การเพิ่มเศษส่วนให้เป็นลูกบาศก์ การยกเศษส่วนพีชคณิตให้เป็นกำลัง
ถึงเวลาทำความคุ้นเคยกับ การแข็งตัวของอวัยวะเพศ เศษส่วนพีชคณิตในระดับหนึ่ง. การกระทำนี้กับเศษส่วนพีชคณิตในแง่ของดีกรีจะลดลงเป็นการคูณ เศษส่วนที่เหมือนกัน. ในบทความนี้ เราจะให้กฎที่เกี่ยวข้องกัน และพิจารณาตัวอย่างการเพิ่มเศษส่วนพีชคณิตให้เป็นกำลังธรรมชาติ
การนำทางหน้า
กฎของการยกเศษส่วนพีชคณิตให้เป็นกำลังการพิสูจน์
ก่อนที่จะพูดถึงการเพิ่มเศษส่วนพีชคณิตให้เป็นกำลัง ไม่ต้องจำว่าผลคูณของปัจจัยเดียวกันที่ฐานของดีกรีคืออะไร และจำนวนนั้นถูกกำหนดโดยตัวบ่งชี้ ตัวอย่างเช่น 2 3 =2 2 2=8 .
และตอนนี้ ให้จำกฎของการยกกำลังของเศษส่วนธรรมดา - สำหรับสิ่งนี้ คุณต้องแยกตัวเศษยกกำลังที่ระบุ และแยกตัวส่วน ตัวอย่างเช่น, . กฎนี้ใช้กับการเพิ่มเศษส่วนพีชคณิตให้เป็นกำลังธรรมชาติ
การเพิ่มเศษพีชคณิตให้เป็นกำลังธรรมชาติให้เศษส่วนใหม่ในตัวเศษซึ่งเป็นระดับที่กำหนดของเศษของเศษส่วนเดิมและในตัวส่วน - ระดับของตัวส่วน ในรูปแบบตามตัวอักษร กฎนี้สอดคล้องกับความเท่าเทียมกัน โดยที่ a และ b เป็นพหุนามตามอำเภอใจ (โดยเฉพาะกรณี โมโนเมียลหรือตัวเลข) และ b เป็นพหุนามที่ไม่ใช่ศูนย์ และ n คือ
การพิสูจน์กฎที่เปล่งออกมาสำหรับการเพิ่มเศษส่วนพีชคณิตให้เป็นกำลังขึ้นอยู่กับคำจำกัดความของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติและวิธีที่เรานิยามการคูณของเศษส่วนพีชคณิต: 
.
ตัวอย่าง แนวทางแก้ไข
กฎที่ได้รับในย่อหน้าก่อนหน้าจะลดการเพิ่มของเศษส่วนพีชคณิตให้เป็นกำลัง เพื่อเพิ่มตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนเดิมขึ้นเป็นยกกำลังนี้ และเนื่องจากตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนพีชคณิตดั้งเดิมเป็นพหุนาม (ในกรณีเฉพาะ โมโนเมียลหรือตัวเลข) งานเดิมจะลดลงเป็นการเพิ่มพหุนามเป็นกำลัง หลังจากดำเนินการนี้ จะได้รับเศษพีชคณิตใหม่ เท่ากับกำลังที่ระบุของเศษพีชคณิตดั้งเดิม
ลองมาดูตัวอย่างกัน
ตัวอย่าง.
ยกกำลังสองเศษส่วนพีชคณิต
การตัดสินใจ.
มาเขียนปริญญากันเถอะ ตอนนี้เราหันมาใช้กฎการเพิ่มเศษส่วนพีชคณิตให้เป็นกำลัง มันให้ความเท่าเทียมกัน 
. มันยังคงแปลงเศษผลลัพธ์ให้อยู่ในรูปของเศษส่วนพีชคณิตโดยการเพิ่มโมโนเมียลให้เป็นกำลัง ดังนั้น 
.
โดยปกติ เมื่อเพิ่มเศษส่วนพีชคณิตเป็นยกกำลัง จะไม่มีการอธิบายแนวทางการแก้ปัญหา และเขียนวิธีแก้ปัญหาโดยสังเขป ตัวอย่างของเราสอดคล้องกับบันทึก 
.
ตอบ:
.
เมื่อพหุนามโดยเฉพาะทวินามอยู่ในตัวเศษและ / หรือตัวส่วนของเศษส่วนพีชคณิต จากนั้นเมื่อเพิ่มเป็นกำลัง แนะนำให้ใช้สูตรคูณแบบย่อที่สอดคล้องกัน
ตัวอย่าง.
ยกเศษส่วนพีชคณิต 
ในระดับที่สอง
การตัดสินใจ.
โดยกฎของการยกเศษส่วนให้เป็นกำลังเรามี 
.
ในการแปลงนิพจน์ผลลัพธ์ในตัวเศษ เราใช้ สูตรผลต่างกำลังสองและในตัวส่วน - สูตรของกำลังสองของผลรวมของสามเทอม: 
ตอบ:
โดยสรุป เราสังเกตว่าหากเราเพิ่มเศษส่วนพีชคณิตที่ลดไม่ได้ให้เป็นกำลังธรรมชาติ ผลลัพธ์ก็จะเป็นเศษส่วนที่ลดไม่ได้ด้วย หากเศษส่วนเดิมสามารถยกเลิกได้ ก่อนที่จะยกกำลัง ขอแนะนำให้ลดเศษส่วนพีชคณิตเพื่อไม่ให้ลดหลังจากยกกำลัง
บรรณานุกรม.
- พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับ 8 เซลล์ การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [อ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; เอ็ด S.A. Telyakovsky. - ครั้งที่ 16 - ม. : การศึกษา, 2551. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019243-9
- มอร์ดโควิช เอ. จี.พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 เวลา 14.00 น. ตอนที่ 1 ตำรานักเรียน สถาบันการศึกษา/ เอ.จี. มอร์ดโควิช. - ค.ศ. 11 ลบ. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: ill. ไอ 978-5-346-01155-2
- Gusev V. A. , Mordkovich A. G.คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้สมัครเข้าโรงเรียนเทคนิค): Proc. เบี้ยเลี้ยง.- ม.; สูงกว่า ร.ร. 2527-351 น.
ลิขสิทธิ์โดย นักเรียนฉลาด
สงวนลิขสิทธิ์.
ได้รับการคุ้มครองตามกฎหมายลิขสิทธิ์ ไม่มีส่วนของ www.website รวมทั้ง วัสดุภายในและ การออกแบบภายนอกห้ามทำซ้ำในรูปแบบใด ๆ หรือใช้โดยไม่ได้รับอนุญาตเป็นลายลักษณ์อักษรล่วงหน้าจากผู้ถือลิขสิทธิ์
ในการสนทนาเกี่ยวกับดีกรีของจำนวนอย่างต่อเนื่อง การจัดการกับการหาค่าของดีกรีเป็นเหตุเป็นผล กระบวนการนี้มีชื่อว่า การยกกำลัง. ในบทความนี้ เราจะศึกษาวิธีการยกกำลัง ขณะที่สัมผัสกับเลขชี้กำลังที่เป็นไปได้ทั้งหมด - ธรรมชาติ จำนวนเต็ม ตรรกยะ และอตรรกยะ และตามธรรมเนียม เราจะพิจารณาโดยละเอียดถึงวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างการเพิ่มจำนวนในระดับต่างๆ
การนำทางหน้า
"การยกกำลัง" หมายถึงอะไร?
เริ่มต้นด้วยการอธิบายสิ่งที่เรียกว่าการยกกำลัง นี่คือคำจำกัดความที่เกี่ยวข้อง
คำนิยาม.
การยกกำลังคือการหาค่ายกกำลังของจำนวน
ดังนั้น การหาค่ายกกำลัง a ด้วยเลขชี้กำลัง r และการเพิ่มจำนวน a ยกกำลัง r จึงเป็นสิ่งเดียวกัน ตัวอย่างเช่น หากงานคือ "คำนวณค่ากำลัง (0.5) 5" ก็สามารถจัดรูปแบบใหม่ได้ดังนี้: "เพิ่มตัวเลข 0.5 ยกกำลัง 5"
ตอนนี้คุณสามารถไปที่กฎที่ใช้การยกกำลังได้โดยตรง
การเพิ่มจำนวนให้เป็นพลังธรรมชาติ
ในทางปฏิบัติ มักจะใช้ความเท่าเทียมกันตามรูปแบบ นั่นคือเมื่อเพิ่มจำนวน a เป็นยกกำลังเศษส่วน m / n รากของดีกรีที่ n จากจำนวน a จะถูกดึงออกมาก่อน หลังจากนั้นผลลัพธ์จะถูกยกกำลังเป็นจำนวนเต็ม m
พิจารณาวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างการเพิ่มกำลังเศษส่วน
ตัวอย่าง.
คำนวณค่าของดีกรี
การตัดสินใจ.
เราแสดงสองวิธีแก้ไข
วิธีแรก. โดยนิยามของดีกรีด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน เราคำนวณค่าของดีกรีภายใต้เครื่องหมายของรูทหลังจากนั้นเราแยก รากลูกบาศก์: 
.
วิธีที่สอง โดยนิยามของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนและบนพื้นฐานของคุณสมบัติของราก ความเท่าเทียมกันนั้นเป็นจริง 
. ตอนนี้แยกราก 
สุดท้าย ยกกำลังเป็นจำนวนเต็ม 
.
เห็นได้ชัดว่าผลลัพธ์ที่ได้จากการเพิ่มกำลังเศษส่วนเกิดขึ้นพร้อมกัน
ตอบ:
โปรดทราบว่าเลขชี้กำลังเศษส่วนสามารถเขียนเป็นเศษส่วนทศนิยมหรือจำนวนคละได้ ในกรณีเหล่านี้ควรแทนที่ด้วยเศษส่วนธรรมดาที่เกี่ยวข้อง จากนั้นจึงทำการยกกำลัง
ตัวอย่าง.
คำนวณ (44.89) 2.5 .
การตัดสินใจ.
เราเขียนเลขชี้กำลังในรูปของเศษส่วนธรรมดา (ถ้าจำเป็น ดูบทความ): 
. ตอนนี้เราทำการยกกำลังเป็นเศษส่วน: 
ตอบ:
(44,89) 2,5 =13 501,25107 .
ควรกล่าวด้วยว่าการเพิ่มจำนวนเป็นพลังตรรกยะเป็นกระบวนการที่ค่อนข้างลำบาก (โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อตัวเศษและตัวส่วนของเลขชี้กำลังเศษส่วนมีเพียงพอ ตัวเลขใหญ่) ซึ่งมักจะดำเนินการโดยใช้เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์
โดยสรุปของย่อหน้านี้ เราจะพิจารณาการสร้างเลขศูนย์เป็นเลขยกกำลังเศษส่วน เราให้ความหมายต่อไปนี้กับระดับเศษส่วนของศูนย์ของรูปแบบ: เพราะเรามี 
ในขณะที่ไม่ได้กำหนดศูนย์ให้กับกำลัง m/n เท่ากับศูนย์ถึงกำลังเศษส่วนบวก ศูนย์, ตัวอย่างเช่น, 
. และศูนย์ในกำลังลบเศษส่วนก็ไม่สมเหตุสมผล เช่น นิพจน์และ 0 -4.3 ไม่สมเหตุสมผล
ขึ้นสู่อำนาจที่ไร้เหตุผล
บางครั้งจำเป็นต้องหาค่าดีกรีของจำนวนที่มีเลขชี้กำลังอตรรกยะ ในกรณีนี้ เพื่อวัตถุประสงค์ในทางปฏิบัติ มักจะเพียงพอที่จะได้ค่าของดีกรีจนถึงเครื่องหมายบางอย่าง เราทราบทันทีว่าค่านี้คำนวณในทางปฏิบัติโดยใช้เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์อิเล็กทรอนิกส์ตั้งแต่เพิ่มเป็นir ระดับเหตุผลต้องใช้เอง จำนวนมากการคำนวณที่ยุ่งยาก อย่างไรก็ตาม เราจะอธิบาย ในแง่ทั่วไปสาระสำคัญของการกระทำ
เพื่อให้ได้ค่าโดยประมาณของกำลังของ a with ตัวบ่งชี้ที่ไม่ลงตัวจะมีการประมาณค่าทศนิยมของเลขชี้กำลัง และค่าของเลขชี้กำลังจะถูกคำนวณ ค่านี้เป็นค่าโดยประมาณของระดับของตัวเลข a ที่มีเลขชี้กำลังอตรรกยะ ยิ่งการประมาณค่าทศนิยมของตัวเลขมีความแม่นยำมากขึ้นในขั้นต้น ยิ่ง ค่าที่แน่นอนจะได้รับปริญญาในที่สุด
ยกตัวอย่าง ลองคำนวณค่าโดยประมาณของยกกำลัง 2 1.174367... . ลองใช้ค่าประมาณทศนิยมของตัวบ่งชี้ที่ไม่ลงตัวต่อไปนี้: ตอนนี้เรายก 2 เป็นพลังตรรกยะที่ 1.17 (เราอธิบายสาระสำคัญของกระบวนการนี้ในย่อหน้าก่อนหน้า) เราได้รับ 2 1.17 ≈ 2.250116 ดังนั้น, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . หากเราใช้ค่าประมาณทศนิยมที่แม่นยำยิ่งขึ้นของเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว เช่น เราจะได้ค่าดีกรีเดิมที่แม่นยำยิ่งขึ้น: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .
บรรณานุกรม.
- Vilenkin N.Ya. , Zhokhov V.I. , Chesnokov A.S. , Shvartburd S.I. ตำราคณิตศาสตร์ Zh สำหรับ 5 เซลล์ สถาบันการศึกษา.
- Makarychev Yu.N. , Mindyuk N.G. , Neshkov K.I. , Suvorova S.B. พีชคณิต: ตำราสำหรับ 7 เซลล์ สถาบันการศึกษา.
- Makarychev Yu.N. , Mindyuk N.G. , Neshkov K.I. , Suvorova S.B. พีชคณิต: ตำราเรียนสำหรับ 8 เซลล์ สถาบันการศึกษา.
- Makarychev Yu.N. , Mindyuk N.G. , Neshkov K.I. , Suvorova S.B. พีชคณิต: ตำราเรียนสำหรับ 9 เซลล์ สถาบันการศึกษา.
- Kolmogorov A.N. , Abramov A.M. , Dudnitsyn Yu.P. และอื่นๆ พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียนสำหรับเกรด 10-11 ของสถาบันการศึกษาทั่วไป
- Gusev V.A. , Mordkovich A.G. คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้สมัครเข้าโรงเรียนเทคนิค)
บทเรียนจะพิจารณาถึงการคูณเศษส่วนในรูปแบบทั่วไปมากขึ้น - นี่คือการยกกำลัง ก่อนอื่น เราจะพูดถึงระดับธรรมชาติของเศษส่วนและตัวอย่างที่แสดงการกระทำที่คล้ายคลึงกันกับเศษส่วน ในตอนต้นของบทเรียน เราจะทำซ้ำการเพิ่มพลังธรรมชาติของนิพจน์จำนวนเต็ม และดูว่าสิ่งนี้มีประโยชน์สำหรับการแก้ไขตัวอย่างเพิ่มเติมอย่างไร
หัวข้อ: เศษส่วนพีชคณิต. การดำเนินการเลขคณิตกับเศษส่วนพีชคณิต
บทเรียน: การยกเศษส่วนพีชคณิตให้เป็นกำลัง
1. กฎการเพิ่มนิพจน์เศษส่วนและจำนวนเต็มเป็นกำลังธรรมชาติพร้อมตัวอย่างเบื้องต้น
กฎการเพิ่มเศษส่วนธรรมดาและพีชคณิตให้เป็นกำลังธรรมชาติ:
คุณสามารถเปรียบเทียบระดับของนิพจน์จำนวนเต็มและจดจำความหมายของการเพิ่มเป็นยกกำลังได้:
ตัวอย่างที่ 1 
.
ดังที่คุณเห็นจากตัวอย่าง การยกเศษส่วนให้เป็นกำลังคือ กรณีพิเศษการคูณเศษส่วนซึ่งศึกษาในบทเรียนที่แล้ว
ตัวอย่างที่ 2 ก) ข) 
- ลบหายไป เพราะเรายกนิพจน์ให้เป็นกำลังเท่ากัน
เพื่อความสะดวกในการทำงานกับปริญญา เราระลึกถึงกฎพื้นฐานในการยกระดับพลังธรรมชาติ:
- ผลคูณขององศา;
- การแบ่งองศา;
ยกระดับสู่อำนาจ;
ระดับของงาน
ตัวอย่างที่ 3 - เรารู้จักสิ่งนี้ตั้งแต่หัวข้อ "การเพิ่มพลังของนิพจน์จำนวนเต็ม" ยกเว้นกรณีเดียว: ไม่มีอยู่จริง
2. ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดสำหรับการเพิ่มเศษส่วนพีชคณิตให้เป็นกำลังธรรมชาติ
ตัวอย่างที่ 4 ยกเศษส่วนยกกำลัง
การตัดสินใจ. เมื่อยกกำลังเท่ากัน ลบจะหายไป:
ตัวอย่างที่ 5. ยกเศษส่วนยกกำลัง
การตัดสินใจ. ตอนนี้เราใช้กฎสำหรับการยกระดับเป็นพลังทันทีโดยไม่ต้องแยกกำหนดการ:
.
ตอนนี้ให้พิจารณางานที่รวมกันซึ่งเราจะต้องเพิ่มเศษส่วนเป็นยกกำลังแล้วคูณและหาร
ตัวอย่างที่ 6: ดำเนินการ
การตัดสินใจ. 
. ถัดไปคุณต้องทำการลดลง เราจะอธิบายรายละเอียดอีกครั้งว่าเราจะทำสิ่งนี้อย่างไร จากนั้นเราจะระบุผลลัพธ์ทันทีโดยการเปรียบเทียบ:. ในทำนองเดียวกัน (หรือตามกฎของการแบ่งองศา) เรามี: .
ตัวอย่างที่ 7: ดำเนินการ
การตัดสินใจ. . การลดลงจะดำเนินการโดยการเปรียบเทียบกับตัวอย่างที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้
ตัวอย่างที่ 8: ดำเนินการ
การตัดสินใจ. . ที่ ตัวอย่างนี้เราได้อธิบายรายละเอียดเพิ่มเติมอีกครั้งเกี่ยวกับกระบวนการลดกำลังเป็นเศษส่วนเพื่อรวมวิธีการนี้เข้าด้วยกัน
3. ตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้นสำหรับการยกเศษส่วนพีชคณิตให้เป็นกำลังธรรมชาติ (โดยคำนึงถึงเครื่องหมายและคำศัพท์ในวงเล็บ)
ตัวอย่างที่ 9: ดำเนินการกระทำ 
.
การตัดสินใจ. ในตัวอย่างนี้ เราจะข้ามการคูณเศษส่วนแยกกัน แล้วใช้กฎสำหรับการคูณของพวกมันทันที และจดไว้ใต้ตัวส่วนเดียว ในเวลาเดียวกัน เราปฏิบัติตามสัญญาณ - ในกรณีนี้ เศษส่วนจะถูกยกกำลังคู่ ดังนั้น minuses จะหายไป มาทำการลดหย่อนในตอนท้ายกันเถอะ
ตัวอย่างที่ 10: ดำเนินการกระทำ 
.
การตัดสินใจ. ในตัวอย่างนี้ มีการหารของเศษส่วน จำไว้ว่าในกรณีนี้ เศษส่วนแรกจะถูกคูณด้วยเศษส่วนที่สอง แต่กลับด้าน
หัวข้อนี้ทำให้เราต้องคูณเศษส่วนที่เหมือนกัน บทความนี้จะบอกคุณว่าต้องใช้กฎใดในการยกเศษส่วนพีชคณิตให้เป็นกำลังธรรมชาติอย่างถูกต้อง
Yandex.RTB R-A-339285-1
กฎการเพิ่มเศษส่วนพีชคณิตให้เป็นกำลังการพิสูจน์
ก่อนที่คุณจะเริ่มเพิ่มระดับพลัง คุณต้องเพิ่มพูนความรู้ของคุณให้ลึกซึ้งยิ่งขึ้นด้วยความช่วยเหลือของบทความเกี่ยวกับระดับที่มีตัวบ่งชี้ที่เป็นธรรมชาติ ซึ่งมีผลิตภัณฑ์ของปัจจัยที่เหมือนกันซึ่งอยู่ที่ฐานของระดับและจำนวนของพวกเขาจะถูกกำหนด โดยตัวบ่งชี้ ตัวอย่างเช่น หมายเลข 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8
เมื่อเพิ่มอำนาจเรามักใช้กฎเกณฑ์ เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้ยกตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน พิจารณาตัวอย่าง 2 3 2 = 2 2 3 2 = 4 9 . กฎนี้ใช้กับการเพิ่มเศษส่วนให้เป็นกำลังธรรมชาติ
ที่ การเพิ่มเศษพีชคณิตให้เป็นกำลังธรรมชาติเราได้อันใหม่ โดยที่ตัวเศษมีดีกรีของเศษส่วนเดิม และตัวส่วนมีดีกรีของตัวส่วน นี่คือรูปแบบทั้งหมด a b n = a n b n โดยที่ a และ b เป็นพหุนามตามอำเภอใจ b ไม่ใช่ศูนย์ และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ
การพิสูจน์กฎข้อนี้เขียนเป็นเศษส่วนซึ่งต้องยกกำลังตามคำจำกัดความด้วยตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติ จากนั้นเราจะได้การคูณเศษส่วนของรูปแบบ a b n = a b · a b · . . . · a b = a · a · . . . · ข · ข · . . . ข = น ข น
ตัวอย่าง แนวทางแก้ไข
กฎสำหรับการเพิ่มเศษส่วนพีชคณิตให้เป็นกำลังดำเนินการตามลำดับ: ขั้นแรกให้ตัวเศษแล้วตัวส่วน เมื่อมีพหุนามในตัวเศษและตัวส่วน งานนั้นจะลดลงเป็นการเพิ่มพหุนามที่กำหนดให้เป็นกำลัง หลังจากนั้นจะมีการระบุเศษส่วนใหม่ซึ่งเท่ากับเศษส่วนเดิม
ตัวอย่างที่ 1
ยกกำลังเศษส่วน x 2 3 y z 3
การตัดสินใจ
จำเป็นต้องแก้ไขระดับ x 2 3 · y · z 3 2 . ตามกฎของการยกเศษส่วนพีชคณิตให้เป็นกำลัง เราจะได้ความเท่าเทียมกันของรูปแบบ x 2 3 · y · z 3 2 = x 2 2 3 · y · z 3 2 . ตอนนี้ จำเป็นต้องแปลงเศษส่วนผลลัพธ์ให้อยู่ในรูปแบบพีชคณิตโดยการยกกำลัง จากนั้นเราจะได้นิพจน์ของรูปแบบ
x 2 2 3 y z 3 2 = x 2 2 3 2 y 2 z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6
ทุกกรณีของการยกกำลังไม่ต้องการคำอธิบายโดยละเอียด ดังนั้นโซลูชันจึงมีบันทึกย่อ นั่นคือเราได้รับสิ่งนั้น
x 2 3 y z 3 2 = x 2 2 3 y z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6
ตอบ: x 2 3 y z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6 .
หากตัวเศษและตัวส่วนมีพหุนาม ก็จำเป็นต้องยกเศษส่วนทั้งหมดยกกำลัง แล้วใช้สูตรคูณแบบย่อเพื่อทำให้ง่ายขึ้น
ตัวอย่าง 2
ยกกำลังเศษส่วน 2 x - 1 x 2 + 3 x y - y
การตัดสินใจ
จากกฎที่เรามีอยู่ว่า
2 x - 1 x 2 + 3 x y - y 2 = 2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2
ในการแปลงนิพจน์ คุณต้องใช้สูตรสำหรับกำลังสองของผลรวมของสามพจน์ในตัวส่วน และในตัวเศษ - กำลังสองของผลต่าง ซึ่งจะทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น เราได้รับ:
2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2 = = 2 x 2 - 2 2 x 1 + 1 2 x 2 2 + 3 x y 2 + - y 2 + 2 x 2 3 x y + 2 x 2 (- y ) + 2 3 x y - y = = 4 x 2 - 4 x + 1 x 4 + 9 x 2 y 2 + y 2 + 6 x 3 y - 2 x 2 y - 6 x y 2
ตอบ: 2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2 = 4 x 2 - 4 x + 1 x 4 + 9 x 2 y 2 + y 2 + 6 x 3 y - 2 x 2 y - 6 x y 2
โปรดทราบว่าเมื่อเพิ่มเศษส่วนที่เราไม่สามารถลดให้เป็นกำลังธรรมชาติได้ เราก็จะได้เศษส่วนที่ลดไม่ได้ด้วย นี้ไม่ได้ทำให้ง่ายต่อการแก้ไขเพิ่มเติม เมื่อเศษส่วนที่กำหนดสามารถลดลงได้ เมื่อทำการยกกำลังแล้ว เราพบว่าจำเป็นต้องลดเศษส่วนพีชคณิตเพื่อหลีกเลี่ยงการลดหลังจากยกกำลัง
หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter
เราหาระดับของตัวเลขโดยทั่วไปแล้ว ตอนนี้เราต้องเข้าใจวิธีการคำนวณอย่างถูกต้องนั่นคือ ยกตัวเลขขึ้นสู่อำนาจ ในเอกสารนี้ เราจะวิเคราะห์กฎพื้นฐานสำหรับการคำนวณดีกรีในกรณีของเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม ธรรมชาติ เศษส่วน ตรรกยะ และอตรรกยะ คำจำกัดความทั้งหมดจะแสดงพร้อมตัวอย่าง
Yandex.RTB R-A-339285-1
แนวคิดของการยกกำลัง
เริ่มต้นด้วยการกำหนดคำจำกัดความพื้นฐาน
คำจำกัดความ 1
การยกกำลังคือการคำนวณหาค่ากำลังของจำนวนหนึ่ง
นั่นคือ คำว่า "การคำนวณค่าดีกรี" และ "การยกกำลัง" หมายถึงสิ่งเดียวกัน ดังนั้น ถ้าภารกิจคือ "เพิ่มจำนวน 0, 5 ยกกำลังที่ห้า" ควรเข้าใจสิ่งนี้ว่าเป็น "การคำนวณค่าของกำลัง (0 , 5) 5
ตอนนี้เราให้กฎพื้นฐานที่ต้องปฏิบัติตามในการคำนวณดังกล่าว
จำได้ว่ากำลังของจำนวนที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติคืออะไร สำหรับเลขยกกำลังที่มีฐาน a และเลขชี้กำลัง n นี่จะเป็นผลคูณของปัจจัยที่ n ซึ่งแต่ละตัวมีค่าเท่ากับ a สามารถเขียนได้ดังนี้:
ในการคำนวณค่าของดีกรี คุณต้องดำเนินการคูณ กล่าวคือ คูณฐานของดีกรีตามจำนวนครั้งที่ระบุ แนวคิดของระดับที่มีตัวบ่งชี้ตามธรรมชาตินั้นขึ้นอยู่กับความสามารถในการทวีคูณอย่างรวดเร็ว ให้ตัวอย่าง
ตัวอย่างที่ 1
เงื่อนไข: เพิ่ม - 2 ยกกำลัง 4
การตัดสินใจ
โดยใช้คำจำกัดความข้างต้น เราเขียน: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . ต่อไปเราเพียงแค่ต้องทำตามขั้นตอนเหล่านี้และรับ 16 .
ลองมาดูตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่านี้กัน
ตัวอย่าง 2
คำนวณค่า 3 2 7 2
การตัดสินใจ
รายการนี้สามารถเขียนใหม่เป็น 3 2 7 · 3 2 7 ก่อนหน้านี้เราได้ศึกษาวิธีการคูณจำนวนคละที่กล่าวถึงในเงื่อนไขอย่างถูกต้อง
ทำตามขั้นตอนเหล่านี้และรับคำตอบ: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49
หากงานระบุว่าจำเป็นต้องเพิ่มจำนวนอตรรกยะให้เป็นกำลังธรรมชาติ เราจะต้องปัดเศษฐานเป็นตัวเลขก่อนเพื่อให้เราได้คำตอบของความแม่นยำที่ต้องการ ลองมาดูตัวอย่างกัน
ตัวอย่างที่ 3
ทำการยกกำลังสองของจำนวน π .
การตัดสินใจ
ให้ปัดขึ้นเป็นร้อยก่อน จากนั้น π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596 ถ้า π ≈ 3 . 14159 แล้วเราจะได้ผลลัพธ์ที่แม่นยำยิ่งขึ้น: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281
สังเกตว่าในทางปฏิบัติความจำเป็นในการคำนวณกำลังของจำนวนอตรรกยะเกิดขึ้นค่อนข้างน้อย จากนั้นเราสามารถเขียนคำตอบเป็นกำลัง (ln 6) 3 หรือแปลงถ้าเป็นไปได้: 5 7 = 125 5
แยกกัน ควรระบุว่ากำลังแรกของตัวเลขคืออะไร ที่นี่คุณสามารถระลึกได้ว่าตัวเลขใดๆ ที่ยกกำลังแรกจะยังคงอยู่:
สิ่งนี้ชัดเจนจากบันทึก 
.
ไม่ได้ขึ้นอยู่กับวุฒิการศึกษา
ตัวอย่างที่ 4
ดังนั้น (− 9) 1 = − 9 และ 7 3 ยกกำลังแรกยังคงเท่ากับ 7 3
เพื่อความสะดวก เราจะวิเคราะห์สามกรณีแยกกัน: ถ้าเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก ถ้าเป็นศูนย์ และถ้าเป็นจำนวนเต็มลบ
ในกรณีแรก มันเหมือนกับการเพิ่มกำลังธรรมชาติ เพราะจำนวนเต็มบวกอยู่ในเซตของจำนวนธรรมชาติ เราได้อธิบายวิธีการทำงานกับองศาดังกล่าวข้างต้นแล้ว
ตอนนี้เรามาดูวิธีการเพิ่มกำลังศูนย์อย่างถูกต้อง ด้วยฐานที่ไม่ใช่ศูนย์ การคำนวณนี้จะสร้างเอาต์พุตเป็น 1 เสมอ เราได้อธิบายไว้ก่อนหน้านี้แล้วว่า ยกกำลัง 0 ของ a สามารถกำหนดสำหรับใดๆ ได้ เบอร์จริงไม่เท่ากับ 0 และ 0 = 1
ตัวอย่างที่ 5
5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1
0 0 - ไม่ได้กำหนดไว้
เราจะเหลือเพียงกรณีของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบ เราได้คุยกันไปแล้วว่าองศาดังกล่าวสามารถเขียนเป็นเศษส่วน 1 a z โดยที่ a เป็นจำนวนใดๆ และ z เป็นจำนวนเต็มลบ เราจะเห็นว่าตัวส่วนของเศษส่วนนี้ไม่มีอะไรนอกจาก ระดับสามัญด้วยจำนวนเต็มบวก และเราได้เรียนรู้วิธีคำนวณแล้ว มายกตัวอย่างงานกัน
ตัวอย่างที่ 6
เพิ่ม 3 ยกกำลัง -2
การตัดสินใจ
โดยใช้คำจำกัดความข้างต้น เราเขียน: 2 - 3 = 1 2 3
เราคำนวณตัวส่วนของเศษส่วนนี้และรับ 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8
แล้วคำตอบก็คือ: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8
ตัวอย่าง 7
ยก 1, 43 ยกกำลัง -2
การตัดสินใจ
จัดรูปแบบใหม่: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2
เราคำนวณกำลังสองในตัวส่วน: 1.43 1.43 ทศนิยมสามารถคูณด้วยวิธีนี้: 
เป็นผลให้เราได้รับ (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 . เรายังคงเขียนผลลัพธ์นี้ในรูปแบบของเศษส่วนธรรมดาซึ่งจำเป็นต้องคูณด้วย 10,000 (ดูเนื้อหาเกี่ยวกับการแปลงเศษส่วน)
คำตอบ: (1, 43) - 2 = 10000 20449
กรณีแยกกันกำลังเพิ่มตัวเลขเป็นลบยกกำลังแรก ค่าของระดับดังกล่าวเท่ากับตัวเลขตรงข้ามกับค่าเดิมของฐาน: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a
ตัวอย่างที่ 8
ตัวอย่าง: 3 − 1 = 1 / 3
9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .
วิธีเพิ่มจำนวนเป็นยกกำลังเศษส่วน
ในการดำเนินการดังกล่าว เราจำเป็นต้องจำคำจำกัดความพื้นฐานของดีกรีด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน: a m n \u003d a m n สำหรับค่าบวก a จำนวนเต็ม m และ n ธรรมชาติ
คำจำกัดความ 2
ดังนั้น การคำนวณดีกรีเศษส่วนต้องดำเนินการในสองขั้นตอน: การเพิ่มกำลังเป็นจำนวนเต็มและการหารากของดีกรีที่ n
เรามีความเท่าเทียมกัน a m n = a m n ซึ่งเมื่อพิจารณาถึงคุณสมบัติของรากแล้ว มักจะใช้ในการแก้ปัญหาในรูปแบบ a m n = a n m ซึ่งหมายความว่าหากเราเพิ่มจำนวน a เป็นยกกำลังเศษส่วน m / n ก่อนอื่นเราจะแยกรากของดีกรีที่ n ออกจาก a จากนั้นเราจะเพิ่มผลลัพธ์เป็นกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม m
ลองอธิบายด้วยตัวอย่าง
ตัวอย่างที่ 9
คำนวณ 8 - 2 3 .
การตัดสินใจ
วิธีที่ 1 ตามคำจำกัดความพื้นฐาน เราสามารถแสดงสิ่งนี้เป็น: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3
ทีนี้ลองคำนวณดีกรีใต้รูทแล้วแยกรูทที่สามออกจากผลลัพธ์: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4
วิธีที่ 2 ลองแปลงความเท่าเทียมกันพื้นฐาน: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2
หลังจากนั้นเราแยกราก 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 และยกกำลังสองผลลัพธ์: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4
เราเห็นว่าการแก้ปัญหาเหมือนกัน คุณสามารถใช้วิธีใดก็ได้ที่คุณชอบ
มีหลายกรณีที่ระดับมีตัวบ่งชี้ที่แสดงเป็นจำนวนคละหรือเศษทศนิยม เพื่อความสะดวกในการคำนวณ ควรแทนที่ด้วยเศษส่วนธรรมดาแล้วนับตามที่ระบุไว้ข้างต้น
ตัวอย่าง 10
เพิ่ม 44.89 ยกกำลัง 2.5
การตัดสินใจ
แปลงค่าของตัวบ่งชี้เป็น เศษส่วนร่วม - 44 , 89 2 , 5 = 49 , 89 5 2 .
และตอนนี้เราทำการกระทำทั้งหมดที่ระบุไว้ข้างต้นตามลำดับ: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501, 25107
คำตอบ: 13501, 25107.
หากมีตัวเลขจำนวนมากในตัวเศษและตัวส่วนของเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน การคำนวณเลขชี้กำลังดังกล่าวด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะเป็นงานที่ค่อนข้างยาก โดยปกติแล้วจะต้องใช้เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์
แยกจากกัน เราอาศัยดีกรีที่มีฐานศูนย์และเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน นิพจน์ของรูปแบบ 0 m n สามารถให้ความหมายดังต่อไปนี้: ถ้า m n > 0 แล้ว 0 m n = 0 m n = 0 ; ถ้า m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .
วิธีเพิ่มจำนวนเป็นกำลังอตรรกยะ
ความจำเป็นในการคำนวณค่าของระดับในตัวบ่งชี้ที่มีจำนวนอตรรกยะนั้นไม่ได้เกิดขึ้นบ่อยนัก ในทางปฏิบัติ งานมักจะจำกัดอยู่ที่การคำนวณค่าโดยประมาณ โดยปกติแล้วจะคำนวณบนคอมพิวเตอร์เนื่องจากความซับซ้อนของการคำนวณดังกล่าว ดังนั้นเราจะไม่พูดถึงรายละเอียดนี้ เราจะระบุเฉพาะข้อกำหนดหลักเท่านั้น
หากเราจำเป็นต้องคำนวณค่าของดีกรี a ด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว a เราจะใช้ค่าประมาณทศนิยมของเลขชี้กำลังแล้วนับจากนั้น ผลลัพธ์จะเป็นคำตอบโดยประมาณ ยิ่งการประมาณทศนิยมแม่นยำมากเท่าใด คำตอบก็จะยิ่งแม่นยำมากขึ้นเท่านั้น มาแสดงด้วยตัวอย่าง:
ตัวอย่าง 11
คำนวณค่าประมาณ 21 , 174367 ....
การตัดสินใจ
เราจำกัดตัวเองไว้ที่การประมาณทศนิยม a n = 1 , 17 ลองทำการคำนวณโดยใช้ตัวเลขนี้: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . ตัวอย่างเช่น หากเราใช้ค่าประมาณ a n = 1 , 1743 คำตอบก็จะแม่นยำขึ้นเล็กน้อย: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1 . 1743 ≈ 2 . 256833 .
หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter
กำลังโหลด...