C 14 aritmetisk kvadratrot. Hur man hittar kvadratroten av ett tal manuellt

Matematik föddes när en person blev medveten om sig själv och började positionera sig själv som en autonom enhet i världen. Viljan att mäta, jämföra, beräkna vad som omger dig är det som ligger till grund för en av våra dagars grundläggande vetenskaper. Till en början var dessa partiklar av elementär matematik, vilket gjorde det möjligt att koppla siffror med deras fysiska uttryck, senare började slutsatserna presenteras endast teoretiskt (på grund av deras abstrakthet), men efter ett tag, som en forskare uttryckte det, " matematik nådde taket av komplexitet när alla tal." Koncept" Roten ur"dök upp vid en tidpunkt då den lätt kunde säkerhetskopieras med empirisk data, som gick utanför beräkningarnas plan.

Hur allt började

Det första omnämnandet av roten, som på det här ögonblicket betecknad som √, registrerades i de babyloniska matematikernas skrifter, som lade grunden för modern aritmetik. Naturligtvis såg de ut lite som den nuvarande formen - forskarna under dessa år använde först skrymmande tabletter. Men under det andra årtusendet f.Kr. e. de kom på en ungefärlig beräkningsformel som visade hur man tar kvadratroten. Bilden nedan visar en sten på vilken babyloniska forskare ristade utdataprocessen √2, och den visade sig vara så korrekt att avvikelsen i svaret endast hittades i den tionde decimalen.

Dessutom användes roten om det var nödvändigt att hitta sidan på en triangel, förutsatt att de andra två var kända. Tja, när man löser andragradsekvationer finns det ingen flykt från att extrahera roten.

Tillsammans med de babyloniska verken studerades föremålet för artikeln också i det kinesiska verket "Mathematics in Nine Books", och de gamla grekerna kom till slutsatsen att vilket tal som helst från vilket roten inte extraheras utan en rest ger ett irrationellt resultat .

Ursprunget till denna term är associerad med den arabiska representationen av numret: forntida forskare trodde att kvadraten på ett godtyckligt tal växer från roten, som en växt. På latin låter detta ord som radix (man kan spåra ett mönster - allt som har en "rot" semantisk belastning är konsonant, vare sig det är rädisa eller ischias).

Forskare från efterföljande generationer plockade upp denna idé och betecknade den som Rx. Till exempel, på 1400-talet, för att indikera att kvadratroten är hämtad från ett godtyckligt tal a, skrev de R 2 a. Vanlig modernt utseende"tick" √ dök upp först på 1600-talet tack vare Rene Descartes.

Våra dagar

Matematiskt är kvadratroten ur y talet z vars kvadrat är y. Med andra ord är z 2 =y ekvivalent med √y=z. Denna definition är dock endast relevant för den aritmetiska roten, eftersom den antyder ett icke-negativt värde för uttrycket. Med andra ord, √y=z, där z är större än eller lika med 0.

I allmänhet, vilket är giltigt för att bestämma den algebraiska roten, kan uttryckets värde vara antingen positivt eller negativt. På grund av det faktum att z 2 =y och (-z) 2 =y har vi alltså: √y=±z eller √y=|z|.

På grund av det faktum att kärleken till matematik bara har ökat med vetenskapens utveckling, finns det olika manifestationer av anknytning till den, inte uttryckta i torra beräkningar. Till exempel, tillsammans med sådana underhållande händelser som Pi-dagen, firas också kvadratrotens helgdagar. De firas nio gånger på hundra år, och bestäms enligt följande princip: siffrorna som anger dagen och månaden i ordning måste vara kvadratroten av året. Ja, in nästa gång Denna högtid kommer att firas den 4 april 2016.

Egenskaper för kvadratroten på fältet R

Nästan alla matematiska uttryck har en geometrisk grund, detta öde passerade inte och √y, som definieras som sidan av en kvadrat med area y.

Hur hittar man roten till ett tal?

Det finns flera beräkningsalgoritmer. Den enklaste, men samtidigt ganska besvärliga, är den vanliga aritmetiska beräkningen, som är följande:

1) från talet vars rot vi behöver subtraheras udda tal i tur och ordning - tills resten vid utgången är mindre än det subtraherade eller jämna noll-. Antalet drag blir så småningom det önskade antalet. Beräkna till exempel kvadratroten ur 25:

Följande udda nummerär 11, har vi följande rest: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

För sådana fall finns det en Taylor-serieexpansion:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , där n tar värden från 0 till

+∞, och |y|≤1.

Grafisk representation av funktionen z=√y

Betrakta en elementär funktion z=√y i fältet för reella tal R, där y är större än eller lika med noll. Hennes diagram ser ut så här:

Kurvan växer från origo och korsar nödvändigtvis punkten (1; 1).

Egenskaper för funktionen z=√y i fältet för reella tal R

1. Definitionsdomänen för den betraktade funktionen är intervallet från noll till plus oändlighet (noll ingår).

2. Värdeintervallet för den aktuella funktionen är intervallet från noll till plus oändlighet (noll ingår återigen).

3. Funktionen tar minimivärdet (0) endast vid punkten (0; 0). Det finns inget maxvärde.

4. Funktionen z=√y är varken jämn eller udda.

5. Funktionen z=√y är inte periodisk.

6. Det finns bara en skärningspunkt för grafen för funktionen z=√y med koordinataxlarna: (0; 0).

7. Skärningspunkten för grafen för funktionen z=√y är också nollpunkten för denna funktion.

8. Funktionen z=√y växer kontinuerligt.

9. Funktionen z=√y tar bara positiva värden, därför upptar dess graf den första koordinatvinkeln.

Alternativ för att visa funktionen z=√y

Inom matematiken, för att underlätta beräkningen av komplexa uttryck, används ibland kraftformen att skriva kvadratroten: √y=y 1/2. Det här alternativet är praktiskt, till exempel för att höja en funktion till en potens: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Denna metod är också en bra representation för differentiering med integration, eftersom kvadratroten tack vare den representeras av en vanlig potensfunktion.

Och i programmering är ersättningen för symbolen √ kombinationen av bokstäverna sqrt.

Det är värt att notera att i detta område är kvadratroten mycket efterfrågad, eftersom den är en del av de flesta geometriska formler som är nödvändiga för beräkningar. Själva räknealgoritmen är ganska komplicerad och bygger på rekursion (en funktion som kallar sig själv).

Kvadratroten i det komplexa fältet C

I stort sett var det ämnet för denna artikel som stimulerade upptäckten av området komplexa tal C, eftersom matematiker hemsöktes av frågan om att få en jämn gradsrot från ett negativt tal. Så här såg den imaginära enheten i ut, som kännetecknas av en mycket intressant egenskap: dess kvadrat är -1. Tack vare detta löstes även andragradsekvationerna med en negativ diskriminant. I C, för kvadratroten, är samma egenskaper relevanta som i R, det enda är att begränsningarna för rotuttrycket tas bort.

I den här artikeln kommer vi att presentera begreppet roten till ett tal. Vi kommer att agera sekventiellt: vi börjar med kvadratroten, från den går vi vidare till beskrivningen kubikroten, efter det generaliserar vi begreppet rot genom att definiera roten till den n:e graden. Samtidigt kommer vi att introducera definitioner, notation, ge exempel på rötter och ge nödvändiga förklaringar och kommentarer.

Kvadratrot, aritmetisk kvadratrot

För att förstå definitionen av roten till ett tal, och kvadratroten i synnerhet, måste man ha . Vid denna tidpunkt kommer vi ofta att möta andra potensen av ett tal - kvadraten av ett tal.

Låt oss börja med kvadratrotsdefinitioner.

Definition

Kvadratroten ur aär talet vars kvadrat är a .

För att ta med exempel kvadratrötter , ta flera siffror, till exempel 5 , −0.3 , 0.3 , 0 , och kvadrera dem, vi får talen 25 , 0.09 , 0.09 respektive 0 (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (−0,3) 2 =(−0,3) (−0,3)=0,09(0,3)2=0,3 0,3=0,09 och 02=00=0). Sedan enligt definitionen ovan är 5 kvadratroten ur 25, −0,3 och 0,3 är kvadratrötterna ur 0,09, och 0 är kvadratroten ur noll.

Det bör noteras att inte för något tal existerar a, vars kvadrat är lika med a. För alla negativa tal a finns det nämligen nej riktigt nummer b , vars kvadrat skulle vara lika med a . Faktum är att likheten a=b 2 är omöjlig för något negativt a , eftersom b 2 är ett icke-negativt tal för något b . Således, på mängden reella tal finns det ingen kvadratrot ur ett negativt tal. Med andra ord, på uppsättningen av reella tal är kvadratroten av ett negativt tal inte definierad och har ingen betydelse.

Detta leder till en logisk fråga: "Finns det en kvadratrot av a för något icke-negativt a"? Svaret är ja. Skälet för detta faktum kan betraktas som en konstruktiv metod som används för att hitta värdet av kvadratroten.

Då uppstår följande logiska fråga: "Vad är antalet av alla kvadratrötter av ett givet icke-negativt tal a - ett, två, tre eller till och med fler"? Här är svaret på det: om a är noll, så är den enda kvadratroten av noll noll; om a är något positivt tal, då är antalet kvadratrötter från talet a lika med två, och rötterna är . Låt oss underbygga detta.

Låt oss börja med fallet a=0 . Låt oss först visa att noll verkligen är kvadratroten ur noll. Detta följer av den uppenbara likheten 0 2 =0·0=0 och definitionen av kvadratroten.

Låt oss nu bevisa att 0 är den enda kvadratroten ur noll. Låt oss använda den motsatta metoden. Låt oss anta att det finns något icke-nolltal b som är kvadratroten ur noll. Då måste villkoret b 2 =0 vara uppfyllt, vilket är omöjligt, eftersom värdet på uttrycket b 2 är positivt för varje b som inte är noll. Vi har kommit till en motsägelse. Detta bevisar att 0 är den enda kvadratroten ur noll.

Låt oss gå vidare till fall där a är ett positivt tal. Ovan sa vi att det alltid finns en kvadratrot ur ett icke-negativt tal, låt b vara kvadratroten ur a. Låt oss säga att det finns ett tal c , som också är kvadratroten av a . Då, enligt kvadratrotens definition, är likheterna b 2 =a och c 2 =a giltiga, varav det följer att b 2 −c 2 =a−a=0, men eftersom b 2 −c 2 =( b−c) ( b+c) , sedan (b−c) (b+c)=0 . Den resulterande jämlikheten i kraft egenskaper för åtgärder med reella tal endast möjligt när b−c=0 eller b+c=0 . Således är talen b och c lika eller motsatta.

Om vi ​​antar att det finns ett tal d, som är en annan kvadratrot av talet a, så bevisas det genom resonemang liknande de som redan givits att d är lika med talet b eller talet c. Så antalet kvadratrötter av ett positivt tal är två, och kvadratrötterna är motsatta tal.

För att underlätta arbetet med kvadratrötter är den negativa roten "separerad" från den positiva. För detta ändamål introducerar den definition av aritmetisk kvadratrot.

Definition

Aritmetisk kvadratrot ur ett icke-negativt tal aär ett icke-negativt tal vars kvadrat är lika med a .

För den aritmetiska kvadratroten av talet a accepteras notationen. Tecknet kallas det aritmetiska kvadratrottecknet. Det kallas också för radikalens tecken. Därför kan man delvis höra både "root" och "radikal", vilket betyder samma objekt.

Talet under det aritmetiska kvadratrottecknet kallas rotnummer, och uttrycket under rottecknet - radikalt uttryck, medan termen "radikalt antal" ofta ersätts med "radikalt uttryck". Till exempel, i notationen är talet 151 ett radikalt tal, och i notationen är uttrycket a ett radikalt uttryck.

Vid läsning utelämnas ofta ordet "aritmetik", till exempel läses posten som "kvadratroten ur sju komma tjugonio hundradelar." Ordet "aritmetik" uttalas bara när de vill betona att vi pratar om den positiva kvadratroten ur ett tal.

I ljuset av den införda notationen följer det av definitionen av den aritmetiska kvadratroten att för varje icke-negativt tal a .

Kvadratrötterna av ett positivt tal a skrivs med det aritmetiska kvadratrottecknet som och . Till exempel är kvadratrötterna av 13 och . Den aritmetiska kvadratroten ur noll är noll, det vill säga . För negativa siffror a kommer vi inte att tillskriva posterna betydelse förrän vi studerar komplexa tal. Till exempel är uttrycken och meningslösa.

Utifrån definitionen av en kvadratrot bevisas egenskaper hos kvadratrötter, som ofta används i praktiken.

För att avsluta detta underavsnitt, noterar vi att kvadratrötterna av ett tal är lösningar av formen x 2 =a med avseende på variabeln x .

kubrot av

Definition av kubroten av talet a ges på ett liknande sätt som definitionen av kvadratroten. Bara det är baserat på konceptet med en kub av ett tal, inte en kvadrat.

Definition

Kubroten av en ett tal vars kub är lika med a kallas.

Låt oss ta exempel på kubrötter. För att göra detta, ta flera siffror, till exempel 7 , 0 , −2/3 , och kub dem: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Sedan kan vi, baserat på definitionen av kubroten, säga att talet 7 är kubroten ur 343, 0 är kubroten ur noll och −2/3 är kubroten ur −8/27.

Det kan visas att kubroten av talet a, till skillnad från kvadratroten, alltid existerar, och inte bara för icke-negativ a, utan även för valfritt reellt tal a. För att göra detta kan du använda samma metod som vi nämnde när vi studerade kvadratroten.

Dessutom finns det bara en kubrot av ett givet tal a. Låt oss bevisa det sista påståendet. För att göra detta, överväg tre fall separat: a är ett positivt tal, a=0 och a är ett negativt tal.

Det är lätt att visa att för positivt a kan kubroten av a varken vara negativ eller noll. Låt b vara kubroten till a , då kan vi per definition skriva likheten b 3 =a . Det är tydligt att denna likhet inte kan vara sann för negativ b och för b=0, eftersom b 3 =b·b·b i dessa fall blir ett negativt tal respektive noll. Så kubikroten av ett positivt tal a är ett positivt tal.

Antag nu att det förutom talet b finns ytterligare en kubrot från talet a, låt oss beteckna det c. Då c3 =a. Därför b 3 −c 3 =a−a=0 , men b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 + b c+c 2)(detta är den förkortade multiplikationsformeln skillnad på kuber), varav (b−c) (b2 +b c+c2)=0 . Den resulterande likheten är endast möjlig när b−c=0 eller b 2 +b c+c 2 =0 . Från den första likheten har vi b=c, och den andra likheten har inga lösningar, eftersom dess vänstra sida är ett positivt tal för alla positiva tal b och c som summan av tre positiva termer b 2 , b c och c 2 . Detta bevisar det unika hos kubroten av ett positivt tal a.

För a=0 är den enda kubroten av a noll. Faktum är att om vi antar att det finns ett tal b , som är en kubrot av noll som inte är noll, måste likheten b 3 =0 gälla, vilket är möjligt endast när b=0 .

För negativt a kan man argumentera liknande fallet för positivt a . Först visar vi att kubroten av ett negativt tal inte kan vara lika med varken ett positivt tal eller noll. För det andra antar vi att det finns en andra kubrot av ett negativt tal och visar att det nödvändigtvis kommer att sammanfalla med det första.

Så det finns alltid en kubrot av ett givet reellt tal a, och bara en.

Låt oss ge definition av aritmetisk kubrot.

Definition

Aritmetisk kubrot av ett icke-negativt tal a ett icke-negativt tal vars kub är lika med a kallas.

Den aritmetiska kubroten av ett icke-negativt tal a betecknas som , tecknet kallas tecknet för den aritmetiska kubroten, talet 3 i denna notation kallas rotindikator. Siffran under rottecknet är rotnummer, är uttrycket under rottecknet radikalt uttryck.

Även om den aritmetiska kubroten endast definieras för icke-negativa tal a, är det också bekvämt att använda poster där negativa tal står under det aritmetiska kubrottecknet. Vi kommer att förstå dem på följande sätt: , där a är ett positivt tal. Till exempel, .

Vi kommer att prata om egenskaperna hos kubrötter i den allmänna artikeln egenskaper hos rötter.

Att beräkna värdet på en kubrot kallas att extrahera en kubrot, denna åtgärd diskuteras i artikeln extrahera rötter: metoder, exempel, lösningar.

För att avsluta detta underavsnitt säger vi att kubroten till a är en lösning av formen x 3 =a.

N:te rot, aritmetisk rot av n

Vi generaliserar begreppet rot från ett tal - vi introducerar bestämning av den n:te roten för n.

Definition

n:te roten av enär ett tal vars n:te potens är lika med a.

Från denna definition är det tydligt att roten till den första graden från talet a är talet a själv, eftersom när vi studerade graden med en naturlig indikator tog vi en 1 = a.

Ovan övervägde vi specialfall av roten av den n:e graden för n=2 och n=3 - kvadratroten och kubroten. Det vill säga att kvadratroten är roten till andra graden och kubroten är roten till tredje graden. För att studera rötterna till den n:e graden för n=4, 5, 6, ... är det bekvämt att dela upp dem i två grupper: den första gruppen - rötterna till jämna grader (det vill säga för n=4, 6 , 8, ...), den andra gruppen - rötterna udda grader (det vill säga för n=5, 7, 9, ... ). Detta beror på det faktum att rötterna av jämna grader liknar kvadratroten, och rötterna till udda grader liknar kubikroten. Låt oss ta itu med dem i tur och ordning.

Låt oss börja med rötterna, vars potenser är de jämna talen 4, 6, 8, ... Som vi redan har sagt, liknar de kvadratroten av talet a. Det vill säga, roten till en jämn grad från talet a existerar endast för icke-negativ a. Dessutom, om a=0, så är roten av a unik och lika med noll, och om a>0, så finns det två rötter av en jämn grad från talet a, och de är motsatta tal.

Låt oss motivera det sista påståendet. Låt b vara en rot av jämn grad (vi betecknar det som 2 m, där m är något naturligt nummer) från nummer a . Antag att det finns ett tal c - ytterligare 2 m rot av a . Då b 2 m −c 2 m =a−a=0 . Men vi känner till formen b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +...+c 2 m−2), sedan (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +...+c 2 m−2)=0. Av denna likhet följer att b−c=0 , eller b+c=0 , eller b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +...+c 2 m−2 =0. De två första likheterna betyder att talen b och c är lika eller b och c är motsatta. Och den sista likheten är endast giltig för b=c=0, eftersom dess vänstra sida innehåller ett uttryck som är icke-negativt för alla b och c som summan av icke-negativa tal.

När det gäller rötterna av den n:e graden för udda n, liknar de kubroten. Det vill säga roten till vilken udda grad som helst från talet a finns för vilket reellt tal a som helst, och för ett givet tal a är det unikt.

Det unika hos roten av udda grad 2·m+1 från talet a bevisas i analogi med beviset för kubrotens unikhet från en . Bara här istället för jämställdhet a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) en likhet av formen b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +... +c 2 m). Uttrycket i den sista parentesen kan skrivas om som b 2 m + c 2 m + b c (b 2 m−2 + c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Till exempel, för m=2 har vi b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). När a och b båda är positiva eller båda negativa är deras produkt ett positivt tal, då är uttrycket b 2 +c 2 +b·c , som står inom parentes för den högsta graden av häckning, positivt som summan av positiva tal. När vi nu successivt går till uttrycken inom parentes för de tidigare häckningsgraderna ser vi till att de också är positiva som summan av positiva tal. Som ett resultat får vi att likheten b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +... +c 2 m)=0 endast möjligt när b−c=0 , det vill säga när talet b är lika med talet c .

Det är dags att ta itu med notationen av den n:e gradens rötter. För detta är det givet bestämning av den aritmetiska roten av den n:e graden.

Definition

aritmetisk rot n:te potens av ett icke-negativt tal a ett icke-negativt tal kallas, vars n:te potens är lika med a.

Vad är en kvadratrot?

Uppmärksamhet!
Det finns ytterligare
material i specialavdelning 555.
För dem som starkt "inte särskilt..."
Och för dem som "mycket...")

Detta koncept är väldigt enkelt. Naturligt, skulle jag säga. Matematiker försöker hitta en reaktion för varje handling. Det finns addition och det finns subtraktion. Det finns multiplikation och det finns division. Det finns kvadratur ... Så det finns också extrahera kvadratroten! Det är allt. denna åtgärd ( tar kvadratroten) i matematik betecknas med denna ikon:

Själva ikonen kallas vackert ord "radikal".

Hur extraherar man roten? Det är bättre att överväga exempel.

Vad är kvadratroten ur 9? Och vilket tal i kvadrat ger oss 9? 3 kvadrat ger oss 9! De där:

Vad är kvadratroten ur noll? Inga problem! Vilket tal med noll i kvadrat ger? Ja, själv ger han noll! Betyder att:

Fångad vad är en kvadratrot? Då överväger vi exempel:

Svar (i oordning): 6; ett; 4; nio; 5.

Bestämt? Verkligen, det är mycket lättare!

Men... Vad gör en person när han ser någon uppgift med rötter?

En person börjar längta ... Han tror inte på rötternas enkelhet och lätthet. Även om han verkar veta vad är kvadratrot...

Detta beror på att en person har ignorerat flera viktiga punkter när han studerar rötterna. Sedan tar dessa modeflugor brutalt hämnd på prov och tentor ...

Punkt ett. Rötter måste kännas igen på synen!

Vad är kvadratroten ur 49? Sju? Rätt! Hur visste du att det fanns sju? Ruterade sju och fick 49? Korrekt! Vänligen notera att extrahera roten av 49 var vi tvungna att göra omvänd operation - ruta 7! Och se till att vi inte missar. Eller så kan de missa...

Däri ligger svårigheten rotextraktion. Kvadrering vilket nummer som helst är möjligt utan problem. Multiplicera talet med sig självt i en kolumn - och det är allt. Men för rotextraktion det finns ingen sådan enkel och problemfri teknik. räkna med plocka upp svara och kontrollera att den träffas av kvadrat.

Denna komplexa kreativa process - att välja ett svar - förenklas avsevärt om du kom ihåg kvadrater av populära siffror. Som en multiplikationstabell. Om du till exempel behöver multiplicera 4 med 6 - du lägger inte ihop de fyra 6 gånger, eller hur? Svaret dyker genast upp 24. Även om inte alla har det, ja ...

För fritt och framgångsrikt arbete med rötter räcker det att känna till kvadraterna av siffror från 1 till 20. Dessutom, där och tillbaka. De där. du bör enkelt kunna namnge både, säg, 11 i kvadrat och kvadratroten av 121. För att uppnå denna memorering finns det två sätt. Det första är att lära sig tabellen med kvadrater. Detta kommer att hjälpa mycket med exempel. För det andra, bestäm dig fler exempel. Det är bra att komma ihåg tabellen med rutor.

Och inga miniräknare! Endast för verifiering. Annars kommer du att sakta ner skoningslöst under provet ...

Så, vad är kvadratrot Och hur extrahera rötter– Jag tycker att det är förståeligt. Låt oss nu ta reda på FRÅN VAD du kan extrahera dem från.

Punkt två. Root, jag känner dig inte!

Vilka tal kan du ta kvadratrötter från? Ja, nästan vilken som helst. Det är lättare att förstå vad det är förbjudet extrahera dem.

Låt oss försöka beräkna denna rot:

För att göra detta måste du plocka upp ett tal som kvadrat ger oss -4. Vi väljer.

Vad är inte valt? 2 2 ger +4. (-2) 2 ger +4 igen! Det är allt... Det finns inga tal som, när de kvadreras, ger oss ett negativt tal! Även om jag kan siffrorna. Men jag ska inte berätta för dig.) Gå på college och ta reda på det själv.

Samma historia kommer att vara med valfritt negativt tal. Därav slutsatsen:

Ett uttryck där ett negativt tal står under kvadratrottecknet - inte vettigt! Detta är en förbjuden operation. Lika förbjudet som att dividera med noll. Ha detta i åtanke! Eller med andra ord:

Du kan inte extrahera kvadratrötter från negativa tal!

Men av allt annat - du kan. Det går till exempel att räkna

Vid första anblicken är detta mycket svårt. Plocka upp bråk, men ruta upp... Oroa dig inte. När vi behandlar rötternas egenskaper kommer sådana exempel att reduceras till samma kvadrattabell. Livet kommer att bli lättare!

Okej bråkdelar. Men vi stöter fortfarande på uttryck som:

Det är ok. Alla likadana. Kvadratroten ur två är det tal som, när det är kvadratiskt, ger oss en tvåa. Bara siffran är helt ojämn ... Här är den:

Intressant nog tar denna bråkdel aldrig slut... Sådana tal kallas irrationella. I kvadratrötter är detta det vanligaste. Det är förresten därför uttryck med rötter kallas irrationell. Det är klart att det är obekvämt att skriva en sådan oändlig bråk hela tiden. Därför, istället för en oändlig bråkdel, lämnar de det så här:

Om du, när du löser exemplet, får något som inte är extraherbart, till exempel:

då låter vi det vara så. Detta kommer att vara svaret.

Du måste tydligt förstå vad som står under ikonerna

Naturligtvis, om roten av numret tas slät, du måste göra det. Svaret på uppgiften i formuläret, till exempel

ganska komplett svar.

Och naturligtvis måste du känna till de ungefärliga värdena från minnet:

Denna kunskap hjälper mycket för att bedöma situationen i komplexa uppgifter.

Punkt tre. Den mest listiga.

Den största förvirringen i arbetet med rötterna orsakas bara av denna modefluga. Det är han som ger förtroende för egna krafter... Låt oss ta itu med denna modefluga ordentligt!

Till att börja med extraherar vi igen kvadratroten av deras fyra. Vadå, har jag redan fått dig med den här roten?) Ingenting, nu ska det bli intressant!

Vilket tal kommer att ge i kvadraten av 4? Tja, två, två - jag hör missnöjda svar ...

Rätt. Två. Men också minus två kommer att ge 4 i kvadrat ... Under tiden, svaret

rätt och svaret

grövsta misstaget. Så här.

Så vad är affären?

Ja, (-2) 2 = 4. Och enligt definitionen av kvadratroten ur fyra minus två ganska passande ... Detta är också kvadratroten ur fyra.

Men! I skolkursen matematik är det vanligt att beakta kvadratrötter endast icke-negativa siffror! Dvs noll och allt positivt. Till och med en speciell term myntades: från numret a- Det här icke-negativ nummer vars kvadrat är a. Negativa resultat när man extraherar den aritmetiska kvadratroten kasseras helt enkelt. I skolan, alla kvadratrötter - aritmetisk. Även om det inte nämns specifikt.

Okej, det är förståeligt. Det är ännu bättre att inte bråka med negativa resultat... Det är ingen förvirring än.

Förvirringen börjar när man löser andragradsekvationer. Till exempel måste du lösa följande ekvation.

Ekvationen är enkel, vi skriver svaret (som vi lärt oss):

Detta svar (helt korrekt, förresten) är bara en förkortad notation två svarar:

Stopp stopp! Lite högre skrev jag att kvadratroten är ett tal alltid icke-negativ! Och här är ett av svaren - negativ! Oordning. Detta är det första (men inte det sista) problemet som orsakar misstro mot rötterna ... Låt oss lösa det här problemet. Låt oss skriva ner svaren (enbart för att förstå!) så här:

Parentesen ändrar inte kärnan i svaret. Jag separerade bara med parentes tecken från rot. Nu syns det tydligt att själva roten (inom parentes) fortfarande är ett icke-negativt tal! Och tecknen är resultatet av att lösa ekvationen. När allt kommer omkring, när vi löser en ekvation måste vi skriva Allt x, som, när den sätts in i den ursprungliga ekvationen, ger det korrekta resultatet. Roten av fem (positiv!) är lämplig för vår ekvation med både plus och minus.

Så här. Om du ta bara kvadratroten från allt du alltid skaffa sig en icke-negativ resultat. Till exempel:

Därför det - aritmetisk kvadratrot.

Men om du bestämmer dig andragradsekvation, typ:

sedan alltid det visar sig två svar (med plus och minus):

För det är lösningen på en ekvation.

Hoppas, vad är kvadratrot du har rätt med dina poäng. Nu återstår att ta reda på vad som kan göras med rötterna, vad är deras egenskaper. Och vad är modeflugorna och undervattenslådorna ... ursäkta mig, stenar!)

Allt detta - i nästa lektion.

Om du gillar den här sidan...

Förresten, jag har ytterligare ett par intressanta webbplatser för dig.)

Du kan träna på att lösa exempel och ta reda på din nivå. Testning med omedelbar verifiering. Lär dig - med intresse!)

du kan bekanta dig med funktioner och derivator.

Bland de många kunskaper som är ett tecken på läskunnighet är alfabetet i första hand. Nästa, samma "tecken"-element, är färdigheterna att addera-multiplikation och, intill dem, men omvänd betydelse, aritmetiska operationer för subtraktion-division. Färdigheterna som lärts i avlägsen skolbarndom tjänar troget dag och natt: TV, tidning, SMS och överallt vi läser, skriver, räknar, adderar, subtraherar, multiplicerar. Och säg mig, har du ofta behövt slå rötter i livet, förutom på landet? Till exempel ett sådant underhållande problem, som kvadratroten av siffran 12345 ... Finns det fortfarande krut i pulverflaskorna? Kan vi göra det? Ja, det finns inget lättare! Var är min miniräknare ... Och utan den, hand-to-hand, svag?

Låt oss först klargöra vad det är - kvadratroten ur ett tal. Generellt sett betyder "att extrahera roten från ett tal" att utföra den aritmetiska operationen motsatsen till att höja till en potens - här har du motsatsernas enhet i livets tillämpning. låt oss säga att en kvadrat är en multiplikation av ett tal i sig själv, det vill säga som de lärde ut i skolan, X * X = A eller i en annan notation X2 = A, och i ord - "X i kvadrat är lika med A". Då låter det omvända problemet så här: kvadratroten av talet A, är talet X, som i kvadrat är lika med A.

Extrahera kvadratroten

Från skolkursen i aritmetik är beräkningsmetoder "i en kolumn" kända, som hjälper till att utföra alla beräkningar med de första fyra aritmetiska operationer. Tyvärr ... För kvadratiska, och inte bara kvadratiska, rötter till sådana algoritmer existerar inte. Och i det här fallet, hur extraherar man kvadratroten utan en miniräknare? Baserat på definitionen av kvadratroten finns det bara en slutsats - det är nödvändigt att välja värdet på resultatet genom sekventiell uppräkning av tal, vars kvadrat närmar sig värdet på rotuttrycket. Bara och allt! Innan det har gått en timme eller två kan det beräknas med den välkända metoden att multiplicera till en "kolumn", vilken kvadratrot som helst. Om du har kompetensen räcker ett par minuter för detta. Även en inte helt avancerad miniräknare eller PC-användare gör det i ett svep - framsteg.

Men seriöst, beräkningen av kvadratroten utförs ofta med tekniken "artillerigaffel": först tar de ett tal vars kvadrat ungefär motsvarar rotuttrycket. Det är bättre om "vår kvadrat" är något mindre än detta uttryck. Sedan korrigerar de talet efter sin egen kunskapsförståelse, multiplicerar till exempel med två, och ... kvadrerar det igen. Om resultatet fler antal under roten, sekventiell justering av det ursprungliga numret, gradvis närmar sig sin "kollega" under roten. Som du kan se - ingen miniräknare, bara möjligheten att räkna "i en kolumn". Naturligtvis finns det många vetenskapligt motiverade och optimerade algoritmer för att beräkna kvadratroten, men för "hembruk" ger ovanstående teknik 100% förtroende för resultatet.

Ja, jag glömde nästan, för att bekräfta vår ökade läskunnighet, beräknar vi kvadratroten av det tidigare angivna talet 12345. Vi gör det steg för steg:

1. Ta, rent intuitivt, X=100. Låt oss räkna ut: X * X = 10000. Intuitionen är på topp - resultatet är mindre än 12345.

2. Låt oss försöka, också rent intuitivt, X = 120. Sedan: X * X = 14400. Och igen, med intuition, ordningen - resultatet är mer än 12345.

3. Ovan erhålls en "gaffel" på 100 och 120. Låt oss välja nya tal - 110 och 115. Vi får respektive 12100 och 13225 - gaffeln smalnar av.

4. Vi försöker på "kanske" X = 111. Vi får X * X = 12321. Detta nummer är redan ganska nära 12345. I enlighet med erforderlig noggrannhet kan "passningen" fortsätta eller stoppas vid det erhållna resultatet. Det är allt. Som utlovat - allt är väldigt enkelt och utan miniräknare.

Lite historia...

Till och med pytagoreerna, elever i skolan och anhängare av Pythagoras, tänkte på att använda kvadratrötter, 800 f.Kr. och just där "sprang" in på nya upptäckter inom siffror. Och var kom det ifrån?

1. Lösningen av problemet med extraktion av roten, ger resultatet i form av tal av en ny klass. De kallades irrationella, med andra ord "orimliga", eftersom. de skrivs inte som ett fullständigt nummer. Det mest klassiska exemplet av detta slag är kvadratroten ur 2. Detta fall motsvarar beräkningen av diagonalen för en kvadrat med en sida lika med 1 - här är det, inflytandet från den pythagorasiska skolan. Det visade sig att i en triangel med en mycket specifik enhetsstorlek på sidorna har hypotenusan en storlek som uttrycks av ett tal som "inte har något slut." Så i matematik dök upp

2. Det är känt att det visade sig att detta matematisk operation innehåller ytterligare en hake - extraherar roten, vi vet inte vilken kvadrat av vilket tal, positivt eller negativt, är rotuttrycket. Denna osäkerhet, det dubbla resultatet från en operation, skrivs ned.

Studiet av problemen förknippade med detta fenomen har blivit en riktning inom matematiken som kallas teorin om en komplex variabel, vilket är av stor praktisk betydelse inom matematisk fysik.

Det är märkligt att rotbeteckningen - radikal - användes i hans "Universal Arithmetic" av samma allestädes närvarande I. Newton, men exakt modernt utseende Rotuppteckningen har varit känd sedan 1690 från fransmannens bok "Guide to Algebra".