกัดความที่กำหนด: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 เป็นต้น เป็นสมการกำลังสอง

คำจำกัดความ 2

ตัวเลข a , b และ คคือสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง a x 2 + b x + c = 0ในขณะที่สัมประสิทธิ์ เอเรียกว่าแรกหรืออาวุโสหรือสัมประสิทธิ์ที่ x 2, b - สัมประสิทธิ์ที่สองหรือสัมประสิทธิ์ที่ x, แ คเรียกว่าเป็นสมาชิกฟรี

ตัวอย่างเช่น ในสมการกำลังสอง 6 x 2 - 2 x - 11 = 0สัมประสิทธิ์สูงสุดคือ 6 สัมประสิทธิ์ที่สองคือ − 2 และระยะฟรีเท่ากับ − 11 . ให้เราใส่ใจกับความจริงที่ว่าเมื่อสัมประสิทธิ์ ขและ/หรือ c เป็นลบ จากนั้นจึงใช้รูปแบบชวเลข 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, แต่ไม่ 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

ให้เราชี้แจงประเด็นนี้ด้วย: ถ้าสัมประสิทธิ์ เอและ/หรือ ขเท่ากับ 1 หรือ − 1 จากนั้นพวกเขาอาจไม่มีส่วนร่วมอย่างชัดเจนในการเขียนสมการกำลังสองซึ่งอธิบายโดยลักษณะเฉพาะของการเขียนสัมประสิทธิ์ตัวเลขที่ระบุ ตัวอย่างเช่น ในสมการกำลังสอง y 2 − y + 7 = 0สัมประสิทธิ์อาวุโสคือ 1 และสัมประสิทธิ์ที่สองคือ − 1 .

สมการกำลังสองลดและไม่ลด

ตามค่าของสัมประสิทธิ์แรก สมการกำลังสองจะแบ่งออกเป็นแบบลดและไม่ลด

คำจำกัดความ 3

สมการกำลังสองลดลงเป็นสมการกำลังสองโดยที่สัมประสิทธิ์นำหน้าคือ 1 สำหรับค่าอื่นๆ ของสัมประสิทธิ์นำ สมการกำลังสองจะไม่ลดลง

สมการกำลังสอง x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 ลดลง โดยแต่ละตัวมีสัมประสิทธิ์นำหน้าคือ 1

9 x 2 - x - 2 = 0- สมการกำลังสองไม่ลด โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์แรกแตกต่างจาก 1 .

สมการกำลังสองที่ไม่ลดทอนใดๆ สามารถแปลงเป็นสมการลดรูปได้โดยการหารทั้งสองส่วนด้วยสัมประสิทธิ์แรก (การแปลงเทียบเท่า) สมการที่แปลงแล้วจะมีรากเดียวกับสมการที่ไม่ลดค่าที่กำหนด หรือจะไม่มีรากเลย

การพิจารณาตัวอย่างเฉพาะจะช่วยให้เราแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงการเปลี่ยนจากสมการกำลังสองที่ไม่ลดทอนไปเป็นสมการที่ลดลง

ตัวอย่างที่ 1

จากสมการ 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . จำเป็นต้องแปลงสมการเดิมให้อยู่ในรูปย่อ

การตัดสินใจ

ตามรูปแบบข้างต้น เราแบ่งทั้งสองส่วนของสมการเดิมด้วยสัมประสิทธิ์นำหน้า 6 . จากนั้นเราได้รับ: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3และนี่ก็เหมือนกับ: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0และต่อไป: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0 .จากที่นี่: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . ดังนั้นจึงได้สมการที่เทียบเท่ากับสมการที่ให้มา

ตอบ: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

สมการกำลังสองที่สมบูรณ์และไม่สมบูรณ์

ให้เราหันไปหาคำจำกัดความของสมการกำลังสอง โดยเราระบุไว้ว่า a 0. เงื่อนไขที่คล้ายกันเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับสมการ a x 2 + b x + c = 0เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสพอดีตั้งแต่ a = 0โดยพื้นฐานแล้วมันแปลงเป็นสมการเชิงเส้น ข x + ค = 0.

ในกรณีที่สัมประสิทธิ์ ขและ คเท่ากับศูนย์ (ซึ่งเป็นไปได้ทั้งแบบแยกส่วนและร่วมกัน) สมการกำลังสองเรียกว่าไม่สมบูรณ์

คำจำกัดความ 4

สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์เป็นสมการกำลังสอง ก x 2 + ข x + ค \u003d 0,โดยที่สัมประสิทธิ์อย่างน้อยหนึ่งตัว ขและ ค(หรือทั้งสองอย่าง) เป็นศูนย์

สมการกำลังสองสมบูรณ์เป็นสมการกำลังสองซึ่งสัมประสิทธิ์ตัวเลขทั้งหมดไม่เท่ากับศูนย์

มาพูดคุยกันว่าทำไมชื่อของสมการกำลังสองจึงได้รับชื่อดังกล่าวอย่างแม่นยำ

สำหรับ b = 0 สมการกำลังสองอยู่ในรูป a x 2 + 0 x + c = 0ซึ่งก็เหมือนกับ ก x 2 + ค = 0. ที่ ค = 0สมการกำลังสองเขียนเป็น a x 2 + b x + 0 = 0ซึ่งเทียบเท่ากับ ก x 2 + ข x = 0. ที่ ข = 0และ ค = 0สมการจะอยู่ในรูป x 2 = 0. สมการที่เราได้รับแตกต่างจากสมการกำลังสองเต็มตรงที่ด้านซ้ายมือไม่มีพจน์ที่มีตัวแปร x หรือเทอมอิสระ หรือทั้งสองอย่างพร้อมกัน อันที่จริง ข้อเท็จจริงนี้ทำให้ชื่อของสมการประเภทนี้ - ไม่สมบูรณ์

ตัวอย่างเช่น x 2 + 3 x + 4 = 0 และ − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 เป็นสมการกำลังสองที่สมบูรณ์ x 2 \u003d 0, − 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 เป็นสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

คำจำกัดความที่ให้ไว้ข้างต้นทำให้สามารถแยกแยะประเภทของสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ต่อไปนี้ได้:

• x 2 = 0สัมประสิทธิ์สอดคล้องกับสมการดังกล่าว ข = 0และ c = 0 ;
• a x 2 + c \u003d 0 สำหรับ b \u003d 0;
• a x 2 + b x = 0 สำหรับ c = 0 .

พิจารณาคำตอบของสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์แต่ละประเภทอย่างต่อเนื่อง

คำตอบของสมการ a x 2 \u003d 0

ดังที่ได้กล่าวมาแล้วสมการดังกล่าวสอดคล้องกับสัมประสิทธิ์ ขและ คเท่ากับศูนย์ สมการ x 2 = 0สามารถแปลงเป็นสมการเทียบเท่าได้ x2 = 0ซึ่งเราได้จากการหารสมการเดิมทั้งสองข้างด้วยจำนวน เอไม่เท่ากับศูนย์ ความจริงที่เห็นได้ชัดก็คือรากของสมการ x2 = 0เป็นศูนย์เพราะ 0 2 = 0 . สมการนี้ไม่มีรากอื่นซึ่งอธิบายโดยคุณสมบัติของดีกรี: สำหรับจำนวนใด ๆ พี ,ไม่เท่ากับศูนย์ ความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริง p2 > 0ซึ่งสืบเนื่องมาจากเมื่อ พี ≠ 0ความเท่าเทียมกัน p2 = 0จะไม่มีวันไปถึง

คำจำกัดความ 5

ดังนั้น สำหรับสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ a x 2 = 0 จะมีรากเดียว x=0.

ตัวอย่าง 2

ตัวอย่างเช่น ลองแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ − 3 x 2 = 0. เทียบเท่ากับสมการ x2 = 0, รากเดียวของมันคือ x=0จากนั้นสมการเดิมจะมีรากเดียว - ศูนย์

สรุปวิธีแก้ปัญหาได้ดังนี้

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0

คำตอบของสมการ a x 2 + c \u003d 0

บรรทัดถัดไปคือคำตอบของสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ โดยที่ b \u003d 0, c ≠ 0 นั่นคือสมการของรูปแบบ ก x 2 + ค = 0. ลองแปลงสมการนี้โดยย้ายเทอมจากด้านหนึ่งของสมการไปอีกด้านหนึ่ง เปลี่ยนเครื่องหมายเป็นด้านตรงข้ามและหารทั้งสองข้างของสมการด้วยตัวเลขที่ไม่เท่ากับศูนย์:

• อดทน คทางด้านขวาซึ่งให้สมการ ก x 2 = − c;
• หารทั้งสองข้างของสมการด้วย เอเราจะได้ผลลัพธ์ x = - c a

การแปลงของเราเท่ากันตามลำดับ สมการที่ได้ก็เทียบเท่ากับสมการเดิม และข้อเท็จจริงนี้ทำให้สามารถสรุปเกี่ยวกับรากของสมการได้ จากค่านิยมคืออะไร เอและ คขึ้นอยู่กับค่าของนิพจน์ - c a: สามารถมีเครื่องหมายลบได้ (เช่น if a = 1และ ค = 2แล้ว - c a = - 2 1 = - 2) หรือเครื่องหมายบวก (เช่น if ก = -2และ ค=6จากนั้น - c a = - 6 - 2 = 3); มันไม่เท่ากับศูนย์เพราะ ค ≠ 0. ให้เราอาศัยรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับสถานการณ์เมื่อ - c a< 0 и - c a > 0 .

ในกรณีที่เมื่อ - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа พีความเท่าเทียมกัน p 2 = - c a ไม่สามารถเป็นจริงได้

ทุกอย่างแตกต่างกันเมื่อ - c a > 0: จำสแควร์รูทและจะเห็นได้ชัดว่ารูทของสมการ x 2 \u003d - c a จะเป็นตัวเลข - c a เนื่องจาก - c a 2 \u003d - c a เป็นเรื่องง่ายที่จะเข้าใจว่าตัวเลข - - c a - ยังเป็นรากของสมการ x 2 = - c a: แน่นอน, - - c a 2 = - c a

สมการจะไม่มีรากอื่น เราสามารถสาธิตสิ่งนี้โดยใช้วิธีที่ตรงกันข้าม อันดับแรก ให้ตั้งค่าสัญกรณ์ของรูตที่พบด้านบนเป็น x 1และ − x 1. สมมติว่าสมการ x 2 = - c a มีรูทด้วย x2ซึ่งแตกต่างจากรากเหง้า x 1และ − x 1. เรารู้ว่าโดยการแทนค่าลงในสมการแทน xรากของมัน, เราแปลงสมการเป็นความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่ยุติธรรม

สำหรับ x 1และ − x 1เขียน: x 1 2 = - c a และสำหรับ x2- x 2 2 \u003d - ค. ตามคุณสมบัติของความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลข เราลบความเท่าเทียมกันที่แท้จริงหนึ่งจากอีกเทอมหนึ่งด้วยเทอม ซึ่งจะทำให้เรา: x 1 2 − x 2 2 = 0. ใช้คุณสมบัติของการดำเนินการตัวเลขเพื่อเขียนค่าความเท่าเทียมกันสุดท้ายเป็น (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. เป็นที่ทราบกันดีว่าผลคูณของตัวเลขสองตัวนั้นเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อตัวเลขอย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นศูนย์ จากที่เล่ามาก็ว่า x1 − x2 = 0และ/หรือ x1 + x2 = 0ซึ่งก็เหมือนกัน x2 = x1และ/หรือ x 2 = − x 1. เกิดความขัดแย้งอย่างเห็นได้ชัดเพราะในตอนแรกตกลงกันว่ารากของสมการ x2แตกต่างจาก x 1และ − x 1. ดังนั้น เราได้พิสูจน์แล้วว่าสมการไม่มีรากอื่นนอกจาก x = - c a และ x = - - c a

เราสรุปข้อโต้แย้งทั้งหมดข้างต้น

คำจำกัดความ 6

สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์ ก x 2 + ค = 0เทียบเท่ากับสมการ x 2 = - c a ซึ่ง:

• จะไม่มีรากที่ - c a< 0 ;
• จะมีสองราก x = - c a และ x = - - c a when - c a > 0

ให้เรายกตัวอย่างการแก้สมการ ก x 2 + ค = 0.

ตัวอย่างที่ 3

ให้สมการกำลังสอง 9 x 2 + 7 = 0 .จำเป็นต้องหาทางแก้ไข

การตัดสินใจ

เราโอนเทอมอิสระไปทางด้านขวาของสมการ จากนั้นสมการจะอยู่ในรูป 9 x 2 \u003d - 7
เราหารสมการผลลัพธ์ทั้งสองข้างด้วย 9 , เรามาถึง x 2 = - 7 9 . ทางด้านขวา เราเห็นตัวเลขที่มีเครื่องหมายลบ ซึ่งหมายความว่า สมการที่กำหนดไม่มีราก แล้วสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์เดิม 9 x 2 + 7 = 0จะไม่มีราก

ตอบ:สมการ 9 x 2 + 7 = 0ไม่มีราก

ตัวอย่างที่ 4

จำเป็นต้องแก้สมการ − x2 + 36 = 0.

การตัดสินใจ

ลองย้าย 36 ไปทางด้านขวา: − x 2 = − 36.
ขอแบ่งทั้งสองส่วนออกเป็น − 1 , เราได้รับ x2 = 36. ทางด้านขวาเป็นจำนวนบวกซึ่งเราสามารถสรุปได้ว่า x = 36 หรือ x = - 36 .
เราแยกรากและเขียนผลลัพธ์สุดท้าย: สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ − x2 + 36 = 0มีสองราก x=6หรือ x = -6.

ตอบ: x=6หรือ x = -6.

คำตอบของสมการ a x 2 +b x=0

ให้เราวิเคราะห์สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ประเภทที่สามเมื่อ ค = 0. การหาคำตอบของสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ก x 2 + ข x = 0เราใช้วิธีแยกตัวประกอบ ให้เราแยกตัวประกอบพหุนามซึ่งอยู่ทางด้านซ้ายของสมการโดยเอาตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ x. ขั้นตอนนี้จะทำให้สามารถเปลี่ยนสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์เดิมให้มีค่าเท่ากันได้ x (a x + b) = 0. และสมการนี้ก็เท่ากับเซตของสมการ x=0และ ก x + ข = 0. สมการ ก x + ข = 0เชิงเส้นและรากของมัน: x = − ข ก.

คำจำกัดความ 7

ดังนั้น สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ก x 2 + ข x = 0จะมีสองราก x=0และ x = − ข ก.

มารวมเนื้อหาด้วยตัวอย่างกัน

ตัวอย่างที่ 5

จำเป็นต้องหาคำตอบของสมการ 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 .

การตัดสินใจ

ออกไปกันเถอะ xนอกวงเล็บและรับสมการ x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . สมการนี้เทียบเท่ากับสมการ x=0และ 2 3 x - 2 2 7 = 0 . ตอนนี้คุณควรแก้สมการเชิงเส้นที่ได้: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

โดยสั้น ๆ เราเขียนคำตอบของสมการดังนี้:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 หรือ 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 หรือ x = 3 3 7

ตอบ: x = 0 , x = 3 3 7 .

Discriminant สูตรรากของสมการกำลังสอง

ในการหาคำตอบของสมการกำลังสอง มีสูตรรูทดังนี้

คำจำกัดความ 8

x = - b ± D 2 a โดยที่ D = b 2 − 4 a cคือสิ่งที่เรียกว่า discriminant ของสมการกำลังสอง

การเขียน x \u003d - b ± D 2 a โดยพื้นฐานแล้วหมายความว่า x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a

จะเป็นประโยชน์ในการทำความเข้าใจว่าสูตรที่ระบุได้มาอย่างไรและจะนำไปใช้อย่างไร

ที่มาของสูตรรากของสมการกำลังสอง

สมมติว่าเรากำลังเผชิญกับงานแก้สมการกำลังสอง a x 2 + b x + c = 0. ลองทำการแปลงที่เทียบเท่ากันจำนวนหนึ่ง:

• หารทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวน เอแตกต่างจากศูนย์เราได้รับสมการกำลังสองที่ลดลง: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• เลือกสี่เหลี่ยมเต็มทางด้านซ้ายของสมการผลลัพธ์:
  x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
  หลังจากนี้สมการจะอยู่ในรูปแบบ: x ​​+ b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• ตอนนี้มันเป็นไปได้ที่จะถ่ายโอนสองเทอมสุดท้ายไปทางด้านขวา เปลี่ยนเครื่องหมายเป็นตรงกันข้าม หลังจากนั้นเราจะได้: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• ในที่สุด เราแปลงนิพจน์ที่เขียนทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันสุดท้าย:
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2

เราจึงมาถึงสมการ x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 ซึ่งเทียบเท่ากับสมการเดิม a x 2 + b x + c = 0.

เราได้กล่าวถึงการแก้สมการดังกล่าวในย่อหน้าก่อนหน้า (การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์) ประสบการณ์ที่ได้รับทำให้สามารถสรุปเกี่ยวกับรากของสมการ x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:

• สำหรับ b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• สำหรับ b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 สมการมีรูปแบบ x + b 2 · a 2 = 0 จากนั้น x + b 2 · a = 0

จากที่นี่ มีเพียงรูท x = - b 2 · a เท่านั้นที่ชัดเจน

• สำหรับ b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0 ค่าที่ถูกต้องคือ: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 หรือ x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 ซึ่งก็คือ เช่นเดียวกับ x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 หรือ x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 นั่นคือ สมการมีสองราก

เป็นไปได้ที่จะสรุปได้ว่าการมีหรือไม่มีรากของสมการ x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (และด้วยเหตุนี้สมการเดิม) ขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของนิพจน์ b 2 - 4 a c 4 · a 2 เขียนไว้ทางด้านขวา และเครื่องหมายของนิพจน์นี้ถูกกำหนดโดยเครื่องหมายของตัวเศษ (ตัวส่วน 4 ต่อ 2จะเป็นบวกเสมอ) นั่นคือเครื่องหมายของนิพจน์ ข 2 − 4 ค. สำนวนนี้ ข 2 − 4 คมีการตั้งชื่อ - การเลือกปฏิบัติของสมการกำลังสองและตัวอักษร D ถูกกำหนดให้เป็นการกำหนด ที่นี่คุณสามารถเขียนแก่นแท้ของการเลือกปฏิบัติ - ด้วยค่าและเครื่องหมาย พวกมันสรุปได้ว่าสมการกำลังสองจะมีรากจริงหรือไม่ และถ้ามี หนึ่งหรือสองรากมีกี่ราก

กลับไปที่สมการ x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 . ลองเขียนมันใหม่โดยใช้สัญกรณ์จำแนก: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2

มาสรุปข้อสรุปกัน:

คำจำกัดความ 9

• ที่ ดี< 0 สมการไม่มีรากที่แท้จริง
• ที่ D=0สมการมีรากเดียว x = - b 2 · a ;
• ที่ D > 0สมการมีสองราก: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 หรือ x \u003d - b 2 a - D 4 a 2 ตามคุณสมบัติของอนุมูล รากเหล่านี้สามารถเขียนได้ดังนี้: x \u003d - b 2 a + D 2 a หรือ - b 2 a - D 2 a และเมื่อเราเปิดโมดูลและลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วม เราจะได้: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a

ดังนั้น ผลลัพธ์ของการใช้เหตุผลของเราคือการได้มาของสูตรสำหรับรากของสมการกำลังสอง:

x = - b + D 2 a , x = - b - D 2 a , การเลือกปฏิบัติ ดีคำนวณโดยสูตร D = b 2 − 4 a c.

สูตรเหล่านี้ทำให้เป็นไปได้ เมื่อ discriminant มีค่ามากกว่าศูนย์ เพื่อกำหนดรากที่แท้จริงทั้งสอง เมื่อ discriminant เป็นศูนย์ การใช้ทั้งสองสูตรจะให้รากเดียวกันเป็นคำตอบเดียวของสมการกำลังสอง ในกรณีที่ discriminant เป็นค่าลบ พยายามใช้สูตรรากกำลังสอง เราจะต้องเผชิญกับความจำเป็นในการแยกรากที่สองของจำนวนลบออก ซึ่งจะพาเราไปไกลกว่าจำนวนจริง ด้วยการเลือกปฏิบัติเชิงลบ สมการกำลังสองจะไม่มีรากที่แท้จริง แต่มีรากคอนจูเกตที่ซับซ้อนคู่หนึ่ง ซึ่งกำหนดโดยสูตรรากเดียวกันที่เราได้รับ

อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตรราก

เป็นไปได้ที่จะแก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตรรากทันที แต่โดยพื้นฐานแล้ว จะทำได้เมื่อจำเป็นต้องหารากที่ซับซ้อน

ในกรณีส่วนใหญ่ การค้นหามักจะไม่ได้มีไว้สำหรับความซับซ้อน แต่สำหรับรากที่แท้จริงของสมการกำลังสอง จากนั้นจึงจะเหมาะสมที่สุด ก่อนที่จะใช้สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสอง ขั้นแรกให้กำหนดการเลือกปฏิบัติและตรวจดูให้แน่ใจว่าไม่เป็นค่าลบ (ไม่เช่นนั้น เราจะสรุปได้ว่าสมการไม่มีรากจริง) แล้วจึงดำเนินการคำนวณ คุณค่าของราก

เหตุผลข้างต้นทำให้สามารถกำหนดอัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการกำลังสองได้

คำจำกัดความ 10

ในการแก้สมการกำลังสอง a x 2 + b x + c = 0, จำเป็น:

• ตามสูตร D = b 2 − 4 a cหาค่าของการเลือกปฏิบัติ;
• ที่ D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• สำหรับ D = 0 ค้นหารากเดียวของสมการโดยใช้สูตร x = - b 2 · a ;
• สำหรับ D > 0 ให้หารากจริงสองรากของสมการกำลังสองโดยใช้สูตร x = - b ± D 2 · a

โปรดทราบว่าเมื่อ discriminant เป็นศูนย์ คุณสามารถใช้สูตร x = - b ± D 2 · a ได้ ซึ่งจะให้ผลลัพธ์เหมือนกับสูตร x = - b 2 · a

พิจารณาตัวอย่าง

ตัวอย่างการแก้สมการกำลังสอง

เรานำเสนอวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างสำหรับค่านิยมต่างๆของการเลือกปฏิบัติ

ตัวอย่างที่ 6

จำเป็นต้องหารากของสมการ x 2 + 2 x - 6 = 0.

การตัดสินใจ

เราเขียนสัมประสิทธิ์ตัวเลขของสมการกำลังสอง: a \u003d 1, b \u003d 2 และ ค = − 6. ต่อไป เราดำเนินการตามอัลกอริทึม กล่าวคือ มาเริ่มคำนวณ discriminant ซึ่งเราแทนค่าสัมประสิทธิ์ a , b และ คลงในสูตรการเลือกปฏิบัติ: D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

ดังนั้นเราจึงได้ D > 0 ซึ่งหมายความว่าสมการเดิมจะมีรากจริงสองราก
ในการค้นหาเราใช้สูตรรูท x \u003d - b ± D 2 · a และแทนที่ค่าที่เหมาะสมเราจะได้: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1 เราลดความซับซ้อนของนิพจน์ผลลัพธ์โดยการเอาตัวประกอบออกจากเครื่องหมายของรูท ตามด้วยการลดเศษส่วน:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 หรือ x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 หรือ x = - 1 - 7

ตอบ: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

ตัวอย่าง 7

จำเป็นต้องแก้สมการกำลังสอง − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

การตัดสินใจ

มากำหนดการเลือกปฏิบัติ: D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. ด้วยค่าดิสคริมิแนนต์นี้ สมการดั้งเดิมจะมีรากเดียวเท่านั้น กำหนดโดยสูตร x = - b 2 · a

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

ตอบ: x = 3, 5.

ตัวอย่างที่ 8

จำเป็นต้องแก้สมการ 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

การตัดสินใจ

สัมประสิทธิ์ตัวเลขของสมการนี้จะเป็น: a = 5 , b = 6 และ c = 2 เราใช้ค่าเหล่านี้เพื่อค้นหาการเลือกปฏิบัติ: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . ดิสคริมิแนนต์ที่คำนวณได้นั้นเป็นค่าลบ ดังนั้นสมการกำลังสองดั้งเดิมจึงไม่มีรากที่แท้จริง

ในกรณีที่งานคือการระบุรูทที่ซับซ้อน เราใช้สูตรรูทโดยดำเนินการกับจำนวนเชิงซ้อน:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 หรือ x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i หรือ x = - 3 5 - 1 5 i .

ตอบ:ไม่มีรากที่แท้จริง รากที่ซับซ้อนคือ: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

ในหลักสูตรของโรงเรียนเป็นมาตรฐาน ไม่จำเป็นต้องมองหารากที่ซับซ้อน ดังนั้น หากการเลือกปฏิบัติถูกกำหนดเป็นลบระหว่างการแก้ปัญหา คำตอบจะถูกบันทึกทันทีว่าไม่มีรากที่แท้จริง

สูตรรากสำหรับสัมประสิทธิ์เลขคู่

สูตรราก x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) ทำให้ได้สูตรอื่นที่กะทัดรัดยิ่งขึ้น ช่วยให้คุณหาคำตอบของสมการกำลังสองด้วยสัมประสิทธิ์คู่ที่ x (หรือด้วยค่าสัมประสิทธิ์ ของรูปแบบ 2 a n ตัวอย่างเช่น 2 3 หรือ 14 ln 5 = 2 7 ln 5) ให้เราแสดงให้เห็นว่าสูตรนี้ได้มาอย่างไร

สมมติว่าเรากำลังเผชิญกับภารกิจในการหาคำตอบของสมการกำลังสอง a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 เราดำเนินการตามอัลกอริทึม: เรากำหนดการเลือกปฏิบัติ D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) จากนั้นใช้สูตรรูท:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · ค ก.

ให้นิพจน์ n 2 − a c แทนด้วย D 1 (บางครั้งแสดงแทน D ") จากนั้นสูตรสำหรับรากของสมการกำลังสองที่พิจารณาด้วยสัมประสิทธิ์ที่สอง 2 n จะมีรูปแบบดังนี้

x \u003d - n ± D 1 a โดยที่ D 1 \u003d n 2 - a c

ง่ายที่จะเห็นว่า D = 4 · D 1 หรือ D 1 = D 4 กล่าวอีกนัยหนึ่ง D 1 คือหนึ่งในสี่ของการเลือกปฏิบัติ เห็นได้ชัดว่าเครื่องหมายของ D 1 เหมือนกับเครื่องหมายของ D ซึ่งหมายความว่าเครื่องหมายของ D 1 สามารถใช้เป็นตัวบ่งชี้ว่ามีหรือไม่มีรากของสมการกำลังสอง

คำจำกัดความ 11

ดังนั้น ในการหาคำตอบของสมการกำลังสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์ที่สองเท่ากับ 2 n จึงจำเป็น:

• หา D 1 = n 2 − a c ;
• ที่ D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• สำหรับ D 1 = 0 ให้กำหนดรากเดียวของสมการโดยใช้สูตร x = - n a ;
• สำหรับ D 1 > 0 กำหนดสองรากที่แท้จริงโดยใช้สูตร x = - n ± D 1 a

ตัวอย่างที่ 9

จำเป็นต้องแก้สมการกำลังสอง 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0

การตัดสินใจ

สัมประสิทธิ์ที่สองของสมการที่กำหนดสามารถแสดงเป็น 2 · (− 3) . จากนั้นเราเขียนสมการกำลังสองที่กำหนดใหม่เป็น 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 โดยที่ a = 5 , n = − 3 และ c = − 32

ลองคำนวณส่วนที่สี่ของการเลือกปฏิบัติ: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 ค่าผลลัพธ์เป็นบวก ซึ่งหมายความว่าสมการมีรากจริงสองราก เรากำหนดโดยสูตรที่สอดคล้องกันของราก:

x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 หรือ x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 หรือ x = - 2

เป็นไปได้ที่จะทำการคำนวณโดยใช้สูตรปกติสำหรับรากของสมการกำลังสอง แต่ในกรณีนี้ การแก้ปัญหาจะยุ่งยากกว่า

ตอบ: x = 3 1 5 หรือ x = - 2 .

การลดความซับซ้อนของรูปสมการกำลังสอง

บางครั้งเป็นไปได้ที่จะปรับรูปแบบของสมการดั้งเดิมให้เหมาะสม ซึ่งจะทำให้ขั้นตอนการคำนวณรากง่ายขึ้น

ตัวอย่างเช่น สมการกำลังสอง 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 จะสะดวกกว่าในการแก้มากกว่า 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0 อย่างชัดเจน

บ่อยครั้ง การลดความซับซ้อนของรูปแบบของสมการกำลังสองนั้นทำได้โดยการคูณหรือหารทั้งสองส่วนด้วยจำนวนที่แน่นอน ตัวอย่างเช่น ด้านบน เราได้แสดงการแสดงสมการแบบง่าย 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 ซึ่งได้จากหารทั้งสองส่วนด้วย 100

การแปลงดังกล่าวเป็นไปได้เมื่อสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสองไม่ใช่จำนวนเฉพาะ จากนั้นโดยปกติทั้งสองส่วนของสมการจะถูกหารด้วยตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของค่าสัมบูรณ์ของสัมประสิทธิ์

ตัวอย่างเช่น เราใช้สมการกำลังสอง 12 x 2 − 42 x + 48 = 0 กำหนด gcd ของค่าสัมบูรณ์ของสัมประสิทธิ์: gcd (12 , 42 , 48) = gcd(gcd (12 , 42) , 48) = gcd (6 , 48) = 6 . ลองหารทั้งสองส่วนของสมการกำลังสองเดิมด้วย 6 แล้วได้สมการกำลังสองที่เท่ากัน 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0

โดยการคูณทั้งสองข้างของสมการกำลังสอง สัมประสิทธิ์เศษส่วนมักจะถูกตัดออก ในกรณีนี้ ให้คูณด้วยตัวคูณร่วมน้อยของสัมประสิทธิ์ ตัวอย่างเช่น หากแต่ละส่วนของสมการกำลังสอง 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 ถูกคูณด้วย LCM (6, 3, 1) \u003d 6 จากนั้นจะถูกเขียนในรูปแบบที่ง่ายกว่า x 2 + 4 x - 18 = 0 .

สุดท้าย เราสังเกตว่าเกือบทุกครั้งจะกำจัดเครื่องหมายลบที่สัมประสิทธิ์แรกของสมการกำลังสอง เปลี่ยนเครื่องหมายของแต่ละเทอมของสมการ ซึ่งทำได้โดยการคูณ (หรือหาร) ทั้งสองส่วนด้วย − 1 ตัวอย่างเช่น จากสมการกำลังสอง - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0 คุณสามารถไปที่เวอร์ชันย่อ 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0

ความสัมพันธ์ระหว่างรากและสัมประสิทธิ์

สูตรที่ทราบอยู่แล้วสำหรับรากของสมการกำลังสอง x = - b ± D 2 · a เป็นการแสดงออกถึงรากของสมการในแง่ของสัมประสิทธิ์เชิงตัวเลข จากสูตรนี้ เรามีโอกาสที่จะตั้งค่าการพึ่งพาอื่น ๆ ระหว่างรากและค่าสัมประสิทธิ์

ที่มีชื่อเสียงและใช้ได้จริงคือสูตรของทฤษฎีบทเวียตา:

x 1 + x 2 \u003d - b a และ x 2 \u003d c a.

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับสมการกำลังสองที่ให้มา ผลรวมของรากคือสัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายตรงข้าม และผลิตภัณฑ์ของรากจะเท่ากับเทอมอิสระ ตัวอย่างเช่น โดยรูปแบบของสมการกำลังสอง 3 · x 2 − 7 · x + 22 \u003d 0 เป็นไปได้ที่จะระบุได้ทันทีว่าผลรวมของรากของมันคือ 7 3 และผลิตภัณฑ์ของรากคือ 22 3

คุณยังสามารถค้นหาความสัมพันธ์อื่นๆ ระหว่างรากและสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสองได้อีกด้วย ตัวอย่างเช่น ผลรวมของกำลังสองของรากของสมการกำลังสองสามารถแสดงในรูปของสัมประสิทธิ์:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

เราศึกษาหัวข้อต่อไป แก้สมการ". เราได้ทำความคุ้นเคยกับสมการเชิงเส้นแล้ว และตอนนี้เรากำลังจะทำความคุ้นเคยกับ สมการกำลังสอง.

อันดับแรก เราจะพูดถึงว่าสมการกำลังสองคืออะไร เขียนในรูปแบบทั่วไปอย่างไร และให้คำจำกัดความที่เกี่ยวข้องกัน หลังจากนั้น เราจะใช้ตัวอย่างวิเคราะห์ในรายละเอียดว่าสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์นั้นได้รับการแก้ไขอย่างไร ต่อไป เราจะไปต่อในการแก้สมการที่สมบูรณ์ รับสูตรสำหรับราก ทำความคุ้นเคยกับการจำแนกสมการกำลังสอง และพิจารณาคำตอบของตัวอย่างทั่วไป สุดท้าย เราติดตามการเชื่อมต่อระหว่างรากและค่าสัมประสิทธิ์

การนำทางหน้า

สมการกำลังสองคืออะไร? ประเภทของพวกเขา

ก่อนอื่นคุณต้องเข้าใจให้ชัดเจนว่าสมการกำลังสองคืออะไร ดังนั้นจึงเป็นเรื่องสมเหตุสมผลที่จะเริ่มพูดถึงสมการกำลังสองด้วยคำจำกัดความของสมการกำลังสอง เช่นเดียวกับคำจำกัดความที่เกี่ยวข้อง หลังจากนั้น คุณสามารถพิจารณาประเภทหลักของสมการกำลังสอง: สมการกำลังสองและการลดรูป รวมถึงสมการที่สมบูรณ์และไม่สมบูรณ์

ความหมายและตัวอย่างของสมการกำลังสอง

คำนิยาม.

สมการกำลังสองเป็นสมการของรูป a x 2 +b x+c=0โดยที่ x เป็นตัวแปร a , b และ c คือตัวเลขบางตัว และ a ต่างจากศูนย์

สมมติทันทีว่าสมการกำลังสองมักเรียกว่าสมการดีกรีที่สอง ทั้งนี้เป็นเพราะสมการกำลังสองคือ สมการพีชคณิตระดับที่สอง

คำจำกัดความที่ฟังดูแล้วทำให้เราสามารถยกตัวอย่างสมการกำลังสองได้ ดังนั้น 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0, เป็นต้น เป็นสมการกำลังสอง

คำนิยาม.

ตัวเลข a , b และ c เรียกว่า สัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง a x 2 + b x + c \u003d 0 และสัมประสิทธิ์ a เรียกว่าตัวแรกหรือตัวสูงหรือสัมประสิทธิ์ที่ x 2 b คือสัมประสิทธิ์ที่สองหรือสัมประสิทธิ์ที่ x และ c เป็นสมาชิกอิสระ

ตัวอย่างเช่น ลองใช้สมการกำลังสองของรูปแบบ 5 x 2 −2 x−3=0 โดยที่สัมประสิทธิ์นำหน้าคือ 5 สัมประสิทธิ์ที่สองคือ −2 และเทอมอิสระคือ −3 โปรดทราบว่าเมื่อสัมประสิทธิ์ b และ/หรือ c เป็นลบ ดังในตัวอย่างที่ให้ไว้ จะใช้รูปแบบสั้นของสมการกำลังสองของรูปแบบ 5 x 2 −2 x−3=0 ไม่ใช่ 5 x 2 +(− 2 )x+(−3)=0 .

เป็นที่น่าสังเกตว่าเมื่อสัมประสิทธิ์ a และ / หรือ b เท่ากับ 1 หรือ -1 ค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้มักจะไม่ชัดเจนในสัญกรณ์สมการกำลังสอง ซึ่งเกิดจากลักษณะเฉพาะของสัญกรณ์ดังกล่าว . ตัวอย่างเช่น ในสมการกำลังสอง y 2 −y+3=0 สัมประสิทธิ์นำหน้าคือ 1 และสัมประสิทธิ์ที่ y คือ -1

สมการกำลังสองลดและไม่ลด

ขึ้นอยู่กับค่าของสัมประสิทธิ์นำ สมการกำลังสองลดและไม่ลดจะแตกต่างกัน ให้เราให้คำจำกัดความที่สอดคล้องกัน

คำนิยาม.

สมการกำลังสองซึ่งสัมประสิทธิ์นำหน้าคือ 1 เรียกว่า สมการกำลังสองลดลง. มิฉะนั้น สมการกำลังสองคือ ไม่ลดลง.

ตามคำจำกัดความนี้ สมการกำลังสอง x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0, เป็นต้น - ลดลงในแต่ละค่าสัมประสิทธิ์แรกเท่ากับหนึ่ง และ 5 x 2 −x−1=0 เป็นต้น - สมการกำลังสองไม่ลดทอน ค่าสัมประสิทธิ์นำหน้าแตกต่างจาก 1 .

จากสมการกำลังสองที่ไม่ลดรูปใดๆ โดยการหารทั้งสองส่วนด้วยสัมประสิทธิ์นำหน้า คุณสามารถไปที่ส่วนที่ลดแล้วได้ การกระทำนี้เป็นการแปลงที่เท่ากัน กล่าวคือ สมการกำลังสองลดรูปที่ได้รับในลักษณะนี้มีรากเดียวกันกับสมการกำลังสองแบบไม่ลดค่าดั้งเดิม หรือไม่มีรากในลักษณะนี้

ลองมาดูตัวอย่างว่าการเปลี่ยนจากสมการกำลังสองแบบไม่ลดรูปไปเป็นสมการกำลังสองนั้นทำอย่างไร

ตัวอย่าง.

จากสมการ 3 x 2 +12 x−7=0 ไปที่สมการกำลังสองลดค่าที่สอดคล้องกัน

การตัดสินใจ.

หารทั้งสองส่วนของสมการเดิมด้วยสัมประสิทธิ์นำหน้า 3 ก็เพียงพอแล้ว ไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นเราจึงสามารถดำเนินการนี้ได้ เรามี (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 ซึ่งเหมือนกับ (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 เป็นต้น (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 เป็นต้น (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 มาจากไหน เราก็ได้สมการกำลังสองลดรูป ซึ่งเท่ากับสมการเดิม

ตอบ:

สมการกำลังสองที่สมบูรณ์และไม่สมบูรณ์

มีเงื่อนไข a≠0 ในนิยามของสมการกำลังสอง เงื่อนไขนี้จำเป็นเพื่อให้สมการ a x 2 +b x+c=0 เป็นกำลังสองพอดี เนื่องจาก a=0 จะกลายเป็นสมการเชิงเส้นของรูปแบบ b x+c=0 จริงๆ

สำหรับสัมประสิทธิ์ b และ c พวกมันสามารถเท่ากับศูนย์ ทั้งแยกจากกันและรวมกัน ในกรณีเหล่านี้ สมการกำลังสองเรียกว่าไม่สมบูรณ์

คำนิยาม.

สมการกำลังสอง a x 2 +b x+c=0 เรียกว่า ไม่สมบูรณ์, ถ้าอย่างน้อยหนึ่งสัมประสิทธิ์ b , c เท่ากับศูนย์

ถึงคราวของมัน

คำนิยาม.

สมการกำลังสองสมบูรณ์เป็นสมการที่สัมประสิทธิ์ทั้งหมดต่างจากศูนย์

ชื่อเหล่านี้ไม่ได้รับโดยบังเอิญ สิ่งนี้จะชัดเจนจากการสนทนาต่อไปนี้

หากสัมประสิทธิ์ b เท่ากับศูนย์ สมการกำลังสองจะกลายเป็น x 2 +0 x+c=0 และเทียบเท่ากับสมการ a x 2 +c=0 ถ้า c=0 นั่นคือสมการกำลังสองมีรูปแบบ a x 2 +b x+0=0 ก็สามารถเขียนใหม่เป็น x 2 +b x=0 ได้ และด้วย b=0 และ c=0 เราได้สมการกำลังสอง a·x 2 =0 สมการที่ได้จะแตกต่างจากสมการกำลังสองเต็มตรงตรงที่ด้านซ้ายมือไม่มีพจน์ที่มีตัวแปร x หรือพจน์อิสระ หรือทั้งสองอย่าง ดังนั้นชื่อของพวกเขาจึงเป็นสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

ดังนั้น สมการ x 2 +x+1=0 และ −2 x 2 −5 x+0,2=0 จึงเป็นตัวอย่างของสมการกำลังสองที่สมบูรณ์ และ x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 เป็นสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

สืบเนื่องมาจากข้อความในวรรคก่อนว่า สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์สามชนิด:

• a x 2 =0 , สัมประสิทธิ์ b=0 และ c=0 สอดคล้องกับมัน;
• a x 2 +c=0 เมื่อ b=0 ;
• และ a x 2 +b x=0 เมื่อ c=0 .

ให้เราวิเคราะห์เพื่อที่จะแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของแต่ละประเภทเหล่านี้ได้อย่างไร

ก x 2 \u003d 0

เริ่มต้นด้วยการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ซึ่งสัมประสิทธิ์ b และ c เท่ากับศูนย์ นั่นคือ ด้วยสมการของรูปแบบ a x 2 =0 สมการ a·x 2 =0 เทียบเท่ากับสมการ x 2 =0 ซึ่งได้มาจากสมการเดิมโดยการหารทั้งสองส่วนด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ a เห็นได้ชัดว่ารากของสมการ x 2 \u003d 0 เป็นศูนย์ เนื่องจาก 0 2 \u003d 0 สมการนี้ไม่มีรากอื่น ๆ ซึ่งอธิบายไว้แน่นอนสำหรับจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ p ใด ๆ ความไม่เท่าเทียมกัน p 2 >0 เกิดขึ้น ซึ่งหมายความว่าสำหรับ p≠0 ความเท่าเทียมกัน p 2 =0 จะไม่เกิดขึ้น

ดังนั้นสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ a x 2 \u003d 0 มีรากเดียว x \u003d 0

ตัวอย่างเช่น เราให้คำตอบของสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ −4·x 2 =0 มันเทียบเท่ากับสมการ x 2 \u003d 0, รูทเดียวของมันคือ x \u003d 0 ดังนั้น สมการดั้งเดิมจึงมีศูนย์รูทเดียว

วิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ ในกรณีนี้สามารถออกได้ดังนี้:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0
x=0 .

ก x 2 +c=0

ทีนี้ลองพิจารณาว่าสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์นั้นแก้ได้อย่างไร โดยที่สัมประสิทธิ์ b เท่ากับศูนย์ และ c≠0 นั่นคือสมการของรูปแบบ a x 2 +c=0 เรารู้ว่าการถ่ายโอนเทอมจากด้านหนึ่งของสมการไปอีกด้านหนึ่งด้วยเครื่องหมายตรงข้าม เช่นเดียวกับการหารสมการทั้งสองข้างด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ ให้สมการที่เท่ากัน ดังนั้น การแปลงที่เทียบเท่ากันของสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ a x 2 +c=0 สามารถทำได้:

• เลื่อน c ไปทางด้านขวา ซึ่งให้สมการ a x 2 =−c,
• และหารทั้งสองส่วนด้วย a เราจะได้

สมการที่ได้ทำให้เราสามารถสรุปเกี่ยวกับรากเหง้าของมันได้ ขึ้นอยู่กับค่าของ a และ c ค่าของนิพจน์อาจเป็นค่าลบ (เช่น ถ้า a=1 และ c=2 แล้ว ) หรือค่าบวก (เช่น ถ้า a=−2 และ c=6 แล้ว ) มันไม่เท่ากับศูนย์เพราะตามเงื่อนไข c≠0 เราจะแยกวิเคราะห์กรณีและ .

ถ้า แสดงว่าสมการไม่มีราก ข้อความนี้สืบเนื่องมาจากข้อเท็จจริงที่ว่ากำลังสองของจำนวนใดๆ เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ จากนี้ไปเมื่อ เมื่อ ดังนั้นสำหรับจำนวน p ความเสมอภาคจะไม่เป็นจริง

ถ้า แล้วสถานการณ์ที่มีรากของสมการจะต่างกัน ในกรณีนี้ หากเราจำได้ รากของสมการก็จะชัดเจนในทันที นั่นคือตัวเลขตั้งแต่ มันง่ายที่จะเดาว่าตัวเลขนั้นเป็นรากของสมการเช่นกัน สมการนี้ไม่มีรากอื่น ซึ่งสามารถแสดงได้ ตัวอย่างเช่น โดยความขัดแย้ง มาทำกัน

ลองแสดงว่ารากที่เปล่งออกมาของสมการเป็น x 1 และ −x 1 สมมติว่าสมการมีราก x 2 อื่นแตกต่างจากรากที่ระบุ x 1 และ −x 1 เป็นที่ทราบกันว่าการแทนที่ในสมการแทนที่จะเป็น x ของรากจะทำให้สมการนั้นกลายเป็นความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่แท้จริง สำหรับ x 1 และ −x 1 เรามี และสำหรับ x 2 เรามี คุณสมบัติของความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขทำให้เราสามารถลบค่าความเท่าเทียมกันของจำนวนจริงแบบเทอมต่อเทอมได้ ดังนั้นการลบส่วนที่สอดคล้องกันของความเท่าเทียมกันจะได้ x 1 2 − x 2 2 =0 คุณสมบัติของการดำเนินการกับตัวเลขทำให้เราสามารถเขียนความเท่าเทียมกันที่เป็นผลลัพธ์ใหม่เป็น (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . เรารู้ว่าผลคูณของตัวเลขสองตัวเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่ออย่างน้อยหนึ่งในนั้นมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้นจึงเป็นไปตามความเท่าเทียมกันที่ได้รับว่า x 1 −x 2 =0 และ/หรือ x 1 +x 2 =0 ซึ่งเท่ากัน x 2 =x 1 และ/หรือ x 2 = −x 1 ดังนั้นเราจึงมาถึงความขัดแย้ง เนื่องจากในตอนแรกเรากล่าวว่ารากของสมการ x 2 นั้นแตกต่างจาก x 1 และ −x 1 . นี่เป็นการพิสูจน์ว่าสมการไม่มีรากอื่นนอกจาก และ

มาสรุปข้อมูลในย่อหน้านี้กัน สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ a x 2 +c=0 เทียบเท่ากับสมการ ซึ่ง

• ไม่มีรากถ้า ,
• มีสองรากและถ้า .

ลองพิจารณาตัวอย่างการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ a·x 2 +c=0

เริ่มจากสมการกำลังสอง 9 x 2 +7=0 กัน หลังจากย้ายพจน์ว่างไปทางด้านขวาของสมการแล้ว จะมีรูปแบบ 9·x 2 =−7 หารทั้งสองข้างของสมการผลลัพธ์ด้วย 9 เราก็มาถึง เนื่องจากได้จำนวนลบทางด้านขวา สมการนี้จึงไม่มีราก ดังนั้น สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ดั้งเดิม 9 x 2 +7=0 จึงไม่มีราก

ลองแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์อีกหนึ่ง −x 2 +9=0 กัน เราโอนเก้าไปทางขวา: -x 2 \u003d -9 ตอนนี้เราหารทั้งสองส่วนด้วย -1 เราจะได้ x 2 =9 ด้านขวาประกอบด้วยจำนวนบวก ซึ่งเราสรุปได้ว่า หรือ . หลังจากที่เราเขียนคำตอบสุดท้าย: สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ −x 2 +9=0 มีสองราก x=3 หรือ x=−3

ก x 2 +ข x=0

ยังคงต้องจัดการกับคำตอบของสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ประเภทสุดท้ายสำหรับ c=0 . สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ a x 2 +b x=0 ช่วยให้คุณแก้ได้ วิธีการแยกตัวประกอบ. แน่นอน เราสามารถตั้งอยู่ทางด้านซ้ายของสมการได้ ซึ่งเพียงพอที่จะเอาปัจจัยร่วม x ออกจากวงเล็บ สิ่งนี้ทำให้เราสามารถย้ายจากสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ดั้งเดิมไปเป็นสมการเทียบเท่าของรูปแบบ x·(a·x+b)=0 และสมการนี้เทียบเท่ากับเซตของสมการสองสมการ x=0 และ a x+b=0 อันสุดท้ายเป็นแบบเชิงเส้นและมีราก x=−b/a

ดังนั้น สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ a x 2 +b x=0 มีสองราก x=0 และ x=−b/a

ในการรวมเนื้อหา เราจะวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างเฉพาะ

ตัวอย่าง.

แก้สมการ.

การตัดสินใจ.

เราเอา x ออกจากวงเล็บ, นี่จะได้สมการ เทียบเท่ากับสองสมการ x=0 และ . เราแก้สมการเชิงเส้นที่ได้: และหลังจากหารจำนวนคละด้วยเศษส่วนธรรมดาแล้ว เราจะพบว่า . ดังนั้น รากของสมการเดิมคือ x=0 และ .

หลังจากได้รับการปฏิบัติที่จำเป็นแล้ว คำตอบของสมการดังกล่าวสามารถเขียนสั้นๆ ได้ดังนี้

ตอบ:

x=0 , .

Discriminant สูตรรากของสมการกำลังสอง

ในการแก้สมการกำลังสองมีสูตรรากอยู่ มาเขียนกันเถอะ สูตรรากของสมการกำลังสอง: , ที่ไหน D=b 2 −4 a c- ที่เรียกว่า จำแนกสมการกำลังสอง. โดยหลักสัญกรณ์หมายความว่า

เป็นประโยชน์ที่จะรู้ว่าได้สูตรรากมาอย่างไร และนำไปใช้ในการหารากของสมการกำลังสองได้อย่างไร มาจัดการกับเรื่องนี้กันเถอะ

ที่มาของสูตรรากของสมการกำลังสอง

ให้เราแก้สมการกำลังสอง a·x 2 +b·x+c=0 กัน มาทำการแปลงที่เทียบเท่ากัน:

• เราสามารถหารทั้งสองส่วนของสมการนี้ด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ a ดังนั้นเราจึงได้สมการกำลังสองที่ลดลง
• ตอนนี้ เลือกสี่เหลี่ยมเต็มทางด้านซ้าย: . หลังจากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบ .
• ในขั้นตอนนี้ เป็นไปได้ที่จะดำเนินการโอนสองเทอมสุดท้ายไปทางด้านขวาด้วยเครื่องหมายตรงข้าม เรามี .
• และเรามาแปลงนิพจน์ทางด้านขวากัน: .

เป็นผลให้เรามาถึงสมการ ซึ่งเทียบเท่ากับสมการกำลังสองเดิม a·x 2 +b·x+c=0

เราได้แก้สมการที่คล้ายกันในรูปแบบในย่อหน้าก่อนหน้านี้เมื่อเราวิเคราะห์ สิ่งนี้ทำให้เราสามารถสรุปเกี่ยวกับรากของสมการได้ดังต่อไปนี้:

• ถ้า แสดงว่าสมการไม่มีคำตอบจริง
• ถ้า สมการนั้นมีรูปแบบ ดังนั้น ซึ่งมองเห็นรูทเพียงอันเดียว
• ถ้า , then หรือ ซึ่งเหมือนกับ or นั่นคือ สมการมีสองราก

ดังนั้นการมีหรือไม่มีรากของสมการและด้วยเหตุนี้สมการกำลังสองดั้งเดิมจึงขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของนิพจน์ทางด้านขวา ในทางกลับกัน เครื่องหมายของนิพจน์นี้ถูกกำหนดโดยเครื่องหมายของตัวเศษ เนื่องจากตัวส่วน 4 a 2 เป็นค่าบวกเสมอ นั่นคือ เครื่องหมายของนิพจน์ ข 2 −4 a c . นิพจน์นี้ b 2 −4 a c เรียกว่า จำแนกสมการกำลังสองและทำเครื่องหมายด้วยตัวอักษร ดี. จากที่นี่ แก่นแท้ของการเลือกปฏิบัตินั้นชัดเจน - ด้วยค่าและเครื่องหมาย สรุปได้ว่าสมการกำลังสองมีรากจริงหรือไม่ และถ้าเป็นเช่นนั้น หนึ่งหรือสองคือจำนวนเท่าใด

เรากลับไปที่สมการ เขียนใหม่โดยใช้สัญกรณ์ discriminant: . และเราสรุปว่า:

• ถ้าD<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• ถ้า D=0 สมการนี้มีรากเดียว
• สุดท้าย หาก D>0 สมการจะมีรากที่สองหรือ ซึ่งสามารถเขียนใหม่ได้ในรูปแบบ หรือ และหลังจากขยายและลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วม เราก็จะได้

ดังนั้นเราจึงได้สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสองมา พวกมันดูเหมือน โดยที่ discriminant D คำนวณโดยสูตร D=b 2 −4 a c

ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา คุณสามารถคำนวณรากจริงของสมการกำลังสองทั้งสองได้ เมื่อ discriminant เท่ากับศูนย์ สูตรทั้งสองจะให้ค่ารากเดียวกันซึ่งสอดคล้องกับคำตอบเดียวของสมการกำลังสอง และด้วยการเลือกปฏิบัติเชิงลบ เมื่อพยายามใช้สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสอง เราต้องเผชิญกับการแยกรากที่สองออกจากจำนวนลบ ซึ่งทำให้เราอยู่นอกเหนือขอบเขตของหลักสูตรของโรงเรียน ด้วยการเลือกปฏิบัติเชิงลบ สมการกำลังสองไม่มีรากที่แท้จริง แต่มีคู่ คอนจูเกตที่ซับซ้อนราก ซึ่งสามารถพบได้โดยใช้สูตรรากเดียวกับที่เราได้รับ

อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตรราก

ในทางปฏิบัติ เมื่อแก้สมการกำลังสอง คุณสามารถใช้สูตรรากได้ทันที เพื่อคำนวณค่าของพวกมัน แต่นี่เป็นเรื่องเกี่ยวกับการค้นหารากที่ซับซ้อนมากกว่า

อย่างไรก็ตาม ในหลักสูตรพีชคณิตของโรงเรียน เรามักจะไม่พูดถึงความซับซ้อน แต่เกี่ยวกับรากที่แท้จริงของสมการกำลังสอง ในกรณีนี้ แนะนำให้หา discriminant ก่อนใช้สูตรหารากของสมการกำลังสอง ตรวจสอบให้แน่ใจว่าไม่เป็นลบ (ไม่เช่นนั้น เราจะสรุปได้ว่าสมการไม่มีรากจริง) และหลังจากนั้น คำนวณค่าของราก

เหตุผลข้างต้นทำให้เราเขียนได้ อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการกำลังสอง. ในการแก้สมการกำลังสอง a x 2 + b x + c \u003d 0 คุณต้อง:

• ใช้สูตรแยกแยะ D=b 2 −4 a c คำนวณค่าของมัน
• สรุปได้ว่าสมการกำลังสองไม่มีรากที่แท้จริงถ้าการจำแนกเป็นลบ
• คำนวณรากเดียวของสมการโดยใช้สูตรถ้า D=0 ;
• หารากจริงสองรากของสมการกำลังสองโดยใช้สูตรราก ถ้า discriminant เป็นค่าบวก

ที่นี่เราทราบเพียงว่าถ้า discriminant เท่ากับศูนย์ สามารถใช้สูตรได้ ก็จะให้ค่าเดียวกับ .

คุณสามารถไปยังตัวอย่างการใช้อัลกอริทึมในการแก้สมการกำลังสองได้

ตัวอย่างการแก้สมการกำลังสอง

พิจารณาคำตอบของสมการกำลังสองสามสมการที่มีการแบ่งแยกทางบวก ลบ และศูนย์ เมื่อจัดการกับคำตอบแล้ว โดยการเปรียบเทียบ จะเป็นไปได้ที่จะแก้สมการกำลังสองอื่นๆ เริ่มกันเลย.

ตัวอย่าง.

หารากของสมการ x 2 +2 x−6=0 .

การตัดสินใจ.

ในกรณีนี้ เรามีสัมประสิทธิ์สมการกำลังสองดังต่อไปนี้: a=1 , b=2 และ c=−6 . ตามอัลกอริทึมคุณต้องคำนวณการเลือกปฏิบัติก่อนสำหรับสิ่งนี้เราแทนที่ a, b และ c ที่ระบุลงในสูตรการเลือกปฏิบัติที่เรามี D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. ตั้งแต่ 28>0 นั่นคือ discriminant มากกว่าศูนย์ สมการกำลังสองจึงมีรากที่แท้จริงสองราก ลองหามันด้วยสูตรของรูต เราได้รับ ที่นี่เราสามารถลดความซับซ้อนของนิพจน์ที่ได้รับโดยการทำ แยกเครื่องหมายของรากออกตามด้วยการลดเศษส่วน:

ตอบ:

ไปที่ตัวอย่างทั่วไปต่อไป

ตัวอย่าง.

แก้สมการกำลังสอง −4 x 2 +28 x−49=0 .

การตัดสินใจ.

เราเริ่มต้นด้วยการค้นหาการเลือกปฏิบัติ: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. ดังนั้น สมการกำลังสองนี้มีรากเดียว ซึ่งเราพบว่า นั่นคือ

ตอบ:

x=3.5 .

ยังคงต้องพิจารณาการแก้สมการกำลังสองด้วยการเลือกปฏิบัติเชิงลบ

ตัวอย่าง.

แก้สมการ 5 y 2 +6 y+2=0 .

การตัดสินใจ.

นี่คือสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง: a=5 , b=6 และ c=2 . แทนค่าเหล่านี้ในสูตรจำแนกเรามี D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. การเลือกปฏิบัติเป็นค่าลบ ดังนั้น สมการกำลังสองนี้จึงไม่มีรากที่แท้จริง

หากคุณต้องการระบุรากที่ซับซ้อน เราใช้สูตรที่รู้จักกันดีสำหรับรากของสมการกำลังสองและดำเนินการ การดำเนินการกับจำนวนเชิงซ้อน:

ตอบ:

ไม่มีรากที่แท้จริง รากที่ซับซ้อนคือ: .

เป็นอีกครั้งหนึ่ง เราสังเกตว่าหากการเลือกปฏิบัติของสมการกำลังสองเป็นค่าลบ โรงเรียนมักจะเขียนคำตอบทันที ซึ่งระบุว่าไม่มีรากที่แท้จริง และไม่พบรากที่ซับซ้อน

สูตรรากสำหรับสัมประสิทธิ์เลขคู่

สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสอง โดยที่ D=b 2 −4 a c ช่วยให้คุณได้สูตรที่กะทัดรัดยิ่งขึ้น ซึ่งช่วยให้คุณแก้สมการกำลังสองด้วยสัมประสิทธิ์คู่ที่ x (หรือเพียงแค่ด้วยค่าสัมประสิทธิ์ที่ดูเหมือน 2 n ตัวอย่างเช่น หรือ 14 ln5=2 7 ln5 ) พาเธอออกไปกันเถอะ

สมมติว่าเราต้องแก้สมการกำลังสองของรูปแบบ a x 2 +2 n x + c=0 . ลองหารากของมันโดยใช้สูตรที่เรารู้จัก การทำเช่นนี้เราคำนวณการเลือกปฏิบัติ D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c)จากนั้นเราใช้สูตรรูท:

ระบุนิพจน์ n 2 −a c เป็น D 1 (บางครั้งแสดง D ") จากนั้นสูตรสำหรับรากของสมการกำลังสองที่พิจารณาด้วยสัมประสิทธิ์ที่สอง 2 n จะอยู่ในรูปแบบ โดยที่ D 1 =n 2 −a c

ง่ายที่จะเห็นว่า D=4·D 1 , หรือ D 1 =D/4 . กล่าวอีกนัยหนึ่ง D 1 เป็นส่วนที่สี่ของการเลือกปฏิบัติ เป็นที่ชัดเจนว่าเครื่องหมายของ D 1 เหมือนกับเครื่องหมายของ D นั่นคือเครื่องหมาย D 1 ยังเป็นตัวบ่งชี้ว่ามีหรือไม่มีรากของสมการกำลังสอง

ดังนั้น ในการแก้สมการกำลังสองด้วยสัมประสิทธิ์ที่สอง 2 n คุณต้องการ

• คำนวณ D 1 =n 2 −a·c ;
• ถ้า D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• ถ้า D 1 =0 ให้คำนวณรากเดียวของสมการโดยใช้สูตร
• ถ้า D 1 >0 ให้หารากจริงสองตัวโดยใช้สูตร

พิจารณาวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างโดยใช้สูตรรูทที่ได้รับในย่อหน้านี้

ตัวอย่าง.

แก้สมการกำลังสอง 5 x 2 −6 x−32=0 .

การตัดสินใจ.

สัมประสิทธิ์ที่สองของสมการนี้สามารถแสดงเป็น 2·(−3) นั่นคือคุณสามารถเขียนสมการกำลังสองดั้งเดิมในรูปแบบ 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 ที่นี่ a=5 , n=−3 และ c=−32 และคำนวณส่วนที่สี่ของ เลือกปฏิบัติ: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. เนื่องจากค่าของมันเป็นบวก สมการจึงมีรากจริงสองราก เราพบพวกเขาโดยใช้สูตรรูทที่เกี่ยวข้อง:

โปรดทราบว่าเป็นไปได้ที่จะใช้สูตรปกติสำหรับรากของสมการกำลังสอง แต่ในกรณีนี้ จะต้องทำการคำนวณเพิ่มเติม

ตอบ:

การลดความซับซ้อนของรูปสมการกำลังสอง

บางครั้ง ก่อนเริ่มคำนวณรากของสมการกำลังสองโดยใช้สูตร การถามคำถามว่า “เป็นไปได้ไหมที่จะลดรูปของสมการนี้”? ยอมรับว่าในแง่ของการคำนวณจะง่ายกว่าในการแก้สมการกำลังสอง 11 x 2 −4 x −6=0 มากกว่า 1100 x 2 −400 x−600=0 .

โดยปกติ การลดความซับซ้อนของรูปแบบของสมการกำลังสองทำได้โดยการคูณหรือหารทั้งสองข้างของมันด้วยจำนวนหนึ่ง ตัวอย่างเช่น ในย่อหน้าก่อนหน้านี้ เราจัดการเพื่อทำให้สมการง่ายขึ้น 1100 x 2 −400 x −600=0 โดยหารทั้งสองข้างด้วย 100

การแปลงที่คล้ายกันนั้นดำเนินการด้วยสมการกำลังสองซึ่งไม่มีสัมประสิทธิ์ ในกรณีนี้ สมการทั้งสองส่วนมักจะถูกหารด้วยค่าสัมบูรณ์ของสัมประสิทธิ์ ตัวอย่างเช่น ลองใช้สมการกำลังสอง 12 x 2 −42 x+48=0 ค่าสัมประสิทธิ์สัมบูรณ์: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . หารทั้งสองส่วนของสมการกำลังสองเดิมด้วย 6 เรามาถึงสมการกำลังสองที่เท่ากัน 2 x 2 −7 x+8=0 .

และการคูณของทั้งสองส่วนของสมการกำลังสองมักจะทำเพื่อกำจัดสัมประสิทธิ์เศษส่วน ในกรณีนี้ การคูณจะดำเนินการกับตัวส่วนของสัมประสิทธิ์ ตัวอย่างเช่น หากทั้งสองส่วนของสมการกำลังสองถูกคูณด้วย LCM(6, 3, 1)=6 แล้ว มันจะอยู่ในรูปแบบที่ง่ายกว่า x 2 +4 x−18=0 .

ในบทสรุปของย่อหน้านี้ เราสังเกตว่าเกือบทุกครั้งกำจัดเครื่องหมายลบที่สัมประสิทธิ์สูงสุดของสมการกำลังสองโดยการเปลี่ยนเครื่องหมายของพจน์ทั้งหมด ซึ่งสอดคล้องกับการคูณ (หรือหาร) ทั้งสองส่วนด้วย -1 ตัวอย่างเช่น โดยปกติจากสมการกำลังสอง −2·x 2 −3·x+7=0 ไปที่คำตอบ 2·x 2 +3·x−7=0 .

ความสัมพันธ์ระหว่างรากและสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง

สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสองแสดงรากของสมการในแง่ของสัมประสิทธิ์ จากสูตรของราก คุณสามารถรับความสัมพันธ์อื่นๆ ระหว่างรากและค่าสัมประสิทธิ์ได้

สูตรที่เป็นที่รู้จักและใช้ได้ดีที่สุดจากทฤษฎีบทเวียตาของแบบฟอร์มและ . โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับสมการกำลังสองที่ให้มา ผลรวมของรากจะเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายตรงข้าม และผลิตภัณฑ์ของรากคือเทอมอิสระ ตัวอย่างเช่น โดยรูปแบบของสมการกำลังสอง 3 x 2 −7 x+22=0 เราสามารถพูดได้ทันทีว่าผลรวมของรากของมันคือ 7/3 และผลิตภัณฑ์ของรากคือ 22/3

เมื่อใช้สูตรที่เขียนไว้แล้ว คุณจะได้รับความสัมพันธ์อื่นๆ ระหว่างรากและสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง ตัวอย่างเช่น คุณสามารถแสดงผลรวมของกำลังสองของรากของสมการกำลังสองในรูปของสัมประสิทธิ์: .

บรรณานุกรม.

• พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับ 8 เซลล์ การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [อ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; เอ็ด S.A. Telyakovsky. - ครั้งที่ 16 - ม. : การศึกษา, 2551. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019243-9
• มอร์ดโควิช เอ. จี.พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 เวลา 14.00 น. ตอนที่ 1 ตำราสำหรับนักเรียนของสถาบันการศึกษา / A. G. Mordkovich - ค.ศ. 11 ลบ. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: ill. ไอ 978-5-346-01155-2

” นั่นคือสมการของดีกรีแรก ในบทเรียนนี้ เราจะมาสำรวจ สมการกำลังสองคืออะไรและวิธีแก้ปัญหา

สมการกำลังสองคืออะไร

สิ่งสำคัญ!

ระดับของสมการถูกกำหนดโดยระดับสูงสุดที่ไม่ทราบค่า

หากดีกรีสูงสุดที่ไม่ทราบแทนค่าเป็น “2” แสดงว่าคุณมีสมการกำลังสอง

ตัวอย่างของสมการกำลังสอง

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0.25x = 0
• x 2 − 8 = 0

สิ่งสำคัญ! รูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสองมีลักษณะดังนี้:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" และ "c" - ตัวเลขที่กำหนด

• "a" - ค่าสัมประสิทธิ์แรกหรืออาวุโส
• "b" - ค่าสัมประสิทธิ์ที่สอง;
• "c" เป็นสมาชิกฟรี

ในการหา "a", "b" และ "c" คุณต้องเปรียบเทียบสมการของคุณกับรูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสอง "ax 2 + bx + c \u003d 0"

มาฝึกการกำหนดสัมประสิทธิ์ "a", "b" และ "c" ในสมการกำลังสองกัน

5x2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

สมการ	อัตราต่อรอง
ก=5 ข = -14 ค = 17
ก = −7 ข = −13 ค = 8

1

3

= 0

• ก = -1
• ข = 1
• ค =

  1

  3

x2 + 0.25x = 0

• a = 1
• ข = 0.25
• ค = 0

x 2 − 8 = 0

• a = 1
• ข = 0
• ค = −8

วิธีแก้สมการกำลังสอง

สมการพิเศษใช้ในการแก้สมการกำลังสองต่างจากสมการเชิงเส้น สูตรการหาราก.

จดจำ!

ในการแก้สมการกำลังสองคุณต้อง:

• นำสมการกำลังสองมาอยู่ในรูปแบบทั่วไป "ax 2 + bx + c \u003d 0" นั่นคือควรเหลือเพียง "0" ทางด้านขวา
• ใช้สูตรสำหรับราก:

ลองใช้ตัวอย่างเพื่อหาวิธีการใช้สูตรเพื่อหารากของสมการกำลังสอง ลองแก้สมการกำลังสองกัน

X 2 - 3x - 4 = 0

สมการ "x 2 - 3x - 4 = 0" ได้ลดขนาดลงเป็นรูปแบบทั่วไปแล้ว "ax 2 + bx + c = 0" และไม่ต้องการการอธิบายเพิ่มเติม แก้ได้ต้องสมัครเท่านั้น สูตรการหารากของสมการกำลังสอง.

ลองนิยามสัมประสิทธิ์ "a", "b" และ "c" สำหรับสมการนี้กัน

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

ด้วยความช่วยเหลือของมัน สมการกำลังสองใดๆ ก็สามารถแก้ได้

ในสูตร "x 1; 2 \u003d" นิพจน์รากมักจะถูกแทนที่
"b 2 − 4ac" กับตัวอักษร "D" และเรียกว่า discriminant แนวคิดเกี่ยวกับการเลือกปฏิบัติมีการกล่าวถึงในรายละเอียดเพิ่มเติมในบทเรียนเรื่อง "การเลือกปฏิบัติคืออะไร"

ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่งของสมการกำลังสอง

x 2 + 9 + x = 7x

ในรูปแบบนี้ ค่อนข้างยากที่จะกำหนดสัมประสิทธิ์ "a", "b" และ "c" ขั้นแรกให้นำสมการมาอยู่ในรูปแบบทั่วไป "ax 2 + bx + c \u003d 0"

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

ตอนนี้คุณสามารถใช้สูตรสำหรับราก

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

6

2

x=3
คำตอบ: x = 3

มีบางครั้งที่ไม่มีรากในสมการกำลังสอง สถานการณ์นี้เกิดขึ้นเมื่อจำนวนลบปรากฏในสูตรภายใต้รูท

แค่. ตามสูตรและกติกาง่ายๆ ในระยะแรก

จำเป็นต้องนำสมการที่กำหนดมาสู่รูปแบบมาตรฐาน กล่าวคือ มุมมอง:

ถ้าสมการนี้มีให้คุณในแบบฟอร์มนี้แล้ว คุณไม่จำเป็นต้องทำขั้นตอนแรก ที่สำคัญคือถูก

กำหนดสัมประสิทธิ์ทั้งหมด เอ, ขและ ค.

สูตรการหารากของสมการกำลังสอง

นิพจน์ภายใต้เครื่องหมายรูตเรียกว่า เลือกปฏิบัติ . อย่างที่คุณเห็น ในการหา x เรา

ใช้ เฉพาะ a, b และ c. เหล่านั้น. อัตราต่อรองจาก สมการกำลังสอง. เพียงแค่ใส่อย่างระมัดระวัง

ค่า a, b และ cลงในสูตรนี้แล้วนับ ทดแทนด้วย ของพวกเขาสัญญาณ!

ตัวอย่างเช่นในสมการ:

เอ =1; ข = 3; ค = -4.

แทนที่ค่าและเขียน:

ตัวอย่างเกือบจะแก้ไขแล้ว:

นี่คือคำตอบ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดคือความสับสนกับสัญญาณของค่านิยม ก, ขและ กับ. แต่ด้วยการทดแทน

ค่าลบในสูตรคำนวณราก ที่นี่บันทึกสูตรโดยละเอียด

ด้วยตัวเลขเฉพาะ หากมีปัญหาในการคำนวณ ทำเลย!

สมมติว่าเราต้องแก้ตัวอย่างต่อไปนี้:

ที่นี่ เอ = -6; ข = -5; ค = -1

เราลงรายละเอียดทุกอย่างอย่างละเอียดถี่ถ้วนโดยไม่พลาดสิ่งใดด้วยเครื่องหมายและวงเล็บทั้งหมด:

สมการกำลังสองมักจะแตกต่างกันเล็กน้อย ตัวอย่างเช่นเช่นนี้:

จดเทคนิคที่ใช้ได้จริงซึ่งช่วยลดจำนวนข้อผิดพลาดได้อย่างมาก

การรับครั้งแรก. อย่าขี้เกียจก่อน การแก้สมการกำลังสองนำมาเป็นแบบมาตรฐาน

สิ่งนี้หมายความว่า?

สมมติว่าหลังจากการแปลงใดๆ คุณจะได้สมการต่อไปนี้:

อย่ารีบเร่งที่จะเขียนสูตรของราก! คุณเกือบจะสับสนอย่างแน่นอน ก ข และค

สร้างตัวอย่างอย่างถูกต้อง อย่างแรก x กำลังสอง จากนั้นไม่มีสี่เหลี่ยม จากนั้นจึงเป็นสมาชิกอิสระ แบบนี้:

กำจัดเครื่องหมายลบ ยังไง? เราต้องคูณสมการทั้งหมดด้วย -1 เราได้รับ:

และตอนนี้ คุณสามารถเขียนสูตรสำหรับราก คำนวณการจำแนก และกรอกตัวอย่างได้อย่างปลอดภัย

ตัดสินใจด้วยตัวเอง คุณควรลงเอยด้วยราก 2 และ -1

แผนกต้อนรับที่สองตรวจสอบรากของคุณ! โดย ทฤษฎีบทของเวียตา.

ในการแก้สมการกำลังสองที่ให้มา เช่น ถ้าสัมประสิทธิ์

x2+bx+c=0,

แล้วx 1 x 2 =c

x1 +x2 =−ข

สำหรับสมการกำลังสองที่สมบูรณ์ซึ่ง ≠1:

x 2 +ขx+ค=0,

หารสมการทั้งหมดด้วย ก:

→ →

ที่ไหน x 1และ x 2 - รากของสมการ

แผนกต้อนรับที่สาม. หากสมการของคุณมีค่าสัมประสิทธิ์เศษส่วน ให้กำจัดเศษส่วน! คูณ

สมการสำหรับตัวส่วนร่วม

บทสรุป. เคล็ดลับการปฏิบัติ:

1. ก่อนแก้ เรานำสมการกำลังสองมาอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน สร้างมัน ขวา.

2. หากมีค่าสัมประสิทธิ์ลบนำหน้า x ในช่องสี่เหลี่ยม เราก็กำจัดมันด้วยการคูณทุกอย่าง

สมการสำหรับ -1

3. หากสัมประสิทธิ์เป็นเศษส่วน เราจะกำจัดเศษส่วนด้วยการคูณสมการทั้งหมดด้วยค่าที่สอดคล้องกัน

ปัจจัย.

4. ถ้า x กำลังสอง บริสุทธิ์ สัมประสิทธิ์ของมันจะเท่ากับหนึ่ง สามารถตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาได้อย่างง่ายดายโดย

ด้วยวิธีที่ง่ายกว่า เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้นำ z ออกจากวงเล็บ คุณจะได้ z(az + b) = 0 ตัวประกอบสามารถเขียนได้: z=0 และ az + b = 0 เนื่องจากทั้งคู่สามารถให้ผลลัพธ์เป็นศูนย์ได้ ในสัญกรณ์ az + b = 0 เราเลื่อนอันที่สองไปทางขวาด้วยเครื่องหมายอื่น จากตรงนี้เราจะได้ z1 = 0 และ z2 = -b/а เหล่านี้เป็นรากเหง้าของต้นฉบับ

หากมีสมการที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ az² + c \u003d 0 ในกรณีนี้ จะพบได้โดยการย้ายพจน์ว่างไปทางด้านขวาของสมการ เปลี่ยนเครื่องหมายด้วย คุณได้รับบันทึก az² \u003d -s ด่วน z² = -c/a ทำการรูทแล้วจดคำตอบสองอัน - ค่าบวกและค่าลบของสแควร์รูท

บันทึก

หากมีค่าสัมประสิทธิ์เศษส่วนในสมการ ให้คูณสมการทั้งหมดด้วยตัวประกอบที่เหมาะสมเพื่อกำจัดเศษส่วน

การรู้วิธีแก้สมการกำลังสองเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับทั้งเด็กนักเรียนและนักเรียน บางครั้งอาจช่วยผู้ใหญ่ได้ในชีวิตประจำวัน มีวิธีการตัดสินใจเฉพาะหลายวิธี

การแก้สมการกำลังสอง

สมการกำลังสองของรูปแบบ a*x^2+b*x+c=0 ค่าสัมประสิทธิ์ x คือตัวแปรที่ต้องการ a, b, c - ค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลข จำไว้ว่าเครื่องหมาย "+" สามารถเปลี่ยนเป็นเครื่องหมาย "-" ได้

ในการแก้สมการนี้ คุณต้องใช้ทฤษฎีบทเวียตาหรือหาตัวแบ่งแยก วิธีที่พบบ่อยที่สุดคือการหา discriminant เนื่องจากสำหรับค่า a, b, c บางค่า ไม่สามารถใช้ทฤษฎีบท Vieta ได้

ในการหา discriminant (D) คุณต้องเขียนสูตร D=b^2 - 4*a*c ค่าของ D สามารถมากกว่า น้อยกว่า หรือเท่ากับศูนย์ ถ้า D มากกว่าหรือน้อยกว่าศูนย์ ก็จะมีรากสองราก ถ้า D = 0 ก็จะเหลือเพียงรากเดียวเท่านั้น ให้แม่นยำยิ่งขึ้น เราสามารถพูดได้ว่า D ในกรณีนี้มีรากที่เท่ากันสองราก แทนค่าสัมประสิทธิ์ที่ทราบ a, b, c ลงในสูตรแล้วคำนวณค่า

หลังจากที่คุณพบ discriminant แล้ว หากต้องการหา x ให้ใช้สูตร: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a โดยที่ sqrt คือฟังก์ชันในการหาค่ารากที่สองของจำนวนที่กำหนด หลังจากคำนวณนิพจน์เหล่านี้ คุณจะพบรากทั้งสองของสมการของคุณ หลังจากนั้นจะถือว่าสมการนั้นแก้ได้

ถ้า D น้อยกว่าศูนย์ แสดงว่ายังมีรากอยู่ ที่โรงเรียน ภาคนี้แทบไม่มีการศึกษาเลย นักศึกษามหาวิทยาลัยควรตระหนักว่าตัวเลขติดลบปรากฏอยู่ใต้รูท เรากำจัดมันโดยแยกส่วนจินตภาพออก นั่นคือ -1 ใต้รูทจะเท่ากับองค์ประกอบจินตภาพ "i" เสมอ ซึ่งคูณด้วยรากที่มีจำนวนบวกเท่ากัน ตัวอย่างเช่น ถ้า D=sqrt(-20) หลังจากการแปลง จะได้ D=sqrt(20)*i หลังจากการแปลงนี้ คำตอบของสมการจะลดลงเป็นการหารากแบบเดียวกัน ดังที่อธิบายไว้ข้างต้น

ทฤษฎีบทของเวียตาประกอบด้วยการเลือกค่า x(1) และ x(2) ใช้สมการที่เหมือนกันสองสมการ: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=s. ยิ่งไปกว่านั้น จุดที่สำคัญมากคือเครื่องหมายที่อยู่หน้าสัมประสิทธิ์ b จำไว้ว่าเครื่องหมายนี้อยู่ตรงข้ามกับเครื่องหมายในสมการ เมื่อมองแวบแรก ดูเหมือนว่าการคำนวณ x(1) และ x(2) นั้นง่ายมาก แต่เมื่อคำนวณแล้ว คุณจะพบว่าจะต้องเลือกตัวเลขให้ถูกต้อง

องค์ประกอบสำหรับการแก้สมการกำลังสอง

ตามกฎของคณิตศาสตร์ บางส่วนสามารถแยกตัวประกอบได้: (a + x (1)) * (b-x (2)) \u003d 0 หากคุณแปลงสมการกำลังสองด้วยวิธีนี้โดยใช้สูตรทางคณิตศาสตร์ เขียนคำตอบ x(1) และ x(2) จะเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่อยู่ติดกันในวงเล็บ แต่มีเครื่องหมายตรงข้าม

นอกจากนี้ อย่าลืมสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ คุณอาจไม่มีเงื่อนไขบางคำ ในกรณีนี้ สัมประสิทธิ์ทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์ ถ้า x^2 หรือ x ไม่มีสิ่งใดนำหน้า สัมประสิทธิ์ a และ b จะเท่ากับ 1