การแปลงนิพจน์ตรรกยะ: ประเภทของการแปลงตัวอย่าง การแสดงออกที่มีเหตุผล

ในอดีตอันไกลโพ้น เมื่อระบบแคลคูลัสยังไม่ถูกประดิษฐ์ขึ้น ผู้คนนับทุกอย่างด้วยนิ้วของพวกเขา ด้วยการถือกำเนิดของเลขคณิตและพื้นฐานของคณิตศาสตร์ การเก็บบันทึกสินค้า ผลิตภัณฑ์ และของใช้ในบ้านกลายเป็นเรื่องง่ายและเป็นประโยชน์มากขึ้น อย่างไรก็ตามมันมีลักษณะอย่างไร ระบบที่ทันสมัยแคลคูลัส: ตัวเลขที่มีอยู่แบ่งออกเป็นประเภทใดและ "รูปแบบจำนวนตรรกยะ" หมายถึงอะไร ลองคิดออก

คณิตศาสตร์มีตัวเลขกี่ประเภท?

แนวคิดของ "ตัวเลข" หมายถึงหน่วยหนึ่งของวัตถุใด ๆ ซึ่งแสดงลักษณะตัวบ่งชี้เชิงปริมาณ เปรียบเทียบหรือลำดับ เพื่อที่จะนับจำนวนสิ่งที่ถูกต้องหรือดำเนินการบางอย่างให้ถูกต้อง การดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับตัวเลข (บวก คูณ ฯลฯ) ก่อนอื่น คุณควรทำความคุ้นเคยกับความหลากหลายของตัวเลขเดียวกันเหล่านี้

ดังนั้น ตัวเลขที่มีอยู่สามารถแบ่งออกเป็นประเภทต่อไปนี้:

1. ตัวเลขธรรมชาติคือตัวเลขที่เรานับจำนวนวัตถุ (จำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุดคือ 1 เป็นตรรกะที่อนุกรม ตัวเลขธรรมชาติเป็นอนันต์นั่นคือไม่มีจำนวนธรรมชาติที่ใหญ่ที่สุด) เซตของตัวเลขธรรมชาติมักจะเขียนแทนด้วยตัวอักษร N
2. จำนวนทั้งหมด. ชุดนี้รวมทั้งหมดในขณะที่เพิ่มและ ค่าลบรวมทั้งตัวเลข "ศูนย์" สัญกรณ์สำหรับเซตของจำนวนเต็มเขียนเป็น อักษรละตินซี.
3. จำนวนตรรกยะคือสิ่งที่เราสามารถแปลงเป็นเศษส่วนทางจิตใจได้ ตัวเศษจะเป็นของเซตของจำนวนเต็ม และตัวส่วนจะเป็นของจำนวนธรรมชาติ ด้านล่างนี้ เราจะวิเคราะห์รายละเอียดเพิ่มเติมว่า "จำนวนตรรกยะ" หมายถึงอะไร และยกตัวอย่างบางส่วน
4. - ชุดที่มีเหตุผลทั้งหมดและชุดนี้เขียนแทนด้วยตัวอักษร R
5. จำนวนเชิงซ้อนประกอบด้วยส่วนของจำนวนจริงและส่วนของตัวแปร ใช้ในการแก้สมการลูกบาศก์ต่างๆ ซึ่งสามารถมีนิพจน์เชิงลบในสูตรได้ (i 2 = -1)

"เหตุผล" หมายถึงอะไร: เราวิเคราะห์ด้วยตัวอย่าง

ถ้าจำนวนตรรกยะเป็นจำนวนที่เราแทนในรูปได้ เศษส่วนร่วมปรากฎว่าจำนวนเต็มบวกและลบทั้งหมดรวมอยู่ในเซตของจำนวนตรรกยะด้วย อย่างไรก็ตาม จำนวนเต็มใดๆ เช่น 3 หรือ 15 สามารถแสดงเป็นเศษส่วน โดยที่ตัวส่วนจะเป็นหนึ่ง

เศษส่วน: -9/3; 7/5, 6/55 เป็นตัวอย่าง สรุปตัวเลข.

"การแสดงออกอย่างมีเหตุผล" หมายถึงอะไร?

ก้าวต่อไป. เราได้พูดคุยกันแล้วว่ารูปแบบตรรกยะหมายถึงอะไร ทีนี้ลองนึกภาพนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่ประกอบด้วยผลรวม ผลต่าง ผลิตภัณฑ์ หรือผลหาร ตัวเลขต่างๆและตัวแปร นี่คือตัวอย่าง: เศษส่วน ซึ่งในตัวเศษเป็นผลรวมของจำนวนเต็มตั้งแต่สองตัวขึ้นไป และตัวส่วนประกอบด้วยทั้งจำนวนเต็มและตัวแปรบางตัว นิพจน์นี้เรียกว่าตรรกยะ ตามกฎ "คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้" คุณสามารถเดาได้ว่าค่าของตัวแปรนี้ไม่สามารถเป็นแบบที่ค่าของตัวส่วนกลายเป็นศูนย์ได้ ดังนั้น เมื่อแก้นิพจน์ตรรกยะ คุณต้องกำหนดช่วงของตัวแปรก่อน ตัวอย่างเช่น หากตัวส่วนมีนิพจน์ต่อไปนี้: x+5-2 ปรากฎว่า "x" ไม่สามารถเท่ากับ -3 ได้ อันที่จริง ในกรณีนี้ นิพจน์ทั้งหมดกลายเป็นศูนย์ ดังนั้น เมื่อแก้ จำเป็นต้องแยกจำนวนเต็ม -3 สำหรับตัวแปรนี้

จะแก้สมการตรรกยะให้ถูกต้องได้อย่างไร?

การแสดงออกที่มีเหตุผลสามารถมีได้ค่อนข้างน้อย จำนวนมากของตัวเลขและตัวแปร 2 ตัว ดังนั้นบางครั้งการแก้ปัญหาก็ยาก เพื่ออำนวยความสะดวกในการแก้ปัญหาของนิพจน์ดังกล่าว ขอแนะนำให้ดำเนินการบางอย่างอย่างมีเหตุผล ดังนั้น "ในทางที่มีเหตุผล" หมายถึงอะไร และควรใช้กฎเกณฑ์ใดในการตัดสินใจ

1. ประเภทแรกเมื่อเพียงพอที่จะทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น ในการทำเช่นนี้ คุณสามารถใช้การดำเนินการลดตัวเศษและตัวส่วนให้เป็นค่าที่ไม่สามารถลดได้ ตัวอย่างเช่น หากตัวเศษประกอบด้วยนิพจน์ 18x และตัวส่วน 9x ดังนั้นการลดตัวบ่งชี้ทั้งสองลง 9x เราจะได้เพียงจำนวนเต็มเท่ากับ 2
2. วิธีที่สองใช้ได้จริงเมื่อเรามีโมโนเมียลในตัวเศษและพหุนามในตัวส่วน ลองดูตัวอย่าง: ในตัวเศษเรามี 5x และในตัวส่วน - 5x + 20x 2 . ในกรณีนี้ เป็นการดีที่สุดที่จะเอาตัวแปรในตัวส่วนออกจากวงเล็บ เราจะได้รูปแบบตัวส่วนต่อไปนี้: 5x(1+4x) และตอนนี้ คุณสามารถใช้กฎข้อแรกและทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นโดยลด 5x ในตัวเศษและส่วน เป็นผลให้เราได้เศษส่วนของรูปแบบ 1/1+4x

การดำเนินการใดที่สามารถทำได้ด้วยจำนวนตรรกยะ?

ชุดของจำนวนตรรกยะมีลักษณะเฉพาะของตัวเองจำนวนหนึ่ง หลายอย่างคล้ายกันมากกับคุณลักษณะที่มีอยู่ในจำนวนเต็มและจำนวนธรรมชาติ โดยพิจารณาจากข้อเท็จจริงที่ว่าจำนวนหลังจะรวมอยู่ในเซตตรรกยะเสมอ ต่อไปนี้คือคุณสมบัติบางประการของจำนวนตรรกยะ โดยรู้ว่าคุณสมบัติใดที่คุณสามารถแก้นิพจน์ตรรกยะใดๆ ได้อย่างง่ายดาย

1. คุณสมบัติการสับเปลี่ยนทำให้คุณสามารถรวมตัวเลขตั้งแต่สองตัวขึ้นไป โดยไม่คำนึงถึงลำดับ พูดง่ายๆ คือ ผลรวมจะไม่เปลี่ยนแปลงจากการเปลี่ยนแปลงในตำแหน่งของเงื่อนไข
2. คุณสมบัติการกระจายช่วยให้แก้ปัญหาโดยใช้กฎหมายการกระจาย
3. และสุดท้าย การดำเนินการบวก ลบ

แม้แต่เด็กนักเรียนก็ยังรู้ว่า "ประเภทจำนวนตรรกยะ" หมายถึงอะไรและจะแก้ปัญหาอย่างไรโดยอาศัยสำนวนดังกล่าว ดังนั้นผู้ใหญ่ที่มีการศึกษาก็ต้องจำพื้นฐานของเซตของจำนวนตรรกยะเป็นอย่างน้อย

การแสดงออกที่มีเหตุผล นิพจน์พีชคณิตที่ไม่มีอนุมูล กล่าวอีกนัยหนึ่งคือปริมาณพีชคณิต (ตัวเลขและตัวอักษร) อย่างน้อยหนึ่งรายการเชื่อมต่อกันด้วยสัญญาณ การดำเนินการเลขคณิต: บวก ลบ คูณ ... ... Wikipedia

นิพจน์พีชคณิตที่ไม่มีเครื่องหมายกรณฑ์ และรวมเฉพาะการดำเนินการของการบวก การลบ การคูณ และการหารเท่านั้น ตัวอย่างเช่น a2 + b, x/(y z2) … พจนานุกรมสารานุกรมขนาดใหญ่

นิพจน์พีชคณิตที่ไม่มีเครื่องหมายกรณฑ์ และรวมเฉพาะการดำเนินการของการบวก การลบ การคูณ และการหารเท่านั้น ตัวอย่างเช่น a2 + b, x/(y z2) * * * RATIONAL EXPRESSION RATIONAL EXPRESSION นิพจน์พีชคณิตที่ไม่มี ... ... พจนานุกรมสารานุกรม

นิพจน์พีชคณิตที่ไม่มีเครื่องหมายกรณฑ์ เช่น a2 + b, x/(y z3) หากรวมในศตวรรษอาร์ ตัวอักษรถือเป็นตัวแปร แล้ว R.in. กำหนดฟังก์ชันตรรกยะ (ดูฟังก์ชันตรรกยะ) ของตัวแปรเหล่านี้ ... สารานุกรมแห่งสหภาพโซเวียตผู้ยิ่งใหญ่

นิพจน์พีชคณิตที่ไม่มีเครื่องหมายกรณฑ์ และรวมเฉพาะการดำเนินการของการบวก การลบ การคูณ และการหารเท่านั้น ตัวอย่างเช่น a2 + b, x/(y z2) ... วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ. พจนานุกรมสารานุกรม

การแสดงออก- แนวคิดทางคณิตศาสตร์เบื้องต้น ซึ่งหมายถึงการบันทึกตัวอักษรและตัวเลขที่เชื่อมต่อกันด้วยเครื่องหมายของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ในขณะที่วงเล็บ การกำหนดฟังก์ชัน ฯลฯ สามารถใช้ได้ โดยปกติ B คือสูตรล้านส่วนของมัน แยกแยะ (1) ... ... สารานุกรมโปลีเทคนิคที่ยิ่งใหญ่

มีเหตุผล- (เหตุผล; เหตุผล) คำที่ใช้อธิบายความคิด ความรู้สึก และการกระทำที่สอดคล้องกับจิตใจ; ทัศนคติขึ้นอยู่กับค่านิยมที่ได้รับจากประสบการณ์จริง “ ค่านิยมทางวัตถุถูกกำหนดขึ้นในประสบการณ์ ... ... พจนานุกรมจิตวิทยาวิเคราะห์

ความรู้ที่มีเหตุผล- ภาพอัตนัยของโลกวัตถุประสงค์ที่ได้รับด้วยความช่วยเหลือของการคิด คิด - กระบวนการทำงานการสะท้อนความเป็นจริงทั่วไปและเป็นสื่อกลางซึ่งรับประกันการค้นพบการเชื่อมต่อปกติบนพื้นฐานของข้อมูลทางประสาทสัมผัสและการแสดงออก ... ปรัชญาวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี: พจนานุกรมเฉพาะเรื่อง

สมการ, เหตุผล- นิพจน์เชิงตรรกะหรือทางคณิตศาสตร์ตามสมมติฐาน (เชิงเหตุผล) เกี่ยวกับกระบวนการ สมการดังกล่าวแตกต่างจากสมการเชิงประจักษ์โดยที่พารามิเตอร์ได้มาจากข้อสรุปนิรนัยจากทฤษฎี ... ... พจนานุกรมในทางจิตวิทยา

มีเหตุผล, มีเหตุผล, มีเหตุผล; มีเหตุผล, มีเหตุผล, มีเหตุผล. 1.adj. สู่เหตุผลนิยม (หนังสือ) ปรัชญาที่มีเหตุผล. 2. ค่อนข้างสมเหตุสมผล สมเหตุสมผล สมควร เขาให้ข้อเสนอแนะที่มีเหตุผล มีเหตุผล ... ... พจนานุกรมอธิบายของ Ushakov

1) R. สมการพีชคณิต f (x) = 0 องศา p สมการพีชคณิตกรัม(y)=0 สมการที่กำหนด… … สารานุกรมคณิตศาสตร์

นิพจน์จำนวนเต็มคือนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่ประกอบด้วยตัวเลขและตัวแปรตามตัวอักษรโดยใช้การดำเนินการของการบวก การลบ และการคูณ จำนวนเต็มยังรวมนิพจน์ที่มีการหารด้วยตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์

ตัวอย่างนิพจน์จำนวนเต็ม

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างนิพจน์จำนวนเต็ม:

1. 12*a^3 + 5*(2*a -1);

3. 4*y- ((5*y+3)/5) -1;

นิพจน์เศษส่วน

หากนิพจน์มีการหารด้วยตัวแปรหรือโดยนิพจน์อื่นที่มีตัวแปร นิพจน์ดังกล่าวจะไม่ใช่จำนวนเต็ม นิพจน์ดังกล่าวเรียกว่านิพจน์เศษส่วน ให้เราให้คำจำกัดความที่สมบูรณ์ของนิพจน์เศษส่วน

นิพจน์เศษส่วนคือนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่นอกเหนือจากการดำเนินการบวก การลบและการคูณที่ดำเนินการกับตัวเลขและตัวแปรตัวอักษร รวมถึงการหารด้วยตัวเลข ไม่ได้ ศูนย์ยังประกอบด้วยการแบ่งนิพจน์ด้วยตัวแปรตามตัวอักษร

ตัวอย่างของนิพจน์เศษส่วน:

1. (12*a^3 +4)/a

3. 4*x- ((5*y+3)/(5-y)) +1;

นิพจน์เศษส่วนและจำนวนเต็มประกอบขึ้นเป็นนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ชุดใหญ่สองชุด หากชุดเหล่านี้รวมกัน เราก็จะได้ชุดใหม่ ซึ่งเรียกว่านิพจน์ตรรกยะ นั่นคือนิพจน์ตรรกยะเป็นนิพจน์จำนวนเต็มและเศษส่วนทั้งหมด

เรารู้ว่านิพจน์จำนวนเต็มเหมาะสมสำหรับค่าใดๆ ของตัวแปรที่รวมอยู่ในค่านั้น สิ่งนี้สืบเนื่องมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าในการหาค่าของนิพจน์จำนวนเต็ม จำเป็นต้องดำเนินการที่เป็นไปได้เสมอ: การบวก การลบ การคูณ การหารด้วยตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์

นิพจน์เศษส่วนซึ่งแตกต่างจากจำนวนเต็มอาจไม่สมเหตุสมผล เนื่องจากมีการดำเนินการหารด้วยตัวแปรหรือนิพจน์ที่มีตัวแปร และนิพจน์นี้สามารถเปลี่ยนเป็นศูนย์ได้ แต่การหารด้วยศูนย์นั้นเป็นไปไม่ได้ ค่าของตัวแปรที่ นิพจน์เศษส่วนจะสมเหตุสมผลเรียกค่าที่ถูกต้องของตัวแปร

เศษส่วนตรรกยะ

กรณีพิเศษอย่างหนึ่ง การแสดงออกที่มีเหตุผลจะเป็นเศษส่วนที่มีตัวเศษและตัวส่วนเป็นพหุนาม สำหรับเศษส่วนในวิชาคณิตศาสตร์ ยังมีชื่ออยู่ - เศษตรรกยะ

เศษส่วนตรรกยะจะสมเหตุสมผลถ้าตัวส่วนไม่เท่ากับศูนย์ นั่นคือค่าทั้งหมดของตัวแปรที่ตัวส่วนของเศษส่วนแตกต่างจากศูนย์จะถูกต้อง

บทเรียนนี้จะครอบคลุมข้อมูลพื้นฐานเกี่ยวกับนิพจน์ตรรกยะและการแปลง รวมถึงตัวอย่างการแปลงนิพจน์ตรรกยะ หัวข้อนี้สรุปหัวข้อที่เราได้ศึกษาไปแล้ว การแปลงการแสดงออกเชิงเหตุผลรวมถึงการบวก การลบ การคูณ การหาร การยกกำลัง เศษส่วนพีชคณิตการลดลง การแยกตัวประกอบ ฯลฯ ในบทเรียนนี้ เราจะพิจารณาว่านิพจน์ที่มีเหตุผลคืออะไร และเราจะวิเคราะห์ตัวอย่างสำหรับการแปลงด้วย

เรื่อง:เศษส่วนพีชคณิต การดำเนินการเลขคณิตกับเศษส่วนพีชคณิต

บทเรียนหรือสอนหรือการเรียนและเครื่องเตือนสติ:ข้อมูลพื้นฐานเกี่ยวกับนิพจน์ตรรกยะและการแปลงรูป

คำนิยาม

การแสดงออกที่มีเหตุผลเป็นนิพจน์ที่ประกอบด้วยตัวเลข ตัวแปร การดำเนินการเลขคณิตและการยกกำลัง

พิจารณาตัวอย่างของนิพจน์ตรรกยะ:

กรณีพิเศษของนิพจน์ที่มีเหตุผล:

ระดับที่ 1: ;

2. โมโนเมียล: ;

3. เศษส่วน: .

การแปลงนิพจน์เหตุผลเป็นการลดความซับซ้อนของนิพจน์ตรรกยะ ลำดับของการดำเนินการเมื่อแปลงนิพจน์ตรรกยะ: อันดับแรก มีการดำเนินการในวงเล็บ จากนั้นดำเนินการคูณ (หาร) แล้วบวก (ลบ)

ลองพิจารณาตัวอย่างบางส่วนเกี่ยวกับการแปลงนิพจน์ตรรกยะ

ตัวอย่างที่ 1

การตัดสินใจ:

ลองแก้ตัวอย่างนี้ทีละขั้นตอน การดำเนินการในวงเล็บจะดำเนินการก่อน

ตอบ:

ตัวอย่าง 2

การตัดสินใจ:

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 3

การตัดสินใจ:

ตอบ: .

บันทึก:บางทีเมื่อคุณเห็น ตัวอย่างนี้เกิดความคิดขึ้น: เพื่อลดเศษส่วนก่อนที่จะนำไปสู่ตัวส่วนร่วม อันที่จริง มันถูกต้องอย่างยิ่ง ประการแรก เป็นการดีที่จะลดความซับซ้อนของนิพจน์ให้มากที่สุด แล้วจึงแปลงนิพจน์ ลองแก้ตัวอย่างเดียวกันด้วยวิธีที่สองกัน

อย่างที่คุณเห็น คำตอบกลับกลายเป็นว่าคล้ายคลึงกันโดยสิ้นเชิง แต่วิธีแก้ปัญหากลับกลายเป็นว่าค่อนข้างง่ายกว่า

ในบทเรียนนี้ เรามาดูที่ การแสดงออกที่มีเหตุผลและการเปลี่ยนแปลงของพวกเขา, เช่นเดียวกับหลาย ๆ ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมข้อมูลการแปลง

บรรณานุกรม

1. Bashmakov M.I. พีชคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 - ม.: การตรัสรู้, 2547.

2. Dorofeev G.V. , Suvorova S.B. , Bunimovich E.A. et al. พีชคณิต 8 - 5th ed. - ม.: การศึกษา, 2553.

จากวิชาพีชคณิต หลักสูตรโรงเรียนมาดูรายละเอียดกัน ในบทความนี้เราจะมาศึกษากันโดยละเอียด ชนิดพิเศษการแสดงออกที่มีเหตุผล - เศษส่วนตรรกยะและวิเคราะห์ด้วยว่าลักษณะใดเหมือนกัน การแปลงเศษส่วนตรรกยะแทนที่.

เราทราบทันทีว่าเศษส่วนตรรกยะในแง่ที่เรากำหนดไว้ด้านล่างนี้เรียกว่าเศษส่วนพีชคณิตในตำราพีชคณิตบางเล่ม นั่นคือในบทความนี้ เราจะเข้าใจสิ่งเดียวกันภายใต้เศษส่วนตรรกยะและพีชคณิต

ตามปกติ เราจะเริ่มต้นด้วยคำจำกัดความและตัวอย่าง ต่อไป เรามาพูดถึงการนำเศษส่วนตรรกยะไปยังตัวส่วนใหม่และเกี่ยวกับการเปลี่ยนเครื่องหมายของสมาชิกของเศษส่วน หลังจากนั้นเราจะวิเคราะห์วิธีการลดเศษส่วน สุดท้ายนี้ ให้เราพิจารณาการแทนเศษส่วนตรรกยะเป็นผลรวมของเศษส่วนหลายส่วน เราจะให้ข้อมูลทั้งหมดพร้อมตัวอย่างด้วย คำอธิบายโดยละเอียดโซลูชั่น

การนำทางหน้า

ความหมายและตัวอย่างของเศษส่วนตรรกยะ

เศษส่วนตรรกยะมีการศึกษาในบทเรียนพีชคณิตในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 เราจะใช้คำจำกัดความของเศษส่วนตรรกยะซึ่งระบุไว้ในหนังสือเรียนพีชคณิตสำหรับเกรด 8 โดย Yu. N. Makarychev และคนอื่นๆ

คำจำกัดความนี้ไม่ได้ระบุว่าพหุนามในตัวเศษและตัวส่วนของเศษตรรกยะต้องเป็นพหุนามหรือไม่ มุมมองมาตรฐานหรือไม่. ดังนั้น เราจะถือว่าเศษส่วนตรรกยะสามารถประกอบด้วยพหุนามมาตรฐานและไม่เป็นมาตรฐาน

นี่คือบางส่วน ตัวอย่างเศษส่วนตรรกยะ. ดังนั้น x/8 และ - เศษส่วนตรรกยะ และเศษส่วน และไม่เข้ากับคำจำกัดความของเศษส่วนตรรกยะ เพราะในครั้งแรกนั้น ตัวเศษไม่ใช่พหุนาม และในวินาที ทั้งตัวเศษและตัวส่วนมีนิพจน์ที่ไม่ใช่พหุนาม

การแปลงตัวเศษและตัวส่วนของเศษตรรกยะ

ตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนใดๆ ล้วนเป็นนิพจน์ทางคณิตศาสตร์แบบพอเพียง ในกรณีของเศษส่วนตรรกยะ พวกมันคือพหุนาม ในบางกรณี พวกมันคือโมโนเมียลและตัวเลข ดังนั้น ด้วยตัวเศษและตัวส่วนของเศษตรรกยะ เช่นเดียวกับนิพจน์ใดๆ การแปลงที่เหมือนกันก็สามารถทำได้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง นิพจน์ในตัวเศษของเศษส่วนตรรกยะสามารถแทนที่ด้วยนิพจน์ที่เท่ากันทุกประการ เช่นเดียวกับตัวส่วน

ในตัวเศษและตัวส่วนของเศษตรรกยะ การแปลงที่เหมือนกันสามารถทำได้ ตัวอย่างเช่น ในตัวเศษ คุณสามารถจัดกลุ่มและลดเงื่อนไขที่คล้ายกัน และในตัวส่วน ผลคูณของตัวเลขหลายตัวสามารถแทนที่ด้วยค่าของมันได้ และเนื่องจากตัวเศษและตัวส่วนของเศษตรรกยะเป็นพหุนาม จึงเป็นไปได้ที่จะทำการแปลงลักษณะของพหุนามกับพวกมัน ตัวอย่างเช่น การลดขนาดเป็นรูปแบบมาตรฐานหรือการแทนค่าเป็นผลิตภัณฑ์

เพื่อความชัดเจน ให้พิจารณาวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างต่างๆ

ตัวอย่าง.

แปลง เศษส่วนตรรกยะ เพื่อให้ตัวเศษเป็นพหุนามของรูปแบบมาตรฐาน และตัวส่วนเป็นผลคูณของพหุนาม

การตัดสินใจ.

การลดเศษส่วนตรรกยะเป็นตัวส่วนใหม่ส่วนใหญ่จะใช้เมื่อบวกและลบเศษตรรกยะ

เครื่องหมายเปลี่ยนหน้าเศษส่วน ตัวเศษ และตัวส่วน

คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วนสามารถใช้เปลี่ยนเครื่องหมายของเงื่อนไขของเศษส่วนได้ อันที่จริง การคูณตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนตรรกยะด้วย -1 เท่ากับเปลี่ยนเครื่องหมาย และผลลัพธ์ก็คือเศษส่วนที่เท่ากันกับตัวที่ให้มา การแปลงดังกล่าวต้องใช้ค่อนข้างบ่อยเมื่อทำงานกับเศษส่วนตรรกยะ

ดังนั้น หากคุณเปลี่ยนเครื่องหมายของตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนพร้อมกัน คุณจะได้เศษส่วนเท่ากับเศษส่วนเดิม ข้อความนี้สอดคล้องกับความเท่าเทียมกัน

ลองมาดูตัวอย่างกัน เศษส่วนตรรกยะสามารถแทนที่ด้วยเศษส่วนที่เท่ากันโดยมีเครื่องหมายกลับด้านของตัวเศษและตัวส่วนของแบบฟอร์ม

ด้วยเศษส่วน คุณทำได้อีกอันหนึ่ง การเปลี่ยนแปลงเอกลักษณ์ที่เครื่องหมายเปลี่ยนทั้งในตัวเศษหรือในตัวส่วน มาดูกฎที่เหมาะสมกัน หากคุณแทนที่เครื่องหมายของเศษส่วนพร้อมกับเครื่องหมายของตัวเศษหรือตัวส่วน คุณจะได้เศษส่วนที่เท่ากับต้นฉบับเหมือนกัน ข้อความที่เป็นลายลักษณ์อักษรสอดคล้องกับความเท่าเทียมกัน และ .

ไม่ยากเลยที่จะพิสูจน์ความเท่าเทียมกันเหล่านี้ การพิสูจน์ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของการคูณตัวเลข มาพิสูจน์กันก่อนดีกว่า: . ด้วยความช่วยเหลือของการเปลี่ยนแปลงที่คล้ายคลึงกัน ความเท่าเทียมกันได้รับการพิสูจน์ด้วย

ตัวอย่างเช่น เศษส่วนสามารถแทนที่ด้วยนิพจน์หรือ .

เพื่อสรุปส่วนย่อยนี้ เราขอเสนอความเท่าเทียมกันที่มีประโยชน์อีกสองประการและ นั่นคือถ้าคุณเปลี่ยนเครื่องหมายของตัวเศษหรือตัวส่วนเท่านั้น เศษส่วนจะเปลี่ยนเครื่องหมายของมัน ตัวอย่างเช่น, และ .

การแปลงที่พิจารณาแล้ว ซึ่งอนุญาตให้เปลี่ยนเครื่องหมายของเงื่อนไขของเศษส่วน มักใช้เมื่อเปลี่ยนนิพจน์ที่เป็นเศษส่วน

การลดเศษส่วนตรรกยะ

การแปลงเศษส่วนตรรกยะต่อไปนี้ เรียกว่าการลดจำนวนตรรกยะ อิงตามคุณสมบัติพื้นฐานเดียวกันของเศษส่วน การแปลงนี้สอดคล้องกับความเท่าเทียมกัน โดยที่ a , b และ c เป็นพหุนามบางตัว และ b และ c ไม่ใช่ศูนย์

จากความเท่าเทียมกันข้างต้น จะเห็นได้ชัดว่าการลดเศษส่วนตรรกยะหมายถึงการกำจัดปัจจัยร่วมในตัวเศษและตัวส่วน

ตัวอย่าง.

ลดเศษส่วนตรรกยะ.

การตัดสินใจ.

ปัจจัยร่วม 2 จะมองเห็นได้ทันที เรามาย่อกัน (เมื่อเขียน จะสะดวกที่จะขีดฆ่าปัจจัยทั่วไปที่ใช้ลด) เรามี . เนื่องจาก x 2 \u003d x x และ y 7 \u003d y 3 y 4 (ดูว่าจำเป็น) เป็นที่ชัดเจนว่า x เป็นปัจจัยร่วมของตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนที่เป็นผลลัพธ์ เช่น y 3 . ลดปัจจัยเหล่านี้: . เป็นการสิ้นสุดการลดลง

ด้านบน เราได้ดำเนินการลดเศษส่วนตรรกยะตามลำดับ และสามารถลดขั้นตอนได้ในขั้นตอนเดียว โดยลดเศษส่วนลงทันที 2·x·y 3 ในกรณีนี้ วิธีแก้ปัญหาจะมีลักษณะดังนี้: .

ตอบ:

.

เมื่อลดจำนวนตรรกยะ ปัญหาหลักคือปัจจัยร่วมของตัวเศษและตัวส่วนไม่สามารถมองเห็นได้เสมอไป นอกจากนี้ยังไม่ได้มีอยู่เสมอ ในการหาตัวประกอบร่วมหรือตรวจสอบให้แน่ใจว่าไม่มีตัวประกอบ คุณต้องแยกตัวประกอบตัวเศษและตัวส่วนของเศษตรรกยะ หากไม่มีตัวประกอบร่วม ก็ไม่จำเป็นต้องลดเศษส่วนตรรกยะเดิม มิฉะนั้น จะดำเนินการลด

ในกระบวนการลดเศษส่วนตรรกยะ อาจเกิดขึ้น ความแตกต่างต่างๆ. รายละเอียดปลีกย่อยหลักพร้อมตัวอย่างและรายละเอียดจะกล่าวถึงในบทความการลดเศษส่วนพีชคณิต

เมื่อจบการสนทนาเกี่ยวกับการลดลงของเศษส่วนตรรกยะ เราสังเกตว่าการแปลงนี้เหมือนกัน และปัญหาหลักในการนำไปปฏิบัติอยู่ที่การแยกตัวประกอบของพหุนามในตัวเศษและตัวส่วน

การแสดงเศษส่วนตรรกยะเป็นผลรวมของเศษส่วน

ค่อนข้างเฉพาะเจาะจง แต่ในบางกรณีมีประโยชน์มาก คือการแปลงเศษส่วนตรรกยะ ซึ่งประกอบด้วยการแสดงแทนเป็นผลรวมของเศษส่วนหลายส่วน หรือผลรวมของนิพจน์จำนวนเต็มและเศษส่วน

เศษตรรกยะ ในตัวเศษซึ่งมีพหุนามซึ่งเป็นผลรวมของโมโนเมียลหลายตัว สามารถเขียนเป็นผลรวมของเศษส่วนด้วย ตัวส่วนเท่ากันซึ่งตัวเศษมีโมโนเมียลที่สอดคล้องกัน ตัวอย่างเช่น, . การแทนค่านี้อธิบายโดยกฎการบวกและการลบเศษส่วนพีชคณิตที่มีตัวส่วนเท่ากัน

โดยทั่วไป เศษตรรกยะใดๆ สามารถแสดงเป็นผลรวมของเศษส่วนได้หลายวิธี ตัวอย่างเช่น เศษส่วน a/b สามารถแสดงเป็นผลรวมของเศษส่วนสองส่วนได้ - เศษส่วนตามอำเภอใจ c/d และเศษส่วนเท่ากับผลต่างระหว่างเศษส่วน a/b และ c/d ข้อความนี้เป็นความจริงเนื่องจากความเท่าเทียมกัน . ตัวอย่างเช่น เศษตรรกยะสามารถแสดงเป็นผลรวมของเศษส่วนได้ วิธีทางที่แตกต่าง: เราแสดงเศษส่วนเดิมเป็นผลรวมของนิพจน์จำนวนเต็มและเศษส่วน หลังจากหารตัวเศษด้วยตัวส่วนด้วยคอลัมน์ เราก็จะได้ค่าเท่ากัน . ค่าของนิพจน์ n 3 +4 สำหรับจำนวนเต็ม n ใดๆ เป็นจำนวนเต็ม และค่าของเศษส่วนจะเป็นจำนวนเต็มก็ต่อเมื่อตัวส่วนของมันคือ 1, −1, 3 หรือ −3 ค่าเหล่านี้สอดคล้องกับค่า n=3 , n=1 , n=5 และ n=-1 ตามลำดับ

ตอบ:

−1 , 1 , 3 , 5 .

บรรณานุกรม.

• พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับ 8 เซลล์ การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [อ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; เอ็ด S.A. Telyakovsky. - ครั้งที่ 16 - ม. : การศึกษา, 2551. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019243-9
• มอร์ดโควิช เอ. จี.พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 เวลา 14.00 น. ตอนที่ 1 ตำรานักเรียน สถาบันการศึกษา/ เอ.จี. มอร์ดโควิช. - ครั้งที่ 13 รายได้ - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 p.: ill. ไอ 978-5-346-01198-9
• มอร์ดโควิช เอ. จี.พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 เวลา 14.00 น. ตอนที่ 1 ตำราสำหรับนักเรียนของสถาบันการศึกษา / A. G. Mordkovich - ค.ศ. 11 ลบ. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: ill. ไอ 978-5-346-01155-2
• Gusev V. A. , Mordkovich A. G.คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้สมัครเข้าโรงเรียนเทคนิค): Proc. เบี้ยเลี้ยง.- ม.; สูงกว่า ร.ร. 2527-351 น.