ตัวอย่างนิพจน์ตรรกยะเศษส่วนพร้อมคำตอบ การแสดงออกที่มีเหตุผล
บทความพูดถึงการเปลี่ยนแปลง การแสดงออกที่มีเหตุผล. พิจารณาประเภทของนิพจน์ตรรกยะ การแปลง การจัดกลุ่ม การถ่ายคร่อมปัจจัยร่วม มาเรียนรู้วิธีแสดงนิพจน์ตรรกยะเศษส่วนในรูปแบบกันเถอะ เศษส่วนตรรกยะ.
Yandex.RTB R-A-339285-1
ความหมายและตัวอย่างของการแสดงออกที่มีเหตุผล
คำจำกัดความ 1นิพจน์ที่ประกอบด้วยตัวเลข, ตัวแปร, วงเล็บ, องศาพร้อมการกระทำของการบวก, การลบ, การคูณ, การหารด้วยแถบเศษส่วนถูกเรียก การแสดงออกที่มีเหตุผล
ตัวอย่างเช่น เรามี 5 , 2 3 x - 5 , - 3 a b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 - b) , (x + 1) (y - 2) x 5 - 5 x y 2 - 1 11 x 3 .
นั่นคือนิพจน์เหล่านี้ไม่มีการแบ่งออกเป็นนิพจน์ที่มีตัวแปร การศึกษานิพจน์ตรรกยะเริ่มต้นด้วยเกรด 8 ซึ่งเรียกว่าพจน์ตรรกยะเศษส่วนความสนใจเป็นพิเศษจะจ่ายให้กับเศษส่วนในตัวเศษซึ่งจะถูกแปลงโดยใช้กฎการแปลง
สิ่งนี้ทำให้เราสามารถดำเนินการแปลงเศษส่วนตรรกยะของรูปแบบใดก็ได้ นิพจน์ดังกล่าวถือได้ว่าเป็นนิพจน์ที่มีเศษส่วนตรรกยะและนิพจน์จำนวนเต็มพร้อมเครื่องหมายแสดงการกระทำ
ประเภทหลักของการแปลงนิพจน์ตรรกยะ
นิพจน์ตรรกยะใช้เพื่อทำการแปลงที่เหมือนกัน การจัดกลุ่ม การลดจำนวนที่คล้ายกัน การดำเนินการอื่นๆ ด้วยตัวเลข จุดประสงค์ของนิพจน์ดังกล่าวคือเพื่อลดความซับซ้อน
ตัวอย่างที่ 1
แปลงนิพจน์ตรรกยะ 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1
การตัดสินใจ
จะเห็นได้ว่าการแสดงออกที่มีเหตุผลดังกล่าวคือความแตกต่าง 3 · x x · y - 1 และ 2 · x x · y - 1 สังเกตว่ามีตัวส่วนเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าการลดเงื่อนไขที่คล้ายกันใช้รูปแบบ
3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 3 - 2 = x x y - 1
ตอบ: 3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 .
ตัวอย่าง 2
ทำการแปลง 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x)
การตัดสินใจ
เริ่มแรก เราดำเนินการในวงเล็บ 3 · x − x = 2 · x . นิพจน์นี้แสดงเป็น 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = 2 x y 4 (- 4) x 2: 2 x เรามาถึงนิพจน์ที่มีการดำเนินการกับขั้นตอนเดียว นั่นคือ มีการบวกและการลบ
ลบวงเล็บโดยใช้คุณสมบัติหาร จากนั้นเราจะได้ 2 x y 4 (- 4) x 2: 2 x = 2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x .
เราจัดกลุ่มปัจจัยตัวเลขด้วยตัวแปร x หลังจากนั้นเราสามารถดำเนินการโดยใช้กำลัง เราได้รับสิ่งนั้น
2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x = (2 (- 4) : 2) (x x 2: x) y 4 = - 4 x 2 y 4
ตอบ: 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = - 4 x 2 y 4 .
ตัวอย่างที่ 3
แปลงนิพจน์ของแบบฟอร์ม x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2
การตัดสินใจ
ขั้นแรก ให้แปลงทั้งตัวเศษและส่วน จากนั้นเราจะได้นิพจน์ของแบบฟอร์ม (x · (x + 3) - (3 · x + 1)) : 1 2 · x · 4 + 2 และดำเนินการในวงเล็บก่อน ในตัวเศษ การดำเนินการจะถูกดำเนินการและจัดกลุ่มปัจจัย จากนั้นเราจะได้นิพจน์ของรูปแบบ x (x + 3) - (3 x + 1) 1 2 x 4 + 2 = x 2 + 3 x - 3 x - 1 1 2 4 x + 2 = x 2 - 1 2 x + 2 .
เราแปลงสูตรสำหรับผลต่างของกำลังสองในตัวเศษ แล้วเราจะได้สิ่งนั้น
x 2 - 1 2 x + 2 = (x - 1) (x + 1) 2 (x + 1) = x - 1 2
ตอบ: x (x + 3) - (3 x + 1) 1 2 x 4 + 2 = x - 1 2 .
การแสดงเป็นเศษส่วนตรรกยะ
เศษส่วนพีชคณิตมักถูกทำให้เข้าใจง่ายเมื่อแก้ เหตุผลทุกอย่างลดลงเหลือสิ่งนี้ วิธีทางที่แตกต่าง. ต้องทำทุกอย่าง การกระทำที่จำเป็นด้วยพหุนามเพื่อให้นิพจน์ตรรกยะสามารถให้เศษส่วนตรรกยะได้ในที่สุด
ตัวอย่างที่ 4
แสดงเป็นเศษส่วนตรรกยะ a + 5 a (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a
การตัดสินใจ
นิพจน์นี้สามารถแสดงเป็น 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a การคูณจะดำเนินการก่อนอื่นตามกฎ
เราควรเริ่มด้วยการคูณ แล้วเราจะได้สิ่งนั้น
a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a - 5 (a + 5) a + 3 1 a (a + 5) = a - 5 (a + 5) 1 ( a + 3) a (a + 5) = a - 5 (a + 3) a
เราสร้างการแสดงผลลัพธ์ที่ได้รับพร้อมกับต้นฉบับ เราได้รับสิ่งนั้น
a + 5 a (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a + 5 a - 3 - a - 5 a + 3 a
ทีนี้มาทำการลบกัน:
a + 5 a - 3 - a - 5 a + 3 a = a + 5 a + 3 a (a - 3) (a + 3) - (a - 5) (a - 3) (a + 3) a ( a - 3) = = a + 5 a + 3 - (a - 5) (a - 3) a (a - 3) (a + 3) = a 2 + 3 a + 5 a + 15 - (a 2 - 3 a - 5 a + 15) a (a - 3) (a + 3) = = 16 a (a - 3) (a + 3) = 16 a - 3 (a + 3) = 16 a 2 - 9
หลังจากนั้นจะเห็นได้ชัดว่านิพจน์ดั้งเดิมจะอยู่ในรูปแบบ 16 a 2 - 9 .
ตอบ: a + 5 a (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = 16 a 2 - 9 .
ตัวอย่างที่ 5
แสดง x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x เป็นเศษส่วนตรรกยะ
การตัดสินใจ
นิพจน์ที่กำหนดนั้นเขียนเป็นเศษส่วนในตัวเศษซึ่งมี x x + 1 + 1 และในตัวส่วน 2 x - 1 1 + x จำเป็นต้องทำการแปลง x x + 1 + 1 . ในการทำเช่นนี้ คุณต้องบวกเศษส่วนและตัวเลข เราได้ x x + 1 + 1 = x x + 1 + 1 1 = x x + 1 + 1 (x + 1) 1 (x + 1) = x x + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x +1 = 2 x + 1 x + 1
ตามด้วย x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 2 x - 1 1 + x
เศษส่วนผลลัพธ์สามารถเขียนเป็น 2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x .
หลังจากการหาร เราก็มาถึงเศษตรรกยะของแบบฟอร์ม
2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 (1 + x) (x + 1) (2 x - 1 ) = 2 x + 1 2 x - 1
คุณสามารถแก้ปัญหาได้แตกต่างกัน
แทนที่จะหารด้วย 2 x - 1 1 + x เราคูณด้วยส่วนกลับของ 1 + x 2 x - 1 . เมื่อใช้คุณสมบัติการกระจายเราจะได้ว่า
x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1: 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = = x x + 1 1 + x 2 x - 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = x 1 + x (x + 1) 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = = x 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = x + 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 2 x - 1
ตอบ: x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 2 x - 1 .
หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter
บทเรียนนี้จะครอบคลุมข้อมูลพื้นฐานเกี่ยวกับนิพจน์ตรรกยะและการแปลง รวมถึงตัวอย่างการแปลงนิพจน์ตรรกยะ หัวข้อนี้สรุปหัวข้อที่เราได้ศึกษาไปแล้ว การแปลงการแสดงออกเชิงเหตุผลรวมถึงการบวก การลบ การคูณ การหาร การยกกำลัง เศษส่วนพีชคณิตการลดลง การแยกตัวประกอบ ฯลฯ ในบทเรียนนี้ เราจะพิจารณาว่านิพจน์ที่มีเหตุผลคืออะไร และเราจะวิเคราะห์ตัวอย่างสำหรับการแปลงด้วย
เรื่อง:เศษส่วนพีชคณิต การดำเนินการเลขคณิตกับเศษส่วนพีชคณิต
บทเรียนหรือสอนหรือการเรียนและเครื่องเตือนสติ:ข้อมูลพื้นฐานเกี่ยวกับนิพจน์ตรรกยะและการแปลง
คำนิยาม
การแสดงออกที่มีเหตุผลเป็นนิพจน์ที่ประกอบด้วยตัวเลข ตัวแปร การดำเนินการเลขคณิตและการยกกำลัง
พิจารณาตัวอย่างของนิพจน์ตรรกยะ:
กรณีพิเศษของนิพจน์ที่มีเหตุผล:
ระดับที่ 1: 
;
2. โมโนเมียล: ;
3. เศษส่วน: .
การแปลงนิพจน์เหตุผลเป็นการลดความซับซ้อนของนิพจน์ตรรกยะ ลำดับของการดำเนินการเมื่อแปลงนิพจน์ตรรกยะ: อันดับแรก มีการดำเนินการในวงเล็บ ตามด้วยการดำเนินการของการคูณ (หาร) และการดำเนินการของการบวก (การลบ)
ลองพิจารณาตัวอย่างบางส่วนเกี่ยวกับการแปลงนิพจน์ตรรกยะ
ตัวอย่างที่ 1
การตัดสินใจ:
ลองแก้ตัวอย่างนี้ทีละขั้นตอน การดำเนินการในวงเล็บจะดำเนินการก่อน
ตอบ:
ตัวอย่าง 2
การตัดสินใจ:
ตอบ:
ตัวอย่างที่ 3
การตัดสินใจ:
ตอบ: .
บันทึก:บางทีเมื่อคุณเห็น ตัวอย่างนี้เกิดความคิดขึ้น: เพื่อลดเศษส่วนก่อนที่จะนำไปสู่ตัวส่วนร่วม อันที่จริง มันถูกต้องอย่างยิ่ง ประการแรก เป็นการดีที่จะลดความซับซ้อนของนิพจน์ให้มากที่สุด แล้วจึงแปลงนิพจน์ ลองแก้ตัวอย่างเดียวกันด้วยวิธีที่สองกัน
อย่างที่คุณเห็น คำตอบกลับกลายเป็นว่าคล้ายคลึงกันโดยสิ้นเชิง แต่วิธีแก้ปัญหากลับกลายเป็นว่าค่อนข้างง่ายกว่า
ในบทเรียนนี้ เรามาดูที่ การแสดงออกที่มีเหตุผลและการเปลี่ยนแปลงของพวกเขา, เช่นเดียวกับหลาย ๆ ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมข้อมูลการแปลง
บรรณานุกรม
1. Bashmakov M.I. พีชคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 - ม.: การตรัสรู้, 2547.
2. Dorofeev G.V. , Suvorova S.B. , Bunimovich E.A. et al. พีชคณิต 8 - 5th ed. - ม.: การศึกษา, 2553.
บทความนี้เกี่ยวกับ การแปลงนิพจน์ตรรกยะส่วนใหญ่เป็นเหตุผลแบบเศษส่วน เป็นหนึ่งในคำถามสำคัญของหลักสูตรพีชคณิตสำหรับเกรด 8 อันดับแรก เราจำได้ว่าสำนวนประเภทใดที่เรียกว่ามีเหตุผล ต่อไป เราจะเน้นที่การแปลงมาตรฐานด้วยนิพจน์ที่มีเหตุผล เช่น การจัดกลุ่มคำศัพท์ การนำปัจจัยทั่วไปออกจากวงเล็บ การลดคำศัพท์ที่คล้ายกัน ฯลฯ สุดท้าย เราจะเรียนรู้วิธีการแสดงนิพจน์ตรรกยะเศษส่วนเป็นเศษส่วนตรรกยะ
การนำทางหน้า
ความหมายและตัวอย่างของการแสดงออกที่มีเหตุผล
นิพจน์ที่มีเหตุผลเป็นหนึ่งในประเภทของนิพจน์ที่ศึกษาในบทเรียนพีชคณิตที่โรงเรียน ให้คำจำกัดความ
คำนิยาม.
นิพจน์ที่ประกอบด้วยตัวเลข ตัวแปร วงเล็บ องศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม เชื่อมต่อโดยใช้เครื่องหมาย การดำเนินการเลขคณิต+, −, และ: โดยที่การหารสามารถระบุด้วยแท่งเศษส่วนได้ เรียกว่า การแสดงออกที่มีเหตุผล.
ต่อไปนี้คือตัวอย่างบางส่วนของนิพจน์ตรรกยะ:
การแสดงออกที่มีเหตุผลเริ่มมีการศึกษาอย่างมีจุดมุ่งหมายในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 นอกจากนี้ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 พื้นฐานของการทำงานกับสิ่งที่เรียกว่า นิพจน์เหตุผลทั้งหมดนั่นคือด้วยนิพจน์ตรรกยะที่ไม่มีการแบ่งเป็นนิพจน์ที่มีตัวแปร ในการทำเช่นนี้จะมีการศึกษาโมโนเมียลและพหุนามอย่างต่อเนื่องตลอดจนหลักการในการดำเนินการกับพวกมัน ในที่สุด ความรู้ทั้งหมดนี้จะช่วยให้คุณแปลงนิพจน์จำนวนเต็มได้
ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 พวกเขาจะย้ายไปศึกษาการแสดงออกเชิงเหตุผลที่มีการหารด้วยนิพจน์ที่มีตัวแปรซึ่งเรียกว่า นิพจน์ตรรกยะเศษส่วน. โดยที่ ความสนใจเป็นพิเศษให้แก่สิ่งที่เรียกว่า เศษส่วนตรรกยะ(เรียกอีกอย่างว่า เศษส่วนพีชคณิต) กล่าวคือ เศษส่วนที่ตัวเศษและตัวส่วนประกอบด้วยพหุนาม ในที่สุดสิ่งนี้ทำให้สามารถแปลงเศษส่วนตรรกยะได้
ทักษะที่ได้มาช่วยให้เราดำเนินการเปลี่ยนแปลงการแสดงออกที่มีเหตุผลของรูปแบบโดยพลการ นี่คือคำอธิบายโดยข้อเท็จจริงที่ว่านิพจน์ตรรกยะใดๆ ถือได้ว่าเป็นนิพจน์ที่ประกอบด้วยเศษส่วนตรรกยะและนิพจน์จำนวนเต็ม เชื่อมโยงกันด้วยเครื่องหมายของการดำเนินการเลขคณิต และเรารู้วิธีทำงานกับนิพจน์จำนวนเต็มและเศษส่วนพีชคณิตแล้ว
ประเภทหลักของการแปลงนิพจน์ตรรกยะ
ด้วยนิพจน์ที่มีเหตุผล คุณสามารถดำเนินการแปลงเอกลักษณ์พื้นฐานใดๆ ก็ได้ ไม่ว่าจะเป็นการจัดกลุ่มของเงื่อนไขหรือปัจจัย การนำคำศัพท์ที่คล้ายคลึงกัน การดำเนินการกับตัวเลข ฯลฯ โดยทั่วไป จุดประสงค์ของการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้คือ การลดความซับซ้อนของการแสดงออกที่มีเหตุผล.
ตัวอย่าง.
.
การตัดสินใจ.
เป็นที่ชัดเจนว่านิพจน์ตรรกยะนี้คือความแตกต่างของนิพจน์สองนิพจน์ และ ยิ่งกว่านั้น นิพจน์เหล่านี้คล้ายกัน เนื่องจากมีส่วนตามตัวอักษรเหมือนกัน ดังนั้น เราสามารถลดเงื่อนไขที่เหมือนกันได้:
ตอบ:
.
เป็นที่ชัดเจนว่าเมื่อทำการแปลงด้วยนิพจน์ที่มีเหตุผล เช่นเดียวกับนิพจน์อื่น ๆ เราต้องอยู่ภายในกรอบของลำดับการกระทำที่ยอมรับ
ตัวอย่าง.
แปลงนิพจน์ตรรกยะ
การตัดสินใจ.
เรารู้ว่าการดำเนินการในวงเล็บจะถูกดำเนินการก่อน ดังนั้น ก่อนอื่น เราแปลงนิพจน์ในวงเล็บ: 3 x − x=2 x .
ตอนนี้คุณสามารถแทนที่ผลลัพธ์ในนิพจน์ตรรกยะเดิม: ดังนั้นเราจึงมาถึงนิพจน์ที่มีการกระทำของขั้นตอนเดียว - การบวกและการคูณ
ลองกำจัดวงเล็บที่ท้ายนิพจน์โดยใช้คุณสมบัติการหารโดยผลิตภัณฑ์:
สุดท้าย เราสามารถจัดกลุ่มตัวประกอบตัวเลขและตัวประกอบด้วยตัวแปร x จากนั้นดำเนินการกับตัวเลขและใช้ :
การแปลงนิพจน์ตรรกยะเป็นอันเสร็จสิ้น และด้วยเหตุนี้ เราจึงได้โมโนเมียล
ตอบ:
ตัวอย่าง.
แปลงนิพจน์เหตุผล 
.
การตัดสินใจ.
ขั้นแรก เราแปลงตัวเศษและตัวส่วน ลำดับของการแปลงของเศษส่วนนี้อธิบายโดยข้อเท็จจริงที่ว่าเส้นขีดของเศษส่วนนั้นโดยพื้นฐานแล้วคือการกำหนดการหารแบบอื่น และนิพจน์ตรรกยะเดิมเป็นรูปแบบเฉพาะ 
และการดำเนินการในวงเล็บจะถูกดำเนินการก่อน
ดังนั้น ในตัวเศษ เราดำเนินการกับพหุนาม การคูณครั้งแรก จากนั้นการลบ และในตัวส่วน เราจัดกลุ่มปัจจัยตัวเลขและคำนวณผลของมัน: 
.
ลองนึกภาพตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนที่ได้เป็นผลคูณ: ทันใดนั้นก็เป็นไปได้ที่จะลดเศษส่วนพีชคณิต การทำเช่นนี้ในตัวเศษเราใช้ ความแตกต่างของสูตรกำลังสองและในตัวส่วนเราเอาผีออกจากวงเล็บ เรามี 
.
ตอบ:
.
ดังนั้นความคุ้นเคยเบื้องต้นกับการแปลงนิพจน์ตรรกยะจึงถือว่าสมบูรณ์ เราผ่านเพื่อที่จะพูดที่หอมหวานที่สุด
การแสดงเป็นเศษส่วนตรรกยะ
เป้าหมายสุดท้ายที่พบบ่อยที่สุดของการแปลงนิพจน์คือการลดความซับซ้อนของรูปแบบ ในแง่นี้มากที่สุด มุมมองที่เรียบง่ายซึ่งสามารถแปลงนิพจน์ตรรกยะแบบเศษส่วนได้ เป็นเศษส่วนตรรกยะ (พีชคณิต) และในบางกรณี จะเป็นพหุนาม โมโนเมียล หรือตัวเลข
เป็นไปได้ไหมที่จะแสดงนิพจน์ตรรกยะใดๆ เป็นเศษส่วนตรรกยะ? คำตอบคือใช่ มาอธิบายว่าเหตุใดจึงเป็นเช่นนั้น
ดังที่เราได้กล่าวไปแล้ว นิพจน์ตรรกยะใดๆ ถือเป็นพหุนามและเศษส่วนตรรกยะที่เชื่อมต่อกันด้วยเครื่องหมายบวก ลบ คูณและหาร การดำเนินการที่เกี่ยวข้องทั้งหมดบนพหุนามให้ผลลัพธ์เป็นพหุนามหรือเศษตรรกยะ ในทางกลับกัน พหุนามใดๆ สามารถแปลงเป็นเศษส่วนพีชคณิตโดยการเขียนด้วยตัวส่วน 1 และการบวกการลบ การคูณ และการหารเศษส่วนตรรกยะทำให้เกิดเศษตรรกยะรูปแบบใหม่ ดังนั้น หลังจากดำเนินการทั้งหมดด้วยพหุนามและเศษส่วนตรรกยะในนิพจน์ตรรกยะ เราก็ได้เศษตรรกยะ
ตัวอย่าง.
แสดงเป็นเศษส่วนตรรกยะ นิพจน์ 
.
การตัดสินใจ.
นิพจน์ตรรกยะเดิมคือผลต่างระหว่างเศษส่วนกับผลคูณของเศษส่วนของรูปแบบ 
. ตามลำดับของการดำเนินการ เราต้องทำการคูณก่อน แล้วจึงบวกเท่านั้น
เราเริ่มต้นด้วยการคูณเศษส่วนพีชคณิต:
เราแทนที่ผลลัพธ์ที่ได้รับเป็นนิพจน์ตรรกยะดั้งเดิม:
เรามาถึงการลบเศษส่วนพีชคณิตด้วย ตัวหารที่แตกต่างกัน:
จากการกระทำที่มีเศษส่วนตรรกยะซึ่งประกอบเป็นนิพจน์ตรรกยะเดิม เราจึงนำเสนอเป็นเศษตรรกยะ
ตอบ:
.
เพื่อรวมเนื้อหา เราจะวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาของอีกตัวอย่างหนึ่ง
ตัวอย่าง.
แสดงนิพจน์ตรรกยะเป็นเศษส่วนตรรกยะ
ใดๆ นิพจน์เศษส่วน(ข้อ 48) สามารถเขียนเป็น โดยที่ P และ Q เป็นนิพจน์ตรรกยะ และ Q จำเป็นต้องมีตัวแปร เศษส่วนดังกล่าวเรียกว่าเศษตรรกยะ
ตัวอย่างของเศษส่วนตรรกยะ:
คุณสมบัติหลักของเศษส่วนแสดงโดยข้อมูลประจำตัวที่ถูกต้องภายใต้เงื่อนไขที่นี่ - นิพจน์ตรรกยะทั้งหมด ซึ่งหมายความว่าตัวเศษและตัวส่วนของเศษตรรกยะสามารถคูณหรือหารด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ โมโนเมียล หรือพหุนาม
ตัวอย่างเช่น คุณสมบัติของเศษส่วนสามารถใช้เปลี่ยนเครื่องหมายของสมาชิกของเศษส่วนได้ หากตัวเศษและตัวส่วนของเศษถูกคูณด้วย -1 เราจะได้ ดังนั้นค่าของเศษส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลงหากเครื่องหมายของตัวเศษและตัวส่วนเปลี่ยนไปพร้อมกัน หากคุณเปลี่ยนเครื่องหมายของตัวเศษหรือตัวส่วนเท่านั้น เศษส่วนจะเปลี่ยนเครื่องหมายของมัน:
ตัวอย่างเช่น,
60. การลดเศษส่วนตรรกยะ
การลดเศษส่วนคือการหารตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนด้วยตัวประกอบร่วม ความเป็นไปได้ของการลดดังกล่าวเกิดจากคุณสมบัติหลักของเศษส่วน
หากต้องการลดจำนวนตรรกยะ คุณต้องแยกตัวประกอบตัวเศษและตัวส่วน หากปรากฎว่าตัวเศษและตัวส่วนมีตัวประกอบร่วม ก็สามารถลดเศษส่วนได้ หากไม่มีปัจจัยร่วม การแปลงเศษส่วนด้วยการลดลงนั้นเป็นไปไม่ได้
ตัวอย่าง. ลดเศษส่วน
การตัดสินใจ. เรามี
การลดเศษส่วนทำได้ภายใต้เงื่อนไข
61. การนำเศษส่วนตรรกยะมาเป็นตัวส่วนร่วม.
ตัวส่วนร่วมของเศษส่วนตรรกยะหลายตัวคือนิพจน์ตรรกยะทั้งหมด ซึ่งหารด้วยตัวส่วนของเศษส่วนแต่ละส่วน (ดูข้อ 54)
ตัวอย่างเช่น พหุนามทำหน้าที่เป็นตัวหารร่วมของเศษส่วน เนื่องจากมันหารด้วยและโดยและโดยและโดยพหุนามและพหุนามและพหุนาม เป็นต้น โดยปกติตัวส่วนร่วมดังกล่าวจะถือว่าตัวส่วนร่วมอื่นใดหารด้วย เอคโคเซ่น ตัวส่วนที่ง่ายที่สุดนี้บางครั้งเรียกว่าตัวส่วนร่วมน้อยที่สุด
ในตัวอย่างข้างต้น ตัวส่วนร่วมคือ เรามี
การลดเศษส่วนเหล่านี้ให้เป็นตัวส่วนร่วมทำได้โดยการคูณตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนแรกด้วย 2 และตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนที่สองโดยพหุนามจะเรียกว่าตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับเศษส่วนแรกและส่วนที่สองตามลำดับ ตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับเศษส่วนที่กำหนดจะเท่ากับผลหารของการหารตัวส่วนร่วมด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่กำหนด
ในการลดเศษส่วนตรรกยะหลายตัวให้เป็นตัวส่วนร่วม คุณต้อง:
1) แบ่งตัวส่วนของเศษส่วนแต่ละส่วนเป็นตัวประกอบ
2) สร้างตัวหารร่วมรวมถึงปัจจัยทั้งหมดที่ได้รับในวรรค 1) ของการขยาย; หากมีปัจจัยบางอย่างอยู่ในการขยายหลาย ๆ อันก็จะมีเลขชี้กำลังเท่ากับค่าที่ใหญ่ที่สุดของปัจจัยที่มีอยู่
3) การหาปัจจัยเพิ่มเติมสำหรับเศษส่วนแต่ละส่วน (สำหรับสิ่งนี้ ตัวส่วนร่วมจะถูกหารด้วยตัวส่วนของเศษส่วน)
4) การคูณตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนแต่ละส่วนด้วยตัวประกอบเพิ่มเติม นำเศษส่วนไปยังตัวส่วนร่วม
ตัวอย่าง. ย่อตัวลงเป็นตัวส่วนร่วมของเศษส่วน
การตัดสินใจ. ลองแยกตัวประกอบตัวหาร:
ปัจจัยต่อไปนี้ต้องรวมอยู่ในตัวส่วนร่วม: และตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข 12, 18, 24, เช่น ตัวส่วนร่วมคือ
ตัวคูณเพิ่มเติม: สำหรับเศษส่วนแรกสำหรับส่วนที่สองสำหรับส่วนที่สาม เราจะได้:
62. การบวกและการลบเศษส่วนตรรกยะ
ผลรวมของเศษตรรกยะสองส่วน (และโดยทั่วไปแล้วจำนวนจำกัดใดๆ) กับ ตัวส่วนเท่ากันเท่ากับเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากันและตัวเศษเท่ากับผลรวมของตัวเศษของเศษส่วนที่เพิ่มเข้ามา:
สถานการณ์คล้ายกันเมื่อลบเศษส่วนด้วยตัวส่วนเดียวกัน:
ตัวอย่างที่ 1: ลดความซับซ้อนของนิพจน์
การตัดสินใจ.
ในการบวกหรือลบเศษส่วนตรรกยะที่มีตัวส่วนต่างกัน ก่อนอื่นคุณต้องนำเศษส่วนไปยังตัวส่วนร่วม จากนั้นจึงดำเนินการกับเศษส่วนที่ได้ผลลัพธ์ที่มีตัวส่วนเหมือนกัน
ตัวอย่างที่ 2: ลดความซับซ้อนของนิพจน์
การตัดสินใจ. เรามี
63. การคูณและการหารเศษส่วนตรรกยะ
ผลคูณของเศษส่วนตรรกยะสองส่วน (และโดยทั่วไปจำนวนจำกัดใดๆ) เท่ากับเศษส่วนที่มีตัวเศษเท่ากับผลคูณของตัวเศษ และตัวส่วนเป็นผลคูณของตัวส่วนของเศษส่วนที่คูณ:
ผลหารของการหารเศษส่วนตรรกยะสองส่วนจะเท่ากันกับเศษส่วนที่มีตัวเศษเท่ากับผลคูณของเศษของเศษส่วนแรกด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่สอง และตัวส่วนเป็นผลคูณของตัวส่วนของเศษส่วนแรกด้วย ตัวเศษของเศษส่วนที่สอง:
กฎสูตรสำหรับการคูณและการหารยังใช้กับกรณีของการคูณหรือการหารด้วยพหุนาม: การเขียนพหุนามนี้เป็นเศษส่วนด้วยตัวส่วนเท่ากับ 1 ก็เพียงพอแล้ว
เนื่องจากมีความเป็นไปได้ที่จะลดเศษส่วนตรรกยะที่ได้จากการคูณหรือหารเศษส่วนตรรกยะ มักจะพยายามแยกตัวประกอบตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนเดิมก่อนดำเนินการเหล่านี้
ตัวอย่างที่ 1 คูณ
การตัดสินใจ. เรามี
โดยใช้กฎการคูณเศษส่วนเราได้รับ:
ตัวอย่างที่ 2: ดำเนินการหาร
การตัดสินใจ. เรามี
โดยใช้กฎการแบ่งเราได้รับ:
64. การเพิ่มเศษส่วนตรรกยะให้เป็นกำลังจำนวนเต็ม
ในการยกเศษส่วนตรรกยะ - ให้เป็นกำลังธรรมชาติ คุณต้องยกตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนแยกกันเป็นยกกำลังนี้ นิพจน์แรกเป็นตัวเศษ และนิพจน์ที่สองเป็นตัวส่วนของผลลัพธ์:
ตัวอย่างที่ 1 แปลงเป็นเศษส่วนกำลัง 3
โซลูชั่น โซลูชั่น
เมื่อเพิ่มเศษส่วนเป็นกำลังจำนวนเต็มลบ ข้อมูลประจำตัวจะใช้ได้กับค่าทั้งหมดของตัวแปรที่ .
ตัวอย่างที่ 2 แปลงนิพจน์เป็นเศษส่วน
65. การแปลงนิพจน์ตรรกยะ
การแปลงนิพจน์ตรรกยะใดๆ ก็ตามได้แก่ การบวก การลบ การคูณ และการหารเศษส่วนตรรกยะ รวมถึงการยกเศษส่วนให้เป็นกำลังธรรมชาติ นิพจน์ตรรกยะใดๆ สามารถแปลงเป็นเศษส่วนที่มีตัวเศษและตัวส่วนเป็นนิพจน์ตรรกยะจำนวนเต็มได้ มักจะเป็นเป้าหมาย การแปลงที่เหมือนกันการแสดงออกที่มีเหตุผล
ตัวอย่าง. ลดความซับซ้อนของนิพจน์
66. การแปลงที่ง่ายที่สุดของรากเลขคณิต (อนุมูล).
เมื่อแปลงโคเรียเลขคณิต จะใช้คุณสมบัติของมัน (ดูข้อ 35)
พิจารณาตัวอย่างการใช้คุณสมบัติต่างๆ รากเลขคณิตสำหรับการแปลงรากศัพท์ที่ง่ายที่สุด ในกรณีนี้ ตัวแปรทั้งหมดจะถือว่ารับเฉพาะค่าที่ไม่เป็นลบเท่านั้น
ตัวอย่างที่ 1 แยกรากของผลิตภัณฑ์
การตัดสินใจ. ใช้คุณสมบัติ 1° เราได้รับ:
ตัวอย่างที่ 2 นำตัวประกอบออกจากใต้เครื่องหมายรูต
การตัดสินใจ.
การแปลงดังกล่าวเรียกว่าแฟคตอริ่งจากใต้เครื่องหมายรูต จุดประสงค์ของการแปลงคือเพื่อลดความซับซ้อนของพจน์รากศัพท์
ตัวอย่างที่ 3: ลดความซับซ้อน
การตัดสินใจ. ตามคุณสมบัติ 3° เรามักจะพยายามลดการแสดงออกของรากศัพท์ ซึ่งมันเอาตัวคูณที่อยู่นอกเครื่องหมายโคเรียมออกไป เรามี
ตัวอย่างที่ 4: ลดความซับซ้อน
การตัดสินใจ. เราแปลงนิพจน์โดยการแนะนำตัวประกอบภายใต้เครื่องหมายของรูท: โดยคุณสมบัติ 4° เรามี
ตัวอย่างที่ 5: ลดความซับซ้อน
การตัดสินใจ. โดยคุณสมบัติ 5 ° เรามีสิทธิ์แบ่งเลขชี้กำลังของรูทและเลขชี้กำลังของนิพจน์รูทให้เท่ากัน ตัวเลขธรรมชาติ. หากในตัวอย่างที่อยู่ระหว่างการพิจารณา เราแบ่งตัวบ่งชี้ที่ระบุด้วย 3 เราก็จะได้
ตัวอย่างที่ 6 ลดความซับซ้อนของนิพจน์:
วิธีแก้ปัญหา ก) โดยคุณสมบัติ 1° เราได้มาว่าการคูณรากของดีกรีเดียวกัน ก็เพียงพอแล้วที่จะคูณนิพจน์รูทและแยกรากของดีกรีเดียวกันออกจากผลลัพธ์ที่ได้ วิธี,
b) อันดับแรก เราต้องลดค่าอนุมูลให้เหลือดัชนีเดียว ตามคุณสมบัติ 5 ° เราสามารถคูณเลขชี้กำลังของรูทด้วยจำนวนธรรมชาติเดียวกันได้ ดังนั้น ต่อไป ตอนนี้เราได้ผลลัพธ์ที่ได้จากการหารตัวบ่งชี้ของรูทและระดับของการแสดงออกที่รุนแรงด้วย 3 เราจะได้ .
กำลังโหลด...