Den ledande koefficienten för andragradsekvationen. Ofullständiga andragradsekvationer

Andragradsekvation - lätt att lösa! *Vidare i texten "KU". Vänner, det verkar som om det i matematik kan vara lättare än att lösa en sådan ekvation. Men något sa mig att många har problem med honom. Jag bestämde mig för att se hur många visningar Yandex ger per begäran per månad. Här är vad som hände, ta en titt:

Vad betyder det? Det betyder att cirka 70 000 personer i månaden letar efter denna informationen, vad har denna sommar med det att göra, och vad som kommer att hända bland skolår- förfrågningar kommer att vara dubbelt så stora. Detta är inte förvånande, eftersom de killar och tjejer som länge har tagit examen från skolan och förbereder sig för provet letar efter denna information, och skolbarn försöker också fräscha upp minnet.

Trots att det finns en hel del sajter som berättar hur man löser denna ekvation så bestämde jag mig för att även bidra och publicera materialet. För det första vill jag att besökare ska komma till min sida på denna begäran; för det andra, i andra artiklar, när talet "KU" kommer upp, kommer jag att ge en länk till denna artikel; för det tredje kommer jag att berätta lite mer om hans lösning än vad som brukar anges på andra sajter. Låt oss börja! Innehållet i artikeln:

En andragradsekvation är en ekvation av formen:

där koefficienterna a,boch med godtyckliga tal, med a≠0.

I skolkursen ges materialet i följande form - uppdelningen av ekvationer i tre klasser görs villkorligt:

1. Har två rötter.

2. * Har bara en rot.

3. Har inga rötter. Det är värt att notera här att de inte har riktiga rötter

Hur beräknas rötter? Bara!

Vi beräknar diskriminanten. Under detta "hemska" ord ligger en mycket enkel formel:

Rotformlerna är följande:

*Dessa formler måste vara kända utantill.

Du kan omedelbart skriva ner och bestämma:

Exempel:

1. Om D > 0 har ekvationen två rötter.

2. Om D = 0, så har ekvationen en rot.

3. Om D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Låt oss titta på ekvationen:

Förbi detta tillfälle när den diskriminerande noll-, skolkursen säger att en rot erhålls, här är det lika med nio. Det stämmer, det är det, men...

Denna framställning är något felaktig. I själva verket finns det två rötter. Ja, ja, bli inte förvånad, det visar sig två lika rot, och för att vara matematiskt exakt bör två rötter skrivas i svaret:

x 1 = 3 x 2 = 3

Men det är så - en liten utvikning. I skolan kan man skriva ner och säga att det bara finns en rot.

Nu följande exempel:

Som vi vet extraheras inte roten av ett negativt tal, så det finns ingen lösning i det här fallet.

Det är hela beslutsprocessen.

Kvadratisk funktion.

Så här ser lösningen ut geometriskt. Detta är extremt viktigt att förstå (i framtiden, i en av artiklarna, kommer vi att analysera i detalj lösningen av en kvadratisk ojämlikhet).

Detta är en funktion av formuläret:

där x och y är variabler

a, b, c - givna siffror, där a ≠ 0

Grafen är en parabel:

Det vill säga, det visar sig att genom att lösa en andragradsekvation med "y" lika med noll, hittar vi parabelns skärningspunkter med x-axeln. Det kan finnas två av dessa punkter (diskriminanten är positiv), en (diskriminanten är noll) eller ingen (diskriminanten är negativ). Detaljer om kvadratisk funktion Du kan se artikel av Inna Feldman.

Tänk på exempel:

Exempel 1: Bestäm dig 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Svar: x 1 = 8 x 2 = -12

* Du kan direkt dividera vänster och höger sida av ekvationen med 2, det vill säga förenkla den. Beräkningarna blir lättare.

Exempel 2: Besluta x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Vi fick det x 1 \u003d 11 och x 2 \u003d 11

I svaret är det tillåtet att skriva x = 11.

Svar: x = 11

Exempel 3: Besluta x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminanten är negativ, det finns ingen lösning i reella tal.

Svar: ingen lösning

Diskriminanten är negativ. Det finns en lösning!

Här kommer vi att prata om att lösa ekvationen i fallet när en negativ diskriminant erhålls. Kan du något om komplexa tal? Jag kommer inte att gå in i detalj här om varför och var de uppstod och vad deras specifika roll och nödvändighet i matematik är, detta är ett ämne för en stor separat artikel.

Begreppet ett komplext tal.

Lite teori.

Ett komplext tal z är ett tal av formen

z = a + bi

där a och b är riktiga nummer, i är den så kallade imaginära enheten.

a+bi är ett ENKELTAL, inte ett tillägg.

Den imaginära enheten är lika med roten av minus ett:

Tänk nu på ekvationen:

Få två konjugerade rötter.

Ofullständig andragradsekvation.

Tänk på speciella fall, detta är när koefficienten "b" eller "c" är lika med noll (eller båda är lika med noll). De löses enkelt utan diskriminering.

Fall 1. Koefficient b = 0.

Ekvationen tar formen:

Låt oss förvandla:

Exempel:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Fall 2. Koefficient c = 0.

Ekvationen tar formen:

Förvandla, faktorisera:

*Produkten är lika med noll när minst en av faktorerna är lika med noll.

Exempel:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 eller x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Fall 3. Koefficienter b = 0 och c = 0.

Här är det tydligt att lösningen till ekvationen alltid kommer att vara x = 0.

Användbara egenskaper och mönster av koefficienter.

Det finns egenskaper som gör det möjligt att lösa ekvationer med stora koefficienter.

ax 2 + bx+ c=0 jämlikhet

a + b+ c = 0, sedan

— om för ekvationens koefficienter ax 2 + bx+ c=0 jämlikhet

a+ med =b, sedan

Dessa egenskaper hjälper till att lösa en viss typ av ekvation.

Exempel 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Summan av koefficienterna är 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, alltså

Exempel 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Jämlikhet a+ med =b, betyder att

Regelbundenheter av koefficienter.

1. Om koefficienten "b" i ekvationen ax 2 + bx + c \u003d 0 är (a 2 +1), och koefficienten "c" är numeriskt lika med koefficienten "a", så är dess rötter

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Exempel. Betrakta ekvationen 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Om koefficienten "b" i ekvationen ax 2 - bx + c \u003d 0 är (a 2 +1), och koefficienten "c" är numeriskt lika med koefficienten "a", då är dess rötter

ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Exempel. Betrakta ekvationen 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Om i ekvationen ax 2 + bx - c = 0 koefficient "b" är lika med (en 2 – 1), och koefficienten "c" numeriskt lika med koefficienten "a", då är dess rötter lika

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Exempel. Betrakta ekvationen 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Om koefficienten "b" i ekvationen ax 2 - bx - c \u003d 0 är lika med (a 2 - 1), och koefficienten c är numeriskt lika med koefficienten "a", så är dess rötter

ax 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Exempel. Betrakta ekvationen 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Vietas sats.

Vietas sats är uppkallad efter den berömde franske matematikern Francois Vieta. Med hjälp av Vietas teorem kan man uttrycka summan och produkten av rötterna till en godtycklig KU i termer av dess koefficienter.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Sammanfattningsvis ger talet 14 bara 5 och 9. Dessa är rötterna. Med en viss skicklighet, med hjälp av den presenterade satsen, kan du lösa många andragradsekvationer direkt muntligt.

Vietas sats dessutom. bekvämt eftersom efter att ha löst andragradsekvationen på vanligt sätt (genom diskriminanten) kan de resulterande rötterna kontrolleras. Jag rekommenderar att du gör detta hela tiden.

ÖVERFÖRINGSMETOD

Med denna metod multipliceras koefficienten "a" med den fria termen, som om den "överförs" till den, varför den kallas överföringsmetod. Denna metod används när det är lätt att hitta rötterna till en ekvation med hjälp av Vietas sats och, viktigast av allt, när diskriminanten är en exakt kvadrat.

Om en a± b+c≠ 0, då används överföringstekniken, till exempel:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Enligt Vieta-satsen i ekvation (2) är det lätt att bestämma att x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

De erhållna rötterna av ekvationen måste delas med 2 (eftersom de två "kastades" från x 2), får vi

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Vad är motiveringen? Se vad som händer.

Diskriminanterna i ekvationerna (1) och (2) är:

Om du tittar på rötterna till ekvationerna erhålls bara olika nämnare, och resultatet beror exakt på koefficienten vid x 2:

De andra (modifierade) rötterna är 2 gånger större.

Därför delar vi resultatet med 2.

*Om vi ​​slår tre lika delar vi resultatet med 3, och så vidare.

Svar: x 1 = 5 x 2 = 0,5

kvm ur-ie och tentamen.

Jag kommer att säga kort om dess betydelse - DU BÖR KUNNA BESLUTA snabbt och utan att tänka, du måste kunna formlerna för rötterna och diskriminanten utantill. Många av uppgifterna som ingår i USE-uppgifterna handlar om att lösa en andragradsekvation (inklusive geometriska).

Vad är värt att notera!

1. Formen på ekvationen kan vara "implicit". Till exempel är följande post möjlig:

15+ 9x 2 - 45x = 0 eller 15x+42+9x 2 - 45x=0 eller 15 -5x+10x 2 = 0.

Du måste ta det till en standardform (för att inte bli förvirrad när du löser).

2. Kom ihåg att x är ett okänt värde och det kan betecknas med vilken bokstav som helst - t, q, p, h och andra.

En ofullständig andragradsekvation skiljer sig från klassiska (fullständiga) ekvationer genom att dess faktorer eller fria term är lika med noll. Grafen för sådana funktioner är paraboler. Beroende på det allmänna utseendet är de indelade i 3 grupper. Lösningsprinciperna för alla typer av ekvationer är desamma.

Det är inget svårt att bestämma typen av ett ofullständigt polynom. Det är bäst att överväga de viktigaste skillnaderna i illustrativa exempel:

1. Om b = 0 är ekvationen ax 2 + c = 0.
2. Om c = 0, så bör uttrycket ax 2 + bx = 0 lösas.
3. Om b = 0 och c = 0, blir polynomet en likhet av typen ax 2 = 0.

Det senare fallet är mer av en teoretisk möjlighet och förekommer aldrig i kunskapstester, eftersom det enda sanna värdet av x i uttrycket är noll. I framtiden kommer metoder och exempel för att lösa ofullständiga problem att övervägas. Kvadratisk ekvation 1) och 2) arter.

Allmän algoritm för att hitta variabler och exempel med en lösning

Oavsett typ av ekvation reduceras lösningsalgoritmen till följande steg:

1. Ge uttrycket en form som är lämplig för att hitta rötter.
2. Gör beräkningar.
3. Skriv ner svaret.

Det är lättast att lösa ofullständiga ekvationer genom att faktorisera vänster sida och lämna noll på höger sida. Således reduceras formeln för en ofullständig andragradsekvation för att hitta rötterna till att beräkna värdet av x för var och en av faktorerna.

Du kan bara lära dig att lösa i praktiken, så överväg specifikt exempel hitta rötterna till en ofullständig ekvation:

Som du kan se är b = 0 i det här fallet. Vi faktoriserar vänster sida och får uttrycket:

4(x - 0,5) ⋅ (x + 0,5) = 0.

Uppenbarligen är produkten lika med noll när åtminstone en av faktorerna är lika med noll. Liknande krav uppfylls av värdena för variabeln x1 = 0,5 och (eller) x2 = -0,5.

För att enkelt och snabbt klara av nedbrytningsuppgiften kvadratisk trinomium multiplikatorer bör du komma ihåg följande formel:

Om det inte finns någon fri term i uttrycket förenklas uppgiften kraftigt. Det räcker med att bara hitta och ta ut den gemensamma nämnaren. För tydlighetens skull, överväg ett exempel på hur man löser ofullständiga andragradsekvationer på formen ax2 + bx = 0.

Låt oss ta variabeln x ur parentes och få följande uttryck:

x ⋅ (x + 3) = 0.

Baserat på logik drar vi slutsatsen att x1 = 0 och x2 = -3.

Det traditionella sättet att lösa och ofullständiga andragradsekvationer

Vad händer om vi tillämpar diskriminantformeln och försöker hitta polynomets rötter, med koefficienter lika med noll? Låt oss ta ett exempel från en samling typiska uppgifter för Unified State Examination i matematik 2017, vi kommer att lösa det med hjälp av standardformler och faktoriseringsmetoden.

7x 2 - 3x = 0.

Beräkna värdet på diskriminanten: D = (-3)2 - 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Det visar sig att polynomet har två rötter:

Lös nu ekvationen genom att faktorisera och jämför resultaten.

X ⋅ (7x + 3) = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x=-3,
x = -.

Som du kan se ger båda metoderna samma resultat, men det andra sättet att lösa ekvationen visade sig vara mycket enklare och snabbare.

Vietas sats

Men vad ska man göra med den älskade Vieta-satsen? Kan denna metod tillämpas med ett ofullständigt trinomial? Låt oss försöka förstå aspekterna av att reducera ofullständiga ekvationer till den klassiska formen ax2 + bx + c = 0.

Det är faktiskt möjligt att tillämpa Vietas sats i detta fall. Det är bara nödvändigt att föra uttrycket till en allmän form, och ersätta de saknade termerna med noll.

Till exempel, med b = 0 och a = 1, för att eliminera risken för förväxling, bör uppgiften skrivas i formen: ax2 + 0 + c = 0. Då förhållandet mellan summan och produkten av rötterna och Polynomets faktorer kan uttryckas på följande sätt:

Teoretiska beräkningar hjälper till att sätta dig in i frågans kärna och kräver alltid kompetensutveckling vid lösning specifika uppgifter. Låt oss återgå till referensboken med typiska uppgifter för provet och hitta ett lämpligt exempel:

Vi skriver uttrycket i en form som är lämplig för att tillämpa Vieta-satsen:

x2 + 0 - 16 = 0.

Nästa steg är att skapa ett system av villkor:

Uppenbarligen kommer rötterna till det kvadratiska polynomet att vara x 1 \u003d 4 och x 2 \u003d -4.

Låt oss nu öva på att föra ekvationen till en allmän form. Ta följande exempel: 1/4× x 2 – 1 = 0

För att kunna tillämpa Vieta-satsen på uttrycket måste du bli av med bråket. Multiplicera vänster och höger sida med 4 och titta på resultatet: x2– 4 = 0. Den resulterande likheten är redo att lösas med Vieta-satsen, men det är mycket enklare och snabbare att få svaret helt enkelt genom att flytta c = 4 till höger om ekvationen: x2 = 4.

Sammanfattningsvis så ska det sägas det bästa sättet lösning av ofullständiga ekvationer är faktorisering, är den enklaste och snabb metod. Om du stöter på svårigheter i processen att hitta rötter kan du hänvisa till den traditionella metoden att hitta rötter genom diskriminanten.

En andragradsekvation är en ekvation av formen a*x^2 +b*x+c=0, där a,b,c är några godtyckliga reella (reella) tal, och x är en variabel. Och talet a är inte lika med 0.

Talen a,b,c kallas koefficienter. Talet a - kallas den ledande koefficienten, talet b är koefficienten vid x, och talet c kallas den fria medlemmen. Andra namn finns också i viss litteratur. Talet a kallas den första koefficienten och talet b kallas den andra koefficienten.

Klassificering av andragradsekvationer

Andragradsekvationer har sin egen klassificering.

Genom närvaron av koefficienter:

1. Full

2. Ofullständig

Med värdet av koefficienten för den högsta graden av det okända(till värdet av den ledande koefficienten):

1. Givet

2. Ej reducerad

Andragradsekvation kallas komplett om den innehåller alla tre koefficienterna och de inte är noll. Allmän form fullständig andragradsekvation: a*x^2 +b*x+c=0;

Andragradsekvation kallas ofullständig om i ekvationen a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 en av koefficienterna b eller c är lika med noll (b \u003d 0 eller c \u003d 0), kommer dock en ofullständig andragradsekvation också att vara en ekvation där både koefficienten b och koefficienten c samtidigt är lika med noll (både b=0 och c=0).

Det är värt att notera att ingenting sägs om den ledande koefficienten här, eftersom den enligt definitionen av en kvadratisk ekvation måste vara annorlunda än noll.

given om dess ledande koefficient lika med ett(a=1). Allmän bild av den givna andragradsekvationen: x^2 +d*x+e=0.

Andragradsekvationen kallas oreducerad, om den ledande koefficienten i ekvationen är icke-noll. Allmän bild av den oreducerade andragradsekvationen: a*x^2 +b*x+c=0.

Det bör noteras att varje icke-reducerad kvadratisk ekvation kan reduceras till den reducerade. För att göra detta är det nödvändigt att dividera koefficienterna för den kvadratiska ekvationen med den ledande koefficienten.

Kvadratiska exempel

Tänk på ett exempel: vi har ekvationen 2*x^2 - 6*x+7 =0;

Låt oss omvandla det till ovanstående ekvation. Den ledande koefficienten är 2. Låt oss dividera koefficienterna för vår ekvation med den och skriva ner svaret.

x^2 - 3*x+3,5 =0;

Som du märkte, på den högra sidan av andragradsekvationen finns ett polynom av andra graden a * x ^ 2 + b * x + c. Det kallas också ett kvadratiskt trinomium.

Det här ämnet kan tyckas komplicerat till en början på grund av de många inte så enkla formlerna. Inte bara andragradsekvationerna i sig har långa poster, utan rötterna hittas också genom diskriminanten. Det finns tre nya formler totalt. Inte så lätt att komma ihåg. Detta är möjligt endast efter den frekventa lösningen av sådana ekvationer. Då kommer alla formler att komma ihåg av sig själva.

Allmän bild av andragradsekvationen

Här föreslås deras explicita notation, när den största graden skrivs först, och sedan - i fallande ordning. Ofta finns det situationer när villkoren skiljer sig åt. Då är det bättre att skriva om ekvationen i fallande ordning efter variabelns grad.

Låt oss introducera notation. De presenteras i tabellen nedan.

Om vi ​​accepterar dessa notationer reduceras alla andragradsekvationer till följande notation.

Dessutom är koefficienten a ≠ 0. Låt denna formel betecknas med nummer ett.

När ekvationen ges är det inte klart hur många rötter som kommer att finnas i svaret. Eftersom ett av tre alternativ alltid är möjligt:

• lösningen kommer att ha två rötter;
• svaret blir ett nummer;
• Ekvationen har inga rötter alls.

Och även om beslutet inte avslutas, är det svårt att förstå vilket av alternativen som kommer att falla ut i ett visst fall.

Typer av poster av andragradsekvationer

Uppgifter kan ha olika poster. De ser inte alltid ut allmän formel andragradsekvation. Ibland kommer det att sakna några termer. Det som skrevs ovan är fullständig ekvation. Om du tar bort den andra eller tredje termen i den får du något annat. Dessa poster kallas också andragradsekvationer, endast ofullständiga.

Dessutom kan endast de termer för vilka koefficienterna "b" och "c" försvinna. Siffran "a" kan under inga omständigheter vara lika med noll. För i det här fallet förvandlas formeln till en linjär ekvation. Formlerna för den ofullständiga formen av ekvationerna kommer att vara följande:

Så det finns bara två typer, förutom kompletta finns det också ofullständiga andragradsekvationer. Låt den första formeln vara nummer två och den andra nummer tre.

Diskriminanten och antalet rötters beroende av dess värde

Detta antal måste vara känt för att kunna beräkna ekvationens rötter. Det går alltid att beräkna, oavsett vilken formel för andragradsekvationen är. För att beräkna diskriminanten måste du använda jämställdheten nedan, som kommer att ha nummer fyra.

Efter att ha ersatt värdena för koefficienterna i denna formel kan du få siffror med olika tecken. Om svaret är ja, kommer svaret på ekvationen att vara två olika rötter. Med ett negativt tal kommer rötterna till andragradsekvationen att saknas. Om det är lika med noll blir svaret ett.

Hur löses en komplett andragradsekvation?

Faktum är att övervägandet av denna fråga redan har börjat. För först måste du hitta diskriminanten. Efter att det har klargjorts att det finns rötter till andragradsekvationen, och deras antal är känt, måste du använda formlerna för variablerna. Om det finns två rötter, måste du tillämpa en sådan formel.

Eftersom den innehåller tecknet "±" kommer det att finnas två värden. Signerat uttryck roten urär diskriminanten. Därför kan formeln skrivas om på ett annat sätt.

Formel fem. Från samma post kan man se att om diskriminanten är noll, kommer båda rötterna att ha samma värden.

Om lösningen av andragradsekvationer ännu inte har utarbetats, är det bättre att skriva ner värdena för alla koefficienter innan du använder diskriminant- och variabelformlerna. Senare kommer detta ögonblick inte att orsaka svårigheter. Men i början råder förvirring.

Hur löser man en ofullständig andragradsekvation?

Allt är mycket enklare här. Inte ens det behövs ytterligare formler. Och du behöver inte de som redan har skrivits för diskriminerande och okända.

Överväg först ofullständig ekvation på nummer två. I denna likhet är det meningen att det ska ta det okända värdet ur parentesen och lösa den linjära ekvationen, som kommer att finnas kvar inom parentesen. Svaret kommer att ha två rötter. Den första är nödvändigtvis lika med noll, eftersom det finns en faktor som består av själva variabeln. Den andra erhålls genom att lösa en linjär ekvation.

Den ofullständiga ekvationen vid nummer tre löses genom att överföra talet från vänster sida av ekvationen till höger. Sedan måste du dividera med koefficienten framför det okända. Det återstår bara att extrahera kvadratroten och glöm inte att skriva ner den två gånger med motsatta tecken.

Följande är några åtgärder som hjälper dig att lära dig hur du löser alla typer av likheter som förvandlas till andragradsekvationer. De kommer att hjälpa eleven att undvika misstag på grund av ouppmärksamhet. Dessa brister är orsaken till dåliga betyg när man studerar det omfattande ämnet "Quadric Equations (Betyg 8)". Därefter kommer dessa åtgärder inte att behöva utföras konstant. För det blir en stabil vana.

• Först måste du skriva ekvationen i standardform. Det vill säga först termen med den största graden av variabeln, och sedan - utan graden och den sista - bara en siffra.

• Om ett minus visas före koefficienten "a", kan det komplicera arbetet för en nybörjare att studera andragradsekvationer. Det är bättre att bli av med det. För detta ändamål måste all likhet multipliceras med "-1". Det betyder att alla termer kommer att ändra tecken till motsatt.

• På samma sätt rekommenderas att bli av med fraktioner. Multiplicera helt enkelt ekvationen med lämplig faktor så att nämnarna tar bort.

Exempel

Det krävs för att lösa följande andragradsekvationer:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Den första ekvationen: x 2 - 7x \u003d 0. Den är ofullständig, därför löses den enligt beskrivningen för formel nummer två.

Efter bracketing visar det sig: x (x - 7) \u003d 0.

Den första roten tar värdet: x 1 = 0. Den andra kommer att hittas från linjär ekvation: x - 7 = 0. Det är lätt att se att x 2 = 7.

Andra ekvationen: 5x2 + 30 = 0. Återigen ofullständig. Bara det löses enligt beskrivningen för den tredje formeln.

Efter att ha överfört 30 till höger sida av ekvationen: 5x 2 = 30. Nu måste du dividera med 5. Det visar sig: x 2 = 6. Svaren blir siffror: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Tredje ekvationen: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Här och nedan börjar lösningen av andragradsekvationer med att skriva om dem i standardvy: - x 2 - 2x + 15 = 0. Nu är det dags att använda tvåan användbart råd och multiplicera allt med minus ett. Det visar sig x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Enligt den fjärde formeln måste du beräkna diskriminanten: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Det är en Positivt nummer. Av det som sagts ovan visar det sig att ekvationen har två rötter. De måste beräknas enligt den femte formeln. Enligt det visar det sig att x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Sedan x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Den fjärde ekvationen x 2 + 8 + 3x \u003d 0 omvandlas till detta: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Dess diskriminant är lika med detta värde: -23. Eftersom detta nummer är negativt kommer svaret på denna uppgift att vara följande post: "Det finns inga rötter."

Den femte ekvationen 12x + x 2 + 36 = 0 ska skrivas om enligt följande: x 2 + 12x + 36 = 0. Efter att ha tillämpat formeln för diskriminanten erhålls talet noll. Detta betyder att den kommer att ha en rot, nämligen: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Den sjätte ekvationen (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) kräver transformationer, som består i att du måste ta med liknande termer, innan du öppnar parenteserna. I stället för den första kommer det att finnas ett sådant uttryck: x 2 + 2x + 1. Efter likhet kommer denna post att visas: x 2 + 3x + 2. Efter att liknande termer har räknats kommer ekvationen att ha formen: x 2 - x \u003d 0. Den har blivit ofullständig . Liknande det har redan ansetts vara lite högre. Rötterna till detta kommer att vara siffrorna 0 och 1.

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 eller x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

Efter att ha lärt mig att lösa ekvationer av första graden vill jag förstås arbeta med andra, framför allt med ekvationer av andra graden, som annars kallas kvadratiska.

Andragradsekvationer är ekvationer av typen ax² + bx + c = 0, där variabeln är x, talen blir - a, b, c, där a inte är lika med noll.

Om i en andragradsekvation den ena eller den andra koefficienten (c eller b) är lika med noll, kommer denna ekvation att hänvisa till en ofullständig andragradsekvation.

Hur löser man en ofullständig andragradsekvation om eleverna hittills bara kunnat lösa ekvationer av första graden? Betrakta ofullständiga andragradsekvationer olika typer och enkla sätt sina beslut.

a) Om koefficienten c är lika med 0, och koefficienten b inte är lika med noll, reduceras ax ² + bx + 0 = 0 till en ekvation av formen ax ² + bx = 0.

För att lösa en sådan ekvation behöver du känna till formeln för att lösa en ofullständig kvadratisk ekvation, som består i att bryta ner den vänstra sidan av den i faktorer och senare använda villkoret att produkten är lika med noll.

Till exempel, 5x ² - 20x \u003d 0. Vi dekomponerar vänster sida av ekvationen i faktorer, samtidigt som vi gör det vanliga matematisk operation: tar den gemensamma faktorn ur parentes

5x (x - 4) = 0

Vi använder villkoret att produkterna är lika med noll.

5 x = 0 eller x - 4 = 0

Svaret blir: den första roten är 0; den andra roten är 4.

b) Om b \u003d 0, och den fria termen inte är lika med noll, reduceras ekvationen ax ² + 0x + c \u003d 0 till en ekvation av formen ax ² + c \u003d 0. Lös ekvationer i två sätt: a) dekomponera polynomet i ekvationen på vänster sida i faktorer ; b) använda egenskaperna för den aritmetiska kvadratroten. En sådan ekvation löses med en av metoderna, till exempel:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. Svaret är: den första roten är 5/2; den andra roten är - 5/2.

c) Om b är lika med 0 och c är lika med 0, så reduceras ax² + 0 + 0 = 0 till en ekvation av formen ax² = 0. I en sådan ekvation blir x lika med 0.

Som du kan se kan ofullständiga andragradsekvationer ha högst två rötter.